2.2 第1课时 基本不等式的证明-2020-2021学年高一数学新教材配套课件(人教A版必修第一册)
高中数学新教材同步必修第一册 第2章 §2.2 第1课时 基本不等式
由于CD小于或等于圆的半径， 故用不等式表示为 ab≤a＋2 b， 由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
知识梳理
最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时， 和x＋y有最小值 2 P ；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时， 积xy有最大值 14S2 ，简记为：积定和最小，和定积最大. 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等.①一正：各项必须为正；②二定： 各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是 否具备.(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配 项等变换.
故原式的最大值为－4.
2.当 x>1 时，求 x＋x－4 1的最小值.
解 因为x>1，故有x－1>0， 所以 x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥2 x－1·x－4 1＋1＝5， 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立. 因此所求最小值为5.
反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰 当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成 立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内 的值，故三点缺一不可.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.下列不等式：①a2＋1>2a；②x＋1x≥2；③a＋abb≤2；④x2＋x2＋1 1≥1.其 中正确的个数是___2__. 解析 由基本不等式可知②④正确.
2020_2021学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学
2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学习目标核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养．如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：其含义分别为①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h；②限制质量：装载总质量m不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m.你能用数学式子表示上述关系吗？1．不等式的定义我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．2．不等式a≤b和a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“a＞b，或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b与a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．3．实数大小比较的依据我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x 为点P的坐标，并记作P(x)．另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小．如图所示的数轴中，A(a)，B(b)，不难看出b>1>0>a.此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离．由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a－b与0的相对大小就可以了，即a－b＜0⇔a＜b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＞0⇔a＞b.上面等价符号的左式反映的是实数的运算性质，右式反映的则是实数的大小顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系．它是不等式的理论基础，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( )(2)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a<b三种关系中的一种．( )(3)若a＞b，则ac2＞bc2. ( )(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d. ( )[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d 不得小于10 m，用不等式表示为( )A．v≤120 km/h且d≥10 mB．v≤120 km/h或d≥10 mC．v≤120 km/hD．d≥10 mA[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.]3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．4.5t<28 000[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.]4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．M＞N[M－N＝a2＋a＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞0， ∴M ＞N .]用不等式(组)表示不等关系【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h 的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h ，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解] 设复兴号列车速度为v 1，民航飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.v 1，v 2的关系：2v 1＋100≤v 2， v 1，v 3的关系：v 1＞3v 3.在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．[跟进训练]1．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式(组)表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2(m).因此菜园面积S ＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.比较两数(式)的大小【例2】 (教材P60例1改编)已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1). ∵x ≤1，∴x －1≤0，而3x 2＋1＞0， ∴(3x 2＋1)(x －1)≤0，∴3x 3≤3x 2－x ＋1.把本例中“x ≤1”改为“x ∈R ”，再比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝(3x 2＋1)(x －1). ∵3x 2＋1＞0，当x ＞1时，x －1＞0，∴3x 3＞3x 2－x ＋1； 当x ＝1时，x －1＝0，∴3x 3＝3x 2－x ＋1； 当x ＜1时，x －1＜0，∴3x 3＜3x 2－x ＋1.作差法比较两个实数大小的基本步骤[跟进训练]2．比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小． [解] (2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34＞0. ∴(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＞0， ∴2x 2＋5x ＋3＞x 2＋4x ＋2.