椭圆离心率求值和最值问题
与椭圆有关的最值问题
角度类问题典型例题
例题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线$x^2 = 8sqrt{2}y$的焦点，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与C相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率 之积为$- frac{5}{16}$，则直线l的方程为____。
距离类问题典型例题
例题1
已知椭圆$frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$，点P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的 两个焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为____。
例题2
过椭圆$frac{x^2}{5} + y^2 = 1$的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、 B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为____。
通过解析几个与椭圆有关的最值问题的典型例题，我们掌握了这类问情况
通过本次课程的学习，我深刻理解了椭圆的标准方程和性质，掌握了在约束条件下求解最值问题的方法，对于典型例 题的解析也有了更深入的认识。
学习方法与效率
在学习过程中，我采用了课前预习、课后复习的方法，同时结合了大量的练习来巩固所学知识。这种学习方法使我能 够高效地吸收和掌握知识。
利用平面几何知识，如相似、勾股定 理等，求出最值；
03
与椭圆相关的最值问题类 型
面积类问题
1 2
椭圆内接矩形面积的最大值
给定椭圆，求其内接矩形面积的最大值。
椭圆内接三角形面积的最大值
给定椭圆，求其内接三角形面积的最大值。
3
椭圆与直线围成的图形面积
给定椭圆和直线，求它们围成的图形面积。
距离类问题
需要注意定义域的限 制。
利用一元二次函数的 性质，如顶点、对称 轴等，求出最值；
椭圆的几种最值问题
椭圆中的几种最值问题一：求离心率的最值问题1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
二：求点点（点线）的最值问题3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦 点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
4：定长为d d b a ≥⎛⎝⎫⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆x a y b a b 222210+=>>()上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。
三：求角的最值问题 5：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的 长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1。
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 上的动点，使∠F PF 最大的点 P 记为Q ，求点Q 的坐标 (并用m 表示) 。
四：求面积的最值问题例6：（05年全国II ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．五：求线段之和（或积）的最值问题 7：若椭圆13422=+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的坐标为 （ ）A．(3± B．(3C ．3(1,)2± D ．3(1,)28：如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆131222=+y x 的焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？9已知点F 是椭圆192522=+y x 的右焦点，M求|MA|+|MF|的最小值。
离心率及最值问题
圆锥曲线的离心率及最值问题一、离心率1、在ABC ∆中，,AB BC = 7cos 18B =-，若以A B 、为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为2、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A B 、两点，OA OB +与)(3,1a = -共线，则该椭圆的离心率为 3、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且2BF FD =,则椭圆的离心率为4、过椭圆()222210x y a b a b+= >> 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ο∠=, 则该椭圆的离心率为5、设双曲线22221x y a b-= 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则该双曲线的离心率为6、过双曲线()222210,0x y a b a b -= > >的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ,若12AB BC =,则该双曲线的离心率为7、双曲线()222210,0x y a b a b-= > >的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 作倾斜角为30ο的直线交双曲线右支于M 点，若2MF x ⊥轴，则该双曲线的离心率为 二、最值问题1、 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．