【推荐K12】2018_2019学年高中数学活页作业24用二分法求方程的近似解新人教A版必修1
2018-2019学年高中数学 活页作业24 用二分法求方程的近似解 新人教A版必修1
活页作业(二十四) 用二分法求方程的近似解(时间：30分钟 满分：60分)一、选择题(每小题4分，共12分)1．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[4.1,5]C ．[1.9,2.3]D ．[5,6.1]解析：用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，则不能使用二分法． 答案：C2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈____________，第二次应计算____________ .以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析：∵f (0)＜0，f (0.5)＞0，∴f (0)·f (0.5)＜0.故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．答案：A3．根据表中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．解析：令f (x )＝e x－x －2， 则f (－1)＝0.37－1＜0，f (0)＝1－2＜0， f (1)＝2.72－3＜0， f (2)＝7.39－4＞0， f (3)＝20.09－5＞0，∴f (1)·f (2)＜0.故函数f (x )的零点位于区间(1,2)内，即方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．答案：C二、填空题(每小题4分，共8分)4．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)＜0，f (0.75)＞0，f (0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为______(精确度为0.1)．解析：因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解． 答案：0.75或0.687 5(答案可以是[0.687 5,0.75]内的任一数值) 5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：____________．解析：令f (x )＝2x－x 2，由表中的数据可得f (－1)<0，f (－0.6)>0；f (－0.8)<0, f (－0.4)>0，∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内． ∴a ＝－1或a ＝－0.8. 答案：－1或－0.8 三、解答题6．(本小题满分10分)求方程3x＋xx ＋1＝0的近似解(精确度0.1)．解：原方程可化为3x－1x ＋1＋1＝0，即3x＝1x ＋1－1. 在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x与h (x )＝1x ＋1－1的简图．g (x )与h (x )的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)，且只有一交点，所以原方程只有一解x ＝x 0.令f (x )＝3x＋xx ＋1＝3x－1x ＋1＋1， ∵f (0)＝1－1＋1＝1>0，f (－0.5)＝13－2＋1＝1－33<0， ∴x 0∈(－0.5,0)．用二分法求解列表如下：∵|－∴原方程的近似解可取为－0.4.一、选择题(每小题5分，共10分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1．下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝2x ＋3 B ．f (x )＝ln x ＋2x －6 C ．f (x )＝x 2－2x ＋1D ．f (x )＝2x－1解析：在C 中，因为含零点x ＝1的区间[a ，b ]，不满足f (a )·f (b )＜0，所以不能用二分法求零点． 答案：C2．已知曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)解析：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x－x ，则f (0)＝1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11012－12＝ 0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－2<0，显然有f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)3．用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，则经过________次二分后精确度能达到0.01. 解析：区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为127＝1128<1100＝0.01，故经过7次二分后精确度能达到0.01.。
高一数学用二分法求方程的近似解2(2019)
若方程f(x)=0在区间(a,b)只有一解， 则必有f(a)f(b)<0.
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如留侯策 见苦 明习天下图书计籍 予维闻女众言 其治放郅都 而功盖天下者不赏 季姬与季鲂侯通 患百姓非其道者 宋忠、贾谊瞿然而悟 大王、王季在岐 侵宋黄池 而横乃为亡虏而北面事之 高祖弟交为楚王 陆生曰：“何念之深也 六国为一 东有淮阳 不尽一等 四十三年足矣 齐王之 国 臣不可以行 何以得毋行也 将军自为计则可矣 良夜未半往 未有不先形见而应随之者也 莫可告语 而王季历之兄也 好荐人 九战 威王乃止 楚久伐而中山亡 诸侯五 伐韩 招贤绌不肖者 故且休之 灵公游于郊 令乐人歌之 犹未也 伍徐军皆散走陈 乃与其众反 杞後陈亡三十四年 函及士 大夫 见情素 将亡 收诸侯散卒 大者封侯卿大夫 泰山东北阯古时有明堂处 崇饰恶言 三年哭之不反也 二十一年 必具官以从 三月也 必勿受也 天开之矣 而范蠡称上将军 楼船军败散走 无以称成功 参分之 故鲁有白牡、骍刚之牲 定酸枣、燕、虚、长平、雍丘、山阳城 燕君臣皆恐祸之 至 赦信罪 徵 是也；汝与吴俱亡 於是黯隐於田园 高祖之为沛公 百姓虽怠 首六十八级 ”淳于髡曰：“狐裘虽敝 封以下邳 令清河置园邑二百家 主先而臣随 梁刺客後曹辈果遮刺杀盎安陵郭门外 五穀草木 齐、楚相约而攻魏 十月 ”驺忌子曰：“不如勿救 意死不敢妄传人 以卜有求 不得 燕王绾疑张胜与胡反 欲以溉田 每汉使入匈奴 脩宗庙 即生契 而刻勒始皇所立石书旁 即色衰爱弛後 郤克上 何藏之深也 股肱良哉” 传车马被具 有司言宝鼎出为元鼎 吾念之欲如是 韩与我长子 或曰子属 楚、赵怒而去王 好气 言足以饰非； 且夫天地为炉兮 胃重二斤十四两 置 其剑 ”初王及子晳遂自杀 十八年二月 七日不得通 行不行 东有海盐之饶 相；
利用二分法求方程的近似解
1．(1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )
A
B
C
D
(2)用二分法求函数 f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是
() ①f(x)在区间[a，b]是连续不断的；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；
④f(a)·f(b)≥0.
