第1章 曲面
曲面的第一基本形式
第三章 曲面的第一基本形式本章将接触到曲面论的最基本概念．类比于曲线；但内容更加丰富，特别要注意两者的差异．首先要明确曲面的局部表示和相关的基本概念；其次要明确度量几何的基本要素——弧长元素．在学习的过程中，应该注意对概念的深入理解．§1 参数化曲面一．E 3 中参数化曲面的定义r : U →E 3(u , v )→ r (u , v ) = (x (u , v ), y (u , v ), z (u , v )) ．C k 阶参数化曲面，简称参数曲面；参数，或称曲线坐标或曲纹坐标，简称坐标．点． u 坐标曲线，简称u 线； v 坐标曲线，简称 v 线；坐标曲线．坐标曲线网或参数网．自然切向分别表示为∂r ∂u = r u ，∂r ∂v= r v ． 连续曲面，光滑曲面．参数化通常在曲面局部有意义，在整体不一定能做到．以后不声明时在局部总考虑 C 3 类参数曲面，并简称之为曲面．二．正则曲面定义1 奇（异）点；正则点．正则曲面，正则参数． 正则点的几何意义是当参数在该点处作微小变动时动点的轨迹构成二维实体；正则点附近总存在小邻域，使得参数值与其位置向量之间保持一一对应．例5 按定义直接计算可知例1和例2中的参数曲面都是正则的．对于例3中的参数曲面，有r u = (- v sin u , v cos u , 0) ，图3-1r v = (cos u , sin u , 1) ，r u ⨯r v = (v cos u , v sin u , - v ) = v (cos u , sin u , -1) ；r u ⨯r v 当且仅当参数 v = 0 时为零向量，故参数值 (u , 0) 对应于全部非正则点——锥顶．对于例4中的旋转面，当 f (v ) = 0 时，对应点不是正则的．例6 单位圆柱面具有存在奇点的下列参数化：r (t , z ) = (cos t 2 , sin t 2 , z ) ． 一般地，存在奇点的参数曲面在奇点附近的性质需要单独加以讨论，并且往往比较复杂；而对于连续可微参数曲面，正则点附近总存在较小邻域使正则性得到满足．因此将曲面论的局部基本理论建立在正则曲面之上，是具有一般性的．三．正则曲面的切平面和法线已知正则曲面 S : r = r (u , v ) ．考虑过点 r (u 0, v 0) , r (u 0+∆u , v 0) 和 r (u 0,v 0+∆v ) 的平面 ∏ 当 (∆u , ∆v )→(0, 0) 时的极限位置，亦即切平面的位置．正则性保证了平面 ∏ 的极限位置平面 ∏0的法向向量确定为r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) ．曲面上的曲线在该点处的切向量总落在平面 ∏0 上面；任给坐标曲线自然切向量的线性组合，曲面上总存在曲线以之为点 r (u 0, v 0) 处的切向．定义2 切平面；法线，法向；单位法向特指为单位向量(1.2) n (u 0, v 0) = r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) |r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0)|； 正定向，简称正向；负定向，简称负向．正则曲面是有正定向的曲面．在切点 P : r (u 0, v 0) 处的切平面通常记为 T P ，它按坐标曲线自然切向量的线性组合可以理解为二维向量空间(1.3) T P = {a r u (u 0, v 0) + b r v (u 0, v 0) | (a , b )∈R 2 } ≅ E 2 ，其中的向量称为曲面的切向量，两个切向量 a 和 b 的内积 (a , b ) 规定为 E 3 的诱导内积，即(1.4) (a , b ) = a ∙b , ∀ a , b ∈T P ．图3-5此时，切平面同时具有向量空间结构和度量结构．切平面的基向量组{r u, r v} 通常称为自然基，而标架场{r;r u, r v, n} 通常称为自然标架场．用经典微积分的观点来看，切平面上的微元(1.5)d r(u, v) =r u(u, v)d u+r v(u, v)d v是位置向量增量 [r(u + d u , v + d v) -r(u, v)] 的线性主部，称为切向微元；按(1.3) 式所表示的同构，其按自然基分解的系数(d u, d v) 亦可视为切平面中的微元，其方向由比例d u:d v确定．例8已知半径为a > 0 的圆柱面的经纬参数方程为r(t, z) = (a cos t , a sin t , a z) ．试求其过点 (a, 0, a) 的任意切向以及分别由比例 1:2 和 1:0 确定的切向．例9已知正则曲面由隐式方程F(x, y, z) = 0 确定，其中梯度向量∇F = (F x, F y, F z) ≠0．证明该曲面上点 (x, y, z) 处的法向确定为∇F(x, y, z) ．四．参数变换定义3给定正则曲面S: r= r(u, v) ，若参数变换{u=u(u*, v*)v=v(u*, v*)满足①是连续可微的一一对应；②Jacobi行列式∂(u, v)∂(u*, v*)=∂u∂u*∂v∂u*∂u∂v*∂v∂v*处处非零，u*图3-6则称之为容许参数变换；当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *) > 0 时称之为保向的，当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *)< 0 时称之为反向的．注记 容许参数变换只有保向或反向两种．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，有 (1.6) ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ⎝⎛⎭⎫ r ur v， (1.7) r u *⨯r v * = ∂(u , v ) ∂(u *, v *)r u ⨯r v ． 由此可知，在容许参数变换下，正则性和可微性保持不变，切平面不变；单位法向在保向容许参数变换下不变，在反向容许参数变换下变号．五．参数曲面的等价类似曲线的论断：① 一个曲面点集实体允许存在多种参数化方式，有参数变换．② 曲面实体的几何属性不依赖于其参数化的方式，也不依赖于空间直角坐标系的选取．③ 两个合同的曲面实体相当于同一曲面实体的不同位置表现形式． ④ 若两张正则曲面之间仅仅相差一个容许的参数变换，则它们表示同一个几何实体，称这两张正则曲面是相同的．相同的正则曲面实际上是指正则曲面的一种等价类，其在同一实点上的切平面、法线等等几何实体分别是重合的．⑤ 定向相同的；定向相反的．⑥ 定向相同的曲面的单位法向以及有向切平面，对于每个对应点都是唯一确定的．⑦ 曲面的整体概念和整体性质是复杂的，将留待于第八章中进行较为深入的讨论．约定：在以后讨论曲面局部性质的各章中，不声明时总考虑正则曲面和容许参数变换，并分别简称为曲面和参数变换．§2 直纹面与可展曲面直纹面可以由一族直线“织成”，即：过曲面上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上．一．直纹面及其上的参数变换直纹面的直纹或（直）母线；准线．直纹的位置和直纹上的点的相对位置，给出直纹面 S 的下列自然参数化(2.1) S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，其中准线为连续可微参数曲线(2.2) C : r * = a (u ) ，过准线上点 a (u ) 处的直纹方向确定为向量l (u ) ，且 l (u ) 连续可微．此时，(2.5) r u ⨯r v = [a '(u ) + v l '(u )]⨯l (u ) = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) ．由此可确定正则条件．例1 直纹面可按 (2.1) 式准线与直纹方向的关系归为不同的子类． ① 柱面：各直纹平行．正则性条件即为准线不与直纹相切，单位法向沿着直纹是常向量，切平面沿着直纹重合．② 锥面：各直纹相交于锥顶点．准线可以“收缩”为锥顶．不妨设已经规范为a (u ) ≡ a 0 ，则正则性条件化为(2.7) r u ⨯r v = v l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ．故锥顶是奇点；并且，当直纹单位方向向量在单位球面上为正则曲线时，也只有锥顶是奇点．其切平面沿着直纹也重合．③ 切线面：直母线族是某条准线的切线族，即直母线族有包络线可作为准线．不妨设已经规范为a '(u ) = l (u ) ≠ 0 ，且此时不妨设准线以 u 为弧长参数，则正则性条件化为(2.8) r u ⨯r v = v T '(u )⨯T (u ) ≠ 0 ．图3-7① ② ③图3-8此时的准线称为切线面的脊线，其上点点为奇点．当脊线无逗留点时，切线面上除脊线外的各点都是正则点．其切平面沿着直纹也重合．④ 主法线面：直母线族是某条准线的主法线族．⑤ 从法线面：直母线族是某条准线的从法线族．例2 正螺旋面或正螺面；其准线可取为旋转轴．正螺面相应单位法向垂直于z 轴；旋转轴上各点处的切平面公交于旋转轴．例3 Möbius 带实体无所谓“正”的定向．直纹面按照准线和直母线族的自然参数化，具有明显的几何直观．准线的转换以及直纹方向向量长度的转换，在自然参数化下，就等价于适当的参数变换；这是一种具有几何意义的参数变换．设直纹面 S 的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出．作直母线方向向量的“伸缩”变换和准线变换分别为(2.9) l *(u ) = λ(u ) l (u ) , λ(u ) ≠ 0 ，(2.10) a *(u ) = a (u ) + μ(u ) l (u ) ，其中变换系数函数 λ(u ) 和 μ(u ) 都是连续可微的．令(2.12) {u * = uv * = [v - μ(u ) ] λ(u ) ， 则得到容许参数变换，与原有方程的对应关系为(2.14) r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) = r *(u *, v *) = a *(u *) + v * l *(u *) ． 由此可以进一步考察准线和直母线是否允许有特殊关系．引理1 已知直纹面的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出，则存在新的参数化，使其准线与直母线处处正交，并且直纹方向向量为单位向量．