埃尔郎根纲领
埃尔朗根纲领
The most essential idea required in the following discussion is that of a group of space-transformations. The combination of any number of tranformations of space 7 is always equivalent to a single transformation. If now a given system of transformations has the property that any transformation obtained by combining any tranformations of the system belongs to that system, it shall be called a group of transformations 8.An example of a group of transformations is afforded by the totality of motions, every motion being regarded as an operation performed on the whole of space. A group contained in this group is formed, say, by the rotations about one point 9. On the other hand, a group containing the group of motions is presented by the totality of the collineations. But the totality of the dualistic transformations does not form a group; for the combination of two dualistic transformations isequivalent to a collineation. A group is, however, formed by adding the totality of the dualistic to that of the collinear transformations 10.Now there are space-transformations by which the geometric properties of configurations in space remain entirely unchanged. For geometric properties are, from their very idea, independent of the position occupied in space by the configuration in question, of its absolute magnitude, and finally of the sense 11 in which its parts are arranged. The properties of a configuration remaintherefore unchanged by any motions of space, by transformation into similar configurations, by transformation into symmetrical configurations with regard to a plane (reflection), as well as by any combination of these transformations. The totality of all these transformations we designate as the principal group12 of space-transformations; geometric properties are not changed by the transformations of the principal group. And, conversely, geometric properties are characterized by their remaining invariant under the transformations of the principal group. For, if we regard space for the moment as immovable, etc., as a rigid manifoldness, then every figure has an individual character; of all the properties possessed by it as an individual, only the properly geometric onesare preserved in the transformations of the principal group. The idea, here formulated somewhat indefinitely, will be brought out more clearly in the course of the exposition.Let us now dispose with the concrete conception of space, which for the mathematician is not essential, and regard it only as a manifoldness of n dimensions, that is to say, of three dimensions,if we hold to the usual idea of the point as space element. By analogy with the transformationsof space we speak of transformations of the manifoldness; they also form groups. But there is no longer, as there is in space, one group distinguished above the rest by its signification; each groupis of equal importance with every other. As a generalization of geometry arises then the following comprehensive problem:Given a manifoldness and a group of transformations of the same; to investigate the configurations belonging to the