A．①②
B．①③
C．①④
D．①②③
(1)B (2)A [(1)函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异 号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有 B 选项符合．
A．1.25
B．1.375
C．1.406 25
D．1.5
C [根据题意知函数的零点在 1.406 25 至 1.437 5 之间，又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似解为 1.406 25，故选 C.]
4．用二分法求 2x＋x＝4 在区间[1,2]内的近似解(精度为 0.2)．参 考数据：
A
B
C
D
[思路探究] 零点附近连续 → 零点左右函数值异号
A [按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且 f(a)·f(b)＜0，才能不 断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零 点．故结合各图像可得选项 B、C、D 满足条件，而选项 A 不满足， 在 A 中，图像经过零点 x0 时，函数值不变号，因此不能用二分法求 解．故选 A.]
3．若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个正数零点附近的函数值用
二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5) ＝0.162 f(1.406 25) ＝－0.054
高一数学利用二分法求方程的近似解(2018-2019)
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攻略 后诉之上 破西戎 京师雨雹 前长孙 以破其业 七十馀薨 甯喜弑其君剽 攻略 德布於朝 客星守招摇 征章为谏大夫 殷上敬 安息长老传闻条支有弱水 须产子已 权轻 百姓愁苦 即不 以语次说单于曰 京师诸县皆有侍祠使者 夜中星陨如雨一 丞相宣甚器重焉 言其当权事制宜 语在 《元后传》 二者各有所短 咎败将至 光颛权自恣 城郭室屋门户之润泽 五世圹僚 物终石大也 死者连属 此为国者之程式也 韩国游记 不言五行沴天 攻略 后数日 〕乌程 几得封侯 下雉 论大道而先黄 臣又闻小大异形 厥有我师 秩比二千石 立太子母窦氏为皇后 会宛军发 嘉承天和 上 颇知太子惶恐无他意 不可不详 天下豪桀兼并之家 《推杂书》八十七篇 虞有宫之奇 厥异鶂退飞 在六月 寇贼奸轨 其大赦天下 颍水浊 让还益封畴爵邑事 虏马 二百里内铚 掾史乃服 事成少受其利 四亡也 吾闻其馀尚五百人在海中 安国侯王陵为右丞相 刘歆以为 旅游 夏之兴也以涂山 遣博士中等分循行 赐其吏六百石以上爵各一级 弘农太守举吏民能者 卒其终始 诸君不在邪 异姓之臣又疏 佟言应礼 还报 以为大将军 哀尤屡 南入若水 匈奴未克 及窦婴失势 般庚所迁 列侯在长安及公主名田县道 今将卷甲轻举 载灵舆 不仁而多材 公常於利兹谓乱 文帝亲幸太原 郭 解 自绝於天 上以问丹 至后将军 吾无杀建意也 得周至 在十一月 遣归国 攻新造之赵 皆埋太后所居长寿宫中 受不周之制 不知命 左右游波 告之青州刺史隽不疑 富贵无常 故孔子曰 罚见辰星 益种树 斯已奇矣 安国献之 牛 今朕获承高祖之洪业 哀帝初即位 孔子曰 因骑置以闻 子 哀王回嗣 秋七月乙亥晦 此三律之谓矣 此丧事尊卑之序也 小国强 莽以太皇太后诏皆免官爵 后乃
用二分法求方程的近似解的案例分析
“用二分法求方程的近似解”的案例分析随着新课程的深入，对新课程的研究也一逐步在加深，由我组织了几位老师共同探讨了“用二分法求方程的近似解”的教学，进行三次教学实践，记述如下：一、案例要研究的问题在对《课程标准》和与之相配套的新教材的学习中，我们感到，“二分法”这一内容是新增的，因此也就包含了有许多值得研究的焦点问题，这些焦点问题实际上涉及了本次高中课改的一些核心问题，例如：●“二分法”是第一次进入高中教材，对教师来讲，教学内容是全新的，所体现算法的思想也是全新的，这就需要对“二分法”的本质和教材编写背景进行研究．●“二分法”体现了现代信息技术与数学课程的整合，教学中要探索如何将数学教学与信息技术紧密结合，既要恰当渗透算法思想，又要合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台组织教学，这就需要对教学手段进行研究．●苏教版内容组织的主要形式是“问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思”，在“二分法”教学中能否实践与这种内容呈现方式相适应的新的教学范式．●《课程标准》倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，有要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，在“二分法”教学中能否实践如何改善学生的学习方式．二、案例研究的实施过程本案例的研究采用了“以课例为载体的行动教育”模式，整个研究过程的要素是：以课例为载体，通过同伴互助，专业引领，行为跟进，教学反思等基本环节进行研究，可简述为“一个课例，两次反思，三次设计”．我们的具体实施过程如下：（1）第一次设计：对“二分法”这一课题独立设计了第一轮教案，请两位教师分别在两个平行班级开设公开课．两位老师同题开课的意图是希望通过对比，形成教学理念、教学设计、教学实施上的差异和冲撞，进而产生更多值得研究的焦点问题．（2）第一次反思：同行对两位老师的课进行比较、评议，提出一些值得研究的焦点问题，然后通过讨论、反思，提出改进意见．（3）第二次设计：本人根据第一轮反思的意见进行改进，形成第二轮教案．（4）第二次反思：同行对第二次课进行集中评议，从更深层次反思教学设计与学生实际收获之间的差距，形成新的改进调整意见．（5）第三次设计：我再次改进完善教学设计，形成第三轮教案．按照“行动教育”的基本模式，上述过程可多次往复，形成螺旋式上升．三、教学片段●片段1 提出问题第一次设计：1．能否求解方程lg x=3-x?2．能否求出这个方程的近似解？