二．可展曲面及其局部形状分类柱面、锥面、切线面的切平面分别沿着直纹重合；而从正螺面的图形观察到，沿着所给定的直纹移动时，切平面将发生扭转．图3-9 图3-11定义1若直纹面的切平面沿着每一条直纹都分别重合，则称该直纹面为可展曲面，或称该直纹面可展．例4柱面、锥面、切线面都可展．单叶双曲面和双曲抛物面都不可展——这从图形上可以观察到；也可以在任何直纹上展开计算，而由定义得到验证．定理1(直纹面可展的解析条件)设直纹面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 正则．S可展的充要条件为a' , l , l'共面，即(2.15) (a' , l , l' ) ≡ 0 ．对指定直纹族的直纹面而言，该解析条件不依赖于准线以及直纹方向向量长度的选取．要考虑可展曲面的其它特征；除了本节将继续讨论的以外，可展曲面的“内在特征”将在后续章节中出现．注记直纹面的直纹族并不一定是唯一的，比如单叶双曲面、双曲抛物面都有两族直纹，而平面的直纹族更加随意指定．以后可以证明，两族坐标曲线都是直线的正则曲面若可展，则只能是平面（或其局部）．在“较好”的准线a(u) 和直纹方向向量l(u) 之下，解析条件可以进一步化简．特别当直纹方向向量规范为单位向量场时，即|l(u)|2≡ 1 时，有l'(u)∙l(u) ≡ 0 ；进而分两种情形：①当l'(u)⨯l(u) =0时，自然总有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔l'(u) =0；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，l'(u) ≠0，便有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔∃λ(u), μ(u) 使a'=λl'+μl；从此出发，利用准线变换，对可展曲面的局部形状可构造性地进行分类．参数变换的目标是确定如例1所给出的规范参数方程．在下面定理的证明中，可注意体会几何直观对证法的启发，以及如何明确地加以表述．定理2（可展曲面局部形状分类）可展曲面必是柱面、锥面和切线面之一或由它们沿直母线所适当拼接而成．证明由引理1和定理1，设可展曲面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 满足|l(u)|2≡ 1 ；则由简化的解析条件，可完全分类为以下三种情形：①l'≡0，则l(u) = const. ≠0；此时S为柱面．②l'≠0，∃λ, μ使a'=λl'+μl；此时要证S为锥面或切线面．（注意：锥面存在新准线C*: a*(u) 使a* = const. ，而切线面存在新准线C*:a*(u) 使关于弧长的导数d a*d s C*=l，它们的共同特征是a*'(u)∥l．）作待定的新准线C*: a*(u) =a(u) +b(u) l(u) 使a*'(u)⨯l(u) ≡0，其中待定函数b(u)连续可微，则a*'=a'+b'l+b l'= (λ+b) l'+ (μ+b') l；故取b=-λ即可满足要求．此时，a*'= (μ-λ') l．由此，当a*'≡0即λ'≡μ时，a* = const. ，则S为锥面；当a*'≠0即λ'≠μ时，l=a*'μ-λ'=d a*d s C*，则S为切线面．③其他；由以上两种情形的讨论过程可知，l'以及 (μ-λ') 的例外零点对应于曲面上相应的直母线．综合各种情形，得证．三．单参数曲面族的包络观察例5管状面．定义2单参数曲面族Sλ的包络面S*，简称包络．例6可展曲面是其本身切平面族的包络，切平面族的单参数就取为某条正则准线的参数．在求解包络时的先验假定，反验．定理3给定连续可微单参数λ正则曲面族Sλ: r(u, v; λ) ．如果判别式(2.21) (r u , r v , rλ ) = 0能够决定连续可微的两个函数u(λ, t) 和v(λ, t)，那么，该曲面族的包络若存在则只能确定为判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ)；而若判别式无解函数u(λ, t) 和v(λ, t) ，则该单参数曲面族没有包络．注记：①判别式所确定的函数同时明确了对应点的位置．②判别式如果是平凡的，则判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 有可能蜕化为非正则的；此时需要反验是否符合包络条件．③如果判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 是正则的，则其为包络面；此时在某些具体条件下，两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 允许存在反函数，此即为包络面上的特殊参数变换．④对包络面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) ，当选定参数λ=λ0时，其上曲线r(u(λ0, t), v(λ0, t); λ0) 是与族中曲面S的公切点构成的曲线，称之为包络面λ0的特征线．例7已知具有包络S* 的连续可微单参数λ曲面族Sλ: r(u, v; λ) = (x(u, v; λ),y(u, v;λ) ,z(u, v;λ))是由隐式方程F(x, y,z; λ) =0 给出的，其中梯度向量∇F=(F x ,F y, F z) ≠0．试证S* 的隐式方程为(2.22) {F(x, y, z; λ) = 0 ，Fλ(x, y, z; λ) = 0 ．单参数曲面族由隐式方程给出时，其包络的判别曲面由特征线族方程(2.22) 式给出．有时，隐式方程对于表示曲面整体非常有效，比如球面、双叶双曲面等等；此时，由 (2.22) 式讨论包络是较为方便的．例8求单参数λ球面族x2+y2+ (z-λ)2= 1 的包络．定理4给定连续可微单参数t平面族T t: n(t)∙r-p(t) = 0 ，|n|≡ 1 ，n'(t) ≠0．如果 {T t} 的包络面S存在，则S可展．§3曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，是曲面几何学基本的问题之一．勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定；子体和原有 Euclid 空间的几何属性将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面S的参数方程为r=r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面S上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C -1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u ∙r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u ∙r v , G = G (u , v ) = r v ∙r v = |r v |2 ,则对曲线 C 有d s 2 = d r ∙d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]| u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 ， d s = | d r d t| d t = E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ， 则有s (b ) - s (a ) = ⎰b ad s d t d t = ⎰b a | d r d t | d t = ⎰b a E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2| u =u (t ), v =v (t ) d t ． 可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．图3-13注记： 第一基本形式系数也称为第一基本量．第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．曲面第一基本形式d s 2 = d r ∙d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) - r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部．第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变．第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 ∏: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a ∙b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 ∏ 的第一基本形式为d s 2 = d r ∙d r = (a d u + b d v )∙(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 ∏ 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ∙r ρ = (a cos θ + b sin θ)∙(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ∙r θ = (a cos θ + b sin θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ∙r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 ∏ 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 ∏ 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w ∙r w = (T + t κ N )∙(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w ∙r t = (T + t κ N )∙ T = 1 ，G (w , t ) = r t ∙r t = T ∙ T = 1 ；此时，在平面 ∏ 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．