52微积分的基本公式
高数同济5.2微积分的基本公式
第五章
微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数
s(t ) v(t )
物体在时间间隔 内经过的路程为
T
T2
1
v(t ) d t s (T2 ) s (T1 )
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
刹车, 问从开始刹
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
2 2
即
得
5 t2 2
故在这段时间内汽车所走的距离为
s v(t ) d t (10 5t ) d t 10 t
0 0
2 0 10 (m)
练习1 计算 2 1 sin 2 x dx .
0
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
0 f (t ) d t
x 2
2
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
2 sin x cos x dx cos x sin x 02 0.
0
?
原式 2 sin x cos x dx
0 4 0
sin x cos x 0 cos x sin x 2
cos x sin x dx 2 sin x cos x dx
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
5-2 微积分基本公式
解
sin x f ( x) = , x
π π x ∈[ , ] 4 2
x cos x − sin x cos x ( x − tan x ) f ′( x ) = = < 0, 2 2 x x
π π f ( x ) 在[ , ]上单调下降 上单调下降, 4 2
π π 故 x = 为最大值点，x = 为最小值点, 4 2
充分条件
上连续时， 若函数 f ( x ) 在[a , b]上连续时， f ( x ) 在[a , b]上可积. 上可积. 则
且只有有限个间断点， 且只有有限个间断点， 上有界， 若函数 f ( x ) 在[a , b ]上有界，
上可积. 则 f ( x ) 在[a , b ]上可积.
1
3．定积分的性质 ．
x
d x 数是 Φ ′( x ) = ∫a f ( t )dt = f ( x ) dx y x + ∆x 证 Φ ( x + ∆x ) = ∫ f ( t )dt a
∆Φ = Φ( x + ∆x ) − Φ( x )
=∫
x + ∆x a x
(a ≤ x ≤ b)
Φ(x)
f ( t )dt − ∫ f ( t )dt
∫a f ( x )dx =
b
y
f (ξ )
在区间[a , b]上至少存在一 个点ξ ，使得以区间[a , b]为
底边， 底边， 以曲线 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f (ξ )
的一个矩形的面积。 的一个矩形的面积。
13
o
a ξ
b x
可导， 例 3 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) = 1，
微积分的基本公式
微积分的基本公式共有四大公式: 1.牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式 2.格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分 3.高斯公式，把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式，与旋度有关这四大公式构成了经典微积分学教程的骨干，可以说起到提纲挈领的作用，其实如果你学习了外代数，又称为格拉斯曼grassmann代数,用外微分的形式来表达，四个公式就是一个公式，具有统一的形式，其余的导数公式，积分公式，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒级数、麦克劳林展开式，当然也是基石了。
§5、2 微积分基本公式
x
= ∫ f (t )dt ．
0
x
定理 1 指出了一个重要结论：连续函数 f ( x) 取变上限 x 的定积分然后求导，其结果还 原为 f ( x) 本身．联想到原函数的定义，就可以从定理 1 推知 Φ ( x) 就是连续函数 f ( x) 的一 个原函数．因此，可得不定积分概念那一节未证的原函数的存在定理．
s(T1) T1
∫T1 v ( t ) d t = s = s ( T 2 ) − s ( T1 ) 6 447 4 4 8
s(T2) T2
T2
s t
隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程 s 可以用速度函数 v(t ) 在 [T1 , T2 ] 上的定积分来表达：
s = ∫ v(t )dt ；
T1
f ( x) 在部分区间 [a, x] 上的定积分
∫
x a
f ( x)dx
y
