上海市黄浦区高三数学上学期期末考试试题 理(一模)苏教版
上海市黄浦区高三数学上学期期末考试试题 文(一模)苏教版
上海市黄浦区高三数学上学期期末考试试题 文（一模）苏教版数学试卷（文科）2014.1.9考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上） 1.函数()()21log 2+-=x x x f 的定义域是．2.己知全集U R =，集合{}R x x x A ∈>+=,21|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-=R x xx x B ,02|， 则()=B A C U.3.已知幂函数()x f 存在反函数，且反函数()x f 1-过点（2，4），则()x f 的解析式是. 【答案】()(0)f x x x【解析】试题分析：首先要弄清幂函数的形式，其次要弄懂反函数的性质，反函数图象过点(2,4)，说明原函数图象过点(4,2)，设()af x x =，则42a =，则12a =，故()(0)f x x x =≥. 考点：幂函数，反函数的性质.4.方程22937=-⋅xx的解是.5.己知数列{}na 是公差为2的等差数列，若6a是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.6.已知向量()θθsin ,cos =a，()2,1-=b ,若a ∥b ，则代数式θθθθcos sin cos sin 2+-的值是．7.三阶行列式045sin 2cos 610sin ---x x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为8.各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是_________.9.1531⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式的常数项的值是__________．【答案】5005 【解析】试题分析：其二项展开式的通项公式为305153611515()((1)rr rr r r r T C x C x x--+==-，令30506r -=，即6r =，所以常数项为第7项66715(1)5005T C =-=． 考点：二项展开式的通项公式．10.把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里 ．则恰好有一个盒子空的概率是（结果用最简分数表示）11.将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm，圆心角为34π，则圆锥的体积是________3cm .12.从某项有400人参加的群众性运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计成如下表，则400人的成绩的标准差的点估计值是． 分数 5 4 3 2 1 人数 5152055【答案】1.09 【解析】13.设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,βαβα⋅≤⋅恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b a bn am ++≤+（当且仅当α∥β，即bman =时等号成立），己知+∈R y x ,，若3x y k x y +<+恒成立，利用可西不等式可求得实数k 的取值范围是14.．己知数列{}n a 满足142a =-,()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2013项的和2013S 的值是___________．而1a 42=-，故20134210130421013000S =-+=． 考点：分组求和．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 15.己知实数b a ,满足0>ab,则“ba 11<成立”是“b a >成立”的（ ）.)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件．16.已知空间两条直线n m ,，两个平面βα,，给出下面四个命题： ①；n m n m αα⊥⇒⊥,,‖②αβα≠⊂m ,‖，β≠⊂n n m ⇒；③；n m n m αα‖,‖,‖⇒④。
上海市黄浦区2023届高三上学期一模数学试题 附答案
上海市黄浦区2023届高三一模数学试卷一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．函数()lg 2y x =-的定义域为______2．已知集合()2,2A =-，()()3,1,51B =--⋃，则A B ⋃=______ 3．()521x +的二项展开式中3x 项的系数是______4．已知向量(),1,3a m =-，()2,,1b n =，若a b ∥，则mn 的值为______ 5．已知复数z 满足()1i 42i z +=-（i 为虚数单位），则复数z 的模等于______6．某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm ）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分数为______7．在平面直角坐标系xOy 中，若角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与以点O 为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 22πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______8．已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则该圆锥的体积为______9．已知ABC △的三边长分别为4、5、7，记ABC △的三个内角的正切值所组成的集合为M ，则集合M 中的最大元素为______10．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为______11．已知四边形ABCD 是平行四边形，若2AD DE =，BF BE ∥，0AF BE =⋅，且60AF AC =⋅，则AC 在AF 上的数量投影为______12．已知曲线1:C y =2:C y =，长度为1的线段AB 的两端点A 、B 分别在曲线1C 、2C 上沿顺时针方向运动，若点A 从点()1,0开始运动，点B 到达点)时停止运动，则线段AB 所扫过的区域的面积为______二．选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13．在平面直角坐标系xOy 中，“0m <”是“方程221x my +=表示的曲线是双曲线”的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要14．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，点G 为MC 的中点．则下列结论中不．正确的是（ ）A ．MC AN ⊥B ．平面DCM ∥平面ABNC ．直线GB 与AM 是异面直线D ．直线GB 与平面AMD 无公共点15．已知()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且函数()y f x =恰有两个极大值点在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．(]7,13B ．[)7,13C ．(]7,10D ．[)7,1016．设a 、b 、c 、p 为实数，若同时满足不等式20ax bx c ++>、20bx cx a ++>与20cx ax b ++>的全体实数x 所组成的集合等于(),p +∞．则关于结论：①a 、b 、c 至少有一个为0；②0p =．下列判断中正确的是（ ） A ．①和②都正确 B ．①和②都错误 C ．①正确，②错误D ．①错误，②正确三．解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()*1nn n n c a b n =+-∈N，求数列{}nc 的前2n 项和．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且PA ⊥平面ABCD ，又棱2PA AB ==，E 为棱CD 的中点，60ABC ∠=︒．（1）求证：直线AE ⊥平面P AB ；（2）求直线AE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中8AB =百米，6AD =百米，且AE DE BF CF ===．（1）试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量x ，并求出步道的总长y （单位：百米）关于x 的函数关系式；（2）求步道的最短总长度（精确到0．01百米）．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于线1l 、2l 都过点()()0,01M m m <<，斜率分别为k 、3k -，1l 与椭圆C 交于点A 、P ，2l 与椭圆C 交于点B 、Q ，点P 、Q 分别在第一、四象限且PQ ⊥轴．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线1l 与x 轴交于点N ，求证：2NP MN =；（3）求直线AB 的斜率的最小值，并求直线AB 的斜率取最小值时的直线1l 的方程． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知集合A 和定义域为R 的函数()y f x =，若对任意t A ∈，x ∈R ，都有()()f x t f x A +-∈，则称()f x 是关于A 的同变函数．（1）当()0,A =+∞与()0,1时，分别判断()2x f x =是否为关于A 的同变函数，并说明理由；（2）若()f x 是关于{}2的同变函数，且当[)0,2x ∈时，()f x =()f x 在[)()2,22k k k +∈Z上的表达式，并比较()f x 与12x +的大小；（3）若n 为正整数，且()f x 是关于12,2n n --⎡⎤⎣⎦的同变函数，求证：()f x 既是关于{}()2nm m -⋅∈Z 的同变函数，也是关于[)0,+∞的同变函数．高三数学参考答案和评分标准一、填空题（本大题满分54分其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分） 1．(),2-∞；2．()3,5-；3．80；4．-2；56．10.8；7．725； 8．3； 9．5； 10．310； 11.10； 12．38π二、选择题（本大题共4小题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分） 13．C14．D15．B16．A三、解答题（本大题共有5题，满分78分J 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 则323b q b ==，2111ba b q===，144327a b b q ===， 又1411311327a a d d =+=+=，可得2d =， 所以()()1112121na a n d n n =+-=+-=-．（2）由（1）可得13n n b -=，故()()113n n b --=--，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，所以数列{}n c 的前2n 项和()()()()211221133n n a a a -⎡⎤=++++-+-++-⎣⎦()()()2211(3)214191421344n n n n n ⎡⎤---+-⎣⎦=+=+---．18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．解：（1）因为底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，所以ABC △、ACD △是等边三角形， 又点E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥．又因为AB CD ∥，所以AE AB ⊥． 由PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，可得PA AE ⊥， 又P A 与AB 相交，所以AE ⊥平面P AB ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又AE CD ⊥，可知CD ⊥平面P AE ，又因为CD ⊂平面PCD ， 所以平面PCD ⊥平面P AE ．连PE ，过A 作AF PE ⊥，垂足为F ，可知AF ⊥平面PCD ， 所以AEF ∠就是AE 与平面PCD 所成的角． 又2PA AB ==，AE =tan tan AP AEF AEP AE ∠=∠===AE 与平面PCD（法二）以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，可得()0,0,2P ，()2,0,0B，()E，()OE =，()0,2EP =，()2,0,0DC =， 设(),,1n x y =是平面PCD 的一个法向量，AE 与平面PCD 所成角为θ．由20,320,n DC x nFP ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得，0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故n ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 所以sin 7n AE n AEθ⋅===⋅可得tan θ== 故直线AE 与平面PCD（法三：用体积法求点A 到平面PCD 的距离，然后再求所求线面角的正弦值和正切值） 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 解：（1）设直线EF 与AD ，BC 分别交于点M ，N ，若设AE x =百米，则FNME ==8EF MN FN ME =--=-，)4835y x x =+-<<．（若设MAE x ∠=，则3cos AE x=，3tan FN ME x ==， 86tan EF MN FN ME x =--=-， 12486tan 0arctan cos 3y x x x ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭）． （2）设())4835)f x x x =+-<<，())435f x x '=-<<，令()0f x '=，可得x =且当3x <<()40f x '=<，()f x 严格减；且当5x <<时，()0f x '>，()f x 严格增．故当x =()f x取得极小值（最小值）(818.39f =+≈（百米）．所以步道的最短总长度约为18.39百米． （设()12486tan 0arctan cos 3f x x x x ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭）， ()212sin 640arctan cos 3x f x x x -⎛⎫'=<< ⎪⎝⎭，令()0f x '=，可得6x π=，且当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 严格减； 且当4,arctan 63x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 严格增．故当6x π=时，()f x取得极小值（最小值）818.396f π⎛⎫=+≈ ⎪⎝⎭（百米）， 所以步道的最短总长度约为18.39百米．20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）设椭圆C 的焦距为2c，则由2c a =，222a b c =+且2ab =， 可得2b c ==，a =C 的方程为22184x y +=． （2）设()00,P x y ，()00,Q x y -，则00y m k x -=，003y mk x ---=，可得00003y m y mx x ---=-⋅，解得02y m =，又NP m =，NM =，所以2NP NM =， （另法：根据N ，M ，P 三点共线与纵坐标关系，用向量或中点坐标公式来证明） （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线1l ，2l 的方程分别为y kx m =+，3y kx m =-+， 由（2）知0mk x =，又m ，0x 均大于0，可知0k >， 由22,28,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()222124280k x kmx m +++-=， 所以20122812m x x k -=+，即212012812m x x k -=⋅+，同理可得()2220128123m x x k -=⋅+-，直线AB 的斜率为()()()()()()()()2222001212221212220028328121183282812118k m k m k x k x kx m kx m y y m m x x x x k x k x ----+++--+-==-----++()224241161642k k k k k +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当k =时取等号）．当2k =时，0x =，此时),2P m 在椭圆C 上，所以2264184m m +=，又01m <<，可得7m =，所以直线AB的斜率的最小值为2，且当直线AB 的斜率取最小值时的直线1l的方程为67y x =+． 21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 解：（1）当()0,A =+∞时，对任意的t A ∈，x ∈R ，()()()221xtf x t f x +-=-，由21t>，可得210t->，又20x>，所以()()f x t f x A +-∈，故()2x f x =是关于()0,+∞的同变函数；当()0,1A =时，存在12A ∈，2∈R ，使得()())2211f x t f x +-=>，即()()f x t f x A +-∉，所以()f x 不是关于()0,1的同变函数．（2）由()f x 是关于{}2的同变函数，可知()()22f x f x +=+恒成立，所以()()()22f x x f x x +-+=-恒成立，故()y f x x =-是以2为周期的周期函数．当[)()2,22x k k k ∈+∈Z 时，[)20,2x k -∈，由()()()22f x x f x k x k -=---，可知()()222f x f x k k k =-+=．（提示：()()22f x f x k k =-+也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证）对任意的x ∈R ，都存在()k ∈Z ，使得[)2,22x k k ∈+，故()2f x k =．t =，可得[)0,2t ∈，所以()211122222t f x x k x t ⎛⎫-+=--=-- ⎪⎝⎭()21102t =--≤（当且仅当1t =，即122x k =+时取等号）．所以当()122x k k =+∈Z 时，()12f x x =+； 当()122x k k ≠+∈Z 时，()12f x x <+． （3）因为()f x 是关于12,2n n--⎡⎤⎣⎦的同变函数，所以对任意的12,2n nt --⎡⎤∈⎣⎦，x ∈R ，都有()()12,2n nf x t f x --⎡⎤+-∈⎣⎦， 故()()22nnf x f x --+-≥，用2nx -+代换x ，可得()()1222nnnf x f x ---+-+≥，所以()()()()112222nnnnf x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦+-+-+≥，即()()1122nnf x f x --+-≥，又()()1122nnf x f x --+-≥，故()()1122nnf x f x --+-=，且()()22nnf x f x --+-=．所以()()()22nnf x x f x x --+-+=-，故()f x x -是以2n-为周期的周期函数．对任意的()2nt m m -=⋅∈Z ，x ∈R ，由()()()22n n f x m x m f x x --+⋅-+⋅=-，可得()()22nnf x m f x m --+⋅-=⋅，（*）所以()f x 是关于{}()2n m m -⋅∈Z 的同变函数．对任意的[)0,t ∈+∞，存在非负整数m ，使()2,12n nt m m --⎡⎤∈⋅+⋅⎣⎦，所以()1122,2nn nt m ---⎡⎤-+⋅∈⎣⎦，对任意的x ∈R ，()()f x t f x +-=()()()()()()()()()()12121212n n n n f x t m m f x f x t m m f x ----+-+⋅+-⋅-=+-+⋅+-⋅-()21220n n n m m ---≥+-⋅=⋅≥，即()()[)0,f x t f x +-∈+∞，所以()f x 是关于[)0,+∞的同变函数．故()f x 既是关于{}()2n m m -⋅∈Z 的同变函数，也是关于[)0,+∞的同变函数．。
