复数习题课
复数的四则运算及几何意义习题课
题型四：求复数式中的实参数值
练习已知复数z满足|z|＝1，且
(z - m ) = 2m (m < 0) ,求m的值.
2
m = 1-
2
题型五：证明复数的有关性质
例10 已知复数z满足|z|＝1，求证： 1 z+ R. z
题型五：证明复数的有关性质 例12 求证：复数z为纯虚数的充要 条件是z2＜0.
复数的概念与运算典型题型分析
题型一：复数的混合运算
3 - 4i 15 8 例1 计算： + i - (1 + i ) 1 + 2i
－17－3i 3 2z + (4z + 6)i 练习设复数z＝1－i，求
的值.
- 3z
1 －i
求
1 例3 已知复数z满足 z + - i = 0 ， 2 z z - z + 1
.
1 x
变式1：若复数z满足|z+1|+|z-1|=4，则复数z所对应的 点表示什么图形？ 以(1,0),(-1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆 变式2：若复数z满足|z+1|-|z-1|=1，则复数z所对应的 点表示什么图形？ 以(1,0),(-1,0)为焦点，实轴长为1的双曲线的右支
变式3：你能给出下列方程所表示的图形的复数 表达形式吗？
解：由条件|z-4i|=|z+2|知复数z 对应的点到点A（0，4）与点 B（-2，0）的距离相等,所以复数 z对应的点的集合是线段AB的垂直 平分线.由平面解析几何知识得x,y 满足x+2y=3,所以由均值不等式得
2 x 4 y 2 2 x 4 y 2 2 x2 y 4 2
y 4
2、思考题： （1）你能写出线段Z1Z2的垂直平分线的复数表达形式吗？ （2）你能写出抛物线y2=2px(p>0)的复数表达形式吗？
第3章 3.2.2复数习题课
A．－i
B．－1
C．i
1＋i 1＋i2 解析 因为 ＝ ＝i， 1－i 1－i2
1＋i 2 011 2 011 4×502＋3 3 所以 ＝ i ＝ i ＝ i ＝－i，故选A. 1－i
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
题型二
复数的几何意义
例2 已知点集D＝{z||z＋1＋ 3i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小 值和最大值．
2 b ＋3b＝0， 所以 2b＋3a＝0.
已知b≠0，解得b＝－3，a＝2. 故实数a的值及方程的实数根分别为2和－3.
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习题课
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中 除法运算的关键是将分母实数化；
本 课 时 栏 目 开 关
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现； 3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方 程等问题．
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习题课
题型一
本 课 时 栏 目 开 关
复数的四则运算 －2 3＋i 2 2 012 例1 (1)计算： ＋ ＋ 1 ＋ i 1＋2 3i 4－8i2－－4＋8i2 ； 11－ 7i z2－3z＋6 (2)已知z＝1＋i，求 的模． z＋ 1
解 如图所示，设z1，z2对应点分别为A， → → → B，以 OA ， OB 为邻边作▱OACB，则 OC 对 → |＝3，| OB → |＝5， 应的复数为z ＋z .这里| OA
1 2
本 课 时 栏 目 开 关
→ |BA|＝ 10. → |2＋|OB → |2－|BA → |2 |OA ∴cos ∠AOB＝ → → 2|OA||OB|
解 点集D的图象为以点C(－1，－
复数习题课
(3)复数的乘法法则：
(a bi)(c di) （ac bd) (bc ad)i
(4)除法法则:
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
a bi (a bi)(c di)
当 b 0时， z a bi 叫做虚数.
当 a 0且b 0 时，z bi 叫做纯虚数.
规定:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R)
讲 课 人 ：
相等的充要条件是 a c 且 b d .
邢
启 强
2
共轭复数：
定义:实部相等,虚部互为相反数
a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
说明： 1 | z || z | z z
2 Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
3. | z |2 z z a2 b2
讲
课
人
：
邢
启 强
3
复数的意义. 有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
2 i 2 i (2 i)(2 i)
5
所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有: (a+b)+(-a-2)i=1+i.
a b 1 a 3
讲 课 人 ：
a
2
1
b
4
.
邢
启 强
9
4.计算:(1+2 i )2
3 4i
5.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 6.计算 (1 i)3 -2+2i 7.若 z C 且 (3 z)i 1 ,则 z -__3_-_i_ . 3
复变函数与积分变换第一章习题课.
解：
1）（1 i 3）10 [2(cos2 i sin 2 )]10
3
3
210 (cos20 i sin 20 )
3
3
1024(cos2 i sin 2 )
3
3
512 i512 3.
2)3
27
2k i
3e 3 , k
0,1,2.
13
13
w0
3( 2
i
2
), w1
3,
w2
3( 2
x2
x
y2
i
x2
y
y2
u iv,
u2 v2 1 . 4
13.已知映射 z3,求： 2）区域0 arg z 在平面上的像。
3
解：
2）映射 z3将区域0 arg z 映成
3
0 arg z .
15.设f (z) 1 ( z z ),(z 0),试证：当 2i z z
22
2
2 22
z 34 , Argz arctan5 2k , k 0,1,.
