T3平面任意力系
第三章平面任意力系
第三章 平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内且任意分布（既不完全平行也不完全相交于一点）。
一、 本次课研究的问题： 1、平面任意力系向平面内一点简化。
2、平面任意力系简化结果分析。
3、平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
4、平面平行力系的平衡方程。
二、学习要求： 学习平面任意力系向平面内一点简化及简化结果分析，掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
三、教学重点、难点： 1、重点：平面任意力系的简化和平面任意力系的平衡。
2、难点：平面任意力系的简化及结果分析。
四、教学方法： 理论推导与事例相结合。
§3-1 平面内任意力系向平面内一点简1、 力线平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B 的矩。
证明：如图3-1（a ）中，力F作用于刚体A 点。
在刚体上任取一B 点，并在B 点加一队平衡力F F ''' ,，且F F F =''-=',如图3-2(b)。
则F F'',为一力偶，这样，就把作用于A 点的力平移到了另一点B 点，但同时附加了一个相应的力偶图3-1()F F'',，如图3-3（c ）,这个力偶称为附加力偶。
附加力偶之矩为()F M Fd M B==反之，此过程也可逆向使用，将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
例：①乒乓球、足球中的弧线球；②如图3-2,厂房柱受偏心载荷F作用，将力平移至柱轴线成为力F'和矩为M 的力偶，柱除受压缩作用外还受弯曲的作用；③如图3-3，攻丝时，要求必须用两手握扳手，且用力要相等。
为什么不许用一只受扳扳手呢?2、平面任意力系向平面内一点简化---主矢和主矩设刚体上作用着平面任意力系,,,321F F F如图3-4（a ）所示。
在平面内任取一点O ，称为简化中心；应用力线平移定理，把各力都平移到点O 。
第三章平面任意力系
平面任意力系
主矢、主矩
固端约束力
简化
分解主矢
=
=
≠
=
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化
三、平面任意力系的简化结果分析
通过分析，平面任意力系的简化得到主矢和主矩。
主矢 FR Fi 主矩 MO MO (Fi )
=
当主矢和主矩为零或非零时，其结果如何？
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化 三、平面任意力系的简化结果分析
Pz
A
M P d cos
P
2
例3-1 已知：力P、轮A的直径d,将
图示力P分解后，向轴线平移。
M
解：1)建立坐标系
x
B
2)将力P分解成Pz和Py分量
Pz Pcos
Py Psin
M
3)将Pz向轴线平移
B
力线向一点平移时所得附加力
偶等于原力对平移点之矩。
力偶M’与M 平衡。
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化
M O2x2F2yy2F2x
y1
Mo (Fi ) (xiFiy yiFix )
所以得： M O R R x iF iy y iF ix 第三章平面任意力系
（b）
§3-1 平面任意力系的简化 五、平面任意力系的平衡
如果主矢、主矩均为零，原力系平衡。
主矢 主矩
FR 0
MO Mo (Fi ) 0
（3-5）
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化
例3-2 已知：P1 450kN, P2 200kN, F1 300kN,
F2 70kN; 求：
主矢 FR Fi 主矩 MO MO (Fi )
第3章平面任意力系
主矢 R
大小：R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
方向：
tg1
Ry Rx
tg1
Y X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
主矩MO
大小： M O mO (Fi )
方向： 方向规定 + —
简化中心： (与简化中心有关) （主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
B
30o
18kN
R Rx2 Ry2 25.592 32.32 42.01 kN
arccosRx arccos25.59 52.480
R
42.01
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由 mA (Fi )
0 P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
YA
P 3
例题3.2图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作
用线到A点的距离.