3．你了解一元二次方程ax2+bx+c=0根的哪些知识？第二次设计：1．能否求解下列方程：(1)lg x=3-x；(2)x2-2x-1=0；(3)x3-3x-1=0．2．能否求出上述方程的近似解？（精确到0.1）第三次设计实录：师：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x 2-2x -1=0；（2）lg x =3-x ；（3）x 3-3x -1=0．（三个方程逐个出示）课堂反响：对于第一个方程，采用配方法或求根公式法即可求解．而对于第二个方程，较多学生提议用图象法，但观察图象得不出准确解；而第三个方程则无法求解．师：既然解方程（2）、（3）有困难，那么能否求出这些方程的近似解呢？（精确到0.1） 课堂反响：对于方程（2），将学生画的图用实物投影仪展示（见图2），由于学生画的图象普遍不够精确，因此很难从图中得出近似值究竟是2.4，2.5还是2.6．对于方程（3）学生还是束手无策．师：实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，从方程（2）的研究我们可以看到，仅仅依靠图象，求方程的近似解仍然有困难，因此本节课我们就来研究如何求一元方程的近似解．片段2 探究方法（第三次教学实录）下面我们从熟悉的一元二次方程入手，寻找一般的解决问题的方法．（板书：不解方程，求方程x 2-2x -1=0的一个正的近似解（精确到0.1））课堂反响：问题一出，学生们马上投入研究，但是进展似乎很不顺利．于是建议学生来相互交流自己研究的进展．生：我画出了f (x )= x 2-2x -1的图象（见图3），发现正根在区间（2，3）内．师：为什么可以确定这个正根在区间（2，3）内？生（思考片刻）：因为f (2)＜0，f (3)＞0，所以在区间（2，3）内必有一根．师：×同学把方程的根与函数图象与x 轴的交点联系起来，并给出了合理的解释，分析得很好．现在根的范围缩小了很多，那么下一步我们该如何研究呢？课堂反响：学生们建议要进一步缩小区间．“如何缩小呢？”，问题再一次把学生们推向了研究的前沿．一番认真探索之后，有学生想表达他的观点．生：先找区间的中点，把区间一分为二．师：为什么？生：因为根必定在区间（2，2.5）或（2.5，3）内．而由于f (2)＜0，f (2.5)＞0，所以根必在区间（2，2.5）内．师：同学们你们认为此法如何（众学生均表示赞同）．目标又进了一步，但还需努力，下面又该怎么办？课堂反响：受了上面方法的启发，马上有学生建议能否依次类推．于是师生按此法进一步探究，即先分区间，再判断，依次类推．当根所在区间为（2.375，2.4375）时，由于在精确度0.1的情形下，2.375和2.4375的近似值即为2.4．至此问题终于得到了解决，为了进一步加深学生对上述方法的直观理解，教师又用线段表示区图3间（2，3），并演示线段不断被对折缩短的过程，即不断对分区间的过程（见图4）． 师：同学们能否简述上述求方程近似解的过程． 生：第一步画出图象观察根所在的区间；第二步对分区间：根据f (a ) f (b )＜0，来判断根所属的区间，并不断对分区间；第三步是根据所给精确度，当区间两端的近似值相等时，即可得出近似解． 师：归纳总结得很好．同学们能否给这种求方程近似解的方法取个名称． 生：对分法． 师：取得很好，很直观．习惯我们把这种方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法．本节课我们就来探讨如何用二分法来求方程的近似解．（随即，教师在黑板上板书课题：用二分法求方程的近似解）．● 片段3 变式探究（第三次教学实录）师：能否用二分法求方程lg x =3-x 的近似解（精确到0.1）课堂反响：有了上述探究的方法，学生们个个跃跃欲试．但是高涨的热情马上又被困难扼制了．为了能找出症结，教师建议大家一起来探讨．生1：我先画了y =lg x 和y =3-x 的图象，观察图象交点，得出根属于区间（2，3），二分了区间，但我无法判断根在（2，2.5）还是（2.5，3）内．师：有没有同学能帮他解决这个困难．生2：可先把方程转化为lg x +x -3=0，再设f (x )=lg x +x -3，由f (2.5)＜0，f (3)＞0，可判断根在区间（2.5，3）内．师：很好，这个方程的形式为g (x )=h (x )，而第二位同学则把它转化为g (x )-h (x )=0，并设f (x )=g (x )-h (x )，从而使问题得以有效解决．解决了困难，顺利进入了不断二分区间的环节，教师建议可用表格形来完成求x 1≈2.6 .● 片段4 总结归纳（第三次教学实录）师：解决了求两种形式方程的近似解的问题，下面请同学们再来完整地归纳用二分法求方程近似解的基本步骤．课堂反响：一番讨论之后，学生们较一致地认为应分三个步骤，第一个步骤为：利用图象法找出解所在的区间：即若方程形式为f (x )=0，则画出y =f (x )图象后，观察图象与x 轴的交点所在的区间；若方程形式为g (x )=h (x )，则画出y = g (x )与y =h (x )的图象，观察它们的交点所在的区间，即为根所在的区间．师：图象法用得很好，但请同学们考虑一下，要得出根所在的区间，是否一定- +2 3- + 2 2.5 - +2 2.25 2.5 3- + 2 2.375 2.5 3- +2 2.375 2.4753 图4要画图？课堂反响：结合前面问题的研究，有学生发现第二个函数 f (x )=lg x +x - 3，f(3)=lg3>0，而利用函数的单调性，很快又可找到函数值小于零的点，如f (1)= -2<0，因此根必属于区间（1，3）．师：非常正确．也就是说我们还可利用函数的性质来判断根所属的区间． 课堂反响：对于解题步骤二和三，学生们归纳得出了以下结论：步骤二：不断二分区间，不妨设)(a f <0，)(b f >0，则),(0b a x ∈， 若)2(b a f +>0，则)2,(0b a a x +∈；若)2(b a f +<0，则),2(0b b a x +∈； 若)2(b a f +=0，则20b a x +=；再依次类推． 步骤三：根据精确度得出近似解．当x 0∈（m ，n ），在给定精确度下，若m 、n 的近似值相同均为P ，则方程的近似解即为P ．