不等关系的实际应用【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x (n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当0＜n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．[跟进训练]3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？[解] 设该家庭除户主外，还有x 人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y 甲、y乙，一张全票价为a 元，则y 甲＝a ＋0.55ax ，y 乙＝0.75(x ＋1)a . y 甲－y 乙＝(a ＋0.55ax )－0.75(x ＋1)a＝0.2a (1.25－x )，当x ＞1.25(x ∈N )时，y 甲＜y 乙；当x ＜1.25(x ∈N )时，即x ＝1时，y 甲＞y 乙．因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．知识：比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .方法：作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．1．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上面叙述中的不等关系正确的是( )A ．a ＞4bB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200C ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b （a ＋4）（b ＋4）＝200 D ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b4ab ＝200 C [∵仓库的长a 大于宽b 的4倍，∴a ＞4b .又矩形地基的面积为200 m 2，∴(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C.]2．下面表示“a 与b 的差是非负数”的不等关系的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a －b ＜0 C ．a －b ≥0 D ．a －b ≤0[答案] C3．设M ＝(a ＋1)(a －3)，N ＝2a (a －2)，则( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤NC [N －M ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，即M ＜N ，故选C.]4．若实数a >b ，则a 2－ab ________ba －b 2.(填“>”或“<”) > [因为(a 2－ab )－(ba －b 2)＝(a －b )2，又a >b ，所以(a －b )2>0.]5．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，试用不等式表示上述关系．[解]由题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.。
2020年高中数学新教材同步必修第一册 第2章 2.2 第1课时 基本不等式
2 题型探究
PART TWO
一、利用基本不等式比较大小
例1 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长
率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则
A.x＝a＋2 b
√B.x≤a＋2 b
a＋b C.x> 2
D.x≥a＋2 b
反思 感悟
基本不等式 a＋2 b≥ ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小
解析 x＋1x0＋1x＋2＝x＋1＋x9＋x1＋1＋1 ＝x＋12＋x1＋01x＋1＋9＝(x＋1)＋x＋9 1＋10， ∵x>－1，∴x＋1>0， ∴(x＋1)＋x＋9 1＋10≥2 9＋10＝16. 当且仅当 x＋1＝x＋9 1， 即x＝2时，等号成立.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
B.a2＋b2≥4ab
√D.x2＋x32≥2 3
解析 a<0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错； a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错； a＝4，b＝16，则 ab<a＋2 b，故 C 错； 由基本不等式可知D项正确.
12345
5.已知 x>－1，则x＋1x0＋1x＋2的最小值为___1_6____.
∴
ab>a.故
a＋b b> 2 >
ab>a.
12345
2.下列不等式正确的是 A.a＋1a≥2
√C.a2＋a12≥2
B.(－a)＋－1a≤－2 D.(－a)2＋－1a2≤－2
解析 ∵a2>0，故 a2＋a12≥2 成立.
12345
3.下列等式中最小值为4的是 A.y＝x＋4x
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：2.2 第1课时 基本不等式
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 利用基本不等式判断命题真假
例 1 下列不等式一定成立的是( C )
A． x2＋14> x(x>0)
B．x＋1x≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．x2＋1 1>1(x∈R)
[解析] 选项 A 中，x2＋41≥x(当且仅当 x＝12时，x2＋14＝x)，故选项 A 不正确；选项 B 中，x＋1x≥2(x>0)，x＋1x≤－2(x<0)，故选项 B 不正确； 选项 C 中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项 C 正确；选项 D 中， x2＋1≥1，则 0<x2＋1 1≤1，故选项 D 不正确．
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
【素养目标】 1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象) 2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算) 4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推 理) 5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)
理的拆、凑、配等变换．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 两 个 不 等 式
a2 ＋ b2≥2ab
与
a＋b 2
≥
ab 成 立 的 条 件 是 相 同
的．( × )
(2)当 a>0，b>0 时，a＋b≥2 ab.( √ )
(3)当 a>0，b>0 时，ab≤(a＋2 b)2.( √ )
(4)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × )
[解析] (1)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式a＋2 b ≥ ab成立的条件是 a>0，b>0.
人教版高中数学必修第一册第二章2.2 基本不等式第1课时【课件】
初探新知
【活动1】 认识算术平均数与几何平均数
【问题1】从情境导学中，我们了解到，在日常生活中，我
们经常会碰到用和表示的量，你知道它们的名称吗？
【活动3】理解基本不等式的“内涵”和“外延”，掌
握基本不等式的证明方法
【问题3】什么是基本不等式?你能证明基本不等式吗?
【问题4】如果将基本不等式的条件：正数a，b中的“正
，试比较x，y的大小．
，y＝
【解】
已知a,b是不相等的正数，由
a b
a b 2 ab a b a b
2
x
得x
a b,
2
2
2
又因为 y a b ,即y 2 a b，所以 x 2 y 2 ,即x y.
