新版精选2019高中数学单元测试《圆锥曲线方程》模拟考核题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1 ．（2012课标文）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点,||AB =则C 的实轴长为 （ ）A B ．C ．4D ．82．（2010湖北文9）若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A.[1-1+B.[1,3]C.[-1,1+D.[1-3．（2002北京文10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A ．x ＝±y 215B ．y ＝±x 215C ．x ＝±y 43 D ．y ＝±x 434．(2006福建理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞5．（2004湖南理）如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是（ ） A ．513 B ．13 C ．5 D ．135 6．（2009四川卷理）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C.115 D.3716【解析1】直线2:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点)0,1(F 的距离，故本题化为在抛物线24y x =上找一个点P 使得P 到点)0,1(F 和直线2l 的距离之和最小，最小值为)0,1(F 到直线1:4360l x y -+=的距离，即25|604|min =+-=d ，故选择A 。

【解析2】如图，由题意可知2d ==7．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、、、4 D 、二、填空题8．已知一组抛物线2y ax bx c =++，其中a 为1、3、5、7中任取的一个数，b 为2、4、6、8中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线12x =交点处的切线相互平行的概率是 ▲ ．9．与双曲线2212y x -=有相同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 ． 10．双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．11．双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为_________.12．在△ABC 中，AH 为BC 边上的高，tan C ＝43，则过点C ，以A ，H 为焦点的双曲线的离心率为 ▲ ．13．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线l ，直线l 与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是 ▲ ． 答案： 514．在ABC ∆中,60ACB ∠=,sin :sin 8:5A B =,则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ▲ ．15．已知l 1是过原点O 且与向量a ＝(2，－λ)垂直的直线，l 2是过定点A (0,2)且与向量b ＝⎝⎛⎭⎫－1，λ2平行的直线，则l 1与l 2交点P 的轨迹方程是________，轨迹是________．解析：由题意，l 1可为过原点除x 轴的任意直线，l 2可为过A (0,2)除y 轴的任意直线，又l 1与l 2垂直，由平面几何性质知，交点P 的轨迹是以OA 为直径的圆除去原点O 的部分，故P 点轨迹方程为x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0)．16．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ________________．解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴满足题意的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，整理得 x 2＋y 2－2x ＝0.17．在平面直角坐标系xoy 中，P 是椭圆221259x y +=上的一点，F 是椭圆的左焦点，且()1,2OQ OP OF =+4OQ =,则点P 到该椭圆左准线的距离为 5218．双曲线x 2－y 24＝1的渐近线被圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0所截得的弦长为 ▲ ．19．顶点在原点且以双曲线1322=-y x 的右准线为准线的抛物线方程是 ★ ；三、解答题20．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，下顶点为A ，直线AF 1与椭圆的另一个交点为B ，△ABF 2的周长为8，直线AF 1被圆O ：x 2＋y 2＝b 2截得的弦长为3. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 若过点P (1,3)的动直线l 与圆O 相交于不同的两点C ，D ，在线段CD 上取一点Q ，满足CP →＝－λPD →，CQ →＝λQD →，λ≠0且λ≠±1.求证：点Q 总在某定直线上．21． 已知A 、B 为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点，F 为椭圆的右焦点，P 是椭圆上异于A 、B的任意一点，直线AP 、BP 分别交直线l ：x ＝m (m >2)于M 、N 两点，l 交x 轴于C 点． (1)当PF ∥l 时，求点P 的坐标；(2)是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆过点F ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．22．（16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()1,1A - （I ）求椭圆C 的方程（II ）设点B 是点A 关于原点的对称点，P 是椭圆C 上的动点（不同于,A B ），直线,AP BP 分别与直线3x =交于点,M N ，问是否存在点P 使得PAB ∆和PMN ∆的面积相等，若存在，求出点P 的坐标，若不存在请说明理由23． P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆x y 2221+=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点。

已知PF →与FQ →共线，MF →与FN →共线，且PF MF →→=·0。

求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。

分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。

24．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的右焦点F 作直0x y +交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.25．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P <;(II)若点M 到直线l 的距离的最小值为5,求抛物线E 的方程.26．已知点M ),(y x 与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离之比为21. （1）求点M 轨迹C 的方程；（2）在平面内是否存在异于点A 的定点(,)Q a b ，使得对于轨迹C 上任一点P ，都有||||PQ PA 为一常数．若存在，求出a ，b 的值，若不存在，说明理由．27．如图，在ABC ∆中，7||||,||22AB AC BC ===，以B 、C 为焦点的椭圆恰好过AC 的中点P .（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点1A 作直线l 与圆22:(1)2E x y -+= 相交于M 、N 两点，试探究点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧吗？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由.28．平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为C2， 设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面 积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由. (2011年高考湖北当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当0m >时，曲线C 的方程为22221x y a ma -=，C 是焦点在x 轴上的双曲线. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1m =-时，C 1的方程为222x y a +=； 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，C 2的两个焦点分别为1(F -，2(F . 对于给定的(1,0)(0,)∈-+∞m ，C 1上存在点000(,)(0)≠N x y y 使得2=S m a 的充要条件是22200020,0, 12 2x y a y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩①②由①得00y a <≤，由②得0y =，当0a <≤，即102m ≤<，或102m +<≤时， 存在点N ，使2S m a =：a >，即112m -<<，或12m +>时，不存大满足条件的点N.当1150,22m ⎡⎫⎛+∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦时，由100(,)NF x y =--，200(,)NF x y =-， 可得22221200(1)NF NF x m a y ma ⋅=-++=- 令1122,NF r NF r ==，12F NF θ∠=,则由21212cos NF NF rr ma θ⋅==-，可得212cos ma r r θ=-， 从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-，于是由2S m a =， 可得221tan 2mam a θ-=，即2tan m m θ=-， 综上可得：当1,02m ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在C 1上，存在点N ，使得2S m a =，且12tan 2F NF =; 当10,2m ⎛+∈ ⎝⎦时，在C 1上，存在点N ，使得2S m a =，且12tan 2F NF =-; 当1151,,22m ⎡⎫⎛⎤+∈-+∞⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦时，在C 1上，不存在满足条件的点N.29．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．(2011年高考天津卷理科18)（本小题满分13分）（Ⅱ）30．已知j i ,是,x y 轴正方向的单位向量，设a=(x i yj -+, b =(x i yj ++,且满足b i a ⋅=.(1) 求点(),P x y 的轨迹方程；(2) 过点)的直线l 交上述轨迹于,A B 两点,且AB =求直线l 的方程.。