25kN
20kN
A
60o
1m
1m
1m
解:求力系的主矢
Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 kN Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 kN
3.3 平面任意力系的平衡方程及其应用
R 0为力平衡
所以:
M 0为力偶平衡 O
平面任意力系平衡的必要和充分条件是：
主失和住矩均为零。
R' 0
X 0
M 0 O
Y 0 m (F) 0
平面任意力系
平面任意力系
平面任意力系是探究力学问题中采用的一种数学模型。
该模型被广泛用于研究坐标系内的任意力的作用的原点以及其对物体的影响。
它是一种理论模型，用于理解物体在任意力作用下的受力方向和大小。
平面任意力系以三个坐标轴x, y以及z为基础，以这三个轴上的一组受力大小作为决定物体位置、速度和加速度的参数来描述它。
在静力学中，平面任意力系经常被用来模拟物体受若干外力作用下的质点力学运动。
假设物体受到x轴、y轴和z轴上的n条外力作用，其受力状态可以用平面任意力系来描述。
这些外力在平面任意力系上唯一确定，根据它们的方向以及大小可以计算得到受力物体的转动惯量和转矩。
在运动学中，平面任意力系也被用来描述物体的位置、速度和加速度情况。
根据物体受到的初始加速度以及力学运动的运动方程，可以求得物体在任意时刻的位置、速度和加速度。
这也可以看作是在一组外力的作用下，物体在平面任意力系中运动的过程，通过求解平面任意力系可以计算出物体在任意时刻的位置、速度和加速度。
平面任意力系是一个复杂的理论模型，但它可以简单有效地用于模拟坐标系内多外力作用情况下物体受力情况以及物体的运动状态，在力学和运动学方面都显示出其重要的应用价值。
平面任意力系的平衡方程的三种形式
平面任意力系的平衡方程的三种形式一、概述1. 平面任意力系概念的简介在物体力学中，平面任意力系是一个很重要的概念。
平面任意力系是指一个物体在平面上受到多个力的作用，这些力可以是任意的方向和大小。
平面任意力系的研究对于分析物体的平衡和运动具有重要的意义。
2. 平衡方程的定义和作用平面任意力系的平衡方程是描述物体受力平衡的数学表达式。
通过平衡方程，可以求解物体受力的情况，从而进一步分析物体的平衡状态。
二、平面任意力系的平衡方程的三种形式1. 牛顿第一定律形式牛顿第一定律可以描述为：若物体受到多个力的作用，且这些力相互平衡，那物体将保持静止或匀速直线运动。
根据这一定律，可以得出平衡方程的第一种形式。
即对于平面任意力系，受力平衡时，力在x、y方向上的合力均为0，可以用数学公式表示为：ΣFx = 0；ΣFy = 0。
式中ΣFx表示x方向上的合力，ΣFy表示y方向上的合力。
当ΣFx和ΣFy都等于0时，物体在受力平衡状态。
2. 平衡方程的角度形式平衡方程的角度形式是指从物体受力的角度出发，建立平衡方程。
在平面任意力系中，受力平衡时，物体对于一个特定点的力矩的和为0。
力矩的和可以表示为：ΣM = 0。
式中ΣM表示力矩的和。
根据力矩的定义，可以将力矩表示为力乘以力臂的乘积。
可以将平衡方程的角度形式表示为：ΣM = ΣF × d = 0。
式中d表示力臂的长度。
当ΣM等于0时，说明物体对于特定点的力矩平衡，即物体处于受力平衡状态。
3. 用平面力系的分解形式建立平衡方程在平面任意力系中，可以将作用在物体上的力进行分解，将力分解成在x、y方向上的分力和分力的合力。
根据此方法，可以建立平衡方程的分解形式：ΣFx = 0；ΣFy = 0。
这种形式的平衡方程适用于多种情况，可以将力分解成任意方向上的分力，从而更加灵活地分析物体的受力情况和平衡状态。
三、平衡方程的应用1. 建立平面任意力系的平衡方程在实际问题中，可以通过观察和分析物体受力的情况，建立平衡方程，从而求解物体受力平衡的情况。
工程力学第3章 平面任意力系
l
l
F
60
l
l D
M
B
D
F
60
M
B
3l
G
A
F1
l
G MA
FAy
x A
q
FAx
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F F
x
0, 0,
l
60
y l D
FAx F1 F sin 60 0
y
FAy P F cos 60 0
F
M
M F 0,
A
B
M A M F1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
G3 A
1.8 m
G2
G
G1
2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
FA
FB
解：
1.取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 2.列平衡方程。
G3 G2 G
3.0 m
A1.8 mຫໍສະໝຸດ G12.0 mB
2.5 m
F 0,
M F 0,
B
FA
FB
FA FB G G1 G2 G3 0
C
B
F
cos 45 FAx FC cos 45 2 F 20 kN FAy F FC sin 45 F 10 kN
FC 2 F
28.28 kN
若将力FAx和FAy合成，得
2 2 FRA FAx FAy 22.36 kN
例 题 3
(条件：A、B、C 不在同一直线上)
