快速傅里叶变换试题
dsp试题及答案
dsp试题及答案一、选择题1. 数字信号处理（DSP）中，离散傅里叶变换（DFT）的基本周期是：A. 1B. 2πC. ND. 2N答案：C2. 在DSP中，快速傅里叶变换（FFT）的主要优点是：A. 提高了计算精度B. 减少了计算量C. 增加了数据的实时性D. 增强了信号的稳定性答案：B3. 下列哪个不是数字滤波器的设计方法？A. 窗函数法B. 脉冲响应不变法C. 频率采样法D. 相位锁定环法答案：D二、填空题4. 数字信号处理中，_______是一种将模拟信号转换为数字信号的过程。
答案：采样5. 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）的频率范围是_______。
答案：[0, π]6. 一个数字滤波器的频率响应函数H(z)可以用来描述滤波器对不同频率信号的_______。
答案：响应三、简答题7. 简述数字信号处理中的频域分析方法的主要特点。
答案：频域分析方法通过将时域信号转换到频域，利用频域的特性来分析和处理信号。
主要特点包括：能够直观地观察信号的频率成分；便于进行信号的滤波和调制；可以简化某些数学运算。
8. 解释什么是数字信号处理中的过采样，并说明其在实际应用中的优势。
答案：过采样是指采样频率远高于信号最高频率的两倍。
在实际应用中，过采样可以提高信号的分辨率，降低噪声的影响，并且有助于信号的重建和处理。
四、计算题9. 给定一个离散时间信号x[n] = {1, 2, 3, 4}，计算其离散傅里叶变换（DFT）的前四个值。
答案：根据DFT的定义，x[n]的DFT X[k]为：X[0] = 1 + 2 + 3 + 4X[1] = 1 - 2 + 3 - 4X[2] = 1 + 2 - 3 - 4X[3] = 1 - 2 - 3 + 410. 已知一个低通滤波器的冲激响应h[n] = {1, 1/2, 1/4}，计算其频率响应H(ω)。
答案：根据傅里叶变换的定义，H(ω)可以通过h[n]的傅里叶变换得到。
傅里叶变换习题
n 1 N
设
N (t ) f (t ) sN (t )
N (t ) [ f (t ) a0 ( a1n cos n 0t b1n sin n 0t )]2
2 n 1 N
0
T
i1 (t )
T
v 2 (t )
i1 (t ) i1 (t )
2 bn T
1
a0 0, an 0
0
i (t ) sin n
0
tdt
T
2 [1 cos( 2n )] n T
2 ( sin n 0 tdt sin n 0 tdt) T 0
注意在要求均方误差En的过程中
f (t ) a0 (a n cos n0 t bn sin n0 t )
其中an,bn分别用p89(3-3）,（3-4）表达 均方误差En为
En 1 T
N N 1 2 2 2 f 2 (t ) a 0 (a1n b1n ) (a1n an b1n bn ) 2 n1 n 1
例六：P168.3-27
1 f 1 (t ). f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( ) 2
2 T f (t ) E sin t[u(t ) u(t )] T 2
2 2 2 T f (t ) ( ) E sin t[u(t ) u(t )] T T 2
第三章 习题课 一.本章要点 1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离 散谱. 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱. 3.理解信号的时域与频域间的关系. 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换. 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理.