manifoldness with regard to such properties as are not altered by the transformations of the group.To make use of a modern form of expression, which to be sure is ordinarily used only withreference to a particular group, the group of all the linear transformation, the problem might bestated as follows:Given a manifoldness and a group of transformations of the same; to develop the theory ofinvariants relating to that group.This is the general problem, and it comprehends not alone ordinary geometry, but also andin particular the more recent geometrical theories which we propose to discuss, and the different methods of treating manifoldnesses of n dimensions. Particular stress is to laid upon the fact thatthe choice of the group of transformations to be adjoined is quite arbitrary, and that consequentlyall the methods of treatment satisfying our general condition are in this sense of equal value.近期几何研究的比较性回顾——1872年在爱尔朗根（Erlangen）大学哲学系和大学理事会发表的纲领菲利克斯·克莱因(FELIX KLEIN)教授我在1872年发表的这个《纲领》，是以独立出版物的形式发行的（爱尔朗根，A. Deichert）。
[论文]数学发展历史
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数学史数学是一门古老的学科，它伴随着人类文明的产生而产生，至少有四、五千年的历史．但它不是某一个民族或某一个地区的产物，而是世界许多民族、诸多地区世世代代的产物，是人们在生产斗争和科学实践中逐渐形成和发展而成的。
数学的最初的概念和原理在远古时代就萌芽了，经过四千多年世界许多民族的共同努力，才发展到今天这样内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大系统。
第一节发展历史一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段．一、数学萌芽时期(公元6世纪以前)在人类历史上，这是原始社会和奴隶社会的初期。
这个时期数学的成就以巴比伦、埃及和中国的数学为代表。
古巴比伦是位于幼发拉底河和底格里斯河两河流域的一个文明古国。
巴比伦王国形成于约公元前19世纪，从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，古巴比伦人具有算术和代数方面的知识，建立了60进位制的记数系统，掌握了自然数的四则运算，广泛使用了分数，能进行平方、立方和简单的开平方、开立方运算．他们迈出了代数的第一步，能用一些特别的术语和符号代表未知数，能解特殊的几种一元一次、二元一次方程和一元二次方程，甚至某些三次、四次(可化为二次的)和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去。
几何方面掌握了简单平面图形的面积和简单立体体积的计算方法。
中国是最早使用十进位值制记数法的国家。
早在三千多年前的商代中期，在甲骨文中产生了一套十进制数字和记数法，最大的数字为三万．与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成六十甲子，用以记日、记月、记年。
用阴(——)、阳(一)符号构成八卦表示8种事物，后来发展为64卦。
春秋战国之际，筹算已普遍应用，其记数法是十进位值制。
数的概念从整数扩充到分数、负数，建立了数的四则运算的算术系统。
几何方面，4500年前就有测量工具规、矩、准、绳，有圆方平直的概念。
公元前1100年左右的商高知道“勾三股四弦五”的勾股定理．春秋末战国初的墨子在《墨经》中给出了一些数学定义，包含有许多算术、几何方面的知识和无穷、极限的概念。
数学万花筒(11) 你了解这些数学大师吗？
数学万花筒(11)你了解这些数学大师吗？1.欧几里德，30岁就成了有名的学者. 他是公理化体系的创始人.主要著作有《几何原本》、《已知数》、《图形的分割》等.2.阿基米德，在敌人破城而入、生命处于危急关头时，仍然沉浸在数学研究之中.他的墓碑上没有文字，只有一个漂亮的几何构图，那是他发现并证明的一条几何定理.3.帕斯卡，16岁成为射影几何的奠基人之一，19岁发明原始计算器.4.牛顿，22岁发现一般的二项式定理，23岁创立微积分学.5.高斯，19岁解决正多边形作图的判定问题，20岁证明代数基本定理，24岁出版影响整个19世纪数论发展、至今仍相当重要的《算术研究》.6.波尔约，23岁提出非欧几何学的基本思想.7.黎曼，被认为是有史以来最大的几位几何学家之一，他在25-28岁期间在数学的三四个领域连续做出了重要的开创性工作.他是非欧几何的代表人物之一.8.伽罗华，创建群论时，只有18岁，死时还不满21岁.9.克莱因，23岁发表“爱尔朗根纲要”，全面推动了几何学的研究.10.哥德尔，25岁发表震惊整个数学界的“不完全性定理”.11.图灵，24岁发表论理想数的论文，提出了通用计算机的基本原理，成为理论计算机之父.12.拉格朗日，18岁就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法.一生硕果累累，著作等身.13.柯西，历史上屈指可数的分析学大师之一. 出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作.14.拉普拉斯，近代数学史上享有盛名的数学家之一，被誉为法国的“牛顿”．18岁即成为数学教授.其五卷巨著《天体力学》给出了太阳系力学问题完善的数学解答，至今仍被奉为经典.他还在行列式理论、位势理论和概率论等方面做出了杰出的贡献．15.纳皮尔，为了让天文学家从繁琐的计算中解脱出来，纳皮尔发明了对数，而为了计算对数表他自己却整整花费了20年的时间.16.大数学家欧拉31岁右眼失明，晚年双目失明，但他仍以坚韧的毅力保持了数学方面的高度创造力，在他去世之后的10年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表.17.笛卡尔，解析几何的奠基人.通过坐标系，将数和形有机地、完美地结合起来了.18.