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
理论力学课件 第三章 平面任意力系
FR´ o´ o
FR´
FR o´ o
d
FR o´
o
d
FR´ ´
FR´ = FR =－FR´´
d MO FR '
平面任意力系简化为一个力，合力矢等于主矢；合力的作用 线在点O的那一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到 点O的距离为d。
（3）平面任意力系平衡 FR´= 0，Mo = 0 平面任意力系平衡。
FAx
FAy p Fsin30 300kN
1 MA M q 3l l Fsin30 l Fcos30 3l 1188kN 2
平面平行力系的平衡条件和平衡方程 如图：物体受平面平行力系 F1 ，F2 ， …， Fn的作用。
y F1 Fn
例3-1 已知F1=150N，F2=200N ， F3=300N ， F= F´ =200N 。求力系向点O的简化结果，并求力系合力 的大小及其与原点O的距离。 解
Fx
y
F1cos45 F2
1 10
j
F
1 3
F
´
x
1
2
2 F3 437.6 N 5 3 F2 Fy F1sin45 10 1 F3 161.6 N 5
F2 F3
O i 200
F1
1 1
100
FR′ 437.6i 161.6 j
MO MO( F ) F1sin45 0.1 1 F3 0.2 0.08F 21.44 N m 5 得力系向点O的简化结果如图（b);
y
F
1 3
F
´
x
1 2
平面任意力系三矩式平衡方程限制条件
平面任意力系三矩式平衡方程限制条件平面任意力系三矩式平衡方程是力学中用于求解平面力系平衡问题的重要工具。
在应用平面任意力系三矩式平衡方程求解问题时，需要遵循一定的限制条件。
1. 限制条件一：平面任意力系平面任意力系是指力系中的力都在同一个平面内。
平面任意力系三矩式平衡方程适用于平面内力的平衡问题，而对于空间力系，则需要使用空间力系平衡方程。
2. 限制条件二：力的合成与分解在使用平面任意力系三矩式平衡方程时，需要将力按照水平和垂直方向进行合成与分解。
这是因为平面力系的特点是力只有两个方向的分量，即水平方向和垂直方向，所以需要将力分解为水平和垂直方向的分量。
3. 限制条件三：力的平行四边形法则平面任意力系三矩式平衡方程的求解基于力的平行四边形法则。
根据力的平行四边形法则，平面力系中两个力的合力等于这两个力构成的平行四边形的对角线。
因此，在使用平面任意力系三矩式平衡方程时，需要根据力的平行四边形法则进行合力的计算。
4. 限制条件四：矩的计算平面任意力系三矩式平衡方程中的矩是力与某一点之间的乘积。
在计算矩时，需要确定参考点，并根据参考点的选择不同，矩的计算结果也会不同。
常用的参考点有力的作用点、力的垂直投影点等。
5. 限制条件五：力的正负方向在使用平面任意力系三矩式平衡方程时，需要明确力的正负方向。
通常约定力的方向与坐标轴正方向一致时为正方向，与坐标轴正方向相反时为负方向。
在计算矩时，需要根据力的正负方向确定正负号。
6. 限制条件六：力的单位在使用平面任意力系三矩式平衡方程时，需要保持力的单位一致。
通常使用国际单位制中的牛顿（N）作为力的单位。
平面任意力系三矩式平衡方程的限制条件包括平面任意力系、力的合成与分解、力的平行四边形法则、矩的计算、力的正负方向和力的单位。
只有在满足这些限制条件的情况下，才能正确地应用平面任意力系三矩式平衡方程解决平面力系的平衡问题。
通过合理选择参考点、正确确定力的正负方向、准确计算矩以及合理应用力的平行四边形法则，我们可以利用平面任意力系三矩式平衡方程解决各种平面力系的平衡问题。
3平面任意力系
R '( X )2 ( Y )20 MOmO(Fi)0
9
平衡方程：
X0
Y0
mO(Fi)0
X0 mA(Fi)0 mB(Fi)0
mA(Fi)0 mB(Fi)0 mC(Fi)0
①一矩式
②二矩式
③三矩式
条件：x 轴不AB 连线
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f
28
29
3、 特征： 大小：0FFmax（平衡范围）满足 X0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反 定律：Fmaxf N（ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力： 大小： F' f'N
动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反 定律： F' f'N（f '只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
17
例 试求图示静定梁在A、B、C三处的全部约束力。已 知d、q和M。注意比较和讨论图a、b、c三梁的约束力。
解：图中所示的各梁，都 是由两个刚体组成的刚体系 统。只考虑整体平衡，无法 确定全部未知约束力，因而 必须将系统拆开，选择合适 的平衡对象，才能确定全部 未知约束力。
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≥ 未知力数目—为静定 独立方程数 ＜未知力数目—为静不定
