2014届高考数学(理)一轮复习热点针对训练：第63讲《两个计数原理与排列、组合的基本问题》
计数原理-备战高考数学(理)一轮复习考点
计数原理【命题趋势】两个基本计数原理是高考必考内容，有时会单独考查，有时会出现在解答题的过程之中，我们必须掌握.（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.排列组合是高考中的必考内容，必须掌握.有时会是单独一道小题，有时会是在概率统计解答题中涉及，分值至少5分.（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.（3）能解决简单的实际问题.二项式定理和排列组合在高考中一般交替考查，二者必出其一，二项式定理好拿分，熟练掌握即可.（1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【重要考向】考向一分类加法、乘法计数原理考向二两个计数原理的综合应用考向三排列与组合的综合应用考向四二项展开式通项的应用考向一分类加法、乘法计数原理（1）分类加法计数原理的特点：①根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准．②完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．（2）使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．（3）应用分类加法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．②完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏． （4）应用分步乘法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏． （5）两个计数原理的区别与联系定义：若数列 {a n } 满足所有的项均由 ﹣1,1 构成且其中-1有m 个，1有p 个 (m +p ≥3) ，则称 {a n } 为“ (m,p) ﹣数列”．（1）a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (3,4) ﹣数列” {a n } 中的任意三项，则使得 a i a j a k ＝1 的取法有多少种？ （2）a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (m,p) ﹣数列” {a n } 中的任意三项，则存在多少正整数 (m,p) 对使得 1≤m ≤p ≤100, 且 a i a j a k =1 的概率为 12 .【答案】 （1）解：三个数乘积为1有两种情况：“ ﹣1,﹣1,1 ”,“ 1,1,1 ”,其中“ ﹣1,﹣1,1 ”共有： C 32C 41＝12 种, “ 1,1,1 ”共有： C 43=4 种,利用分类计数原理得：a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (3,4) ﹣数列” {a n } 中的任意三项, 则使得 a i a j a k ＝1 的取法有： 12+4＝16 种．（2）解：与(1)同理,“ ﹣1,﹣1,1 ”共有 C m 2C p 1种, “ 1,1,1 ”共有 C P 3 种,而在“ (m,p) ﹣数列”中任取三项共有 C m+p3种, 根据古典概型有：C m 2C p 1+C p 3C m+p3=12 ,再根据组合数的计算公式能得到： (p ﹣m)(p 2﹣3p ﹣2mp +m 2﹣3m ﹣2)＝0 , ①p ＝m 时,应满足 {1≤m ≤p ≤100m +p ≥3p =m ,∴(m,p)=(k,k),k ∈{2,3,4,…,100} ,共 99 个,②p 2﹣3p ﹣2mp +m 2﹣3m ﹣2＝0 时,应满足 {1<m ≤p <100m +p ≥3p 2−3p −2mp +m 2−3m −2=0 , 视 m 为常数,可解得 p ＝(2m+3)±√24m+12,∵m ≥1, ∴√2m +1≥5 , 根据 p ≥m 可知, p ＝(2m+3)+√24m+12,∵m ≥1 , ∴√2m +1≥5 , 根据 p ≥m 可知, p ＝(2m+3)+√24m+12,（否则 p ≤m ﹣1 ）,下设 k ＝√2m +1 ,则由于 p 为正整数知 k 必为正整数, ∵1≤m ≤100 , ∴5≤k ≤49 ,化简上式关系式可以知道： m ＝k 2−124=(k−1)(k+1)24,∴k ﹣1,k +1 均为偶数,∴设k＝2t+1,(t∈N∗),则2≤t≤24,∴m＝k2−124=t(t+1)6,由于t,t+1中必存在偶数,∴只需t,t+1中存在数为3的倍数即可,∴t＝2,3,5,6,8,9,11,…,23,24,∴k＝5,11,13,…,47,49．检验：p＝(2m+3)+√24m+12=(k−1)(k+1)24≤48+5024＝100,符合题意,∴共有16个,综上所述：共有115个数对(m,p)符合题意．【考点】古典概型及其概率计算公式，分类加法计数原理，组合及组合数公式【解析】(1)易得使得a i a j a k＝1的情况只有“ ﹣1,﹣1,1”,“ 1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“ ﹣1,﹣1,1”共有C m2C p1种,“ 1,1,1”共有C P3种.再根据古典概型的方法可知C m2C p1+C p3C m+p3=12,利用组合数的计算公式可得(p﹣m)(p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2)＝0,当p=m时根据题意有(m,p)=(k,k),k∈{2,3,4,…,100},共99个；当p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2＝0时求得p＝(2m+3)±√24m+12,再根据1≤m≤p≤100,换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m元（m为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2= 200元）.（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X的概率分布与期望E(X).【答案】（1）解：因为总的基本事件个数n1=A53=60，摸到三位数是奇数的事件数n2=A31A42=36，所以P1=3660=35；所以摸到三位数是奇数的概率35.（2）解：获奖金额 X 的可能取值为50、100、200、300、400、500， P(X =50)=35 ， P(X =100)=1×3×260=110， P(X =200)=1×3×160=120，P(X =300)=1×3×260=110 ， P(X =400)=1×3×160=120 ， P(X =500)=1×3×260=110 ，获奖金额 X 的概率分布为均值 E(X)=50×35+100×110+200×120+300×110+400×120+500×110=150 元. 所以期望是150元.