2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)课件：第十章 第2讲 复数的概念及运算
高三复数复习课件
三角函数图像的绘制方法
利用MATLAB绘制三角函数图像
使用MATLAB的绘图功能，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
利用Python绘制三角函数图像
使用Python的matplotlib库，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
04
复数在解方程中的应用
一元二次方程的解法及其应用
实数根与虚数根
一元二次方程的解可以是 实数或虚数，通过判别式
复数解的形式
二元一次方程组的解也可 以表示为复数形式，包括 实部和虚部。
在几何中的应用
二元一次方程组的解可以 表示平面上的点，通过几 何意义可以直观地理解方 程组的意义。
多元一次方程组的解法及其应用
01
消元法与代入法
多元一次方程组可以通过消元法和代入法求解，得到多个未知数的值。
02
复数解的形式
多元一次方程组的解也可以表示为复数形式，包括实部和虚部。
谢谢您的聆听
THANKS
复数的表示方法
复数可以用平面坐标系中的点来 表示，实部为横坐标，虚部为纵 坐标。
复数的性质及其运算规则
复数的性质
复数具有实部和虚部，可以比较大小，可以进行四则运算等 。
复数的运算规则
复数的加法、减法、乘法和除法运算都有特定的规则，需要 掌握。
复数的几何意义与坐标表示
复数的几何意义
复数可以用平面坐标系中的点来表示 ，也可以用向量来表示。
利用复数计算三角函数的值
对于复数$z = a + bi$，其三角形式为$r(\cos \theta + i \sin \theta)$，则 $\sin z = \sin \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$，$\cos z = \cos \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$。
《复数基础知识》课件
02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。
[原创]2017年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第10讲 函数与方程[配套课件]
![[原创]2017年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第10讲 函数与方程[配套课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/5dbf733fa5e9856a5612609d.png)
图 D10 答案：D
考点 3 二分法的应用 例 3：已知函数 f(x)＝lnx＋2x－6.
(1)求证：函数 f(x)在其定义域上是增函数；
(2)求证：函数 f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过 1 . 4 (1)证明：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 设 x1<x2，则lnx1<lnx2， 2x1<2x2. ∴lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
a>0， 2 Δ＝－12a ＋4a＋1>0， 1 －1<－2a<1， f(1)≥0， f(－1)≥0 解得 a∈∅. 综上所述，实数 a
a<0， 2 Δ＝－12a ＋4a＋1>0， 1 或－1<－2a<1， f(1)≤0， f(－1)≤0.
1 的取值范围为0，2.
方法二，当 a＝0 时，f(x)＝x－1，令 f(x)＝0，得 x＝1，是 区间[－1,1]上的零点． 当a≠0 时，f(x)＝ax2＋x－1＋3a在区间[－1,1]上有零点⇔(x2 1－x ＋3)a＝1－x 在区间[－1,1]上有解⇔a＝ 2 在区间[－1,1]上有 x ＋3 解． 1－x 问题转化为求函数 y＝ 2 在区间[－1,1]上的值域． x ＋3 设 t＝1－x，由 x∈[－1,1]，得 t∈[0,2]．
＝3－f(2－x)，则函数 y＝f(x)－g(x)的零点的个数为( A．2 B．3 C．4
)
D．5
解析：当 x＜0 时，2－x＞2，所以 f(x)＝2－|x| ＝2＋x， f(2－x)＝x2，此时 y＝f(x)－g(x)＝f(x)－3＋f(2－x)＝2＋x－3＋x2 1＋ 5 ＝x ＋x－1，小于零的零点为 x＝－ 2 ；当 0≤x≤2 时，所
南方新课堂广东高考数学理科一轮总复习配套课件9.2等差数列
7.等差数列的最值
大 值；若 在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最______ 小 a1<0，d>0，则Sn存在最______ 值.
1.已知等差数列{an}中，a2＝3，a6＝11，则 a7＝( A ) A.13 B.12 C.11 D.10 2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a6＝11，
故 an＝－3n＋5，或 an＝3n－7.
