福建省基地校(仙游金石中学)2015年高三数学10月专项练习几何选讲平行性测试理

《几何选讲》平行性测试卷
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于
(A) 40° (B) 55° (C)65° (D)70°
（2）PT切⊙O于T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT=4，PA=2，则cos∠BPT=
(A) (B) (C) (D)
（3）如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PT切半圆于点T，TH⊥BC 于H，若PT=1，PB+PC=2a，则PH=
(A) (B) (C) (D)
（4）如图所示，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C=36°，则∠ABD 的度数是
(A)72° (B) 63° (C)54° (D)36°
（5）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PC是⊙O的割线，且PB=BC，则
等于（）
A.2
B.
C.1
D.
（6）已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于C 点，AB 一条外公切线，A 、B 分别为切点，连接AC 、BC ．设⊙O 1的半径为R ，⊙O 2的半径为r ，若tan∠ABC=，则
的值为
(A) (B) (C) 2 (D) 3
（7）如图,在ABC ∆和DBE ∆中,53
AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与DBE ∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为
A.20cm
B.254cm
C.503
cm D.25cm （8）如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上任一点，作EF⊥BD 于F ，则EF ︰BE=（ ）
(A)21 (B) 22 (C) 2
3 (D)2 A
B C D
E
（9）如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，︒=∠25PCB ，则=∠ADC
(A) ︒105 (B) ︒115 (C) ︒120 (D)︒125
（10）如图，E 是 ABCD 边BC 上一点，
EC BE =4，AE 交BD 于F ，则FD BF = (A)54 (B) 94 (C) 95 (D)104
（11）如图，ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有
(A)1个 (B)2个
(C) 3个 (D)4个
（12）如图,在梯形ABCD 中,AB//DC,AB=,a )(b a b CD >=.若,//AB EF EF 到CD 与AB 的距离之比为n m :,则可推算出:n
m nb ma EF ++=,用类比的方法,推想出下列问题的结果,在上面的梯形ABCD 中,延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点,设OAB ∆,OCD ∆的面积分别为21,S S ,EF//AB,且EF 到CD 与AB 的距离之比为n m :,则OEF ∆的面积0S 与21,S S 的关系是
(A) n
m nS m S S ++=210 (B) n
m m S nS S ++=210 (C) n m S n S m S ++=
2
10 (D)n
m S m S n S ++=2
10
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）在Rt ABC ∆中，CD,CE 分别是斜边AB 上的高和中线，,(),B C a A C b b a
==> 若t 1an 3
DCE ∠=,则a b =________. （14）在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，︒=∠60BAD ，E 是DC 的中点， F 是AE 的中点，则⋅＝
（15）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，MAB ∠35︒=, 则D ∠=
.
（16）已知G 是△ABC 的重心，AG 交BC 于E ，BG 交AC 于F ，△EFG 的面积为1，则△EFC 的面积为
.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
C
（17）（本小题满分10分）
在平面四边形ABCD 中,ABC ∆≌BAD ∆．
求证:CD AB //.
（18）（本小题满分12分）
如图，已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连结FB 、FC
（I ）求证：FB=FC ；
（II ）求证：FB 2=FA·FD；
（III ）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120,6,EAC BC cm ∠=︒=求AD 的长.
（19）（本小题满分12分）
圆的两条弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线DA 的延长线交于点P ，再从点P 引这个圆的切线，切点是Q .
求证：
PF=PQ.
（20）（本小题满分12分）
如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F . 求证：
（Ⅰ）DFA DEA ∠=∠；
（Ⅱ）AC AE BD BE AB ⋅-⋅=2
F
E
（21）（本小题满分12分）
如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E ．
（I ）求证：AB PA AC PC
=； （II ）求AD·AE 的值．
（22）（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，90B ∠=，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ，AE 交⊙O 于点F ．
（Ⅰ）证明：E 是BC 的中点；
（Ⅱ）证明：AD AC AE AF ⋅=⋅.