莱布尼兹，德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才.是微积分的重要创始人之一，一生潜心渗透多个数学领域进行研究，硕果累累.19.庞加莱,法国数学家.他的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域.是被公认的19世纪后和二十世纪初的领袖数学家.20.刘徽,公元250年左右生人，是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，占有杰出的地位.他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产.21.祖冲之，南北朝时期杰出的数学家，科学家.其主要贡献是算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，他写的《缀术》一书，作为唐代国子监算学课本.22.杨辉，中国古代数学家和数学教育家.他署名的数学书共五种二十一卷.其中就包括《详解九章算法》.23.陈省身，美籍华裔数学大师、20世纪最伟大的几何学家之一，1943年发表《闭黎曼流形的高斯-博内公式的一个简单内蕴证明》《Hermitian流形的示性类》.为了纪念陈省身的卓越贡献，国际数学联盟(IMU)还特别设立了“陈省身奖”(Chern Medal)作为国际数学界最高级别的终身成就奖.24.华罗庚，中国科学院院士，初中文凭.主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就.25.吴文俊，1991年，当选第三世界科学院院士；的研究工作涉及数学的诸多领域，其主要成就表现在拓扑学和数学机械化两个领域.他为拓扑学做了奠基性的工作；他的示性类和示嵌类研究被国际数学界称为“吴公式”，至今仍被国际同行广泛引用.26.丘成桐，由于证明了卡拉比猜想，以他的名字命名的卡拉比——丘流形，是物理学中弦理论的基本概念，对微分几何和数学物理的发展做出了重要贡献.丘成桐囊括了菲尔兹奖(1982)、克拉福德奖(1994)、沃尔夫奖(2010)等奖项.是第一个荣获菲尔兹奖——这个被称为“数学界的诺贝尔奖”的华人.27.陈景润，中国科学院院士.主要从事解析数论方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得国际领先的成果，他对哥德巴赫猜想研究的重大贡献，被国际数学界称为“陈氏定理”.有兴趣的读者可上网去查询更多、更详实史料和故事.。
数学家的故事：德国著名的五位数学家
数学家的故事：德国著名的五位数学家
数学家小故事之德国最着名的五位数学家。
德国是一个数学大国，期间出现了众多非常优秀的数学家，今天极客数学帮就来为大家介绍其中几位非常
优秀的数学家。
一起来看看吧。
卡尔·弗里德里希·高斯
高斯，德国着名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一。
高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”
之称。
高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。
一生成就极为丰硕，
以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。
他对数论、代数、
统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。
着名的高斯求和
一天，老师布置了一道题，1+2+3······这样从1一直加到100等于多少。
高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案：”你一定是算错了，回去再算算。
”高斯非常坚定，说出答案就是5050。
高斯是这样算的：1+100=101，2+99=101......50+51=101。
从1加到100有50
组这样的数，所以50X101=5050。
布特纳对他刮目相看。
他特意从汉堡买了
最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什幺东西可以教你了。
《数学史》几何学的变革(下)解析
几何学的变革
几何，就是研究空间结 构及性质的一门学科。它是 数学中最基本的研究内容之 一，与分析、代数等等具有 同样重要的地位，并且关系 极为密切。
几何学发展
• 几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、 数论等等关系极其密切。
• 几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各 分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法 去探讨各数学理论。
x1 x2 x ,y x3 x3
齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内许多 射影几何基本结果的有效工具．但这种代数的方法遭 到了以庞斯列为首的综合派学者的反对，19世纪的射 影几何就是在综合的与代数的这两大派之间的激烈争 论中前进的． 支持庞斯列的数学家还有斯坦纳 (J.Steiner) 、沙 勒 (M.Chasles) 和施陶特 (K.G.C.von Staudt) 等，其中 施陶特的工作对于确立射影几何的特殊地位有决定性 的意义．
其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一 种几何学即欧几里得几何学的局面．
19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公 设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了上述几种非 欧几何、黎曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几 何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展 的高维几何、射影几何，微分几何以及较晚出现的拓扑学等， 19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景．
其中 aij 的行列式必须不为零．射影变换下的不变量有线性、 共线性、交比、调和点组以及保持圆锥曲线不变等．显然， 如果 ，射影变换就成了仿射变换． a31 a32 并且 0 a33 1
下表反映了以射影几何为基础的克莱因几 何学分类中一些主要几何间的关系：
在克莱因的分类中，还包括了当时的代数几何 和拓扑学．克莱因对拓扑学的定义是“研究由无限 小变形组成的变换的不变性”．这里“无限小变形” 就是一一对应的双方连续变换。
微分几何——精选推荐
微分⼏何微分⼏何学，数学的⼀个分⽀学科，主要是以分析⽅法来研究空间（微分流形）的⼏何性质。
微分⼏何的产⽣微分⼏何学的产⽣和发展是和数学分析密切相连的。
在这⽅⾯第⼀个做出贡献的是瑞⼠数学家欧拉。