2024年上海市黄浦区格致中学高三数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
2024年上海市黄浦区格致中学高三数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π ⎪⎝⎭4．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．5．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．22 6．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ）A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a7．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．78．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12- 9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDD BB ．l MC ⊥ C ．当2a m =时，平面MPQ MEF ⊥D ．当m 变化时，直线l 的位置不变 10．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ）A ．23B ．2C ．14D ．1311．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-312．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市黄浦区第一中学高三数学理测试题含解析
上海市黄浦区第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D﹣ABC中最长棱的长度为（）A．B．2 C．D．3参考答案：B【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用；空间位置关系与距离．【分析】由锥体的体积公式可得AD?≥1，再由基本不等式可得AD==1时，等号成立，可得AD⊥面ABC，求得最长的棱为2．【解答】解：因为AD?（BC?AC?sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，即AD?≥1，因为2=AD+≥2=2，当且仅当AD==1时，等号成立，这时AC=，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=，得BD=，故最长棱的长为2．故选B．【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．2. 已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的方程是（）A． +2y2=1 B． +=1 C． +=1 D． +y2=1参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】双曲线C2：x2﹣=1的焦点（±，0），可得a2﹣b2=5．取C2的一条渐近线y=2x，与椭圆相交于点M，N．与椭圆方程联立解得：，，可得|MN|2=4（+）．再利用以C1的长轴（2a）为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，即可得出．【解答】解：双曲线C2：x2﹣=1的焦点（±，0），∴a2﹣b2=5．取C2的一条渐近线y=2x，与椭圆相交于点M，N．联立，解得=， =，∴|MN|2=4（+）=，∵以C1的长轴（2a）为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，∴=×（2a）2，与a2﹣b2=5联立．解得b2=5，a2=10．∴椭圆C1： =1．故选：C．3. 在下列图象中，可能是函数的图象的是参考答案：A略4. 已知函数是奇函数，且当时，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D试题分析：因函数是奇函数，故考点：函数的性质5. 设集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A．（2，4）B．（0，2）C．（1，4）D．（0，4）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【专题】37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x|log2x＞1}={x|x＞2}，则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．故选：A．6. 已知集合A＝{x｜x＋1＞0}，B＝{x|｜x|≤2}，则A B＝（） A. {x|x≥－1} B. {x|x≤2} C. {x|－1＜x≤2} D. {x|－1≤x≤2}参考答案：C7. 定义域为的函数，满足，，则不等式的解集为(▲)A. B. C. D.参考答案：D略8. 已知，若恒成立，则的取值范围是A．B．C．D．参考答案：9.在极坐标系中，曲线关于（）(A)直线轴对称 (B)点中心对称(C)直线轴对称（D）极点中心对称参考答案：答案:C10. 设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，此时，记的最小值为若中三边a、b、c所对内角依次为A、B、C，且，则是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形参考答案： D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在锐角的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若 .参考答案：略 12.复数（其中为虚数单位）的虚部等于（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：答案:D解析：13. 双曲线的渐近线方程为 .参考答案：14. 设为单位向量，的夹角为60°，则的最大值为．参考答案：1+【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据题意，=（1，0），=（，），=（cos α，sin α），利用三角恒等变换和平面向量的数量积，即可求出最大值． 【解答】解：由题意||=||=||=1，、的夹角θ=60°，设=（1，0），=（，），=（cosα，sinα），∴（++）?=?+?+c 2=cosα+cosα+sinα+1 =cosα+sinα+1=sin （α+）+1≤+1；∴当α=2k π+，k∈Z，时取得最大值1+．故答案为：．15. 已知有两个极值点、，且在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则的取值范围是参考答案：略16. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1=8．若AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点，则当底面ABC 水平放置时，液面的高为 6 ．参考答案：6略17. 如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在[，]内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为．参考答案：【考点】J3：轨迹方程．【分析】过A 作BD 的垂线AE ，则A 点轨迹是以E 为圆心的圆弧，以E 为原点建立坐标系，设二面角A ﹣BD ﹣A′的大小为θ，用θ表示出A和C 的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．【解答】解：过A 作AE⊥BD，垂足为E ，连接CE ，A′E． ∵矩形ABCD 中，AB=1，BC=，∴AE=，CE=．∴A 点的轨迹为以E 为圆心，以为半径的圆弧． ∠A′EA 为二面角A ﹣BD ﹣A′的平面角．以E 为原点，以EB ，EA′，EA 为坐标轴建立空间直角坐标系E ﹣xyz ， 设∠A′EA=θ，则A （0， cosθ，sinθ），C （﹣1，﹣，0）∴AC==，∴，解得0≤cosθ≤， ∴60°≤θ≤90°， ∴A 点轨迹的圆心角为30°， ∴A 点轨迹的长度为=．故答案为：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届上海市黄浦区高三一模(期末)数学试题(解析版)
四边形ABCD外接圆的直径为 ，
所以四边形ABCD外接圆的面积为 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查曲线的方程及基本不等式求解最值，明确所求目标的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
二、填空题
5．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝_____.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查充要条件的判定，明确条件间的推出关系是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
4．设曲线E的方程为 1，动点A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n）在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（）
对于④，由于 ，若y 具有性质M，所以 可得 ，故④不正确.
故答案为：②③.
【点睛】
本题主要考查对函数新定义的性质理解，深刻理解定义的本质是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
16．已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，点P是该正六边形边上的动点，记σ • • • • • • ，则σ的取值范围是_____.
【答案】（﹣1，3）.
【解析】先求出集合 ，再求解A∪B.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ；
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查集合的并集运算，化简集合结合并集的定义可求.
6．已知z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a＝_____.
【答案】﹣1.
【解析】先对复数 化简，结合纯虚数的定义可求.
2020届上海市黄浦区高三一模考试(期末考试)数学试题(解析版)
上海市黄浦区2020届高三一模考试（期末考试）数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题满分54分，第7-12题每题满分54分）.1.设集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝_____. 【答案】（﹣1，3）.【解析】因为(1)(2)0x x +-<，所以12x -<<，即{}12A x x =-<<； 所以{}13A B x x ⋃=-<<. 故答案为：(1,3)-.2.已知z ＝（a ﹣i ）（1+i ）（a ∈R ，i 为虚数单位）为纯虚数，则a ＝_____. 【答案】﹣1.【解析】()()()i 1i 11i z a a a =-+=++-,因为z 为纯虚数，所以10a +=且10a -≠，解得1a =-. 故答案：1-.3.抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4【解析】抛物线28x y =的焦点是()0,2,准线方程是2y =-,所以焦点到准线的距离是4.4.在（281)x x-的展开式中，x 的系数是．（用数字作答）【答案】-56【解析】（281)x x -展开式的通项为281631881()()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令1631r -=，则=5r ，16355188(1)(1)r r r r T C x C x -+=-=-，所以x 的系数是．5.已知α为第二象限的角,3sin 5α=,则tan2α=________. 【答案】247-【解析】因为α为第二象限的角,所以4cos 5α===-,于是有3sin 35tan 4cos 45ααα===--,因此2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===----. 故答案为247- 6.母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为_____. 【答案】23π， 【解析】因为圆锥的母线长为3、底面半径为1，所以圆锥的侧面展开图中半径为3，弧长为2π，所以圆心角的弧度数为23π. 故答案为：23π. 7.若无穷等比数列{a n }满足：a 2a 3＝a 4，a 5116=，（n ∈N *），则数列{a 2n ﹣1}的所有项的和为_____. 【答案】43. 【解析】设等比数列的公比为q ，则23411111,16a q a q a q a q ⋅==； 解得111,2a q ==，所以11112n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭；12114n n a --⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以{}21n a -的所有项的和为114141lim (1)416343n n →∞+++=-=. 故答案为：43. 8.四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是_____.（结果用数字作答） 【答案】144.【解析】先选出两位男生组成一个整体有24A 种排法；再排好两个女生有22A 种排法，女生排好共有三个空位，再把男生排进去共有33A 种排法；所以不同排法的种数一共有223423144A A A =.故答案为：144.9.已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的两条渐近线的夹角为_____. 【答案】90°. 【解析】因为△ABM 为等腰三角形且顶角为120°， 不妨设M 为第一象限的点,则(2)M a ；把(2)M a 代入双曲线的方程22221(0,0)x y a b a b -=>>可得1b a=；所以渐近线的倾斜角为45︒，两条渐近线的夹角为90︒. 故答案为：90︒.10.已知函数y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象关于直线y ＝x 对称，若f （x ）＝x +log 2（2x +2），则满足f （x ）＞log 23＞g （x ）的x 的取值范围是_____. 【答案】（0，log 215）.【解析】因为12222()log (22)log 2log (22)log (42)xxxxx f x x +=++=++=+，所以由2()log 3f x >得1423x x ++>，解得21x >，即0x >； 易知函数()f x 为增函数，因为2()log 3g x <，所以可得22log 3log 31222(log 3)log (42)log 15x f +<=+=；综上可得x 的取值范围是2(0,log 15).11.设函数y ＝f （x ）的定义域为D ，若对任意的x 1∈D ，总存在x 2∈D ，使得f （x 1）•f （x 2）＝1，则称函数f （x ）具有性质M .下列结论：①函数y ＝x 3﹣x 具有性质M ；②函数y ＝3x +5x 具有性质M ；③若函数y ＝log 8（x +2），x ∈[0，t 』时具有性质M ，则t ＝510；④若y 34sinx a+=具有性质M ，则a ＝5.其中正确结论的序号是_____. 【答案】②③.【解析】对于①，当10x =时，不存在2x 满足12()()1f x f x ⋅=，故①不正确； 对于②，由于()0f x >，所以10()f x >，所以具有性质M ，故②正确；对于③，由于8log (2)y x =+为增函数，且0x =时，13y =，所以x t =时必有3y =，所以510t =，故③正确；对于④，由于33[,]44a a y -+∈，若y 34sinx a +=具有性质M ，所以33144a a -+⋅=可得5a =±，故④不正确.故答案：②③.12.