2
3
2.当x, y等于什么实数时，等式
x 1 i( y 3) 1 i 5 3i
成立。
解：
原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i, 根据复数
相等的概念，有
x y
1 3
28,即
x 1 .
y 11
13. 三角函数
1）定义：
sin z eiz eiz , cos z eiz eiz
2i
2
2）性质： 在复平面内是解析的，且 (sin z) cosz ，(cosz) sin z ．
14. 对数函数
定义: 若 ew z ，则称 w 为复变函数 z 的对数 函数，记为 Lnz ．
复数习题课(新新)
复 数 习 题【知识提要】复数减法几何意义的应用:1. 设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，则21z z AB -=。
2. 设0z 对应的点为C ，以C 为圆心，r 为半径的圆：r z z =-0。
3. 设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，线段AB 的中垂线；21z z z z -=-。
4. 设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，以A 、B 为焦点，长轴长为2a 的椭圆： )2z ( 22121a z a z z z z <-=-+-。
5．设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，以A 、B 为焦点，实轴长为2a 的双曲线： )2( 22121a z z a z z z z >-=---。
【练习】1.计算：________5312i i i i =-+- ； （2）i i i i 212)1()31(63+--++-=_2i____ . 2.复数ii m z 212+-=（)R m ∈在复平面上对应的点不可能位于第__一___象限。
3.已知})65(13,2,1{22i m m m m M --+--= ，1{-=N ，3}，}3{=N M ，则实数m=__________。
解：}3{=N M ，3)65(1322=--+--∴i m m m m ，即 3132=--m m 0652=--m m 1-=∴m._______ , ,91)2() 103(. 4的和等于则实数若y x i x i y i -=+-+-i i y x x y 91)10()23(::-=-+-原式化为解 根据复数相等的充要条件,有910123-=-=-y x x y ， 解得 11==y x ， 2=+∴y xi z z z z z z z ==+-211221 , , 022,..5则在第一象限且的两个根是方程已知. 6．已知5 4log 21≥+i x ，则实数x 的取值范围是_________ 。
第三章3.1 复数习题课
习题课 课时目标 1.进一步理解复数的概念.2.通过具体实例理解复平面的概念，复数的模的概念．1．复数的代数形式：____________ (a ，b ∈R )．2．复数相等的条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．3．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应向量OZ →，复数z 的模|z |＝|OZ →|＝____________.一、选择题1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD ．2＋2i2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2等于( )A ．0B ．2C ．52D ．5 3．若点P 对应的复数z 满足|z |≤1，则P 的轨迹是( )A ．直线B ．线段C ．圆D ．单位圆以及圆内4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为( )A ．1B ．1或3C ．3D ．95．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，则点A 关于直线y ＝－x 对称点为B ，向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i二、填空题6．若x 是实数，y 是纯虚数且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________.7．下列命题：(1)两个复数不能比较大小；(2)若z ＝a ＋b i ，则当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数；(3)x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；(4)若实数a 与虚数a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是________．8．若|log 3m ＋4i|＝5，则实数m ＝________.三、解答题9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？10．已知z ＝2a ＋1－2＋(a －3)i 对应的点在第四象限，求a 的取值范围．能力提升11．求复数z 1＝3＋4i ，及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小．12．实数m 分别取何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 的对应点：(1)在x 轴上方；(2)在直线x ＋y ＋5＝0上．1．复数问题主要是利用实数化思想，转化为复数的实虚部应满足的条件．2．复数可以和复平面内的点、复平面内从原点出发的向量建立一一对应关系．习题课答案知识梳理1．a ＋b i 2.a ＝c ，b ＝d 3.a 2＋b 2作业设计1．A [3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，故所求复数为3－3i.]2．D [由已知a ＝－1，b ＝2，∴a 2＋b 2＝5.]3．D4．D [若表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则m －3＝2m ，即m －2m －3＝0， ∴(m －3)(m ＋1)＝0，∴m ＝3，∴m ＝9.]5．B [点A (－1，－2)，设B (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1＝1－1＋x 2＋－2＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1，∴向量OB →对应的复数为2＋i.]6．122i 解析 设y ＝b i (b ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝0b ＝2，∴x ＝12. 7．0解析 因为实数也是复数，而两个实数是可以比较大小的，故(1)错；(2)中没有注意到z ＝a ＋b i 中未对a ，b 加以限制，故(2)错；(3)中在x ，y ∈R 时可推出x ＝y ＝1，而此题未限制x ，y ∈R ，故(3)错；(4)中忽视了当a ＝0时，a i ＝0，即0在虚数集中没有对应，故(4)错．8．27或127解析 由题意得，(log 3m )2＋16＝25，即(log 3m )2＝9，∴log 3m ＝±3，∴m ＝27或m ＝127. 9．解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0m ≠0， 即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0，且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0m 2－2m ≠0， 即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10．解 由题意得⎩⎨⎧ 2a ＋1－2>0，a －3<0，∴32<a <3. 11．解 |z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32. ∵5>32，∴|z 1|>|z 2|. 12．解 (1)由题意得m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)由题意得(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，m ＝－3±414.。
复数习题课课件
二.复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i 显然任意两个复数的积仍是一个复数. 复数的乘法运算法则： 对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有
z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3
当堂检测
1.a 0是复数a bi(a, b R)为纯虚数的（ ） A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.设o是原点，向量OA, OB对应的复数分别为2 3i， 3 2i 那么向量BA对应的复数是（） A. 5 5i B. 5 5i C.5 5i D.5 5i 2 3.当 m 1时，复数m(3 i ) (2 i )在复平面内 3 对应的点位于（ ）
4.若z 1 2i, 则z 2 2 z的值为 __________
1 z 5.若复数z满足 i则 z 1的值为 __________ 1 z 1 3 （ .( i) (1 i ) 计算： 1） 2 2 3 1 1 3 (2).( i )( i) 2 2 2 2 2i (3). 7 4i 5(4 i ) 2 (4). i(2 i)
复数z=a+bi （数）
y 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
b
建立了平面直角坐标系来 z=a+bi 表示复数的平面——复平面 Z(a,b) x轴——实轴 y轴——虚轴 a x
0
这是复数的一种几何意义.
