数系的扩充与复数的引入课件

1＋i × ＋ 2013 ∴ ＝i2013＝i4 503 1＝i，选 1－i
C 项．
a 5. [2013· 徐汇诊断]若 ＝1－bi，其中 a，b 都是实数， 1－i i 是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
答案： 5
a1＋i a a 解析： ＝ ＋ i＝1－bi， 1－i1＋i 2 2 ∴a＝2，b＝－1，|a＋bi|＝ 5.
5. 了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.解决复数 问题的基本方法是根据复数相等的充要条件将复数问题实数 化．
第四章 第4讲
第10页
金版教程 · 高三数学
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1种必会方法 复数问题实数化．
2个重要性质 1. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in ＋3 ＝0(各式中n∈N)． 1＋i 1－i 2. (1± ＝± i) 2i， ＝i， ＝－i. 1－i 1＋i
z (1)已知 ＝3－i，则复数z的实部________． 1＋i (2)设复数z＝ ________. 1＋2i i－1 ，其中i为虚数单位，则|z|＝
1.实部 虚部 |z| |a＋bi|
b＝0
b≠0
a＝0，b≠0
a＝c且b＝d
a2＋b2 (2)× (3)√ (4)×
判一判：(1)×
2．填一填：(1)二 3．(a＋c)＋(b＋d)i bc)i 填一填：(1)4
值范围是(
)
B. a>1 D. a<－1或a>1
A. －1<a<1 C. a>0 答案：(1)A (2)A
1＋ai 2－a 1＋2a 2－a 解析：(1)∵ ＝ ＋ i，∴ ＝0，且 5 5 5 2－i 1＋2a 5 ≠0，∴a＝2，选A项． (2)∵|z1|＝ a2＋4，|z2|＝ 5， ∴ a2＋4< 5，∴a2<1.∴－1<a<1.
→ ∴AO所表示的复数为－3－2i. → → → ∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i. → → → (2)CA＝OA－OC， → ∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
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【选题· 热考秀】 3＋bi [2012· 湖北高考]若 ＝a＋bi(a，b 为实数，i 为虚数 1－i 单位)，则 a＋b＝________.
纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔________(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a， b，c，d∈R)． → (4)复数的模：向量 OZ 的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记 作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ ________(r≥0，r∈R)．
(1)准确记忆复数的除法法则的实质：分母实数化，只需分 子、分母同乘分母的共轭复数，这是防止失误的关键所在．
(2)强化对复数基本概念的记忆，突出对复数的实部(虚
部)，复数相等、共轭复数、复数几何意义等知识的掌握．
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3＋i 1. [2012· 浙江高考]已知 i 是虚数单位，则 ＝( 1－i A. 1－2i C. 2＋i B. 2－i D. 1＋2i )
答案：D
解析：设 x1＝1＋ 2i，x2＝1－ 2i，x1＋x2＝－b＝2， b＝－2，c＝x1·2＝c＝3，选 D 项． x
3. [2012· 江西高考]若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)， z 是 z 的共轭复数，则 z2＋ z 2 的虚部为( A. 0 C. 1
答案：A
i)2＋(1－i)2＝0，虚部为 0，选 A 项．
4. [2013· 金版原创]i A. －i C. i
1＋i 2013 为虚数单位，则 ＝( 1－i
)
B. －1 D. 1
答案：C
1＋i 1＋i2 解析：∵ ＝ ＝i， 1－i 1－i1＋i
(1)复数z＝i(2＋i)对应的点在第________象限．
(2)复数z＝m＋(1－2m)i对应点在第四象限，则m的取值范
围为________． 3．复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________； (3)乘法：z1·2＝(a＋bi)· z (c＋di)＝________； z1 a＋bi a＋bic－di ac＋bd bc－ad (4)除法： z ＝ ＝ ＝ 2 2 ＋ 2 c＋di c＋dic－di c ＋d c ＋d2 2 i(c＋di≠0)．
的加减运算合并同类项，复数的乘除运算是复数运算的难 点，运算时要多加注意，以免造成计算失误.)
[变式探究] sin2θ＝________.