2、 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．3、已知点()03，A ，()02，F ，在双曲线1322=-y x 上求一点P ，使PF PA 21+的值最小． 解：∵1=a ，3=b ，∴2=c ，∴2=e ，设点P 到与焦点()02，F 相应准线的距离为d 则2=dPF∴d PF =21，∴d PA PF PA +=+21， 至此，将问题转化成在双曲线上求一点P ，使P 到定点A 的距离与到准线距离和最小．即到定点A 的距离与准线距离和最小为直线PA 垂直于准线时，解之得，点⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321，P ．4、已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）65、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）46、过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a 4。
破解椭圆中最值问题的常见策略
破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以 解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。
圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且 常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。
要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形 结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、 各种平面几何中最值的思想来解决。
第一类：求离心率的最值问题2 2例1：若A, B 为椭圆 笃•爲=1（a b 0）的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使 /AQB = 120°， a b求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立a,b,c 之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思 想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭 圆中x, y 的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设 A(a,0), B( -a,0),Q(x, y)，则 k AQ = —^,k BQx + a故于沃"）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）a,b,c 之间的关系。
常用椭圆上的点 （x, y ）表示成a,b,c ，并利用椭圆中x, y 的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。
破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围2 2例2：已知椭圆C :务•占=1@ b 0）两个焦点为F1,F2，如果曲线C 上存在一点Q,使FQ _ F?Q ， a b 求椭圆离心率的最小值。
分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。
本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：2c 二 PF1 _ PF2 _ PF 「PF2 _ 2a sin900sin ： sin ： sin ： cos ：sin ： cos ：利用到角公式及 NAQB =120。
椭圆离心率求值和最值问题
福建泉州外国语中学 林贵清
本题是2016年全国 III卷理科第11题，这是 一道求离心率的值
思路一：可充分运用平 面几何中的三角形相似 知识求解；
思路二：利用斜率相等的知识 解决问题；
思路三：利用三点共线的知识 解决问题；
思路四：利用向量三点共线的 知识解决问题；
规律方法总结
m2 c2
16 3
m c
43 3
, 当且仅当 n
m 2
时，等号成立.故选
A.
利用余弦定理结合基本不等式求解
法三 在 PF1F2 中，由余弦定理得
4c2
m2
n2
2
m n 2
m2
n2
m2 4
n2
3m2 4
m2 , c2
16 3
m c
43 3
x 3时，f (x)有最大值f ( 3) 3 4 3 4 3 . 33
利用正弦定理求解
法五 在 PF1F2 中，
设
PF2 F1
,Q
m
n,
F2 PF1
3
,
(
3பைடு நூலகம்
,
2
3
),