有序实数对(a,b)
《复数》全章习题
《复数》全章习题 学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算，并认识复数加减法的几何意义．知识点一 复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 知识点二 共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.知识点三 复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．类型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i )2－(4－8i )211－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性：①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． 跟踪训练1 计算：1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7. 解 1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1(1＋i )2]2＋i 7 ＝162(－1＋i)－14－i ＝－(162＋14)＋(162－1)i. 类型二 复数的几何意义例2 设复数z 满足|z |＝1，求|z －(3＋4i)|的最值．解 由复数的几何意义，知|z |＝1表示复数z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z －(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C (3,4)的距离的最大值与最小值． 如图，易知|z －(3＋4i)|max ＝|AC |＝|OC |＋1＝32＋42＋1＝6，|z －(3＋4i)|min ＝|BC |＝|OC |－1＝4.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值． 解 点集D 的图象为以点C (－1， －3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.类型三 复数相等 例3 已知复数z 满足z ＋z ·z ＝1－2i 4，求复数z . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋z ·z ＝1－2i 4， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝1－2i 4， 即⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝14，y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12.∴z ＝－12i 或z ＝－1－12i.反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案 5 解析 设z ＝a ＋b i ，∴z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i.又∵z 2＝3＋4i ，∴a 2－b 2＝3,2ab ＝4，解得a 2＝4，b 2＝1，∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5.1．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点(2＋a 2，a －22)在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2. 2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心 答案 D 解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．4．若|z －1|＝2，则|z －3i －1|的最小值为________．答案 1解析 因为|z －1|＝2，所以复数z 在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z －3i －1|表示复数z 在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值1.5．设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ， 所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12，所以z ＝32＋i 2.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题． 课时作业 一、选择题1．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－5，则z 是( )A ．－5＋2iB ．－5－2i C.5＋2iD.5－2i答案 B解析 设复数z 的虚部为b ，则z ＝－5＋b i ，b >0，∵3＝5＋b 2，∴b ＝2，∴z ＝－5＋2i ，则z 的共轭复数是－5－2i ，故选B.2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15 C ．－15i D ．－15答案 B解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 3．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝4i (1＋2i )(1－2i )－1＝4i 5－1＝i. 4．若复数z ＝cosπ12＋isin π12(i 是虚数单位)，复数z 2的实部，虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是( )A ．ab <0B ．a 2＋b 2≠1 C.a b ＝ 3 D.b a ＝ 3 答案 C解析 ∵z ＝cosπ12＋isin π12， ∴z 2＝(cos π12＋isin π12)2 ＝cos 2π12－sin 2π12＋2cos π12sin π12i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ， 则a ＝32，b ＝12，则a b＝3，故选C. 5．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则向量Z 1Z 2—→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．－8＋10iD ．8＋(－10i)答案 A解析 向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，可得Z 1(5，－4)；向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，可得Z 2(－5,4)；向量Z 1Z 2—→对应的点是(－10,8)，即向量Z 1Z 2—→对应的复数是－10＋8i.故选A.6．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2 C. 5 D ．3 答案 D 解析 ∵|z |＝2，则复数z 对应的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z －i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.二、填空题7．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析 因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝1－i ，所以其实部为1. 8．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝________. 答案 4－3i解析 ∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.9．若复数1＋i 1－i＋b (b ∈R )所对应的点在直线x ＋y ＝1上，则b 的值为________． 答案 0解析 复数1＋i 1－i ＋b ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋b ＝2i 2＋b ＝b ＋i. ∵所对应的点(b,1)在直线x ＋y ＝1上，∴b ＋1＝1，解得b ＝0.10．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.答案 －2－i解析 由图可知，z 1＝－1＋2i ，∴由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题11．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求|z 1＋z 21－2i|. 解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 所以实数a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.|z 1＋z21－2i |＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 12．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.13．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝(a ＋9a a 2＋b 2)＋(b －9b a 2＋b2)i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0， 又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.① 又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.②由①②，得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i. 四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 答案 －25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ， 由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ，BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。
第三章3.2复数 习题课
