天津市河西区2019-2020学年高三上学期期中数学试题

绝密★启用前天津市河西区2019-2020学年高三上学期期中数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 2．设全集2{|23}U x Z x x =∈≤+，集合{0,1,2}A =，则U C A =（ ）A ．{0,3}B ．{}1,0-C ．{1,3}-D ．{1,0,3}- 3．函数()tan 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小周期为（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π4．已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，||BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．-3B ．-2C ．2D ．35．对于函数(),y f x x R =∈,“()y f x =的图象关于轴对称”是“=()f x 是奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．27．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c << D ．a b c >>8．若实数,a b 满足12ab a b +=，则ab 的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．49．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=->，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷（非选择题)二、填空题10．命题“2000,12x R x x ∃∈+<”的否定是_______.11．在ABC ∆中，若2,2,a b b c ==则三个内角中最大角的余弦值为______.12．设函数22,0,()log (),0.x a a x f x x a x ⎧≥=⎨+<⎩若(2)4f =，则(2)f -=__________． 13．在梯形中，，，，，，若，则的值为_______．14．已知实数0a >，0b >，且111a b +=，则3211a b +--的最小值为___________. 15．已知函数()22212,204821,2,0x x x f x x xx x x x ⎧++-<<⎪=+⎨⎪+-≤-≥⎩，若函数()()1g x a f x =+有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题16．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.17．已知函数()cos(2)2sin cos (0)6f x x x x πωωωω=-+>的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的函数解析式为()g x ，求()g x 的单调递增区间.18．已知函数()f x =22,x ax a R ++∈.（1）若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2，求不等式()21f x x ≥-的解集；（2）若对于任意的[]1,1x ∈-，不等式()()214f x a x ≤-+恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有解，求实数a 的取值范围.19．在公差不为零的等差数列{}n a 中，12a =，且124,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}2n a 的前n 项和n S ，求n S ； （3）求()21111221n k k kk a a ++=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的值. 20．已知函数()ln 1a f x x x =--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围；（2）求()f x 的单调区间；（3）设函数()ln x a g x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值.参考答案1．B【解析】【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选：B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．C【解析】【分析】求出全集U 后可得U C A .【详解】{}2{|23}1,0,1,2,3U x Z x x =∈≤+=-，所以{}1,3U C A =-，选C.【点睛】本题考查集合的补运算，是基础题，解题时注意集合中元素的属性.3．C【解析】【分析】由题意利用正切函数的最小正周期公式即可求得函数的最小正周期.【详解】 由最小正周期公式可得函数的最小正周期为：212T ππ==.故选：C .【点睛】本题主要考查正切函数的最小正周期公式，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u r g g ．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．5．B【解析】【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B 正确.6．C【解析】【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ． 【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。

7．B【解析】【分析】根据题意，由f （﹣x ）＝f （x ）可得f （x ）为偶函数，结合函数的单调性可得f （x ）在（0，+∞）上递减，进而又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log 23，分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数y ＝f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）为偶函数，又由函数y ＝f （x ）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f （x ）在（0，+∞）上递减，a ＝f （12log 3）＝f （log 23），b ＝f （2﹣1.2），c ＝f （12）＝f （2﹣1）， 又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log 23， 则b ＞c ＞a ，故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题． 8．C【解析】121200a b ab a b a b +=∴=+≥=∴≥Q Q ＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为 C.考点：基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．9．D【解析】【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间．【详解】f （x ）=2sin （ωx ﹣3π）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx﹣3π）=﹣1得ωx﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx﹣3π=76π+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A ＜π≤x B ， 即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选：B ．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．10．0020,12x R x x ∀∈+≥【解析】【分析】利用特称命题的否定方法对所给的命题进行否定即可.【详解】分别否定量词和结论可得命题“2000,12x R x x ∃∈+<”的否定是：0020,12x R x x ∀∈+≥. 故答案为：0020,12x R x x ∀∈+≥．【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题.11．2- 【解析】 【分析】 由题意首先利用比例关系设出边长，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值即可. 【详解】 由题意不妨设：(),2,20c m b m a m m ===>，利用大边对大角可知∠A 为△ABC 中最大的角，由余弦定理可得：2222222cos 2422b c a A bc m m+-===-⨯⨯. 故答案为：24-． 【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，大边对大角结论的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．3【解析】由函数解析式，可得()24,f =即24,2a a =∴= ，则()()2222log 24log 8 3.f ⎡⎤-=-+==⎣⎦即答案为3.13．7【解析】【分析】用表示出各向量，根据3，计算，再计算的值．【详解】∵AB∥CD，AB ＝4，CD ＝2，∴， ∵，∴，∴， ∴（）•（）3，即93，∴4． 又， ∴•（）9﹣2＝7． 故答案为：7．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理的应用，考查了数量积的运算性质的应用，属于中档题． 14．26【解析】【分析】根据题干得到()()111ab a b a b =+⇒--=，则3211a b +-- ()()325325a-11b a b a b +-==+--，再根据均值不等式得到最值即可. 【详解】 根据题意得到111a b+=，变形为()()111ab a b a b =+⇒--=， 则3211a b +-- ()()325325a-11b a b a b +-==+-- 因为111a b +=，故得到()113232325526b a b a b a a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当32b a a b=时等号成立. 故3211a b +-- 6.≥故答案为：.【点睛】本题考查了在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15．