【例3】已知a，b为正实数，求证：(a＋b)(
数”去掉，基本不等式还成立吗？为什么？
【活动4】通过图形，理解基本不等式的几何意义
【问题5】如图3，以AB为直径作半圆ADB，圆心为O.过直径AB上一
点C作CD垂直于AB，交半圆于点D，连接AD，BD.你能利用这个图形
得出基本不等式的几何解释吗？
图3
【 活 动 5 】 认 识 基 本 不 等 式 和 不 等 式 a 2＋ b 2≥ 2 a b 的 关 系
【问题6】基本不等式与不等式a2＋b2≥2ab在结构上有什么联系
和区别？
【问题7】基本不等式中的a，b均为正数，而a2＋b2≥2ab中的a，
b有无此要求？
典例精析
【例1】
D
思路点拨：从基本不等式成立的条件入手，对每个选项进行判断．
【解】
【方法规律】
在基本不等式应用过程中要注意“一正”“二定”“三相等”．一正，a
2.2基本不等式 (第1课时)(课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1.教材P46练习第 2,5题；
2.P48-49习题2. 2,复习巩固第1,2题
（二）探究性作业：
教材P46 练习及参考答案
当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定）
（3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等）
应用新知
12
练习(1) 当 x 0 时，求 4x 的最大值；
x
【解析】 x 0, x 0.
利用基本不等式求最值的注意事项
一正:各项必须都是正值.
12
12
( 4 x ) 2
(4 x) 8 3 ,
②
通常称不等式②为基本不等式（basicinequality）．
ab
其中，
叫做正数 a, b 的算术平均数，
2
ab 叫做正数 a, b 的几何平均数．
文字语言：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数。
认识新知
重要不等式： a 2 b 2 2ab ；
基本不等式：
ab
ab
2
.
问题3 基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，
B.最小值 9 C.最大值-3 D.最小值-3
【答案】C
2
【解析】
x ,3x 2 0 ,
当遇见负数时，
3
先应该乘以负
1，再适当配
9
9
9
3 3 . 凑构造倒数型，
f ( x) 3 x 2
3 (2 3x)
3 2 (2 3x)
【解析】 x 0, x 0,
2
分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的
2
1
1
1
高中数学人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式(第1课时)课件
D
A
a O C
b
a
b
B
ab
2
则OD=＿＿,CD=
＿＿＿＿
Rt△ACD∽Rt△DCB， DC 2 BC AC ab
ab
≥ ab
2
几何意义：半径不小于
弦长的一半
做两个直角边分别为 a, b的等腰直角三角形，通过比较面积的大小，
你能发现什么？
ab
已知a 0, b 0, 求证 ab
4
上题的内容称为最值定理，即
（1）若a,b>0，当 + =
时，2
⩾
当且仅当 = 时等号成立.
+
（2）若a,b>0 当 = 时，
⩾
2
， ⩽
， + ⩾
2 ，当且仅当 = 时等号成立.
和定积最大，积定和最小.
2
，
4
例3 （1）用篱笆围一个面积为100 2 的矩形菜园，当这个矩形的边长
为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为
多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边长分别为x m，y m，篱笆的长度为2( + ).
（1）由已知得 = 100.
+
2
由
⩾
，可得 + ⩾ 2 = 20，
人教版A版（2019）
第24届“国际数学家大会”会标
学习目标
1.掌握基本不等式及其结构特点.
2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
2.2.1基本不等式-上学期高一数学同步课件(新教材人教版必修第一册)
B [显然a＋2 b＞ ab，又因为 a＋2 b＜ a＋b，(由a＋b＞a＋4b2也 就是a＋4 b＜1可得)，所以 a＋b＞ a＋2 b＞ ab.故M＞P＞Q.]
C．Q＞M＞P
D．M＞Q＞P
利用基本不等式证明不等式 【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a ＋1b＋1c>9. [思路点拨] 看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项 构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
B．2
等号，故a＋b的最小值为2.]