在几何上表示如图所示曲边梯形的面积 Ax ． 这里， 记号 x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积 分变量的记法无关，所以，为了明确起见，我们把积分变 量改用其他符号，例如用 t 表示，则上面的定积分可以写 成
a ∆
x
一的值与之对应．因此，
Φ ( x) = ∫ f (t )dt (a ≤ x ≤ b)
a
x
为上限 x 的函数． 为了几何直观表述积分上限的函数，上面我们对被积函数 f ( x) 作了非负、连续的假 设．实际上，此条件减弱为可积即可．一般地，我们有如下定义．
定义 设 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则
注： （1）设 f ( x) 连续， g ( x) 、 h( x) 均可导， a 为常数，则 ① ②
d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) ； dx ∫ a d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) − f [h( x)] ⋅ h′( x) ． dx ∫ h ( x )
(5.2) 第二节 微积分基本公式(少学时简约版)
就是 f( x )在区间[ a ,b ]上的一个原函数。
(3) 积分上限函数的性质的应用
例：设 f( x )在[ 0 ,+ )上连续，且满足
x21xftdtx,求 : f2. 0
从一般性的角度考虑，为求 f( 2 )需知 f( x )的
表达式，为此需解给定的积分方程。 解积分方程通常就是设法消去方程中的积分记号。
lim x 1. x x0
有了变上限函数的概念及对原函数结构的认识，便 可方便地证明最初的猜测，即定积分这样复杂的和式极 限可归结为它的一个原函数在积分区间上增量的计算。
定理 3 牛顿－莱布尼兹公式 如果函数 F( x )是连续函数 f( x )在区间[ a ,b ]上的
一个原函数，则有
bfxdxFbFa. a
a
a
即有 S ta tv td t S a l i m 0 i n 1 v iti S a .
由归纳法可猜测，f( x )的原函数的结构应是一个 复杂的和式极限，其一般形式应为
F xa xfxdxli m 0 i n 1fi xi.
与熟悉的初等函数相比，这是一种相对复杂的函数
形式。为证明上述猜测，需验证对此函数形式有
x l x i m 0 x x l x i m 0 f l i m x f f x .
即证得当 x ( a,b )时有
xd d xa xftdtfx.
定理 2 连续函数的原函数的存在性
若 f( x )在区间[ a ,b ]上连续，则
x
x
f tdt
a
构造变上限辅助函数进行证明
构造辅助函数 xa xftdt,x a,b.
由于函数 f( x )在区间[a ,b]上连续，故其在区间
微积分必背公式大全
微积分必背公式大全微积分是数学中重要的分支，涉及到许多重要的公式。
以下是一些微积分中常用的公式大全：1. 导数公式：常数函数的导数，(k)' = 0。
幂函数的导数，(x^n)' = nx^(n-1)。
指数函数的导数，(e^x)' = e^x.对数函数的导数，(ln(x))' = 1/x.三角函数的导数，(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x)。
2. 积分公式：幂函数的不定积分，∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
指数函数的不定积分，∫e^x dx = e^x + C.对数函数的不定积分，∫1/x dx = ln|x| + C.三角函数的不定积分，∫sin(x) dx = -cos(x) + C,∫cos(x) dx = sin(x) + C.3. 微分与积分的基本关系：牛顿-莱布尼茨公式，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫f(x) dx = F(b) F(a)，其中a和b是积分区间的端点。
4. 微分方程的基本公式：一阶线性微分方程的通解，dy/dx + P(x)y = Q(x)的通解为y = e^(-∫P(x)dx) (∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C)，其中C为积分常数。
以上是微积分中一些重要的公式，掌握这些公式对于理解微积分的基本原理和解题非常重要。
当然，微积分领域的公式远不止这些，还有一些特殊函数的导数和积分公式，以及微分方程的高阶解等。
希望这些公式对你有所帮助。
微积分基本公式和基本定理
利用泰勒公式展开函数$f(x) = sin x$在$x = frac{pi}{2}$处的幂级数。
答案
根据泰勒公式，得到$sin x = sum_{n=0}^{infty} (1)^n cdot frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。代入$x = frac{pi}{2}$，得到$sin frac{pi}{2} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n cdot frac{(frac{pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1$。
