9-6含参变量积分
含参变量的积分例题详解
含参变量的积分例题详解一、引言在数学中，含参变量的积分是一个重要的概念，它涉及到函数的整体性质。
理解并掌握含参变量的积分对于解决各种实际问题具有深远的意义。
下面，我们将通过一个具体的例题来详解含参变量的积分。
二、例题详解假设我们要求解这样一个积分：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx。
这是一个典型的含参变量的积分问题，其中参数为x，被积函数含有x^2。
我们需要根据这个问题的特点，灵活运用积分的各种方法，包括换元法、分部积分法等，来解决它。
首先，我们考虑换元法。
将x换元为t，令t=a-x，则原积分可以改写为：∫(上限a，下限0)e^(a-x)*x^2dx。
注意到e^(a-x)是一个常数，因此我们可以将积分区间变为[0,a]，这样原积分就变成了一个简单的定积分。
接下来，我们使用分部积分法对被积函数进行化简。
被积函数中的x^2可以分解为x的导数乘以x，即x*(x-1)。
因此，原积分的被积函数可以表示为e^(a-x)*(x-1)*x。
对这部分进行积分，我们可以得到∫(上限a，下限0)e^(a-x)*(x-1)*xdx=e^(a-x)*(x^2-x)|(上限a，下限0)=a^3/3-a^2/2。
最后，我们将两部分相加得到最终结果：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx=a^3/3-a^2/2+C，其中C为常数。
三、总结通过这个例题，我们可以看到含参变量的积分需要我们灵活运用各种积分方法，包括换元法和分部积分法等。
同时，我们需要对被积函数进行适当的化简，以便更好地理解和求解含参变量的积分。
需要注意的是，当参数或者被积函数含有复杂的形式时，我们需要更深入地理解和分析问题，才能找到合适的解决方法。
总的来说，含参变量的积分是数学中的一个重要概念，它涉及到函数的整体性质和变化规律。
通过理解和掌握含参变量的积分，我们可以更好地解决各种实际问题，为我们的学习和工作提供有力的支持。
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
含参变量积分(课件+例题+论文)
含参量反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,) 上一致收敛.
例2 : 证明含参量反常积分 e xy sin x dx
0
x
在 [0,d] 上一致收敛.
证 : 由于反常积分 sin xdx 收敛
0x
(当然，对于参量y,它在[0, d ]上一致收敛)
函数g(x, y) exy对每个x [0, d ]单调且对任何
u 一致收敛的柯西准则:
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
条件是 0, M c,A1, A2 M ,x [a,b],都有
A2 f (x, y)dy . A1
u 一致收敛的充要条件;
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
解 :
记I ( )
1
1
dx x2
2
.
由于
,1
,
1
1 x2
2
都是和x的连续函数，
所以I( )在 0处连续，从而
lim
0
1
dx
1 x2 2
I(0)
1 dx 0 1 x2
. 4
例2 : 解:
求 I 1 xb x a dx (b a 0).
c
f
( x,
y)g( x,
y)dy
在[a , b]上一致收敛 .
例1 :
证明反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,)上一致收敛.