(2)当 an＝－3n＋5 时，a2，a3，a1 分别为－1，－4,2，不成
等比数列；
当 an＝3n－7 时，a2，a3，a1 分别为－1,2，－4，成等比数
列，满足条件.
－3n＋7，n＝1，2， 故|an|＝|3n－7|＝ 3n－7，n≥3.
【方法与技巧】在解决等差数列的问题时，已知a1，an， d，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”， 而求得a1和d是解决等差数列{an}所有运算的基本思想和方法.
【互动探究】
1.(2013年广东潮州二模)已知等差数列{an}的首项a1＝1，
前3项之和为S3＝9，则{an}的通项an＝________. 2n－1
考点 2 求等差数列的前 n 项和 例2: (2012年湖北)已知等差数列{an}前3项的和为－3，前3
项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.
3a1＋3d＝－3， 由题意，得 a1a1＋da1＋2d＝8. a1＝2， 解得 d＝－3 a1＝－4， 或 d＝3.
5.(2013 年广东肇庆一模)在等差数列{an}中，a15＝33，a25 ＝66，则 a35＝________. 99
《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)模拟试卷(一) Word含解析
3．A 解析：依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，设首项 a1＝4，则 a5 ＝2.由等差数列性质，得 a2＋a4＝ a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为 6 斤．故 选 A.
22．(本小题满分 10 分)选修 44：极坐标与参数方程
(2017 年广东调研)已知曲线 C1 的参数方程为Error!(α 为参数)，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos θ－2ρsin θ－3＝0.
(1)分别写出曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程； (2)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 P，Q 两点，求△POQ 的面积．
17．(本小题满分 12 分)(2017 年广东深圳一模)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c，已知 2a＝ 3csin A－acos C.
(1)求 C；
(2)若 c＝ 3，求△ABC 的面积 S 的最大值．
18．(本小题满分 12 分)(2017 年广东梅州一模)某集团获得了某地深海油田区块的开采
2019 年高考数学(理科)模拟试卷(一)
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟)
第Ⅰ卷(选择题 满分 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．(2017 年江西南昌二模)已知集合 A＝{x|y＝lg(3－2x)}，B＝{x|x2≤4}, 则 A∪B＝( ) A.Error! B．{x|x<2} C.Error! D．{x|x≤2} 2．(2017 年北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值 范围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 3．(2017 年广东茂名一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长 五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金 箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问 第二尺与第四尺的重量之和为( ) A．6 斤 B．9 斤 C．9.5 斤 D．12 斤 4．(2017 年北京)某三棱锥的三视图如图 M11，则该三棱锥的体积为( )
【精品】2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：模拟试卷(二)含解析
2019年高考数学(理科)模拟试卷(二)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2017年广东广州一模)若集合M ＝{x ||x |≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅2．“1<x <π2”是“(x －1)tan x >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2017年山东)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 34．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C. 5 D ．55．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D．(0，＋∞)6．(2017年河南洛阳三模)利用如图M21所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x 2＋y 2＝25内的个数为( )图M21A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 7．(2017年广东惠州三模)某个几何体的三视图如图M22，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积是( )图M22A ．4π B.28π3 C.44π3D ．20π8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为53，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1B.x 218－y 232＝1C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 264＝1 9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2x ，x ＋1x＋a x 的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2] 10．(2017年广东惠州三模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的最小正周期是π，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0，1)，则f (x )＝sin(ωx ＋φ)( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增 11．