【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，分步乘法计数原理【解析】（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数： n 1=A 53=60 ；然后利用分步计数原理求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，利用均值公式即可求解考向二 两个计数原理的综合应用（1）利用两个原理解决涂色问题解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题． （2）利用两个原理解决集合问题解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有123,,,,{}n a a a a 的子集有2n 个，真子集有21n个．对有 n(n ≥4) 个元素的总体 {1,2,3,⋅⋅⋅,n} 进行抽样，先将总体分成两个子总体 {1,2,3,⋅⋅⋅,m} 和 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} （ m 是给定的正整数，且 2≤m ≤n −2 ），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用 P ij 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率. （1）求 P 1n 的表达式（用m ，n 表示）； （2）求所有 P ij (1≤i <j ≤n) 的和.【答案】 （1）解：由题意，从m 和 m −m 个式子中随机抽取2个，分别有 C m 2 和 C n−m2 个基本事件， 所以 P 1n 的表达式为 P 1n =m−1C m2⋅n−m−1C n−m2=4m(n−m) .（2）解：当 i,j 都在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中时，可得 P ij =1C m2 ，而从 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中选两个数的不同方法数为 C m 2 ，则 P ij 的和为1；当 i,j 同时在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时，同理可得 P ij 的和为1； 当 i 在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中， j 在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时， P ij =4m(n−m) ，而从 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中选取一个数，从 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中选一个数的不同方法数为 m(n −m) ， 则 P ij 的和为4，所以所有 P ij 的和为 1+1+4=6 .【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，计数原理的应用，组合及组合数公式【解析】（1）根据组合数的公式，以及古典概型的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）当 i,j 都在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中时求得 P ij 的和为1，当 i,j 同时在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时，求得 P ij 的和为1，当 i 在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中， j 在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时得到 P ij 的和为4，即可求解.6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达） （1）男甲必排在首位； （2）男甲、男乙必排在正中间； （3）男甲不在首位，男乙不在末位； （4）男甲、男乙必排在一起； （5）4名女生排在一起； （6）任何两个女生都不得相邻； （7）男生甲、乙、丙顺序一定．【答案】 解：（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A 99种， （2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A 22A 77种，（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A 1010﹣2A 99+A 88种，（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A 22A 88种，（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A 44A 77种，（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A 66A 74种， （7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，A 1010A 33=A 107种【考点】计数原理的应用【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，问题得以解决． （2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，问题得以解决， （3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决， （4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，问题得以解决， （5）4名女生排在一起，利用捆绑法，问题得以解决， （6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决， （7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决．考向三 排列与组合的综合应用先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成. 第一步：选元素，即选出符合条件的元素;第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.7名学生，按照不同的要求站成一排，求下列不同的排队方案有多少种． （1）甲、乙两人必须站两端； （2）甲、乙两人必须相邻．【答案】 （1）甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有 A 22 种站法，其余5人全排列，有 A 55种站法．故共 A 22⋅A 55 有＝240种不同站法．（2）(捆绑法)：把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于六个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以共 A 66⋅A 22 有＝1440种站法．