由正弦定理得
m 4c m 4 3 sin 4 3 ，
sin 3 c 3
• 求离心率的本质就是探究 a, c 之间的数量关系，知道 a,b, c 中任意两者间的
等量关系或不等关系便可求解出 e 的值或范围；
• 常用的方法：定义法、方程、不等式法、平面知识、三点共线等
椭圆中的常见最值问题
For personal use only in study and research; not for commercial use椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆192522=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的最大值时，P 点的坐标是 。
P （0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程12222=+by a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。
分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15922=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。
例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则||||1PF PA +的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
||||1PF PA +的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个重要的概念，涉及到椭圆、双曲线等几何图形的性质和参数。
掌握离心率的相关知识和解题技巧，能够有效地解决与离心率有关的各类题型。
以下是关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧。
一、椭圆离心率题型解法技巧1. 椭圆的离心率定义为焦距之差与主轴长度的比值。
在解题过程中，可以利用该定义进行计算。
2. 根据椭圆的性质，离心率的取值范围为0到1之间。
当离心率等于0时，椭圆退化为一个圆；当离心率等于1时，椭圆退化为一个抛物线。
3. 在解题过程中，常常需要利用椭圆的焦点坐标和长轴、短轴长度等已知条件，结合离心率的定义进行求解。
4. 对于已知椭圆方程的离心率题型，可以根据方程中离心率的特点进行推导和变形，从而得到所求的答案。
5. 利用椭圆的离心率特点，可以解决与焦点、直径、坐标轴的关系有关的题目。
比如利用离心率的定义，可以求解椭圆上的点到焦点的距离。
1. 对于已知双曲线方程的离心率题型，可以利用离心率的定义，结合方程中的已知条件进行推导和变形。
常见的已知条件有焦点坐标、直角双曲线的方程等。
2. 双曲线的离心率大于1，可以利用该特点解决相关题目。
4. 在解题过程中，可以利用双曲线的渐近线特点和离心率的性质，解决与渐近线、离心率和焦点坐标有关的问题。
五、需要注意的问题1. 离心率的定义是椭圆、双曲线等几何图形的重要参数，在解题过程中要对其有清晰的概念。
3. 充分利用已知信息，对问题进行分析和推导，可以采取代数方法或几何方法进行求解。
4. 对于复杂或较难的题目，可以根据已知条件进行建立方程，并进行逐步推导和化简，在最后得到所求的答案。
有关坐标对称及最值问题5种题型
坐标对称及最值问题是数学中的常见问题，常常出现在函数、几何、三角函数等领域。
这类问题需要运用对称思想，以及寻找最值的方法。
下面列举了5种常见的题型及相应的解法。
题型一：函数的最值对于函数f(x)，其最值可能出现在最小值(f(x)min)和最大值(f(x)max)上。
对于这类问题，我们通常需要观察函数的对称性，例如，如果函数是关于原点对称的，那么最小值和最大值可能在左右两侧取得。
解法上，我们通常需要利用导数或其他方法来找到函数的极值点，从而确定最值。
题型二：两点之间的距离在两点之间的距离问题中，如果两个点关于某个轴对称，那么它们之间的距离可以通过简单的轴对称距离公式来计算。
解法上，我们通常需要利用轴对称距离公式，以及两点之间的距离公式来求解。
题型三：圆的半径的最值在圆的半径的最值问题中，如果圆关于某条直线对称，那么我们需要找到圆的半径与对称轴的位置关系，从而确定圆的半径的最值。
解法上，我们通常需要利用圆的半径公式，以及对称轴的位置关系来求解。
题型四：三角形的重心坐标在三角形的重心坐标问题中，如果三个顶点关于某条直线对称，那么我们需要找到重心坐标与对称轴的关系，从而确定重心的坐标。
解法上，我们通常需要利用重心的几何性质，以及对称轴的位置关系来求解。
题型五：椭圆的离心率在椭圆的离心率问题中，如果焦点关于某轴对称，那么我们需要找到椭圆的离心率与对称轴的关系，从而确定椭圆的离心率。
解法上，我们通常需要利用椭圆的离心率公式，以及对称轴的位置关系来求解。
总的来说，坐标对称及最值问题的解法主要依赖于对称性和位置关系。
对于不同类型的题目，我们需要灵活运用这些方法来解决问题。
同时，对于不同类型的题目，也需要进行相应的变化和拓展，以适应更复杂的情况。
希望以上信息对您有所帮助。
如果您有任何具体问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题
例1. 已知椭圆的长轴的两端点分别是A、B，若椭圆上有一点P，使得∠APB=120°，求椭圆的离心率e的取值范围。
分析：要求离心率e的取值范围，根据条件建立等式，再根据椭圆上点的坐标的范围建立不等式求解。
解：由题设知