已知A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，O 为坐标原点，动点P (a ，b )满足0≤OP →·OA→≤2，且0≤OP →·OB →≤2，则动点P 到点C 的距离大于14的概率为( )A ．1－5π64 B.5π64C ．1－π16 D.π1612．(2017年天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－2 3，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3，3916 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．14．(2017年山东)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝____________.15．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．16．(2017年广东惠州三模)已知在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，∠ACB ＝π6，若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2017年广东惠州三模)已知等差数列{a n }满足(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋…＋(a n ＋a n ＋1)＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n .18．(本小题满分12分)(2017年天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 19．(本小题满分12分)(2017年广东湛江二模)如图M23，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，二面角A A 1B C 是直二面角，AB ＝BC ＝2，点M 是棱CC 1的中点，三棱锥M BCA 1的体积为1.(1)证明：BC ⊥平面ABA 1；(2)求直线MB 与平面BCA 1所成角的正弦值．图M2320．(本小题满分12分)(2017年广东汕头一模)已知O 为坐标原点，圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F (1,0)，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ，点Q 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E 与y 轴的交点分别为B 1，B 2，直线B 1P 和B 2P 分别与x 轴相交于C ，D 两点，请问线段长之积|OC |·|OD |是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；(3)在(2)的条件下，若点C 坐标为(－1,0)，设过点C 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值．21．(本小题满分12分)(2017年广东深圳一模)已知函数f (x )＝x ln x ，e 为自然对数的底数．(1)求曲线y ＝f (x )在x ＝e －2处的切线方程；(2)关于x 的不等式f (x )≥λ(x －1)在(0，＋∞)上恒成立，求实数λ的值；(3)关于x 的方程f (x )＝a 有两个实根x 1，x 2，求证：|x 1－x 2|<2a ＋1＋e －2.请考生在第22～23两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程(2017年广东广州一模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t(t 为参数)．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线C ：ρ＝2 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲(2017年广东茂名一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)若a ＝1，解不等式f (x )<6；(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．2019年高考数学(理科) 模拟试卷(二)1.C 解析：集合M ＝{x |－1≤x ≤1}，N ＝{y |0≤y ≤1}，故有N ⊆M .2．A 解析：因为1<x <π2，所以x －1>0，tan x >0，即(x －1)tan x >0，反之不成立．故选A.3．A 解析：由z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，得a 2＋3＝4，所以a ＝±1.故选A. 4．C 5.B6．C 解析：由程序框图知，i ＝6时，打印第一个点(－3,6)，在圆x 2＋y 2＝25外， i ＝5时，打印第二个点(－2,5)，在圆x 2＋y 2＝25外， i ＝4时，打印第三个点(－1,4)，在圆x 2＋y 2＝25内， i ＝3时，打印第四个点(0,3)，在圆x 2＋y 2＝25内， i ＝2时，打印第五个点(1,2)，在圆x 2＋y 2＝25内， i ＝1时，打印第六个点(2,1)，在圆x 2＋y 2＝25内，∴打印的点在圆x 2＋y 2＝25内的有4个． 故选C.7．B 解析：由三视图可知该几何体为棱长均为2的正三棱柱．设球心为O ，小圆的圆心为O 1，球的半径为R ，小圆的半径为r ，则R 2＝r 2＋O 1O 2.即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 32＋1＝73.∴S ＝28π3.故选B. 8．A 9.D10．B 解析：ω＝2, f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π3个单位长度后得到的函数是y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3，其图象过(0,1)，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋2π3＝1.∵－π<φ<0，∴φ＝－π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选B. 11．A 解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2a ＋b ≤2，0≤a －2b ≤2，画出可行域(图略)可知点P 的运动区域为以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15为中心且边长为2 55的正方形，而点P 到点C 的距离小于或等于14的区域是以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15为圆心，14为半径的圆以及圆的内部，则所求概率为45－π1645＝1－5π64.12．