概率论Ch2.2-1
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论2-1-优质课件
（2）除了初等数学的方法，还要引入高等数学 的方法来研究随机试验。
例1 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不
出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数，
X1
pk 95
100
0
5 100
2பைடு நூலகம்二项分布
在贝努利试验中，事件A在n次试验中恰好出现k 次的概率：
Pn (k) Cnk pk (1 p)nk , 0 k n. 其中：p P(A), 1 p P(A).
设X为事件A在n次试验中出现的次数，则：
P{ X
k}
C
k n
pk (1
例3 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
解
设1000 辆车通过,
出事故的次数为 X , 则
X ~ B(1000, 0.0001),
实例1 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X (e) e 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
二、随机变量的概念
1.定义 根据随机试验的结果而确定取某一个数
值的变量，称为一维随机变量。
由两个一维随机变量所确定的有序数组， 称为二维随机变量。
概率论第二章知识点
第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：()2a bE X +=均匀分布的方差：2()()12b a D X -=（2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a ab x f指数分布的期望：1()E X λ=指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==2222()()x t xx ex e dt ϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）0()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
ch函数的反函数
ch函数的反函数1.引言1.1 概述概述部分应该对整篇文章进行简要介绍，提供读者一个总体的了解。
以下是可能的概述部分内容：引言部分将着重介绍ch函数及其反函数的概念和意义。
ch函数，也称为超双曲余弦函数，是数学领域中的一种特殊函数，具有独特的数学性质和广泛的应用。
本文将探讨ch函数的定义和特点，以及其在不同领域中的应用，并重点介绍ch函数的反函数及其意义。
研究ch函数的反函数对于数学理论的发展和实际问题的解决具有重要的意义。
文章将首先概述整篇文章的结构，并明确研究的目的和意义。
通过深入分析ch函数的性质和应用，我们将从数学的角度探讨反函数的计算方法，并探讨反函数在实际问题中的应用价值。
通过本文的研究，读者可以更全面地了解ch函数及其反函数，为进一步研究和应用提供基础和参考。
通过对ch函数反函数的研究，不仅可以拓展我们对数学函数的认识和理解，还可以为实际问题的解决带来新的思路和方法。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章将按照以下结构进行展开：第一部分是引言部分，主要包括概述、文章结构和目的三个部分。
在概述中，介绍了ch函数的基本概念和背景信息，以引起读者的兴趣。
在文章结构部分，说明了本文的整体结构和各个部分的内容安排。
在目的部分，说明了本文的目的，即阐述ch函数的反函数的重要性和应用。
第二部分是正文部分，主要包括ch函数的定义和特点以及ch函数的应用领域两个小节。
在ch函数的定义和特点部分，详细介绍了ch函数的数学定义和其具有的特点，例如它是连续且递增的函数，具有一定的取值范围等。
在ch函数的应用领域部分，说明了ch函数在实际中的广泛应用，如在图像处理、信号处理等领域中的应用案例。
第三部分是结论部分，主要包括ch函数的反函数的意义以及反函数的计算方法两个小节。
在ch函数的反函数的意义部分，分析了ch函数的反函数在实际应用中的重要性，如在数据恢复、密码学等方面的应用。
在反函数的计算方法部分，介绍了如何计算ch函数的反函数，例如使用数值方法、函数逆变换等方法来求解ch函数的反函数。
概率论与数理统计第二章笔记
概率论与数理统计第二章笔记一、引言概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在第二章中，我们将深入探讨随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
二、随机变量及其分布1. 随机变量的定义及分类在概率论与数理统计中，随机变量是描述随机现象数值特征的变量。
根据随机变量可取的值的性质，可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量只取有限个或无限可数个值，而连续随机变量则可以取在一定范围内的任意一个值。
2. 随机变量的分布及特征随机变量的分布是描述其取值的概率规律。