已知正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为2，点P 是该正六边形边上的动点，记σ1A P =•22A P A P +•33A P A P +•44A P A P +•55A P A P +•66A P A P +•1A P ，则σ的取值范围是_____.【答案】[30，36』.【解析】建立直角坐标系，如图所示：，∴1234560020320A A A A A A -（，），（，），（（（（， 设点P （x ，y ），∴12323A P x y A P x y A P x y ==-=-（，），（，），（，，456223231A P x y A P x y A P x y =--=-=+（，），（，），（，， ∴σ1A P =•22A P A P +•33A P A P +•44A P A P +•55A P A P +•66A P A P +•1A P()()(()()(2(2)2332x x y x x y y x x y y =-++--++--+-()(()(()(2211x x y x x y y x x y y +-+-+++-+++22661236x y x =+--+＝6[（x ﹣1）2+（y 2+2』，∵正六边形的中心Q （1，所以S ＝（x ﹣1）2+（y 2表示点P （x ，y ）与点Q（1∴由图可知S 的最大值为4，最小值为3， ∴σ的最大值为36，最小值为30， ∴σ的取值范围是[30，36』. 故答案为：[30，36』.二、选择题（本大题共有4题，满分20分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.方程213x x=5的解集是（） A. {2} B. {2，﹣2}C. {1，﹣1}D. {i ，﹣i }【答案】B 【解析】2212353x x x=-=，解得2x =±.故选：B.14.将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（） A. x 12π=-B. x 16π=C. x 4π=D. x 2π=【答案】A【解析】将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数为sin(2)3y x π=-，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，解得212k x π5π=+， 由1k =-可得12x π=-.故选：A.15.若函数f （x ）的定义域为R ，则“f （x ）是偶函数”是“f （|x |）＝f （x ）对切x ∈R 恒成立”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，从而可得()()f x f x =； 若()()f x f x =，则()()f x f x -=，即()f x 是偶函数. 故选：C.16.设曲线E 的方程为2249x y +=1，动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ）在E 上，对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD 外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（） A. ①错，②对 B. ①对，②错C. ①②都错D. ①②都对【答案】D【解析】因为动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ），所以四边形ABCD 是矩形；不妨设0,0m n >>，则矩形ABCD 的面积为4mn ，因为22491m n +=，所以2249121m n mn=+≥=，即12mn ≥，当且仅当2218,8n m ==时等号成立；所以矩形ABCD 的面积最小值为48.四边形ABCD =所以四边形ABCD 外接圆的面积为()22m n π+，因为22491m n +=，所以()()222222222249491325n m m n m n m n m n π⎛⎫⎛⎫π+=π++=++≥π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2218,8n m ==时等号成立；故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在三棱锥P﹣ABC中，已知P A，PB，PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC 的体积为10.（1）求点A到直线BC的距离；（2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两垂直，∵PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10.∴V P﹣ABC＝V A﹣PBC113432PA=⨯⨯⨯⨯=10，解得P A＝5，过P作PO⊥BC，交BC于O，连结PO，如图，由三垂线定理得AO⊥BC，∵1122PB PC BC PO⨯⨯=⨯⨯，∴PO125PB PCBC⨯===，∴点A到直线BC的距离：AO===.（2）以P为原点，PC，PB，P A所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，5），P（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），D（2，32，0），PB =（0，3，0），AD =（2，32，﹣5）， 设异面直线PB ，AD 所成角的大小为θ，则cosθ9251253PB ADPB AD⋅===⋅. ∴异面直线PB ，AD 所成角的大小为arc .18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＝（2b ﹣c ）cos A. （1）若AB AC ⋅=3，求△ABC 的面积； （2）若∠B ＜∠C ，求2cos 2B +cos 2C 的取值范围. 解：（1）∵a cos C ＝（2b ﹣c ）cos A ，∴由正弦定理可得sin A cos C ＝（2sin B ﹣sin C ）cos A ，可得sin A cos C +sin C cos A ＝sin （A +C ）＝sin B ＝2sin B cos A ， ∵B 为三角形内角，sin B ≠0， ∴cos A 12=， 又∵A ∈（0，π）， ∴A 3π=，∵AB AC ⋅=bc cos A 12=bc ＝3，可得bc ＝6， ∴S △ABC 12=bc sinA 16222=⨯⨯=.（2）∵∠B ＜∠C ，C 23π=-B ，可得B ∈（0，3π），∴2B 6π+∈（6π，56π），∴cos （2B 6π+）∈（， ∴2cos 2B +cos 2C ＝1+cos2B 12322cos C ++=+cos2B 12+cos2（23π-B ）32=+cos2B 14-cos2B B 32=+cos （2B 6π+）∈（34，94）.∴2cos 2B +cos 2C 的取值范围（34，94）. 19.某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y （微克/毫升）与给药时间x （小时）之间的若干组数据，并由此得出y 与x 之间的一个拟合函数y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）（x ∈[0，12』），其简图如图所示.试根据此拟合函数解决下列问题：（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势； （2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）.解：（1）由y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）（x ∈[0，12』）， 令0.6x ＝t ，t ∈[0.612，1』，则y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）＝40（﹣t 2+t ）， ∴当t 12=∈[0.612，1』，即10.62x=，x 2231lg lg lg -=≈+- 1.36时， y 有最大值10.故药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低；（2）在y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）中，取y ＝5，得40（0.6x ﹣0.62x ）＝5，即﹣8t 2+8t ﹣1＝0，解得t 24=或t 24=（舍），即20.64x=≈0.147，得x0.1470.6lg lg =≈3.72. 故血药浓度的半衰期为3.72﹣1.36＝2.36小时.20.已知椭圆C 的中心在坐标原点焦点在x 轴上，椭圆C 上一点A （，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B 是椭圆C 的上顶点，点P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若BP ⊥BQ ，且满足3PD =2DQ 的点D 在y 轴上，求直线BP 的方程；（3）若直线BP 与BQ 的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ 是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.解：（1）由题意设椭圆的方程为：2222x y a b+=1由题意知：2a ＝8，22121a b+=1，解得：a 2＝16，b 2＝4， 所以椭圆的方程为：221164x y +=.（2）由（1）得B （0，2）显然直线BP 的斜率存在且不为零， 设直线BP 为：y ＝kx +2，与椭圆联立整理得：（1+4k 2）x 2+16kx ＝0，x 21614kk-=+，所以P （21614k k -+，222814k k -+）；直线BQ ：y 1k=-x +2，代入椭圆中：（4+k 2）x 2﹣16kx ＝0， 同理可得Q （2164k k +，22284k k-+），由3PD =2DQ 得， ∴3（x D ﹣x P ）＝2（x Q ﹣x D ），∴5x D ＝2x Q +3x P 223248414k kk k =-++，由于D 在y 轴上，所以x D ＝0，∴223248414k kk k=++，解得：k 2＝2，所以k =所以直线BP 的方程为：y ＝x +2.（3）当直线PQ 的斜率不存在时，设直线PQ 方程：x ＝t ，P （x ，y ），Q （x '，y '），与椭圆联立得：4y 2＝16﹣t 2，yy '2164t -=，xx '＝t 2，k BP •k BQ 2y x -=•'2'2'4''y yy y y x xx --++==（）14， 要使是一个常数λ，λ＜0，所以不成立.当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为：y ＝kx +t ，设P （x ，y ），Q （x '，y '），与椭圆联立整理得：（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣16＝0，x +x '2814kt k -=+，xx '2241614t k -=+， ∴y +y '＝k （x +x '）+2t 2214t k =+，()222221614t k yy k xx kt x x t k-'''=+++=+， ∴k BP •k BQ 2'2'2'42''42y y yy y y t x x xx t ---++-=⋅==+（）（）， 所以由题意得：242t t -=+（）λ，解得：t 2814λλ+=-，所以不论k 为何值，x ＝0时，y 2814λλ+=-， 综上可知直线恒过定点（0，2814λλ+-）. 21.对于数列{a n }，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{a n }为P 数列. （1）若{a n }的前n 项和S n ＝3n +2，试判断{a n }是否是P 数列，并说明理由； （2）设数列a 1，a 2，a 3，…，a 10是首项为﹣1、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{a n }是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{b n }，{c n }是从{a n }中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T 1，T 2，求{a n }是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若a ＞0且T 1＝T 2，则{a n }不是P 数列”. 解：（1）∵32n n S =+，∴11232n n n n a S S n --=-=⋅≥（），当n ＝1时，a 1＝S 1＝5， 故151232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，， 的那么当*k N ∈时，12332320k k k k k a S +-=⋅--=-＞，符合题意， 故数列{a n }是P 数列.（2）由题意知，该数列的前n 项和为1112n n n n S n d a nd +-=-+=-+（），， 由数列a 1，a 2，a 3，…，a 10是P 数列，可知a 2＞S 1＝a 1，故公差d ＞0，21311022n n d S a n d n +-=-++（）＜对满足n ＝1，2，3，，9的任意n 都成立，则239911022d d ⋅-++（）＜，解得827d ＜， 故d 的取值范围为8027（，）. （3）①若{a n }是P 数列，则a ＝S 1＜a 2＝aq ， 若a ＞0，则q ＞1，又由a n +1＞S n 对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q -⋅-＞，即12n q q-＜（）对一切正整数n 都成立， 由1100n n n lim q q∞→=（）＞，（），故2﹣q ≤0，可得q ≥2，； 若a ＜0，则q ＜1，又由a n +1＞S n 对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q -⋅-＞，即（2﹣q ）q n ＜1对一切正整数n 都成立，又当q ∈（﹣∞，﹣1』时，（2﹣q ）q n ＜1当n ＝2时不成立， 故有0121q q q ∈⎧⎨-⎩（，）（）＜或21021q q q ∈-⎧⎨-⎩（，）（）＜，解得10012q ∈⋃（）（，）， ∴当{a n }是P 数列时，a 与q 满足的条件为02a q ⎧⎨≥⎩＞或010012a q ⎧⎪⎨∈⋃⎪⎩＜（）（，）； ②假设{a n }是P 数列，则由①可知，q ≥2，a ＞0，且{a n }中每一项均为正数， 若{b n }中的每一项都在{c n }中，则由这两数列是不同数列，可知T 1＜T 2； 若{c n }中每一项都在{b n }中，同理可得T 1＞T 2； 若{b n }中至少有一项不在{c n }中且{c n }中至少有一项不在{b n }中， 设{b n '}，{c n '是将{b n }，{c n }中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1'，T2'，不妨设{b n'}，{c n'}中最大的项在{b n'}中，设为a m（m≥2），则T2'≤a1+a2+……+a m﹣1＜a m≤T1'，故T2'＜T1'，故总有T1≠T2与T1＝T2矛盾，故假设错误，原命题正确.。
上海市黄浦区2023届高三上学期一模数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 设实数满足的最小值为（ ）A．B．C．D ．前三个答案都不对2. 已知，若，则（ ）A．B．C．D．3.已知，若点D 是AC中点，则A ．2B．C ．-3D ．64. 已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为A．B．C．D．5. 中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m ，在地面上点处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（）A ．69mB ．95mC ．98mD ．99m6.已知空间中两点，，则（ ）A．B．C．D．7. 在中，已知和，此时尚不足以确定的形状与大小.但是，只要再知道某些条件（例如：的长度），就可确定唯一的形状与大小，试选出正确的选项（ ）A．如果再知道的值，就可确定唯一的形状与大小B ．如果再知道的值，就可确定唯一的形状与大小C ．如果再知道的值，就可确定唯一的形状与大小D．如果再知道的外接圆半径，就可确定唯一的形状与大小8. 下列说法正确的是（ ）A．函数的图象过定点B．已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为C ．若函数是奇函数，则的图象关于点对称D ．函数的最小值为29. 已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）.若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距__________.上海市黄浦区2023届高三上学期一模数学试题(高频考点版)上海市黄浦区2023届高三上学期一模数学试题(高频考点版)四、解答题10.若集合，，则__________.11. 若圆，圆都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆的圆心距为____________．12. 在等比数列中，若，，则数列的公比为___________.13. 现要规划一块长方形绿地，且长方形绿地的长与宽的差为30米，若使长方形绿地的面积不小于4000平方米，则这块绿地的长与宽至少应为多少米？14.已知椭圆方程为（），为椭圆的焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3，椭圆的长轴为4．(1)求椭圆的方程．(2)已知圆，过点且斜率为的直线和椭圆交于两点，若，求的值．15.如图，，是两个不共线的向量，，试用，表示向量．16. 求使下列函数取得最大值､最小值的自变量的集合,并求出最大值､最小值.(1),;(2),.。
2020届上海市黄浦区高三一模考试(期末考试)数学试题(解析版)