1736年他⾸先引进了平⾯曲线的内在坐标这⼀概念，即以曲线弧长这以⼏何量作为曲线上点的坐标，从⽽开始了曲线的内在⼏何的研究。
⼗⼋世纪初，法国数学家蒙⽇⾸先把微积分应⽤到曲线和曲⾯的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在⼏何学上的应⽤》⼀书，这是微分⼏何最早的⼀本著作。
在这些研究中，可以看到⼒学、物理学与⼯业的⽇益增长的要求是促进微分⼏何发展的因素。
1827年，⾼斯发表了《关于曲⾯的⼀般研究》的著作，这在微分⼏何的历史上有重⼤的意义，它的理论奠定了现代形式曲⾯论的基础。
微分⼏何发展经历了150年之后，⾼斯抓住了微分⼏何中最重要的概念和带根本性的内容，建⽴了曲⾯的内在⼏何学。
其主要思想是强调了曲⾯上只依赖于第⼀基本形式的⼀些性质，例如曲⾯上曲⾯的长度、两条曲线的夹⾓、曲⾯上的⼀区域的⾯积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。
他的理论奠定了近代形式曲⾯论的基础。
1872年克莱因在德国埃尔朗根⼤学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，⽤变换群对已有的⼏何学进⾏了分类。
在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了⼏何学的指导原理，推动了⼏何学的发展，导致了射影微分⼏何、仿射微分⼏何、共形微分⼏何的建⽴。
特别是射影微分⼏何起始于1878年阿尔⽅的学位论⽂，后来1906年起经以威尔⾟斯基为代表的美国学派所发展，1916年起⼜经以富⽐尼为⾸的意⼤利学派所发展。
随后，由于黎曼⼏何的发展和爱因斯坦⼴义相对论的建⽴，微分⼏何在黎曼⼏何学和⼴义相对论中的得到了⼴泛的应⽤，逐渐在数学中成为独具特⾊、应⽤⼴泛的独⽴学科。
微分⼏何学的基本内容微分⼏何学以光滑曲线(曲⾯)作为研究对象，所以整个微分⼏何学是由曲线的弧线长、曲线上⼀点的切线等概念展开的。
数学史重点
填空1古希腊黄金时代的著名数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯将古典希腊数学推向巅峰2.希尔伯特在历史上第一次明确的提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性、完备性和独立性3.在现存的中国古代算经中《周髀算经》是最早的一部，其中以文字形式记述了勾股定理，该书的另一项重要的数学成就是分数运算。
4.婆什伽罗是中世纪最伟大的印度数学家和天文学家，他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》后一著作中包括关于零的运算法则的完整论述。
5.《花拉子米》是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，他的代表著作《还原与对消计算概要》通称也称《代数学》，他的另一部著作《印度计算法》系统介绍了印度数码和十进制计数法以及相应的计算方法。
6.法国数学家()首先在()研究中明确提出了群的概念7.17世纪上半叶微积分发明酝酿时期最有代表性的工作包括:开普勒的旋转体体积、卡瓦列里不可分量原理、笛卡儿“圆法”、费马求极大值与极小值的方法、巴罗“微分三角形”和沃利斯“无穷算术”8.法国数学家韦达在《分析引论》中首次有意识的使用系统的代数字母与符号，由笛卡儿对他所使用的代数符号做了改进。
9.祖氏原理(刘祖原理)的内容是幂势既同，则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理。
10.1572年意大利数学家邦贝利在(代数)中引进了虚数11.法国学派的代表人物有克莱洛，达朗贝尔，拉格朗日，拉普拉斯和勒让德。
12.中国数学史中宋元四大家指杨辉，秦九韶，李冶，朱世杰。
13.20世纪纯粹数学的发展表现出如下主要的特征和趋势:更高的抽象性.更强的统一性，更深入的基础探讨。
14.高斯的《算术研究》发表，标志着数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展，算术研究有三个主要思想:同余理论，复整数理论，型的理论。
15.1912年，()是中国成立的第一个大学数学系。
16.人类早期的记数系统有古埃及的象形数字、巴比伦的楔形数字，中国甲骨文数字，希腊的阿提卡数字，印度婆罗门数字等。
二零零三年第一学期科学史课程考试试题A
二零零三年第一学期科学史课程考试试题A一、选择题（每小题1分）1 、公元前340年前后，古希腊科学家亚里士多德提出了“地球是个球体”这一论断，在其《论天》一文中给出了三个论据，下面不是其论据的是（）答案：DA 由于月亮被蚀时的缺口总是弧形的；B 从旅行中知道，在越是往南的地区看星空，北极星就越是靠近地平线；C 看远处驶来的帆船时，首先看到露出海平面的一定是船帆、然后才是船身；D 从高的山峰可以看到大地是个球形。
2 、拉开近代科学序幕的是（）答案：CA 库恩革命；B伽利略革命；C哥白尼革命；D开普勒革命。
3 、16世纪德国天文学家开普勒继承了另一位天文学家的观测数据后，深入研究，最终提出了三定律。
这位科学家是（）A 第谷；B 哥白尼；C 托勒密；D 伽利略。
答案：A4 、1687年，牛顿发表了著名的《自然哲学之数学原理》，其中提出了经典力学三大定律。
下面不属于经典力学三大定律的一项是（）AA 能量守恒定律；B 惯性定律；C 加速度定律；D 反作用力定律。
5 、十七世纪，由于受地球吸引苹果落地这一事实的启发，牛顿考虑了地球和月球相互吸引的情况，从而得出了万有引力定律。
万有引力定律的成功表现在三个方面。
下面不是的一项是（）A 统一了伽利略地上物体的机械运动学和开普勒的天体运动理论；BB 首次从动力学角度构建了行星运动理论；C 成功地解释了海洋潮汐、岁差和哈雷彗星运动等现象；D 否定了笛卡尔提出的涡旋宇宙假说。
6 、牛顿发现万有引力定律是因为他“站在了巨人的肩膀上”，下列科学家不属于此列的是（）AA 阿基米德；B 哥白尼；C 开普勒；D 伽利略。
7 、将数学符号系统化的数学家是（）CA 丢番图；B 花拉子米；C 韦达；D 笛卡尔。
8 、现在一般认为，不止一位数学家在同一个时代创立的非欧几何。
这样的数学家有（）BA 2 位；B 3位；C 4位；D 5位。
9 、十九世纪，提出旨在统一几何学的《爱尔朗根纲领》的数学家是（）CA 黎曼B 施陶特C 克莱因D 希尔伯特10 、第一个将化学实验数学化的人是（）答案：BA 波义耳；B 拉瓦锡；C施塔尔；D 帕拉塞斯。
数学史考试重点及答案
1. 简述数学史的定义及数学史课程的内容。
答：数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源及开展及其及社会政治经济和一般文化的联系。
数学史课程的功能可以概括成以下四局部:〔1〕掌握历史知识：通过学习关于数学的专门知识，更好的从整体上把握数学。
〔2〕复习已有知识：按学科讲述学过的数学知识，系统的提高对该学科的理解。
〔3〕了解新的知识：通过学习数学各学科的开展，了解没有学过的学科的内容。
〔4〕受到思想教育：通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质，陶冶数学情操。