(1)若复数z＝cosθ＋isinθ且z2＋ z 2＝1，则
z2－2z (2)已知复数z＝1－i，则 ＝________. z－1
1 答案：(1)4 (2)－2i
[答案] (1)D (2)A
复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原
点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义
可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则 解决问题.
[变式探究]
如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别
表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
→ → (1)AO表示的复数，BC表示的复数； → (2)对角线CA所表示的复数． → → 解：(1)AO＝－OA，
例3
2－i (1)[2011· 山东高考]复数z＝ (i为虚数单位)在复 2＋i ) B. 第二象限 D. 第四象限
平面内对应的点所在象限为( A. 第一象限 C. 第三象限
10i (2)[2012· 北京高考]在复平面内，复数 对应的点的坐 3＋i 标为( ) B. (3,1) D. (3，－1)
解析：(1)z2＋ 1 2cos2θ＝1⇒sin θ＝4.
2
z
2
＝(cosθ＋isinθ)2＋(cosθ－isinθ)2＝
z2－2z z－12－1 1 (2) ＝ ＝z－1－ z－1 z－1 z－1 1 i ＝(－i)－ ＝－i－ ＝－2i. －i －i· i
例2 (1)[2012· 陕西高考]设a，b∈R，i是虚数单位，则 b “ab＝0”是“复数a＋ 为纯虚数”的( i A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 )
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2 (2)[2012· 课标全国高考]下面是关于复数z＝ 的四 －1＋i 个命题： p1：|z|＝2，p2：z2＝2i， p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1， 其中的真命题为( A. p2，p3 C. p2，p4 )
B. p1，p2 D. p3，p4
判断下列命题是否正确：
(1)a＝0是a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件．( )
(2)2i＋5的共轭复数为2i－5.( ) (3)若m，n∈R，m＋(n－1)i＝1＋i，则m＝1，n＝2.( ) (4)若z1，z2为复数，z1－z2>0，则z1>z2.( )
2．复数的几何意义 一一对应 (1)复数z＝a＋bi ――→ 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈ R)； 一一对应 → (2)复数z＝a＋bi ――→ 平面向量OZ(a，b∈R)．
第4讲
数系的扩充与复数的引入
泰安二中数学2013年11月4日星期一
课前自主导学
1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为
实数，若________，则a＋bi为虚数，若________，则a＋bi为
模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等，解决时，一定先看复
数是否为a＋bia，b∈R的形式，以确定其实部和虚部.
[变式探究]
(1)[2012· 安徽高考]设i是虚数单位，复数 ) B. －2 1 D. 2
1＋ai 为纯虚数，则实数a为( 2－i A. 2 1 C. －2
(2)复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取
答案：D
3＋i 3＋i1＋i 2＋4i 解析： ＝ ＝ 2 ＝1＋2i，选 D 项． 1－i 1－i1＋i
2. [2012· 上海高考]若 1＋ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2 ＋bx＋c＝0 的一个复数根，则( A. b＝2，c＝3 C. b＝－2，c＝－1 )
B. b＝2，c＝－1 D. b＝－2，c＝3
2
第四章 第4讲
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金版教程 · 高三数学
课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训
3个必须注意 1. 满足多项式的四则运算法则，运算结果中注意i2＝－1. 2. 复数加、减运算可结合几何意义，采用数形结合的方法
求解．
3. 复数不能比较大小，但复数有相等与不相等之分.
[规范解答] 由已知可得
3＋bi＝(a＋bi)(1－i)＝a＋b＋(b－a)i
∴a＋b＝3. [答案] 3
【备考·角度说】 No.1 角度关键词：易错分析
(1)不能熟练掌握复数除法法则，计算出现错误．
(2)不能灵活运用复数相等的条件，将复数问题转化为实数
问题，确定a＋b的值．
No.2
角度关键词：备考建议
A. (1,3) C. (－1,3)
[审题视点] 求解．
[解析]
化简复数z的代数形式，利用复数的几何意义
2－i2 3 4 (1)z＝ ＝ － i，∴选D项． 2＋i2－i 5 5
10i3－i 10i (2) ＝ ＝1＋3i，对应点坐标为(1,3)，选A 3＋i 3＋i3－i 项．