设点，则有
化简得
由椭圆的几何性质知
利用得，
解得
点评：当点P在椭圆上运动时，∠APB的大小也随之变化，且当点P在向短轴端点靠近时，∠APB 逐渐增长，当点P为椭圆短轴端点时，∠APB达到最大。
因此，只要长轴关于短轴端点的张角大于或等于120°，椭圆上就存在一点P，使∠ABP=120°。
练一练：
直线总有公共点，试求m的取值范围。
答案：
例2. 已知椭圆的左焦点为F，椭圆内有一个定点A（4，1），P为椭圆上的任意一点，试求的最大值。
分析：如图2所示，设右焦点为C，式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|，所以可利用椭圆的定义，将转化为，然后应用三角形中两边之和大于第三边这个性质求得最大值。
图2
解：设椭圆的右焦点为C
则
（当点P在线段AC的延长线上时取“=”），所以
=。
说明：由上述求解过程可知，椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的距离之和存在最大值，这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点的距离。
椭圆中的最值问题专项
椭圆中的最值问题专项摘要本文主要介绍椭圆中的最值问题，包括椭圆的定义、性质、最值问题以及求解方法等内容。
本文将从几何和代数两个角度出发，深入浅出地阐述椭圆中的最值问题，为读者解决相关问题提供参考。
引言椭圆是一种经典的基本图形，具有许多独特的性质和应用。
其中，椭圆中的最值问题是经常出现的问题之一，对于许多研究者而言也是一个难点。
因此，讨论椭圆中的最值问题对于理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
椭圆的定义和性质在笛卡尔坐标系中，椭圆可以表示为$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$。
其中，$(h,k)$表示椭圆中心的坐标，$a$和$b$分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆的性质主要有以下几点：- 椭圆在$x$轴和$y$轴上的交点分别称为$foci$。
它们的距离为$2c$，满足$c^2=a^2-b^2$。
- 椭圆的离心率可以表示为$e=\frac{c}{a}$。
当离心率小于$1$时，椭圆为实心椭圆；当离心率等于$1$时，椭圆为抛物线；当离心率大于$1$时，椭圆为双曲线。
- 椭圆的周长可以表示为$C=4aE(e)$，其中$E$为椭圆的第二类完全椭圆积分。
- 椭圆的面积可以表示为$S=\pi ab$。
椭圆中的最值问题在椭圆中，最值问题主要包括最大值和最小值问题。
常见的有以下几种类型：- 给定椭圆方程，求解在椭圆上的最大、最小值；- 给定椭圆上一点，求解在以该点为圆心的圆内的最大、最小值；- 给定椭圆上弦的长度，求解在这条弦上的最大、最小值。
求解方法常见的求解方法包括几何方法和代数方法。
- 几何方法：可以通过椭圆的对称性等几何特点，来求解最值问题。
例如，当椭圆的离心率为$1$，也就是椭圆退化成抛物线时，最值问题可以用焦点和准线的几何意义求解。
- 代数方法：可以通过二次函数的求极值以及拉格朗日乘数法等代数方法，来求解最值问题。
例如，对于给定椭圆方程求解最值问题时，可以先对椭圆方程进行化简，再用导数法求极值。
高考数学离心率的求值或取值范围问题解题模板
考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念.
【方法点评】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，
数中档题.其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线 代入双曲线 方程中即可得出点 的坐标，再由矩形的几何性质可得 ，最后可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.
离心率的求值或取值范围问题解题模版
【高考地位】
圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点，有关离心率的试题，究其原因，一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想，离心率问题综合性较强，灵活多变，能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力，能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容，具有数学的实用性和美学价值，也是以后进一步学习的基础.
因为 为等边三角形，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为在 中， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B
方法四借助题目中给出的不等信息
万能模板
内容
使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立， 的范围等；
第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
【详解】解：因为过 作垂直于 轴的直线与椭圆交于 两点（ 在 轴上方），
所以 为椭圆的一条通径，
所以 ， ， ， ，
因为 ，
所以 ，即： ，
整理得： ，
所以 .
故选：C.
方法三借助平面几何图形中的不等关系