2. 简述数学内涵的历史开展。
答：数学的内涵随时代的变化而变化，一般可分为四个阶段。
A 数学是量的科学：公元前4世纪。
B 数学是研究现实世界空间形式及数量关系的科学;19世纪。
C 数学研究各种量之间的关系及联系：20世纪50年代。
D 数学是作为模式的科学：20世纪80年代。
1. 简述河谷文明及其数学。
答：历史学家往往把四大文明古国的文明称之为“河谷文明〞，因为这些国家是在河流的入海口建立的。
尼罗河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼发拉底河孕育了巴比伦文明；黄河和长江孕育了中国文明；印度河和恒河孕育了印度文明。
埃及、美索不达米亚的数学产生较早，纪元前已经衰微，而印度、中国的数学崛起较晚，却延续至中世纪。
2. 简述纸草书及泥板文书中的数学。
答：古埃及人在一种纸莎草压制成的叶片上书写，幸存至今，被称为纸草书。
莱茵德纸草书〔现存于伦敦大英博物馆〕中有84个数学题目；莫斯科纸草书〔现存于俄国普希金精细艺术博物馆〕中有25个数学题目；还有其他纸草书。
纸草书中的数学知识包括：〔1〕算术，包括加法运算、单位分数、十进制计数、位置法；〔2〕几何，包括面积、体积计算和四棱台体积公式。
美索不达米亚人用尖芦管在湿泥板上写字，然后将湿泥板晒干或烘干，幸存至今，被称之为泥板文书。
出土50万块其中数学文献300块。
泥板文书中的数学包括：〔1〕记数，包括偰形文、60制、位值原理；〔2〕程序化算法，包括û1.414213；(3)数表；(4)x²––0 ³³² (5)几何，测量、面积、体积公式、相似形、勾股数值。
数学史复习资料
《数学史》复习资料名词解释：1、可公度量：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。
这样的两条线段为“可公度量”，即有可公度量的度量单位。
这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反应。
2、出入相补原理：一个几何图形（平面或立方体的）被分割成若干部分后，面积或体积总保持不变。
3、费马大定理：关于X、Y、Z的不定方程X n+Y n =Z n ，对于任意大于2的自然数n无非零整数解。
4、大数定律：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
P128 帕斯卡曾提出的n为正数时的二项式定理，得到所谓伯努利定理：若p是某一事件单独出现一次的概率，q是不出现该事件的概论，则在n次试验中，该事件至少出现m次的概率等于二项式（p+q）n 的展式中的从p n 项到p m q n-m 项的各项之和。
容易看出，这实际上就是概率论中最重要的定律之一——“大数定律”的最早表现形式。
5、倍立方体：就是已知一立方体，求作另一立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。
也即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。
6、祖氏原理：P65“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体积相等。
它被称为“祖暅原理”。
1、简述古希腊数学的特点。
答案二：（1）追求理性和唯理的论证数学特点；（2）欧氏几何开创了公理化理论体系；（3）欧式几何形成了演绎思维的特征；总之，希腊数学是追求理性，主要以演绎几何为特征的数学。
2、简述欧几里得《原本》中所确立的公理化思想。
答：公理化思想是古希腊时期在欧氏几何中确立数学演绎范式。
这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，就是一些基本定义和被认为不证自明的基本原理——公理或公设。
数的发展史
数的发展史提到数，大家都不陌生。
小学期间我们学习了自然数和正分数；在初一学习了负数以后，解决了在正有理数不够减的问题，数的范围扩充为有理数；在初二又学习了无理数，解决了开方开不尽的矛盾，数的范围进一步扩充为实数；在高中，我们为了解方程的需要又引入了虚数单位i，数系最终达到复数系。
实际上，时至今日数系已构造得非常的完备和缜密。
然而你是否知道，数系的形成和发展并非完全遵循上述演变过程，又是否知道人类智慧在此过程中经历的种种曲折和艰辛。
一、古代数字及计数法人类最初完全没有数量的概念。
而是在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。
比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。
捕获了3头，就放3块石子。
“结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。
《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。
东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。
结之多少，随物众寡”。
以结绳和书契记数的方法遍及世界各地。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同。
古代巴比伦人的数字用点来表示，五个点表示5，八个点表示8，九个点表示9，点太多，数不清时，发明了专用的计数符号，“<”表示10，“T”表示360等等；在中国，一二三四五六七八九十百千万这13个数字在甲骨文中就已经出现。
古罗马的数字相当进步。
罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C 代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。
这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。
它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数。
1、重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。
如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。
2、右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。
十九世纪几何学统一地途径
word摘要非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。
十九世纪中叶以后，通过否认欧氏几何中这样或那样的公理、公设，产生了各种新的几何学，加上与非欧几何并行开展的射影几何、微分几何以与较晚出现的拓扑学等，这个时期的几何学出现了百花齐放的局面。
由此，用统一的观点解释它们便成为数学家们的重要任务。
克莱因以变换群的思想统一几何学，但该思想却未能包括所有的几何学领域。
希尔伯特提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的途径——公理化方法，这种方法已经远远超出几何学的围而和集合论思想成为现代数学统一化趋势的两大推手。