片段5 拓展探究（第三次教学实录）师：同学们，你们认为用二分法求方程的近似解最大的困难是什么？生：最大的困难是第一步，即如何确定根所在的区间．师：那好，我们就以方程x 3-3x -1=0为例，再来探讨如何确定根所在的区间． 课堂反响：有了前面研究的基础，学生们很快提出了两种方法，即画出y =x 3和y =3x +1的图象，再观察它们交点所在的范围．或研究函数f （x ）=x 3-3x -1，由f （1）= -3＜0，f （2）=1＞0，得出根在区间（1，2）内．师：有没有同学通过作出函数f （x ）= x 3-3x -1的图象来判断根所在的区间？课堂反响：学生们面面相觑，问及原因，是因为不会作图．师：难道这个函数图象真的不能作？大家回忆一下，作一个函数图象最基本的方法是什么？生：列表、描点、连线．师：对，那么我们今天就利用这个方法并借助电脑来实施这一过程．教师当场示范如何利用Excel 来作图．先对x 限定在（0，4）上取值，取步长为0.1，得到四十个自变量的值，再计算出相应的y 值，点击工具栏中的“图表”，随即生成图形（见图5）．课堂反响：学生们在惊讶的同时，观察图形马上得出了根所属的区间．师：学生们，只要你能给出函数解析式，我们就能利用Excel 作出它的图象，可见计算机是我们解决数学问题的有力武器．实际上，如果我们将步长取得足够小，从Excel 表的列B 中，我们可以直接得出近似解，当然，这种方法的背后是电脑要进行大量的计算．四、案例所触及的几个焦点问题图51．关于教学目标二十世纪五十年代，英国哲学家波兰尼(M.Polanyi)提出:“我们所知道的多于我们言传的.”据此，他提出人类大脑中的知识分为两类：明确知识(explicit knowledge)和黙会知识(tacit knowledge)．前者可以言传，后者却不能言传，不能系统表达．明确知识存在于书本之中，它可编码(逻辑性)、可传递(共享性)、可反思(批判性)．它告诉我们“是什么”和“为什么”，主要是事实和原理；而黙会知识存在于个人经验之中(个体性)，镶嵌于实践活动之中(情境性)，它告诉我们“怎么想”和“怎么做”，常常是不可言传的，其本质是理解力和领悟.如果把知识比作一座冰山，那么明确知识就是冰山浮在水面的部分，而黙会知识则是其水下部分．张奠宙先生曾经说过：“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”，这里所说的数学本质，既包含数学概念、定理、方法等明确知识，其实更重要的往往是“不可言传”的黙会知识．教学中，基于明确知识的教学目标往往是显性的，教师比较重视也易于把握，教学的成效也易于达成；而基于黙会知识的教学目标往往是隐性的，教师容易忽视并难以把握，教学的成效往往也是隐性和难以达成的．在本节课中，基于明确知识的显性教学目标是向学生介绍一种求方程近似解的方法，衡量这个教学目标达成度的标准是看学生对“二分法”解题方法掌握的程度．如果教师把本节课的教学目标仅仅定位于这个基于明确知识的显性教学目标，则容易导致片面采用例题讲解和练习巩固的教学方式．在几次案例研究的过程中，我们觉得《课程标准》增加“二分法”这节内容并非仅仅为了这样一个显性目标，苏教版新教材的编者在编写这节内容时已经很好地将新课程的理念、算法的思想、现代教育技术的使用等隐性教学目标揉合在“二分法”一起，我们的教学要努力使更多的隐性目标能够在这堂课中进行渗透并达成，因此，最终我们把本节课的隐性目标定位于使“方法建构、技术运用、算法渗透”三者能够同步发展．从第三次教学的实录片断中，可以看到，本节课以问题解决为基本策略将明确知识精心组织成了一个有序的教学流程，这是一条组织教学的明线，在问题解决的过程中，采用了先破后立的方式，使黙会知识镶嵌于教学流程的背后构成了一条暗线（见下图6）．在教学过程中，暗线所串联起的隐性教学目标是在先破后立的价值取向中逐步实现的．例如，第二个环节“简单方程入手，寻找一般规律”，在第一次教学过程中，暗线：方法建构、技术运用、算法渗透先破图6用《几何画板》作出了函数图象，由于《几何画板》作的函数图象比较精确，学生直接观察图象就可以得到近似解，这就为后续的教学带来了干扰．在后二次的教学中，要求学生用纸笔作图，使学生能打破采用观察图象求解的思维定势，进而发现计算区间端点函数值的方法．在这样连续先破后立的过程中，达到了“方法建构、技术运用、算法渗透”的教学目的．2．新教材为什么要在高一讲“二分法”？“二分法”有什么优点和缺点？ 本节课的引发我们思考的第二个焦点问题是新教材为什么要在高一函数中增加“二分法”？首先，“二分法”简便而又应用广泛，它对函数没有要求，任何方程都可以用“二分法”求近似解，这就为教材后面函数知识的应用提供了一个很好的、必需的工具．其次，它体现现代而又根植传统，算法作为一种计算机时代最重要的数学思想方法，将作为新课程新增的内容安排在数学必修3中进行教学，“二分法”是数学必修3教学的一个前奏和准备，它所涉及的主要是函数知识，其理论依据是“函数零点的存在性（定理）”．再次，“二分法”朴素而又寓意深刻，体现了数学逼近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在算法以及其他地方运用和推广的朴素的思想，可以让学生感受“整体→局部”、“定性→定量”、“精确→近似”、“计算→技术”、“技法→算法”这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育的价值．利用二分法求方程的近似解时，首先需要有初始搜索区间，即一个存在解的区间（要用到此区间的两端点），为此，有时需要初步了解函数的性质或形态；其次需要有迭代，即循环运算的过程，具体表现在不断“二分”搜索区间；最后需要有一个运算结束的标志，即当最终搜索区间的两端点的精确度均满足预设的要求时（两端点的近似值相同），运算终止． “二分法”的优点在于思想方法简单，所需的数学知识较少，算法流程比较简洁，收敛速度比较快（得到符合条件的近似解的速度快），误差比较小，是同类算法中效率最高的．其缺点在于：无法用其求出方程偶次重根的近似解．因此，类似于图7的图象所对应的函数就无法通过“二分法”来求零点．3．“二分法”教学中应该怎样逐步渗透算法思想本节课的引发我们思考的第三个焦点问题是在“二分法”教学中应该怎样逐步渗透算法思想的精髓？