8第八讲二维随机变量函数的分布与数学期望(22).
概率论与数理统计第八讲
[(2
z)x
1
z 1
x2]
1
( z 2
4z
3)
20 2
2 z 3时 ，z 2 x 1;即 ：
1
1
fz (z)
z2 f X ( x) fY (z x)dx
(2 z x)dx
z2
1 z2 3z 9
2
2
第八讲 二维变量函数的分布与期望
因 为1 z 2的 区 域 有2块 ， 根 据fZ (z)
z
1 2
z2
z2
3z
3 2
综合以上几步，得：
f
Z
(z)
1 2
z2 z2
,
3z
3 2
,
0 z 1 1 z2
1 2
z
2 0,
3z
9 2
,
2 z 3 其它
第八讲 二维变量函数的分布与期望
例8-1-2（07数学一，11分）
已 知(
X ,Y
)的 概 率 密 度 为f
( x,
y)
2
x 0,
z 1
z1
2z z2
即：fZ (z) (2 z)2
0,
0 z 1 1 z2
其它
第八讲 二维变量函数的分布与期望
2. 平方和的分布
设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求
Z X 2 Y 2 的分布。
考虑 Z 的分布函数：
FZ z PZ z PX 2 Y 2 z
第八讲 二维变量函数的分布与期望
FY1 ( y) P(Y1 y) P[min(X11, X12 , X13 ) y] 由 最 小 大 于 号 ：FY1 ( y) 1 P[min(X11, X12 , X13 ) y]
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式二维随机变量的概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是用来描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。
在概率论与数理统计中，我们经常需要对二维随机变量的分布进行建模和分析，因此掌握二维随机变量分布的公式是非常重要的。
一、离散型二维随机变量分布公式对于离散型二维随机变量，其取值只能是有限个或者可列个。
假设随机变量(X,Y)的可能取值为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，其对应的概率为{P(X=x1,Y=y1),P(X=x2,Y=y2),...,P(X=xn,Y=yn)}。
离散型二维随机变量的分布可以用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述，其计算公式为：P(X=x,Y=y) = P(X=xk,Y=yk) for (x,y) = (xk,yk)其中，xk和yk分别为二维随机变量(X,Y)的取值。
二、连续型二维随机变量分布公式对于连续型二维随机变量，其取值可以是任意实数。
假设随机变量(X,Y)的概率密度函数（probability density function，简称PDF）为f(x,y)，则对于任意给定的区域A，有：P((X,Y)∈A) = ∬Af(x,y)dxdy其中，(X,Y)∈A表示(X,Y)在区域A内取值，∬表示对区域A进行二重积分。
从而，我们可以通过计算二重积分来求得连续型二维随机变量的概率。
三、二维随机变量的边缘分布边缘分布是指在二维随机变量(X,Y)的分布中，将其中一个随机变量的取值固定下来，对另一个随机变量的分布进行描述。
对于离散型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过将概率加和。
对于连续型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过对概率密度函数进行积分。
1. X的边缘分布：P(X=x) = ∑P(X=x,Y=y) for all y（离散型）, f_x(x) = ∫f(x,y)dy（连续型）2. Y的边缘分布：P(Y=y) = ∑P(X=x,Y=y) for all x（离散型）, f_y(y) = ∫f(x,y)dx（连续型）四、二维随机变量的条件分布条件分布是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，对该随机变量的分布进行描述。
二维随机变量的函数的分布
2 数值方法
根据函数的定义和已知分布，可以通过 求解方程来得到函数的分布。
当方程难以求解时，可以使用数值方法 如蒙特卡洛模拟来近似计算函数的分布。
常见的二维随机变量函数的分布
介绍一些常见的二维随机变量函数和它们的分布，以及它们在实际问题中的应用。
线性变换
对于服从正态分布的二维随机变量，经过线性 变换后，其分布也将趋于正态分布。