关键词：几何学的统一；非欧几何；公理化方法The Way of Unifying Geometry in the 19th CenturyAbstractThe non-Euclid geometry appearance has brokenthe situation of the only kind of geometry that is Euclidean geometryfor a long time. After the middle of the nineteenth century, bydenyingall justice and axiom of Euclidean geometry, all sorts of new geometry, projective geometry, differential geometry which is parallel with non-Euclidgeometry and topology which emerged later emerged, in this periodgeometry possessed infinite and wide development prospects. Thus, using unified view to explain their will bee an important task of mathematicians. Klein unified geometry by the thought of the transformation group, but the thought failed to include all of the geometry. Hilbert put forward another way to unify geometry which influenced modern mathematics profoundly.The methodthat is axiomatic method has gone farbeyondthe scope of the geometry. Axiomatic methodand set theory thought became two big push unified trend ofmodern mathematics.Key word: The unity of the geometry; Non-Euclid geometry;Axiomatic met十九世纪几何学统一两种途径俊青18世纪数学开展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学等应用问题严密交织在一起，开创了许多数学研究新领域，成为由近代数学向现代数学过渡的重要阶段。
数的发展史
数的发展史贾书银(邯郸学院武安分院河北武安056300)提到数，大家都不陌生。
小学期间我们学习了自然数和正分数；在初一学习了负数以后，解决了在正有理数不够减的问题，数的范围扩充为有理数；在初二又学习了无理数，解决了开方开不尽的矛盾，数的范围进一步扩充为实数；在高中，我们为了解方程的需要又引入了虚数单位i，数系最终达到复数系。
实际上，时至今日数系已构造得非常的完备和缜密。
然而你是否知道，数系的形成和发展并非完全遵循上述演变过程，又是否知道人类智慧在此过程中经历的种种曲折和艰辛。
一、古代数字及计数法人类最初完全没有数量的概念。
而是在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。
比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。
捕获了3头，就放3块石子。
"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。
《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。
东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。
结之多少，随物众寡”。
以结绳和书契记数的方法遍及世界各地。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同。
古代巴比伦人的数字用点来表示，五个点表示5，八个点表示8，九个点表示9，点太多，数不清时，发明了专用的计数符号，“<”表示10，“T”表示360等等；在中国，一二三四五六七八九十百千万这13个数字在甲骨文中就已经出现。
古罗马的数字相当进步。
罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。
这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。
它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数。
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。
如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
几何空间选论(第三讲 射影几何与射影空间)
第三讲射影几何与射影空间一、射影几何的起源与确立射影几何是研究图形的射影性质，即经过射影变换后，依然保持图形性质不变的几何学分支。
射影几何也叫投影几何学，通过它可以把欧氏几何、仿射几何等联系起来。
射影几何的某些内容在公元前就已经出现了，基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。
早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。
在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
但射影几何直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
1.达·芬奇（1452—1519）射影几何的最早起源是绘画。
达·芬奇是一位思想深邃，学识渊博，多才多艺的画家、发明家、哲学家、音乐家、医学家、建筑和军事工程师。
他广泛地研究与绘画有关的光学、数学、地质学、生物学等多种学科。
在《绘画专论》一书中，他对透视法作了详尽的论述。
他的代表作《最后的晚餐》是基督教传说中最重要的故事。
这幅画就是严格采用透视法的。
在数学方面，他巧妙地用圆柱滚动一周的方法解决了化圆为方的难题，另外他还研究过等腰梯形、圆内接多边形的作图，四面体的重心等。
此外，达·芬奇还发现了液体压力的概念，提出了连通器原理。
达·芬奇在生理解剖学上也取得了巨大的成就，被认为是近代生理解剖学的始祖。
他绘制了比较详细的人体解剖图。
在建筑方面，达·芬奇也表现出了卓越的才华。
他设计过桥梁、教堂、城市街道和城市建筑。
达·芬奇的研究和发明还涉及到了军事领域。
他发明了簧轮枪、子母弹、三管大炮、坦克车、浮动雪鞋、潜水服及潜水艇、双层船壳战舰、滑翔机、直升飞机和旋转浮桥等。