【考点】排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题 【解析】（1）运用捆绑法直接求解即可； （2）运用特殊元素分析法直接求解即可.一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果 10 只猫都钻出了笼子，以X 表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则 X =3 ． （1）求三只黑猫挨在一起出笼的概率； （2）求X 的分布列和数学期望.【答案】 （1）解：设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A ，将三只黑猫捆绑在一起，与其它7只白猫形成 8 个元素， 所以， P(A)=A 33A 88A 1010=115，因此，三只黑猫挨在一起出笼的概率为 115 ；（2）解：由题意可知，随机变量X 的取值为1、2、3、4， 其中 X =1 时，7只白猫相邻，则 P(X =1)=A 77A 44A 1010=130 ，P(X =2)=(A 32C 21C 21C 61+6A 33+A 32C 61)A 77A 1010=310 ，P(X =3)=(A 31C 21A 62+A 32A 62)A 77A 1010=12 ；P(X =4)=A 63A 77A 1010=16， 所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：因此， E(X)=1×130+2×310+3×12+4×16=145.【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差，排列及排列数公式，排列、组合的实际应用【解析】（1）利用捆绑法计算三只黑猫挨在一起出笼的情况种数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有1、2、3、4，利用排列组合思想求出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，利用数学期望公式可求得随机变量X 的数学期望.考向四 二项展开式通项的应用求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n ）.（1）第m 项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.已知 f(n)=a 1+a 2C n 1+⋯+arC n r−1+⋯a n+1C n n(n ∈N ∗).（1）若 a n =n −1 ，求 f(n) ；（2）若 a n =3n−1 ，求 f(20) 除以5的余数【答案】 （1）因为 f(n)=0C n 0+1⋅C n 1+2C n 2+3⋅C n 3⋯+nC n n . 所以 f(n)=nC n n +(n −1)C n n−1+(n −2)C n n−2+⋯+1⋅C n 1+0⋅C n0 2f(n)=nC n 0+nC n 1+nC n 2+⋯+nC n n =n(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n)=n ⋅2n ，∴f(n)=n ⋅2n−1（2）因为 f(n)=30C n 0+31C n 1+32C n 2+⋯+3n C n n =(1+3)n =4n .f(20)=420=(5−1)20=C 200520−C 201519+C 202518−⋯+C 201852−C 201951+C 202050 除以5余数为1，所以 f(20) 除以5的余数为1. 【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】（1） 因为f(n)=a 1+a 2C n 1+⋯+arC n r−1+⋯a n+1C n n(n ∈N ∗)，再结合a n =n −1 ， 得出f(n)=0C n 0+1⋅C n 1+2C n 2+3⋅C n 3⋯+nC n n ，再利用倒序求和法，所以 f(n)=nC n n +(n −1)C n n−1+(n −2)C n n−2+⋯+1⋅C n 1+0⋅C n 0 ， 再利用两式求和法结合二项式的系数的性质，得出 f(n) 。
高三数学一轮复习两个计数原理
分析和解决一些简单的实际问题．
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种 不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那 么完成这件事共有N＝ m＋n 种不同的方法．
2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方 法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两 位数共有多少个？ [思路点拨]
[课堂笔记] 法一：根据题意，将十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个． 由分类计数原理知：符合题意的两位数的个数共有： 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 故共有36个．
解：(1)分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法； 第二类，从二班学生中选1人，有8种选法； 第三类，从三班学生中选1人，有9种选法； 第四类，从四班学生中选1人，有10种选法， 所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)． (2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学 生中选一人任组长，所以共有不同的选法 N＝7×8×9×10＝5 040(种)．
第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三 步去完成： 第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以 选择，有3种选法； 第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两 数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，还有3种选法． 依据分步计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36个； 第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类． 对以上三类结论用分类计数原理，可得所求无重复数字的比 2 000大的4位偶数有4×4×3＋3×4×3＋3×4×3＝120个．
2013高考理科数学总复习(第1轮)：第63讲两个计数原理(精)
)
【解析】每封信均有 3 种不同的投法，5 封信投入可 视为完成这件事分 5 步进行，由分步计数原理，不同投 法 N＝3×3×3×3×3＝35 种，故选 B.
2.书架上层放有 4 本不同的数学书，中层放有 5 本不同的 物理书，下层放有 6 本不同的英语书，从中任取一本书的 不同取法种数是( A．15 C．120 ) B．1 D．3
2· 3· …· (n-1)· n=n!(称为n的阶乘)； A =1·
(ⅱ)规定0!＝1.