离心率的求值或取值范围问题
离心率的求值或取值范围问题【方法技巧】方法1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式ce a=，求出离心率e . 方法2 方程法解题模板：第一步 设出相关未知量；第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式， 第三步 解不等式，确定离心率的范围.方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等；第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.方法5 借助函数的值域求解范围解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步 通过确定函数的定义域；第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【应用举例】【例题1】若椭圆经过原点，且焦点分别为12(0,1),(0,3)F F ，则其离心率为（ ）A ．34 B ．23 C ．12 D ．14【答案】C 【解析】试题分析：根据椭圆定义，原点到两焦距之和为2a=1＋2，焦距为2c=2，所以离心率为12. 考点：椭圆的定义. 【难度】较易【例题2】点P （-3，1,过点P 且方向为a =（2，-5）的光线经直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点，则此椭圆离心率为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为给定点P （-3，1根据光线的方向为a =（2，-5）y=-2与入射光线的斜率互为相反数可知焦点的坐标为（1，0），因此可知 A 考点：本试题考查了椭圆性质的知识点。
点评：解决该试题的关键是利用椭圆的反射原理得到直线斜率的特点，结合平面反射光线与入射光线的斜率互为相反数，得到c 的值，同时得到a,b,c 的关系式，进而得到结论，属于基础题。
浅谈一道椭圆离心率问题的多种解法
浅谈一道椭圆离心率问题的多种解法椭圆离心率是椭圆的重要参数，应用于航天飞机的运动轨道计算，利用椭圆的离心率可以更直观地分析航天飞机的运动情况，特别是在开展气动模型实验的时候，需要准确的椭圆离心率来作为参数输入，因此，计算出一道椭圆离心率问题的正确答案就显得十分重要。
椭圆离心率问题大致可以分为三类，分别是通用公式、三角函数和矩阵表达式。
这三类解法都可以在数学上解决椭圆离心率问题，但是它们之间的适用场景也有所不同。
因此，要根据具体的应用需求选择合适的求解方法。
首先，从通用公式的角度来看，椭圆离心率是椭圆的短轴和长轴的比值。
通过椭圆的短轴和长轴长度就可以计算出离心率，但是这种方法只适用于给定椭圆上任意点的离心率问题。
其次，从三角函数的角度来看，可以通过正弦定理求解椭圆离心率。
通过计算椭圆上任意点的两个法向量的夹角，并用正弦定理求出夹角的正弦值，即可以得出该点的离心率。
但是，这种方法的精度较低，受误差影响较大。
最后，从矩阵表达式的角度来看，可以使用矩阵来求解椭圆离心率。
矩阵求解法首先把椭圆表示成矩阵形式，然后再计算出离心率。
这种方式可以被认为是最为准确的求解方式，并且可以解决许多复杂的椭圆定位问题。
上述三种椭圆离心率解法都可以在数学上解决椭圆离心率问题，但是它们之间也存在着一定的差异，要根据具体的需求来选择合适的求解方法。
此外，在应用以上解法时，要特别注意精度的把握，为了获得更加准确的结果，有时候需要做多次迭代。
总而言之，椭圆离心率问题可以运用通用公式、三角函数和矩阵表达式等多种数学方法，来求解。
它们有不同的适用范围，在计算结果的精度要求比较高的时候，可以采取多次迭代的办法，提高求解的精确度。
虽然上述解法都可以用来求解椭圆离心率，但是具体要根据应用场景来选择对于的解法，从而以最优的解决方案应对椭圆离心率问题。
除此之外，还可以利用新技术求解椭圆离心率问题，如数值分析技术和逼近技术，以及利用计算机软件进行矩阵计算来求解椭圆离心率问题。
从对椭圆离心率的深入探究复习椭圆的离心率——椭圆离心率取值范围解题策略
，即椭圆的离心率．
其实说椭圆的离心率是“人为规定”也未尝不可，
因为在天文学中把天体运行轨道的离心率也叫作偏
心率，描述的是某一天体椭圆轨道与理想圆形的偏离
程度．天 文 学 家 发 现 太 阳 系 中，行 星 是 围 绕 着 以 太 阳 为焦点的椭圆形轨道运行的，所以行星和太阳之间的 距离不是恒定的，其中离太阳最近的距离为犪－犮，离 太阳最远的距离为犪＋犮，也就是说偏心率就是衡量行 星偏离太阳的程度，所以用犮 表示椭圆的偏心率更符
≥
［ ） １２，所以犲∈ 槡２２，１ ．
３．利用焦半径的取值范围构造不等式
例２ 已知椭圆狓犪２２＋犫狔２２＝
１（犪 ＞犫 ＞０）的左、右焦点分
别为 犉１，犉２，椭 圆 上 存 在 一 点
犘，使得线段犘犉１ 的中垂线经
过焦点犉２，则椭圆离心率犲的
取值范围是
．
图１
解：如图１，因为线段犘犉１ 的中垂线经过焦点犉２， 所以 犘犉２ ＝ 犉１犉２ ＝２犮，即椭圆上存在一点 犘，使 得 犘犉２ ＝２犮．
狓２ ＋狔２ ＝犮２，将其与椭圆方程联立，消去狔，可得狓２ ＝
犪２犮２ 犪２
－犪２犫２ －犫２
，由椭圆
上
点
的
坐
标
的
范
围
可
知，０
≤
狓２
＜犪２，解得犮２
≥犫２，即犮２
≥犪２
－犮２，犲２
犮２ ＝犪２
≥
１，所 ２
［ ） 以犲∈ 槡２２，１ ．
２．利用二次方程判别式构造不等式 以上题为例．