上海市黄浦区2020届高三一模考试（期末考试）数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题满分54分，第7-12题每题满分54分）.1.设集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝_____. 【答案】（﹣1，3）.【解析】因为(1)(2)0x x +-<，所以12x -<<，即{}12A x x =-<<； 所以{}13A B x x ⋃=-<<. 故答案为：(1,3)-.2.已知z ＝（a ﹣i ）（1+i ）（a ∈R ，i 为虚数单位）为纯虚数，则a ＝_____. 【答案】﹣1.【解析】()()()i 1i 11i z a a a =-+=++-,因为z 为纯虚数，所以10a +=且10a -≠，解得1a =-. 故答案：1-.3.抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4【解析】抛物线28x y =的焦点是()0,2,准线方程是2y =-,所以焦点到准线的距离是4.4.在（281)x x-的展开式中，x 的系数是．（用数字作答）【答案】-56【解析】（281)x x -展开式的通项为281631881()()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令1631r -=，则=5r ，16355188(1)(1)r r r r T C x C x -+=-=-，所以x 的系数是．5.已知α为第二象限的角,3sin 5α=,则tan2α=________. 【答案】247-【解析】因为α为第二象限的角,所以4cos 5α===-,于是有3sin 35tan 4cos 45ααα===--,因此2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===----. 故答案为247- 6.母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为_____. 【答案】23π， 【解析】因为圆锥的母线长为3、底面半径为1，所以圆锥的侧面展开图中半径为3，弧长为2π，所以圆心角的弧度数为23π. 故答案为：23π. 7.若无穷等比数列{a n }满足：a 2a 3＝a 4，a 5116=，（n ∈N *），则数列{a 2n ﹣1}的所有项的和为_____. 【答案】43. 【解析】设等比数列的公比为q ，则23411111,16a q a q a q a q ⋅==； 解得111,2a q ==，所以11112n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭；12114n n a --⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以{}21n a -的所有项的和为114141lim (1)416343n n →∞+++=-=. 故答案为：43. 8.四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是_____.（结果用数字作答） 【答案】144.【解析】先选出两位男生组成一个整体有24A 种排法；再排好两个女生有22A 种排法，女生排好共有三个空位，再把男生排进去共有33A 种排法；所以不同排法的种数一共有223423144A A A =.故答案为：144.9.已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的两条渐近线的夹角为_____. 【答案】90°. 【解析】因为△ABM 为等腰三角形且顶角为120°， 不妨设M 为第一象限的点,则(2)M a ；把(2)M a 代入双曲线的方程22221(0,0)x y a b a b -=>>可得1b a=；所以渐近线的倾斜角为45︒，两条渐近线的夹角为90︒. 故答案为：90︒.10.已知函数y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象关于直线y ＝x 对称，若f （x ）＝x +log 2（2x +2），则满足f （x ）＞log 23＞g （x ）的x 的取值范围是_____. 【答案】（0，log 215）.【解析】因为12222()log (22)log 2log (22)log (42)xxxxx f x x +=++=++=+，所以由2()log 3f x >得1423x x ++>，解得21x >，即0x >； 易知函数()f x 为增函数，因为2()log 3g x <，所以可得22log 3log 31222(log 3)log (42)log 15x f +<=+=；综上可得x 的取值范围是2(0,log 15).11.设函数y ＝f （x ）的定义域为D ，若对任意的x 1∈D ，总存在x 2∈D ，使得f （x 1）•f （x 2）＝1，则称函数f （x ）具有性质M .下列结论：①函数y ＝x 3﹣x 具有性质M ；②函数y ＝3x +5x 具有性质M ；③若函数y ＝log 8（x +2），x ∈[0，t 』时具有性质M ，则t ＝510；④若y 34sinx a+=具有性质M ，则a ＝5.其中正确结论的序号是_____. 【答案】②③.【解析】对于①，当10x =时，不存在2x 满足12()()1f x f x ⋅=，故①不正确； 对于②，由于()0f x >，所以10()f x >，所以具有性质M ，故②正确；对于③，由于8log (2)y x =+为增函数，且0x =时，13y =，所以x t =时必有3y =，所以510t =，故③正确；对于④，由于33[,]44a a y -+∈，若y 34sinx a +=具有性质M ，所以33144a a -+⋅=可得5a =±，故④不正确.故答案：②③.12.已知正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为2，点P 是该正六边形边上的动点，记σ1A P =•22A P A P +•33A P A P +•44A P A P +•55A P A P +•66A P A P +•1A P ，则σ的取值范围是_____.【答案】[30，36』.【解析】建立直角坐标系，如图所示：，∴1234560020320A A A A A A -（，），（，），（（（（， 设点P （x ，y ），∴12323A P x y A P x y A P x y ==-=-（，），（，），（，，456223231A P x y A P x y A P x y =--=-=+（，），（，），（，， ∴σ1A P =•22A P A P +•33A P A P +•44A P A P +•55A P A P +•66A P A P +•1A P()()(()()(2(2)2332x x y x x y y x x y y =-++--++--+-()(()(()(2211x x y x x y y x x y y +-+-+++-+++22661236x y x =+--+＝6[（x ﹣1）2+（y 2+2』，∵正六边形的中心Q （1，所以S ＝（x ﹣1）2+（y 2表示点P （x ，y ）与点Q（1∴由图可知S 的最大值为4，最小值为3， ∴σ的最大值为36，最小值为30， ∴σ的取值范围是[30，36』. 故答案为：[30，36』.二、选择题（本大题共有4题，满分20分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.方程213x x=5的解集是（） A. {2} B. {2，﹣2}C. {1，﹣1}D. {i ，﹣i }【答案】B 【解析】2212353x x x=-=，解得2x =±.故选：B.14.将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（） A. x 12π=-B. x 16π=C. x 4π=D. x 2π=【答案】A【解析】将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数为sin(2)3y x π=-，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，解得212k x π5π=+， 由1k =-可得12x π=-.故选：A.15.若函数f （x ）的定义域为R ，则“f （x ）是偶函数”是“f （|x |）＝f （x ）对切x ∈R 恒成立”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，从而可得()()f x f x =； 若()()f x f x =，则()()f x f x -=，即()f x 是偶函数. 故选：C.16.设曲线E 的方程为2249x y +=1，动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ）在E 上，对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD 外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（） A. ①错，②对 B. ①对，②错C. ①②都错D. ①②都对【答案】D【解析】因为动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ），所以四边形ABCD 是矩形；不妨设0,0m n >>，则矩形ABCD 的面积为4mn ，因为22491m n +=，所以2249121m n mn=+≥=，即12mn ≥，当且仅当2218,8n m ==时等号成立；所以矩形ABCD 的面积最小值为48.四边形ABCD =所以四边形ABCD 外接圆的面积为()22m n π+，因为22491m n +=，所以()()222222222249491325n m m n m n m n m n π⎛⎫⎛⎫π+=π++=++≥π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2218,8n m ==时等号成立；故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在三棱锥P﹣ABC中，已知P A，PB，PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC 的体积为10.（1）求点A到直线BC的距离；（2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两垂直，∵PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10.∴V P﹣ABC＝V A﹣PBC113432PA=⨯⨯⨯⨯=10，解得P A＝5，过P作PO⊥BC，交BC于O，连结PO，如图，由三垂线定理得AO⊥BC，∵1122PB PC BC PO⨯⨯=⨯⨯，∴PO125PB PCBC⨯===，∴点A到直线BC的距离：AO===.（2）以P为原点，PC，PB，P A所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，5），P（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），D（2，32，0），PB =（0，3，0），AD =（2，32，﹣5）， 设异面直线PB ，AD 所成角的大小为θ，则cosθ9251253PB ADPB AD⋅===⋅. ∴异面直线PB ，AD 所成角的大小为arc .18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＝（2b ﹣c ）cos A. （1）若AB AC ⋅=3，求△ABC 的面积； （2）若∠B ＜∠C ，求2cos 2B +cos 2C 的取值范围. 解：（1）∵a cos C ＝（2b ﹣c ）cos A ，∴由正弦定理可得sin A cos C ＝（2sin B ﹣sin C ）cos A ，可得sin A cos C +sin C cos A ＝sin （A +C ）＝sin B ＝2sin B cos A ， ∵B 为三角形内角，sin B ≠0， ∴cos A 12=， 又∵A ∈（0，π）， ∴A 3π=，∵AB AC ⋅=bc cos A 12=bc ＝3，可得bc ＝6， ∴S △ABC 12=bc sinA 16222=⨯⨯=.（2）∵∠B ＜∠C ，C 23π=-B ，可得B ∈（0，3π），∴2B 6π+∈（6π，56π），∴cos （2B 6π+）∈（， ∴2cos 2B +cos 2C ＝1+cos2B 12322cos C ++=+cos2B 12+cos2（23π-B ）32=+cos2B 14-cos2B B 32=+cos （2B 6π+）∈（34，94）.∴2cos 2B +cos 2C 的取值范围（34，94）. 19.某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y （微克/毫升）与给药时间x （小时）之间的若干组数据，并由此得出y 与x 之间的一个拟合函数y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）（x ∈[0，12』），其简图如图所示.试根据此拟合函数解决下列问题：（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势； （2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）.解：（1）由y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）（x ∈[0，12』）， 令0.6x ＝t ，t ∈[0.612，1』，则y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）＝40（﹣t 2+t ）， ∴当t 12=∈[0.612，1』，即10.62x=，x 2231lg lg lg -=≈+- 1.36时， y 有最大值10.故药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低；（2）在y ＝40（0.6x ﹣0.62x ）中，取y ＝5，得40（0.6x ﹣0.62x ）＝5，即﹣8t 2+8t ﹣1＝0，解得t 24=或t 24=（舍），即20.64x=≈0.147，得x0.1470.6lg lg =≈3.72. 故血药浓度的半衰期为3.72﹣1.36＝2.36小时.20.已知椭圆C 的中心在坐标原点焦点在x 轴上，椭圆C 上一点A （，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B 是椭圆C 的上顶点，点P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若BP ⊥BQ ，且满足3PD =2DQ 的点D 在y 轴上，求直线BP 的方程；（3）若直线BP 与BQ 的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ 是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.解：（1）由题意设椭圆的方程为：2222x y a b+=1由题意知：2a ＝8，22121a b+=1，解得：a 2＝16，b 2＝4， 所以椭圆的方程为：221164x y +=.（2）由（1）得B （0，2）显然直线BP 的斜率存在且不为零， 设直线BP 为：y ＝kx +2，与椭圆联立整理得：（1+4k 2）x 2+16kx ＝0，x 21614kk-=+，所以P （21614k k -+，222814k k -+）；直线BQ ：y 1k=-x +2，代入椭圆中：（4+k 2）x 2﹣16kx ＝0， 同理可得Q （2164k k +，22284k k-+），由3PD =2DQ 得， ∴3（x D ﹣x P ）＝2（x Q ﹣x D ），∴5x D ＝2x Q +3x P 223248414k kk k =-++，由于D 在y 轴上，所以x D ＝0，∴223248414k kk k=++，解得：k 2＝2，所以k =所以直线BP 的方程为：y ＝x +2.（3）当直线PQ 的斜率不存在时，设直线PQ 方程：x ＝t ，P （x ，y ），Q （x '，y '），与椭圆联立得：4y 2＝16﹣t 2，yy '2164t -=，xx '＝t 2，k BP •k BQ 2y x -=•'2'2'4''y yy y y x xx --++==（）14， 要使是一个常数λ，λ＜0，所以不成立.当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为：y ＝kx +t ，设P （x ，y ），Q （x '，y '），与椭圆联立整理得：（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣16＝0，x +x '2814kt k -=+，xx '2241614t k -=+， ∴y +y '＝k （x +x '）+2t 2214t k =+，()222221614t k yy k xx kt x x t k-'''=+++=+， ∴k BP •k BQ 2'2'2'42''42y y yy y y t x x xx t ---++-=⋅==+（）（）， 所以由题意得：242t t -=+（）λ，解得：t 2814λλ+=-，所以不论k 为何值，x ＝0时，y 2814λλ+=-， 综上可知直线恒过定点（0，2814λλ+-）. 21.对于数列{a n }，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{a n }为P 数列. （1）若{a n }的前n 项和S n ＝3n +2，试判断{a n }是否是P 数列，并说明理由； （2）设数列a 1，a 2，a 3，…，a 10是首项为﹣1、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{a n }是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{b n }，{c n }是从{a n }中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T 1，T 2，求{a n }是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若a ＞0且T 1＝T 2，则{a n }不是P 数列”. 解：（1）∵32n n S =+，∴11232n n n n a S S n --=-=⋅≥（），当n ＝1时，a 1＝S 1＝5， 故151232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，， 的那么当*k N ∈时，12332320k k k k k a S +-=⋅--=-＞，符合题意， 故数列{a n }是P 数列.（2）由题意知，该数列的前n 项和为1112n n n n S n d a nd +-=-+=-+（），， 由数列a 1，a 2，a 3，…，a 10是P 数列，可知a 2＞S 1＝a 1，故公差d ＞0，21311022n n d S a n d n +-=-++（）＜对满足n ＝1，2，3，，9的任意n 都成立，则239911022d d ⋅-++（）＜，解得827d ＜， 故d 的取值范围为8027（，）. （3）①若{a n }是P 数列，则a ＝S 1＜a 2＝aq ， 若a ＞0，则q ＞1，又由a n +1＞S n 对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q -⋅-＞，即12n q q-＜（）对一切正整数n 都成立， 由1100n n n lim q q∞→=（）＞，（），故2﹣q ≤0，可得q ≥2，； 若a ＜0，则q ＜1，又由a n +1＞S n 对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q -⋅-＞，即（2﹣q ）q n ＜1对一切正整数n 都成立，又当q ∈（﹣∞，﹣1』时，（2﹣q ）q n ＜1当n ＝2时不成立， 故有0121q q q ∈⎧⎨-⎩（，）（）＜或21021q q q ∈-⎧⎨-⎩（，）（）＜，解得10012q ∈⋃（）（，）， ∴当{a n }是P 数列时，a 与q 满足的条件为02a q ⎧⎨≥⎩＞或010012a q ⎧⎪⎨∈⋃⎪⎩＜（）（，）； ②假设{a n }是P 数列，则由①可知，q ≥2，a ＞0，且{a n }中每一项均为正数， 若{b n }中的每一项都在{c n }中，则由这两数列是不同数列，可知T 1＜T 2； 若{c n }中每一项都在{b n }中，同理可得T 1＞T 2； 若{b n }中至少有一项不在{c n }中且{c n }中至少有一项不在{b n }中， 设{b n '}，{c n '是将{b n }，{c n }中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1'，T2'，不妨设{b n'}，{c n'}中最大的项在{b n'}中，设为a m（m≥2），则T2'≤a1+a2+……+a m﹣1＜a m≤T1'，故T2'＜T1'，故总有T1≠T2与T1＝T2矛盾，故假设错误，原命题正确.。