看过《达·芬奇密码》的人大概都知道达·芬奇密码筒。
达·芬奇设计的这种密码筒造型古典，内涵着文艺复兴特质，设计优雅。
要打开密码筒，必须解开一个5位数的密码，密码筒上有5个转盘，每个转盘上都有26个字母，可能作为密码的排列组合多达11881376种。
智慧树知到《数学宇宙的语言》章节测试【完整答案】
智慧树知到《数学宇宙的语言》章节测试【完整答案】智慧树知到《数学宇宙的语言》2019章节测试答案第1章单元测试1、爱因斯坦因为数学的限制，使得广义相对论的研究难以开展，后来他用了7年的时间努力学习黎曼几何，才得以继续他伟大的创举。
答案：对2、20 世纪初爱因斯坦创立的狭义相对论与广义相对论。
答案：对3、400年前开普勒发明的微积分。
答案：错4、牛顿花费20年的时间思考归纳出的行星运动三定律。
答案：错第2章单元测试1、四色定理的机器证明被所有数学家们认可。
答案：错2、数学已经成为人类看待世界的一种方式，这里的世界包括我们所居住的物理的、生物的与社会学的世界，以及我们心灵与思维的世界。
答案：对3、下列关于数学的说法，错误的是()。
答案：任何学科都有抽象的成分，数学的抽象程度与其他学科的抽象一样，没有区别。
、数论是古老的数学分支，是纯粹数学思维的产物，除了起智力体操的作用以外，没有什么实际的用途。
4、整数理论中的“算术基本定理”，其内容是：任一大于1的自然数都可以分解成若干个素数的乘积，如果不计素数因子的顺序，这种分解是唯一的。
答案：对5、当花粉的小颗粒悬浮在液体中时，在显微镜下可以看到不规则的复杂运动，运动的轨迹是一种处处可导的光滑曲线。
答案：错第3章单元测试1、对于平面向量，二维复数的引进提供了表示向量及其运算的一个代数，与数直线上的数一样，复数也可以进行加、减、乘、除运算答案：对2、下列关于哈密顿四元数的说法正确的是()。
答案：哈密顿四元数满足乘法结合律，但不满足乘法交换律。
、哈密顿四元数实质是“三维复数的类似物”。
3、实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定，只要与其余假定不矛盾，就能构造出许多代数体系。
答案：对4、康托尔的连续统假设已经被证明是正确的。
答案：错5、二进制下的 1111111 在十进制下表示为()。
答案：127第4章单元测试1、《几何原本》中只有几何问题的公理化方法证明，但没有微积分的思想方法的应用。
数学——宇宙的语言知到章节答案智慧树2023年中国海洋大学
数学——宇宙的语言知到章节测试答案智慧树2023年最新中国海洋大学绪论单元测试1.爱因斯坦因为数学的限制，使得广义相对论的研究难以开展，后来他用了7年的时间努力学习黎曼几何，才得以继续他伟大的创举。
参考答案:对2.20世纪初爱因斯坦创立的狭义相对论与广义相对论。
参考答案:对3.400年前开普勒发明的微积分。
参考答案:错4.牛顿花费20年的时间思考归纳出的行星运动三定律。
参考答案:错5.本课程探讨内容包含物理学中展现的宇宙规律的和谐与美，包括对称性与守恒律之间的主要关系的诺特定理，以及联系电与磁的麦克斯韦方程组等。
参考答案:对第一章测试1.四色定理的机器证明被所有数学家们认可。
参考答案:错2.数学已经成为人类看待世界的一种方式，这里的世界包括我们所居住的物理的、生物的与社会学的世界，以及我们心灵与思维的世界。
参考答案:对3.下列关于数学的说法，错误的是（）。
参考答案:任何学科都有抽象的成分，数学的抽象程度与其他学科的抽象一样，没有区别。
;数论是古老的数学分支，是纯粹数学思维的产物，除了起智力体操的作用以外，没有什么实际的用途。
4.整数理论中的“算术基本定理”，其内容是：任一大于1的自然数都可以分解成若干个素数的乘积，如果不计素数因子的顺序，这种分解是唯一的。
参考答案:对5.当花粉的小颗粒悬浮在液体中时，在显微镜下可以看到不规则的复杂运动，运动的轨迹是一种处处可导的光滑曲线。
参考答案:错第二章测试1.对于平面向量，二维复数的引进提供了表示向量及其运算的一个代数，与数直线上的数一样，复数也可以进行加、减、乘、除运算参考答案:对2.下列关于哈密顿四元数的说法正确的是（）。
哈密顿四元数满足乘法结合律，但不满足乘法交换律。
;哈密顿四元数实质是“三维复数的类似物”。
3.实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定，只要与其余假定不矛盾，就能构造出许多代数体系。
参考答案:对4.康托尔的连续统假设已经被证明是正确的。
万物之理——爱因斯坦之梦知到章节答案智慧树2023年中国海洋大学
万物之理——爱因斯坦之梦知到章节测试答案智慧树2023年最新中国海洋大学绪论单元测试1.爱因斯坦晚年致力于研究的领域是（）。
参考答案:统一场论2.自然界中的相互作用有（）。
参考答案:弱相互作用;引力相互作用;电磁相互作用;强相互作用3.爱因斯坦统一失败的主要原因有( )。
参考答案:未考虑另外两种互相作用;电放弃物理直觉;未用量子场论4.2000年，《物理世界》杂志排名第一的物理学家是爱因斯坦。
（）对5.人类目前已经发现了万物之理。
（）参考答案:错第一章测试1.伽利略的主要物理学和天文学贡献是（）。
参考答案:发明了望远镜;自由落体定律;惯性定律2.开普勒行星三大定律是（）。
参考答案:椭圆律;周期律;面积律3.经典力学的主要原理有（）。
参考答案:万有引力定律;牛顿三大定律;伽利略变换4.牛顿认为万有引力是一种超距力。
（）参考答案:对5.拉普拉斯算出了正确的黑洞视界半径。
（）参考答案:对第二章测试1.在电磁学的发展史上做出重要贡献的物理学家有（）。
参考答案:库伦;法拉第;赫兹;麦克斯韦2.描述“场”随空间变化规律的常用的量有（）。
参考答案:旋度;梯度;散度3.外微分形式的广义斯托克斯定理当积分区域的边界为曲线时，可以得到的微积分公式有（）。
参考答案:斯托克斯公式;格林公式4.麦克斯韦方程组实现了电、磁、光的统一。
（）参考答案:对5.光在不同参考系中的传播速度是不同的。
（）参考答案:错第三章测试1.热力学第零定律定义了（）。
参考答案:温度2.热力学第二定律定义了（）。
参考答案:熵3.黑洞具有哪些物理特征（）。
参考答案:角动量;质量;温度;电荷4.生命系统的维系需要源源不断的输入负熵。
（）参考答案:对5.绝对零度可以达到。
（）参考答案:错第四章测试1.“同地”是相对的，“同时”是绝对的。
（）参考答案:错2.物理理论体系建立的两种方法是（）。
参考答案:第一性原理出发的公理化方法;实验中归纳基本规律3.以下物理实验与狭义相对论密切相关的有（）。
几何学的变革
个严格证明》 1829 《论几何原理》 1835—1838 系列论文
第十八页，共42页。
9.2 非欧几何(jǐ hé)的诞生
罗巴切夫斯基在否定第五公理的同时，假 设其反面之一：“过已知直线外一点，可作多 于一条的直线与已知直线平行”，得到了一系 列定理，并且认为他得到了一门新的几何学。
在某一侧的两个(liǎnɡ ɡè)内角的和小于二
第五页，共42页。
9.1 欧几里得的平行(píngxíng)公 设
从古希腊时代开始，人们一直对 第五公设有疑问，二千年来，数学 家们一直在想消除这个疑问，其途 径有二：一是用更为自明的命题代 替第五公设；二是证明它，使其成 为一个定理(dìnglǐ)。