习题课 课时目标 1.进一步理解复数代数形式的运算.2.将复数的运算和复数的几何意义相联系，加深对复数的模概念的理解．1．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的模|z |＝____________，在复平面内表示点Z (a ，b )到_______．复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，在复平面内表示__________________________________．2．i 4n ＝______，i 4n ＋1＝______，i 4n ＋2＝________，i 4n ＋3＝________ (n ∈Z )，1i＝______一、选择题1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2等于( ) A ．－3－4i B ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i2．已知i 2＝－1，则i(1－3i)等于( )A.3－i B ．3＋iC ．－3－iD ．－3＋i3．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i＝1＋i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3 4．下列式子中正确的是( )A ．3i>2iB ．|2＋3i|>|1－4i|C ．|2－i|>2·i 4D ．i 2>－i5．对任意复数z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |二、填空题6．若复数z ＝1－2i (i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝__________.7．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为________．8．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝______.三、解答题9．已知复平面上的▱ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，求向量DA →对应的复数．10．已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0 (a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值．能力提升11．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H 12．(1)证明|z |＝1⇔z ＝1z ； (2)已知复数z 满足z ·z ＋3z ＝5＋3i ，求复数z .1．复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法可看作多项式的乘法，除法类比分式的分子分母有理化．2．复数的几何意义使复数及复平面内的点的数学问题转化成一系列的实数集中的问题．习题课答案知识梳理1．a 2＋b 2 原点的距离 点Z 1(a ，b )，Z 2(c ，d )两点间的距离2．1 i －1 －i －i作业设计1．A [⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣⎡⎦⎤(3－i )(1－i )22 ＝(1－2i)2＝－3－4i.]2．B [i(1－3i)＝i ＋3，选B.]3．A4．C [在A 、D 中都含有虚数．因虚数不能比较大小，故A 、D 错；在B 中：|2＋3i|＝13，|1－4i|＝1＋16＝17，故B 错；在C 中，|2－i|＝4＋1＝5，2·i 4＝2，故C 正确．]5．D [可对选项逐个检查，A 项，|z －z |≥2y ，故A 错，B 项，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故B 错，C 项，|z －z |≥2y ，故C 错，D 项正确．]6．6－2i解析 z ·z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝6－2i.7．2解析 考查复数的运算、模的性质．z (2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i 与3＋2i 的模相等，z 的模为2.8．34＋i 解析 设z ＝x ＋y i ，则z ＋|z |＝x 2＋y 2＋x ＋y i ＝2＋i ，∴⎩⎨⎧ x 2＋y 2＋x ＝2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1，∴z ＝34＋i. 9．解 设▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点P ，由复数加减法的几何意义，得 DA →＝P A →－PD →＝12CA →－12BD →＝12(CA →－BD →) ＝12(－6－8i ＋4－6i)＝－1－7i ， 所以向量DA →对应的复数为－1－7i.10．解 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0 (a ∈R )的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0a ＝b 解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8.∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆． 如图，当Z 点在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值． ∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |min ＝ 2.11．D [由题图知复数z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z 1＋i的点为H .] 12．(1)证明 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )， 则|z |＝1⇔x 2＋y 2＝1，z ＝1z⇔z ·z ＝1⇔(x ＋y i)(x －y i)＝1 ⇔x 2＋y 2＝1，∴|z |＝1⇔z ＝1z. (2)解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋3(x ＋y i) ＝(x 2＋y 2＋3x )＋3y i ＝5＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋3x ＝5，3y ＝3∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝1. ∴z ＝1＋i 或z ＝－4＋i.。
高中数学 第七章 复数 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义习题(含解析)新人教A版必修第二册-
7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课后篇巩固提升基础达标练1.若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限.2.设z1=2+b i(b∈R),z2=a+i(a∈R),当z1+z2=0时,复数a+b i为()A.1+iB.2+iC.3D.-2-iz1+z2=(2+b i)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,所以于是故a+b i=-2-i.3.复数z1=a+4i,z2=-3+b i,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为()A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.4.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i,故选D.5.若z1=2+i,z2=3+a i(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1z1+z2=2+i+3+a i=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,故a=-1.6.已知复数z满足z+1+2i=10-3i,则z=.z+1+2i=10-3i,所以z=(10-3i)-(2i+1)=9-5i.-5i7.已知z是复数,|z|=3且z+3i是纯虚数,则z=.z=a+b i(a,b∈R),则a+b i+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0.又∵|z|=3,∴b=3,∴z=3i.8.(2020某某六市联考)设m∈R,复数z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若z1+z2是虚数,求m的取值X围.z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,∴z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i=+(m2-2m-15)i.∵z1+z2为虚数,∴m2-2m-15≠0,且m≠-2,解得m≠5,m≠-3,且m≠-2(m∈R).所以m的取值X围为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).能力提升练1.(2019全国Ⅰ高考)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1z=x+y i(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|==1,则x2+(y-1)2=1.故选C.2.若|z|+z=3+i,则z=()A.1-iB.1+iC.+iD.-+iz=x+y i(x,y∈R),依题意有+x+y i=3+i,因此解得故z=+i.3.(2020某某检测)设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为()A.0B.1C.D.|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离即为.4.已知f(z+i)=3z-2i,则f(i)=.z=a+b i(a,b∈R),则f[a+(b+1)i]=3(a+b i)-2i=3a+(3b-2)i,令a=0,b=0,则f(i)=-2i.2i5.复数z1=-2m i,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m=,对应的点位于第象限.2i)1+z2=(-2m i)+(-m+m=(-m)+(m2-2m)i.∵z1+z2>0,∴z1+z2为实数且大于0.∴解得m=2.∴z2=-2+4i,=-2-4i,对应点为(-2,-4),位于第三象限.三6.已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积.因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为,所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),所以解得故点D对应的复数为5.(2)因为=||||cos B,所以cos B=,即sin B=.于是S=||||sin B==7,故平行四边形ABCD的面积为7.素养培优练复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.。
(仅供参考)复变函数-第一章习题课
x2 + y2 x4
F ''(t) +
2y x3
F '(t)
=
0,
两边同乘x2, 考虑到y/x=t, 所以得到
(1+ t 2 )F ''(t) + 2tF '(t) = 0.
PlotPoints → 400, AspectRatio → 1,
TextStyle → 8FontSize → 20<E;
Show@u, vD
12
2
1
0
−1
y= -1
−2
−3
−4
−2
0
2
4
6
x=2
红线: u(x,y)=c1, 兰线: v(x,y)=c2, 分别是在点(2, -1)处 相切于直线x=2和y=-1的圆族. 两个切线本身也包含
偏导数:
∂v ∂x
= F '(t) ∂t ∂x
=
−
y x2
F '(t),
∂v ∂y
= F '(t) ∂t ∂y
= 1 F '(t), x
(2a)
∂2v ∂x 2
=
−
y x2
2 F ''(t)
+
2y x3
F '(t),
∂2v ∂y 2
=
1 x
2
F ''(t).
(2b)
14
将Eq.(2b)代入Laplace方程, 得
=
−
1
ρ
∂ 2u
∂ϕ 2
,
(2b)
比较Eqs. (2a)和(2b),自然得到
复数习题课课件
信号的傅里叶变换
复数可以帮助我们分解和分析 信号的频率和幅度，以实现傅 里叶变换。
工程和科学领域中的 实际应用案例
复数的应用不限于数学领域， 也可以帮助我们解决模拟和数 字信号等方面的问题。
复数的重要性
我们可以看到，复数不仅在数学领域有着广泛应用，而且在工程和科学领域中也有接踵而至的重要作用。
电力系统中的应用
复杂的电力网络需要使用复数数 学来计算电流和电压。
波动现象中的应用
复数数学可以帮助我们分析和计 算波动现象。
人工智能领域中的应用
复数数学可以帮助我们模拟神经 网络等复杂系统。
复数的深入学习和研究
1 探索更高级的复数应用
在学习和应用复数中，我们可以不断挑战自 己，去探索和发现更多的应用场景。
2 培养数学素养
复数的常见运算法则
1
复数乘法
2
在直角坐标和极坐标形式下的运算法则
是不同的。
3
共轭复数
4
通过将复数中的虚数部分取相反数，可 以得到其对应的共轭复数。
复数加减法
在直角坐标和极坐标形式下的运算法则 是不同的。
复数除法
在直角坐标和极坐标形式下的运算法则 是不同的。
复数的代数形式和实数部分和虚数部分
复数可以写成实数部分和虚数部分的和的形式，也称为代数形式。实数部分指复数的实数部分，虚数部分指复 数的虚数部分。
复数不仅是一种数学概念，更是培养我们数 学素养和逻辑思考能力的极好工具。
ห้องสมุดไป่ตู้
复数习题课ppt课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨复数的概念，表示和运算法则，并讨论复 数的实际应用。欢迎加入!