快速傅里叶变换例题讲解
快速傅里叶变换过程
合并结果
最后，我们将所有子问题的结果合并起来，得到整个信号的傅里叶变换
3
计算结果
计算结果
通过快速傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱。在这个例子中，我们得到的频谱是 从频谱中可以看出，信号中存在频率为0Hz(直流分量)，1Hz、2Hz、3Hz和4Hz的成分以及
5Hz、6Hz、7Hz和8Hz的成分。这些成分的幅度分别为4、0、-2、-2、0、0、2和2
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快速傅里叶变换过程
蝶形运算
快速傅里叶变换过程
对于每个长度为N的子信号，我 们可以进行一系列的蝶形运算来 计算其傅里叶变换。蝶形运算是 一种高效计算复数乘积的方法， 它利用了复数的对称性和周期性
快速傅里叶变换过程
迭代计算
通过重复上述步骤，我们可以计算出整个 信号的傅里叶变换。这个过程是迭代的， 每次迭代都会将问题分解为更小的子问题
下面我们通过一个简单的例子来讲解快速傅里叶变换
1
问题描述
问题描述
考虑一个由8个采样点组成的离散时间信号，我们希望通过快速傅里叶 变换来分析这个信号的频谱
假设我们的采样时间为T，并且采样频率为f=1/T。采样点如下
x
[
n] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } 我们的目标是计算这个信号的频谱，也就是信号中每个频率成分的强度。
快速傅里叶变换 例题讲解
-
问题描述
目录
计算结果
快速傅里叶变换例题讲解
傅里叶变换(Fourier Transform，FT)是数学和工程学中用于将一个信号从时域转换到频 域的一种方法。傅里叶变换的计算成本非常高，因为它需要计算信号中每个点的复数指 数。快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)是一种高效计算傅里叶变换的算法， 它比直接的傅里叶变换计算方法快很多
快速傅里叶变换(FFT)试题
第一章快速傅里叶变换（FFT ）4.1 填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。
解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。
解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解：N NL N mF2log 22==；N N NL aF 2log ==4.2 选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。
A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。
课后习题及答案第4章快速傅里叶变换习题答案.pdf
和共轭反对称分量， 即
F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k) 计算一次 N 点 IFFT 得到
f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］ 由 DFT 的共轭对称性可知
Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)
X (k + N ) = X1(k) −W2kN X 2 (k)
k = 0,1,L, N −1
由上式可解出
X1(k)
=
1 2
[
X
(k)
+
X
(k
+
N )]
X
2
(k)
=
1 2
[X
(k)
+
X
(k
+
N
)]W2−Nk
k = 0,1, 2,L, N −1
由以上分析可得出运算过程如下：
（1）由 X(k)计算出 X1(k)和 X2(k):
Xk=conj(Xk)；
%对 Xk 取复共轭
xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算 IFFT
分别对单位脉冲序列、 长度为 8 的矩形序列和三角序列进行 FFT， 并调
用函数 ifft46 计算 IFFT 变换， 验证函数 ifft46 的程序 ex406.m 如下：
%程序 ex406.m
Tc = 2TF +1024 次复数乘计算时间 = 2 × 0.1536×10−3 +10×10−9 ×1024
= 0.317 44 ms 可实时处理的信号最高频率 fmax 为
快速傅里叶变换 数字信号习题4概要
对于说法(2, zk ak , 则无法通过选择合适的A0和W0，使之成为z平面上一段螺线作等分角后的一组抽样点。