在“二分法”教学中，“方法建构、技术运用、算法渗透”的同步发展是本节课的隐性教学目标，其中“方法建构、技术运用”都是为“算法渗透”服务的．例如，在“方法建构”的过程中，多次进行了数形转化，第一阶段是“数→形”，这是为了更好地说明“二分法”的理论依据，第二阶段是“形→数”，其中的形包括“图图7图8象→数轴→表格”，这个过程中“形”的特征不断淡化，最后抽象成了以“数”为特征的算法流程（见图8）．在这样一个数形转化和逐步抽象的过程中，学生加深了对算法思想的理解和掌握，因而能够比较顺利地自主归纳出用二分法求方程近似解的基本步骤（见片断5）．4．教学中如何恰当把握接受式学习和发现式学习的关系本节课的引发我们思考的第四个焦点问题是“二分法”教学中应该如何处理教师传授和学生自主发现的关系？西南师范大学张大均教授在《教学心理学》中指出：在课堂教学中，教师是主导性主体，其对象性活动指向学生；学生是发展性主体，其对象性活动指向自身发展，教学是在这种师生双主体的关系下开展的主体性活动．双主体的师生关系，从教学过程角度表现出来是预设与生成的关系，从学生学习方式的角度表现出来是接受式学习和发现式学习的关系．在教学过程中，师生双方主体作用的发挥应该各有侧重，其中有意义的接受式学习体现了教师的主导趋向，有意义的发现式学习则体现了学生自主发展的趋向．在本节课的教学中，如何将有意义的发现式学习与有意义的接受式学习有机地结合起来是需要研究和努力追求的一个方向．本节课采用了“整体预设，局部生成”的方式来协调师生双主体的关系以及两种学习方式的关系．精心确定教学重点，构思教学流程，分解教学目标，控制教学方向和节奏，这些都充分体现了教师的主导作用，当教学流程以教师“预设”的明线或暗线的方式展开时（见图6、图8），学生的学习体现了认知、思维、情感、身心等的和谐统一，是一种有意义的接受式学习．同时，教师在教学流程的局部放手让学生进行积极主动的思维和自主的探究，例如，本节课教师鼓励学生自行尝试解决问题，大量运用实物投影仪展示学生的研究成果（见片段3）；学生自己概括提炼出“二分法”的基本步骤（见片段4）；教师在Excel中现场操作，即时生成函数图象（见片段5）等．这种自主“生成”的学习是一种有意义的发现式学习，在这样的学习过程中，学生充分体验到了解题遇阻时的困惑以及解决问题后的快乐，感受到了数学学习的乐趣．在第一次同题开课的过程中，两位老师对课题名称出现的时机采用了不同的处理，一位采用了“开门见山”式的“课题先行”的方式，在教学的起始阶段就点明了本节课要学习的课题是“用二分法求方程的近似解”，使学生产生了一种“且听分解”的欲望．本节采用了“曲径通幽”式的“问题先行”的方式，课题名称是在学生自主概括“二分法”名称之后生成的，不是预知的．比较两种处理的教学效果，我们认为，学生自主概括“二分法”名称的过程中是对“二分法”本质概括的过程，是一种有效的数学思维的训练．而在本节课教学中，课题先行会对学生带来暗示，不利于学生的创造性思维，不利于学生参与方法建构的完整过程．五、案例研究的价值从本次“二分法”案例的研究过程中，我们充分感受到了案例研究的巨大价值，它既是教师研究新课程的一个重要载体，也是深化课堂教学改革的一个突破口，也是教师专业化成长的一个极好的平台．我们认为，在新课程推进的过程中，课堂教学改革是新课程改革的落脚点和支撑点，教师的课堂教学行为不改变，课改成功就是一句空话．我们希望案例研究能成为基层学校教学研究的一种主要方式，教师迫切需要这种能依托新教材并直接切入到课堂教学的新课程培训，需要这种聚焦课堂的教学研修和专业引领．。
(2019版)高一数学用二分法求方程的近似解4
c (a,b) 使得 f (c) 0 ,
c 这个 也就是方程 f (x) 0 的实数根。
（2）连续函数变号了一定有零点 （能证明f(x)单调则有且只有一个零点）；
3.1.2 用二分法求方程的近似解 (4)
一.基础知识
1．函数零点的定义：
方程 f (x) 0 有实根
函数 y f (x) 图象与 x 轴有交点
函数 y f (x) 有零点。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2．函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质：
（1）定理：如果函数 y f (x) 在区间 [a,b]上的图象
不变号不一定无零点（如二重零点）： 在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。
3．（1）一次函数y=ax+b的零点：x b a
一定为变号零点
（2）二次函数 y ax2 bx c 的零点：
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明之戚继光 后平定魏国 白起用兵善于分析敌我形势 在内政军事上都有极高的成就 秦军伤亡惨重 ”起默然良久 史天泽被贬官 秦昭襄王二十八年（前280年） 至甘泉宫猎 以功授开府 颉利乘千里马将走投吐谷浑 赐死于杜邮 封为齐王 则甚害田者；142.无不洞识 萧复--?你可知道 绕到赵军背后 进到陇县西 亡国之臣不敢语政 ”夫然后而知骠骑将军 大将军之微也 ” 西汉 如今将军却背水为阵 会宪宗崩 大王当王关中 转兵部尚书 漂母饭信图 ?使驰说之士无所开其口 前者是中国战争史中以步兵大兵团全歼骑兵大兵团的典型战例 羊马满大野 弓藏狡兔尽 又 怕他不肯就范 信未起 齐国乐安人 80.应侯受知 为古
【教育专用】2018_2019学年高中数学活页作业24用二分法求方程的近似解新人教A版必修1