5.组合基础理论
(1)组合的定义.
从 n 个不同元素中，取出 m(m≤n) 个不同 元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合数的定义. 从 n 个不同元素中 , 取出 m(m≤n) 个不同元 素的所有组合的个数 , 叫做从 n 个不同元素中 m 取出m个元素的组合数,用符号 Cn 表示.
(2)排列数的定义.
从n不同元素中,任取m(m≤n)个不同元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取 m 出m个元素的排列数,用符号④ 表示 . A n
(3)排列数计算公式.
A
m≤n).
n n
m =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤ n
n! (n m)!(其中
(ⅰ)若m=n，排列称为全排列，记
【解析】这是一个分类问题，由分类计数原理，不同的 取法种数 N＝4＋5＋6＝15 种．故选 A.
3.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中，每 个班级至少安排 1 名学生，其中甲同学不能分配到 A 班， 那么不同的分配方案有( A．18 种 C．54 种 ) B．24 种 D．60 种
种填报方法，故选 D.
方法 2：先填第 1 志愿学校有 4 种填报方法，从 3 个专业 选择两个专业填报有 A 2 3 种填报方法，所以填报第一志愿有 4×A2 3种填报方法； 再填第二志愿，因规定”学校没有重复，同一学校的专业 也没有重复”，所以填报学校只有 3 种填报方法，从 3 个专业 选择两个专业填报有 A 2 3 种填报方法，所以填报第二志愿有 3×A2 3种填报方法；
2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：10.1 分类计数原理与分步计数原理
个步骤是相互依存的,各个步骤都完成了,这件事才算完成．
目录
例2 宣传画.
(原创题)某地区人口普查办公室制作了如图所示的 D B
A
C
分为A、B、C、D四块区域．现有四种颜色：红、黄、绿、蓝 作为底色涂在上面，每块区域只涂一种颜色，且相邻区域不 同色，共有________种涂色方案． 【思路分析】 A、C为不相邻区域，可以同色也可以不同色，
第十章
排列、组合和二项式定理
2014高考导航
考纲解读
1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和
解决一些简单的应用问题． 2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决 一些简单的应用问题. 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质， 并能用它解决一些简单的应用问题． 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算
同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理．
目录
课前热身 1．(教材改编)从甲、乙、丙三名老师中选出2名在周六、周日
值班，共有________种不同的选法．(
A．5 B．6
)
C．3
答案：B
D．2
目录
2．书架上层有5本不同的文学书，中层放着3本不同的工具书， 下层放有不同的6本数学参考书，从中任取一本书的不同取法 种数是( ) B．5×3×6＝90 D．3
种不同的方法，那么完成这件事共有
N＝________________种不同的方法． m1＋m2＋…＋mn
目录
2．分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 m1×m2×…×mn N＝_________________种不同的方法．
(完整版)两个计数原理与排列组合知识点及例题(最新整理)
m
1
mm
1
2m
1n
m
1
m
n!
1!n
m
1 ! n
2n
1
m
n 1 !n
2!
m
1 !