对于离散随机变量，常见的分布包括二项分布、泊松分布等；对于连续随机变量，则有均匀分布、正态分布等。
通过对随机变量的分布进行分析，可以推导出其数字特征，如均值、方差等。
三、随机变量数字特征1. 随机变量数字特征的意义随机变量的数字特征是对其分布的定量描述，包括均值、方差、标准差等。
这些数字特征可以帮助我们更直观地理解随机变量的分布规律，从而作出合理的推断和决策。
2. 随机变量数字特征的计算对于离散随机变量，其均值、方差的计算可通过对其分布进行加权平均；对于连续随机变量，则需要进行积分计算。
这些计算方法在实际问题中起着重要作用，例如在风险评估、市场预测等方面的应用。
四、总结和回顾概率论与数理统计第二章主要介绍了随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
通过对离散和连续随机变量的分类和分布进行深入讨论，我们对随机现象的规律性有了更清晰的认识。
通过数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，为实际问题的分析和决策提供了有力工具。
个人观点和理解在学习概率论与数理统计第二章的过程中，我深刻认识到随机变量和其分布对于随机现象的定量分析至关重要。
通过对数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，这对于我在日常生活和工作中的决策和分析将有着实质性的帮助。
结论概率论与数理统计第二章所介绍的内容为我们提供了深入了解随机现象规律性的基础，并且为日后的学习和实践奠定了坚实的基础。
概率论与数理统计总复习-
一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi
n
E( Xi )
i1 i1
D
n
Xi
n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布 概率分布
期望 方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数
p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X
Y
FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)
5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )
,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型： 摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：
2-1概率论与数理统计
= P（B A） 1
(3) ( 可列可加 ) 对于任意一列两两不相容的随机事件
B1，B2，· · · ，则有： 则有：
= P（∑ B k A） ∑ P(B k A )
k =1 k =1
∞
∞
特别常用的 特别常用的是 P ( B / A) = 1 − P( B / A) 常用
设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是 例6设已知某种动物自出生能活过 岁的概率是 ， 设已知某种动物自出生能活过 岁的概率是0.8， 能活过25岁的概率是 岁的概率是0.4，问现龄是20岁的该种动物 能活过 岁的概率是 ，问现龄是 岁的该种动物 能活过25岁的概率是多少 岁的概率是多少？ 能活过 岁的概率是多少？
件是合格品， 件是次品， 例 1 一批产品 50 件，其中 45 件是合格品，5 件是次品，今从中抽取 件中至少有一件是次品的概率是多少？ 3 件，求这 3 件中至少有一件是次品的概率是多少？
A=“ 件是次品” 解：记 A=“抽出 3 件至少有 1 件是次品” 第一法： 表示“ 件是次品” 第一法：用 Ai 表示“抽出的第 i 件是次品” i = 1, 2,3, 则， A = A1 U A2 U A3 已知 P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) = 另外 P( A1 A2 ) =
A 显然有， B 解： 表示 能活过 20 岁”B 表示 能活过 25 岁”显然有， ⊂ A, AB = A “ ， “ ，
P ( AB ) P ( B ) 0.4 1 = = = 现归为求 P ( B / A) ，由公式得 P ( B / A) = P( A) P ( A) 0.8 2
条件概率可解释为当存在部分先验信息可资利用时， 条件概率可解释为当存在部分先验信息可资利用时，而对概率 部分先验信息可资利用时 作出重新估计. 作出重新估计
课件1 ：2.2.1条件概率
3
______ .
5
3.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁
的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁
的概率?
4.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的
点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
设A={第一名同学没有抽到中奖券}
设B={最后一名同学抽到中奖奖券}
为什么是1/2?