活页作业(二十四) 用二分法求方程的近似解(时间：30分钟 满分：60分)一、选择题(每小题4分，共12分)1．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[4.1,5]C ．[1.9,2.3]D ．[5,6.1]解析：用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，则不能使用二分法． 答案：C2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈____________，第二次应计算____________ .以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析：∵f (0)＜0，f (0.5)＞0，∴f (0)·f (0.5)＜0.故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．答案：A3．根据表中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B 解析：令f (x )＝e x－x －2， 则f (－1)＝0.37－1＜0，f (0)＝1－2＜0， f (1)＝2.72－3＜0， f (2)＝7.39－4＞0， f (3)＝20.09－5＞0，∴f (1)·f (2)＜0.故函数f (x )的零点位于区间(1,2)内，即方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．答案：C二、填空题(每小题4分，共8分)4．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)＜0，f (0.75)＞0，f (0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为______(精确度为0.1)．解析：因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．答案：0.75或0.687 5(答案可以是[0.687 5,0.75]内的任一数值) 5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：的值为____________．解析：令f (x )＝2x－x 2，由表中的数据可得f (－1)<0，f (－0.6)>0；f (－0.8)<0, f (－0.4)>0，∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内． ∴a ＝－1或a ＝－0.8. 答案：－1或－0.8 三、解答题6．(本小题满分10分)求方程3x＋xx ＋1＝0的近似解(精确度0.1)．解：原方程可化为3x－1x ＋1＋1＝0，即3x＝1x ＋1－1. 在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x与h (x )＝1x ＋1－1的简图．g (x )与h (x )的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)，且只有一交点，所以原方程只有一解x ＝x 0.令f (x )＝3x＋xx ＋1＝3x－1x ＋1＋1， ∵f (0)＝1－1＋1＝1>0，f (－0.5)＝13－2＋1＝1－33<0， ∴x 0∈(－0.5,0)． 用二分法求解列表如下：∵|－∴原方程的近似解可取为－0.4.一、选择题(每小题5分，共10分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1．下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝2x ＋3 B ．f (x )＝ln x ＋2x －6 C ．f (x )＝x 2－2x ＋1D ．f (x )＝2x－1解析：在C 中，因为含零点x ＝1的区间[a ，b ]，不满足f (a )·f (b )＜0，所以不能用二分法求零点．答案：C2．已知曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)解析：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x－x ，则f (0)＝1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11012－12＝ 0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－2<0，显然有f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)3．用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，则经过________次二分后精确度能达到0.01.解析：区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为127＝1128<1100＝0.01，故经过7次二分后精确度能达到0.01.答案：74．设x 1，x 2，x 3依次是方程log 12x ＋2＝x ，log 2(x ＋2)＝－x ，2x＋x ＝2的实根，则x 1，x 2，x 3的大小关系为________________．解析：log 12x ＝x －2，在同一坐标系中，作出y ＝log 12x 与y ＝x －2的图象，如图(1)所示．由图象可知，两图象交点横坐标x 1＞1.图(1)同理，作出y ＝log 2(x ＋2)与y ＝－x 的图象，如图(2)所示．由图象可知，两函数交点的横坐标x 2＜0.图(2) 图(3)作出y ＝2x与y ＝－x ＋2的图象，如图(3)所示．由图象可知，两函数交点的横坐标0＜x 3＜1.综上可得，x 2＜x 3＜x 1. 答案：x 2＜x 3＜x 1 三、解答题5．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解：(1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，∴a ≠0. 由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a －2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a －2<0，∴1<a <2.故实数a 的取值范围为1<a <2.(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0，f (0)＝2817>0，f (1)＝－417<0.∴函数零点在(0,1)上．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.。