证:
由于y R有
含参变量的积分求导公式
含参变量的积分求导公式1.引言积分求导是微积分中非常重要的概念，它使我们能够在数学和物理问题中处理函数的变化率和曲线的斜率。
在一元微积分中，我们通常处理不包含参量的函数，而不受外界因素的影响。
然而，在某些情况下，我们需要考虑参量对函数的影响。
本文档将介绍含参变量的积分求导公式，并提供一些具体例子来帮助读者理解和应用这些公式。
2.含参变量的积分求导公式在含参变量的函数中，函数的形式可以写为$f(x;a)$，其中$x$表示自变量，$a$表示参数。
求导的目标是找到函数在某一点$x$的斜率或变化率。
在求导过程中，我们将参数$a$视为常数，只对变量$x$进行求导。
根据链式法则，含参变量的积分求导公式可以写为：$$\f ra c{d}{d x}\in t{f(x;a)d x}=\int{\f ra c{\p ar ti al}{\p ar ti a lx}f(x;a)d x}$$其中，$\f ra c{\p ar t ia l}{\pa rt ia lx}f(x;a)$表示对函数$f(x;a)$关于$x$的偏导数。
注意，求导结果仍然包含变量$x$。
3.示例为了更好地理解含参变量的积分求导公式，我们来看几个具体的例子。
3.1.例子1考虑一个含参变量的函数$f(x;a)=x^2+a x$，我们的目标是求它在某一点$x_0$的斜率。
首先，我们对函数$f(x;a)$关于$x$进行偏导数运算，得到：$$\f ra c{\p ar ti al}{\p ar ti al x}f(x;a)=2x+a$$然后，我们可以根据公式计算出在点$x_0$处的斜率：$$\f ra c{d}{d x}\in t{f(x;a)d x}=\int{\f ra c{\p ar ti al}{\p ar t i a lx}f(x;a)d x}=\i n t{(2x+a)dx}=x^2+ax+C$$其中，$C$为常数。
3.2.例子2现在考虑一个含参变量的函数$f(x;a)=e^{ax}$。
含参变量积分求导法则
含参变量积分求导法则
含参变量积分求导法则是微积分中的一个重要概念，它是指对含有参
数的积分函数进行求导的方法。
在实际应用中，含参变量积分求导法
则被广泛应用于物理、工程、经济等领域，具有重要的理论和实际意义。
含参变量积分求导法则的基本思想是将含有参数的积分函数看作一个
整体，然后对其进行求导。
具体来说，假设有一个形如F(x,t)的含参变量积分函数，其中x为自变量，t为参数，那么对其进行求导的方法如下：
首先，将F(x,t)看作一个整体，对其进行求导，即：
dF/dx = ∫(∂F/∂x)dx + ∫(∂F/∂t)dt
其中，第一个积分符号表示对x进行积分，第二个积分符号表示对t
进行积分。
在这个式子中，∂F/∂x表示F对x的偏导数，∂F/∂t表示F 对t的偏导数。
接下来，根据积分的可加性，将第一个积分符号中的∂F/∂x提取出来，得到：
dF/dx = ∂/∂x ∫F(x,t)dt + ∫(∂F/∂t)dt
这个式子就是含参变量积分求导法则的基本形式。
它表示了含参变量
积分函数对自变量x的导数，可以通过对积分函数中的每一个t进行
积分，再对积分结果对x求导得到。
需要注意的是，含参变量积分求导法则只适用于一类特殊的积分函数，即积分上限和下限都是常数的情况。
如果积分上限和下限是变量，那
么就需要使用含参变量积分求导法则的推广形式。
总之，含参变量积分求导法则是微积分中的一个重要概念，它为我们
研究含有参数的积分函数提供了一种有效的方法。
在实际应用中，我
们可以根据这个法则，对含参变量积分函数进行求导，从而得到更加
精确的结果。
含参变量有限积分的计算
课程论文题目学生姓名毛文龙所在院系理学院指导教师职称完成日期 2011年6月20日含参变量有限积分的计算一、引言含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。
二、定义及性质 1.积分限固定的情形定义 设二元函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,有定义，[]βα,∈∀u ，一元函数()u x f ,在[]b a ,可积，即积分()⎰ba dx u x f ,存在。
[]βα,∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值）()⎰b adx u x f ,。
于是，积分()⎰badx u x f ,是定义在区间[]βα,的函数，表为()()⎰=badx u x f u ,ϕ，称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。
性质1(连续性) 设函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,连续，则函数()()⎰=ba dx u x f u ,ϕ在区间[]βα,也连续。
这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。
即对任意[]βα,0∈u ，()()⎰⎰→→=ba u ub au u dx u x f dx u x f ,lim ,lim0。
同理可证，若()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,上连续，则含参变量的积分()()⎰=dc dy y u f u ,ψ也在区间[]βα,上连续。
性质2(可微性) 若函数()u x f ,及其偏导数uf∂∂在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，则函数()()⎰=badx u x f u ,ϕ在区间[]βα,可导，且[]βα,∈∀u ，有()()()dx uu x f u du du b a ⎰∂∂==',ϕϕ。
说明被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时，导数与积分运算是可以交换顺序的。
9-6含参变量的积分
其中 在 ( x )与 ( x x ) 之间. 当 x 0 时,
1 x [ ( x x ) ( x )] ( x ),
f ( x x , ) f [ x , ( x )],
于是
x
1
( x x ) (x)
其中 0 1 ， 可小于任意给定的正数 ，只要 x 小于某个正数 . 因此
( x , y , x ) dy
lim
x 0
dy ( )
( x ),
这就是说 综上所述有
( x , y , x ) dy 0 .