一 黎曼几何 黎曼（Rieman，1826—1866）在1854年发展了 罗巴切夫斯基等人的思想(sīxiǎng)，建立了现 称为“黎曼几何”的一种更广泛的几何，欧 氏几何、罗氏几何、黎曼非欧几何都只是其 特例。
第二十四页，共42页。
9.3 非欧几何(jǐ hé)的发展与确认
在罗氏几何产生后的1854年，德国数学家黎 曼把欧氏第五(dìwǔ)公设改为：“过已知直线外 一点，没有与其平行之直线”，得到的一种新的 几何学—黎曼非欧几何，为非欧几何的另一翼。
9.2 非欧几何(jǐ hé)的诞生
二 波约（1802—1860）
1823年，波约开始理解平 行公设问题的实质，称“我要白手 起家创造一个(yī ɡè)奇怪的新世 界”。波约称他的非欧几何为“绝 对几何”。
著《绝对空间的科学》
第十七页，共42页。
9.2 非欧几何(jǐ hé)的诞生
三 罗巴切夫斯基（1792—1856）
数学教育理论期末复习提纲
填空：1.国际数学联盟（IMU）国际数学教育委员会（ICMI）：1908年，成立于第四届国际数学家大会，第一任主席克莱因2.克莱因：德国著名数学家1872年发表了著名的几何学“爱尔朗根纲领”3.义务教育满足的三个性质：基础性普及性发展性4.义务教育数学教学的内容的四个领域：数与代数空间与图形概率与统计实践活动5.实践活动是第一阶段；综合应用时第二阶段；课程学习是第三阶段。
6.2001年7月，《全日制义务教育数学课程标准》正式颁布，2003年普及全国。
2003年，《普通高中课程标准》（实验）正式公布，2004年在4省市的实验区进行实验。
7.高中数学课程定位：基础性、选择性和多样性。
8.高中数学必修课分为5个模块，数学选修课程中共有4个系列：选修1（两个模块）、选修2（3个模块）和选修3（6个专题）、选修4（10个专题）。
选修1为文科类必选，选修2为理工类必选，选修3、4为学生自选的数学课程，分别偏重纯粹数学或应用数学。
9 数学与心理学对数学教育研究有过根本性的影响。
10 数学教育研究的四种方法：访谈法观察法实验法调查法11 教案的构成部分：①课题名称；②教学目的；③教学重点，教学难点；④教具准备；⑤教学过程．12 双基：基础知识（基本概念、基本原理和思想方法）基本技能（计算技能、作图技能、推理技能、数据处理等）形成原因：（1）“双基数学教学”是中国传统文化的一种传承（2）中国千余年“考试文化”下的教育评价体系，是形成“双基”数学教学理论的重要动因三力：基本计算能力逻辑推理能力空间想象能力13 波利亚：1887年出生于匈牙利，美籍匈牙利数学家，是法国科学院和匈牙利科学院的院士，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支做出了开创性的贡献著作：《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》14 弗赖登塔尔：世界著名数学家和数学教育家，曾是荷兰皇家科学院的院士和数学教育研究所所长，专长为李群和拓扑学。
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若从一个已知变换群G中取出一部分变换, 其全体也构成一个变换群G1，则称G1为G 的一个变换子群。 由定义易知：平面上或空间中的运动集、 仿射变换集、射影变换集等等各构成一个 变换群，分别称为运动群、仿射群、射影 群等等；运动群是仿射群的一个子群，运 动群和仿射群都是射影群的子群。 给定空间M和它的一个变换群G,若在G中 有一个变换，把图形α变到图形b,则称α与b 是等价的。从变换群的定义可推出：
二、简介
（一）几何变换 给定任意几何对象的集合M，约定把集合 M叫做空间。把M中的每个几何对象（或称 为元素）变到另一个几何对象上的过程称 为M上的一个几何变换，简称变换。以α表 示某一几何对象或由许多对象所构成的图 形,以T 表示一个几何变换,则在T之下把α变 到另一个对象或图形b,记作T(α)=b,b称为α 的像，α称为b的像源。
三、小结
根据以上所述，在某一变换群之下的不变 性质必是它的子群的性质，但反过来未必 成立，就是说，群越大，则其几何内容越 少；群越小，则其几何内容越多。例如， 在欧氏几何中可以讨论仿射性质(单比、平 行性等)，而在仿射几何中讨论某些度量性 质（如距离、角度等）是没有意义的。
四、意义
• 埃尔朗根纲领的提出，正意味着对几何认 识的深化。它把所有几何化为统一的形式， 使人们明确了古典几何所研究的对象；同 时显示出如何建立抽象空间所对应几何的 方法，对以后几何的发展起了指导性的作 用，故有深远的历史意义。
另取一个变换S作用到b上,设S(b)=c，到 这两个变换连续作用，则α变到с,所以α变 到с的过程也是一个变换,记作P,即P(α)=с。 P称为S和T的乘积,记作P=ST。变换乘积的 次序一般是不可交换的，即ST≠TS。 若有三个变换T、S、R，先作用T,其次作 用S,最后作用R,其结果是RST,这个记号表 示作用的次序是从右边到左边。变换乘积 的结合律是成立的:(RS)T=R(ST)=RST。
埃尔郎根纲领
王珊珊
一、提出
1872年,德国数学家克莱因在埃尔朗根大 学做教授就职演讲时，提出题为《关于近 代几何研究的比较考察》的论文。他提出， 所谓几何学，就是研究图形对于某类变换 保持不变的性质的学问，按照这一观点， 所谓图形的“几何性质”便是它们对于某 变换群保持不变的性质。换言之，有多少 种不同的变换群，就有多少种不同的几何 学。克莱因的这个观点后来被称为《埃尔 朗根纲领》。
① 若图形α与图形b等价，则图形b也与图形α 等价。 ②若两个图形α和b都与第三个图形с等价，则 α与b也互相等价。 （二）不变量 克莱因把空间M中图形的等价性质称为几 何性质或不变性质,而且把几何性质与在已 知群G中任意变换下不变的量结合起来，这 些不变量显然是一切等价图形所共有的。 在某一群 G中一切变换下的所有不变性质 称为从属于G的性质，研究从属于G的性质 的几何称为从属于G的几何。
若变换T,使得每个元素b都是惟一的某个 元素α的像，则称T为一对一的变换,这时,T 有确定的逆变换,记作T-1，T与T-1的乘积 保持每个元素都不动，也就是恒等变换,记 作E，即TT-1=T-1T=E。 变换群 设G为M上的有限或无限个变换的 集合,且满足下面两个条件:①集合G中任意 两个变换的乘积仍属于G；②集合G中每个 变换必有其逆变换，而且这个逆变换也属 于G换不 变的性质就是射影性质，研究射影性质的 几何叫做射影几何；等等。在运动群之下， 距离、角度、面积、平行性、单比、交比 都保持不变；在仿射变换下，距离、角度、 面积都改变，但（同方向线段的）单比、 平行性、共线性、交比，则保持不变；对 射影群来说，单比、平行性都改变，但共 线性、交比保持不变。这是因为运动群是 仿射群的一个子群，而仿射群是射影群的 一个子群。
（三）克莱因的思想
克莱因把各种几何看作是研究它们所从属 的各种群的不变性质的理论，使得在19世 纪80年代所发现的各种几何之间显示出更 加深刻的联系，他在著名的《埃尔朗根纲 领》里提出了这个群论观点。在这里引出 了按照变换群来进行几何分类的思想── 埃尔朗根纲领思想。例如：经过运动不变 的性质就是度量性质，研究度量性质的几 何叫做度量几何（欧氏几何）；经过仿射 变换不变的性质就是仿射性质，研究仿射 性质的