介绍二维随机变量函数的定义和应用场景，以及一些常见的例子。
定义
二维随机变量函数是将一个或多个随机变 量映射到另一个随机变量的数学函数。
例子
一个常见的二维随机变量函数的例子是计 算两个变量之间的相关性。
二维随机变量函数的分布求解方法
讲解如何通过求解方程或使用数值方法得到二维随机变量函数的分布。
1 方程求解
其他函数示例
还有许多其他类型的二维随机变量函数，如指 数函数、对数函数等。
函数转换法的应用与实例
通过实际应用案例，展示函数转换法在解决二维随机变量函数的分布问题中的应用。
1
应用实例
以金融市场中的投资组合优化问题为例，展示如何使用函数转换法来计算最优投 资组合的分布。
2
优势与局限
介绍函数转换法的优势和局限性，以及如何在实际问题中准确应用。
3
实用案例
分享其他实用案例，如信用评级、股票市场分析等，来展示函数转换法的广泛应 用。
二维随机变量的函数的分 布
随机变量及其函数的定义和性质介绍
二维随机变量的概念和例子
通过实际例子，介绍二维随机变量的定义和特点，以及它们在现实生活中的应用。
定义
二维随机变量是由两个随机变量构成，表示两 个相关事件的联合概率分布。
例子
二维随机变量函数的分布
V min{X1 ，X2 ， ，Xn} 的分布函数分别为
Fmax (u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u) ，
（3-34）
Fmin (v) 1 [1 FX1 (v)][1 FX2 (v)] [1 FXn (v)] ．
（3-35）
特别地，当 X1 ，X2 ， ，Xn 相互独立且有相同的分布函数 F(x) 时，有
0
0dt
z 1
z
1dt
z
；
0
当1
z 2 时， fZ (z)
z
z1 fX (t)dt
1
1dt
z 1
z 0dt 2 z ；
1
当 z
2 时， fZ (z)
z
z1 f X (t)dt
z 0dt 0 ．
z 1
综上所述，随机变量 Z X Y 的概率密度为
z ， 0 z 1， fZ (z) 2 z ， 1 z 2 ，
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
因此， X Y 的分布律如表 3-13 所示．
表 3-13
X Y
0
1
2
3
3
7
5
1
P
16
16
16
16
（2）同理， XY 的分布律如表 3-14 所示．
表 3-14
XY
0
1
2
13
1
1
P
16
8
16
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.2 二维连续型随机变量函数的分布
第八讲(二维随机变量的分布)
第八讲
二维随机变量
2
一、二维随机变量及其分布
定义 1 设 E 是一个随机试验，样本空间为 ，设 X X ( ) 和 Y Y ( ) 是 定 义 在 上 的 随 机 变 量，则称向量 X ( ), Y ( ) 为 上的二维随机 变量或二维随机向量， 简记为 X ,Y 。 (如图 3-1)
3
2
P{X=0, Y=3} 1 2 1 8
X 3 1 1 P{X=1, Y=1} =3/8 0 1 2 2 1 2 3 1 1 P{X=2, Y=1} =3/8 2 2 2 2 3 3 P{X=3, Y=0} 1 2 1 8.
X
x
x
3.
， F ( x , y ) F ( x 0, y ) F ( x , y ) F ( x , y 0) 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续，关于 y 也右连续。
例1 设
0, x y 1 F ( x, y ) 1, x y 1 讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布 函数？ y (0,2)• •(2,2) 解
F f ( x, y) xy P{ x X x x , y Y y y } f ( x , y )xy
2
f (x,y) 反映了( X ,Y ) 在(x,y) 附近单位面积的 区域内取值的概率
4、P{ X = a ,Y = b} = 0 P{ X = a ,- < Y < + } = 0 P{- < X < + , Y= a } = 0 若G 是平面上的区域，则
反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律
二维随机变量函数的分布
试求 U X Y , V XY 的分布律.
例2 设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们分别
服从参数为 1 和 2 的泊松分布.