上海市黄浦区高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)沪教版
上海市黄浦区高三数学上学期期末考试试题 理（含解析）沪教版数学试卷(理科)（一模）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合{|03}A x x =<<，2{|4}B x x =≥，则A B =．【答案】[2,3)【解析】因为2{|4}{22}B x x x x x =≥=≥≤-或，所以{23}[2,3)AB x x =≤<=。
2．若(12i)(i)z a =--(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为． 【答案】2【解析】因为(12i)(i)2(12)z a a a i =--=--+为纯虚数，所以20,(12)0a a -=-+≠，解得2a =。
3. 若数列{}n a 的通项公式为21(*)N n a n n =-∈，则12limnn na a a na ∞+++=→．【答案】12【解析】因为21(*)N n a n n =-∈，所以212(121)2n n na a a n +-+++==，所以221221lim lim lim (21)22n n n n n a a a n n na n n n n ∞∞∞+++===--→→→。
4．已知直线1:20l x ay ++=和2:(2)360l a x y a -++=，则1l ∥2l 的充要条件是a =． 【答案】3【解析】因为2:(2)360l a x y a -++=的斜截式方程为223ay x a -=-，斜率存在为23a k -=，所以直线1:20l x ay ++=的斜率也存在所以0a ≠，即112:l y x a a =--，所以要使1l ∥2l ，则有212,23a a a a-=--≠-，解得1a =-或3a =且1a ≠±，所以3a =。
【解析版】上海市黄浦区高三上学期期末(一模)考试数学(理)试题Word版含解析
考试试卷黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）2014.1.9考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.函数()()21log 2+-=x x x f 的定义域是 ．2.己知全集U R =，集合{}R x x x A ∈>+=,21|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-=R x xx x B ,02|， 则()=B A C U.3.已知幂函数()x f 存在反函数，且反函数()x f 1-过点（2，4），则()x f 的解析式是 . 【答案】()0)f x x =?【解析】试题分析：首先要弄清幂函数的形式，其次要弄懂反函数的性质，反函数图象过点(2,4)，说明原函数图象过点(4,2)，设()af x x =，则42a =，则12a =，故()0)f x x =≥. 考点：幂函数，反函数的性质.4.方程22937=-⋅xx的解是 .5.己知数列{}na 是公差为2的等差数列，若6a是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.6.已知向量()θθsin ,cos =，()2,1-=,若a ∥b ，则代数式θθθθcos sin cos sin 2+-的值是 ． 【答案】5 【解析】试题分析：利用向量平行的充要条件，由a ∥b 得cos sin 12θθ=-，即sin 2cos θθ=-，代入求值式即得． 考点：向量平行．7.三阶行列式45sin 2cos 610sin ---x x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为8.各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是 _________.9.1531⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式的常数项的值是__________．【答案】5005 【解析】试题分析：其二项展开式的通项公式为30515611515((1)rr rr r r r T C C x --+==-，令30506r -=，即6r =，所以常数项为第7项66715(1)5005T C =-=．考点：二项展开式的通项公式．10.把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里 ．则恰好有一个盒子空的概率是 （结果用最简分数表示）11.将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm ，圆心角为34π，则圆锥的体积是________3cm .12.从某项有400人参加的群众性运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计成如下表，则400人的成绩的标准差的点估计值是 ．【答案】1.09 【解析】试题分析：在统计学中，一般用样本来估计总体，即本题中我们用样本的标准差来估计总体的标准差，对容量为n 的样本，其方差为22221111()n n i i i i s x x x x n n ===-=-∑∑，本题中样本容量为50，计算出2 1.16s =，因此标准差为 1.09s =≈，此即为总体400人的成绩的标准差．考点：方差与标准差，总体与样本．13.设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b a bn am ++≤+（当且仅当α∥β，即bman =时等号成立），己知+∈R y x ,k x y +恒成立，利用可西不等式可求得实数k 的取值范围是14.．己知数列{}n a 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________． 【答案】1017072 【解析】试题分析：这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有211a a -=，322a a +=，433a a -=，544a a +=，…，201520142014a a +=，201620152015a a -=，我们的目的是求201612342016S a a a a a =+++++，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即n 为偶数的式子相加），将会得到234520142015242014a a a a a a ++++++=+++，好像离目标很近了，但少12016a a +，而1a 与2016a 分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到1201622105()()a a a a +-+=二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【答案】C 【解析】试题分析：这是考查不等式的性质，由于0ab >，因此不等式11a b<两边同乘以ab 可得b a <，即a b >，16.已知空间两条直线n m ,，两个平面βα,，给出下面四个命题： ①；n m n m αα⊥⇒⊥,,‖ ②αβα≠⊂m ,‖，β≠⊂n n m ⇒；③；n m n m αα‖,‖,‖⇒ ④。
上海市黄浦区高三数学上学期期末调研测试试题 理
黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷（理科） 2016年1月考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式|1|1x -<的解集用区间表示为 ．(0,2) 2．函数22cos sin y x x =-的最小正周期是 ． π3．直线321x y=的一个方向向量可以是 ．(2,1) 4．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ．32 5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．126．若函数sin y a x =+在区间[,2]ππ上有且只有一个零点，则a = ．17．若函数22()1f x x a x =-+-为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 ．(1,)+∞ 8．若对任意不等于1的正数a ，函数2()x f x a +=的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ．(1,2)-9．在()n a b +的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答）．7010．在△ABC 中，若cos(2)sin()2A C B B C A +-++-=，且2AB =，则BC = ．2211．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是 （结果用最简分数表示）．2512．已知k ∈Z ，若曲线222x y k +=与曲线xy k =无交点，则k = ．1±13．已知点(,0)M m （0m >）和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF FB =u u u r u u u r ，且||||MF MA =u u u u r u u u r ，则m = ．11214．若非零向量a r ，b r ，c r 满足230a b c ++=r r r r ，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅r r r r r r ，则b r 与c r 的夹角为 ．43π二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 [答] ( B )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 16．已知x ∈R ，下列不等式中正确的是 [答] ( C )．A ．1123x x>B ．221111x x x x >-+++ C ．221112x x >++ D ．2112||1x x >+ 17．已知P 为直线y kx b =+上一动点，若点P 与原点均在直线20x y -+=的同侧，则k 、b 满足的条件分别为 [答] ( A )．A ．1k =，2b <B ．1k =，2b >C ．1k ≠，2b <D ．1k ≠，2b >18．已知1a ，2a ，3a ，4a 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零．若线段1l ，2l ，3l ，4l 的长分别为1a ，2a ，3a ，4a ，则 [答] ( C )． A ．对任意的d ，均存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形 B ．对任意的d ，均不存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形 C ．对任意的d ，均存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形 D ．对任意的d ，均不存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形，两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3，侧棱AA '的长为10．（1）若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积． （2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积．[解]（1）因为侧棱AA '⊥底面ABC ，所以三棱柱的高h 等于侧棱AA '的长，而底面三角形ABC 的面积162S AC BC =⋅=，（2分） 周长43512c =++=，（4分）于是三棱柱的表面积2132ABC S ch S ∆=+=全．（6分）（2）如图，过A '作平面ABC 的垂线，垂足为H ，A H '为三棱柱的高．（8分）因为侧棱AA '与底面所成的角为60︒，所以60A AH '∠=︒，可计算得sin 6053A H AA ''=⋅︒=9分）又底面三角形ABC 的面积6S =，故三棱柱的体积653303V S A H '=⋅=⨯=12分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边、OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至Axy OB1ABC A ''C 'HOB ．（1）用α表示A 、B 两点的坐标；（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA MB ⊥，求点M 横坐标的取值范围． [解]（1）由题设，A 点坐标为(cos ,sin )αα，（2分）其中222k k αππ<<π+（k ∈Z ）．（3分） 因为2AOB π∠=，所以B 点坐标为cos ,sin 22αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(sin ,cos )αα-．（5分）（2）设(,0)M m （0m ≠），于是(cos ,sin )MA m αα=-u u u r ，(sin ,cos )MB m αα=--u u u r，因为MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r，即(cos )(sin )sin cos 0m m αααα---+=，（8分）整理得2(cos sin )0m m αα--=，由0m ≠，得cos sin 2cos 4m αααπ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，（10分）此时222k k αππ<<π+，且24k απ≠π+，于是22444k k αππ3ππ+<+<π+，且242k αππ+≠π+（k ∈Z ）得22cos 242απ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，且cos 04απ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭． 因此，点M 横坐标的取值范围为(1,0)(0,1)-U ．（12分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E 、F 分别在AB 、BC 边上．5OA =米，4OC =米，4EOF π∠=，设CF x =，AE y =．（1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值．[解]（1）直角三角形AOE 中，tan 5yAOE ∠=，直角三角形COF 中，tan 4x COF ∠=．正方形OABC 中，由4EOF π∠=，得4AOE COF π∠+∠=，于是tan()1AOE COF ∠+∠=，代入并整理得5(4)4x y x-=+．（4分）因为05x ≤≤，04y ≤≤，所以5(4)044x x -+≤≤，从而449x ≤≤．（6分）因此，5(4)4x y x -=+ （449x ≤≤）．（2）()OABC OAE OCF EBF S S S S S ∆∆∆=-++1154[54(4)(5)](20)22y x y x xy =⨯-++--=-，（8分）将5(4)4x y x-=+代入上式，得25(16)532(4)82(4)24x S x x x +⎡⎤==++-⎢⎥++⎣⎦，（10分） 当449x ≤≤时，324824x x +++≥，当且仅当4(21)x =-时，上式等号成立．（12分）因此，三角形池塘OEF 面积的最小值为20(21)-平方米，此时4(21)x =-米．（14分）OABCFE22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>），过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ．（1）当ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S ．（2）若直线1l 和2l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，当2212d d +为定值时，求此时直线1l 和2l 的斜率及该定值．（3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式． [解]（1）因为ACBD 为正方形，所以直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-．（1分）点A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组2222,1y x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩的实数解，将y x =代入椭圆方程，解得22221222a b x x a b ==+．根据对称性，可得正方形ACBD 的面积22212244a S b a bx =+=．（4分） （2）由题设，不妨设直线1l 的方程为y kx =（0k ≠），于是直线2l 的方程为y kx =-．设00(,)P x y ，于是有2200221x y a b +=，又0012||1kx y d k -=+，0022||1kx y d k +=+，（6分）222222200000012222()()22111kx y kx y k x y d d k k k -+++=+=+++，将2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入上式， 得22222222000222212222212211x b k x b k x b a a d d k k ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++，（8分） 对于任意0[,]x a a ∈-，上式为定值，必有2220b k a -=，即b k a=±，（9分）因此，直线1l 和2l 的斜率分别为b a 和b a-，此时222212222a b d d a b +=+．