C．4
D．8
4．当a，b∈R时，下列不等关系 成立的是________．
③ [根据x2＋2 y2≥xy，a＋2 b
①a＋2 b≥
ab；②a－b≥2
ab；
≥ ab成立的条件判断，知①②④ 错，只有③正确．]
③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
合作探究 提素养
4．已知a＞1，b＞0，1a＋3b＝1，求证：a＋2b≥2 6＋7. [证明] 由1a＋3b＝1，得b＝a3－a1(a＞1)， 则a＋2b＝a＋a6－a1＝a＋6a－a－11＋6 ＝a＋a－6 1＋6＝(a－1)＋a－6 1＋7 ≥2 6＋7， 当a－1＝a－6 1时，即a＝1＋ 6时，取等号．
1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0 时，才会有 ab≤a＋2 b.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话 要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，a＋2 b＝ ab；另一方面：当a＋2 b ＝ ab时，也有a＝b.
自主预习 探新知
1．重要不等式 ∀a，b∈R，有 a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当a＝b 时，等号成立． 2．基本不等式 (1)有关概念：当 a，b 均为正数时，把a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均 数，把 ab叫做正数 a，b 的几何平均数． (2)不等式：当 a，b 是任意正实数时，a，b 的几何平均数不大于它们 的算术平均数，即 ab≤a＋2 b，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
2.2+基本不等式(共2课时)高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必修第一册)
解：y=
即y的最大值为
≤
=
+
.
，
,当x=2时，等号成立.
概念讲解
x 2＋7x＋10
练习：求函数 y＝
(x>－1)的最小值．
x＋1
解：∵x>－1，∴x＋1>0.
x 2＋7x＋10 x＋12＋5x＋1＋4
∴y＝
＝
x＋1
x＋1
4
＝(x＋1)＋
＋5≥2
x＋1
x＋1
4
＋5＝9.
= 1， = 1时，等号成立，
因此所求的最小值为2.
一正：各项必须为正
二定：各项之和或各项之积为定值
三相等：必须验证取等号时的条件是否具备
概念讲解
练习1.已知 < ，求 + 的最值.
一正
解：因为 < 0，所以− > 0
1
1
− （ − ） + （ − ） ≤ −2 （ − ） ⋅ （ − ) = −2，
重要不等式： a2+b2≥2ab
①
不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立.
02
基本不等式及其推导
概念讲解
思考：如果a>0, b>0, 我们用 , 分别代替a,b,可得到什么结论呢？
由a2+b2≥2ab 可以得到 + ≥ ②（基本不等式）
算术平均数
几何平均数
05
课堂小结
课堂小结
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数、方程和不等式
2.2
基本不等式（第二课时）
基本不等式(含2课时)-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修第一册)
xy 3 13.
[变式2] (3 x)(x 5)(5 x 3)的最大值是___4___基 二. 本 次不 函等 数式 法法
暗含和定:(3-x)+(x+5)=8
例题讲解——利用基本不等式求最值
[变式2] (3 x)(x 5)(5 x 3)的最大值是__4__.
ab a b
2
暗含和定：(3-x)+(x+5)=8
例题讲解——利用基本不等式求最值
[例3]若正数x, y满足x2 4 y2 5xy 36,则xy的最大值是___6___. 解 :由基本不等式得(x2 4 y2 ) 5xy 2 4x2 y2 5xy 即36 9xy, xy 4,
当且仅当x2 4 y2,即x 2 y 2 2时等号成立.
yx
63
[变式1]若2x y 3且x, y 0,则 1 8 的最小值是_6__. xy
析 : 1 8 1 (2x y)( 1 8 ) 1 (2 8 16 x y ) 1 (10 2 16) 6
xy3
xy 3
yx3
1
例题讲解——利用基本不等式求最值
[变式2]若 1 9 2且x, y 0,则x y的最小值是_8__. xy
a ,即a b
b时等号成立
(4) 若x 0, 则 x 3 2 3. × x 0时成立;但x 0时不成立
x
思考：若x 0, 则 x 3 的取值范围是_________.