A 解析：不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 可转化为－f (x )≤x2＋a ≤f (x )，(*)当x ≤1时，(*)式即为－x 2＋x －3≤x 2＋a ≤x 2－x ＋3，－x 2＋x 2－3≤a ≤x 2－32x ＋3，又－x 2＋x 2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716≤－4716，当x ＝14时取等号；x 2－32x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916≥3916，当x ＝34时取等号，所以－4716≤a ≤3916.当x >1时，(*)式为－x －2x ≤x 2＋a ≤x ＋2x ，－32x －2x ≤a ≤x 2＋2x，又－32x －2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋2x ≤－2 3，当x ＝2 33时取等号； x 2＋2x≥2 x 2×2x＝2，当x ＝2时取等号， 所以－2 3≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是－4716≤a ≤2.故选A.13.3－1 解析：由直线方程y ＝3(x ＋c )⇒直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c,0)，∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1＝π3，∴∠MF 2F 1＝π6.∴∠F 1MF 2＝π2.即F 1M ⊥F 2M .∴在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|＝2c ，|F 1M |＝c ，|F 2M |＝3c .∴由椭圆的第一定义可得2a ＝c ＋3c ，∴c a ＝21＋3＝3－1. 14．4 解析：由二项式定理的通项公式T r ＋1＝C r n (3x )r ＝C r n 3r x r ，令r ＝2，得C 2n 32＝54.解得n ＝4.15.3516. 3 解析：因为线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，∠ACB ＝π6，所以AB 2＝AC 2＋BC 2－2×AC ×BC ×cos π6＝2，即AB ＝ 2.所以AB ＝AC .所以∠B ＝∠ACB ＝π6.在△BCD 中，根据正弦定理BCsin ∠D ＝CDsin ∠B⇔622＝CD12⇒CD ＝ 3. 17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 1＋a 2＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＋a 3＝8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d ＝4，a 1＋d ＋a 1＋2d ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)，得a n 2n －1＝2n －12n －1.所以S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1， ①12S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n . ② ①－②，得12S n ＝1＋1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n .所以S n ＝6－4n ＋62n .18．(1)解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X X 01 2 3 P 141124 14 124 随机变量X 的数学期望E (X )＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝1312.(2)设Y 表示第1辆车遇到红灯的个数，Z 表示第2辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (X ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)×P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)×P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.19．(1)证明：过A 在平面ABA 1内作AH ⊥A 1B ，垂足为H ，如图D207. 由题可知平面ABA 1⊥平面BCA 1，且平面ABA 1∩平面BCA 1＝BA 1， ∴AH ⊥平面BCA 1.又BC ⊂平面BCA 1，∴AH ⊥BC .由题直三棱的性质可知AA 1⊥BC ，AA 1∩AH ＝A . ∴BC ⊥平面ABA 1.图D207(2)解：设AA 1＝a ，而1-A MBC V ＝1-M BCA V ＝1.由(1)知AB ⊥BC ，结合直棱柱的性质知AB ⊥平面BCM . ∵AA 1∥平面BCM ，∴A 1到平面BCM 的距离等于AB ＝2，得1-A MBC V ＝13·AB ·S △BCM ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×a 2＝a 3＝1⇔a ＝3.以B 为原点，BC ，BA ，BB 1分别作为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则M ⎝⎛⎭⎪⎫2，0，32，C (2,0,0)，A 1(0,2,3)． 则BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，0，32，BC →＝(2,0,0)，BA 1→＝(0,2,3)．设平面BCA 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，2y ＋3z ＝0，令y ＝3，得一个法向量n ＝(0，－3,2)．∴cos 〈BM →，n 〉＝BM →·n |BM →||n |＝322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322×－2＋22＝61365. 故直线MB 与平面BCA 1所成角的正弦值为61365.20．解：(1)依题意，可得圆M 的圆心坐标为M (－1,0)，半径为r ＝4，|QN |＝|QF |， 则|QN |＋|QM |＝|QF |＋|QM |＝r ＝4>|MF | .根据椭圆定义，曲线E 是以M (－1,0)，F (1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1.∴b ＝a 2－c 2＝ 3.∴曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，直线B 1P 方程为 y ＝y 0＋3x 0x －3，令y ＝0，得x C ＝3x 03＋y 0，同理可得x D ＝3x 03－y 0.