P(B|A)=1/2
缩小了样本空间，基本事件总数减少了
探究三：
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与P(A)P(AB)有什么关系呢？
n( AB )
P ( B A)
n( A)
n
(
AB
)
P( AB)
n ( )
3.条件概率的求法：
缩减样本空间：
n( AB)
P( B A)
n( A)
定义法：
P( AB)
P( B A)
P( A)
( B、C互斥）
2
5
根据分步乘法计数原理，n( A) A A 12
1
3
n( A)
12
3
P ( A)
n( )
20
5
1
4
（2） ∵ () =
23
= 6, ∴ () =
()
( )
=
6
20
=
3
10
（3）解法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题的条件下，第二次
抽到理科题的概率为(|) =
第二章 概率
§2.2.1条件概率
高中数学选修2-3·同步课件
概率论与数理统计ch基本概念-资料
概率论
（2）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中
取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为
A n r n (n 1 ) (n r 1 )
4）组合：
（1）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考
虑其顺序，称为组合，其总数为
C n rn(n1) r!(nr1)r!(n n !r)!
n n
P Ai i1
P Ai
i1
PA iAj
1ijn
PAiAjAk 1 n 1 P A 1 A 2 A n 1ijkn
要求：熟练掌握概率的性质。
2019/9/8
概率论
四、排列组合公式
2019/9/8
概率论
它具有下述性质:
1 0fn(A)1;
2 fn(S)1;
3 若A1, A2,, Ak是两两互不相容事 则件
fn (A 1 A 2 A k ) fn (A 1 )fn (A 2 ) fn (A k )
2019/9/8
2 ） 频率的稳定性
概率论
2019/9/8
概率论
3) 随 机 事 件
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等；
基本事件：由一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件： 空集。 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包
含的一个样本点在试验中出现。
所 以PBC52665A530.4630；
2019/9/8
概率论
事件C
所含样本点数为C
2 5
A62
，
所以，PCC5265A62 0.03858
概率论第二版习题答案
概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在统计学、金融学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
第二版的概率论教材通常会在第一版的基础上进行修订和补充，以反映最新的研究成果和教学方法。
以下是一些概率论习题的答案示例，这些答案仅供参考，具体习题的答案可能会根据教材的不同而有所变化。
第一章：概率空间1. 习题1：描述一个概率空间的基本元素。
- 答案：一个概率空间由三个基本元素组成：样本空间(Ω)，事件集合(F)，以及概率测度(P)。
样本空间包含了所有可能的结果，事件集合是样本空间的子集，概率测度为每个事件分配一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性。
2. 习题2：证明如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B) = P(A) +P(B)。
- 答案：由于A和B互斥，即A∩B = ∅，根据概率测度的性质，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
由于A和B互斥，P(A∩B) = 0，因此P(A∪B) = P(A) + P(B)。
第二章：随机变量及其分布1. 习题1：定义离散型随机变量和连续型随机变量。
- 答案：离散型随机变量是其取值可以列举的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。
连续型随机变量是其取值无法一一列举的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。
2. 习题2：如果X是一个随机变量，求E(X)和Var(X)。
- 答案：期望E(X)是随机变量X的平均值，定义为E(X) = ∑x *P(X = x)（对于离散型随机变量）或E(X) = ∫x * f(x) d x（对于连续型随机变量）。
方差Var(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
第三章：多维随机变量及其分布1. 习题1：描述联合分布函数和边缘分布函数的关系。
- 答案：联合分布函数给出了两个或多个随机变量同时取特定值的概率，而边缘分布函数是通过对联合分布函数进行积分或求和得到的，它给出了单个随机变量的分布。
概论与统计ch1-2-1随机事件的概率
件 关 系
事件A与事件B相等
（
事件A与B至少有一个发生 (和，并) 事件A与事件B同时发生 (积，交)
文 氏 图
事件A的对立事件
(逆) ）
事件A发生而B不发生
(差)
事件A与B互不相容
(互斥)
样本空间的划分 (完备事件组)
若 1 Ai Aj ,i j,i, j 1,2, ,n
n
小测验 Tests
向指定目标射击三枪，分别用 A1、A2、A3 表示第一、第二、第三枪击中目标,试用它们 表示以下事件：
（1）只有第一枪击中； （2）至少有一枪击中； （3）至少有两枪击中； （4）三枪都未击中
Great minds think alike.