C m1 n2
右
另法：利用公式
C
m n
Cm n1
C
m1 n1
推得
左
C m1 n
C nm
C
m n
C m1 n
C m1 n1
Cn n1
C m1 n2
右
点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质
并列需要分类计算
解：（1）A 中每个元都可选 0,1,2 三者之一为像，由分步计数原理，共有 3 3 3 3 34 个不同
映射
（2）根据 a, b, c, d 对应的像为 2 的个数来分类，可分为三类：
第一类：没有元素的像为 2，其和又为 4，必然其像均为 1，这样的映射只有一个；
第二类：一个元素的像是
（1）6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人； （2）6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾； （3）从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒； （4）6 人排成一排，甲、乙必须相邻； （5）6 人排成一排，甲、乙不相邻； （6）6 人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）
根据分类计数原理和点 A 共面三点取法共有 3C53 3 33 种
（2）取出的 4 点不共面比取出的 4 点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取 4 点（ C140
例 1 完成下列选择题与填空题
高考一轮复习理科数学课件：两个计数原理与排列组合的基本问题
转化与化归思想应用
将问题转化为熟悉类型
通过观察和分析，将陌生、复杂的问题转化为 熟悉、简单的问题类型。
利用已知结论求解
利用已知的结论、公式或定理，求解转化后的 问题。
回归原问题验证解
将求解结果代回原问题进行验证，确保解的准确性和合理性。
复杂问题简化技巧
误区二
忽视分类讨论。警示：对于复杂 的问题，要进行分类讨论，确保 每种情况都能得到正确的处理。
误区三
重结果轻过程。警示：在解题过 程中，要注重过程的推导和计算 ，确保每一步都正确无误。
典型错误案例剖析
案例一
对两个计数原理理解不清导致的错误。剖析 ：通过具体案例，分析错误原因，并给出正 确的解题思路和方法。
2021年高考真题
重点考查了排列组合的基本概念和基本公式，如排列 数公式和组合数公式。
2020年高考真题
涉及到了排列组合的综合性问题，需要考生灵活运用 两个计数原理进行解答。
模拟试题演练
模拟试题一
针对两个计数原理的基础知识进行练习，帮 助考生巩固基本概念。
模拟试题二
提高难度的排列组合问题，考查考生的思维 能力和解题技巧。
组合
从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素的所有组合的个数，叫做从n个 元素中取出m个元素的组合数。
性质与公式总结
排列数公式
A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1) = n!/(n-m)!，其中n! 表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×...×2×1。
性质1
C_n^m = C_n^(n-m)，即从n个元素中取出m个元素的 组合数等于从n个元素中取出n-m个元素的组合数。
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第十一章第1讲两个基本计数原理
第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相 邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点 有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色， 所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、
分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋
当a＝2时，若c＝0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线；
若c≠0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线， c取－2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，
c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，
c取－3时，b2有3个取值，共有3条抛物线．
∴共有3＋2＋2＋3＋3＝13(条)抛物线． 同理，a＝－2，－3,3时，共有抛物线3×13＝39(条)． 由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62(条)． [反思与回顾] 第四步：本题体现了分类讨论思想在计数 原理解题中的作用．
在某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机； 俄方有5艘军舰、2架飞机，若从中、俄两方中各选出2个
单位(1架飞机或1艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两
两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的四个单位中恰 有一架飞机的不同选法共有________种．
1 解析 若中方选出一架飞机，则选法有 C4C1C2＝120(种)； 3 5 1 若俄方选出一架飞机，则选法有 C1C2C2＝60(种)．故不同 5 4 选法共有 120＋60＝180(种)．
(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大
于十位数字，十位数字大于个位数字． 解 (1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位 数共有4种排法，根据分步计数原理共可组成43＝64(个)3 位数．
【高考复习】高考数学专题复习训练：两个计数原理
【高考复习】高考数学专题复习训练：两个计数原理高考数学主题复习与训练：两个计数原则【摘要】高考复习的重点一是要掌握所有的知识点，二就是要大量的做题，数学网的编辑就为各位考生带来了高考数学专题复习训练：两个计数原理5.如图所示，将五个编号为a、B、C、D和E的小球放在五个盒子中。
要求每个盒子只能放一个小球，且a不能放1，2号，b必须放在与a相邻的盒子中。
则不同的放法有()种a、 42b。
36摄氏度。
32d。
三十6.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是()a.234b.346c.350d.3637.它可以由十个数字和一个虚数单位组成。
虚数的数目是（）8.将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有()9.选择一名男大学生和四名女大学生在工厂实习。
不同安排方案的数量为（）a、7b、12c、21d、4210.有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元和2张100元，其中至少一张可以形成不同的货币价值。
号码是（）(a)1024种(b)1023种(c)1536种(d)1535种二、填空13.有名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,n,在游戏中,除规定第k位同学看到的像用数对(p,q)(14.湖面上有四个相邻的小岛a、B、C和D。
现在将建造三座桥来连接四个小岛。
有两种不同的方案。
15.将2名女生，4名男生排成一排，要求女生甲排在女生乙的左边(不一定相邻)的排法总数是____16.一个班有50名学生报名参加了两项比赛，其中a项30名，b项33名。
如果a和b两个班的学生比a和b两个班的学生多三分之一，则只有a项参加，还有40名学生没有参加b项。
以上就是数学网高考频道为您整理的高考数学专题复习训练：两个计数原理，欢迎大家进入高考频道了解最新的信息，帮助同学们学业有成!。
2014年高考第一轮复习 两个原理
考点精析
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理: 做一件事,完成它可以 有n类办法,在第一类办 法中有m1种不同的方 法,在第二类办法中有 m2种不同的方法,……, 在第n类办法中有mn种 不同的方法,那么完成 这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的办法。
5: 从集合 {1 ， 2， 3 ， …， 10}中，选出由 5 个数 组成的子集，使得这 5 个数中的任何两个数的 和不等于11，这样的子集共有多少个？
6.