∴|OC |·|OD |＝|x C |·|x D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x 0 3＋y 0·⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x 0 3－y 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x 203－y 20.∵点P 是点E 上且不在坐标轴上的任意一点，∴x 204＋y 203＝1.∴3x 20＝12－4y 20＝4(3－y 20)．∴|OC |·|OD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x 203－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－y 203－y 20＝4. ∴|OC |·|OD |的定值为4.(3)当点C 的坐标为(－1,0)时，点D (－4,0)，|CD |＝3. 设直线l 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y23＝1消去x 并整理，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0.解得y 1＝3m －6m 2＋13m 2＋4，y 2＝3m ＋6m 2＋13m 2＋4. ∴|y 1－y 2|＝12m 2＋13m 2＋4. ∴S △ABD ＝12|CD |·|y 1－y 2|＝32×12m 2＋13m 2＋4＝18m 2＋13m 2＋4＝183m 2＋1＋1m 2＋1.∵m 2≥0，∴m 2＋1≥1.又y ＝3x ＋1x在[1，＋∞)上为增函数．∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥3×1＋11＝4.∴S ≤184＝92.∴当m ＝0，即直线AB 的方程为x ＝－1时，△ABD 的面积最大，最大值是92.21．(1)解：对函数f (x )求导得f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，∴f ′(e －2)＝ln e －2＋1＝－1.又f (e －2)＝e －2ln e －2＝－2e －2，∴曲线y ＝f (x )在x ＝e －2处的切线方程为y －(－2e －2)＝－(x －e －2)，即y ＝－x －e－2.(2)解：记g (x )＝f (x )－λ(x －1)＝x ln x －λ(x －1)，其中x >0， 由题意知g (x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即g (x )min ≥0. 对g (x )求导得g ′(x )＝ln x ＋1－λ.令g ′(x )＝0，得x ＝e λ－1.当x∴g (x )min 极小值∴λ－e λ－1≥0.记G (λ)＝λ－e λ－1，则G ′(λ)＝1－e λ－1. 令G ′(λ)＝0，得λ＝1.当λ∴G (λ)max 极大值故λ－e λ－1≤0，当且仅当λ＝1时取等号．又λ－e λ－1≥0，从而得到λ＝1.(3)证明：先证f (x )≥－x －e －2，记h (x )＝f (x )－(－x －e －2)＝x ln x ＋x ＋e －2， 则h ′(x )＝ln x ＋2.令h ′(x )＝0，得x ＝e －2.当x∴h (x )min 极小值∴h (x )≥0恒成立，即f (x )≥－x －e －2.记直线y ＝－x －e －2，y ＝x －1分别与y ＝a 交于点(x 1′，a )，(x 2′，a )，不妨设x 1<x 2，则a ＝－x 1′－e －2＝f (x 1)≥－x 1－e －2.从而x 1′<x 1，当且仅当a ＝－2e －2时取等号．由(2)知，f (x )≥x －1，则a ＝x 2′－1＝f (x 2)≥x 2－1. 从而x 2≤x 2′，当且仅当a ＝0时取等号．故|x 1－x 2|＝x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝(a ＋1)－(－a －e －2)＝2a ＋1＋e －2. 因等号成立的条件不能同时满足，故|x 1－x 2|<2a ＋1＋e －2.22．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t 消去t ，得x ＋y －4＝0.所以直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0.由ρ＝2 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y, 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)方法一，设曲线C 上的点为P (1＋2cos α，1＋2sin α)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|1＋2cos α＋1＋2sin α－4|2＝|2α＋cos α－2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22.当sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时， d max ＝2 2. 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.方法二，设与直线l 平行的直线为l ′：x ＋y ＋b ＝0.当直线l ′与圆C 相切时， 得|1＋1＋b |2＝2，解得b ＝0或b ＝－4(舍去)． 所以直线l ′的方程为x ＋y ＝0.所以直线l 与直线l ′的距离为d ＝|0＋4|2＝2 2.所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2. 23．解：(1)当a ＝1时，f (x )<6， 即|2x －1|＋|2x ＋3|<6， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32，1－2x －2x －3<6，或⎩⎪⎨⎪⎧－32<x <12，2x ＋3＋1－2x <6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1＋2x ＋3<6.∴－2<x ≤－32或－32<x <12或12≤x <1.∴－2<x <1.∴不等式f (x )<6的解集为{ x |－2<x < }1.(2)对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则有{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 从而|a ＋3|≥2，解得a ≤－5或a ≥－1.故实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．。
高考数学一轮复习课件-第十章复数的概念及运算广东版
答案：D
(4)(2020 年全国Ⅲ)复数1－1 3i的虚部是(
A.－130
B.－110
1 C.10
) 3
D.10
解析：因为 z＝1－1 3i＝1－13＋i13＋i 3i＝110＋130i， 所以复数 z＝1－1 3i的虚部为130.