（10分） （3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，于是切线AC 的方程为001x x y y +=．点A 、C 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22220011x y x x y y ab ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩的实数解．① 当00x =或00y =时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有22111a b+=．（11分）② 当00x ≠且00y ≠时，将001(1)y x x y =-代入22221x ya b+=，整理得222222222000()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是222012222200(1)a b y x x b y a x -=+，（13分）同理可得222012222200(1)b a x y y b y a x -=+．（15分） 因为ACBD 为菱形，所以AO CO ⊥，得0AO CO ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=，（16分） 于是22222200222222220000(1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x --+=++，整理得22222200()a b a b x y +=+，由22001x y +=， 得2222a b a b +=，即22111a b +=．（18分）综上，a ，b满足的关系式为22111a b +=．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n =L ），1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，记122n n S c c nc =+++L ．（1）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n =L ）的数列{}n a ． （2）写出k c （1,2,,k n =L ），并用含n 的式子表示n S ．（3）利用22212(1)(2)()0n b b n b -+-++-L ≥，证明：1212(1)(21)6n b b nb n n n +++++L ≤及122n n a a na S +++L ≥． （参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++L ．）[证明]（1）若k k a b =（1,2,,k n =L ），则有1k k a n a =+-，于是12k n a +=．（2分） 当n 为正偶数时，1n +为大于1的正奇数，故12n +不为正整数， 因为1a ，2a ，…，n a 均为正整数，所以不存在满足k k a b =（1,2,,k n =L ）的数列{}n a 4分 [解]（2）(1)k c n k =--（1,2,,k n =L ）．（6分）因为(1)k c n k =+-，于是122n n S c c nc =+++L [(1)1]2[(1)2][(1)]n n n n n =+-++-+++-L222(12)(1)(12)n n n =++++-+++L L 2111(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++．（10分）[证明]（3）先证121(1)(21)62n n n b b n b n +++++L ≤．222222222121212(1)(2)()(12)2(2)()n n n b b n b n b b nb b b b -+-++-=+++-+++++++L L L L ①， 这里，1k k b n a =+-（1,2,,k n =L ），因为1a ，2a ，…，n a 为从1到n 按任意次序排列而成，所以1b ，2b ，…，n b 为从1到n 个整数的集合，从而22222212=12n b b b n ++++++L L ，（12分） 于是由①，得22222212120(1)(2)()2(12)2(2)n n b b n b n b b nb -+-++-=+++-+++L L L ≤， 因此，22212212n b b nb n ++++++L L ≤，即121(1)(21)62n n n b b n b n +++++L ≤．（14分） 再证122n n a a na S +++L ≥．由1k k b n a =+-，得12122(1)2(1)(1)n n b b nb n a n a n n a +++=+-++-+++-L L21212(1)[1(1)2(1)(1)](2)(2)2n n n n n n n n a a na a a na +=++++++-+++=-+++L L L 16分因为121(1)(21)62n n n b b n b n +++++L ≤，即2121(1)(2(11))6)(22n n n a a n n n a n +-+++++L ≤，所以2121(1)(21)(1)(1)(2)2266n n n n n n n a a n n a n ++++++-+=+L ≥， 即122n n a a na S +++L ≥．（18分）。
上海市黄浦区高三数学上学期期终基础学业测评 理.doc
AB C C 1A 1B 1图1黄浦区第一学期期终基础学业测评高三数学试卷(理)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间1．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数lg(1)x y x+=的定义域是 ． 2．已知函数1()()y f x y f x -==与函数互为反函数，若函数1()x af x x a--=+ ()x a x R ≠-∈，的图像过点(23)，，则(4)f ＝ ．3．已知命题A ：若431586212x x x x x>+≥--≤-，则且成立．命题A 的逆否命题是 ；该逆否命题是 ．(填“真命题”或“假命题”)4．已知全集{}21012U =--，，，，，集合221|log (12A x x x R ⎧⎫=-=-∈⎨⎬⎩⎭，，{}|43220x x B x x R =-⋅+=∈，，则()U A C B ⋂＝ ．5．不等式||52||1x x ->-+的解集是 ．6．方程sin cos 1x x +=-的解集是 ．7．已知角α的顶点在原点，始边与平面直角坐标系x 轴的正半轴重合，点(2P -在角α的终边上，则sin(3πα+＝ ．8．如图1所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱的长度都为4，则异面直线11AB BC 与所成的角是 (结果用反三角函数值表示)．9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的体积是 ．10．已知12e e 、是两个不共线的平面向量，向量12122()a e e b e e R λλ=-=+∈，，若//a b ，则λ＝ ．11．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 (用数值作答)．12．下面是用区间二分法求方程2sin 10x x +-=在[01]，内的一个近似解(误差不超过0.001)的算法框图，如图2所示，则判断框内空白处应填入 ，才能得到需要的解．13．在数列{}*211n n n n na a a n N p a a +++-∈=-中，如果对任意都有(p 为常数)，则称数列{}n a 为“等差比”数列，p 叫数列{}n a 的“公差比”．现给出如下命题： (1) 等差比数列{}n a 的公差比p 一定不为零；(2) 若数列{}n a *()n N ∈是等比数列，则数列{}n a 一定是等差比数列；(3) 若等比数列{}n a 是等差比数列，则等比数列{}n a 的公比与公差比相等． 则正确命题的序号是 ． 14．若关于x 的方程2||3x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ． 二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．函数22()cos sin f x x x =-(x R ∈)的最小正周期T= [答]( )A ．2π．B ．π．C ．4π． D ．2π． 16．已知关于x 、y 的二元一次线性方程组的增广矩阵是13122λλλλ-+⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组有无穷多组解的充要条件是λ＝ [答]( ) A ．2． B ．1或2． C ．1． D ．0． 17．给出下列命题：(1)函数sin sin y x x y x =+=的图像可由的图像平移得到；(2) ||ba b a b a b ⋅已知非零向量、，则向量在向量的方向上的投影可以是； (3)在空间中，若角α的两边分别与角β的两边平行，则αβ=；(4)从总体中通过科学抽样得到样本数据123n x x x x 、、、、(*2n n N ≥∈，)，则数值S =(x 为样本平均值)可作为总体标准差的点估计值．则上述命题正确的序号是 [答]( ) A ．(1)、(2)、(4)． B ．(4)． C ．(2)、(3)． D ．(2)、(4)． 18．若{}*1112()1nn n na a a a n N a ++==∈-数列满足，，则该数列的前项的乘积12320102011a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅= [答]( )A ．3．B ．-6．C ．1-．D ．23． 三．解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图3所示，已知三棱锥A BCD -中，AD BCD ^平面，点M N G H 、、、分别是AB AD DC CB 棱、、、的中点．(1)求证M N G H 、、、四点共面；(2)已知1DC CB AD AB M ===，是球的大圆直径，点C 在球面上，求球M 的体积V ．本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．定义：如果函数00()[]y f x a b x a x <b =<在定义域内给定区间，上存在()，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[]a b ，上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．如4[11]y x =-是，上的平均值函数，0就是它的均值点． (1)判断函数2()4f x x x =-+在区间[09]，上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数2()1[11]f x x mx =-++-是区间，上的平均值函数，试确定实数m 的取值范围． 21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分．DACB·· · · M N GH图3已知12((1)a b R e x e b x 、，向量，1)，，，?=--u ru r 121()||f x a e e 函数=-×u r u r 是偶函数．(1) 求b 的值；(2) 若在函数定义域内总存在区间[]m n ，(m <n )，使得()y f x =在区间[]m n ，上的函数值组成的集合也是[]m n ，，求实数a 的取值范围．22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．如图4,某市拟在长为16km 的道路OP 的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM ，该曲线段为函数sin (00[08])y A x A x ωω=>>∈，，，的图像，且图像的最高点为(6S .赛道的后一段为折线段MNP ，为保证参赛队员的安全，限定120MNP ∠=.(1)求实数A ω和的值以及M 、P 两点之间的距离；(2)联结MP ，设NPM y MN NP θ∠==+，，试求出用y θ表示的解析式； (3)应如何设计，才能使折线段MNP 最长？23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分5分．已知各项都为正数的数列{}*1111()2n n n n a a S a a n N +==∈满足，，其中{}n n S a 是数列的前n 项的和．(1){}n n a a 求数列的通项公式；(2)已知p (≥2)是给定的某个正整数，数列{}1111k k k k b k pb b b a ++-==满足，(1231k p =-，，，，)，求k b ； (3)化简123p b b b b ++++．黄浦区第一学期期终基础学业测评数学试卷(文理合卷)(1月12日) 参考答案和评分标准一、填空题1、(10)(0)-??，，；2、53；3、435862112x x x x x+<-->?-若或，则成立；真命题 (每空2分) ；4、{}1-；5、(1)(1)-???，，；6、|(21)22x x n x n n Z p p p 禳镲=-=-?睚镲镲铪或，；7、-；8、(理科)1arccos 4，(文科)9；10、12- ；11、(理科)234425，(文科)169425；12、0()()0f a f x ?；13、(理科)(1)、(3) ，(文科)16 ； 14、(理科)49k <-，(文科) 3．二、选择题： 15、B 16、C 17、D 18、(理科)A(文科)D三、解答题19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解(1)M N G H 点、、、是三棱锥所在棱的中点，//////M N B D G H B D M N G H∴，，进一步有． M NG H M N G H ∴、、、在直线和所确定的平面内．于是，M N G H 、、、四点共面． (2)AB M C 是球的大圆直径，点在球面上，A B C ∴⊥、、是大圆上的三点，且有BC AC ．AD ⊥⊥由平面BCD ，可得BC 平面ADC ． BC DC ∴⊥．13DC CB AD AB ====由，．3439()322V ππ∴==球． 本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解(1)由定义可知，关于x 的方程2(9)(0)490f f x x --+=-在(09)，内有实数根时，函数2()4[09]f x x x =-+是，上的平均值函数．解22(9)(0)445090f f x x x x --+=--=-，即，可得1251x x ==-或．又125(09)(1(09))x x =∈=-∉，，，故舍去， 所以，2()4[09]f x x x =-+是，上的平均值函数，5是它的均值点． (2)2()1-11f x x mx =-++是[，]上的平均值函数，2(1)(1)11(1)f f x x mx --∴++=--关于的方程-在(11)-，内有实数根．22(1)(1)1101(1)f f x mx x mx m --++=-+-=--由-，得，解得1211x m x =-=或．又21(1)x =∉-，1，11x m ∴=-必为均值点，即111m -<-<． ∴所求实数02m m <<的取值范围是．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分．解(1)由已知可得，1()|2|f x a x b =--，且函数的定义域为D =()()22b b-∞⋃+∞，，．又()y f x =是偶函数，故定义域D 关于原点对称． 于是，b =0(22b bb D D D ≠∈∉否则，当0时，有-且，即必不关于原点对称)．又对任意()()0.x D f x f x b ∈=-=，有，可得 因此所求实数b =0． (2) 由(1)可知，1()((0)(0))2||f x a D x =-=-∞⋃+∞，，． 考察函数1()2||f x a x =-的图像，可知：()(0)f x +∞在区间，上是增函数， ()()f x -∞在区间，0上是减函数．因()y f x =在区间[]m n ，上的函数值组成的集合也是[]m n ，，故必有m n 、同号．①当0m n <<时，()[]f x m n 在区间，上是增函数，有1212a m ma n n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即方程12x a x =-，也就是22210x ax -+=有两个不相等的正实数根，因此220480a a >⎧⎨∆=->⎩，解得2()2210)a m n m n x ax ><-+=此时，、取方程的两根即可．②当0m n <<时，()[]f x m n 在区间，上是减函数，有1212a n ma m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化简得()0m n a -=，解得10(()0)2a m n m n mn m n =<=<<此时，、的取值满足，且即可．综上所述，所求实数0a a a =>的取值范围是或．22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．解(1)结合题意和图像，可知264sin 6A πωω⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解此方程组，得12A πω⎧=⎪⎨⎪=⎩，于是([08])12y x x =∈π，．进一步可得点M的坐标为88612x y π=⎧⎪⎨==⎪⎩．所以，10MP ==(km )． (2)在120MNP MNP NPM θ∆∠=∠=中，，，故sin sin(60)sin120MN NP MPθθ==-． 又10MP =，因此，)y θθ=-(060θ<<)． (3)把)y θθ=-进一步化为：)y θ=+(060θ<<)．所以，当max 303y θ===时，(km )． 可以这样设计：联结MP ，分别过点M 、P 在MP 的同一侧作与MP 成30角的射线，记两射线的交点为N ，再修建线段NM 和NP ，就可得到满足要求的最长折线段MNP 赛道．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分5分．(理科)解(1)112n n n S a a +=，0n a >*()n N ∈，1112n n n S a a --∴=． 11111()2(2)2n n n n n n a a a a a a n +-+-∴=--=≥，即．24682n a a a a a ∴、、、、、是首项为2a ，公差为2的等差数列；135721n a a a a a -、、、、、是首项为1a ，公差为2的等差数列．又1112112a a a ==，S ，可得22a =．∴*221221()n n a n a n n N -==-∈，．所以，所求数列的通项公式为*()n a n n N =∈．(2)p 是给定的正整数(2p ≥)，11(1231)k k k b k pk p b a ++-==-，，，，， ∴数列{}k b 是项数为p 项的有穷数列．又111(1231)1k kbk pb k p b k +-===-+，，，，，．23234(1)(1)(2)(1)(2)(3)(1)(1)(1)232432p p p p p p b b b ------∴=-=-=-⋅⋅⋅，，,… 归纳可得1(1)(2)(3)(1)(1)(123)!k k p p p p k b k p k -----+=-=，，，，．(3)由(2)可知，1(1)(2)(3)(1)(1)(123)!k k p p p p k b k p k -----+=-=，，，，进一步可化为：1(1)(123)k k k p b C k p p=--=，，，，． 所以，1223312311[(1)(1)(1)(1)]p pp p p p p p b b b b b C C C C p-+++++=--+-+-++-0122331[(1)(1)(1)(1)1]p pp p p p p C C C C C p=-+-+-+-++--1[(11)1]p p=--- 1p=． (文科){}*21*2111(1)325()32322()3232nn n n n n n n nn n a a n N a a n N a a ++++++=-??--??\==?--??Q 解数列满足，． ∴数列{}n a 是等差比数列，且公差比p =2．(2)∵数列{}n b 是等差比数列，且公差比p =2，112(2)n nn n b b n b b +--∴=≥-，即数列{}121)2n n b b b b ---是以(为首项，公比为的等比数列． 21121()22(2)n n n n b b b b n ---\-=-??．于是，112n n n b b ---=，2122n n n b b ----=，…212b b -=．将上述1n -个等式相加，得211222n n b b --=+++L .∴数列{}n b 的通项公式为*2()n n b n N =∈．(3)由(2)可知，123n n S b b b b =++++L 2122222nn +=+++=-L ．于是，32*21211222()22n n n n n n n n S S n N S S +++++++--==∈--． 所以，数列{}n S 是等差比数列，且公差比为2p =．。