什么是复数?
复数的基本概念
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 习题课—复数运算的综合问题课后提升训练(含解析)新人教A版
第三章数系的扩充与复数的引入习题课——复数运算的综合问题课后篇巩固提升1.若复数z 满足|z-1+i |=3,则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于() A.3 B.9 C.6π D.9π,复数z 对应的点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,其面积等于π×32=9π.2.已知a ,b ∈R ,且2+a i,b+3i 是一个实系数一元二次方程的两个根,则a ,b 的值分别是() A .a=-3,b=2 B .a=3,b=-2 C .a=-3,b=-2 D .a=3,b=2,这两个复数一定是互为共轭复数,故a=-3,b=2.3.设x ,y ∈R ,i 为虚数单位,(x+i)x=4+2y i,则|x +4x i 1+i|=() A.√10B.√5C.2D.√2(x+i)x=4+2y i,x ,y ∈R ,∴x 2+x i =4+2y i,可得x 2=4,x=2y ,解得x=2,y=1,或x=-2,y=-1,则|x+4y i |=|2+4i |=√22+42=2√5,或|x+4y i |=|-2-4i |=√(-2)2+(-4)2=2√5.又|1+i |=√2,∴|x +4x i 1+i|=|x +4x i||1+i|=√5√2=√10,故选A .4.关于x 的方程3x 2-x2x-1=(10-x-2x 2)i 有实根,则实数a 的值等于.x=m ,则原方程可变为3m 2-x2m-1=(10-m-2m 2)i,所以{3x 2-x 2x -1=0,10-x -2x 2=0,解得a=11或a=-715.或-7155.关于复数z 的方程|z|+2z=13+6i 的解是.z=x+y i(x ,y ∈R ),则有√x 2+x 2+2x+2y i =13+6i,于是{√x 2+x 2+2x =13,2x =6,解得{x =4,x =3或{x =403,x =3.因为13-2x=√x 2+x 2≥0,所以x ≤132,故x=403舍去,故z=4+3i .4+3i6.已知z ∈C ,且|z+1|=|z-i |,则|z+i |的最小值等于.|z+1|=|z-i |表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+i |=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,-1)的距离,数形结合知其最小值为√22.7.已知复数z=3+i2-i ,z 1=2+m i . (1)若|z+z 1|=5,某某数m 的值;(2)若复数az+2i 在复平面上对应的点在第二象限,某某数a 的取值X 围.z=3+i 2-i=(3+i)(2+i)(2-i)(2+i)=5+5i 5=1+i .因为|z+z 1|=|1+i +2+m i |=|3+(m+1)i |=√32+(x +1)2=5,所以9+(m+1)2=25. 解得m=-5或m=3.(2)az+2i =a (1+i)+2i =a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以{x <0,x +2>0,解得-2<a<0.8.已知关于x 的方程x 2-(6+i)x+9+a i =0(a ∈R )有实数根b. (1)某某数a ,b 的值.(2)若复数z 满足|x -a-b i |-2|z|=0,当z 为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.因为b 是方程x 2-(6+i)x+9+a i =0(a ∈R )的实根,所以(b 2-6b+9)+(a-b )i =0,故{x 2-6x +9=0,x =x ,解得a=b=3. (2)设z=m+n i(m ,n ∈R ),由|x -3-3i |=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m 2+n 2), 即(m+1)2+(n-1)2=8,所以Z 点的轨迹是以O 1(-1,1)为圆心,以2√2为半径的圆.如图,当Z 点在直线OO 1上时,|z|有最大值或最小值. 因为|OO 1|=√2,半径r=2√2,所以当z=1-i 时,|z|有最小值,且|z|min =√2.。
数学课程复数的运算练习题及答案
数学课程复数的运算练习题及答案一、绪论在数学课程中，复数的运算是一个重要的内容。
复数是由实数和虚数组成的数学对象，广泛应用于代数、物理学和工程学等领域。
掌握复数的运算规则和技巧对于提高数学解题能力和扩展数学思维具有重要意义。
本文将为大家提供一系列复数的运算练习题及答案，以帮助读者更好地理解和应用复数。
二、复数的定义与基本运算1. 复数的定义复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，bi 是虚数部分，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
2. 复数的共轭复数 a + bi 的共轭定义为 a - bi。
共轭复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数。
3. 复数的加法与减法对于复数 a + bi 和 c + di，其加法为 (a + c) + (b + d)i，减法为 (a - c) + (b - d)i。
4. 复数的乘法对于复数 a + bi 和 c + di，其乘法为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
5. 复数的除法对于复数 a + bi 和 c + di，其除法为 (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc - ad)/(c^2 + d^2)i。
三、复数运算练习题及答案1. 计算下列复数的和与差：a) (4 + 3i) + (1 - 2i)解：(4 + 1) + (3 - 2)i = 5 + ib) (2 + 5i) - (3 - 4i)解：(2 - 3) + (5 + 4)i = -1 + 9i2. 计算下列复数的乘积与商：a) (2 + i)(3 - 2i)解：(2*3 - 1*(-2)) + (2*(-2) + 3*1)i = 8 - ib) (4 + 5i)/(2 - i)解：((4*2 + 5*1)/(2^2 + 1^2)) + ((5*2 - 4*1)/(2^2 + 1^2))i = (13/5) + (6/5)i3. 计算下列复数的共轭：a) (3 + 4i)解：3 - 4ib) (-2 - 6i)解：-2 + 6i4. 求下列复数的模和幅角：a) 2 + 4i解：模为√(2^2 + 4^2) = √20，幅角为 arctan(4/2) = arctan 2b) -3 - 5i解：模为√((-3)^2 + (-5)^2) = √34，幅角为 arctan((-5)/(-3)) =arctan(5/3)五、总结本文针对数学课程中复数的运算练习题及答案进行了介绍，并给出了相应的解答。
复数的四则运算 高中数学例题课后习题详解