——英雄所见略同
答案
解 设 Ai 表示第 i 枪击中目标
第一章 随机事件及其概率
Chapter 1 Random Events and Probability
§ 1.2 随机事件的概率
Probability of Random Events
教学要求 1.理解概率的四 种定义
Requests
2.掌握概率的基本性质 3.会计算古典型、几何型概率
主要内容
Contents
在古典概型的随机试验中,
P( A) 1 P( A)
(√ )
AA , A A
例1 (掷硬币问题)
把一枚质地均匀的硬币连掷两次，设事件 A={出现两个反面}， B={出现两个面相同}
求 P( A),P(B)
A (BC) (A B)(A C)
A(B C) AB AC
4.对偶律: A B A B, AB A B
第一章 随机事件及其概率
Chapter 1 Random Events and Probability
概率论2ppt课件
引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。
第十二章 平稳随机过程
• 12.1 平稳随机过程的概念 • 12.2 各态历经性 • 12.3 相关函数的性质 • 12.4 平稳过程的功率谱密度
5
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
6
§1 大数定律
背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
3. 用正态分布近似计算
npq 400 0.02 0.98 2.8
PZ
2
1
P0
Z
2
1
P
0
np npq
Z
np npq
2
np npq
16
1 P
8 2.8
Z 8 2.8
6 2.8
1
6 2.8
8 2.8
0.9859
第六章 数理统计的基本概念
关键词： 样本 总体 个体 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
解：记16只电器元件的寿命分别为Z1, Z2, , Z16, 16 则16只电器元件的寿命总和为Z Zi, 由题设E Zi 100, DZi 1002 i1
概率论与数理统计2.2.2(0-1)分布
,
则称X服从（0-1）分布，取得合格品的概率为0.9.
定义1随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：
或
称X服从（0-1）分布或两点分布.
说明：对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在S上定义一个服从（0－1）分布的随机变量X，有
来描述这个随机试验的结果.
检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述．
例1在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.
若定义随机变量X为
则有P{X=0}=0.05, P{X=1}=0.95;
若定义随机变量Y为
则有P{Y=0}=0.95, P{Y=1}=0.05.
补充说明
学情分析
学生已经掌握了（0-1）分布定义及用法，能很好的解学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课教学
教学过程：
一、回顾离散型随机变量
定义设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称
为离散型随机变量X的分布律.
表示方法
（1）公式法
（2） 列表法
.
二、(0-1)分布
引例1射手每次射击的成绩在9.5环以上时被认为射击成功.
如果每次射击成功的概率为0.45，令
分布律为
,
则称X服从（0-1）分布.
引例2商店里有10张同类CD片，其中6张为一级品，3张为二级品，1张为不合格品.顾客购买时任取其中一张，求取得合格品的概率.
讲稿
课程名称
《概率论与数理统计》
概率论与数理统计-大学课件-ch2.2
当0≤x≤1时, F(x) P{0 X x} kx
1
特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1
0, x 0 F (x) x, 0 x 1
1, x 1
x
0
1
令
f
( x)＝10,,
0
x1 其余
于是 F ( x)＝ x f (t)dt
显然X是连续型随机变量，一般化， 则得连续型随机变量的概念.
求：（1）常数a；（2） （3）X的分布函数F(x)
解： （1）由概率密度的性质可知
所以 a＝1/2
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
于是, X的分布函数
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
常见的连续型随机变量
均匀分布 设连续型随机变量X的概率密度为
由上式可知, 若不计高阶无穷小，有： P{x X x x} f (x)x
即随机变量 X 取值于( x, x x]的概率近似等于 f ( x)x.
数理学院
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注2: 连续型随机变量取任一指定值的概率为0.
即： P( X a) 0, a为任一指定值.