答案：D
(5)(多选题)设复数 z＝－12＋ 23i，则以下结论正确的是
是(1,2)，则 i·z＝( )
A.1＋2i
B.－2＋i
C.1－2i
D.－2－i
解析：由题意得 z＝1＋2i，∴i·z＝i－2.
答案：B
(2)(202X 年全国Ⅱ)设 z＝－3＋2i，则在复平面内－z 对应的
点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：－z ＝－3－i，对应的点为(－3，－1)位于第三象限.
是实数，则 a＝( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析：因为(a－1)＋(a－2)i 为实数，所以 a－2＝0，∴a＝2
故选 C.
答案：C
(3)(2020 年全国Ⅲ)若－z (1＋i)＝1－i，则 z＝( )
A.1－i
B.1＋i
C.－i
D.i
解析：因为－z ＝11－ ＋ii＝1＋1i－1i－2 i＝－22i＝－i，所以 z＝i.
题组二 走进教材 2.(选修 2－2P63 第 1 题改编)若复数 z＝1＋2i，其中 i 是虚 数单位，则z＋－1z ·－z ＝__________. 解析：z＝1＋2i，－z ＝1－2i，则z＋－1z ·－z ＝1＋2i＋1－1 2i (1－2i)＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝12－(2i)2＋1＝1＋4＋1＝6.
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)课件：第十章 第4讲 第2课时 绝对值不等式
所以不等式 f(x)<4 的解集为x－12<x<72
.
(2)|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，
当且仅当(x－a)(x－1)≤0 时等号成立.
由|a－1|≥2，得 a≤－1，或 a≥3.
所以 a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).
考点 3 绝对值不等式中的恒成立问题 例 4：(2017 年广东惠州三模)已知函数 f(x)＝|x|＋|x＋1|. (1)若∀x∈R，恒有 f(x)≥λ成立，求实数λ的取值范围； (2)若∃m∈R，使得 m2＋2m＋f(t)＝0 成立，求实数 t 的取 值范围. 解：(1)由 f(x)＝|x|＋|x＋1|≥|x－(x＋1)|＝1 知，f(x)min＝1. 欲使∀x∈R，恒有 f(x)≥λ成立， 则需满足λ≤f(x)min. 所以实数λ的取值范围为(－∞，1].
|f(x)|>1，当 x≤－1 时，|x－4|>1， 解得 x>5，或 x<3.∴x≤－1. 当－1<x<32时，|3x－2|>1，解得 x>1 或 x<13. ∴－1<x<13，或 1<x<32.
当 x≥32时，|4－x|>1， 解得 x>5，或 x<3.∴32≤x<3，或 x>5. 综上所述，x<13，或 1<x<3，或 x>5. ∴|f(x)|>1 的解集为－∞，13∪(1,3)∪(5，＋∞).
【规律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主 要有三种解法：
①分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将 数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分， 在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然 后取各个不等式解集的并集.
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故选 A.
考点 1 复数的概念 例 1：(1)(2014 年湖南)复数3＋i2 i(i 为虚数单位)的实部等于 ________.
A.－3
B.－2
C.2
D.3
解析：由题意，得3＋i2 i＝－3－i.－3－i 的实部为－3.
答案：－3
(2)(2013 年新课标Ⅰ)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( )
B.－1＋12i D.1－12i
解析：11＋－2ii2＝1－＋22ii＝－22＋i＝－1＋12i.