7.2复数的四则运算7.2.1复数的加､减运算及其几何意义例1计算()()()56i 2i 34i -+---+.解：()()()56i 2i 34i -+---+()()523614i=--+---11i =-.例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点()111,Z x y ，()222,Z x y 之间的距离.分析：由于复平面内的点()111,Z x y ，()222,Z x y 对应的复数分别为111i z x y =+，222i z x y =+，由复数减法的几何意义知，复数21z z -对应的向量为12Z Z ，从而点1Z ，2Z 之间的距离为1221Z Z z z =- .解：因为复平面内的点()111,Z x y ，()222,Z x y 对应的复数分别为111i z x y =+，222i z x y =+，所以点1Z ，2Z 之间的距离为()()1212212211i i Z Z Z Z z z x y x y ==-=+-+ ()()2121ix x y y =-+-=练习1.计算：（1）(24)(34)i i ++-；（2）5(32)i -+；（3）(34)(2)(15)i i i --++--；（4）(2)(23)4i i i --++.【答案】（1）5（2）22i -（3）22i -+（4）0【解析】【分析】直接进行复数的加减运算即可.【详解】（1）原式(23)(44)5i =++-=；（2）原式(53)(02)22i i =-+-=-；（3）原式(321)[41(5)]22i i =-+-+-+--=-+；（4）原式(220)(134)0i =-++--+=.【点睛】本题考查复数的加减运算，属于基础题.2.如图，向量OZ 对应的复数是z ，分别作出下列运算的结果对应的向量：（1）1z +；（2）z i -；（3）(2)z i +-+.【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析【解析】【分析】复数与以原点为起点的向量是一一对应的，根据平行四边形法则作出相应向量即可.【详解】（1）复数1与复平面内点(1,0)A 一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（2）复数i -与复平面内点(0,1)A -一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（3）复数2i -+与复平面内点(2,1)A -一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：【点睛】本题考查复数加法的几何意义，属于基础题.3.证明复数的加法满足交换律、结合律.【答案】证明见解析【解析】【分析】设123,,(,,,,,)z a bi z c di z e fi a b c d e f R =+=+=+∈，根据复数的加法运算证明1221z z z z +=+，()()123123z z z z z z ++=++即可.【详解】证明：复数的加法满足交换律.设12,(,,,)z a bi z c di a b c d =+=+∈R ，则有12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，()21()()()z z c di a bi c a d b i +=+++=+++，∵a c c a +=+，b d d b +=+，∴1221z z z z +=+.即复数的加法满足交换律.复数的加法满足结合律.设123,,(,,,,,)z a bi z c di z e fi a b c d e f R =+=+=+∈，有()123[()()]()[()()]()z z z a bi c di e fi a c b d i e fi ++=+++++=+++++()()a c e b d f i =+++++，()123()[()()]()[()()]()()z z z a bi c di e fi a bi c e d f i a c e b d f i ++=+++++=+++++=+++++∴()()123123z z z z z z ++=++，即复数的加法满是结合律.【点睛】本题考查复数加法运算的交换律、结合律的证明，属于基础题.4.求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：（1）122,3z i z i =+=-；（2）3485,42z i z i =+=+.【答案】（12）5【解析】【分析】21z z -即为复平面上点1z 到2z 的距离，求21z z -的模即可.【详解】（1）21|12|d z z i =-=-==；（2）34|43|5d z z i =-=--==.【点睛】本题考查复平面内两个复数对应的两点之间的距离，属于基础题.7.2.2复数的乘､除运算例3计算()()()12i 34i 2i -+-+.解：()()()12i 34i 2i -+-+()()112i 2i =--+2015i =-+.例4计算：（1）()()23i 23i +-；（2）()21i +.分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式①计算.解：（1）()()23i 23i +-()2223i =-()49=--13=；（2）()221i 12i i +=++12i 1=+-2i =.例5计算()()12i 34i +÷-.解：()()12i312i 34i 4i+=--+÷()()()()2212i 34i 386i 4i 34i 34i 34++-++==-++510i 12i 2555-+==-+.例6在复数范围内解下列方程：（1）220x +=；（2）20ax bx c ++=，其中a ，b ，R c ∈，且0a ≠，240b ac ∆=-<.分析：利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根.对于（2），当240b ac ∆=-<时，一元二次方程20ax bx c ++=无实数根.利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于（1），就能在复数范围内求得（2）中方程的根.解：（1）因为)()222==-，所以方程220x +=的根为x =.（2）将方程20ax bx c ++=的二次项系数化为1，得20b c x x a a++=.配方，得222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()22242(2)b ac b x a a --⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由∆<0，知()()()2224Δ022b ac a a ---=>.类似（1），可得2b x a +=.所以原方程的根为2b x a =-±.在复数范围内，实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的求根公式为：（1）当0∆≥时，2b x a-±=；（2）当∆<0时，x =练习5.计算：（1）(76)(3)i i --；（2）(34)(23)i i +--；（3）(12)(34)(2)i i i +---．【答案】（1）1821i --（2）617i -（3）2015i--【解析】【分析】（1）根据复数乘法法则求解；（2）根据复数乘法法则求解；（3）根据复数乘法法则求解.【详解】解：（1）原式221181821i i i =-+=--；（2）原式269812617i i i i =----=-；（3）原式22(3468)(2)(112)(2)2211422015i i i i i i i i i i =-+---=+--=----=--．【点睛】本题考查复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.6.计算：（1）) () i i ++；（2）2(1)i -；（3）(2)(12)i i i --．【答案】（1）-5（2）-2i （3）5【解析】【分析】（1）根据复数乘法法则求解；（2）根据复数乘法法则求解;（3）根据复数乘法法则求解.【详解】解：（1）原式2325i =-+-+=-；（2）原式2122i i i =+-=-；（3）原式22(2)(12)(12)(12)145i i i i i i =--=+-=-=．【点睛】本题考查复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.7.计算：（1）1i 1i +-；（2）1i ；（3）7i 34i++；（4）()()1i 2i i-++-.【答案】（1）i（2）i-（3）1i-（4）13i--【解析】【分析】根据复数的运算律直接计算.