2020-2021学年上海市黄浦区高三(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A＝{x，x2}（x∈R），若1∈A，则x＝．2．（4分）已知函数，则该函数的定义域是．3．（4分）已知sin（π﹣θ）＝﹣，则cos（﹣θ）＝．4．（4分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，），则f（x）＝．5．（4分）已知x是﹣2和8的等差中项，y2是32和8的等比中项，则＝．6．（4分）已知直线l过点P（﹣2，1），直线l的一个方向向量是，则直线l的点斜式方程是．7．（5分）某圆锥体的底面圆的半径长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形．8．（5分）已知（﹣）9的二项展开式中的常数项的值是a，若3i•z+a﹣6i＝72+3i（其中i是虚数单位），则复数z的模|z|＝．（结果用数值表示）9．（5分）若关于x、y的二元一次线性方程组的增广矩阵是，且是该线性方程组的解中第3行第2列元素的代数余子式的值是．10．（5分）某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者（其中男生2人、女生5人）中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是．（结果用数值表示）11．（5分）已知平面向量、满足||＝5，|，•＝3，向量+（1﹣λ）•（λ∈R），且对任意λ∈R，总有||≥2成立．12．（5分）已知a、b∈R，函数f（x）＝x2+ax+b+|x2﹣ax﹣b|（x∈R），若函数f（x）的最小值为2b2，则实数b的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知a、b、l是空间中的三条直线，其中直线a、b在平面α上，则“l⊥a且l ⊥b”是“l⊥平面α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（5分）为了得到函数y＝sin x﹣cos x（x∈R）的图象（x∈R）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位15．（5分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成）．已知OA＝10米（0＜x＜10），线段BA、线段CD、弧、弧，圆心角为θ弧度，则θ关于x的函数解析式是（）A．B．C．D．16．（5分）已知k∈R，函数f（x）＝|x2﹣4|+x2+kx的定义域为R，若函数f（x）在区间（0，4），则k的取值范围是（）A．﹣7＜k＜﹣2B．k＜﹣7或k＞﹣2C．﹣7＜k＜0D．﹣2＜k＜0三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E是侧面CDD1C1的中心．（1）连接A1D，求三棱锥A1﹣DED1的体积的数值；（2）求异面直线A1E与AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A为钝角b＝0．（1）求角A的大小；（2）记B＝x，求函数f（x）＝cos x+cos（+x）19．（14分）已知实数a、b是常数，函数f（x）＝（++a）（+b）．（1）求函数f（x）的定义域，判断函数的奇偶性；（2）若a＝﹣3，b＝1，设t＝，则函数f（x）的值域与函数g（t）＝（t∈D）（ⅰ）求集合D；（ⅱ）研究函数g（t）＝在定义域D上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数f（x）的最小值．20．（16分）定义：已知椭圆＝1（a＞b＞0），把圆x2+y2＝称为该椭圆的协同圆．设椭圆C：＝1的协同圆为圆O（O为坐标系原点）（1）写出协同圆圆O的方程；（2）设直线l是圆O的任意一条切线，且交椭圆C于A、B两点，求•的值；（3）设M、N是椭圆C上的两个动点，且OM⊥ON，过点O作OH⊥MN，求证：点H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程．21．（18分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，数列{a n}（n∈N*）满足a2≠a1，a n＝f（a n﹣1），f（a n）+kf（a n﹣1）＝t（a n+ka n﹣1）（n≥2，n∈N*）（实数k、t是非零常数）．（1）若k＝﹣1，且数列{a n}（n∈N*）是等差数列，求实数t的值；（2）若a2+ka1≠0，数列{b n}（n∈N*）满足b n＝a n+1+ka n（n∈N*），求通项公式b n；（3）若k＝﹣1，t≠1，数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a1＝a（a≠0，a∈R），a2≠a1，试证明：f（a）＝t•a．2020-2021学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A＝{x，x2}（x∈R），若1∈A，则x＝﹣1．【分析】根据元素与集合的关系进行计算即可．【解答】解：集合A＝{x，x2}（x∈R），∵1∈A，即x＝2或x2＝1，可得x＝8或x＝﹣1当x＝1时，违背集合的互异性，故答案为：x＝﹣3．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2．（4分）已知函数，则该函数的定义域是（﹣1，1）．【分析】根据对数函数成立的条件即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则，即（x﹣1）（x+1）＜2，即函数的定义域为（﹣1，1），故答案为：（﹣7，1）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，利用对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（4分）已知sin（π﹣θ）＝﹣，则cos（﹣θ）＝．【分析】利用诱导公式化简即可求解．【解答】解：由已知sin（π﹣θ）＝﹣可得：sin，所以cos（）＝sin，故答案为：﹣．【点评】本题考查了诱导公式的应用，考查了学生对诱导公式的应用能力，属于基础题．4．（4分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，），则f（x）＝．【分析】设f（x）＝x a，根据其图象过点（4，），则有＝4a，解可得a的值，代入f （x）＝x a中，可得函数的解析式，即可得答案．【解答】解：根据题意，设f（x）＝x a，由于其图象过点（4，），则有a，即a＝log3＝﹣；即f（x）＝；故答案为：．【点评】本题考查幂函数的解析式求法，注意幂函数与指数函数的区别、联系．5．（4分）已知x是﹣2和8的等差中项，y2是32和8的等比中项，则＝5．【分析】由等差中项的性质求得x，由等比中项的性质求得y2，从而可得结论．【解答】解：由x是﹣2和8的等差中项，可得2x＝﹣2+8，由y3是32和8的等比中项，可得（y2）5＝32×8，解得y2＝16，所以＝＝7．故答案为：5．【点评】本题主要考查等差中项与等比中项的性质，属于基础题．6．（4分）已知直线l过点P（﹣2，1），直线l的一个方向向量是，则直线l的点斜式方程是y﹣1＝﹣．【分析】由直线的方向向量即可求出直线的斜率，进而可以求解．【解答】解：由直线的方向向量可得直线l的斜率为k＝﹣，所以直线l的点斜式方程为：y﹣5＝﹣，故答案为：y﹣1＝﹣．【点评】本题考查了直线的点斜式方程，涉及到由直线的方向向量求出直线的斜率的问题，属于基础题．7．（5分）某圆锥体的底面圆的半径长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形．【分析】先求出圆锥的母线长，再求出圆锥的高，由此能求出该圆锥体的体积．【解答】解：∵圆锥体的底面圆的半径长为，其侧面展开图是圆心角为，∴圆锥的母线长l＝＝3，∴圆锥的高h＝＝3，∴该圆锥体的体积：V＝＝．故答案为：．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．（5分）已知（﹣）9的二项展开式中的常数项的值是a，若3i•z+a﹣6i＝72+3i（其中i是虚数单位），则复数z的模|z|＝5．（结果用数值表示）【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出a的值，根据复数相等，求出z，可得z的模．【解答】解：已知（﹣）9的二项展开式的通项公式为T r+6＝•（﹣1）r•，令﹣9＝8，可得它的常数项的值是a＝，若4i•z+a﹣6i＝72+3i（其中i是虚数单位），则6i•z+84﹣6i＝72+3i＝3+7i，则复数z的模|z|＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，复数相等，求复数的模，属于中档题．9．（5分）若关于x、y的二元一次线性方程组的增广矩阵是，且是该线性方程组的解中第3行第2列元素的代数余子式的值是4．【分析】根据增广矩阵与方程组的解求出m、n的值，再根据余子式的定义知在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式，求值即可．【解答】解：把二元一次线性方程组的增广矩阵是；，且是该线性方程组的解；所以三阶行列式为，其中第3行第8列元素的代数余子式为M32＝﹣＝﹣（﹣1）×4+1×0＝5．故答案为：4．【点评】本题主要考查增广矩阵的定义以及与线性方程组的关系、互相转化等知识，是基础题．10．（5分）某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者（其中男生2人、女生5人）中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是25．（结果用数值表示）【分析】根据题意，用排除法分析：先计算从7人中随机选取3名同学的选法，再排除其中都是女生，没有男生的选法，即可得答案．【解答】解：根据题意，从7人中随机选取3名同学23＝35种选法，其中都是女生，没有男生的选法有C52＝10种，则至少有一位是男生的选法有35﹣10＝25种；故答案为：25．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及排除法的应用，属于基础题．11．（5分）已知平面向量、满足||＝5，|，•＝3，向量+（1﹣λ）•（λ∈R），且对任意λ∈R，总有||≥2成立（﹣∞，﹣6]∪[4，+∞）．【分析】根据||＝5，||＝1，•＝3，求出的夹角正余弦，然后将坐标化，再结合向量＝λ⋅+（1﹣λ）•（λ∈R），可知坐标化后，它们的终点共线；最后结合|+k|的几何意义，构造出k的不等式即可．【解答】解：因为||＝5，|，•＝3，令，，则，sin．不妨取．过点A（4，0））的直线AB的方程为：．又＝λ⋅（λ∈R），故，|+k，其几何意义为C点到点（﹣5k．对任意λ∈R，总有||≥2，只需，d min即为点（﹣7k，0）到直线2x+11y﹣10＝3的距离，故，即|k+1|≥2，或k≤﹣6．故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[3．【点评】本题考查平面向量的运算、几何意义和性质，同时考查学生的运算能力，属于中档题．12．（5分）已知a、b∈R，函数f（x）＝x2+ax+b+|x2﹣ax﹣b|（x∈R），若函数f（x）的最小值为2b2，则实数b的取值范围是[0，1]．【分析】根据函数的单调性，求出函数的最小值，得到关于b的方程，求出b的范围即可．【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+b+|x2﹣ax﹣b|（x∈R），函数f（x）的最小值为5b2，则设g（x）＝，函数g（x）的最小值为b2，∴g（0）＝≥b2，解得：0≤b≤6，g（x）＝，其中x7＝＜0，x2＝＞2，当a＞0时，g（x）min＝g（x1）＝＝b2，故x3＝﹣b，即＝﹣b，化简得：b（a+b﹣1）＝0，故b＝2或b＝1﹣a＜1，当a＝5时，g（x）min＝b＝b2，解得：b＝0或b＝6，当a＜0时，g（x）min＝g（x2）＝＝b2，故x2＝b，即＝b，化简得b（b﹣a﹣1）＝0，故b＝3或b＝a+1＜1，综上：b的取值范围是[6，1]，故答案为：[0，2]．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知a、b、l是空间中的三条直线，其中直线a、b在平面α上，则“l⊥a且l ⊥b”是“l⊥平面α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】“l⊥a且l⊥b”，当且仅当a，b相交时，“l⊥平面α”，反之，“l⊥平面α”⇒“l ⊥a且l⊥b”，从而“l⊥a且l⊥b”是“l⊥平面α”的必要不充分条件．【解答】解：a、b、l是空间中的三条直线、b在平面α上，“l⊥a且l⊥b”，当且仅当a，“l⊥平面α”，反之，“l⊥平面α”⇒“l⊥a且l⊥b”，∴“l⊥a且l⊥b”是“l⊥平面α”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查直线与平行垂直的判断定理和性质定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）为了得到函数y＝sin x﹣cos x（x∈R）的图象（x∈R）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【分析】函数y＝sin x﹣cos x通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，由条件根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：函数y＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣）∵函数y＝2sin（x﹣）＝sin（x﹣）cos x图象，只需将函数y＝2sin x的图象向右平移个单位长度即可，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．15．（5分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成）．已知OA＝10米（0＜x＜10），线段BA、线段CD、弧、弧，圆心角为θ弧度，则θ关于x的函数解析式是（）A．B．C．D．【分析】根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x的函数解析式；【解答】解：根据题意，可算得弧BC＝x•θ（米）．∴2（10﹣x）+x•θ+10θ＝30，∴（8＜x＜10），故选：A．【点评】本题考查了函数解析式的求解，弧长公式的应用，属于基础题．16．（5分）已知k∈R，函数f（x）＝|x2﹣4|+x2+kx的定义域为R，若函数f（x）在区间（0，4），则k的取值范围是（）A．﹣7＜k＜﹣2B．k＜﹣7或k＞﹣2C．﹣7＜k＜0D．﹣2＜k＜0【分析】令g（x）＝|x2﹣4|+x2，h（x）＝﹣kx，问题转化为g（x）与h（x）在（0，4）上有2个交点，分别求出K OP，K OQ，求出k的范围即可．【解答】解：令g（x）＝|x2﹣4|+x7，h（x）＝﹣kx，画出函数的图象，如图示：，∵函数f（x）在区间（0，4）上有两个不同的零点，∴g（x）与h（x）在（5，4）上有2个交点，由图可知P（6，4），28），故K OP＝2，K OQ＝8，故2＜﹣k＜7，故﹣3＜k＜﹣2，故选：A．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查常见函数的性质以及数形结合思想，考查转化思想，是一道中档题．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E是侧面CDD1C1的中心．（1）连接A1D，求三棱锥A1﹣DED1的体积的数值；（2）求异面直线A1E与AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】（1）地出A1D1⊥平面DCC1D1，由此能求出三棱锥A1﹣DED1的体积．（2）推导出AD∥A1D1，得到∠EA1D1就是异面直线A1E与AD所成的角（或补角），由此能求出异面直线A1E与AD所成的角的大小．【解答】解（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C3D1的棱长为4，点E是侧面CDD3C1的中心，∴A1D4⊥平面DCC1D1，．∴三棱锥A5﹣DED1的体积为：．（2）∵ABCD﹣A1B6C1D1是正方体，∴AD∥A6D1，∵A1D6⊥平面DCC1D1，∴∠EA5D1就是异面直线A1E与AD所成的角（或补角），∵A6D1⊥D1E．