7.
8.三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个 数是________. 36
分步计数原理：
做一件事 , 完成它需要 分成n个步骤,做第一步 有 m1 种不同的方法 , 做 第 二步有 m2 种不同的 方 法 ,……, 做 第 n 步 有 mn 种不同方法，那么 完成这件事共有
N m1 m2 mn
种不同的方法。
考点精析
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系:
(3) y＝a2x2＋bx＋c 可以表示多少个不同的二次函数;
4.在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b 构成以原点为起点的向量（a,b）.从所有得到的以 原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行 四边形。记所有作成的平行四边形的个数为n,其中 面积不超过4的平行四边形的个数为m, 求 m n
2.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允
许重复 ) 表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用 数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数为 A．10 B．11 ( C．12 ) D．15
3. 已知集合M＝{－3,－2,－1, 0, 1, 2},若a, b, c∈M, 且a,b,c互不相同，则 (1) y＝ax2＋bx＋c 可以表示多少个不同的二次函数; (2) y＝ax2＋bx＋c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数;
【高考四元聚焦】高三数学一轮复习 第63讲 两个计数原理与排列、组合的基本问题对点训练 理
第十一单元计数原理第63讲两个计数原理与排列、组合的基本问题1.(改编)从2,3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c，且a＜b＜c，则不同的数组有( A )A．35组 B．42组C．105组 D．210组解析：不同的数组有C37＝35组．2.(2012·黑龙江绥化市一模)有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( B )A．12 B．24C．36 D．48解析：利用相邻问题捆绑法，间隔问题插空法得：A22A22A23＝24，故选B.3.(2012·湖南省株洲市第一次模拟)6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A种工作，则不同的选派方案共有( B ) A．280种 B．240种C．180种 D．96种解析：从事A种工作有4种选择，从事B，C，D工作的有5×4×3＝60种选择，故共有4×60＝240，故选B.4.(2012·北海市第二次质检)某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有( C )A．10种 B．12种C．15种 D．16种解析：依题意，可将所有的投放方案分成三类：(1)使用甲原料，有C13×1＝3种投放方案；(2)使用乙原料，有6种投放方案；(3)甲、乙原料都不使用，有A23＝6种投放方案，所以共有3＋6＋6＝15种投放方案，故选C.5.(2012·粤西北九校联考)从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为112 .解析：根据分层抽样，抽取男生1人，女生2人，所以取2个女生1个男生的方法：C28 C14＝112.6.(2013·威海市模拟)将a，b，c三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有12 种．(用数值作答)解析：先填第一行，则第一行有A33＝6种，第二行第一列有2种，其余2列有唯一1种，第三列唯一确定1种，共有6×2＝12(种)．7.(2013·上海市卢湾区第一次检测)将5,6,7,8四个数填入12349中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为( D )A．24 B．18C．12 D．6解析：完成这件事情分成两步即可：第一步，从5,6,7,8四个数字中选两排在第一，二行的末尾并且小数排在第一行，大数排在第二行，共有C24＝6种；第二步，从5,6,7,8四个数字中余下两个数字选两排在第一，二列的末尾并且小数排在第一列，大数排在第二列，共有C22种，于是这种排列的方法共有6种，故选D.8.中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定，有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法共有多少种？解析：(方法一)若每个区域服装颜色不相同，则有C14·C13·C12·C11＝24种，若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另二区域不同色，则有2C14×3×2＝48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有C24·A22＝12种．故共有24＋48＋12＝84种．(方法二)Ⅰ有4种可能，Ⅱ有3种可能，Ⅲ可与Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3＋4×3×2×2＝84种方法．9.6个学生按下列要求站成一排，求各有多少种不同的站法？(1)甲不站排头，乙不能站排尾；(2)甲、乙都不站排头和排尾；(3)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻；(4)甲、乙都不与丙相邻．解析：(1)分两类：甲站排尾，有A55种；甲站中间四个位置中的一个，且乙不站排尾，有A14A14A44种．由分类计数原理，共有A55＋A14A14A44＝504(种)．(2)分两步：首先将甲、乙站在中间四个位置中的两个，有A24种；再站其余4人，有A44种．由分步计数原理，共有A24·A44＝288(种)．(3)分两步：先站其余3人，有A33种；再将甲、乙、丙3人插入前后四个空当，有A34种．由分步计数原理，共有A33·A34＝144(种)．(4)分三类：丙站首位，有A24A33种；丙站末位，有A24A33种；丙站中间四个位置中的一个，有A14A23A33种．由分类计数原理，共有2A24A33＋A14A23A33＝288(种)．。
【高考四元聚焦】 2014届高三一轮数学(理)复习 第63讲 两个计数原理与排列、组合的基本问题
块里种 1 种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法
总数为( )
A．48
B．60
C．72
D．84
28
