1-1 函数的概念

第一章函数Function初等数学（Elementary mathematics）的研究对象基本上是不变的量：常量（Constant）；高等数学（Higher mathematics）的研究对象基本上是变化的量：变量（Variable）.函数（Function）是对现实世界中各种变量之间相互依存关系的一种抽象，它是微积分（Calculus）的研究对象，因而也是高等数学中最基本最重要的概念.§1 函数的概念1.1 函数定义1.1.1 函数概念Definition 1.1（See p.1）设D是一个非空实数集合（nonempty set of real numbers），f是一个对应规x∈，则，在此规则下，对于每一个D都有唯一确定的实数y与之对应，则称变量y是变量x的一个定义在D上y=，的函数（function），记为()x fx∈.D1.1.2 函数的五大要素★x ：自变量（independent variable ）★y ：因变量（dependent variable ）★f ：对应规则（rule of correspondences ），也称为函数关系（functional relation ） ★D ：定义域（domain of definition 或field of definition ）,记为()f D ，它是自变量x 的取值范围★Z ：值域（range of value 或co-domain ）, 记为()f Z ，它是因变量y 的取值范围1.1.3 函数与函数值（See p.1）对于()f D x 0∈所对应的y 的值记为()0x f 或0x x y =，它称为当0x x =时函数()x f 的函数值（functional value ）.【Note 】函数与函数值是既有本质区别又有密切联系的两个不容混淆的概念.★区别：函数()x f 是一个可以取不同值的变化的量（变量）；函数值()0x f 是一个确定的不变的量（常量）.★联系：函数值()0x f 是函数()x f 在0x x =这一点所取的值，即()0x f 是将()x f 中的x 换为（代入）0x 时所对应的值，亦即()()[]0x x 0x f x f ==.1.1.4 函数相同的条件（See p.1）在函数的五大要素中，定义域和对应规则是最重要的两大要素.由此可给出两个函数为同一个函数（两个函数相同或恒等）的充分必要条件：（1）定义域相同；（2）对应规则相同. ()()()()g D f D x g x f =⇔≡且g f ＝ ▲()()g D D f D ==▲g f ＝，即对D 中每一个x 有()()x g x f =Example 1.1.1（See p.1） ()x x f =与()x x x g 2=不相同.这是因为()()g D f D ≠.事实上，()()∞+∞-=，f D ，而()()()+∞∞-=,00,g D .Example 1.1.2（See p.2） ()x x f =与()2x x g =不相同.这是因为虽然()()()g D f D =∞+∞-=，,但g f ≠.事实上，()()x g x x x x f 2==≠=，因为，当x ＜0时，()()x f x x x x g -=-===2.【Note 】对于几个函数，只要它们的定义域和对应规则都相同，那么无论其自变量用什么符号表示，它们都是同一个函数.Example 1.1.3()x f y =，D x ∈；()u f v =，D u ∈；()s f t =，D s ∈；()ξηf =，D ∈ξ；…….这些函数都是同一个函数.1.2 函数的表示法1.2.1 常见的三种表示法（See p.2） ▲公式法（解析法）▲表格法（列表法）▲图象法（图形法）【Note】并非给出一个解析式就能确定一个函数.Example 1.1.4解析式2=就不y-xsin能确定一个函数，因其定义域为空集（对于任何一个实数x，都不可能确定出与之对应的y值），不符合函数定义的要求.1.2.2 分段函数（See p.2）用公式法表示函数，不一定总是用一个式子表示，有时需要分段用多个式子来表示一个函数.通常把在自变量的不同变化范围中对应规则用不同式子来表示的函数称为分段函数（piecewise function）.Example 1.1.5（See p.2）==x y x , x ≥0x -, x ＜0就是定义在()∞+∞-，内的分段函数. （See Figure 1-1）Example 1.1.6 在我们亚澳商学院，每位同学所修每门专业课的考试成绩都有两个，即VU 成绩和LU 成绩.由于VU 的及格线是50分，LU 的及格线是60分，所以二者需要转换.设VU 成绩为x ，LU 成绩为y ，则转换关系是一个分段函数：=y x 2.1, 0≤x ＜5020x 8.0+, 50≤x ≤100【Note 】 分段函数是用几个式子合起来表示一个函数，而不是表示几个函数！Example 1.1.7由下列三个式子表示的就是一个函数而不是三个函数.2x, 0≤x＜1 =y x，1≤x＜2+，2≤x≤3x2-x4Example 1.1.8（See p.2）某城市出租车的计价器按如下方法计价：行驶里程不超过4km的为起价费5元；行驶里程超过4km但不超过10km的,超出部分为1.5元／km；行驶里程超过10km的，超出部分为1.8元／km. 若设行驶里程为x（km）,乘车费用为y（元），则y是x的函数. 显然它可以表示为如下的分段函数5, 0＜x≤4=y()4+，4＜x≤105-5.1x()1014-+，x＞10x8.1同学们不妨试着写出自己家所在城市的出租车乘车费用函数. 