例1 设 ( x ) x
解
x
2
sin xy y
dy , 求 ( x ).
应用莱布尼茨公式，得
( x )
x x
2
cos xydy
x
2
sin x x
2
2
2x
3
sin x x
2
2
1
2 sin x sin x sin xy x x x x
(x)
f ( x x, y) f ( x, y) x
(x)
dy
(x)
f ( x , y ) x
(x)
dy .
对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得
x
1
1
( x x ) (x)
f ( x x , y )dy
x
[ ( x x ) ( x )] f ( x x , ),
含参变量积分.ppt
定理2 如果函数 f ( x, y) 在矩形
R(a x b, y )
上连续,则
b
b
a [ f ( x, y)dy]dx [a f ( x, y)dx]dy.
公式（2）也可写成
b
b
a dx f ( x, y)dy dya f ( x, y)dx.
(2)
(2)
要点是:积分号与积分号的互换.
( xx )
( x)
f ( x x, y)dy f ( x, y)dy.
xx ( xx )
(x)f ( x ຫໍສະໝຸດ x, y)dy( xx )
(x)
( x)
f ( x x, y)dy f ( x x, y)dy
( xx )
(x)
( xx )
f ( x x, y)dy,
R(a x b, b )
上连续，那么由积分
(
x)
f
(
x,
y)dy
(a
x b)
确定的函数 ( x)在 [a, b]上也连续.
同理
x
x
x
f
x,
ydy
3
也是参变量 x的函数.
要点是:积分号与极限号的互换.
高等数学（下）
例1 求
lim 1 e xydx.
y0 0
高等数学（下）
定理1证 设 x 和 x x 是[a,b]上的两点，则 ( x x) ( x)
x 0
高等数学（下）
证 因为 ( x) lim ( x x) ( x) ,
x0
x
为了求 ( x)，先利用公式(1)作出增量之比
( x x) ( x)
x
f ( x x, y) x
含参变量积分的性质
目录1引言 ................................................... 1 2含参变量积分 . (1)2.1一元含参变量的有限积分函数()()⎰=badx u x f u ,ϕ的定义及其分析性质 (1)2.2含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质 ............................................ 4 2．2.1含参变量的有限二重积分函数定义及其分析性质 .. (4)2.2.2含参变量的有限n 重积分函数的分析性质 (10)3例题 .................................................. 11 4结束语 ................................................ 14 参考文献 ............................................... 15 致谢 (16)含参变量积分的性质数学系0803班 陈璐指导教师 王芳摘 要：含参变量积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数但又是以积分形式给出的,所以它在积分计算中起着桥梁作用，本文通过对一元含参变量的有限积分函数:A ()()⎰=ba dx u x f u ,ϕ的定义及其在区间[]b a ,上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发，阐述了含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质，分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n 重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式，最后给出了一些应用实例。
关键词：含参变量，积分函数，分析性质。
Including the nature of the integral depending on a parameterChen LuClass 0803, Mathematics DepartmentTutor: Wang FangAbstract : Contain integral depending on a parameter is a kind of a special points, because it is an integral form and function are given, so it plays in the integral calculation bridge. This paper, with a yuan of parameter of the integral function limited definition A and in the analysis of the interval nature (continuity, the differentiability and integrality) article, expatiates the heavy integral depending on a parameter with limited definition and nature of the function analysis, were deduced with the double integral depending on a parameter, function and the parameter with limited heavy continuity of integral function, can the sex and integrable theorems and formula. Finally gives some practical examples.Key words: including parameter, integral function, analysis of the interval nature.1引言目前，许多学者对含参变量积分的性质的研究已经达到了一定的深度，主要研究了许多运用含参变量积分的性质解决实际问题的方法。
含参变量的积分