【小问1详解】解：()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2+++===--+；【小问2详解】解：21i i i i==-；【小问3详解】解：()()()()7i 34i 7i 2525i 1i 34i 34i 34i 25+-+-===-++-；【小问4详解】解：()()()21i 2i 3i i 3i 13i i i i -++-+-+===-----.8.在复数范围内解下列方程：（1）29160x +=；（2）210x x ++=．【答案】（1）43x i =±（2）132x -±=【解析】【分析】（1）利用配方法得到方程的根；（2）利用公式法得到方程的根.【详解】解：（1）因为224416339i i ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以方程29160x +=的根为43x i =±．（2）因为214110∆=-⨯⨯<，所以方程210x x ++=的根为x =，即132x -=．【点睛】本题考查复数范围内一元二次方程的根，考查基本分析求解能力，属基础题.习题7.2复习巩固9.计算：（1）(65)(32)i i -++；（2）5(22)i i -+；（3）221313324i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)i i i +-++-【答案】（1）93i -；（2）23i -+；（3）75612i -；（4）0.30.2i +.【解析】【分析】根据复数加减法的运算法则直接运算即可.【详解】（1）(65)(32)(63)(52)93i i i i -++=++-+=-；（2）5(22)2(52)23i i i i -+=-+-=-+；（3）221321237511133243234612i i i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--+=+-+--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)(0.5 1.21)(1.30.70.4)0.30.2i i i i i +-++-=-++--=+.【点睛】本题考查了复数加减混合运算，考查了数学运算能力.10.在复平面内，复数65,34i i +-+对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，求向量,AB BA 对应的复数.【答案】9i --，9i+【解析】【分析】根据复数写出它在复平面对应点的坐标，从而知道向量,OA OB 的坐标表示，利用平面向量减法的几何意义求出平面,AB BA 的坐标表示，最后求出对应的复数.【详解】解：由题意得(6,5),(3,4)OA OB ==- ，所以(9,1)AB OB OA =-=-- ，故AB对应的复数为9i --.因为(9,1)BA AB =-= ，所以向量BA 对应的复数为9i +.【点睛】本题考查了复数与平面向量之间的关系，属于基础题.11.计算：（1）(87)(3)i i ---；（2）(43)(54)i i ---；（3）13(1)22i i ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭；（4）31132222i i ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（5）(1)(1)(1)i i i +-+-+.【答案】（1）2124i -+；（2）32i --；（3）131322i +--+；（4）1322i --；（5）1i+【解析】【分析】运用复数乘法运算法则、加减法的运算法则直接运算即可.【详解】（1）2(87)(3)24212124i i i i i ---=+⋅=-+；（2）2(43)(54)2016151232i i i i i i ---=--++⋅=--；（3）21311331313(1)22222222i i i i ⎛⎫+-+-++=--++⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭；（4）2113112222444422i i i i i ⎛⎫⎛⎫--+=-+⋅+-=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（5）2(1)(1)(1)111i i i i i i i i +-+-+=-+--+=+.【点睛】本题考查了复数乘法的运算、加减法的运算法则，考查了数学运算能力.12.1.计算：（1）2i 2i -；（2）2i 74i ++；（3）()212i -；（4）()()2254i i 2i ++.【答案】（1）24i 55-+（2）181i 6565-（3）34i 2525+（4）3677i 55--【解析】【分析】（1）分子分母同乘2i +；（2）分子分母同乘74i -；（3）先化简()22i -，再分子分母同乘34i +；（4）先化简()22i +与()24i +，再分子分母同乘3i 4+【小问1详解】()()()2i 2i 2i 4i 224i 2i 2i 2i 555+-===-+--+【小问2详解】()()()()2i 74i 2i 148i 7i 4181i 74i 74i 74i 49166565+-+-++===-++-+【小问3详解】()()()21134i 34i 34i 34i 34i 25252i +===+--+-【小问4详解】()()()()()()()()2254i 515+8i 75+40i 3i 43677ii 34i 3i 43i 455i 2i ++===--+-++综合运用13.已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D 对应的复数．【答案】3＋5i【解析】【详解】试题分析：法一：设D 的坐标为(,)x y ，则对应的复数为,(,)x yi x y R +∈，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即可求解,x y 的值，即可得到点D 对应的复数．法二：设D 的坐标为(,)x y ，由于AD BC = ，可得(1,3)(2,2)x y --=，求出,x y 的值，即可得到点D 对应的复数；试题解析：方法一设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R )，则D(x ，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．∴AC 中点为，BD 中点为.∵平行四边形对角线互相平分，∴，∴.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R )．则对应的复数为(x ＋yi)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于＝.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴，∴.即点D 对应的复数为3＋5i.点睛：本题主要考查了复数的几何意义及复数的表示，解答中根据复数的表示和平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分和复数相等的坐标间的关系，得到方程，求解,x y 的值，其中熟练掌握复数的运算和复数相等的条件是解答的关键．14.在复数范围内解下列方程：（1）2450x x ++=；（2）22340x x -+=.【答案】（1）2x i =-±（2）34x ±=【解析】【分析】（1）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可；（2）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可.【详解】解：（1）2441540∆=-⨯⨯=-< ,∴方程2450x x ++=的根为x =2x i =-±.