因此不能用CZT算法来计算各zk点的z变换H ( zk 。
所以说法(1是正确的
13. 我们希望利用一个单位抽样响应点数N = 50 的有限冲激响应滤波器来过滤一串很长的数据。
要求利用重叠保留法通过快速傅里叶变换来实现这种滤波器，为了做到这一点，则：（1）输入各段必须重叠P个抽样点；（2）我们必须从每一段产生的输出中取出Q个抽样点，使这些从每一段得到的抽样连接在一起时，得到的序列就是所要求的滤波输出。
假设输入的各段长度为100个抽样点，而离散傅里叶变换的长度为128点。
进一步假设，圆周卷积的输出序列标号是从 n = 0到 n = 127，则（a）求P；（b）求Q；（c）求取出来的Q个点的起点和终点的标号，即确定从圆周卷积的128点中要取出哪些点，去和前一段的点衔接起来。
解： a）由于用重叠保留法，如果冲激响应 h n 的点数为（ N点，则圆周卷积结果的前面的 N 1个点不代表线性卷积结果，故每段重叠点数P为 P
N 1 50 1 49 （b）每段点数为27 128，但其中只有100个点是有效输入数据，其余28个点为补充的零值点。
因而各段不重叠而又有效的点数Q为 Q 100 P 100 49 51 （c）每段128个数据点中，取出来的Q个点的序号从 n 49 到 n 99。
用这些点和前后段取出的相应点连接起来，即可得到原来的长输入序列。
另外，对于第一段数据没有前一段，故在数据之前必须加上 P N 1 49 个零值点，以免丢失数据。
傅里叶变换例题和计算过程
傅里叶变换例题和计算过程傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，用来分析信号的频谱特性。
下面是一个傅里叶变换的例题和计算过程。
假设有一个离散的时域信号x(t)，其采样频率为Fs，长度为N。
我们希望将该信号转换为频域信号X(f)，其中f为频率。
傅里叶变换的计算公式如下：X(f) = Σ x[n] * exp(-j*2π*n*f/Fs)其中，n为时域信号的时间序列，X(f)为频域信号的幅度。
举一个简单的例子来说明：假设有一个时域信号x(t)，其采样频率为10Hz，长度为8，时间序列如下：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。
我们可以按照上述公式进行计算：X(0) = 1*exp(-j*2π*0*1/10) + 2*exp(-j*2π*1*1/10) + ... +8*exp(-j*2π*7*1/10)X(1) = 1*exp(-j*2π*0*1/10) + 2*exp(-j*2π*1*1/10) + ... +8*exp(-j*2π*7*1/10)...X(9) = 1*exp(-j*2π*0*9/10) + 2*exp(-j*2π*1*9/10) + ... +8*exp(-j*2π*7*9/10)通过以上计算，我们可以得到频域信号X(f)，其中f的取值为0到9。
这个例子中的计算是一个离散的傅里叶变换过程，实际应用中也可以进行连续傅里叶变换，具体的计算方法和公式会有所不同。
傅里叶变换的结果可以用来表示信号的频谱特性，可以分析信号的频率组成和幅度分布等信息。
对于时间序列信号，傅里叶变换可以将其转换为频谱图，直观地显示信号的频率分布情况。
傅里叶变换练习题
2.13.已知周期信号f(t)=COS<yt：1+ cos(^t)>则其复博里叶系数F产・4 rco6.巳知借号/(J如图所示.则葛薄里叶变换为⑷e Gt) (B) e < (t) (C) e'11(7)(D)「t (t>1.频谱函数F(j )=1的傅立叶逆变换f(t)等于()j 1A、；(-t) B > e t (t) C 、-e' ；(-t) D > e u (t) 1&1频谱函数F(j"j .1的傅立叶逆变换f(t)等于(、-e」(-t))D 、e」；(t)A、- d ；(_t) B 、e t (t)C19、复数1 j用极坐标形式表示为( )A 2e j90B 、•. 2e j45C、、2e" D 、2e-j90 14、下列那个不是周期信号的频谱特点( )A、齐次性 B 、离散性C、谐波性 D 、收敛性_____ 10.频谱函数F(j«)=—L-的傅里叶逆变换茫仕)等子A.ySt(^) + 扌曲号)何7B”曲芋八壬弘倚)5.已知倍号/( J 的傅里叶变换尸(衍)二矶如- %人则/仃)为7-信号和分别如图和图所示，已知皿("]■ F t (ja)用川*)的傅里叶变換为I 1t 齐⑴4. 39.1j..具有（ ）5. 47•某信号的频谱密度函数为 F(j 巧=[%国+2兀)—名® -2兀)]e -13?则f(t)=()QO7.98. f(t) = v ：(t -2n)周期信号的傅立叶变换为(cO oO oO cOA .二 7 '（ - n 二）B°2 二' 、.（• —n 二）C o 二' 、•（ • — 2 n 二） D 。