二、二维连续型随机变量函数分布
随机变量 X 和 Y 的联合概率密度函数 f (x, y)
从公式
FZ (z) P{Z z} P{g(X ,Y ) z} P{(X ,Y ) Dz}
f (x, y)dxdy
( x, y)Dz
确定分布函数 FZ (z) 。
注：Dz 是由不等式 g(x, y) z 规定的 xOy 平面上的一个区域，且不必是连通的。
(1) Z X Y 的分布
y
x y z
x z y
y
x y z
yzx
x y z
x y z
x
x
(a)
(b)
图4-1 x y z 的区域
fX (x) fY ( y)
1
x2
e 2,
2
1
y2
e 2,
2
x y
(2) M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布 设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为 FX (x), FY ( y)，则 M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布函数分别为什么？
的分布律为：
P{Z zk}
pij
( xi , y j )Ak
其中 Ak {( xi , y j ) | g(xi , y j ) zk}, k 1,2,3,
例1 已知随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律如下：
Y X
1
2
-1
0
1
0.07 0.28 0.15 0.09 0.22 0.19
《概率论》课程PPT ：二维随机变量的函数的分布
所求分布函数为
0
z0
FZ (z) 1 ez zez z 0
分布密度函数为
0
fZ
(
z)
ze
z
z0 z0
两个随机变量的和的分布
如果（X，Y）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则 Z=X+Y的分布密度函数为
fZ (z)
f (x, z x)dx
二维随机变量的函数的分布
设 (X ,Y ) 是二维随机变量, 其联合分布函数为
F(x, y), Z g(X ,Y ) 是随机变量 X ,Y 的二元函数
问题：如何确定随机变量Z的分布呢？
Z 的分布函数 FZ (z) P{Z z} P{g(x, y) z}
二维连续型随机变量的函数的分布
设 (X ,Y ) 是二维连续型随机变量,其联合分布密度为
f (x, y), z g(x, y) 是二元连续函数，
则 Z g(X ,Y ) 是一维的连续型随机变量
其分布函数为
FZ (z) Pg(X ,Y) z f (x, y)dxdy g ( x, y ) z 其分布密度函数为 fZ (z) FZ(z)
)
N
(
2
,
2 2
)
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
P{Z z} 0
P{Z z}
z
dx
zx
2 2e(x2 y)dy
00
1 ez zez
例 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为
2e(x2 y) x 0, y 0
二维随机变量及其分布函数
边缘概率密度函数的计算方法
边缘概率密度函数是二维连续随机变量的两个随机变量的Fra bibliotek缘分布的密度函数。
边缘分布函数的例子
例如，对于二维正态分布，边缘分布函数是标准正态分布函数。
二维随机变量及其分布函 数
本节将介绍二维随机变量的定义、表示方法，以及二维离散和连续随机变量 的分布函数和分布密度函数。
二维随机变量的定义
二维随机变量是由一对随机变量组成的随机变量，可以用一个有序对表示(X, Y)，其中X和Y是两个单独的随机变量。
二维随机变量的表示方法
二维随机变量可以用概率分布函数或概率密度函数来表示其取值范围和概率 分布。
二维离散随机变量的分布函数
二维离散随机变量的分布函数是一个二维数组，其中每个元素表示随机变量 取对应值的概率。
二维连续随机变量的分布密度函数
二维连续随机变量的分布密度函数表示随机变量的取值在某个区域内的概率密度。
边缘分布函数的定义
边缘分布函数指的是一个随机变量的分布函数，忽略另一个随机变量的影响。
《二维随机变量》课件
二维随机变量是概率论中的一个概念 ，它由两个随机变量组成，每个随机 变量都可以取不同的值，这些值之间 有一定的概率分布关系。
性质
总结词
二维随机变量具有独立性、对称性、可加性等性质。
详细描述
独立性是指两个随机变量之间没有相互影响，一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量的取值。对称性是 指两个随机变量的取值概率相同，即P(X=x, Y=y) = P(X=y, Y=x)。可加性是指两个随机变量的和仍然是一个随 机变量，其概率分布可以通过两个随机变量的概率分布计算得出。
CHAPTER 03
二维随机变量的函数
Z变换
定义
Z变换是数学中的一种变换方法，用于将离散信号或序列转换为复 平面上的函数。在二维随机变量的背景下，Z变换可以用于分析两
个随机变量之间的关系。
应用
通过Z变换，我们可以研究两个随机变量之间的依赖关系，例如相 关性、条件概率等。此外，Z变换还可以用于信号处理、控制系统
线性变换在统计学、概率论和数据分 析等领域有广泛应用，例如在回归分 析和主成分分析中常用到线性变换。
标准化变换
标准化变换的定义
标准化变换是将二维随机变 量的每个分量分别减去其均 值并除以其标准差，从而将 原始变量转换为标准正态分
布的随机变量。
标准化变换的性质
标准化变换将原始变量的均 值为0、标准差为1的标准正 态分布，保持了变量的方差 、协方差等统计特性不变。
03
当相关系数为0时，协方差也 为0，表示两个随机变量之间 没有线性相关性。
CHAPTER 06
二维随机变量的函数变换
线性变换
01
线性变换的定义
线性变换是二维随机变量的变换方式 之一，它通过一个线性方程组将原始 变量转换为新的变量。
二维随机变量及其分布函数
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,, 称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
P{X 2,Y 0} 3 2 3 8 3 . 2 0 0 2 28
故所求分布律为
X Y
0
0 3 28
1 3 14
2 1 28
1 9 28 3 14
0
2 3 28
0 0
例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从 中任取一个, 不放回袋中,再任取一个,设每次取球时, 各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和 第二次取到的球上标有的数字,求 ( X, Y ) 的分布 律与分布函数.
2. 分布函数的定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数 :
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随机变 量X 和 Y 的联合分布函数.