《几何选讲》平行性测试卷
参考答案
E
1．B
【解析】：∵∠B=50°，∠C=60°
∴∠A=70°
∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，
∴∠AEO=∠AFO=90°
∴∠EOF=110°
∴∠EDF=55°．
2．A
【解析】如图，∵PT切⊙O于T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，∴PT2=PA•PB，
∵PT=4，PA=2，
∴16=2PB，解得PB=8，
∴AB=8﹣2=6，∴PO=2+3=5，OT=3，
∴cos∠BPT=．
3．B
【解析】如图，连接OT．
∵PT2=PC•PB，PT=1且PB+PC=2a
∴BC=PB﹣PC==
∴OT=O C=，可得OP==a．
又∵∠TPH=∠OPT，∠PTO=∠PHT=90°
∴△TPH∽△OPT，可得，PH==．
4．B
【解析】连结OB．∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC=90°．
∵∠C=36°，∴∠BOC=54°．
又∵∠BOC=2∠A，∴∠A=27°．
∴∠ABD=∠A+∠C=27°+36°=63°．
故选：B．
5．D
【解析】设PB=x ，则BC=2x ，PC=PB+BC=3x ，
根据圆的切割线定理，得到PA 2=PB•PC
即PA 2=x•3x=3x 2， ∴PA=x ， ∴=．
6．C
【解析】如图，连接O 2B ，O 1A ，过点C 作两圆的公切线CF ，交于AB 于点F ，作O 1E⊥AC，O 2D⊥BC，
由垂径定理可证得点E ，点D 分别是AC ，BC 的中点，
由弦切角定理知， ∠ABC=∠FCB=∠BO 2C ，∠BAC=∠FCA=∠AO 1C ，
∵AO 1∥O 2B ，
∴∠AO 1C+∠BO 2C=180°，
∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，
即△ACB 是直角三角形，
∴∠ABC=∠BO 2D=∠ACO 1，
设∠ABC=∠BO 2D=∠ACO 1=β，
则有sin β=
，cos β=， ∴tan β=•=•， ∴（tan β）2==2．
7．D
【解析】∵在△ABC 和△DBE 中，
53
AB BC AC DB BE DE ===∴△ABC∽△DBE，相似比等53设△ABC 的周长为X ，则△DBE 的周长为35X,又∵△ABC 与△DBE 的周长之差为10cm,即X-35 X=10,
解得X=25cm,
8．B
【解析】略
9．B
【解析】略
10．A
【解析】略
11．B
【解析】∵DE∥AB
∴△DEF∽△BAF；
∵AD∥BC
∴△EDF∽△ECB；
因此与△DEF 相似的三角形为△CEB、△ABF；
12．C
【解析】略
13
．1.3
a b =(舍负值). 【解析】在Rt ABC ∆中，因为090,.ACB CD AB ∠=⊥
所以2,BC BD BA =⋅
即：22
BC BD BA = 由等面积法知：11,22ab AB CD =⋅
所以CD = 又CE 是中线，
则222
DE BE BD =-==在Rt CDE ∆中
,22
11tan ,33
DE DCE CD ∠===
得：223230,a ab b +-=
解得，1.3
a b =(舍负值). 14．
【解析】略
15．0125
【解析】略
16． 3
17．证明：连接BD AC ,交于点E ,
因为BAD ABC ∆≅∆,则ACB ADB DBA CAB ∠=∠∠=∠,,
所以BE AE =,则DE CE =,所以ACD BDC ∠=∠,
则ACD BDC DBA CAB ∠+∠=∠+∠,则DCA CAB ∠=∠,
即CD AB //.
------------------------------------------------------------10分
18．解：（Ⅰ）∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ．
∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC =∠FBC ．
∵∠EAD =∠FAB =∠FCB ，∴∠FBC =∠FCB ，
∴FB =FC ． …………………………3分 （Ⅱ）∵∠FAB =∠FCB =∠FBC ，∠AFB =∠BFD ，
∴ΔFBA ∽ΔFDB ．∴
FB FA FD FB =， ∴ FB 2=FA ·FD ． ……………………6分
（Ⅲ）∵AB 是圆的直径，∴∠ACB =90︒．
∵∠EAC =120︒， ∴∠DAC =2
1∠EAC =60︒，∠BAC =60︒．∴∠D =30︒．
∵BC = 6， ∴AC =32． ∴AD =2AC =cm ．………………10分
19．-4/3
【解析】略
20．证明：（Ⅰ）连结AD 因为AB 为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°则A 、D 、E 、F 四点共圆(4分)∴∠DEA=∠DFA
(5分)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD•BE=BA•BF(6分)，又△ABC∽△AEF∴AF
AC AE AB = 即：AB•A F=AE•AC (8分)∴ BE•BD -AE•AC =BA•BF -AB•AF=AB(BF -AF)=AB
2 (10分)
21．解：（I ）因为PA 为圆O 的切线，所以PAB ACP ∠=∠，
又P P ∠=∠，所以PAB PCA ∆∆，∴AB PA AC PC
= ；………………3分 （II ）因为PA 为圆O 的切线，PBC 是过点O 的割线，所以
2P A P B P C =⋅，又10,5P A P B ==,所以20,15PC BC ==，由（1）知，
AB PA AC PC
=＝12，90CAB ∠=，所以222225AC AB BC +==， 所以
AC AB ==连接CE ，则ABC E ∠=∠，又CAE EAB ∠=∠，所以ACE ADB ∆∆,
所以 AB AD AE AC =
………………10分
所以AD AE AB AC ⋅=⋅=90=．
22．解：（Ⅰ）证明：连接BD
因为AB 为⊙O 的直径
所以BD AC ⊥
又90B ∠=
所以CB 切⊙O 于点B ，且ED 切于⊙O 于点E
因此EB ED = ……2分
EBD EDB ∠=∠，90CDE EDB EBD C ∠+∠==∠+∠
所以CDE C ∠=∠
得EC ED =
因此EB EC =，即E 是BC 的中点 …………………5分 （Ⅱ）证明：连接BF ，可知BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE∽△AFB 于是有AB AE AF AB
=，2AB AE AF =⋅ ……………… 8分 同理可证2AB AD AC =⋅
所以AD AC AE AF ⋅=⋅ ……………… 10分。