x
例题讲解——利用基本不等式求最值
[变式]若x 0, 则y x 3 的函数值的取值范围是{_y_|_y____2__3.} x
若a
2
0,
b
0,
则
a
b
ab,
2.2 第1课时 基本不等式的证明学案(人教A版必修第一册)
2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式的证明【学习目标】重要不等式与基本不等式注意：基本不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0) (1)不等式成立的条件：a ，b 都是正数． (2)“当且仅当”的含义：①当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立， 即a ＝b ①a ＋b2＝ab ； ①仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立， 即a ＋b2＝ab ①a ＝b .【小试牛刀】1．不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？2．a ＋1a ≥2(a ≠0)是否恒成立？3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ①R ，a 2＋b 2≥2ab 、a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a ≥2a ·4a ＝4.( )(3)若a ，b ①R ，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) 【经典例题】题型一 对基本不等式的理解 例1 给出下面三个推导过程： ①因为a ，b ①(0，＋∞)，所以b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2； ①因为a ①R ，a ≠0，所以4a ＋a ≥24a ·a ＝4；①因为x ，y ①R ，xy <0，所以x y ＋y x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导过程为( ) A ．①① B ．①① C ．① D ．①① [跟踪训练] 1．下列命题中正确的是( ) A ．当a ，b ①R 时，a b ＋ba ≥2 ab ·b a ＝2 B ．当a >0，b >0时，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C ．当a >4时，a ＋9a ≥2a ·9a ＝6 D ．当a >0，b >0时，2ab a ＋b≥ab题型二 利用基本不等式比较大小例2 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A.a <b <ab <a ＋b2 B.a <ab <a ＋b2<bC.a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b[跟踪训练] 2 已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( )A.m ＞nB.m ＜nC.m ＝nD.m ≥n 题型三 用基本不等式证明不等式注意：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 例3 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c ≥9.[跟踪训练] 3 已知a ，b ，c ①R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.【当堂达标】1．若0<a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2＋b 2 C ．2abD ．a2．若a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．对x ①R 且x ≠0都成立的不等式是( ) A ．x ＋1x ≥2 B ．x ＋1x ≤－2 C.|x |x 2＋1≥12D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2 4.设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式：①a 2＋1＞a ； ①⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ①(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4； ①a 2＋9＞6a . 其中恒成立的是________(填序号).5．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是6．若不等式x 2＋2x 2＋1≥2恒成立，则当且仅当x ＝________时取“＝”号．7. 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .【参考答案】【小试牛刀】1.不同，a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ①R ；ab ≤a ＋b2成立的条件是a ，b 均为正实数2. 只有a >0时，a ＋1a ≥2，当a <0时，a ＋1a ≤－2 3. (1)× (2)× (3)√ 【经典例题】例1 D 解析 ①因为a ，b ①(0，＋∞)，所以b a ，ab ①(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；①因为a ①R ，a ≠0不符合基本不等式成立的条件， 所以4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的；①由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将x y ＋y x 看成一个整体提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故①正确． [跟踪训练] 1 B [解析] A 项中，可能ba <0，所以不正确；B 项中，因为a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥21ab >0，相乘得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以正确；C 项中，a ＋9a ≥2a ·9a ＝6中的等号不成立，所以不正确；D 项中，由基本不等式知，2aba ＋b≤ab (a >0，b >0)，所以D 不正确．[跟踪训练] 1 B [解析] A 项中，可能b a <0，所以不正确；B 项中，因为a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥21ab >0，相乘得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以正确；C 项中，a ＋9a ≥2a ·9a ＝6中的等号不成立，所以不正确；D 项中，由基本不等式知，2aba ＋b≤ab (a >0，b >0)，所以D 不正确．例2 B 解析 法一 ①0<a <b ，①a <a ＋b2<b ，排除A ，C 两项.又ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，排除D 项，故选B.