ξ12.3 含参变量的积分一、含参变量的有限积分设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈∀u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分dxu x f a b),(⎰存在 ],[βα∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值)),(u x f a b⎰dx .于是，积分dx u x f a b),(⎰是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βαϕ∈=⎰u dx u x f ab u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。
下面讨论函数)(u ϕ在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间也连续。
证明有，使取],,[u ],,[βαβα∈∆+∆∈∀u u u.),(),()()(.)],(),([)()dx u x f u u x f abu u u dx u x f u u x f abu u u -∆+≤-∆+-∆+=-∆+⎰⎰ϕϕϕϕ（根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈∀>∃>∀y y x x R y x y x 有ε<-),(),(2211y x f y x f .特别地，.:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有 .),(),(ε<-∆+u x f u u x f 于是，,δ<∆u 有)(),(),()()(a b dx u x f u u x f ab u u u -<-∆+≤-∆+⎰εϕϕ 即函数在区间连续.设[]βα,0∈u ，由连续定义，有)()(lim ),(limu u dx u x f a bu u u u ϕϕ==→→⎰=dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(00→⎰⎰=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与uf∂∂在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈∀u ，有dxu u x f a b u du d∂∂=⎰),()(ϕ 或dx u u x f a b dx u x f abdu d ∂∂=⎰⎰),(),(. 简称积分号下可微分.证明 [][],,u,,,βαβα∈∆+∆∈∀u u u 使取有[].),(),()()(dx u x f u u x f abu u u -∆+=-∆+⎰ϕϕ （1） 已知uf∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<<∆∆+=-∆+θθu u u x f u x f u u x f u 将它代入（1）式，等号两端除以u ∆，有.10,),()()('<<∆+=∆-∆+⎰θθϕϕdx u u x f ab u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f abu ),('⎰，有d x u x f abu u u u u ),()()('⎰-∆-∆+ϕϕ dx u x f u u x f ab u u ),(),(''-∆+≤⎰θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即,0,0>∃>∀δε,:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有.),(),(''εθ<-∆+u x f u u x f u u 从而，有),(),()()('a b dx u x f abu u u u u -≤-∆-∆+⎰εϕϕ即 dx u x f abuu u u u u ),()()(lim '0⎰=∆-∆+→∆ϕϕ 或.),()(dx u u x f a b u dud∂∂=⎰ϕ 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间[]βα,可积，且.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ （2） 简称积分号下可积分.证明 根据定理1，函数)(u ϕ在[]βα,连续，则函数)(u ϕ在区间[]βα,可积.下面证明等式（2）成立.[]βα,∈∀t ，设.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰αα根据4.8ξ定理1，有.),()('1dx t x f abt L ⎰=已知du u x f t ),(⎰α与du u x f tt ),(⎰∂∂α都在R 连续，根据定理2，有dx du u x f ta b dt d t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰),()('2α =dx du u x f t t a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰),(α =dx t x f ab),(⎰.于是，[]βα,∈∀t ，有()().'2'1t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。
第17章含参变量的积分
2019年2月26日星期二
7
§17 含参变量的正常积分
0, 0,只要 x , 就有
f ( x x, y ) f ( x, y ) f x ( x, y ) x f x (x x,y)-f x (x,y) , 其中 (0,1).因此
第十七章 含参变量的积分
级数与积分是构造函数的两个重要分 析工具。我们已经介绍了一种利用定积分 构造的函数──积分上限的函数。 本章和 下章介绍另一种利用 Riemann 积分与广义 积分构造的函数──含参变量的正常积分与 含参变量的广义积分，并研究它们的分析 性质：连续性、可微性、可积性。
2019年2月26日星期二
J ( y ) 在 [c, d ] 上可积。记为
b
a
I ( x ) dx J ( y)
d
c
f ( x, y) dy dx dy f ( x, y ) dx dy
b d a c d b c a
b
a d
dx dy
d
c b
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
x 取 [a, b] 上某定值时,函数
上以 y为自变量的一元函数.若此时 f ( x, y)在 [c, d ]上可积,
则其积分值是 x 在 [a, b]上取值的函数,表为
I(x) f ( x, y)dy, x [a, b （定义域） ]
c
d
称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分.