五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部
单体
39
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
理论力学-平面任意力系
平面任意力系可能由 多个力的叠加构成， 具有较高的复杂性。
平面任意力系的特点
多方向性
平面任意力系可以有从不同方向作用的力。
多点作用性
平面任意力系可以有多个作用点。
力的大小不同
平面任意力系中的力可以有不同的大小。
力的叠加
平面任意力系可能由多个力的叠加构成。
平面任意力系的合力和力矩求解方法
1
合力求解方法
Hale Waihona Puke 理论力学-平面任意力系通过本讲，你将深入了解平面任意力系的定义、特点、合力和力矩求解方法、 平衡条件、实际应用，以及解题步骤。准备好开始你的力学之旅吧！
平面任意力系的定义
1 什么是平面任意
力系？
平面任意力系是指位 于同一平面内的多个 力的集合。
2 力的方向和作用点 3 任意力系的复杂性
力可以有不同的方向 和不同的作用点，但 都在同一平面内。
将所有力按照矢量法则相加，求
力矩求解方法
2
得合力的大小和方向。
通过力矩定理，求得平面任意力
系的力矩。
3
力矩的方向
力矩的方向垂直于力的平面。
平面任意力系的平衡条件
力的平衡
合力为零，即所有力合成为零。
力矩的平衡
力矩的合力为零。
平面任意力系的实际应用
1 桥梁结构分析
分析桥梁结构的受力 情况。
2 机械设计
设计和优化机械系统 中的力的分布。
3 建筑结构设计
分析建筑结构的静力 平衡。
案例分析：平面任意力系的解题步骤
1
Step 1
分析力的大小和方向。
2
Step 2
计算合力和合力矩。
3
Step 3
第3章 平面任意力系
第三章平面任意力系各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系。
平面力系包括平面汇交力系平面平行力系平面任意力系平面任意力系为力的作用线既不全部相交于一点，也不全部平行的平面力系。
本章主要研究平面任意力系的简化和平衡条件以及平衡问题的解法。
§3-1 平面任意力系向作用面内一点的简化一、力的平移定理定理作用在刚体上点A的力可以平行移动到刚体内任一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B之矩。
证明设一力F作用于刚体上A点。
在刚体上任取一点B，在B点加上大小相等、方向相反且与力F平行的两个力F′和F″，并使F′=F″=F 。
由静力学公理二可知，力系(F、F′、F″)与力F是等效的。
而力系(F、F′、F″)可看作是一个作用在B点的力F′和一个力偶(F、F″)。
于是原来作用在A 点的力F，现在被一个作用在B点的力F′和一个力偶(F、F″)所代替。
此附M = F·d即为原力F对B点之矩M B(F)=F·d，所以M=M B(F)例如：（1）丝锥攻丝，（2）打乒乓螺旋球二、平面任意力系向作用面内任一点的简化主矢和主矩设在刚体上作用有平面任意力系(F1、F2、……、F n)，在力系所在的平面内任取一点O，称为简化中心。
根据力线平移定理，将各力平移到O点。
于是得到一个汇交于O点的平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n)，及一个力偶矩分别为M1、M2、…、M n的附加平面力偶系，。
平面汇交力系可以合成为一个作用于O点的合力F′R，F′R等于力F′1、F′2、…、F′n的矢量和。
由于F1= F′1、F2=F′2、…、F n =F′n则F R′=F1 + F2 +……+ F n力矢F′R称为原平面任意力系的主矢。
主矢的大小和方向可用解析法确定。
取直角坐标系Oxy，根据合力投影定理可得F Rx′= F x1 + F x2 + … + F xn = ∑F xF Ry′= F y1 + F y2+ … + F yn = ∑F y主矢的大小和方向余弦为'=''='+='∑∑∑∑RyRRxRy x R F F j F F F i F F F F ),cos(,),cos()()(22对于附加力偶系，可将其合成为一个力偶， M O 等于各附加力偶矩的代数M O = M 1 + M 2 + … + M n又因 M 1= M O (F 1)，M 2= M O (F 2)，…，M n = M O (F n所以 M O = M O (F 1)+ M O (F 2)+…+M O (F n )= ∑M O (F )M O 称为原力系的主矩。
平面任意力系
用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M =
500 N•m。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和固
定铰支A 旳反力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
M
A
D
B
2m
1m
y
M
NAy
Q
A
NAx
CD
B
x
解：
ND
1、取梁AB为研究对象。
2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作
用在AB旳中点C 。
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