0.5 二' _ n二）3.A. 微分特性B 。
积分特性C 。
延时特性D 。
因果特性A . Sa[2二（t _3）]B 。
傅里叶变换练习题
2.B 、 2e j 45C 、 2e - j 45D 、2e - j 901.频谱函数F ( j ) = 1 的傅立叶逆变换 f (t )等于( j +1的傅立叶逆变换 f (t )等于() 18、19、 频谱函数F ( j ) = 1 j +1A 、- e (-t )B 、e t (t )C 、-e -t(-t ) D 、e -t(t )复数 1 + j 用极坐标形式表示为( 14、 下列那个不是周期信号的频谱特点(A 、齐次性B 、离散性)C 、谐波性D 、收敛性A 、- e (-t )B 、e t (t )C 、-e -t (-t ) D 、e -t(t )A 、2e j 90n =-n =-n =-n =-A ．微分特性B 。
积分特性C 。
延时特性D 。
因果特性5. 47．某信号的频谱密度函数为F ( j) = [(+ 2) -(- 2)]e- j 3,则 f (t ) =( )D 。
2 Sa (2t )6.52．已知信号 f (t )的傅氏变换为F ( j),则 f (3- t )的傅氏变换为(7.98． f (t ) =(t - 2n )周期信号的傅立叶变换为()n =-A ．(- n ) B 。
2 (- n ) C 。
(- 2n )3. 4. 39． 1j 具有( )A ．Sa [2(t -3)] B 。
2Sa [2(t -3)] C ． Sa (2t )A ．2F (- j 2)e j 3B 。
2F (- j 2)e -j 3C ．2F (- j 2)e j 6D 。
2F (- j 2)e -j 6D 。
0.5(-n )8. 3。
符号函数sgn(2t - 4)的频谱函数F(jω)= 。
六、有一幅度为 1，脉冲宽度为 2ms 的周期矩形脉冲，其周期为 8ms，如图所示, 求频谱并画出频谱图频谱图。
(10 分)六、有一幅度为 1，脉冲宽度为 2ms 的方波，其周期为 4ms，如图所示,求频谱并画出频谱图。
习题四 快速傅里叶变换概要
习题四 快速傅里叶变换运算需要多少时间。
计算需要多少时间，用，问直拉点的，用它来计算每次复加速度为平均每次复乘需如果一台通用计算机的FFT DFT[x(n)]512s 5 s 50.1μμ点今需要从值的点实序列是两个已知IFFT N X DFT n y n x N k Y k X ,)(),()(),(.2 .3N 基.4N ,).5.6MN b M N a N z X DFT N >≤∙∙∙ )(; )(:)(,.7之个抽样的方法，并证明的就能计算点找出用一个实现过程示意图。
的路径及画出平面路径为。
已知的复频谱点法求其前面试用其他点序列已知一个CZT z A z z X CZT n x k k ; 20/2 ,2.1W ,3/ ,8.0)( 10 n,07n 0 ,1)( 8.80000πφπθ====⎩⎨⎧≤≤={}时的抽样。
为实数在变换不能计算即线性调频两者都不行两者都行和为实数为实数使变换的的实轴上各点平面在点有限长序列计算一个可以用来变换线性调频的结论在下列说法中选择正确z H(z)z ,(b)(b)(a) (c)0a ,a 1,-N ,1,0,k ,z (b)1a ,a 1,-N ,1, 0,k ,)(:),( )()(..9k ≠==±≠==∙∙∙∙∙∙ak a z a z H z z z z n h M CZT z k k k10. 当实现按时间抽取快速傅立叶变换算法时，基本的蝶形计算)()()()()()(11q X W p X q X q X W p X p X m rN m m m rN m m -=+=++利用定点算术运算实现该蝶形计算时，通常假设所有数字都已按一定比例因子化为小于1。
因此在蝶形计算的过程中还必须关心溢出问题。
(a) 证明如果我们要求2/1|)(|2/1|)(|<<q X p Xm m和则在蝶形计算中不可能出现溢出，即1)](Im[,1)](Re[1)](Im[, 1)](Re[1111<<<<++++q X q X p X p X m m m m2/1|)](Im[| 2/1|)](Re[| 2/1|)](Im[| 2/1|)](Re[| <<<<q X q X p X p X b m m m m ，，实际上要求）（似乎更容易些，也更适合些。
快速傅里叶变换(FFT)试题
第一章快速傅里叶变换（FFT ）4.1 填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。