改写(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎭⎫E F F G ⎝⎛⎭⎫d u d v ；(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ,(3.5) d r ∙d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T ⎝⎛⎭⎫d u d v ,(3.6) ⎝⎛⎭⎫E F F G = ⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T = ⎝⎛⎭⎫r u r v ∙ (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“∙”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G= EG - F 2 = |r u |2|r v |2 - (r u ∙r v )2 = |r u ⨯r v |2 > 0 ， 称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为 (3.8) J = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎭⎫E * F *F * G * = ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * ⎝⎛⎭⎫ r u * r v *T = J ⎝⎛⎭⎫ r u r v ⎝⎛⎭⎫ r u r v T J T = J ⎝⎛⎭⎫E F F G J T ， (3.10) E *G * - F *2 = |J |2(EG - F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E *G * - F *2 = ||J || EG - F 2 ． 例2 以平面弧长参数曲线为准线作柱面 S ，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u , v ) 下可以表示为 d s 2 = d u 2 + d v 2 ．三．交角与面积元素确定交角和面积等几何量．交角，有向交角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面 S 的第一基本形式以 (3.2) 式确定；设点 (u , v ) 处的两个切向微元在自然基 {r u , r v } 下分别为 d u :d v 和 δu :δv ，确定其间夹角余弦(3.12)式——曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．定理1 对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．定义2 正交参数，正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．例3 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线 C 的微分方程．2．曲面的面积元素和区域面积曲面的面积元素可以表示为(3.13) d σ = |r u ⨯r v | d u d v= EG - F 2 d u d v ．任一有界区域 r (U 0) 的面积 A (U 0)可以表示为(3.14) A (U 0) = ⎰⎰ U 0 d σ = ⎰⎰ U 0 |r u ⨯r v | d u d v = ⎰⎰ U 0EG - F 2 d u d v ． 在参数变换下面积元素对应相同，面积也对应相同．v )图3-14定理2正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．§4局部等距对应曲面间的正则对应．“贴广告”的体验：保持弧长以及由弧长所完全确定的几何量都不变．一．局部等距对应定义1局部等距对应；局部等距．等距对应；等距．等距与局部等距的区别．目前通常只考虑曲面间的局部等距对应，并简称为等距对应．定理1（局部等距对应充要条件）两张曲面局部等距的充要条件是按对应关系具有相同的第一基本形式．等距的曲面之间能够作为容许参数变换的对应关系，并不一定具有明显的解析表达式；同时，第一基本形式按对应关系相同，并不意味着它们的参数已经对应相同，即它们的第一基本形式系数并不总是相等，而只是在对应关系下以变换规律 (3.9) 式相联系．一般而言，寻求等距曲面之间的等距对应关系可以归结为求解由 (3.9) 式所给定的偏微分方程组，但其求解过程往往是困难重重和具有技巧的．从定理1看，通过计算第一基本形式即可验证对应关系是否为等距对应．而对于较为直观和简单的等距对应，通过分析几何直观及其所提供的启示，也可以找到相应的对应关系．例1悬链面与正螺面之间的局部等距对应悬链面与正螺面．悬链面去掉一条母线而“剪开”后，与正螺面的“一个螺纹”之间的等距对应．定理2可展曲面总存在与平面的局部等距对应．分析这个定理的结论和证明过程，可见可展曲面局部存在到平面之间的连续变形，使得变形过程中的每一张中间曲面都是可展的，并且在对应关系下直纹总变到直纹，同时每一张也都是互相等距对应的．这就是平整的“纸张”能够“不撕破”“不褶皱”地“贴合”在可展曲面上的原因．这个定理的逆定理也是成立的，其证明在后续两章给出．形象地说，可展曲面名副其实地“可展”成平面．一般而言，讨论曲面在保持等距意义下的连续形变，是较为复杂的．二．曲面的内蕴几何学概念定义2内蕴量，内蕴性质（内在性质）；内蕴几何体．内蕴几何学．内蕴几何学的核心是讨论第一基本形式的不变量以及相关的几何属性．例如，球面与平面之间不存在局部等距对应，从而具有不同的内蕴几何学；而这个事实的证明，将在第五章利用所谓的Gauss绝妙定理给出．从内蕴几何角度来看，可展曲面的代表就是平面；有理由认为它的“内在弯曲”状况是“平坦”的，尽管有许多可展曲面的“外在弯曲”状况是“弯曲”的．而球面既是“外在弯曲”的，也是“内在弯曲”的．内蕴量和内蕴性质，还可以提示和帮助确定等距对应关系．§5局部正交参数网与等温参数适当坐标系的选取是非常重要的．简化计算．另一种作用是，根据场合选取具有特定几何意义的坐标系，有时会成为揭示和解决问题的关键．本节将给出一个基础性结论，它经常用于建立所需要的局部坐标系，包括确定一些具有特定几何意义的参数曲线网的局部存在性．一．一般结论与正交网定理1设二阶连续可微正则曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D上已给出两个处处线性无关的连续可微切向量场a(u, v) , b(u, v) ，则对任何点 (u0, v0)∈D满足r u*∥a , r v*存在其邻域D0⊂D，使在D0内存在参数变换{u* =u*(u, v)v* =v*(u, v)∥b，即切向量场a(u, v) , b(u, v) 的积分曲线族分别为u*, v* 曲线族．定理2在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近总可取到正交网．证明对曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D，取a(u, v) =r u(u, v) ,b(u, v) =r v(u, v) -FEr u(u, v) ，则a, b是两个处处线性无关的连续可微切向量场，并且处处正交．由定理1，可分别取切向量场a, b的积分曲线族为局部的两族坐标曲线，则此两族坐标曲线构成正交网．□注记①曲面正交网的存在性是局部性质；至于大范围内是否存在正交网，往往受到曲面整体性质的约束．②曲面上的处处正交的单位切向量场总是存在的；但是，定理并没有保证它们可以成为自然切向量场，而只是保证它们可以处处平行于某个自然切向量场．二．等温参数定义1曲面的等温参数．在等温参数下，内蕴量的计算较为简单．同时，从(3.12) 式可见，曲面上的曲线的交角，总等于其在等温参数区域中的原像（当视为欧氏平面上的曲线时）的交角．曲面与欧氏平面在等温参数下的这种对应关系，是一类共形对应，或称为保角对应或等角对应．例1Mercator地图．等温参数的存在性是较难证明的．定理3在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近，总可取到等温参数网．推论二阶连续可微正则曲面局部共形对应于平面；二阶连续可微正则曲面之间总可局部共形对应．。
曲面论复习(一)
1.1 简单曲面及参数表示 一 简单曲面 1 约当(Jordan)曲线: 平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 初等区域 叫初等区域。(约当曲线的内部) 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 简单曲面 映射的像叫简单曲面。 二 （简单） 简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、 曲面的参数方程、曲纹坐标 设 G 是初等区域， G 中点的笛氏坐标是 (u,v) ,G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为（x,y,z), 则 x,y,z 都是
r
r
r
r r r r ( ρ − r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) = 0
切平面方程用行列式表示为：
。
x − x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
y − y (u0 , v0 ) z − z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = 0 yv (u0 , v0 )
是什么曲线?
θ -曲线：是垂直于 z 轴 的平面与旋转面的交线（纬线）
t - 曲线：是旋转面的母线（经线）
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 一 光滑曲面,正常点,正规坐标网 1 C k 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到 k 阶的连续偏导数,则 称为 k 阶正则曲面或称为 C k 类曲面.