第三章 平面任意力系
平面任意力系
各个力旳作用线在同一平面内， 但不汇交于一点，也不都平行旳力 系称为平面任意力系
§3–1 力对点之矩
第 §3–2 力旳平移定理 三 章 §3–3 平面任意力系旳简化•主矢与主矩
平 §3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
面 任
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y
R y
0.789
R
R , y 3754'
F1
O
3m
y A
R
O
F4 C 30° x
B
C
x
§3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
② 求主矩：
LO mo F
y
F2
阐明如下：
R
LO
O
=
R R
Lo
OR A
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平面任意力系向作用面内一点简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系的平衡•静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算
《静力学》
平面任意力系
27
二、平面任意力系的平衡条件和平衡方程 1.平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零 ，又力系对任一点的主矩也 等于零。 2.平衡方程：
y C
C
9m
1.5m F1 P1 F2 90 3.9m 3m x P 2 A B O 5.7
MO
O
y FR
x FR
FR
A
x
m
《静力学》 平面任意力系
24
例题3
方向余弦
F cosF , i
R x
F cosF , j
R
FR
0.328 0.945
《静力学》 平面任意力系 15
三、平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理
⑶ 平衡
当 Rˊ= 0，MO = 0
则原力系
平衡。
《静力学》
平面任意力系
16
例题1
在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个 力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以 上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及该力系 的最后的合成结果。
A2
A1
mo F1 mo F2 mo F3
F1
O
A3
F3
《静力学》
=
F2
m1
O
R
m2
m3
F3
=
8
MO
O
平面任意力系
二、平面任意力系的简化•主矢与主矩
(4) 推广：平面任意力系对简化中心O 的简化结果
主矢：
主矩：
R = F1 + F2 + L+ Fn = F
23
例题3
主矢的投影
x Fx F1 F2 cos 232.9 kN FR y Fy P FR 1P 2 F2 sin 670.1 kN
所以力系合力FR的大小
y 3m
(Fx )2 (Fy )2 709.4 kN FR FR
《静力学》
平面任意力系
10
二、平面任意力系的简化•主矢与主矩
3.主矢、主矩的求法：
(1) 主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析 法计算。 2 2 2 2 R = R Fx + Fy x + Ry = 方向余弦：
F cos R, x
x
R
cos R, y
《静力学》
平面任意力系
22
例题3
解：将力系向O点简化，得主矢和主矩，如图所示
y 3m
C
AB ACB arctan 16.7 CB
C
9m
1.5m F1 P1 F2 90 3.9m 3m x P 2 A B O 5.7 m
MO
O
y FR
x FR
FR
A
《静力学》
平面任意力系
F
y
R
(2) 主矩Mo可由下式计算：
M o mo F1 mo F2 mo Fn mo F
《静力学》 平面任意力系 11
二、平面任意力系的简化•主矢与主矩
4．固定端约束及其约束力
无论它们是如何分布，
根据力系简化理论，可将它
M o mo F1 mo F2 mo Fn mo F
结论：
平面任意力系向面内任一点的简化结果，是
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心 的主矩。
《静力学》 平面任意力系 9
二、平面任意力系的简化•主矢与主矩
2.几点说明： (1) 平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心 的位置无关。 (2) 平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关 。因此，在说到力系的主矩时，要指明简化中心 。
平面任意力系 4
一、力线平移定理 2.几点说明：
(1)当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置