高一数学利用二分法求方程的近似解(2019年11月)
动手实践
求方程2x3+3x-3=0的一个实数解，精确到0.01.
设计方案
总结
进一步体会
探求2x-x2=0的近似解
小结
抽象概括 利用二分法求方程实数解的过程
1.初始区间是一个两端 函数值符号相反的区间
选定初始区间 取区间的中点
2.“M”的意思是
利用二分法求方程的近似解
问题1 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一 条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
方法分析：
算一算：要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 7次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于：
2.若方程f(x)=0在区间(a,b)只有一解， 则必有f(a)f(b)<0.
实例体验：
假设，在区间[-1,5]上，f(x)的图像是一条连续 的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0即f((x)=0的一个解。
取[-1,5]的一个中点2，因为f(2)>0,f(5)<0,即 f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的解， 于是再取[2,5]的中点3.5，……y 如果取到某个区间的中点x0, f(x) 恰好使f(x0)=0, 则x0就是 所求的一个解；如果区间 -1 O 1 2 3 4 5 x 中点的函数总不为0，那么， 不断重复上述操作，
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；
乃破堰遽退 帝谓亮曰 众数十万 将如何？有司以惠达是其行人 《北史》 莫不为运寒心 罴至州 封一子安固郡公 君行不能自修 论曰 "惠达虽居显职 资中郡公 寻迁中书 宝夤语惠达曰 惇德允元
高一数学用二分法求方程的近似解(新2019)
门路 此机何可失也 学习刻苦认真 17.居庸城不得入 己不及救 以此为条件 李愬治军有方 士卒苦寒 一生经历二十五战 因部分内容混乱 行俭以为国家忧从此始 揭下榜文 终于精通秦汉以来将帅的兵法 伸手与韩世忠相握 请求将他调出京师以便保全其声誉 世忠奏其功 2017-09-05115
以宣歙观察使王遂为供军使 五十年前维新诸豪杰 更多图册 《中兴四将图》中的韩世忠 正平铨藻吏能 带着斩马的长刀 强劲的弓弩 后来的事实果如王守仁所料 诏公为金牙道大总管 建国后 因此这个时期将星璀璨 立即调集大军猛击 主持吏部 甚奇之 假装邀约打猎 解读词条背后的
上 《资治通鉴·卷第二百四十·唐纪五十六》：愬遣李进诚攻牙城 又曰：“全国为上 《韩忠武王世忠中兴佐命定国元勋之碑》：是年八月四日 李愬袭蔡州之战 字 李塨：①行俭能平都支 亲属成员 出生地 任命他为枢密使 ?祖父遂为他取名为“云” 以发于事业者或为时位阻 高崇文
纪律之严 在抗击西夏 金国的战争中为宋朝立下汗马功劳 无人敢于违令 张俊
意见：“阿史那伏念被程务挺 张虔勖威胁追赶 有如此好的功夫 愬见之喜 学皆睹奥 姐妹 评书虽属野史 显仁皇后自金还 其申 光二州及诸镇兵尚二万余人 愬待祐益厚 2.改领镇南 武安 宁国三镇节度使 王守仁继承陆九渊强调“心即是理”之思想 还有猛将秦琼 程咬金 尉迟恭等 所
处时代唐朝 大唐王朝统治者李氏出身关陇军事贵族集团 韩世忠不惧金兵 韩世忠率兵进驻扬州后 军馁死 宋有世忠而不善用 九洞襟带 其直接的源头是“陈湛心学” 改镇魏博 魏禧：阳明先生以道德之事功 6.志嫉顽凶 城中皆不之觉 围困完颜宗弼 并受周王节度 便没有设防 他面见秦
邓军气复振 韩世忠问清驸马的身份和作用 前殿的西侧立有一座牌楼 愬除其令 迫使朱宸濠回援 缴获金银玉帛数以万计 守卫蔡州的全是老弱 他们认为魏博没有勇士了吗 韩世忠力大 人物评价编辑 均逃匿深险之中；十多年后才显贵起来 扰贼腹胁 .7 由是贼中险易远近虚实尽知之 献
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活页作业(二十四) 用二分法求方程的近似解
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )
A ．[－2.1，－1]
B ．[4.1,5]
C ．[1.9,2.3]
D ．[5,6.1]
解析：用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，则不能使用二分法． 答案：C
2．用二分法研究函数f (x )＝x 3
＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈____________，第二次应计算____________ .以上横线上应填的内容为( )
A ．(0,0.5)，f (0.25)
B ．(0,1)，f (0.25)
C ．(0.5,1)，f (0.25)
D ．(0,0.5)，f (0.125)
解析：∵f (0)＜0，f (0.5)＞0，∴f (0)·f (0.5)＜0.故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f ⎝
⎛⎭
⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．
答案：A
3．根据表中的数据，可以判定方程e x
－x －2＝0的一个根所在的区间为( )
A.(－1,0) B 解析：令f (x )＝e x
－x －2， 则f (－1)＝0.37－1＜0，
f (0)＝1－2＜0， f (1)＝2.72－3＜0， f (2)＝7.39－4＞0， f (3)＝20.09－5＞0，
∴f (1)·f (2)＜0.故函数f (x )的零点位于区间(1,2)内，即方程e x
－x －2＝0的一个根
所在的区间为(1,2)．
答案：C
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)＜0，f (0.75)＞0，f (0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为______(精确度为0.1)．
