球与正三棱锥和正三棱柱的切接关系

2R 3 SA , 即 R 3 , S 4R2 36 ,选 C
巩固练习
设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 其外接球大圆的面积为 （ C ）
3 ，则
A. 3
B. 2 3 C. 9
D. 4 3
提示：三棱锥三侧面两两垂直
三侧棱两两垂直
从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切 于A，B，C三点，若球的体积为 4 ， 则OP的距离为（ B ）

3
BOC

2
O C B A
②∵OA=OB=OC=1
AOB、AOC都是边长为1的正三角形
而BOC是等腰直角三角形, AB AC 1 , BC 2
ABC是等腰直角三角形， BAC
O A O B A
O C C

2
, ABC的 BC 2 2 2
外接圆圆心是 BC 中点，外接圆半径 r
易知，该三棱锥三个侧面均为RtΔ，所以，其侧面积为
1 1 S (ab bc ca) (a 2 b 2 c 2 ) 2 2 2
说明： a 2 b 2 2ab , b 2 c 2 2bc , c 2 a 2 2ca 三式相加得： ab bc ca a 2 b 2 c 2 ,
1 2 球心 O 到截面ABC的距离 d R 2 r 2 1 2 2
③ 设球的内接正方体棱长为a，则
B B
2 3 3 a 2R 2 , a 3
2
C
S正
2 3 2 ： S球 6 a : 4 R 6 ( ) :4 2 : 3
2
A
有人抄错题了，把
设过对角线O1O7的对角面与球O1、O7分别交于M、N，如图。则所求为：
d MN O1O7 O1M O7 N 3 1
已知体积为 3 的正三棱锥的外接球的球心为Ｏ，满 16 足 OA OB OC 0 ,则三棱锥外接球的体积为＿＿＿＿． 3
代入正三棱锥内切球半径公式：
a 3 3 r a 得： 6 3 3
又 正三棱锥外接球半径
r
3 bh 6h 3 b
R
3 a 2
D

r 3 3 3 3 3 2 3 1 R 6 2 6 3 3
题目：
已知三棱锥P—ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
PA PB 0
（ 2）
球与正三棱锥
正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上 P P A

P H OB M
球心在高PH的延 长线上，即在锥 体外部
A
O
H
C
A
O H
C
C D
B
M
D
B
M
D
球心在高PH上， 即在锥体内部
球心与底面正Δ中心H重合
度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h， 外接圆半径为R， 3 2 2 a 2 ( b) 2 h 2 PA PH PM , 即 a h 2R 3 3 2 2 2 2 AH HO AO , 即 （ b) ( h R ) 2 R 2 或在RtΔAHO中， 3
3 3 2R ， R 3 2
4 4 3 3 3 V球 R 3 （ ） 3 3 2 2
法二 由AH>PH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtΔAHO,有：
( 6 2 3 3 ) (R )2 BC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三 棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ( D )
AOB AOC

2
, BOC

3
O B A O C A O
②∵OA=OB=OC=1
在ABC中，易求 cos B
AB AC 2 , BC 1
, sin B 14 4
AC 2 由正弦定理， 2r , r sinB 7
Rt PHD ∽ Rt PKO

PD HD PO KO

6 b h 3 hr r
OK HD 或 sin P OP PD

3 b r 6 hr h
3 bh r 6h 3 b
把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。
题目：
正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为 2 ，它 的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ A ）

2
和

3
交换了一下，那么，答案还一样吗？
A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离是 点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。 2
解：①∵球面距离

3
，
求：① ∠AOB，∠BOC的大小；② 球心到截面ABC的距离； ③ 球的内接正方体的表面积与球面积之比．
r
2 4
PB PC 0
PC PA 0
（ A ）
则三棱锥的侧面积的最大值为
A.
解析：
2
B. 1
C.
1 2
D.
1 4
PA PB 0 PA PB
同理，PB⊥PC, PC⊥PA , 即PA、PB、PC两两互相垂直
PA2 PB2 PC 2 (2R) 2 4
设 PA a , PB b , PC c ,
3
A.
2
B.
3 C.
1 2
D. 2
P P C O B
解析：先想象一下图形，画出示意图 A 因PA与球O相切于点A， ∴OA⊥PA,同理，OB⊥PB,OC⊥PC. ∴RtΔ POA≌RtΔPOB≌RtΔPOC ∴PA=PB=PC 又∠APB=∠BPC=∠CPA=60°∴Δ PAB、Δ PBC、Δ PCA、Δ ABC为全等的 等边三角形，∴P---ABC为正四面体；O---ABC为正三棱锥。
正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）
P
P
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，
A
O H
K D
K C O H D
高为h，斜高为h ́，内切圆半径为r，
B
3 2 b) h 2 3 3 2 h2 ( b) h 2 6 a2 (
有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在筝形OKDH 中进行。 OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P---BC---A的平面角。
设正三棱柱侧棱长为 l（即为其高h ) , 底面正边长为a , 正三棱柱内切球半径为 r ,则 : h l 2r a 2 3 r
真题赏析
（2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱 ABC A1B1C1 的各顶点都在同一球 面上，若 AB AC AA1 2 , BAC 120 ，则此球的表面积 等于 。 解:在 ABC 中, AB AC 2 , BAC 120
在RtAOM中 ， OA R , AM r
A1 B1
C1
3 1 a ， OM d h ， r 2 d 2 R 2 3 2
ΔAOB是等腰三角形，OA=OB=R 正三棱柱的内切球
如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中 点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底 面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。
作业： 棱长为a的正方体外接球的表面积为（
B
）
A. 4 a2
B. 3 a 2 C. 2 a 2
D. a 2
一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后， 正中央空间能放下的最大的球的直径为
3 1
解析： 八个球的球心连线构成一个立方体，且其棱长为1. O7 O7 N O1 M O1
A. 1: 3 B. 1: (3 3) C. ( 3 1) : 3 D. ( 3 1) : 3
P
解析： 设正三棱锥侧棱长为a ，底面边长为b ，∵三侧棱两 两垂直，∴各侧面都是全等的等腰直角三角形。
b 2 a
斜高 h
A
O
K D
C
H
B P K O H
2 3 6 3 a , 高 h a 2 ( b) 2 a 2 a 2 a 2 3 9 3
提示：
由已知得：球心O为正三棱锥底面ΔABC的中心。如图，则 有ΔPAM为等腰直角三角形，O为斜边PM中点。
2 3 3 R h AO a a 3 2 3
P
A
O B D
C
设底面正Δ边长为a，侧棱长为b，则
b 2 R 6 a 3
M
1 1 3 2 3 1 3 3 3 由 V锥 Sh a a a 3 3 得： a 3 12 3 R 3 a 12 3 4 3 3 4 3 12 9 9

A
C H B 0
6 3 a2 1 a2 a2 , a2 2 , a 2 , x 3 4 2
§4 球与棱柱切接问题举例
正三棱柱的外接球
A
M
O B
C
球心在上下底面中心连线的中点。 设球半径为R，球心到底面ABC的距离 为d，ΔABC的外接圆半径为r.设正三 棱柱高AA1=h，底面边长为a。
如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且
AB AC 6, AD 2
，
则AD两点间的球面距离
.
提示： 4R2 AB2 AC2 AD2 16 R 2 ∴Δ AOD为等边三角形. 2 即 AOD l R 3 3
题目： 在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