2019年2月26日星期二 3
(证毕)
2019年2月26日星期二 8
§17 含参变量的正常积分
下面讨论可积性. 设 f ( x, y) 在矩形 [a, b; c, d ]上连续，那末由定理1 ，函数
第十讲含参变量的积分
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
含参变量积分法求定积分
含参变量积分法求定积分一、引言在数学中，定积分是求解曲线下面的面积的一种方法。
含参变量积分法是一种特殊的积分方法，它能够解决一类带有参数的定积分问题。
本文将详细介绍含参变量积分法的原理和应用。
二、含参变量积分法的原理含参变量积分法是通过引入一个参数，将原本的定积分问题转化为一个关于参数的函数的积分问题。
通过对这个参数的求导和积分操作，可以得到原问题的解。
三、含参变量积分法的步骤使用含参变量积分法求解定积分问题的一般步骤如下：1. 引入参数将原问题中的变量替换为参数，并引入一个新的变量。
2. 求导对引入的参数进行求导操作，得到关于参数的导函数。
3. 积分对导函数进行积分操作，得到关于参数的积分函数。
4. 求解参数解关于参数的积分函数，得到参数的值。
5. 求解原问题将参数的值代入原问题中，得到原问题的解。
四、含参变量积分法的实例应用现在我们通过一个实例来说明含参变量积分法的应用。
实例：求解定积分 ∫x n 1+x 10dx1. 引入参数我们将指数 n 替换为参数 t ，得到 ∫x t 1+x 10dx 。
2. 求导对参数 t 求导，得到导函数 d dt (∫x t 1+x 10dx)。
3. 积分对导函数进行积分操作，得到积分函数 F (t )=∫d dt (∫x t 1+x 10dx)dt 。
4. 求解参数解关于参数的积分函数 F (t )，得到参数的值。
5. 求解原问题将参数的值代入原问题中，得到原问题的解。
五、含参变量积分法的优点和局限性含参变量积分法具有以下优点： - 可以解决一类带有参数的定积分问题。
- 可以通过引入参数，简化定积分的计算过程。
然而，含参变量积分法也存在一些局限性： - 只适用于特定类型的定积分问题。
- 对于复杂的问题，可能需要进行多次求导和积分操作，增加了计算的复杂性。
六、总结含参变量积分法是一种求解带有参数的定积分问题的方法。
通过引入参数、求导、积分、求解参数和求解原问题的步骤，可以得到定积分的解。
含参变量积分求导公式
含参变量积分求导公式今天我们将介绍含参变量积分求导公式，它对学习特殊函数的数学技能特别有用。
我们将从含参变量积分的定义开始，继而解释其含参变量积分求导公式，并给出一个例子来阐述其用法。
含参变量积分是指在计算数学运算时，多个变量出现在积分表达式中。
它可以看做是一种特殊类型的积分，其中可以有多个变量，但是积分只包含一个变量，使用它可以获得一个复杂函数的积分。
它可以帮助我们快速计算出某一特定函数的积分以及其导数。
含参变量积分求导公式可以用一下公式来描述：前置导数：$${\frac{\partial}{\partial x}\int_{a}^{b}F(x,y) \mathrm {d} x=F(x,y)}$$后置导数：$${\frac{\partial}{\partial y}\int_{a}^{b}F(x,y) \mathrm {d} x=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y} F(x,y) \mathrm {d} x}$$上面这两个公式分别是含参变量积分求导公式的前置导数和后置导数公式，他们用来计算变量积分求导。
下面，我们来看一个例子，求解：$${\frac{\partial}{\partial t}\int_{0}^{t}y(t) \mathrm {d} t}$$对于这个例子，我们可以利用上面的后置导数公式，得到：$${\frac{\partial}{\partial t}\int_{0}^{t}y(t) \mathrm {d} t=\int_{0}^{t}\frac{\partial}{\partial t}y(t) \mathrm {d} t}$$由此可见，如果想通过含参变量积分求导，可以使用上面的两个公式，通过计算有积分函数中多个变量之间的偏导来计算变量积分求导。