因为 P( X a) lim P(a X a x) lim
ax
f (x)dx 0
x0
x0 a
由此得，对连续型 随机变量X,有
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
并且, 由P(X=a)=0 可推知
均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引
概率2-1
二、几种常见的离散型随机变量 1.(0-1)分布 1.(0-1)分布 (0
如果随机变量X只能取0,1两个值，其分布律为 如果随机变量 只能取0,1两个值，其分布律为 只能取0,1两个值 P{X =1}=p， P{X =0}=1(0<p<1) <1)， P{ =1}= ， P{ =0}=1- p (0< <1)， X 即： pk 1-p p 0 1
分 类
取有限个或可数个值） 离散型随机变量（取有限个或可数个值） ，它与 随机变量是定义在样本空间上的实值集函数， 随机变量是定义在样本空间上的实值集函数
的概念在概率论与数理统计中既是基本的， 随机变量的概念在概率论与数理统计中既是基本的 ， 普通的实函数有本质的区别．一方面它的取值是随机的， 普通的实函数有本质的区别．一方面它的取值是随机的， -----连续型随机变量 连续型随机变量． 非离散型的随机变量 -----连续型随机变量． ， 又是非常重要的．后面将会看到，由于引入了随机变量， 又是非常重要的．后面将会看到，由于引入了随机变量 而它取每一个可能值都有一定的概率；另一方面， 而它取每一个可能值都有一定的概率；另一方面，它的 高等数学的方法就可用来研究随机现象了． 高等数学的方法就可用来研究随机现象了． 的方法就可用来研究随机现象了 定义域是样本空间S 不一定是实数集． 定义域是样本空间S，而S不一定是实数集． e S X(e) R
设有20台机床，独立地各加工一件齿轮， 20台机床 例3 设有20台机床，独立地各加工一件齿轮，若各机床加 工的废品率都是0.2 0.2， 20件齿轮产品中的废品数的分布律 件齿轮产品中的废品数的分布律? 工的废品率都是0.2，求20件齿轮产品中的废品数的分布律? 本题可看作是20 20次重复独立试验 解 本题可看作是20次重复独立试验 表示20件齿轮产品中的废品个数， 设X表示20件齿轮产品中的废品个数，则X～b(20, 0.2) 表示20件齿轮产品中的废品个数 ～ (20, 故
2-1概率论
k 0,1,...,6
(2) P{ X 5} P{ X 5} P{ X 6}
13 1 2 1 C 3 3 3 729
(3)各次试验相互独立； (4)试验共进行了n次.
例：有放回抽取产品50次，已知每次抽到正品 的概率为0.8， X表示抽取到正品的件数. 求抽取到20件正品的概率？
在n重伯努利试验中，以X表示事件A发生的次数, 则称随机变量X服从参数为n , p的二项分布. 记作X ~ b(n, p).分布律为
P{X k} C p (1 p)
1.(0-1)分布：若随机试验的结果只有两个，X=1
表示一个结果，X=0表示另一个结果，则X服从(01)分布，分布律为：
X pk
0 1 p
1 p
其中0< p <1.
或
P{ X k } pk (1 p)1 k (k 0, 1)
说明： （0-1)分布是最简单的一种分布,任何一 个只有两种可能结果的随机现象,都可用(0-1)分 布来描述.比如新生婴儿是男还是女、产品是正 品还是次品、明天是否下雨、种籽是否发芽等.
因此 P { X 2} 1 P { X 0} P { X 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
这个结果很接近于1,在实际中具有两方面的意义: (1)一个事件尽管在一次试验中发生的概率 很小,但当试验次数很多且独立进行时,那么这一 事件的发生是肯定的,所以不能轻视小概率事件. (2)小概率事件在一次试验中几乎是不可能 发生的(通常称为实际推断原理或小概率事件). 定理1(泊松定理) 设 pn
2-2-1 条件概率
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第二章 2.2 第一课时
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课时作业（十六）
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第二章 2.2 第一课时
法二 令 Ai＝{第 i 次取得白球}(i＝1,2)，则 A＝A1A2，所以 P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝25×14＝110.