F ( x, y) 的函数值就是随机点落在如图所示区域
内的概率.
y (x, y) •
X x,Y y
O
x
3. 分布函数的性质 1o F ( x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y,当 x2 x1 时 F ( x2 , y) F ( x1, y), 对于任意固定的x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
xy
F( x, y)
f (u,v)d udv
概率论与数理统计 二维随机变量及其分布 课件
即得 X 和 Y 的联合分布律为
P { X m , Y n} p q
2 n2
( n 2)个
,
其中q 1 p, n 2,3,; m 1,2,, n 1. 现在求条件分布律。
P { X m Y n }, P {Y n X m },
由于
P{ X m }
8 3 , 2 14 8 1 , 2 28 8 9 , 2 28 8 3 . 2 28
故所求分布律为
X
0 1 2
Y
0
3 28
9 28
3 281 23 14Fra bibliotek1 28
3 14
0
0
0
3.2.2 边缘分布律与条件分布律
4 7
3 7
注意
联合分布
边缘分布
2. 条件分布律
二维离散型随机变量中一个随机变量取值 受另一个随机变量影响的概率分布规律称为条 件分布律。 如果p· j>0,考虑条件概率
P{ X xi Y y j } P { X xi ,Y y j } P {Y y j } p ij p j
设(X,Y)的密度函数为f(x,y)，那么对任意 实数a,b(a<b)，总有
P {a X b} P {a X b , Y }
[
a
b
f ( x , y ) d y]d x ,
且
f ( x, y)d y 0
， f ( x , y ) d y 1,
P {Y y j }
i
p i j p j , j 1, 2 ,
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算二维连续型随机变量是概率论中一个重要的概念，它描述了两个不同随机变量同时发生的概率分布情况，对于一些实际问题的建模和分析有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算方法，以及一些相关的概念和定理。
我们来介绍二维连续型随机变量的分布函数。
对于一个二维连续型随机变量（X，Y），它的分布函数F(x,y)定义为：F(x,y) = P(X<=x, Y<=y)P(X<=x, Y<=y)表示两个随机变量X和Y同时小于等于x和y的概率。
对于任意的实数x和y，分布函数F(x,y)满足以下性质：1. F(x,y)是非减函数，即对于任意的x1<=x2和y1<=y2，有F(x1,y1)<=F(x2,y2)。
2. F(x,y)是右连续的，即对于任意的实数x和y，有lim（Δx,Δy→0）F(x+Δx,y+Δy)=F(x,y)。
有了概率密度函数f(x,y)，我们就可以计算出二维连续型随机变量的概率。
对于一个实数区间A=[a,b]×[c,d]，A内的概率可以表示为：P((X,Y)∈A)=∬(A)f(x,y)dxdy这就是概率密度函数的基本应用之一，通过对概率密度函数进行积分，我们可以计算出不同区域内的概率值。
除了以上的基本概念和计算方法之外，二维连续型随机变量还有一些重要的性质和定理。
最重要的定理之一就是边缘分布的计算方法。
对于一个二维连续型随机变量（X，Y），它的边缘分布分别是X和Y的概率分布。
根据边缘分布的定义，我们可以计算出X和Y的边缘分布函数为：F_X(x)=∫(-∞,x)∫(-∞,∞)f(x,y)dydxF_Y(y)=∫(-∞,∞)∫(-∞,y)f(x,y)dxdy通过这两个公式，我们可以计算出X和Y的边缘分布函数，从而得到它们的概率分布。
边缘分布在实际问题中有着重要的应用，它可以帮助我们对一个二维连续型随机变量进行更深入的分析和研究。
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象的结果。
而在实际问题中，往往会涉及到多个随机变量的联合分布问题，这时就需要引入多维随机变量的概念。
在本文中，我们将重点讨论二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算方法。
一、二维连续型随机变量的概念我们来了解一下二维连续型随机变量的概念。
二维连续型随机变量可以用一个二元组(X, Y)来表示，其中X和Y都是连续型随机变量。
其分布函数可以表示为F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)，而密度函数则可以表示为f(x, y) = ∂^2F(x, y)/∂x∂y。
需要注意的是，对于二维连续型随机变量来说，概率密度函数并不是概率，而是通过其在某个区域上的积分来得到概率。
对于二维连续型随机变量的分布函数，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 确定联合密度函数f(x, y)。
2. 然后，计算边际密度函数f1(x)和f2(y)，其中f1(x) = ∫f(x, y)dy，f2(y) =∫f(x, y)dx。
3. 根据边际密度函数，计算联合分布函数F(x, y)，其中F(x, y) = ∫∫f(u,v)dudv。
举个例子来说明，假设有一个二维连续型随机变量(X, Y)，其联合密度函数为f(x, y) = 2xy，且定义域为0<x<1，0<y<1。
那么我们可以按照上述步骤计算其分布函数：通过以上步骤计算得到了二维连续型随机变量的分布函数F(x, y) = x^2y。
这样，我们就可以用这个分布函数来计算各种概率。
在实际问题中，我们经常需要计算二维连续型随机变量在一个特定区域内的概率。
而对于二维连续型随机变量来说，其概率可以由其在特定区域上的积分来表示。
具体来说，如果我们需要计算二维连续型随机变量(X, Y)在区域D上的概率，可以通过以下步骤进行计算：1. 确定区域D的范围，并利用联合密度函数f(x, y)计算在该区域上的积分∫∫f(x, y)dxdy。
8第八讲二维随机变量函数的分布与数学期望(22)
.