2
2 光滑曲面: C 类曲面叫做光滑曲面.以后假定讨论的曲面都是 光滑曲面. 3 正常点: 对曲面 S 上一点 P0 (u0 , v0 ) , 过 P0 的 u-曲线: r = r (u , v0 ) ,其切向量为 ru (u0 , v0 ) ； 过 P0 的 v-曲线: r = r (u0 , v) ,其切向量为 如果
solidworks第1章
SolidWork History (2)
2000, 推出SolidWorks 2000 2001, 推出SolidWorks 2001, 推出网络協同設計的實務運作 2002, 推出SolidWorks 2001 Plus, 結合3D動畫,網頁設計,正式
導入行銷虛擬工場和虚拟企業的概念 2002 年底, 推出SolidWorks 2003, (SolidWorks Office, SolidWorks Office Professional) 2009年,推出SolidWorks 2009,目前使用的版本
是一個标注驱动之系統，可以建立参数式模型
從草圖來建立特徵
從特征來建立3D工件 – 特征為工件基本的造型
画图特征﹕拉伸、旋转、2D扫略、斷面混成、孔、倒角及圓角等
5. 启动
6. 操作環境簡介
下拉式功能表
工具条
管理員標籤
繪圖區 特征树
狀態列
自定义基本工具列
基本工具列
其他的功能簡介
单击
单击
在任务窗格的查看调色板选项卡上： 消除自动开始投影视图。
在显示样式下单击消除隐藏线
生成剖面视图（Creating a Section View） 选择工程图，单击右键-----剖视图
生成局部视图（Creating a Detail View） 生成等轴测视图（Creating an Isometric View）
SolidWorks 95 1996, 推出SolidWorks 96 支援全球十國語系, 全中文操作介面 1997,推出SolidWorks 97 and 97 Plus,同年成為法國達梭 Dassault System子公司(CATIA) 1998, 推出SolidWorks 98 and 97 Plus, 同年 Catia 技术团队加 入研发 SolidWorks 高階曲面技術 1999, 推出SolidWorks 99, 推出eDrawing電子工程視圖, 全球 正式授權突破10萬套
微分流形,第1章
微分流形讲义曹策问2006年2月引 言在自然科学发展史上，微积分的发明，是一个划时代的事件。
它是从常量数学到变量数学的转折点；也是从平直、线性数学向弯曲、非线性数学的过渡。
微积分方法的核心，基于弯曲与平直关系的恰当处理。
从圆周长公式到圆面积公式的推导过程，包含了微积分方法的要点，简言之就是：“曲---直---曲”。
从圆心向外引若干条射线，面圆被剖分为若干个小扇形。
将每个小扇形弯曲的一边用直线代替，就成为一个等腰三角形：腰长等于半径，底长近似地等于被替换掉的圆弧的长。
这样，圆就被一个多边形所代替。
多边形面积等于各个小等腰三角形之和:∑(12底⨯高)12⨯(∑底)⨯高。
当剖分越来越细，多边形面积越来越逼近圆面积。
分划趋于无穷时，三角形底长之和趋于圆周长，高趋于半径，多边形面积也就趋于圆面积:2122R R R ππ⨯⨯=。
这样，在局部上（无穷小范围内），以直代曲，通过极限过程，得到弯曲图形的面积。
微积分中最关键的，同时也最引起争议的，是无限分割中产生的“无穷小量”的计算。
在科学史上曾对此争论不休。
随着微积分的逻辑基础的逐步建立，更重要的是随着微积分方法大批卓有成效的出色应用，这门学科站住脚了，蓬勃发展了。
历史上第一个令人震惊的应用，属于微积分的发明者之一牛顿。
他证明，刻卜勒通过总结天体观察发现的行星运动三定律，是引力定律（平方反比律）的逻辑推论。
这的确是人类理性的一次重大胜利。
微积分是关于弯曲的科学。
微积分研究弯曲空间的局部性质相当成功。
随着自然科学的深入发展，弯曲空间的整体性质的重要性，日益显露。
在微积分的基础上不断更新发展，出现了微分流形、微分拓扑，大范围分析等等新学科。
从历史上看, 微分流形有三个来源：几何。
首先是球面。
一张地图描述不了地球；需要一本地图集。
地图(chart)、地图集(atlas)，已演化成微分流形的专门术语：坐标卡，坐标卡集。
整体几何中的曲线与曲面提供了微分流形的丰富例子。
第一章__液体的界面性质(备)
界面层的分子所处环境与体相内部不
同。体相分子受力对称，合力约等于零， 表面分子受到液体内部分子向下的引力和 气体分子向上的引力，周围分子对它各相 的引力是不同的。液相分子对它的引力较 大，气相分子引力较小，结果使表面分子 受到指向液体内部的拉力，有自动向液体
体表面的收缩力，所以又称为表面张力，单位为N·M-1 （mN·m-1）。 定义表面张力（σ ）：单位长度液体表面的收缩力， 单位N·m-1（或mN·m-1） 表面自由能、表面张力单位不同，数值一样，其原因 是由表面分子受力不均所引起的。 表面张力或表面能的大小决定于相界面分子之间的作 用力，也就是决定于两个体相的性质。它随体相的组成 温度不同而变化。 注意
第一章 液体的界面性质
§1-1 表面能与表面张力
一、表面能与表面张力的含义
物质通常以气、l、s三种聚集状态（也称相态）存在， 当两种聚集状态共存时，就会出现g-l、g-s、l-l、l-s和s-s 等五种相界面。由于人们的眼睛看不到气相，因而将l-g 和g-s两种界面称为表面, l-l、l-s常称为界面。
五、悬滴法
方法相对比较复杂，通过照相确定悬滴直径
gde2 H
de可以测得，H可以查表。
六、滴重法或滴体积法
是一种简单而准确的方法，将液滴在磨平的毛细管口 慢慢形成液滴并滴下，收集并称重或直截读出体积。 mg Vg 2R 2R
m、v —一滴液体的重量或体积； ρ —液体密度； —校正因子，可查表。 R—管口半径；
二、yourg-laplace方程 （作用是给出附加压力与曲率半径的关系）
青岛版七年级上册数学学科素养解读课件：第1章 基本的几何图形
知识点 几何图形
1.图形的分割问题; 2.图形的组合问题; 3.图形的绘制问题.
知识点 几何图形的形成
下雨了,开始落下的雨滴给我们一个点的形象,接着连续 落下的雨滴就成了一条线,然后无数的雨滴连续落下,直 接形成雨幕(面),阻挡了我们的视线.
知识点 平面图形与立体图形
立体图形的侧面可以是平面,也可以是曲面,由此可区分 圆锥和棱锥.
知识点 直线
1.建筑工人砌墙;
知识点 直线
2.木工取直;
知识点 直线
3.植树问题.
知识点 点与直线
汽车在笔直的公路上行驶,远远望去,就是一个点在一条 直线上移动.
知识点 点与直线
1.公路的建设问题; 2.车辆的行驶问题.
第1章基本的几何图形
1.4 线段的比较与作法
知识点 线段长度的比较
知识点 线段的中点
1.线段的度量与计算问题; 2.绘图问题.
水杯
楼房
香蕉路障
魔方
知识点 数学上所说的平面
从太空中拍摄的地球图片中,可以看出地球是由 一个曲面围成的美丽的球体
知识点 数学上所说的平面
数学中所说的平面具有无限的延展性,实际生活 中遇到的面均是数学中所说的面的一个部分.
第1章基本的几何图形
1.2 几何图形
知识点 几何图形
我们使用的数学教材就是一个长方体的实例,它 的一个封面和一个侧面就相交于一条线(棱),同一 个面上相邻的两条棱就相交于一个点.
第1章基本的几何图形
1.3 线段、射线和直线
知识点 线段
一支铅笔,一条绷直的皮筋都是线段的一种实例.
斑马线两端不可延伸都有端点,可以看成线段
知识点 线段
线段一定是“直”的.
(名师整理)最新北师大版数学七年级上册第1章第1节《生活中的立体图形》精品课件
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
几何体
柱体 锥体 球体
圆柱 棱柱 圆锥 棱锥
所有侧棱长都相等
上下底面的形状相同
侧面都是长方形 n棱柱有(n+2)个面，2n个顶点， 3n条棱
点――动→线直曲线线――――动动→→平曲面面――动→体(立体图形)
21
光读书不思考也许能使平庸之辈知识 丰富，但它决不能使他们头脑清醒。
—— 约·诺里斯
生活中的立体图形
1、经历从现实世界中抽象出图形的过程，感受图形世 界的丰富多彩． 2、在具体情境中认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、 棱柱、棱锥、球，并能用自己的语言描述它们的某些 特征. 3、知道几何体的分类.