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第二章 2.2 第一课时
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题型二 有无放回抽样的概率 例 2 一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球，那么． (1)先摸出 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概率是多少？ (2)先摸出 1 个白球后放回，再摸出 1 个白球的概率是多少？ 【思路】 (1)先摸出 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概 率是条件概率． (2)先摸出一个白球后放回，第二次摸球不受第一次摸球的影 响．
1
由条件概率计算公式，得 P(B|A)＝PPAAB＝22π＝14.
π
【答案】
(1)D
1 (2)4
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第二章 2.2 第一课时
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探究 1 计算条件概率的方法：
(1)在缩小后的样本空间 ΩA 中计算事件 B 发生的概率，即 P(B|A)．
(2)在原样本空间 Ω 中，先计算 P(AB)，P(A)，再利用公式 P(B|A)
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第二章 随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其分布
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2．2 二项分布及其应用
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第二章 随机变量及其分布
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§2.2 分布函数与连续型随机变量
分布函数
连续型随机变量及密度函数
常见的连续型随机变量
一、分布函数
离散型随机变量的刻画工具－－概率分布列当随机变量为某连续区间的一切值时，由于无法一一罗列这些值及其概率，概率分布列不再适用。
若能对一切x∈R，定义P{X≤x}，则对任
意实数a, b(a<b),
P{a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a} ，
即若已知P{X≤x}, 就能知道X在任何一个区间上取值的概率。
分布函数的定义
定义1 若X是任一随机变量(可以是离散型的, 也可以是非离散型的)，对任何实数x，称函数
F(x)=P(X≤x)，-∞<x< ∞，是r.v. X的分布函数。
注：
1.分布函数F(x)是在区间(-∞,x]内的“累积概率”，
(cumulative distribution function)，不要与单点概率混淆。
2.分布函数是概率论中重要研究工具，可用于描述包
括离散型和连续型在内的一切类型随机变量。
3.已知X的分布函数F(x), 就能知道X在任何一个区间
上取值的概率, 从这个意义上说, 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。
利用分布函数计算概率
设r .v . X 的分布函数F (x )=P (X ≤x )，-∞<x < ∞。
（1）对任意实数a , b (a <b ),
P {a <X ≤b }＝P {X ≤b }－P {X ≤a } =F (b )－F (a )
（3）P (X =a )＝P (X ≤a )－P (X <a ) =F (a )－F (a －0)（4）P (X >a )＝1－P (X ≤a ) =1－F (a )
（5）P (a <X <b )＝P (X < b ) －P (X ≤a )=F (b －0)－F (a )
……
(2) ()lim ()(0)b a P X a P X b F a →−<=≤=−
例题与解答
例5已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=A+B arctan x。
试确定A、B。
解：由分布函数性质2，可知
F(-∞)=A-(π/2)B=0, F(+∞)=A+(π/2)B=1
得A=1/2，B=1/ π。
因此，F(x)=1/2+ (1/ π) arctan x
例题与解答
例6已知r .v . X 的分布函数为求a ，P(2<X <3).解：F (-∞)=0, F (+∞)=1已成立。
讨论分布函数性质3，即右连续性：
F (1+0)= 0 = F (1)已成立,
F (3+0)= 1 = F (3)=2a ，得a =1/ 2 。
因此，P(2<X <3) = F (3-0)－F (2) = 1－1/2 = 1/20, 1()(1),
13
1, 3
x F x a x x x ≤⎧⎪=−<≤⎨⎪>⎩
二、连续型随机变量与密度函数
定义2：若r .v . X 可取某个区间（有限或无限）中的一切值，并且存在非负可积函数p (x )，使分布函数F (x )满足
则称X 为连续型随机变量，p (x )为X 的概率密度函数，简称密度函数（density function ）。
简记为X ～p (x ).
()()x
F x p u du −∞=∫。