的不同而不同。 (2)力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内 的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大 小相等的平行力。
(3)力线平移定理是把刚体上平面任意力系等效变换
y
C
y
FR
则有
, i 70.84 FR
, j 160.84 FR
MO O
y FR
x FR
FR
A
因为力系对O点的主矩为
M O M O F
x
3F1 1.5P 1 3.9 P 2 2 355 kN m
《静力学》 平面任意力系 25
例题3
所以由合力矩定理得
其中 故 解得
M O M O FR M O FRx M O FRy
M O FRx 0
M O M O FRy FRy x
y
C
MO x 3.514m FRy O 设合力作用线上任一点的坐标为（x，y)，
FRx
x
70.84
y
A 2m
F2
60°
B
F3
F4
F1
O 3m
C
30°
x
《静力学》
平面任意力系
17
例题1 解：取坐标系Oxy。1、向O点简化结果：①求主矢R： Fx F2 cos 60 F3 F4 cos30 0.598kN Rx
R y Fy F 1 F2 sin 60 F4 sin 30
《静力学》
平面任意力系
21
例题3
重 力 坝 受 力 情 况 如 图 所 示 。 设 P1=450kN ， P2=200kN， F1=300 kN，F2=70 kN。求力系的合力 FR 的大小和方向余弦 , 合力与基线 OA 的交点到 O 点 y 3m 的距离x，以及合力作用线方程。
C
9m
1.5m F1 P1 F2 90 3.9m 3m P 2 x A B O 5.7 m
F1 F2
A2
A1
F1
O
A3
F3
《静力学》
=
F2
m1
O
m2
m3
F3
平面任意力系
6
二、平面任意力系的简化•主矢与主矩
(2) 汇交力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在
点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主
矢。
R = F1 + F2 + F3 = F1 + F2 + F3
（1）简化为一个力偶 当 Rˊ = 0，MO≠ 0 则原力系合成为合力偶，其矩为
M O M O ( Fi )
i 1
n
此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即
M M O M O ( Fi )
i 1
《静力学》 平面任意力系 13
n
三、平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理
《静力学》
平面任意力系
3
一、力线平移定理 1.定理：可以把作用在刚体上点A的力F 平行移动到
任意一点O ，但须附加一个力偶，此附加力偶的矩 等于原力F 对点O 的矩。
证明：
F O d A
F
F = O d A
F
F
=
M O A
F = -F = F
§3–2
《静力学》
M Fd m 0 F
《静力学》
第3章 平面任意力系
平面任意力系
平面任意力系向作用面内一点简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系的平衡•静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算
《静力学》
平面任意力系
2
平面任意力系
平面任意力系向作用面内一点简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系的平衡•静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算
A
x
将合力作用线过此点，则
FRy
FR
M O M O FR xFRy yFRx x Fx y Fy
可得合力作用线方程
或
《静力学》
2 355 670.1x 232.9 y 670.1x 232.9 y 2 355 0
平面任意力系 26
平面任意力系
三、平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理
至于作用线在点O 哪一侧，需根据主矢方向和主矩转 向确定。如下图所示
R′
R
MO d O A = O A
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力 系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点 的矩的代数和。即
MO (F ) MO (Fi )
们向A点简化得一力FA及一
力MA，如图（b）所示，也
可表示成两个分力FAx，Fay
的形式，如图（c），共有
三个未知数。
《静力学》 平面任意力系 12
三、平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理
简化结果可有四种情况：（1）Rˊ= 0，MO≠ 0；（2） Rˊ≠ 0， MO= 0；（3）Rˊ≠ 0， MO≠ 0；（4）Rˊ=0， MO=0。对以上进一步分析有以下三种情形。
《静力学》 平面任意力系 28
二、平面任意力系的平衡条件和平衡方程
4. 平面平行力系的平衡条件和平衡方程
F
x
0 0
一矩式
F
y
x 二矩式
A