常见的几何体
正方体
长方体
棱柱
圆柱Βιβλιοθήκη 棱锥圆锥球
1
2
3
4
5
6
按面的曲或平划分： (3)(4)(5)是一类，组成它们的面中至少有一 个是曲的; (1)(2)(6)一类，组成它们的各面都是平的．
二、认识点、线、面
学习目标： 通过丰富的实例，进一步认识点、线、
面、体，初步感受点、线、面、体之间的 关系。
1、认识点、线、面
图中哪些线是直的，哪 些线是曲的？哪些面是平 的，哪些面是曲的？
认识点、线、面
1、图形是由点、线、面构成的。
2、点：地图上的城市、 几何体上的顶点
线：地图上的铁路、 几何体上的棱；
议一议
（2）想象下列平面图形绕轴旋转一周， 可以得到哪些立体图形？
练一练P7
如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能 形成第一行的某个几何体。用线连一连。
迁移：练习册P3 课前练兵 T2 课堂验标T4,5 课外T2,3
proe入门到精通全套教程第1章
1.1 Pro/ENGINEER Wildfire 3.0功 功 能简介
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1.2 Pro/ENGINEER Wildfire 3.0工 工 作环境
【新建】：在【文件】下拉菜单中单击【新建】命令，或在 新建】 文件】下拉菜单中单击【新建】命令， 最初界面工具栏中单击【新建】按钮，可进入【新建】 最初界面工具栏中单击【新建】按钮，可进入【新建】对话 框。 【设置工作目录】：设置好工作路径后，以后的打开和保存 设置工作目录】 设置好工作路径后， 文件等操作都在该目录下进行，这为文件管理提供了方便。 文件等操作都在该目录下进行，这为文件管理提供了方便。 读者应该从开始就养成设置工作目录的好习惯。 读者应该从开始就养成设置工作目录的好习惯。 【拭除】：当打开多个文件后，它们会一直驻留在内存中。 拭除】 当打开多个文件后，它们会一直驻留在内存中。 为了释放内存资源，可以使用该命令。 为了释放内存资源，可以使用该命令。该命令的下级菜单有 两个命令： 当前】命令和【不显示】命令， 两个命令：【当前】命令和【不显示】命令，即擦除当前显 示的和内存中没有显示的文件。 示的和内存中没有显示的文件。
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1.2 Pro/ENGINEER Wildfire 3.0工 工 作环境
2. 菜单栏 Pro/ENGINEER Wildfire 3.0将大量命令综合起来放在 将大量命令综合起来放在 菜单栏中，使其更符合微软窗口化的标准， 菜单栏中，使其更符合微软窗口化的标准，同时对一些相近 的操作命令重新进行合成。 的操作命令重新进行合成。Pro/ENGINEER Wildfire 3.0的菜单栏中包含了【文件】、【编辑】、【视图】、 的菜单栏中包含了【文件】 编辑】 视图】 的菜单栏中包含了 插入】 分析】 信息】 应用程序】 工具】 【插入】、【分析】、【信息】、【应用程序】、【工具】、 窗口】 帮助】 个菜单， 【窗口】、【帮助】及【EMX4.1】11个菜单，如图1-2所 】 个菜单 所 示。 先前的版本相比， 与Pro/ENGINEER 2.0先前的版本相比，菜单栏中做了一 先前的版本相比 些调整。菜单包含的命令信息更加丰富、完备， 些调整。菜单包含的命令信息更加丰富、完备，更符合操作 习惯。 习惯。 现简要介绍以下各个菜单的含义。 现简要介绍以下各个菜单的含义。 （1）【文件】菜单。对于【文件】菜单中的大部分命令， ） 文件】菜单。对于【文件】菜单中的大部分命令， 读者应该已经很熟悉了。 读者应该已经很熟悉了。这里只对几个比较特殊但在 Pro/ENGINEER Wildfire 3.0中很常用的命令做一简单 中很常用的命令做一简单 介绍。 介绍。
第1章_几何光学(1)_蔡履中
会聚光束
发散光束
同心光束的三要素: 孔径角 主光线
立体角
主光线
中心
2、成像 imaging
中心
光学系统：由若干反射或折射面组成，又称光具组。 三对概念：物点、像点，实物、虚物，实像、虚像
物点
P
光 具 组Biblioteka 像点P'P
P'
光 具 组
实物成实像
光 具 组
实物成虚像
光 具 组
P' P
P'
P
虚物成实像
虚物成虚像
例如：椭圆面反射
因实际问题中拐点少见，故费马原理也常称光程 （或时间）极值原理。
3. 梯度(渐变)折射率介质中光线的弯曲
分层均匀介质 n1 n2 n3 n4
梯度折射率介质 中光线的弯曲
in a graded index medium
上现蜃景
冬季海面 [蜃景的本质]：物体反 射的光经大气折射而 形成的虚像
n' sin i ' n sin i
小角度近似下,
n' i ' ni
a h' tan i h tan i'
4 水: n' 3
3 h' h 4
h' tani ' i' n h tani i n'
3、临界角和全反射 Critical angle and Total Internal Reflection（TIR）
• •
成像仪器
– 眼睛、放大镜和目镜、显微镜、望远镜
光阑与像差
几何光学：又称光线光学。
光线: 代表光能量传播方向的一根线，通过对其观 察建立了几何光学的基本定律。 波面: 是垂直于光线的几何平面或曲面。 A beam of light generated by a laser. The beam is visible because particles in the air have scattered the light.