解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。
解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解：N NL N mF 2log 22==；N N NL aF 2log ==4.2 选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。
A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。
傅里叶变换练习题
证：因为 、 在 上可积， ， ，
设 ，
，
由系数公式得
．
当 时，
．
于是由贝塞尔等式得
．
总练习题15
1试求三角多项式
的傅里叶级数展开式．
解：因为 是以 为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，
由系数公式得
，
当 时，
，
，
故在 ， 的傅里叶级数就是其本身．
2设 为 上可积函数， 为 的
傅里叶系数，试证明，当 时，
推论1设 在 上可积，则
, ．
推论2设 在 上可积，则
，
．
定理2设以 为周期的函数 在 上可积，则
，
此称为 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．
二、收敛性定理的证明
定理3 (收敛性定理)设以 为周期的函数 在 上按段光滑，则
，
定理4如果 在 上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则
．
定理5如果 在 按段单调，则
．
由贝塞尔等式得 ，
故 ．
(3)取 ，由§1习题1 (2)得
．
由贝塞尔等式得 ，
故 ．
4证明：若 均为 上可积函数，且他们的傅里叶级数在 上分别一致收敛于 和 ，则
．
其中 为 的傅里叶系数， 为 的傅里叶系数．
证：由题设知 ，
．
于是
而
，
，
所以 ．
5证明若 及其导函数 均在 上可积, ,
，且成立贝塞尔等式，则
由系数公式得
．
当 时，
所以
， 为所求．
2设 是以 为周期的可积函数，证明对任何实数 ，有
，
．
证：因为 ， ， 都是以 为周期的可积函数，所以令 有
傅里叶变换习题共52页文档
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
傅里叶变换练习题
证：就函数系 ，
因为 ， ，
，
又 ；
， 时，
．
所以 在 上是正交系．
就函数系 ，
因为 ，
，
又 ， 时，
．
所以 在 上是正交系．
但 不是 上的正交系．
实因： ．
7求下列函数的傅里叶级数展开式
(1) ；
解： 作周期延拓的图象如下．
解：因为 满足条件 ，
所以 ，即 是以 为周期的函数．
于是由系数公式得
．
当 时，
．
，
故当 时，函数 在 内的傅里叶级数的特性是 ， ．
5设函数 满足条件： ，问此函数在 内的傅里叶级数具有什么特性．
解：因为 满足条件 ，
所以 ，即 是以 为周期的函数．于是由系数公式得
．
当 时，
．
，
故当 时，函数 在 内的傅里叶级数的特性是 ， ．
由系数公式得
，
当 时，
．
所以 ．
§15. 3收敛定理的证明
一 基本内容
一、贝塞尔 不等式
定理1设 在 上可积，则
,
其中 为 的傅里叶系数．
推论1设 在 上可积，则
, ．
推论2设 在 上可积，则
，
．
定理2设以 为周期的函数 在 上可积，则
，
此称为 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．
二、收敛性定理的证明
．
从而
．
同理可得
．
3把函数 展开成傅里叶级数，并由它推出(1) ；
(2) ；
(3) ．
解：函数 ， 作周期延拓的图象如下．
傅里叶变换积分证明题
傅里叶变换积分证明题
【原创实用版】
目录
1.傅里叶变换的概念与意义
2.傅里叶变换的积分证明
3.傅里叶变换的应用
正文
一、傅里叶变换的概念与意义
傅里叶变换是一种在信号处理、图像处理等领域具有重要应用的数学方法。
它是一种将信号从时域转换到频域的方法，能够将复杂的信号分解为一系列简单的正弦波。
这种变换以法国数学家傅里叶的贡献而命名，他在 19 世纪研究热传导问题时发现了这一数学现象。
二、傅里叶变换的积分证明
为了更好地理解傅里叶变换，我们需要从积分的角度进行证明。
假设我们有一个信号 f(t)，我们希望将它转换到频域。
我们可以通过以下步骤完成：
1.将信号 f(t) 与一个复杂的正弦波 g(t) 相乘，其中 g(t) 是傅里叶基函数。
2.对乘积函数进行积分，积分范围是整个实数轴。