数学分析 第十九章 课件 含参变量的积分
d c
| x | ，就有 | f ( x x, y ) f ( x. y ) | 因此只要
y [c, d ] 都成立，因而
| I ( x x) I ( x) | | f ( x + x) f ( x, y ) | dy
c d
d c
d
，对
d c
即
I ( x, u ) 在 ( x0 , u0 ) 点连续，由 I ( x0 , u0 ) [a, b] [c, d ]
的任意性，便证得 I ( x, u ) 在[a, b] [c, d ]连续。 （2）由微积分基本定理，I 对u有连续的偏导数
I f ( x, u ) u
又由定理19.2，I对x也有连续的偏导数
注意到 I(0)=0，故
I (1) I (1) I (0) I ( ) d
0
1
1 1 [ ln 2 ln(1 )]d 2 0 1 4 2 1 ln(1 ) 1 1 2 [ ln(1 ) ln 2 arctan ]| d 0 0 1 2 8 2
0
dx 1 cos x 0
1 arctan t 1 0 1 2 1 2 2
因此
I ( ) 1 2 1 2 (1 1 2 )
积分得
I ( )
d 1 2 (1 1 2 )
则 F ( x)
d ( x)
c( x)
f ( x, y)dy 在[a, b]连续。
证明: 令u=d (x) ,v=c (x), I ( x, u ) f ( x, y)dy
含参变量积分
( x) = f ( x) 的解，并且满足条件 y (a) = y ' (a) =
n −1
= y ( n −1) (a) = 0 。
证明：设 F ( x, t ) = ( x − t )
f (t ) ，则 f ( x, t ), f x ( x, t ) 在 [a, b] × [ a, b] 上连续，因此有
2 ∂ 2u 2 ∂ u 的解。 是弦振动方程 2 = a ∂t ∂x 2
证明：由题设知
∂ 2u ∂ 2u 与 2 均存在，且有 ∂t 2 ∂x
1 ∂u 1 ' = [ f ( x − at )(−a ) + f ' ( x + at ) ⋅ a ] + [aF ( x + at ) + aF ( x − at )] 2a ∂t 2 1 a = [ f ' ( x + at ) − f ' ( x − at )] + [ F ( x + at ) − F ( x − at )] 2 2 2 a ∂u a = [af '' ( x + at ) + af '' ( x − at )] + [ F ' ( x + at ) − F ' ( x − at )] 2 2 2 ∂t
d
d
b
（4）若 f ( x, y ) 在 [ a, b] × [c, d ] 上连续，则
∫
一、 参量的常积分
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c c a
d
d
b
1、 一致收敛性及其判别法 定义 1 设函数定义在无界区域 G = ( x, y ) c ( x ) ≤ x ≤ d ( x), a ≤ x ≤ b 上，若对每一固
含参变量的积分
设二元函数f(x,u)在区域 D(a x , u )
有定义。u [, ],
无穷积分 a
f (x,u)dx 都收敛，即
u [ , ] 都对应唯一一个无穷积分（值）a f (x,u)dx
于是，
f (x,u)dx是区间 a
[, ]
证: 令 F (x,t) (x t)n1 f (t), 显然, F (x,t) 及 Fx (x,t)
在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理5 可得
(x) 1
x
(n
1)( x
t)n2
f
(t) d t
(n 1)! 0
1 (x x)n1 f (x)
(n 1)!