答案：B
(5)(2015 年福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i 是虚
数单位)，则 a，b 的值分别等于( )
A.3，－2
B.3，2
C.3，－3
D.－1，4
解析：由已知，得 3－2i＝a＋bi，所以 a＝3，b＝－2.
② z1×z2 ＝ z1 × z2 ； ③z·－z ＝|z|2＝|－z |2； ④||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|； ⑤|z1z2|＝|z1|×|z2|； ⑥zz12＝||zz11||.
考点 3 复数的四则运算
例 3：(1)(2017 年山东)已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi
答案：1 【规律方法】(1)复数 a＋bi(a，b∈R)的虚部是 b 而不是 bi； (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)， 当 b≠0 时，z 为虚数；当 b＝0 时，z 为实数；当 a＝0，b ≠0 时，z 为纯虚数.
考点 2 复数的模及几何意义
例 2：(1)(2017 年新课标Ⅲ)复平面内表示复数 z＝i(－2＋i)
的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：z＝i(－2＋i)＝－1－2i，点(－1，－2)位于第三象限.
故选 C.
答案：C
(2)(2016 年新课标Ⅱ)设复数 z 满足 z＋i＝3－i，则 z ＝( )
A.－1＋2i B.1－2i
C.3＋2i
D.3－2i
解析：由 z＋i＝3－i，得 z＝3－2i.所以 z ＝3＋2i.故选 C. 答案：C
C. 2
D. 5
解析：z＝11－＋3ii＝11－＋3ii11－－ii＝－1－2i，所以|z＋1|＝2.
故选 B.
答案：B
【规律方法】(1)复数与其共轭复数的模相等，即|z|＝| z |＝ a2＋b2.
(2)共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： ① z1±z2 ＝ z1 ± z2 ；
－4.解得 a＝0.故选 B.
答案：B
(3)(2017 年新课标Ⅱ)13＋＋ii＝(
)
A.1＋2i
B.1－2i
C.2＋i
D.2－i
解析：由复数除法的运算法则有：31＋＋ii＝3＋i2)(1－i＝2－
i.故选 D. 答案：D
(4)(2013 年新课标Ⅰ)11＋－2ii2＝(
)
A.－1|＝|2＋2i|＝ 22＋22＝2 2.故选 B. 答案：B
(2)复数－21＋i的虚部是( )
A.－15
B.－
1 5
i
C.15
1 D.5i
正解：－21＋i＝－－22－2－ii2＝－25－15i，虚部是－15.
答案：A
【失误与防范】(1)两个复数不全为实数时不能比较大小， 只有相等和不相等的关系．
(3)a＋bi 的共轭复数为 a－bi(a，b∈R). (4)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点 Z(a，b)一一对 应. (5)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|＝ a2＋b2. 注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不 能比较大小.
2.复数的运算 复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： ①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i； ③z1z2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；
D.i(1＋i)
解析：由(1＋i)2＝2i 为纯虚数.故选 C. 2.(2016 年新课标Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其
中 a 为实数，则 a＝( A )
A.－3
B.－2
C.2
D.3
解析：(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由已知，得 a－2＝ 1＋2a.解得 a＝－3.故选 A.
第2讲 复数的概念及运算
考纲要求
考点分布
考情风向标
1. 理 解 复 数 的 基 本 概念，理解复数相 等的充要条件. 2. 了 解 复 数 的 代 数 表示法及其几何意 义. 3. 会 进 行 复 数 代 数 形式的四则运算， 了解复数代数形式 的加、减运算的几 何意义
2011 年 新 课 标 第 2 题 考 查 复 数 的 运算； 2012 年 新 课 标 第 2 题 考 查 复 数 的 除法运算与共轭复数的概念； 2013 年 新 课 标 Ⅰ 第 2 题 考 查 复 数 的运算； 2014 年 新 课 标 Ⅰ 第 3 题 考 查 复 数 的运算及求复数的模； 2015 年 新 课 标 Ⅰ 第 3 题 考 查 复 数 的运算； 2016 年 新 课 标 Ⅰ 第 2 题 考 查 复 数 的概念； 2017 年 新 课 标 Ⅰ 第 3 题 考 查 复 数 的概念及运算
2
A.1
B.i
C.5
D.0
解析：由zz12＝21＋ －a2ii＝2＋ai51＋2i)＝2－52a＋4＋5 ai 是纯虚
数，得 a＝1.此时zz12＝i，其虚部为 1.
