数字信号处理2-1

n

x(n) a u (n)
n
18
逆Z变换
用长除法求 X ( z) [(1 az)(1 az 1 )]1 , | a 1 || z || a |的逆Z变换 例:
解： ∵收敛域| a 1 || z || a |为环域， ∴x(n)必为双边序列。
X ( z) 1 (1 az )(1 az )
x ( n)
2j
1
X ( z) z
n 1
dz
c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
9
逆Z变换
若被积函数 X ( z ) z n 1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[ X ( z ) z
收敛 不定 发散
对于不同的序列 x(n) ，可求得相应的收敛域。
6
Z变换的收敛域
收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大， Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+x(2)z-2+···· |z|>0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+···· |z|< 如果是右边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， |z|>也位于收敛域内。
s k
[( z zi )
s
X ( z) z
]
z zi
k 1,, s
15
逆Z变换
例： 已知 X ( z)
z
2
( z 2)( z 0.5)
z 2
，求X(z)的原序列。
解： 将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式
X ( z) z z ( z 2)( z 0.5) A1 z2 A2 z 0.5
4
Z变换的定义
例3：求序列 x (n)= 解： ( z ) ( 1 ) X 3
n n
(1/3)|n| 的Z变换。
j Im[ z ]
Z平面
n
z
n
n


n
( )
n
1
1 n 3
z
n
(1) z 3
n n 0

0
( 1 z ) ( 31z ) 3
A0 A( z ) X (0 Re s[ i 1 ai z z aN
i 1
,0]
X ( z) 1 若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单 Ak (1 z k z ) X ( z ) z z Re s[ , zk ] z 极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
n 1 n 0

1 3

Re[ z]
3
收敛域
|z|<3时，第一项收敛于
z z 3
，对应于左边序列。
1 3
|z|>1/3时，第二项收敛于
z z
，对应于右边序列。
z z
1 3
当
1 3
| z | 3
时：
X ( z)
z z 3

8z 3 ( z 3)( z 1 ) 3
ST
n
x( n ) z
双边Ｚ变换 单边Ｚ变换
n
拉氏变换与Ｚ变换： X ( z ) z e X ( s )
2
Z变换的定义
例1：求序列 x (n)= an u(n) 的Z变换。
j Im[ z ]
解：
X ( z)
n
a u k
10
逆Z变换
如果 z k 为单阶极点，按留数定理:
Re s[ X ( z) z
k
n 1
, zk ] ( z zk ) X ( z ) z
k
n 1 z zk
如果 z k m阶极点，则其留数为: 为
z zk (m 1)! dz 在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被 积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题 得以简化。 例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处 可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计 算将方便得多。
j Im[ z ] j Im[ z ]
n
x ( n) z
0
n
x ( n) e
n n 0

j
j Im[ z ]
0
Re[ z ]
收敛域
0
Re[ z ]
收敛域
0
Re[ z ]
收敛域 右边序列的收敛域 左边序列的收敛域
双边序列的收敛域
8
逆Z变换

逆Z变换 从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为 逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。 逆Z变换的三种基本方法 围线积分法 部分分式展开法 长除法（幂级数展开法） 围线积分法

X ( z ) x ( n) z
n 0 n
x ( n) e
n n 0

j
越大收敛越快。
所以，收敛域在圆外。
7
Z变换的收敛域

如果是左边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， 0<|z|< 的全部 z 值也位于收敛域内。
X ( z)

所以，收敛域在圆内。 如果是双边序列，收敛域由圆环组成。
x(n) Re s[ 1 n z
1
j Im[ z ]
围线C
z )( z a a a(a ( za a )( z ) )
|n|
z1 , a ]
n
1
a
n
1 a
2
n |z|=|a| 0
0
a
1/a
Re[ z ]
在收敛域内作包围原定的围线C a 收敛域 当 x(n) n n 0 时，只有一个单阶极点z=a, 1 a 2 1 a n 其围线积分为： 1 z , a] x(n) Re s[ n0 2
Re s[ X ( z ) z
n 1
, zk ]
1
d
m 1
[( z zk ) X ( z ) z m 1
m
n 1
]
11
逆Z变换
例1:已知某序列的Z变换为: X ( z) (1 az 1 ) 1 求原序列x(n)
z a
解:
x ( n)
1 2j 1 2j
(1 az
c
1
)
1
z
n 1
dz
za
c
1
z dz
n
由于收敛域为 z a ，可知该序列必定是因果序列。 并且当 n 0时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶 极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得:
12
逆Z变换
例2： 已知序列的Z变换为：
X ( z ) [(1 az )(1 az )] , | a || z || a |
2 3 3
1

1 1 a
2
[
a za

1 1 az
]
对右边序列 ∴右边序列为: 对应右边序列。用长除法
1 2
n az n z a z a aa 将其展开成z的负幂级数， 1 az 1 将其展开成z的正幂级数， x ( n) n0 x( ) a na n0 2 z将分母多项式按降幂排列 2 将分母多项式按升幂排列 1 - az 1 a 1 2 1 a aa z
x(0) x(1) z
1
x(2) z
2

若把X(z)展开成z-1的幂级数之和，则该级数的各系数 就是序列 x(n) 的值。 在具体进行长除法时，要根据收敛域先确定序列是左 边序列还是右边序列。对于左边序列Z变换为z的正幂 级数，分子分母多项式应按升幂排列展开；对于右边 序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列 进行展开。
第二章 离散时间信号与系统的 变换域分析
序列的 Z变换
序列的傅里叶变换
离散时间系统变换域分析
希尔伯特（Hilbert）变换
1
§1 序列的Z变换

Z变换的定义 抽样信号 x( n) x( nT )
ˆ x(t ) x(t ) T (t ) x(t ) (t nT )
n

a
n
Z平面
0
为保证收敛，则
a z
1
a

Re[ z ]
收敛域
z | z | | a |
或 | z || a |
X ( z) 1 1 ( )
a z

za
若 a = 1, 则
u ( n)
z z 1
| z | 1
3
Z变换的定义
例2：求序列 x(n)= -an u(-n-1)的Z变换。 解： ( z ) a nu (n 1) z n X
5
零点：0，极点：3，1/3
Z变换的收敛域

Z变换的收敛域 对于任意给定的序列 x(n) ，使其Z变换收敛的所有 z值的集合称为 X (z ) 的收敛域。 其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：
n


x ( n) z
n

根据级数收敛的阿贝尔定理
lim
n
an
n
1 1 1
a( z a)( z a ) 1 a
13
逆Z变换

部分分式展开法 说明：1、 X(z)较简单时可按算术展开求各系数 B( z ) 用部分分式展开法求反Z变换，X ( z ) 通常为有理分式。 Ak(k=0,1…,N) 。 A( z ) 1、单极点 X(z)较复杂时可按留数定理求各系数 M 2、 i bi z Ak(k=0,1…,N)，此时为了方便通常利用 X(z)/z的 B( z ) X ( z) b i 0N 形式求取： X ( z) N