一致收敛(a>0).
0
证明： u [a, ), e 有 ux2 eax2
又x 1，有
eax2
ax
e.
因为无穷积分
1
e
ax
dx
1 a
1
eaxd
(ax)
e
1 a
eax
1
1 a 收敛,
a
所以无穷积分
1
eax2
dx
收敛，从而无穷积分
u [, ]
.
下面给出函数 (u) 在区间 [, ] 的可微性.
定理4. 若 f (x,u)及其偏导数 fu(x,u) 都在矩形域
R(a x b, u )连续,而函数 a(u)与b(u) 在区间
[, ]可导，u [ , ]，有 a a(u) b, a b(u) b
则函数 (u) b(u) f (x,u)dx,u [, ] 在区间 a(u)
含参变量反常积分的几种计算方法
含参变量反常积分的几种计算方法摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。
关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。
本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。
一 积分号下积分法要对含参变量反常积分()(),y ag f x y dx +∞=⎰实现积分号下求积分，须验证以下条件：(1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞⎰在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),cf x y dx +∞⎰在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛；(3) (,)c ady f x y dx +∞+∞⎰⎰及(),a cdx f x y dy +∞+∞⎰⎰至少有一个收敛，则 ()(),,accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰例1 利用20u e du +∞-⎰u=x α令2()0(0)x e dx ααα+∞-∀>⎰，求2e d αα+∞-⎰的值。
分析：2x e dx +∞-⎰这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。
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下面先考虑由积分(*)确定的函数 ( x ) 的微分问题.
x f x , y dy (a x b).
()
都在
定理3
x 矩形 R ( a x b , y )上连续,那么由积分(1) 确定的函数 ( x ) 在 [ a , b ] 上可微分,并且
高等数学（下）
( x x ) ( x )
f ( x x , y ) f ( x , y ) dy ( ).
定理得证
所以 ( x ) 在 [ a , b ]上连续. 的积分存在,这个积分可以写为
注 既然函数 ( x ) 在[ a , b ] 上连续,那么它在 [ a , b ] 上
例6
d dx
sin x
cos x
f x , xy dy .
高等数学（下）
例7
求I
y
1
x x
b
a
0
ln x
dx
y
( 0 a b ).
解
b
x dy [
1
x
b
a
ln y
a
]a
b
x x
b
a
ln x
,
I
这里函数 f ( x , y ) x
dx
0
x dy .
[
a
b
f ( x , y ) dy ]dx
[
b
a
f ( x , y ) dx ]dy .
(2)
公式（2）也可写成
b
a
dx f ( x , y ) dy
dy a f ( x , y ) dx .
b
( 2 )
要点是:积分号与积分号的互换.
高等数学（下）
定理1’ 如果函数 f ( x , y ) 在矩形
f x , y dy
3
高等数学（下）
定理1’证 设 x 和 x x是 [ a , b ] 上的两点，则 ( x x ) ( x )
x x
( x x ) (x)
f ( x x , y ) dy f ( x x , y )dy
[ f ( x x , y ) f ( x , y )] dy . (1 ) 由于 f ( x , y )在闭区域 R 上连续，从而一致连续. 因此对于任意取定的 0 ,存在 0 ,使得对于 R 内 的任意两点( x 1 , y 1 ) 及( x 2 , y 2 ) ,只要它们之间的距离 小于 ,即 2 2 ( x 2 x 1 ) ( y 2 y1 ) , 就有 f ( x 2 , y 2 ) f ( x 1 , y1 ) . 因为点( x x , y )与 ( x , y ) 的距离等于 x ,所以当 x 时,就有 f ( x x, y) f ( x, y) . 于是由（1）式有
b
a
( x ) dx
[
a
b
f ( x , y ) dy ]dx
b
a
dx f ( x , y ) dy .
右端积分式函数 f ( x , y ) 先对 y 后对 x 的二次积分.