3.通过对积分结果进行傅里叶级数展开，我们可以得到信号 f(t) 在频域的表示。
三、傅里叶变换的应用
傅里叶变换在许多领域都有广泛的应用，包括信号处理、图像处理、音频处理等。
例如，在图像处理中，傅里叶变换可以将图像从空间域转换
到频率域，使我们能够更容易地识别图像中的模式和边缘。
在音频处理中，傅里叶变换可以帮助我们去除噪声，增强音频信号的清晰度。
总之，傅里叶变换是一种强大的数学工具，能够帮助我们将复杂的信号分解为简单的组成部分，从而更好地理解和处理这些信号。
数字信号处理参考试题4
6．同上题。导出 的结果，并画出流图。
解：依题意
对于n<N，有
同样，令 ，对于频率变量 有
可得
根据上式得
令
则
所以
流图如图P4-6所示。
图P4-6
7．研究一个长度为M点的有限长序列 。
我们希望计算求z变换 在单位圆上N个等间隔点上的抽样，即在 上的抽样。试对下列情况，找出只用一个N点DFT就能计算 的N个抽样的方法，并证明之。
for(i=0;i<n1;i++)
{
printf(“\nplease enter data(%d)_[Re]:”,i);
scanf(“%f”,&a[i].x);
printf(“\nplease enter date(%d)_[Im]:”,I);
scanf(“%f”,&a[i].y);
}
for(z=0;z<=1;z++)
解：
（1）是正确的。
因为
其中
都是任意实数。
所以若求有限长序列 在z平面实轴上各点的z变换，只需取
此时
式中
为了用FFT计算，式中取
计算时可先求出
则
10.当实现按时间抽取快速傅里叶变换算法时，基本的碟形计算
利用定点算术运算实现该蝶形计算时，通常假设所有数字都按一定比例因子化为小于1。因此在蝶形计算的过程中还必须关心溢出问题。
（1） （2）
解：
（1）依题意
设 ，则
因为
且令
所以
由此可见，对于 ，可先计算 ，然后对它求一次N点DFT，即可计算 在单位圆上的N点抽样。
（2）若 ，可将 补零到N点，即
则
傅里叶变换积分证明题
傅里叶变换积分证明题一、傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是一种在信号处理、图像处理等领域具有重要应用的数学方法。
它是一种将时域信号转换为频域信号的变换方式，可以帮助我们更好地分析信号的频率特性。
与之相对应的是傅里叶反变换。
二、傅里叶变换的数学表达式傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫(f(t) * e^(-jωt) dt)，其中，F(ω)表示频域信号，f(t)表示时域信号，ω表示角频率，j表示虚数单位。
三、傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换具有以下性质：1.线性性质：FT(aF(t) + bG(t)) = aFT(F(t)) + bFT(G(t))2.尺度性质：FT(f(t)) = f(ω) * sqrt(2π)3.时移性质：FT(f(t - ω")) = f(ω - ω") * e^(-jω")4.频移性质：FT(f(t) * e^(-jωt")) = f(ω - ω") * e^(-jω")5.卷积性质：FT(f * g) = FT(f) * FT(g)傅里叶变换在信号处理、图像处理、量子力学等领域具有广泛的应用。
四、傅里叶变换与积分的关系傅里叶变换是一种积分形式，可以通过对时域信号进行积分得到频域信号。
同时，傅里叶反变换也是一种积分形式，可以将频域信号转换回时域信号。
五、傅里叶变换积分证明题的解题思路傅里叶变换积分证明题通常要求根据给定的时域信号f(t)求其傅里叶变换F(ω)。
解题思路如下：1.确定被积函数：根据题目给定的时域信号f(t)，确定其对应的被积函数。
2.进行积分：对被积函数进行积分，得到频域信号F(ω)。
3.化简：对积分结果进行化简，得到最终的傅里叶变换结果。
六、实例解析例如，求时域信号f(t) = sin(2πt)的傅里叶变换。
解：1.确定被积函数：f(t) = sin(2πt)2.进行积分：∫(sin(2πt) * e^(-jωt) dt) = ∫(e^(-jωt) * sin(2πt) dt)3.化简：利用积分公式∫(sin(ax) dt) = -cos(ax) + C，得到-∫(e^(-jωt) * cos(2πt) dt) + C = -cos(2πω) + C4.得到傅里叶变换：F(ω) = -cos(2πω)七、总结与拓展傅里叶变换是一种重要的数学方法，其在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。