法二 取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b2＜b . [跟踪训练] 2 A 解析 因为a ＞2，所以a －2＞0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2（a －2）·1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2＜2，n ＝22－b 2＜4， 综上可知m ＞n .例3 证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立. [跟踪训练] 3 [证明] 由基本不等式可得： a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理：b 4＋c 2≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，①(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 【当堂达标】1. B [解析] a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12. ①a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，①a 2＋b 2≥2ab ， ①0<a <b 且a ＋b ＝1，①a <12，①a 2＋b 2最大．2. A [解析]当a >0，b >0时，a ＋b ≥2ab ，则当a ＋b ≤4时有2ab ≤a ＋b ≤4，解得ab ≤4，充分性成立．当a ＝1，b ＝4时满足ab ≤4，但此时a ＋b ＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．3. D [解析] 因为x ①R 且x ≠0，所以当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，－x >0，所以x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2，所以A 、B 都错误；又因为x 2＋1≥2|x |，所以|x |x 2＋1≤12，所以C 错误，故选D.4. ①①① 解析 由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋b a ＋a b ≥2ab ·1ab ＋2b a ·ab ＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab ，b a ＝ab ，即a＝b ＝1时，“＝”成立，故①恒成立； 由于(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ＋a b ＝4.当且仅当a b ＝ba ，那么a ＝b ＝1时“＝”成立，故①恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故①不恒成立. 综上，恒成立的是①①①. 5.(a －b )(b －c )≤a －c2 [解析] ①a >b >c ，①a －b >0，b －c >0.①a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号．6. 0 [解析] x 2＋2x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥ 2x 2＋11x 2＋1＝2，其中当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1①x 2＋1＝1①x 2＝0①x ＝0时成立．7.证明 (1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b ) ≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立.。
2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册课件：2.2 基本不等式
本部分内容讲解结束
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【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为xy＝12x＋80 x000－200≥2
12x·80 x000－200＝200，
当且仅当12x＝80 x000，即 x＝400 时等号成立，故该单位月处理量为 400 吨时，才能使
每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元．
(2)不获利．设该单位每月获利为
考点一 利用基本不等式求最值(基础型)
复习
指导
探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问
题．
核心素养：逻辑推理
角度一 通过配凑法求最值 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为________．
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为________． 【解析】 (1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋（24－3x）2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x， 即 x＝23时，取等号．
成立，所以 x＋1x≤－2.
2．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为________． 解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立． 答案：5
3．设 0<x<1，则函数 y＝2x(1－x)的最大值为________．
解析：y＝2x(1－x)≤2x＋12－x2＝12. 当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时，等号成立． 答案：12
1＝4－1＝3(当且仅当 x＝3y 时等号成立)．
() x＋4x3y·x＋x3y－
3．已知 x>0，y>0，且 x＋16y＝xy，则 x＋y 的最小值为________．
人教版高中数学新教材必修第一册2.2基本不等式1课件(优秀课件)
讲
课
人
：
邢
启 强
4
学习新知
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则
≥
通常我们把上式写作：
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
在数学中，我们把
叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
讲 课
那么你能证明基本不等式吗？
x
x
当且仅当 x 1 ，即 x2 1, x 1 时等号成立
x
因此所求的最小值为 2
变式1：把 x 0 改为 x 0 成立吗？ 不成立
讲 课 人 ：
变式2：把 x
0
改为 x
2 成立吗？不成立
邢
启 强
9
典型例题
均值不等式的运用
例2， 已知x, y都是正数 ， 求证： (1)如果xy等于定值 P， 那么当x y时， 和x y有最小值 2 P; (2)如果和x y等于定值 S， 那么当x y时， 积xy有最大值 1 S 2.
提示:根据三角形相似可得 CD= · = ,由于 CD
小于或等于圆的半径,于是有 重合,即 a=b 时等号成立.
≤ ,当且仅当点 C 与圆心
几何解释：半弦长小于或等于半径长
讲
课
人
：
邢
启 强
7
公式作用和注意事项
基本不等式：若a>0，b>0，则 a b≥2 ab
当且仅当a=b时取等号.