0梅向明_黄敬之_编】微分几何第二章课后题答案
ds 2 du 2 sinh 2 udv2 = cosh 2 vdv2 ，ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从 v1 到 v 2 的
3．求球面 r = {a cos sin , a cos sin , a sin } 上任意点的切平面和法线方程。
解 r = {a sin cos ,a sin sin , a cos } ， r = {a cos sin , a cos cos ,0}
弧长为 | cosh vdv || sinh v 2 sinh v1 | 。
v1 v2
4．设曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。 = du 2 (u 2 a 2 )dv 2 ，求 它上面两条曲线 u + v = 0 ,u–v = 0 的交角。 分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。 解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 E 1 ，Fv 0 ，G u 2 a 2 ， 曲线 u + v = 0 与 u – v = 0 的交点为 u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为 E 1 ，
( Eduv Fdvu ) 2 ( Fdu v Gdv v) 2 ( Edu Fdv) 2 ( Fdu Gdv) 2 ，即 。 E G Eu 2 ds 2 G v 2 ds 2
高等数学《空间解析几何(第1章)》课件
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
2020高中数学 第一章 空间几何体 1
1。
1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征知识点一旋转体名称定义相关概念图形表示法圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫作圆柱轴：旋转轴叫作圆柱的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆柱的底面;侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫作圆柱侧面的母线图中圆柱表示为圆柱O′O圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫作圆锥轴:旋转轴叫作圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆锥的底面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面；母线：无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫作圆锥侧面的母线图中圆锥表示为圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、底面、侧面、母线图中圆台表示分叫作圆台为圆台O′O球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫作球体，简称球球心:半圆的圆心叫作球的球心;半径：半圆的半径叫作球的半径；直径：半圆的直径叫作球的直径图中的球表示为球O1．以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．2．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．知识点二简单组合体1．简单组合体的定义由简单几何体组合而成的几何体叫作简单组合体．2．简单组合体的两种基本形式(1)由简单几何体拼接而成;（2)由简单几何体截去或挖去一部分而成．要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．[小试身手］1．判断下列命题是否正确. （正确的打“√”，错误的打“×”)（1）直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．（）(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．（)（3）圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．（）(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( ）答案:(1）×（2)×(3）√（4）×2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的侧面展开图是一个扇形C．圆台的侧面展开图是一个梯形D．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径解析：圆台的侧面展开图是一个扇环，其余的A、B、D都正确．答案：C3．如图所示，其中为圆柱体的是( ）解析:B、D不是旋转体,首先被排除．又A不符合圆柱体的定义,只有C符合，所以选C。
曲面的概念
这样 r t 所决定的曲面的切方向，完全依 赖于 du dv
dt , dt
的比值
du : dv
曲面上一点 P0 u0 , v0 的切平面的方程
设
Rx, y, z
R r u0 , v0 , ru u0 , v0 , rv u0 , v0
表示切平面上的任意点 M 的向径，则
的秩为2．
u x v
u y v
u z v
即三个行列式
x x, y u u, v x v y u , y, z y u, v v y u y v z u , z, x z u, v v z u z v x u x v
ru rv 0
于是，在这片曲面上，有一族 u-曲线和一 族 v-曲线满足：
经过曲面上每一点有惟一的一条 u-曲线 和惟一的一条 v-曲线，而且这两族曲线彼 此不相切．
这样的两族曲线称为曲面上的一个正规坐 标网．
命题1 曲面在正常点的邻域 U 中总可以有
z z x, y
形式的参数表示． 证明：由于在正常点的邻域 U 内 ru rv 0 ， 即矩阵 x y z
定义2 给出平面上一初等区域 G，G 中的点的 笛卡儿坐标是（u，v），G 经过同胚映射后的 象是曲面 S．对于空间的笛卡儿坐标系来说，S 上的点的坐标是（x，y，z），曲面的解析表达 式：
x f1 u, v , y f 2 u, v , z f 3 u, v ,
u, v G
其中 R 是球面 的半径．
例3 旋转面：考虑 xOz 平面上的曲线（C）：
x t 0, z t , t
把此曲线绕 z 轴旋转，则得一曲面，称为旋转 面．它的 G 是一长方形：
高中数学第1章立体几何初步1_1_1简单旋转体学案北师大版必修2
1．1 简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案] ①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1] 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[答案] C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引] 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解] 如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析] 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[答案] 91．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[答案] D2．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有( )A．一条 B．两条 C．三条 D．无数[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[答案] D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[答案] ②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.[答案] B2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．[答案] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[答案] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°. [答案] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( ) A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[答案] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析] 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13， ∴r ＝1. [答案] 17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． [解析] 设球心到平面的距离为d ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，∴r ＝1.设球的半径为R ，则R ＝d 2＋r 2＝2，故球的直径为2 2.[答案] 2 2 8．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体； ②球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ③球的直径是球面上任意两点间的连线； ④用一个平面截一个球，得到的是一个圆． 其中正确的序号是________．[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确． [答案] ①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径. [解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2.所以此圆柱的底面半径为Q2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R＝6，∴圆锥的底面圆的面积S＝πR2＝36π，圆锥的高h＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.[答案] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析] 截面图形应为图C所示的圆环面．[答案] C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析] 外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[答案] B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm 2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3，所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[答案] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3， ∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