求函数$f(x) = ln(x + sqrt{1 + x^2})$的导数。
利用链式法则和基本导数公式 ，得到$f'(x) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}} = frac{x}{1 + x^2}$。
积分习题及答案
题目
计算$int_0^1 (x^2 + 1) dx$。
泰勒公式是一个重要的微积分定理，它可以用来近似计算复杂的函数。通过泰勒公式，可以将一个复 杂的函数展开成多项式的和，从而简化计算。
泰勒公式在近似计算中广泛应用于数值分析、物理、工程等领域。例如，在计算物理现象的近似解时 ，可以使用泰勒公式来逼近真实解。此外，泰勒公式还可以用于求解函数的极限、证明不等式等数学 问题。
牛顿-莱布尼兹定理
总结词
牛顿-莱布尼兹定理是计算定积分的 核心定理，它提供了计算定积分的简 便方法。
详细描述
牛顿-莱布尼兹定理表述为：对于任意 在[a, b]区间上连续的函数f(x)，F(x)是f(x)的一个原函数。这个定理大大 简化了定积分的计算过程，是微积分学 中的重要内容。
5-2第二节 微积分基本公式
证明: 根据定理1我们得到
F ( x) f (t )dt C, x a C F (a) f (t )dt F ( x) F (a)
a a x x
x b f (t )dt F (b) F (a) F ( x) |b a
a
b
此定理表明:在某区间[a,b]上,连续函数f(x)的定积分等于它的 任意一个原函数在该区间的增量△F=F(b)-F(a).这样我们将求
量x求导数,就等于被积函数在上限变量x处的值.(2)
是错误的.这里的上限为x2.因此必须利用复合函数求 导公式 x 2 x sin x x 2 x sin x x 2 sin x 2 2 ( dx)x ( dx)x 2 ( x ) 2x 2 2 2 2 0 1 cos x 0 1 cos x 1 cos ( x )
x
a
f (t )dt
高 等 数 学 电 子 教 案
这个定理指出一个重要结论:连续函数f(x)取变上 限x的定积分然后求导,其结果还原为f(x)本身.由 原函数的定义,我们知道φ(x)是连续函数f(x)的一
个原函数.因此,这里引出定理2
定理2 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
dx 0 1 x 2
1
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
与分法及取法无关,可用上述分法与取法,这样一 来,原式
高 等 数 学 电 子 教 案
1 lim xi 2 0 i 1 1 i
n
dx 1 0 1 x 2 arctgx 0 4 .
1
例8 计算 1.∫cosxdx. 2.∫0π/2 cosxdx.
52微积分基本公式
f [ x2 (1 x)][x2(1x)] 1
即 f[x2(1x)](2x3x2)1
当x1时, f(2)51
即f (2) 1 . 5
21
牛顿(英)1642―1727 莱布尼茨(德)1646―1716
三、Newton—Leibniz公式
定理2（Newton-Leibniz公式）
如果F( x)是连续函数 f(x)在区[间 a,b]上
例 2(2cox ssixn 1)dx 0
解
原式 2 six n cx o x s0 2
y
y f(x)
x
(x)
Oa x
(x) f (x)dx a
b x
(x)
x
f(t)dt
a
注 一定要分清函数的自变量x与积分变量t.
7
积分上限函数
x
(x) f (tt)dtt
x
( f(x)dx)
a
a
下面讨论这个函数的可导性.
8
定理1 (原函数存在定理) 设 f(x)C[a,b],
则积分上限函数
bx f (t)dt F (x b)F (a) x[a,b] a
特别, 令xb,
b
f(x)dxF(b)F(a)
a
牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式 微积分基本公式
b f (x)dx F ( x) b F(b)F(a)
a
a
23
abf(x)dxF(b)F(a)F(x)ba
微积分基本公式表明
的一个原函数, 则
b
f(x)dxF (b)F (a)
证
因为
F
(
a
x)及(x)
x
f(t)dt
5.2 微积分基本公式
例5 求
∫1 e−t2 dt
lim cos x
.
x→0
x2
作业 习题二十九: 二（1, 4），四，六
数
两者有何 关系呢？
如何研究？？
x
∫a f ( x)dx
x
∫a f (t)dt
积分上限函数
一、积分上限函数及其导数
设 f (x) 在区间 [ a , b ] 上连续，x 为区间 [ a , b ]
内的问任题意：一积点分，上则限f函(x数) 在Φ([xa)是, x否]可上导也？连若续能，，其
∫ ∫ 考察导积数分等于什么？x f ( x)d x =
2
32
2
= 2+π3 −π .