答案：A
(4)(2016 年天津)i 是虚数单位，复数 z 满足(1＋i)z＝2，则 z 的实部为________.
解析：(1＋i)z＝2⇒z＝ 1＋2 i＝1－i，所以 z 的实部为 1.
易错、易混、易漏 ⊙对复数概念理解不透彻致误 例题：(1)(2017 年广东广州六校联考)若复数 z＝1a－＋2ii(a∈
R，i 是虚数单位)是纯虚数，则|a＋2i|＝( )
A.2
B. 2 2
C.4
D.8
正解：z＝1a－＋2ii＝1a－＋2ii11＋＋22ii＝a－2＋52a＋1i.根据纯虚 数的概念得出2aa－＋21＝≠00. ，
④zz12＝ac＋bdc2＋＋db2c－adi(c2＋d2≠0). 3.常用结论 ①(1±i)2＝±2i；②11＋ －ii＝i；③in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈Z).
1.(2017 年新课标Ⅰ) 下列各式的运算结果为纯虚数的是
( C) A.i(1＋i)2
B.i2(1－i)
C.(1＋i)2
A.－4
B.－45
C.4
D.45
解析：(3－4i)z＝|4＋3i|＝5，则 z＝3－5 4i＝3－543i＋34＋i 4i)＝
532＋5 4i＝35＋45i，其虚部为45.
答案：D
(3)已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若zz12为纯虚数，
则复数zz12的虚部为(
)
1.复习时要理解复数的 相关概念，如实部、虚 部、纯虚数、共轭复数 等，以及复数的几何意 义. 2.要把复数的基本运算 作为复习的重点，尤其 是复数除法的运算，如 复数幂的运算与加法、 除法的结合，复数的乘 法与共轭复数的性质相 结合等.因为考题较容 易，所以重在练基础
1.复数的有关概念 (1)形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是复 数的实部和虚部.若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0，且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数. (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ba＝＝dc， (a，b，c，d∈R).
(3)(2016 年新课标Ⅲ)若 z＝4＋3i，则|zz|＝(
A.1
B.－1
C.45＋35i
解析：|zz|＝ 44－2＋3i32＝45－35i.故选 D.
) D.45－35i
答案：D
(4)(2016 年新课标Ⅱ)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内
对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )
答案：A
(6)(2016 年北京)复数12＋－2ii＝(
)
A.i
B.1＋i
C.－i
D.1－i
解析：12＋－2ii＝12＋－2ii22＋＋ii＝2＋i＋54i－2＝i.
答案：A
【规律方法】复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i；z1z2＝ (ac－bd)＋(bc＋ad)i；zz12＝ac＋bdc2＋＋db2c－adi(c2＋d2≠0).复数 的运算要做到细心准确.复数的除法是重中之重！
3.(2016 年新课标Ⅰ)设 x(1＋i)＝1＋yi，其中 x，y 为实数，
则|x＋yi|＝( B )
A.1
B. 2
C. 3
D.2
解析：因为 x(1＋i)＝1＋yi，所以 x＋xi＝1＋yi.解得 x＝1，
y＝x＝1.|x＋yi|＝|1＋i|＝ 2.故选 B.
4.(2015 年新课标Ⅰ)已知复数 z 满足(z－1)i＝1＋i，则 z＝
( C)
A.－2－i B.－2＋i
C.2－i
D.2＋i
解析：∵(z－1)i＝1＋i，∴z＝ 1＋i 2i＝1＋－2i)i2(－i)＝2－i.故
选 C.
5.(2015 年新课标Ⅰ)设复数 z 满足11＋－zz＝i，则|z|＝( A )