微分几何(第一课)
有些微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏 微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高 的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成 桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想，证明了某 种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复 蒙日-安培方程，它的非线性程度更高，需要有高 度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的 与非线性偏微分方程有关的几何问题。 具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复 变函数和代数几何中起着重要的作用。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域 的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意 曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换 把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
后期应用
由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的 建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中 得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特 色、应用广泛的独立学科。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广 泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机 械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微 分几何学的理论。
课程的主要内容
本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论， 主要内容有： （1）曲线论。包括参数曲线，曲线的弧长，曲线的曲率和 Frenet标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线在一 点处的标准展开，平面曲线。 （2）曲面论。包括曲面的定义，切平面与法线，曲面的第 一基本形式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角 对应，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射 与Weingarten映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和曲 面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定理。 （3）曲面的内蕴几何，包括测地曲率和测地挠率，测地线， 测地坐标系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。
第二十二章曲面积分§1第一型曲面积分1．1．计算下列第一型曲面...
第二十二章 曲面积分§1第一型曲面积分1． 1． 计算下列第一型曲面积分 （1）⎰⎰++s,dS )z y x (其中S 是上半球面x ；0z ,a z y 2222≥=++解 z=222y x a --x z '=222y x a x---,y z '=222y x a y---所以dS=,dxdy y x a a222--,adxdy azdS 3Sa y x 222π==⎰⎰⎰⎰≤+⎰⎰=++S3adS )z y x (π(2),dS )y x (S22⎰⎰+其中S 为立体1z y x 22≤≤+的边界曲面；解dS)y x (f dS )y x (dS )y x (22S 2S 222S2(1+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=dxdy)y (xdxdy )y (x1y x 222y x 22z22⎰⎰⎰⎰≤+++++==drr dy dr r dy 22010310320⎰⎰⎰⎰+ππ=1)2(2+π(3)⎰⎰+S 22y x dS ,其中S 为主面x 2+y 2=R 2被平面z=0,z=H 所截取得部分解 R H2RH 2R 1dS R 1dS y x 1(S22S 22ππ===+⎰⎰⎰⎰ （4）,xyzdS S⎰⎰其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分解1203dS )x 1(x 63dy 1y )y x 1(y xdx xyzdS 1031x-10S=-=+--=⎰⎰⎰⎰⎰2 求均匀曲面x 2+y 2+z 2=a 2,x ,0≥y 0≥,z 0≥的重心解 设重心坐标为（)z ,y ,x ,由对称性：,z y x ==,SzdSdSzdS z SS S⎰⎰⎰⎰⎰⎰==其中S 为所求曲面的面积，S=2a 21π.而dS=dxdy y x a a dxdy z z 12222y 2x --='+'+，则⎰⎰s zd s=dxdy z z 1y 2x 2'+'+=dxdyy x a a 222--.则3S D a 41adxdy zdS π==⎰⎰⎰⎰（D 为S 在xoy 面投影z =2a ,所以，重心坐标为,2a ()2a ,2a3 求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2_+z 2=a 2(z 0≥)对x 轴的转动惯量解 因z=222y x a --,dS=dxdy 2aJ 2=dxdy 2y x adS )y x(222a y x 22S22⎰⎰⎰⎰=++=+ρρ=a ρdrra r d a33320⎰⎰-πθ=2πdtt sin a 2034⎰πρ=ρπ4a 34§2 第二型曲面积分 1 计算下列第二型曲面积分（1）dxdy)x y (dzdx xdydx )z x (y 22S2+++-⎰⎰，其中S 为由x=y=z=0.x=y=z=a 六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向解⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=-aaaSayzdzdy dz )z a (y dy dydz )z x (y=2a dy 2y a dy )2y a y a 4a 022a02=+-⎰⎰（ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==a2a2aaS20dx x dz -dx x dz dzdx x2a dy y dx -ax)dy y (dx dxdy )xz y 4a0a02a0a022S=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（ 故 =+=+++-⎰⎰2a 2a dxdy )xz y (dzdx x dydx )z x (y 442S 2a 4(2)⎰⎰+++++s,dxdy )x z (dzdy )z y (dydz )y x （其中是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正方向； 解⎰⎰+syx (）dydz=⎰⎰⎰⎰---+-+11111111-dz)y 1(dy -y)dx (1dy=2⎰⎰-=+-+1111-8y)dy (-12dy )y 1(则⎰⎰=⨯=+++++S2483dxdy )x z (dzdx )z y (dydz )y x ((3)⎰⎰++S,xzdxdy yzdzdx xydydz 其中S 是由平面x=y=x=0,x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向解dy)xy x x (dx dxdy )y x 1(x xzdxdy 2x-10SDxy1--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=dx ]x)-x(121)x 1(x [2102--⎰=241故812413xzdxdy yzdzdx xydydz S=⨯=++⎰⎰(4)⎰⎰S,yzdzdx 其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向J 解 令x=cos θsin ϕ,y=sin θsin ϕ,z=cos ϕ,其中02πϕ≤≤，0πθ2≤≤故⎰⎰Syzdzdx=πθϕϕθϕππ41d cos sin sin d 220220=⎰⎰(5)dxdy,z dzdx y dydx x22S2++⎰⎰其中S 是球面（x-a 2222R )x z ()b y (=-+-+并取外侧为正向解 z-c=222)()(b y a x R ----±曲面S 在xoy 面的投影区域Dxy:(x-a)2+(y-b)22R ≤2[]SDxyz dxdy c dxdy=+⎰⎰⎰⎰_dxdyb y a x Rc Dxy])()([222⎰⎰-----=4c 230083Rd R c πϕπ=⎰⎰故 22238()3s x dydx y dydx z dxdy R a b c π++=++⎰⎰2设某流体的流速为v=(k,y ,0)，求单位时间内从球面2224x y z ++=的内部流过球面的流量解 设流量为E ，则E=3432(0233sS kdydz ydzdx k dydz ydzdx ππ+=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球前球后）§3 高斯公式和斯托克斯公式 1. 1. 应用高斯公式计算下列曲面积分: (1)⎰⎰++Sxydxdyzxdzdx yzdydz ,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；解：⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =dxdydzV⎰⎰⎰0=0(2)dxdydzdx dydz z yx S222++⎰⎰,其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；解： 原式 =2⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x ）（ =2⎰⎰⎰++a aa dzz y x dy dx 00)(=2dya y x dx aaa ⎰⎰++02]2)[(=2()d x x aa a⎰+032=3a 4(3)dxdy dzdx dydz z y xS222++⎰⎰,其中S是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域(0h z ≤≤)的表面,方向取外侧； 解： 原式 =2⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x ）（由柱面坐标变换x=rcos θ,y=rsin θ,z=x,其中0πθ2≤≤,0h r ≤≤,r h z ≤≤, 原式=2()rdz z r r dr d hhr ⎰⎰⎰++020sin cos θθθπ=h 42π(4)⎰⎰Sx3dydz+y3dzdx+z 3dxdy,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；解： 原式 =+⎰⎰⎰X 2（+Y 2Z 2)dxdydz =3 ϕθϕππsin 02014⎰⎰⎰r d d dr=512π(5)⎰⎰++Szdxdyydzdx xdydz ,其中S 是上半球面z=yx a222--的外侧.解： 补z=0的圆S 1：x 2+y2≤a 2则原式=⎰⎰+s S 1-⎰⎰s 1=3⎰⎰⎰Vdv -0=2πa32．应用高斯公式计算三重积分⎰⎰⎰++Vdxdydz zx yz xy ）（，其中V 是由ｘ，0≥ｙ0≥，≤0ｚ1≤与x 2+y2≤1所确定的空间区域．解： 原式=21dxdyzdzdx ydydz z y x22S2++⎰⎰=21[⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++D dxdyzdzdx D )-(1ydydz D )1(Xy Z X yz x y 22]=21[ydz )1(dy 10210y ⎰⎰-+zdz _)-(1dx 10210x ⎰⎰+⎰⎰-1010x dy xdx 2]=21[ydy )1(102y ⎰-+21dx x ⎰-1021）（+dx x x ⎰-1021] =2411。