则：FZ
(z)
8
2 d
0
zr 0 (r 2 1)3 dr
1 1
(z 1)2
1
1 (z 1)2
,
当z
0时,
FZ (z)
0,
当 z 0 时.
fZ (z)
3 , 当 z 0 时, (z 1)3
0,
当 z 0 时.
第八讲 二维变量函数分布与数学期望
二. 二维变量的最大值与最小值的分布 设随机变量X与Y 独立，它们的分布函数分别为FX (x) 及 FY ( y),
第八讲 二维变量函数分布与数学期望
即
：FYi
(
y)1 e Biblioteka 0,3y,
y0 y0
再求仪器使用寿命Z 的分布函数
仪 器 是Y1 ,Y2的 并 联 ， 并 联 组 的 最 大寿 命 的 一 个 就 是 仪 器
的寿命，即Z max(Y1,Y2 ),且因为Yi 0,所以Z 0 FZ (z) P(Z z) P[max( Y1,Y2 ) z] P(Y1 z,Y2 z)
第八讲 二维变量函数分布与数学期望
推广到有限多个独立随机变量的情形, 有
n
n
Fmax(z) Fi (z) Fmin (z) 1 [1 Fi (z)]
i 1
i 1
特别地, 若 X1 , X 2 ,, X n 独立同分布,设它们的分布函数为F z,
则 Fmax(z) F (z) n Fmin (z) 1 1 F (z) n
(2) 最小值的分布 （最小大于号，大于都大于）
Fmin (z) P( min ( X ,Y ) z ) 1 P( min ( X ,Y ) z )
1 P[(X Y z) (Y X z)]
概率论二维随机变量总结
概率论二维随机变量总结二维随机变量是指具有两个随机变量组成的随机向量，用(X, Y)表示。
概率论中研究二维随机变量的分布、期望、方差以及其它统计特性。
1. 二维随机变量的联合分布：联合分布是描述二维随机变量X 和Y的取值情况和对应的概率的函数。
可以通过联合概率密度函数或联合分布函数来表示。
2. 边缘分布：边缘分布是指某个变量的分布，不考虑另一个变量的取值情况。
对于二维随机变量(X, Y)，X的边缘分布是通过对所有可能的Y求和或积分得到的函数，Y的边缘分布同理。
3. 条件分布：条件分布是指在已知一个变量的取值情况下，另一个变量的分布情况。
对于二维随机变量(X, Y)，给定X的条件下Y的条件分布可以通过联合分布和边缘分布得到，形式为P(Y|X)。
4. 期望和方差：对于二维随机变量(X, Y)，期望E(X)表示X的平均取值，E(Y)表示Y的平均取值，方差Var(X)表示X的取值的离散程度，Var(Y)表示Y的取值的离散程度。
5. 协方差和相关系数：协方差描述了X和Y之间的线性相关程度，可以通过公式Cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))计算得到。
相关系数表示X和Y之间的线性相关程度的强度，公式为Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (SD(X) * SD(Y))，其中SD(X)和SD(Y)分别表示X和Y的标准差。
6. 独立性：如果二维随机变量(X, Y)的联合分布可以拆分为X 的边缘分布和Y的边缘分布的乘积形式，即P(X, Y) = P(X) * P(Y)，则称X和Y是独立的。
独立性意味着X和Y之间没有任何关联。
7. 协变和不相关性：如果协方差Cov(X, Y)为0，则X和Y是不相关的，不相关性不一定意味着独立性。
如果协方差Cov(X, Y)大于0，则X和Y是正相关的，如果Cov(X, Y)小于0，则X和Y是负相关的。
以上是二维随机变量的一些基本概念和理论，这些知识可以用于分析和解决涉及二维随机变量的问题。