∫ 24 2 π 2 (2cos x + x2 − 1)dx 0
= [2sin x +
x3 3
−
π
x]02
= 2+π3 −π .
24 2
例3
求
3
∫−1 | 2 − x |d x
例3
求
3
∫−1 | 2 − x |d x
解：先去被积函数中的绝对值
|2−
x
|=
2− x−
F(b) − F(a)
二、牛顿 － 莱布尼兹公式
定理3 设函数 f (x) 在 区间 [ a , b ] 上连续， F(x) 是 f (x) 在 [ a , b ] 上的一个原函数，则
b
∫a
f (x)d x
= F(b) − F(a)
记为
=
[F
(
x
)]
b a
（1）
公式（1）称为牛顿—莱布尼茨公式(微积分基本公式)
5.2 微积分基本公式
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当 a b 时， a f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立.
b
5.2 微积分基本公式 例1 计算下列定积分.
1 1 ( 2) d x arctan x 1 2 1 1 x 4 4 2
3 x x2 2 2 0
1 2 2
o
1
1
2
x
1 3 2. 2 2
5.2 微积分基本公式
例3
求
2
1
1 解 当 x 0时， 的一个原函数是ln | x |, x 1 1 1 dx 2 x ln | x |2 ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
1 dx. x
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
5.2 微积分基本公式 例5 求下列变限函数的导数
d x2 2 4 4 (1) 1 t d t 2 x 1 x 1 x 2x 0 dx
记 ( x ) f ( t )dt .
a
x
积分上限函数
5.2 微积分基本公式
积分上限函数的性质 定理 5.3 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的
函数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数， 且它的导
x
d x 数是 ( x ) f ( t ) dt f ( x ) dx a
x
5.2 微积分基本公式
思考题解答
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2. 求
的递推公式(n为正整数) .
解：由于 In1
2 sin 2(n 1)x d x , 因此 0 sin x
In In1 2
2 cos(2n 1)xsin x dx
0
sin x
2 2 cos(2n 1)x dx 2(1)n1
0
2n 1
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
公式 目录 上页 下页 返回 结束
第二节
第五章
微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t) d t
s(T2 )
s(T1)
作业
P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
求
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
( x) d
x
b
,
则
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
361000 3600
(ms ) 10( ms
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
s
2
0 v(t) d t
2
0 (10
5t
)
d
t
10t
5 2
t
2
2
0
10 (m)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
所以
In In1
其中
机动 目录 上页 下页 返回 结束
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
h0
h
h0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a
证: 根据定理 1,
故
x
F(x) a f (x)dx C
因此
x
a f (x)dx F(x) F(a)
得
记作
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 计算
解:
3 dx
1 1 x2
arctan x
3 1
arctan
3 arctan(1)
( ) 7
x
0
f
(t
)
d
t
f (t) d t
2
f (x) (x ) f ( ) x 0
x
0
f
(t) d t 2
(0
x)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
定理2.
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a)
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求
0
0
解: 原式 lim ecos2 x (sin x) 1
x0
2x
2e
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解: 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
b 0.
～
,
得
c
1 2
.
说明 目录 上页 下页 返回 结束
例3.
证明
只要证
在
内为单调递增函数 .
F(x) 0
x
x
证:
x f (x)0 f (t) d t f (x)0 t f (t) d t
x
0
f
(t
)
d
t
2
x
f
(x)0 (x t)
3 4 12
例5. 计算正弦曲线
的面积 .
解:
A 0 sin x dx 2 o
x
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
车到停车走了多少距离?
说明:
促销手机购买就去
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t