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目录第一章曲面 (2)1.1 曲面概述 (2)1.2 曲面建模方法及曲面命令 (2)1.3 曲面生成命令 (3)1.3.1 拉伸曲面 (3)1.3.2 旋转曲面 (5)1.3.3 扫描曲面 (6)1.3.4 放样曲面 (8)1.3.5 边界曲面 (10)1.3.6 等距曲面 (11)1.3.7 延展曲面 (12)1.3.8 平面区域 (13)1.4 曲面编辑命令 (14)1.4.1 缝合曲面 (14)1.4.2 延伸曲面 (15)1.4.3 填充曲面 (17)1.4.4 删除面 (19)1.4.5 替换面 (21)1.4.6 剪裁曲面 (22)1.4.7 解除剪裁曲面 (23)1.5 曲面实例 (24)1.6 小结 (35)第一章曲面1.1 曲面概述曲面是一种理论上厚度为零、没有质量的几何体，也可以用来生成实体特征。
从几何意义上看，曲面模型和实体模型所表达的结果是完全一致的。
可以这样认为，一个曲面是一个具有薄壁特征的实体，它拥有形状却没有厚度，它只是一个面的概念，不具有体积。
通常情况下可以交替地使用实体和曲面特征。
曲面建模的方法与实体建模的方法基本相同，如拉伸、旋转、扫描及放样。
由于曲面的特殊性，曲面还有一些特殊的建模方法，如剪裁、解除剪裁、延伸以及缝合等。
虽然实体建模快捷高效，但是曲面建模比实体建模具有优势，它比实体建模更灵活，因为曲面建模可以等到设计的最终步骤，再定义曲面之间的边界。
此灵活性有助于产品设计者操作平滑和延伸的曲线，生成相对复杂的模型，如汽车挡板、手机外壳等的建模。
高质量的曲线是构建曲面的基础。
一个质量高的曲面应该是曲率颜色过渡均匀，斑马纹连续顺滑、没有折曲现象。
SolidWorks可以用曲率、斑马条纹来获得曲面的相关信息，以及评鉴曲线与曲面的品质。
曲面实体为一统称术语，描述相连的零厚度几何体，如单一曲面、缝合的曲面、剪裁和圆角的曲面等，可在一单一零件中拥有多个曲面实体。
曲面实体可以包括：∙单面曲面。
∙多面曲面。
∙缝合的曲面。
∙圆角的曲面。
∙剪裁和延伸的曲面。
∙输入的曲面。
∙平面曲面和中面。
∙由拉伸、旋转、放样、扫描、等距、延展或填充生成的曲面。
若想在复杂的曲面实体中选择单一的面，可使用选择过滤器工具栏上的过滤面工具。
1.2 曲面建模方法及曲面命令可以用以下方法生成曲面：∙从草图或基准面上的一组闭环边线插入一个平面。
∙从草图拉伸曲面、旋转曲面、扫描曲面或放样曲面。
∙从现有的面或曲面等距曲面。
∙输入文件。
∙生成中面。
可以使用以下的方法修改曲面：∙延伸曲面。
∙剪裁已有曲面。
∙解除剪裁曲面。
∙圆角曲面。
∙使用填充曲面来修补曲面。
∙移动/复制曲面。
∙删除和修补面。
可以用下列方法使用曲面：∙选取曲面边线和顶点作为扫描的引导线和路径。
∙通过加厚曲面来生成一个实体或切除特征。
∙用成形到某一面或到离指定面指定距离等终止条件来拉伸实体或切除特征。
∙通过加厚已经缝合成实体的曲面来生成实体特征。
∙用曲面替换平面。
曲面工具栏提供了生成和修改曲面的命令，有拉伸曲面、旋转曲面、扫描曲面、放样曲面、边界曲面、等距曲面、延展曲面、平面区域等曲面的生成命令；有缝合曲面、延伸曲面、填充曲面、删除面、替换面、剪裁曲面以及解除剪裁曲面等曲面的修改命令。
常用曲面工具栏如图1-1所示，曲面的自定义工具栏如图1-2所示。
图1-1 常用曲面工具栏图1-2 自定义曲面工具栏1.3 曲面生成命令生成曲面的命令包括【拉伸曲面】、【旋转曲面】、【扫描曲面】、【放样曲面】、【边界曲面】、【等距曲面】、【延展曲面】、【平面区域】等。
1.3.1 拉伸曲面【拉伸曲面】是将直线或曲线构成的轮廓拉伸成一个曲面的曲面生成命令。
【拉伸曲面】操作步骤如下：（1）选择右视基准面作为草图绘制平面，使用【样条曲线】命令绘制如图1-3所示曲面轮廓草图。
图1-3 曲面轮廓草图（2）单击常用曲面工具栏【拉伸曲面】按钮，或者选择菜单栏【插入】→【曲面】→【拉伸曲面】命令，系统弹出【曲面-拉伸】属性管理器。
同时图形区切换为等轴测视图，如图1-4所示。
（3）设置属性管理器选项。
设置拉伸曲面起始条件为【草图基准面】，终止条件为【给定深度】，在【深度】输入框中键入深度值为30。
单击【反向】按钮可以改变拉伸曲面的方向。
单击【确定】按钮完成拉伸曲面，如图1-4所示。
图1-4 【曲面-拉伸】属性管理器及拉伸曲面过程对于【给定深度】拉伸类型，步骤（3）也可以在图形区中通过控标操作完成。
图形区中草图绘制平面的两侧各有一个立体实心箭头——控标，当光标移近一个方向箭头时，该箭头会改变颜色，此时单击该箭头并移动鼠标或按下鼠标左键并拖动鼠标，拉伸曲面结果预览随光标移动而变化，同时在绘图区显示当前拉伸深度，【曲面-拉伸】属性管理器中对应的拉伸深度对话框呈现蓝色，其中的数字随着光标移动而改变，如图1-5所示。
图1-5 拖动控标拉伸曲面的过程【曲面-拉伸】属性管理器中的选项与特征中的【拉伸】属性管理器的选项内容基本相同。
若是在曲面模型中使用【拉伸曲面】命令，那么【曲面-拉伸】属性管理器中没有【完全贯穿】的终止条件。
如果拉伸的曲面需要有拔模角度时可以通过【拔模开/关】来完成。
如果需要向外拔模，即拉伸曲面的截面轮廓越来越大，可以勾选【向外拔模】复选框。
通过【方向2】复选框，一个草图可以同时向两个不同的方向拉伸曲面，而且两个方向可以分别设置拉伸选项。
在拉伸曲面过程中可以通过控制草图轮廓上的点来实现曲面形状的动态调节，如图1-6所示。
（a）选择调节点（b）调节过程（c）调节结果图1-6 动态调节曲面形状1.3.2 旋转曲面【旋转曲面】是将直线或曲线构成的曲面轮廓草图围绕一中心线旋转生成曲面的曲面生成命令，它用于回转曲面零件的造型。
下面以一个“葫芦”为例来说明【旋转曲面】的操作步骤：（1）选择前视基准面作为草图绘制平面，使用【样条曲线】命令绘制曲面轮廓草图，包含一个轮廓和一条中心线，其中中心线作为旋转轴线。
（2）单击常用曲面工具栏中的【旋转曲面】按钮，或者选择菜单栏【插入】→【曲面】→【旋转曲面】命令，系统弹出【曲面-旋转】属性管理器，并在图形区中出现预览。
在【旋转参数】的下拉列表中选择【旋转轴】和【旋转类型】，在【角度】指定旋转角度为360，如图1-7所示。
（3）单击【确定】按钮完成旋转曲面，如图1-7所示。
图1-7【曲面-旋转】属性管理器及旋转曲面过程在【旋转参数】中有三种旋转类型可拱选择：•【单向】：由草图平面向一个方向按照给定的角度旋转。
•【双向】：从草图平面分别向两个方向按照给定的角度旋转。
•【两侧对称】：将草图平面作为旋转特征的对称面，在其两侧平均分配角度。
当草图有多个曲面轮廓时，可以单击【曲面-旋转】属性管理器中的【所选轮廓】选项，这时图形区中的光标变为，移动光标选择一个或多个轮廓来旋转生成单面或多面曲面。
如图1-8所示，选择三个曲面轮廓中的两个轮廓生成多面曲面。
图1-8 旋转多面曲面1.3.3 扫描曲面【扫描曲面】是一草图轮廓沿着一草图路径移动来生成曲面的曲面生成命令。
扫描曲面的方法同扫描特征的方法十分相似，包括简单扫描和引导线扫描。
简单扫描用来生成等轮廓的曲面，曲面由轮廓和路径来控制。
应用引导线扫描可以得到不等轮廓的扫描曲面，所得曲面由轮廓、路径及引导线三者控制。
其中值得注意的是引导线端点必须贯穿轮廓图元，通常引导线必须与轮廓草图中的点重合，以使扫描可自动推理存在有穿透几何关系。
【扫描曲面】的操作步骤如下：（1）选择上视基准面作为草图绘制平面，使用【椭圆】命令绘制“草图1”作为扫描轮廓。
选择前视基准面作为另一草图绘制平面，使用【直线】命令绘制“草图2”作为扫描的路径。
（2）单击常用曲面工具栏上的【扫描曲面】按钮，或者选择菜单栏【插入】→【曲面】→【扫描曲面】命令，系统弹出【曲面-扫描】属性管理器。
在【轮廓】选项中选择“草图1”，在【路径】选项中选择“草图2”,绘图区中出现扫描预览。
单击【确定】按钮完成扫描曲面操作，如图1-9所示。
图1-9 【曲面-扫描】属性管理器及扫描曲面过程还可以通过引导线扫描曲面，方法是在上述步骤（1）中多绘制一条曲线即“草图3”作为引导线，并在“草图1”与“草图3”之间添加重合关系。
扫描曲面时在属性管理器【引导线】选项中选择“草图3”作为引导线，最后扫描结果如图1-10所示。
当路径与引导线的长度不同时，扫描长度的确定原则：•如果引导线比路径长，扫描将使用路径的长度。
•如果引导线比路径短，扫描将使用最短（可以有多条引导线）的引导线的长度。
图1-10 通过引导线扫描曲面【曲面-扫描】属性管理器中【选项】中【方向/扭转控制】类型有六种，它们控制轮廓在沿路径扫描时的方向。
•随路径变化：草图轮廓相对于路径仍时刻处于相同的角度。
•保持法向不变：草图轮廓时刻与起始轮廓平行。
•随路径和第一引导线变化：如果引导线不只一条，选择该选项草图轮廓将随着第一条引导线变化。
•随第一和第二引导线变化：如果引导线不只一条，选择该选项草图轮廓将随着第一条和第二条引导线变化。
•沿路径扭转：扫描曲面时选择该选项，草图轮廓可按度数、弧度或旋转定义扭转。
选择此选项时不允许应用引导线。
•以法向不变沿路径扭曲：草图轮廓在沿路径扭曲时保持与起始草图轮廓平行而沿路径扭曲轮廓。
1.3.4 放样曲面【放样曲面】是通过两个或多个曲面轮廓之间进行过渡生成曲面的曲面生成命令。
【放样曲面】和【扫描曲面】是有区别的：【扫描曲面】是使用单一的曲面轮廓，生成的曲面在每个位置上的轮廓都是相同或者是相似的；【放样曲面】每个位置上的轮廓可以有完全不同的形状。
【放样曲面】的操作步骤如下：（1）为每个曲面轮廓草图建立基准面。
如图1-11所示建立了两个与右视基准面平行且间距为40的基准面1和基准面2。
（2）在每个基准面上使用【样条曲线】命令绘制曲面轮廓草图，如果有必要还可以绘制引导线来控制放样曲面的形状。
注意：基准面之间不一定要平行。
图1-11 建立基准面（3）单击常用曲面工具栏上的【放样曲面】按钮，或者选择菜单栏【插入】→【曲面】→【放样曲面】命令，系统弹出【曲面-放样】属性管理器。
在【轮廓】选项中依次选取空间轮廓草图，和可以改变轮廓的顺序。
单击【确定】按钮完成放样曲面操作，如图1-12所示。
图1-12 【曲面-放样】属性管理器及放样曲面过程【曲面-放样】属性管理器中【起始/结束约束】选项是用约束来控制开始和结束轮廓的相切，包括以下四种：•【默认】：近似在第一个和最后一个轮廓之间刻划的抛物线。
该抛物线中的相切驱动放样曲面，在未指定匹配条件时，所产生的放样曲面更具可预测性、更自然。
•【无】：不应用相切。
•【方向向量】：放样与所选的边线或轴相切，或与所选基准面的法线相切。
•【垂直于轮廓】：放样在起始和终止处与轮廓的草图基准面垂直。