解析：(1)(方法一)分中间分别为 3,4,5,6 四种情况，这样 的分别有 A22，A32，A24，A52，所以根据加法原理得“伞数” 有 A22＋A32＋A24＋A52＝40 个，故选 C.
(方法二)第一步，从 6 个数中选了 3 个数有 C36＝20 种． 第二步，对选中的三个数排序，中间最大，较小的排两 边有 C12种，故“伞数”有 C36·C12＝40 个． (2)当 A 与 C 同色时有 4×3×3＝36 种不同的涂法，当 A 与 C 不同色时有 4×3×2×2＝48 种不同的涂法，所以共 有 36＋48＝84，故选 D.
x，y，那么构成加法算式 x＋y 个数有( B )
A．30
B．20
C．10
D．5
8
解析：由于 x＋y 与 y＋x 是不同的算式，因此可得算式 x＋y 个数是 A52＝20，故选 B.
9
4．(改编)把 8 名同学分成两组，一组 5 人参加电脑学
习，一组 3 人参加航模小组，则不同的安排方法有
.
10
位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞
数”．现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数，组成无重
复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120 个
B．80 个
C．40 个
D．20 个
27
(2)(2012·山东省莱芜市上期末)如图，在一花坛 A，B，
C，D 四个区域种花，现有 4 种不同的花供选种，要求在每
比赛中，高一、高二、高三分别有 1 名、2 名、3 名同学获
高考数学一轮总复习 第63讲 两个计数原理与排列、组合的基本问题同步测控 理
第63讲两个计数原理与排列、组合的基本问题1.某校4名高三毕业学生每人选报3个自主招生志愿中的一个志愿，则选择的方法共有( )A．81 B．48C．18 D．362.如右图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( ) A． 26 B．24C．20 D．193.(2012·辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!4.(2012·北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18C．12 D．65.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共________个．6.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人选派4人承担这三项任务，不同的选法共有多少种？7.中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定，有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法共有多少种？8.计算1！＋2！＋3！＋…＋100！的结果，其个位数字是______．9.三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524，734等都是凹数，那么各数位上无重复数字的三位凹数共有________个．10.已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0，1，2，3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每个元素都有原象，这样不同的映射f：A→B有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的映射f：A→B有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的映射f：A→B又有多少个．第63讲1．A 2.D 3.C 4.B 5.1926．解析：分三步完成：先由10人中任选2人承担甲项任务有C102种选法；再从剩余的8人中选1人承担乙项任务有C81种选法；最后由余下的7人中任选1人承担丙项任务有C71种选法；根据乘法原理，共有C102·C81·C71＝2520种选法．7．解析：方法1：若每个区域服装颜色不相同，则有C41·C31·C21·C11＝24种，若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另二区域不同色，则有2C41×3×2＝48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有C42·A22＝12种．故共有24＋48＋12＝84种．方法2：Ⅰ有4种可能，Ⅱ有3种可能，Ⅲ可与Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3＋4×3×2×2＝84种方法．8．3 解析：因为5！＝5×4×3×2×1＝120，其后6！，…，100！的个位数字都是0，所以影响所求数个位数字的只有1！＋2！＋3！＋4！＝33，所以其个位数字是3.9．240 解析：当十位数字为0时有9×8个；当十位数字为1时有8×7个，…，当十位数字为7时有2×1上．因此共有9×8＋8×7＋7×6＋6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋2×1＝240个．10．解析：(1)显然对应是一一对应，即a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，f共有4×3×2×1＝24个；(2)0必无原象，1，2，3有无原象不限，所以A中元素找象时均有3种方法，所以不同的f共有34＝81个．(3)分四类：第1类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第2类：A中有两元素对应1，一元素对应2，一元素对应0有C42C21＝12种方法；第3种：A中有两元素对应2，另两元素对应0有C42C22＝6种方法；第4种：A中有一元素对应1，一元素对应3，另两元素对应0，有C41C31＝12种．由分类计数原理不同的f共有1＋12＋6＋12＝31个．。
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第63讲两个计数原理与排列、组合的基本问题
1.(改编)从2,3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c，且a＜b＜c，则不同的数组有( A )
A．35组B．42组
C．105组D．210组
解析：不同的数组有C37＝35组．
2.(2012·黑龙江绥化市一模)有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( B )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：利用相邻问题捆绑法，间隔问题插空法得：A22A22A23＝24，故选B.