基金项目：本文系２０１８年度甘肃省教育科学“十三五”规划重点课题“基于核心素养下的数学史融入高中 数学教学的实践”（课题编号：ＧＳ［２０１８］ＧＨＢ３８６３）的阶段性成果之一．
(完整版)求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式.一、利用曲线的范围，建立不等关系例1已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围.例2已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为()21,1-.二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2Ｃ．2(0,)2 Ｄ．2[,1)2xy OF 1F 2三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.四、利用函数的值域，建立不等关系例5椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为[]6,5，求椭圆离心率的范围.五、利用均值不等式，建立不等关系.例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2 xy OA BF MC(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0<e<1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围.解析1：令n PF m pF ==21,，则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥2224c n m=+∴ ()22222224a nm n m c=+≥+=∴ 即21222≥=ac e又12210<≤∴<<e e 六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系解析2：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 21b b S PFF =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22121b ⇒≤c 2b ⇒≤2c 22c a -⇒≤2c 222ac e =⇒≥21故22≤e ＜1 七、利用实数性质，建立不等关系解析3：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-⋅+cx y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+by a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥即222c a c-≥，22≥=∴a c e 又1<e 122<≤∴e 八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系解析4：21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上，222c y x P =+∴为圆 与 12222=+by a x 的公共点.由图可知222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2222a c c a <≤-122<≤∴e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系解析4：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <0902245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10<<e 所以若存在一点P 则 122<≤e .。
知识总结椭圆最值问题
专 题:椭 圆 最 值类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
{22} 2. 21F F 、为椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠9021PF F求离心率e 的取值范围。
（思考：将角度改成150） {⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，} 3. 若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
{136<≤e }类型2：一动点两定点最值 ①||1||MF e MP +：最小值为M 到对应准线的距离-----运用第二定义，转点距到线距突破 ②︱MP ︱+︱MF 2︱：最大值2a+︱PF 1︱,最小值2a –︱PF 1︱---运用第一定义，变加为减突破 1. 若椭圆13422=+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的坐标为 （思考：将题中的2去掉会怎样呢？） 26(,1)32. 已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