∴．∴，即．∴异面直线A1E与AD所成的角的大小是．【点评】本题考查三棱锥的体积、异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（14分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A为钝角b＝0．（1）求角A的大小；（2）记B＝x，求函数f（x）＝cos x+cos（+x）【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式可求，结合A为钝角，即可求解A的值．（2）由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可求f（x）＝，进而可求范围，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，∴根据正弦定理：，可化为．∴．∵A为钝角，即，∴．（2）∵B＝x，A+B+C＝π，∴，且．∴＝＝．又∵，可得．考察函数y＝sin x的图象，可知．因此，．所以函数f（x）的值域是．（写成（，．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．19．（14分）已知实数a、b是常数，函数f（x）＝（++a）（+b）．（1）求函数f（x）的定义域，判断函数的奇偶性；（2）若a＝﹣3，b＝1，设t＝，则函数f（x）的值域与函数g（t）＝（t∈D）（ⅰ）求集合D；（ⅱ）研究函数g（t）＝在定义域D上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数f（x）的最小值．【分析】（1）根据二次根式的性质求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）（i）设（﹣1≤x≤1），则，求出t的范围，从而求出D即可；（ii）根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出f（x）的最小值即可．【解答】解：（1）∵实数a、b是常数，∴由，解得﹣7≤x≤1，1]；对于任意x∈[﹣7，1]，1]，且＝，即f（﹣x）＝f（x）对x∈[﹣1，5]都成立．所以，函数f（x）是偶函数；（2）（i）∵a＝﹣3，b＝1，∴，设（﹣1≤x≤3），则，∴，2≤t2≤7（t≥0），即，∴；（ii）的定义域为，对于任意的t1、t2∈D，且t6＜t2，有＝＝＝，又t1＞0，t3＞0，t1﹣t3＜0，且t1﹣7≤0，t2﹣4≤0（这里二者的等号不能同时成立），∴，即g（t1）﹣g（t2）＞0，g（t1）＞g（t7），∴函数g（t）在D上是减函数，∴，又∵函数f（x）的值域与函数的值域相同，∴函数f（x）的最小值为﹣2．【点评】本题考查了函数的定义域，函数的单调性，最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．20．（16分）定义：已知椭圆＝1（a＞b＞0），把圆x2+y2＝称为该椭圆的协同圆．设椭圆C：＝1的协同圆为圆O（O为坐标系原点）（1）写出协同圆圆O的方程；（2）设直线l是圆O的任意一条切线，且交椭圆C于A、B两点，求•的值；（3）设M、N是椭圆C上的两个动点，且OM⊥ON，过点O作OH⊥MN，求证：点H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程．【分析】（1）由椭圆方程结合协同圆的定义可得该椭圆的协同圆的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，分直线l的斜率存在和不存在两种情况求解的值；（3）由M、N是椭圆C上的两个动点，且OM⊥ON，设M（x3，y3）、N（x4，y4），则x3x4+y3y4＝0，然后分直线OM、ON中有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况加以讨论，结合等面积法求得|OH|＝为定值，可得点H在圆心为坐标原点，半径为的圆上，并求得该定圆的方程．【解答】解：（1）由椭圆，可知a6＝4，b2＝6．根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆；解：（2）设点A（x1，y8）、B（x2，y2），则．∵直线l为圆O的切线，故分直线l的斜率存在和不存在两种情况加以讨论：①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝．若l：x＝，由，可解得，此时，；当l：x＝﹣时，同理可得：．②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+t．由，得（6+2k2）x7+4ktx+2t4﹣4＝0．，，得y1y3＝（kx1+t）（kx2+t）＝．又由于直线l是圆O的切线，故，得2t2＝4k4+4．∴，即．综上，总有；证明：（3）∵M、N是椭圆C上的两个动点．设M（x3，y3）、N（x4，y4），则x4x4+y3y2＝0．下面分直线OM、ON中有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况加以讨论．不妨设直线ON的斜率不存在，即点N在y轴上，有，．由，解得|OH|＝；若直线OM、ON的斜率都存在8x，则．由，得，可得．同理可得．于是，|MN|＝＝．由，可得|OH|＝．因此，总有|OH|＝，半径为．该定圆的方程为圆．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查向量数量积的运算，考查运算求解能力，是综合题．21．（18分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，数列{a n}（n∈N*）满足a2≠a1，a n＝f（a n﹣1），f（a n）+kf（a n﹣1）＝t（a n+ka n﹣1）（n≥2，n∈N*）（实数k、t是非零常数）．（1）若k＝﹣1，且数列{a n}（n∈N*）是等差数列，求实数t的值；（2）若a2+ka1≠0，数列{b n}（n∈N*）满足b n＝a n+1+ka n（n∈N*），求通项公式b n；（3）若k＝﹣1，t≠1，数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a1＝a（a≠0，a∈R），a2≠a1，试证明：f（a）＝t•a．【分析】（1）利用已知条件得到，再结合数列是等差数列，即可得到d＝td，从而得到答案；（2）利用已知条件可得，得到数列是等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可得到答案；（3）利用（1）（2）中的结论，再利用迭加法即可得到a n，从而判断出数列是等比数列，进一步分析即可证明．【解答】（1）解：∵数列满足a2≠a1，a n＝f（a n﹣3），，∴，∵数列是等差数列，a2≠a1，k＝﹣6，记公差为d，则公差d≠0．∴a n+1﹣a n＝t（a n﹣a n﹣5），即d＝td，∴t＝1；（2）解：∵a2+ka5≠0，数列，∴b6＝a2+ka1≠5，，∴数列是首项为b2，公比为t的等比数列，∴；（3）证明：∵k＝﹣1，t≠1，a8≠a1，∴，根据（2），可知当k＝﹣1时，，∴a n＝（a n﹣a n﹣4）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a8﹣a1）+a1＝b n﹣3+b n﹣2+…+b1+a6＝，∴，∵数列是等比数列，∴，解得a2＝ta，又a2＝f（a4）＝f（a），∴f（a）＝ta．【点评】本题考查了数列的综合应用，涉及了数列递推式的应用，解题的关键是利用递推公式得到新数列为等差数列或等比数列，综合性较强，要求学生对等差数列和等比数列的相关知识能灵活运用．。
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考试试卷黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）2014.1.9考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上） 1.函数()()21log 2+-=x x x f 的定义域是 ．2.己知全集U R =，集合{}R x x x A ∈>+=,21|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-=R x xx x B ,02|， 则()=BA C U .3.已知幂函数()x f 存在反函数，且反函数()x f 1-过点（2，4），则()x f 的解析式是 .【答案】()0)f x x =? 【解析】试题分析：首先要弄清幂函数的形式，其次要弄懂反函数的性质，反函数图象过点(2,4)，说明原函数图象过点(4,2)，设()a f x x =，则42a=，则12a =，故()0)f x x =≥. 考点：幂函数，反函数的性质.4.方程22937=-⋅xx的解是 .5.己知数列{}na 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则na=________.6.已知向量()θθsin ,cos =，()2,1-=,若a ∥b ，则代数式θθθθcos sin cos sin 2+-的值是 ． 【答案】5 【解析】试题分析：利用向量平行的充要条件，由a ∥b 得cos sin 12θθ=-，即sin 2cos θθ=-，代入求值式即得． 考点：向量平行．7.三阶行列式45sin 2cos 610sin ---x x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为8.各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是_________.9.1531⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式的常数项的值是__________．【答案】5005 【解析】试题分析：其二项展开式的通项公式为30515611515((1)rr rr r r r T C C x --+==-，令30506r -=，即6r =，所以常数项为第7项66715(1)5005T C =-=．考点：二项展开式的通项公式．10.把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里 ．则恰好有一个盒子空的概率是 （结果用最简分数表示）11.将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm ，圆心角为34π，则圆锥的体积是________3cm .12.从某项有400人参加的群众性运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计成如下表，则400人的成绩的标准差的点估计值是 ．【答案】1.09 【解析】试题分析：在统计学中，一般用样本来估计总体，即本题中我们用样本的标准差来估计总体的标准差，对容量为n 的样本，其方差为22221111()n n i i i i s x x x x n n ===-=-∑∑，本题中样本容量为50，计算出21.16s =，因此标准差为 1.09s =≈，此即为总体400人的成绩的标准差．考点：方差与标准差，总体与样本．13.设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,β≤恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b a bn am ++≤+（当且仅当α∥β，即bman =时等号成立），己知+∈R y x ,k x y +恒成立，利用可西不等式可求得实数k 的取值范围是14.．己知数列{}n a 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________． 【答案】1017072 【解析】试题分析：这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有211a a -=，322a a +=，433a a -=，544a a +=，…，201520142014a a +=，201620152015a a -=，我们的目的是求201612342016S a a a a a =+++++，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即n 为偶数的式子相加），将会得到234520142015242014a a a a a a ++++++=+++，好像离目标很近了，但少12016a a +，而1a 与2016a 分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到1201622105()()a a a a +-+=二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【答案】C 【解析】试题分析：这是考查不等式的性质，由于0ab >，因此不等式11a b<两边同乘以ab 可得b a <，即a b >，16.已知空间两条直线n m ,，两个平面βα,，给出下面四个命题：①；n m n m αα⊥⇒⊥,,‖ ②αβα≠⊂m ,‖，β≠⊂n n m ⇒；③；n m n m αα‖,‖,‖⇒ ④。
n m n m βαβα⊥⇒⊥,,‖,‖ 其中正确命题的序号是（ ）.)(A ①④ )(B ②③ )(C ①②④ )(D ①③④17.某程序框图如图所示，现在输入下列四个函数，则可以输出函数是（ ）)(A ()21121+-=x x f)(B ()x xxx f 211lg-+-= )(C ()x xx f x2112--=)(D ()x x x f 32--=18.己知C z z z ∈321,,，下列结论正确的是 （ ）)(A 若0232221=++z z z ，则0321===z z z )(B 若0232221>++z z z ，则 232221z z z ->+ )(C 若232221z z z ->+ ，则0232221>++z z z )(D 若11z z -=（z 为复数z 的共轭复数），则1z 纯虚数．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，1A 在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心，如图所示：（1）联结1BC ，求异面直线1AA 与1BC 所成角的大小； （2）联结C A 1、B A 1，求三棱锥C 1－BCA 1的体积．【答案】（1）4π；（2∴1,CC BC ⊥即四边形11BCC B 为正方形． ∴异面直线1AA 与1BC 所成角的大小为4π．20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分 ． 已知函数()c x x x f ++=ωωcos sin 3（R x ∈>,0ω，c 是实数常数）的图像上的一个最高点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,6π，与该最高点最近的一个最低点是⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,32π， (1)求函数()x f 的解析式及其单调增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且ac BC AB 21-=⋅，角A 的取值范围是区间M ，当M x ∈时，试求函数()x f 的取值范围.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分10分 ． 我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()x f 与第x 天近似地满足()xx f 88+=（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()x g 近似地满足()22143--=x x g （元）．（1）求该村的第x 天的旅游收入()x p （单位千元，1≤x ≤30，*∈N x ）的函数关系；（2）若以最低日收入的20％作为每一天的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？【答案】（1）()p x =**9688976,(122,)132081312.(2230,)x x x N x x x x N x ⎧++≤≤∈⎪⎪⎨⎪-++<≤∈⎪⎩；（2）能收回投资．【解析】试题解析：(1)依据题意，有*8()()()(8)(143|22|)(130,)p x f x g x x x x N x=⋅=+⋅--≤≤∈ =**9688976,(122,)132081312.(2230,)x x x N x x x x N x ⎧++≤≤∈⎪⎪⎨⎪-++<≤∈⎪⎩所以，日最低收入为1116千元.该村两年可收回的投资资金为111620%5%30122⨯⨯⨯⨯⨯=8035.2(千元)=803.52(万元) .因803.52万元>800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金.考点：（1）分段函数解析式；（2）分段函数的最值问题．（2）若函数()x f 满足条件（1），且对任意[]10,30∈x ，总有()[]10,30∈x f ，求c 的取值范围；（3）若b=0，函数()x f 是奇函数，()01=f ，()232-=-f ，且对任意[)+∞∈,1x 时，不等式()()0<+x mf mx f 恒成立，求负实数m 的取值范围．类比函数k y x=的图像，可知函数()f x 的图像的对称中心是(,)d b -． 又函数()f x 的图像的对称中心是(1,3)-，3,1.b d =⎧∴⎨=⎩23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知数列{}n a ，满足62=a ，n a a a a n n n n 11111=-++-++()*∈N n ， （1）已知1111,(*)(1)n n a b b n N n n ++==∈+，求数列{}n b 所满足的通项公式； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）己知02lim =∞→n n n ，设n c ＝n a n c+(*)n N ∈，常数0,c c R ≠∈,若数列{}n c 是等差数列，记23123nn nS c c c c c c c c=++++，求limnnS→∞.由（1）得(1)(21)(2,*)n n a n n b n n n n N =-=-≥∈，又26a =，可求得11a =．当1n =时，(21)1(211)1n a n n =-=⨯⨯-=，符合公式*(21)()n a n n n N =-∈． ∴数列{}n a 的通项公式*(21),n a n n n N =-∈．(3)由(2)知，(21)n n n c n c-=+，*n N ∈．又{}n c 是等差数列， 因此，当且仅当(21)(21)221n n n c c c n c n c n c-+==--+++是关于n 的一次函数或常值函数，即12c =-(0c ≠)． 于是，*2,n c n n N =∈，。