【Note】需要注意的是，有些城市（比如沈阳市）的出租车计价已实行时距并计的方式，这时乘车费用函数就是行驶里程与等待时间两个变量的函数，这样的函数称为二元函数（function of two variables），我们将在后面（Chapter 7）中学习. Example 1.1.9（See p.3）A parcel delivery service charges according tofind the cost function ()x C . The cost function ()x C could bewritten as:80.4＄ for x ＜100.6＄ for 1≤x ＜2()=x C 00.7＄ for 2≤x ＜300.8＄ for 3≤x ＜500.10＄ for 5≤x ＜101.2.3 隐函数（See p.3）函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达.前面我们遇到的函数,都是类似2x 1sinx y -+=这样的函数，它们的特点是：等号左端是因变量的符号，等号右端是含有自变量的式子，当自变量在定义域内取任一值时，由这个式子能确定对应的函数值.这种用明显的方式表达的函数称为显函数（explicit function ）.但是，有些函数的表达方式却不是这样的，它们的函数关系是隐藏在一个方程之中的.Example 1.1.100xe xy y =+，01y x 3=-+, 0e xy y =-.每个方程都确定了一个函数.我们把这种在x 的取值范围内由方程()0y x,F =所确定的每一个函数称为隐函数（implicit function ）.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.Example 1.1.11 从方程01y x 3=-+可以解出3x 1y -=，就把隐函数化成了显函数.需要指出的是，隐函数的显化有时是困难的，甚至是不可能的.Example 1.1.12 由方程0x x 3y 2y75=--+所确定的隐函数就很难用显式把它表达出来.【Note】Definition 1.1给出的函数概念是指单值函数.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总只有唯一的一个，这种函数称为单值函数（one-valued function）,否则就称为多值函数（many-valued function）.Example 1.1.13 在直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的方程是22r2+，x=y这个方程在闭区间[]r r,-上确定一个以x为自变量以y为因变量的函数-或r时,对应的（隐函数）.当x取r函数值都只有一个.但当x取开区间()r,r-内任一个数值时, 对应的函数值就有两个.这个函数就是多值函数.在本门课程中，凡未作特殊说明，函数均指单值函数.1.3 函数定义域的求法1.3.1 自然定义域的求法（See pp.3~4）如前所述，函数的定义域是自变量的取值范围.当函数()x fy=用解析表达式给出，而又没给出自变量的取值范围时，要求函数的定义域，就是求使该解析式有意义的自变量的取值范围.这种从函数解析式本身出发确定的定义域就是所谓的自然定义域（natural domain of definition）.求函数的自然定义域时，需综合考虑如下几种情况：▲分式的分母部分不能为0▲偶次根号下的式子应为非负数▲对数符号下的式子（真数部分）应大于0▲反正弦函数、反余弦函数符号下的式子的绝对值应不大于1▲若函数是几个函数之和（或差、积、商、幂），其定义域应是各函数定义域的非空之交集▲对分段函数，其定义域应为各分段定义域的并集Example 1.1.14（See pp.3~4）确定函数()12x lg 1y -=的定义域.解 要使()12x lg 1y -=有意义，必须使()1x 2lg -有意义且()01x 2lg ≠-，这就要求1x 2-＞0且11x 2≠-， 即x ＞21且1x ≠.因此该函数的定义域为() +∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,11,21. Example 1.1.15（See p. 4）确定函数2x 25151x arcsin y -+-=的定义域.解 要使2x 25151x arcsin y -+-=有意义，必须使51x -≤1且2x 25-＞0， 即1x -≤5且x ＜5，由此可得4-≤x ≤6且5-＜x ＜5.因此该函数的定义域为[)5,4-.Example 1.1.16（See p. 4）确定=y 2x 1-, x ＜1 的定义 1x 2-,1＜x ≤2域.解 将函数改写为如下形式1x 2-,2-≤x ＜1- =y 2x 1-,1-＜x ＜1 1x 2-, 1＜x ≤2因此该函数的定义域为[)()(] 2,11,11,2---.Example 1.1.17（See p. 4）已知()1x 1e f 2x +=-，求()x f 的定义域. 解 先求出()x f 的解析式.为此，令1e u x -=，则可得()1u ln x +=，从而()()11u ln u f 2++=，即()x f 的解析式为()()11x ln x f 2++=，于是()x f 的定义域为()+∞-,1.1.3.2 实际定义域的求法（See p.3） 对于有些函数，它们是表示实际应用问题的函数关系的，在确定其定义域时，就不能仅仅从函数解析式本身出发，而要同时考虑到自变量的取值应使实际问题有意义.这样确定的定义域就是所谓的实际定义域（actual domain of definition ）.Example 1.1.18将边长为a 的正方形的4个角各剪去一个边长为x 的小正方形后，所剩部分可以折成一个无盖长方体小盒，其容积y 是x 的函数()2x 2a x y -=.易知此函数的自然定义域为()+∞∞-,，而实际定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛2a ,0.。