3 点M 为椭圆1162522=+y x 的上一点，1F 、2F 为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值 （提升：||||||||1||''1AM MM MA MF eMA =+=+ 第二定义）4. 定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上，则13||5||PA PF +的最小值 5. P(-2,3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最值 （提示：||2||||2|||||PF |2a-1121PF a MF MP a MF MP +≤-+=+≤ ( 第一定义法 ） 最大值12，最小值86. P(-2,6),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上，求︱MP ︱+︱MF 2︱最值。
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, ( , ), 3 3 3
2
m 4c m 4 3 4 3 sin ， sin c 3 3 3 当且仅当 时等号成立. 故选 A. 2
规律方法总结
求解离心率最值时常可以借助配方法、基本不 等式、三角换元法、导数法等来解决。
法四 在 PF1F2 中，由余弦定理得
4c 2 m2 n2 m n (m n)2 3mn 2 2 2 2 4 c m n m n ( m n ) mn 2 2 2 则 (1) (2) 3:16c (m n) 3(m n) 1 3 可得 2 2 4 e1 e2
椭圆离心率的求值和最值
福建泉州外国语中学 林贵清
本题是 2016 年全国 III卷理科第 11 题，这是 一道求离心率的值 思路一：可充分运用平 面几何中的三角形相似 知识求解；
思路二：利用斜率相等的知识 解决问题；
思路三：利用三点共线的知识 解决问题；
| F1F2 | 2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1和e2 ,
| PF1 | | PF2 | m n 1 1 mn mn m . ,则 e1 e2 2c 2c c | PF1 | | PF2 | m n
利用余弦定理结合配方法求解
法一 在 PF1F2 中，由余弦定理得
规律方法总结
• 求离心率的本质就是探究 a , c 之间的数量关系，知道 a, b, c 中任意两者间的 等量关系或不等关系便可求解出 e 的值或范围； • 常用的方法：定义法、方程、不等式法、平面知识、三点共线等
这是一道求离心率的最值问题
m n, 解析：设 | PF 1 | m 0,| PF 2 | n 0, 不妨设
1 1 y 1 3 x, y, 则 x2 y 2 4 , x e1 e2 e1 e2 3 y 2 2 z x 可转化为目标函数 与圆 x y 4 有公共点， 3 y 4 3 z x z . 所以圆心（0，0）到直线 的距离不大于半径 2，得到 3 3
柯西不等式法：由柯西不等式得 ( 且仅当 e2 3e1 时成立
(1) (2)
1 3 1 1 1 2 1 1 4 3 )(1 ) ( ) ， ，等号当 2 e12 e2 3 e1 e2 e1 e2 3
利用余弦定理结合线性规划求解
1 1 1 1 2 2 x , y , , x y 线性规划法： 则 x 3y 4 e1 e2 e1 e2
m2 m 3m2 m2 16 m 4 3 2 2 2 4c m n 2 n m n n , 2 , 2 4 c 3 c 3 4 m n 当且仅当 时，等号成立 .故选 A. 2
2 2 2
利用余弦定理结合三角换元求解
法四 在 PF1F2 中，由余弦定理得
2 2 m 3 m 3 m (2c) 2 m 2 n 2 mn (n ) 2 , 2 4 4 m 2 16 m 4 3 2 , c 3 c 3 m 当且仅当 n 时，等号成立 .故选 A. 2
利用余弦定理结合判别式求解
法二 在 PF1F2 中，由余弦定理得 (2c)2 m2 n2 mn
4c 2 m2 n2 m n (m n)2 3mn 2 2 2 2 4c m n m n (m n) mn 2 2 2 则 (1) (2) 3:16c (m n) 3(m n) 1 3 可得 2 2 4 e1 e2
当x (0, 3)时，f ' ( x) 0;当x ( 3, )时，f ' ( x) 0;
x 3时，f ( x)有最大值f ( 3) 3
43 4 3 . 3 3
利用正弦定理求解
法五 在 PF1F2 中， 设 PF2 F1 , 由正弦定理得
m n, F2 PF1
2 2 2 2 2 2 所以关于实数 n 的方程 n mn m 4c 0 有解，从而 m 4(m 4c ) 0
m m2 16 m 4 3 2 , 当且仅当 n 时，等号成立.故选 A. 2 c 3 c 3
利用余弦定理结合基本不等式求解
法三 在 PF1F2 中，由余弦定理得
利用余弦定理结合导数法求解
1 1 4 x2 2 2 导数法：设 x 0, y 0, 则 x 3 y 4 y e1 e2 3
1 1 4 x2 , x y x f ( x) e1 e2 3 x f ' ( x) 1 , 令f ' ( x) 0 x 3 3(4 x2 )
三角换元法：设
(1) (2)
1 3 2cos , 2sin ,0 , 所以 e1 e2 3
1 1 2 4 3 4 3 2cos sin sin( ) ，当 时等号成立. 故选 A. 6 e1 e2 3 3 3 3
利用余弦定理结合柯西不等式求解
2 2 可转化为目标函数 z x y 与椭圆 x 3 y 4 有公共点，
消去 y ，得：
4 x 2 6 zx 3z 2 4 0 36 z 2 16(3 z 2 4) 0 z 4 3 3
由于换元时得到的是椭圆计算会带来麻烦，进而想到是否换元为圆的情形，故得到如 下的解法：设