41,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由题意首先研究函数()y f x =的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围.【详解】当10x -<<时，函数()22t x x x =+在区间()1,0-上单调递增， 很明显()()1,0t x ∈-，且存在唯一的实数1x 满足()112t x =-， 当10t -≤<时，由对勾函数的性质可知函数14y t t =+在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， 结合复合函数的单调性可知函数221248y x x x x=+++在区间()11,x -上单调递减，在区间()1,0x 上单调递增，且当1x x =时，2212148y x x x x =++=+， 考查函数221y x x =+-在区间()0,∞+上的性质，由二次函数的性质可知函数221y x x =+-在区间()1上单调递减，在区间)1,+∞上单调递增， 函数()()1g x a f x =+有6个零点，即方程()10a f x +=有6个根，也就是1|()|f x a =-有6个根，即|()|y f x =与1=-y a有6个不同交点， 注意到函数22y x x =+关于直线1x =-对称，则函数|()|y f x =关于直线1x =-对称，绘制函数|()|y f x =的图像如图所示，观察可得：1514a ≤-<，即415a -≤<-. 综上可得，实数a 的取值范围是41,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 故答案为：41,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．（Ⅰ）5（Ⅱ）25 【解析】 试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a b A B=，得2a b =. 由)2225ac a b c =--，及余弦定理，得222555cos 2b c a A bc ac +-===.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==.由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos 5B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==， 23cos212sin 5B B =-=，故()43sin 2sin2cos cos2sin 55555B A B A B A ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.17．（1）1ω=，,62k x k Z ππ=+∈；（2）()2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】(1)首先将函数的解析式整理为()()sin f x A x =+ωϕ的形式，然后利用最小正周期公式求得ω的值，最后由函数的解析式求解其对称轴方程即可；(2)结合(1)中的解析式首先求得函数()g x 的解析式，然后求解其单调递增区间即可.【详解】（1）()cos(2)2sin cos 6f x x x x πωωω=-+cos 2cos sin 2sin sin 266x x x ππωωω=++32sin 22x x ωω=+)6x πω=+， ∵函数的最小正周期为π ，∴22ππω=，1ω=，()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对称轴方程2,6262k x k x πππππ+=+=+，k Z ∈（2）5())36g x f x x ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 单调递增区间：5222262k x k πππππ-+≤+≤+ 解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，k Z ∈ 所以()g x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 本题主要考查三角函数对称轴的求解三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．（1）{|1x x ≥或1}2x ≤；（2）1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；（3）{}|01a a ≤<.【解析】【分析】(1)由题意首先求得a 的值，然后求解二次不等式即可得到不等式的解集；(2)首先将原问题转化为二次函数求最值的问题，然后结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，求解不等式组即可求得实数a 的取值范围；(3)首先整理所给的方程，分离参数得到关于1x的二次函数，结合二次函数的值域即可确定实数a 的取值范围.【详解】 （1）由220x ax ++≤的解集是[]12，，可得220x ax ++=有2个不等的实根1和2， 由韦达定理1212b x x a a +=-=-=+，可得3a =- 此时()21f x x ≥-等价于22321x x x -+≥-，即22310x x -+≥，解得1x ≥或12x ≤所以不等式()21f x x ≥-的解集是{|1x x ≥或1}2x ≤；（2）对于任意的[]1,1x ∈-，不等式()()214f x a x ≤-+恒成立，也即2220x ax a -+-≤ 对任意的[]1,1x ∈-恒成立，因为222y x ax a =-+-二次函数开口向上，最大值在1x =或1x =-处取得， 所以只需满足12201220a a a a -+-≤⎧⎨++-≤⎩，解得：113a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，据此可得13a ≤； 综上可得，实数a 的取值范围是：1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. （3）若方程()()f x g x =在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有解， 可得到()21210a x x -+-=在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有实数根. 参数分离得21211,,32a x x x ⎛⎤-=-∈ ⎥⎝⎦，则11,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 结合二次函数的性质可得[)2121,0x x-∈-， 所以[)11,0a -∈-，也即01a ≤<.综上可得，实数a 的取值范围是：{}|01a a ≤<.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 19．（1）2n a n =；（2）14433n n S +=-；（3）1122n ++. 【解析】【分析】(1)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列的首项即可确定数列的通项公式；(2)由题意首先确定数列的通项公式，然后利用等比数列前n 项和公式即可求得n S ；(3)由题意结合(1)中的通项公式裂项求和即可求得()21111221n k k k k a a ++=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的值.【详解】（1）由124,,a a a 成等比数列，可得2214a a a =()222(23)d d +=⨯+，解得2d =或0d =(舍)2(1)22n a n n =+-⨯=.（2）2224n a n n== ，利用等比数列前n 项和公式可得： 141-4)441-433n n n S +==-（； （3）111(1)1n n b n n +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭, 所以211111111111(1)()()12233445212222n T n n n +⎛⎫⎛⎫=+-+++-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 即()211112211122n k k k k a a n ++=+⎛⎫-+= ⎪⎝+⎭+∑. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等比数列前n 项和公式，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．(1) (),0-∞.(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为20x x a ++=存在大于0的实数根，根据2y x x a=++在0x >时递增，求出a 的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可； （3）求出函数()g x ，根据()0a f e e=->，得到存在0(1,)x e ∈，满足00()g x '=，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.试题解析：（1）由()ln 1a f x x x =--得()221'(0)a x a f x x x x x+=+=>. 由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围(),0-∞.（2）由()2',0,x a f x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+；当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <，所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x a g x x +=及题设得()()()()22ln 1'ln ln a x f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增，所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a a f e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上的情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞()'g x － 0 +()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.这样看来，一般来说，生活中，若如果我们听到坏消息怎么样出现了，我们就不得不考虑它出现了的事实。