高等数学（下）
定理2
如果函数 f ( x , y ) 在矩形 R ( a x b , y ) 上连续,则
R ( a x b , y )
上连续，又函数 ( x )与 ( x ) 在区间[ a , b ] 上 连续， ( x ) , ( x ) ( a x b ), 则含参变量积分 x 在也连续.
x
x
2 2
[
1
dx 1 x
0
1
xdx 1 x 1 2
2
0
1
dx
1 x
2
]
0
[ ln( 1 )
ln 2
4
],
高等数学（下）
上式在 [ 0 ,1 ] 上对 积分,得到
(1 ) ( 0 )
1
ln( 1 )
2
1 1 1 d 1 d ln 2 , 2 2 0 1 2 4 0 1
如果函数 f ( x , y )及其偏导数
f ( x , y )
( x )
dx
d
f ( x , y ) dy
f ( x , y ) x
dy .
(5)
要点是:积分号与求导号的互换.
高等数学（下）
例3
设F x
h
0
ds f x s t dt .
高等数学（下）
( x , y , x ),
其中 0 1 ， 可小于任意给定的正数 ，只要 x 小于某个正数 . 因此
( x , y , x ) dy
lim
x 0
dy ( )
( x ),
这就是说 综上所述有
( x , y , x ) dy 0 .
( x x ) ( x )
x
f ( x , y ) x
dy
( x , y , x ) dy ,
令x 0 取上式的极限，即得公式（5）.
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例5 设 ( x )
x x
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定理1
如果函数 f ( x , y )在矩形 R ( a x b , b ) 上连续，那么由积分 ( x ) f ( x , y ) dy ( a x b ) 确定的函数 ( x ) 在 [ a , b ]上也连续. 同理
x
则 ( x ) 在[ a , b ]上可微，并且 ( x ) f ( x , y ) d (x) ( x ) ( x ) f ( x , y ) dy ( x ) x dy dx f [ x , ( x )] ( x ) f [ x , ( x )] ( x ). (7 ) 称为莱布尼茨公式.
[ f ( x x , y ) f ( x , y )] dy .
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又
(x)
( x x ) (x)
f ( x x , y ) dy M ( x x ) ( x ) , f ( x x , y ) dy M ( x x ) ( x ) .
第四节 含参变量积分
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一、含参变量积分的连续性
设函数 f ( x , y ) 在矩形 R ( a x b , b ) 上的连续函数. 积分
x f x , y dy (a x b).
()
确定了一个定义在 [ a , b ] 上的 x 的函数 称为含参变量 x 积分。
1
x (1 x )( 1 x )
2
0
dx .
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把被积函数分解为部分分式,得到 x 1 x [ ]. 2 2 2 2 (1 x )( 1 x ) 1 1 x 1 x 1 x
于是
( )
1 1 1 1
f ( x x, y ) f ( x , y ) dy . x x f 由拉格朗日中值定理，以及 的一致连续性，我们有 x
( x x ) ( x )
f ( x x, y) f ( x, y) x f ( x , y ) x
f ( x x , y ) x (6)
0
d
即
ln 2 ln 2 ln 2 I I I . 2 4 4 2 4 2 I 8 ln 2 .
从而
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四、小结
1、含参变量的积分所确定的函数的定义 ； 2、含参变量的积分所确定的函数的连续性； 3、含参变量的积分所确定的函数的微分；
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例8 计算定积分 I
1
ln( 1 x ) 1 x
2
0
dx .
解 考虑含参变量 的积分所确定的函数 1 ln( 1 x ) ( ) 0 dx . 2 1 x
显然， ( 0 ) 0 , (1 ) I . 根据公式(5)得
( )
( x x ) ( x )
( x x ) (x) (x)
(x)
( x x )
f ( x x , y )dy
f ( x x , y ) dy (4)
当 x 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
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(x)
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例2 计算 lim
2
sin x dx .
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二、含参变量的函数的微分
定理3’ 如果函数f ( x , y ) 及其偏导数
f ( x , y ) x
都在