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填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。
解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。
解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解：N NL N mF 2log 22==；N N NL aF 2log ==选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。
D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。
A. 8B. 16C. 1D. 4 解：C3．在时域抽取FFT 运算中，要对输入信号x(n)的排列顺序进行“扰乱”。
在16点FFT 中，原来x(9)的位置扰乱后信号为： 。
A． x(7) B. x(9) C. x(1) D. x(15)解：B4.用按时间抽取FFT计算N点DFT所需的复数乘法次数与( )成正比。
解：D5.直接计算N点DFT所需的复数乘法次数与( )成正比。
解：B点FFT所需的复数乘法次数为( )。
D.(N/2)log2N解：D7.下列关于FFT的说法中错误的是( )。
是一种新的变换是DFT的快速算法基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类D.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数)解：A8.不考虑某些旋转因子的特殊性，一般一个基2 FFT算法的蝶形运算所需的复数乘法及复数加法次数分别为( )。
和2 和1和1 和2解：A9．计算N=2L（L为整数）点的按时间抽取基-2FFT需要( )级蝶形运算。
A．L 2 2解：A10.基-2 FFT算法的基本运算单元为( )A.蝶形运算B.卷积运算C.相关运算D.延时运算解：A11.计算256点的按时间抽取基-2 FFT，在每一级有______个蝶形。
( )解：C12.如图所示的运算流图符号是_______基 2FFT 算法的蝶形运算流图符号。
( ) A.按频率抽取B.按时间抽取 、B 项都是 、B 项都不是 解：B13.求序列x(n)的1024点基2—FFT ，需要_____次复数乘法。
( ) ×1024×10 ×10解：C 问答题1.简述频域抽选法和时域抽选法的异同。
答：相同点：（1）进行原位运算（2）运算量相同，均为N N2log 2次复乘、N N 2log 次 复加；不同点：（1）时域抽选法输入为倒位序，输出为自然顺序。
频域抽选法正好与此相反，但时域抽选法也有输入为自然顺序、输出为倒位序的情况（2）蝶形运算不同 2.回答以下问题：（1） 画出按时域抽取4=N点基FFT 2的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列)4,3,1,2()(=n x （3,2,1,0=n ）的DFT 。
（3） 试写出利用FFT 计算IFFT 的步骤。
解：（1）)0(x 1(x )2(x 3(x )0(X )1(X )2(X )3(Xkr001102W 02W 02W 12W kl 001104W 04W 14W 234W 04W 04W 24W 34W4点按时间抽取FFT 流图 加权系数（2） ⎩⎨⎧-=-=-==+=+=112)2()0()1(532)2()0()0(00x x Q x x Q ⎩⎨⎧-=-=-==+=+=341)3()1()1(541)3()1()0(11x x Q x x Q1055)0()0()0(10=+=+=Q Q X 31)1()1()1(1140⋅+-=+=j Q W Q X055)0()0()2(1240=-=+=Q W Q X j Q W Q X 31)1()1()3(1340--=+=即：3,2,1,0),31,0,31,10()(=--+-=k j j k X（3）具体步骤如下：1）对)(k X 取共轭，得)(*k X ； 2）对)(k X *做N 点FFT ；3）对2）中结果取共轭并除以N 。
3.已知两个N 点实序列)(n x 和)(n y 得DFT 分别为)(k X 和)(k Y ，现在需要求出序列)(n x 和)(n y ，试用一次N 点IFFT 运算来实现。
解：依据题意)()(),()(k Y n y k X n x ⇔⇔取序列 )()()(k jY k X k Z +=对)(k Z 作N 点IFFT 可得序列)(n z 。