作用：证明不等式或求式子的范围
讲
4
课
人
：
邢
启 强
10
课堂练习
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• 例3，已知a、b、c为两两不相等的实数，
•
求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
• [解析]
• ∵a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，c2＋a2>2ca，
• 以上三式相加：
• 2(a2＋b2＋c2)>2ab＋2bc＋2ca，
• ∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
• [点评] 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换 a→b→c→a后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通 常几个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解．
• 变式练习：已知a、b、c为正数，求证 b c a c a b a b c≥3
a
b
c
思考：b c a c a b a b c = b c 1 c a 1 a b 1
a
b
c aa bb cc
题型三 变换技巧——“1”的代换
例 4 已知正数 x、y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [解析] ∵x、y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
证法二：∵a>0，b>0，c>0， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c) ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9. ∴1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
4．若 x>4，则函数 y＝x＋x－1 4(
[解析] 证法一：∵a>0，b>0，c>0， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9. 即1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
3：已知 a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.
一正： a和b必须为正数； 二定： 1.在a+b为定值时，便可以知道a·b的最大值； 2.在a·b为定值时，便可以知道a+b的最小值． 三相等： 当且仅当a、b相等时，等式成立；即 ① a=b ↔ a+b=2√ab； ② a≠b ↔ a+b＞2√ab ．（即两者互为充要条件）
题型二 运用基本不等式证明不等式
)
A．有最大值－6
B．有最小值 6
C．有最大值－2
D．有最小值 2
• [答案] B
[解析] ∵x>4，∴x－4>0. ∴y＝x＋x－1 4＝x－4＋x－1 4＋4≥2＋4＝6. 当且仅当 x－4＝x－1 4，即 x＝5 时，取等号．
5. 已知 x>0，y>0，x+3y=1，则1x＋31y的最小值为( )
第二章 一元二次函数、方程和不等式
学习目标
1.理解并掌握基本不等式；（重点） 2.能够运用基本不等式证明不等式和比较代数式的大小； （难点） 3.能够运用基本不等式求代数式的最值（重点、难 点）．
1 自主学习
知识点 基本不等式
2ab a=b
a＋b 2
知识点 基本不等式
(1)定义
a＋b
____2________叫做正实数a、b的算术平均值， ____a_b_______叫做正实数a、b的几何平均值． (2)结论 两个正实数的算术平均值__等__于______它们的几何平均值．
A．2
B．2 3
C．4 • [答案] C
D．－2 3
[解析] ∵x＋3y＝1， x>0，y>0， ∴1x＋31y＝x＋x3y＋x＋3y3y＝2＋3xy＋3xy≥2＋2 当且仅当3xy＝3xy，即 x＝3y 时，等号成立．
3xy·3xy＝4，
由xx＝＋33yy＝1 ，得 x＝12，y＝16.
课堂作业 作业：完成对应练习
[解析] 解法一：∵0＜x＜13，∴1－3x＞0.
∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112， 当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝16时，等号成立．
∴当 x＝16时，函数取最大值112.
1. 已知 0＜x＜13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值．
解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x ≤3·x＋132－x2＝112，当且仅当 x＝13－x， 即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
2. 已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． • [答案] －2
[解析] ∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2，当 且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
3：已知 a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.
[点评] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
(3)应用基本不等式求最值如果x、y都是正数，那么
①若积xy是定值，那么当___x_=_y___时，和x＋最小 y有_最__小__值．
x＝y
②若和 x＋y是定值，那么当___x_=_y___时，积xy有__最__大__值．
思考：
(1)基本不等式成立的前提条件是什么？
基本不等式 a+b≥2 ab成立的前提条件是 a＞0 且 b＞0
总结：变换技巧——“1”的代换：
灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常将不等式 “乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等于 1 的式 子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可以将式子1x ＋1y乘以 x＋2y.
3 当堂达标
1. 已知 0＜x＜13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值．
(2)基本不等式等号成立的条件是什么？
基本不等式 a+b≥2 ab成立的条件是当且仅当 a=b 时，等号成立
小试牛刀
× ×
×
值
例1
解 因为x＞0，所以
x 1 ≥2 x 1 2
x
x
例2
例2
总结：基本不等式求解最值的三要素：
对于基本不等式 a+b≥2 ab