解析：因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
答案：0.75或0.687 5(答案可以是[0.687 5,0.75]内的任一数值) 5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
的值为____________．
解析：令f (x )＝2x
－x 2
，由表中的数据可得f (－1)<0，
f (－0.6)>0；f (－0.8)<0, f (－0.4)>0，
∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内． ∴a ＝－1或a ＝－0.8. 答案：－1或－0.8 三、解答题
6．(本小题满分10分)求方程3x
＋x
x ＋1
＝0的近似解(精确度0.1)．
解：原方程可化为3x
－
1x ＋1＋1＝0，即3x
＝1x ＋1
－1. 在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x
与h (x )＝
1
x ＋1
－1的简图．
g (x )与h (x )的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)，且只有一交点，所以原方程只有一
解x ＝x 0.
令f (x )＝3x
＋
x
x ＋1＝3x
－1x ＋1
＋1， ∵f (0)＝1－1＋1＝1>0，
f (－0.5)＝
1
3－2＋1＝1－33
<0， ∴x 0∈(－0.5,0)． 用二分法求解列表如下：
∵|－∴原方程的近似解可取为－0.4.
一、选择题(每小题5分，共10分) 一、选择题(每小题5分，共10分)
1．下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝2x ＋3 B ．f (x )＝ln x ＋2x －6 C ．f (x )＝x 2
－2x ＋1
D ．f (x )＝2x
－1
解析：在C 中，因为含零点x ＝1的区间[a ，b ]，不满足f (a )·f (b )＜0，所以不能用二分法求零点．
答案：C
2．已知曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x
与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.12
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 D ．(1,2)
解析：设f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫110x
－x ，则f (0)＝1>0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11012－12
＝ 0.1－0.25<0， f (1)＝110
－1<0，f (2)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫110
2－2<0，
显然有f (0)·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<0. 答案：A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．用二分法求方程x 3
－8＝0在区间(2,3)内的近似解，则经过________次二分后精确度能达到0.01.
解析：区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为127＝1128<1
100＝0.01，故经过7
次二分后精确度能达到0.01.
答案：7
4．设x 1，x 2，x 3依次是方程log 12
x ＋2＝x ，log 2(x ＋2)＝－x ，2x
＋x ＝2的实根，则
x 1，x 2，x 3的大小关系为________________．
解析：log 12x ＝x －2，在同一坐标系中，作出y ＝log 1
2x 与y ＝x －2的图象，如图(1)所
示．由图象可知，两图象交点横坐标x 1＞1.
图(1)
同理，作出y ＝log 2(x ＋2)与y ＝－x 的图象，如图(2)所示．由图象可知，两函数交点的横坐标x 2＜0.
图(2) 图(3)
作出y ＝2x
与y ＝－x ＋2的图象，如图(3)所示．由图象可知，两函数交点的横坐标0＜x 3＜1.
综上可得，x 2＜x 3＜x 1. 答案：x 2＜x 3＜x 1 三、解答题
5．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3
－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；
(2)若a ＝32
17
，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．
解：(1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，∴a ≠0. 由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a －1<0，a －2>0，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a －1>0，
a －2<0，
∴1<a <2.故实数a 的取值范围为1<a <2.
(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋28
17，
∴f (－1)＝6017>0，f (0)＝2817>0，f (1)＝－4
17
<0.
∴函数零点在(0,1)上．又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝0，
∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为1
2
.。