又根据DFT 性质)()()]([)([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+由原题可知，)(),(n y n x 都是实序列。
再根据)()()(n jy n x n z +=，可得)](Im[)()](Re[)(n z n y n z n x ==计算题1. 对于长度为8点的实序列)(n x ，试问如何利用长度为4点的FFT 计算)(n x 的8点DFT ？写出其表达式，并画出简略流程图。
解：∑==78)()(n nkW n x k X3,2,1,0),()()()()12()2(83483430)12(83028=+=+=++=∑∑∑∑===+=k k H W k G Wr h WWr g W r x Wr x k r rk k r rk r kr r rk ①∑∑=++=++=+3)4(4483)4(4)()()1(r k r k r k r Wr h WWr g k X2,1,0),()()()(834834=-=-=∑∑==k k H W k G Wr h WWr g k r rk k r rk ②按照式①和式②可画出如下图所示的流程图。
)2(x )4(x )6(x )1(x )3(x )5(x7(x )1(X )2(X )3(X )4(X )5(X )6(X )7(X )0(X )0(x2.][k X 是N 点序列)(n x 的DFT ，N 为偶数。
两个2N 点序列定义为])12[]2[(21][1++=n x n x n x120]),12[]2[(21][2-≤≤+-=N n n x n x n x ][1k X 和][2k X 分别表示序列][1n x 和][2n x 的2N点DFT ，试由][1k X 和][2k X 确定][n x N点DFT 。
解：DFT}{∑∑-=-===10221202][]2[]2[N l ml N N k mk N Wl x Wk x k x （l 为偶数）])2[][(2121][102N m X m X W W l x mlN N L lN N++=+=∑-= DFT}{∑∑-=--==+=+10212122][]12[]12[N l l m NN k mk N Wl x W k x k x ）（（l为奇数）mNm N ml N lN NN l W N m X m X W W Wl x ---=+-=-=∑]2[][(212)1(][21120],2[)1(41][)1(41][1-≤≤+-++=--N m N m X W m X W m X mN m N 120],2[)1(41][)1(41][2-≤≤+++-=--N m N m X W m X W m X m N m N 解上述方程可得120],[)1(][)1(][21-≤≤-++=Nm m X W m X W m X m N m N120],[)1(][)1(]2[21-≤≤++-=+N m m X W m X W N m X mN m N 3.已知长度为2N 的实序列)(n x 的DFT)(k X 的各个数值)12,...,1,0(-=N k ，现在需要由)(k X 计算)(n x ，为了提高效率，请设计用一次N 点IFFT 来完成。
解：如果将)(n x 按奇偶分为两组，即令1,,2,1,0)12()()2()(-=⎭⎬⎫+==N n n x n v n x n u K那么就有1,,2,1,0)()()()()()(22-=⎭⎬⎫-=++=N k k V W k U N k X k V W k U k X k N k N K其中)(k U 、)(k V 分别是实序列)(n u 、)(n v 的N 点DFT ，)(k U 、)(k V 可以由上式解出[][]1,,2,1,0)()(21)()()(21)(2-=⎪⎭⎪⎬⎫+-=++=-N k N k X k X W k V N k X k X k U kN K由于)12,...,1,0)((-=N k k X 是已知的，因此可以将)(k X 前后分半按上式那样组合起来，于是就得到了)(k U 和)(k V 。
令)()()(n jv n u n y +=根据)(k U 、)(k V ，做一次N 点IFFT 运算，就可以同时得到)(n u 和)(n v )1,...,1,0(-=N n它们分别是)(n x 的偶数点和奇数点序列，于是序列)(n x )12,...,1,0(-=N n 也就求出了。
4-7 采用FFT 算法，可用快速卷积完成线性卷积。
现预计算线性卷积)()(n h n x *，试写采用快速卷积的计算步骤（注意说明点数）。
答：如果)(n x ，)(n h 的长度分别为1N ,2N ,那么用长度121-++≥N N N的圆周卷积可计算线性卷积。