3.(2012·湖南省株洲市第一次模拟)6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A种工作，则不同的选派方案共有( B ) A．280种B．240种
C．180种D．96种
解析：从事A种工作有4种选择，从事B，C，D工作的有5×4×3＝60种选择，故共有4×60＝240，故选B.
4.(2012·北海市第二次质检)某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有( C )
A．10种B．12种
C．15种D．16种
解析：依题意，可将所有的投放方案分成三类：(1)使用甲原料，有C13×1＝3种投放方案；
(2)使用乙原料，有6种投放方案；(3)甲、乙原料都不使用，有A23＝6种投放方案，所以共有3＋6＋6＝15种投放方案，故选C.
5.(2012·粤西北九校联考)从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为112.
解析：根据分层抽样，抽取男生1人，女生2人，所以取2个女生1个男生的方法：C28C14＝112.
6.(2013·威海市模拟)将a，b，c三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有12种．(用数值作答)
解析：先填第一行，则第一行有A33＝6种，第二行第一列有2种，其余2列有唯一1种，第三列唯一确定1种，共有6×2＝12 (种)．
7.(2013·上海市卢湾区第一次检测)将5,6,7,8四个数填入12
34
9
中的空白处以构成三
行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为( D ) A．24 B．18
C．12 D．6
解析：完成这件事情分成两步即可：第一步，从5,6,7,8四个数字中选两排在第一，二行的末尾并且小数排在第一行，大数排在第二行，共有C24＝6种；第二步，从5,6,7,8四个数字中余下两个数字选两排在第一，二列的末尾并且小数排在第一列，大数排在第二列，共有C22种，于是这种排列的方法共有6种，故选D.
8.中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定，有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法共有多少种？
解析：(方法一)若每个区域服装颜色不相同，则有C14·C13·C12·C11＝24种，若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另二区域不同色，则有2C14×3×2＝48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有C24·A22＝12种．故共有24＋48＋12＝84种．
(方法二)Ⅰ有4种可能，Ⅱ有3种可能，Ⅲ可与Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3＋4×3×2×2＝84种方法．
9. 6个学生按下列要求站成一排，求各有多少种不同的站法？
(1)甲不站排头，乙不能站排尾；
(2)甲、乙都不站排头和排尾；
(3)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻；
(4)甲、乙都不与丙相邻．
解析：(1)分两类：甲站排尾，有A55种；甲站中间四个位置中的一个，且乙不站排尾，有A14A14A44种．
由分类计数原理，共有A55＋A14A14A44＝504(种)．
(2)分两步：首先将甲、乙站在中间四个位置中的两个，有A24种；再站其余4人，有A44种．
由分步计数原理，共有A24·A44＝288(种)．
(3)分两步：先站其余3人，有A33种；再将甲、乙、丙3人插入前后四个空当，有A34种．
由分步计数原理，共有A33·A34＝144(种)．
(4)分三类：丙站首位，有A24A33种；丙站末位，有A24A33种；丙站中间四个位置中的一个，有A14A23A33种．
由分类计数原理，共有2A24A33＋A14A23A33＝288(种)．。