（2）2(3)424230A =--⨯⨯=-< ，∴方程22340x x -+=的根为x =，即3234x =.【点睛】本题考查了在复数范围内求一元二次方程根的问题，考查了数学运算能力.15.已知－3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p 、q 的值．【答案】12{26.p q ＝＝【解析】【详解】∵－3＋2i 方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，∴2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0即(10－3p ＋q )＋(2p －24)i ＝0.∴1030{2240p q p －＋＝，－＝解得12{26.p q ＝＝拓广探索16.利用公式22()()a b a bi a bi +=+-，把下列各式分解成一次因式的积；（1）24x +；（2）44a b -.【答案】（1）24(2)(2)x x i x i +=+-；（2）44()()()()a b a b a b a bi a bi -=+-+-.【解析】【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解即可；（2）运用平方差公式进行因式分解即可.【详解】（1）22224(4)(2)(2)(2)x x x i x i x i +=--=-=+-；（2）442222()()()()()()a b a b a b a b a b a bi a bi -=-+=+-+-.【点睛】本题考查了在复数范围内因式分解，考查了平方差公式的应用，属于基础题.17.若(,)z x yi x y R =+∈，则复平面内满足|(2)|3z i -+=的点2的集合是什么图形？【答案】以(2,1)为圆心，以3为半径的圆.【解析】【分析】解法1：根据复数模的几何意义进行判断即可；解法2：根据复数的减法的运算法则和复数模的公式进行求解判断即可.【详解】解法1：由复数模的几何意义可知，复平面内满足|(2)|3z i -+=的点Z 的集合是以21（，）为圆心，以3为半径的圆.解法2：,|(2)||2||(2)(1)|3z x yi z i x yi i x y i =+∴-+=+--=-+-= .3=即222(2)(1)3x y -+-=，故复平面内满足|(2)|3z i -+=的点2的集合是以(2,1)为圆心，以3为半径的圆.【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数学运算能力，属于基础题.10.使用信息技术手段进行试验：尝试在复数集中对实系数多项式进行因式分解，观察并记录所发现的规律.变式练习题18.计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2020＋2021i)＋(2021－2022i)．【答案】1011－1012i【解析】【分析】根据复数的加减法运算法则化简计算即可.【详解】原式＝(1－2＋3－4＋…－2020＋2021)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2021－2022)i ＝(2021－1010)＋(1010－2022)i＝1011－1012i.19.计算：（1）(1－2i)(1＋2i)；（2）[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．【答案】（1）5（2）32＋7i【解析】【分析】（1）根据复数的乘法法则或平方差公式即可求得答案；（2）根据复数的乘法法则即可求得答案.【小问1详解】方法一：原式＝1＋2i－2i－4i2＝5；方法二：原式＝1－(2i)2＝1－4i2＝5.【小问2详解】原式＝(6－i)(5＋2i)＝30＋12i－5i－2i2＝32＋7i.20.在复数范围内分解因式：（1）x2＋4（2）x4－4【答案】（1）(x＋2i)(x－2i)（2）(x i)(x i)(x)(x－)．【解析】【分析】（1）利用复数范围内的因式分解即可求解.（2）利用复数范围内的因式分解即可求解.【小问1详解】x 2＋4＝(x ＋2i)(x －2i)．【小问2详解】x 4－4＝(x 2＋2)(x 2－2)＝(x i)(x i)(x )(x )．21.已知3i 13i zz z -=+求复数z .【答案】1z =-或13i z =-+.【解析】【分析】设i z a b =+(),a b R ∈，根据复数代数形式的乘法运算法则及复数相等的充要条件得到方程组解得即可；【详解】解：设i z a b =+(),a b R ∈，则i z a b =-，所以()()()i i 3i i 13i a b a b a b +---=+，即223i 313i a b a b +--=+，则223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩解得10a b =-⎧⎨=⎩或13a b =-⎧⎨=⎩，故1z =-或13i z =-+.22.计算i ＋2i 2＋3i 3＋…＋2020i 2020＋2021i 2021.【答案】1010＋1011i【解析】【分析】根据i 的概念和运算规则化简计算即可得出答案.【详解】原式＝(i －2－3i ＋4)＋(5i －6－7i ＋8)＋(9i －10－11i ＋12)＋…＋(2017i －2018－2019i ＋2020)＋2021i ＝505·(2－2i)＋2021i ＝1010＋1011i.23.设13i 22z =+，求证：（1）210z z -+=（2）31z =-（3）2z z=-【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由1i 22z =+，求得213i 22z =-+，即可证得210z z -+=；（2）由1i 22z =+，求得21i 22z =-+，进而求得31z =-；（3）由13i 22z =+，分别求得213i 22z =-+和13i 22z -=-+，即可证得2z z =-.【小问1详解】解：由13i 22z =+，可得221313(i)i 2222z =+=-+，所以2131311i i 02222z z -+=---+=.【小问2详解】解：由1i 22z =+，可得211i i 2222z =+=-+，则3213131333(i)(i)i i i)122224442z =+-+=-+-+=-【小问3详解】解：由13i 22z =+，可得21322z =-+，13i 22z =-，则1322z -=-+，所以2z z =-.24.1.计算：202134i 1i ()43i 1i--+++【答案】－2i【解析】【分析】根据复数的除法法则和乘方运算即可得到答案.【详解】()()()()202122021202134i 43i 1i 34i 1i ()i+i 43i 1i 252⎡⎤-----+=+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()1i+i 2i =--=-.25.计算：i 2019＋i)8－2(1i -50＋.【答案】256－i【解析】【分析】根据复数的运算规则化简计算即可.【详解】原式＝i 4×504＋3＋[2(1＋i)2]4－225[]1i ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭2＝i 3＋(4i)4－()252522i -＋i＝－i ＋256＋251i ＋i ＝256＋1i ＝256－i.26.在复平面内分别用点表示复数2－3i ，5i ，－3，－5＋3i 及它们的共轭复数．【答案】答案见解析【解析】【分析】根据复数的几何意义和共轭复数的概念可得答案.【详解】复数2－3i ，5i ，－3，－5＋3i 表示的点分别为A ，B ，C ，D ，其对应的共轭复数表示的点分别为A ′，B ′，C '，D ′.作图如下：27.已知z ＝(x ＋1)＋(y －1)i 在复平面所对应的点在第二象限，求x 与y 的取值范围．【答案】1,1.x y <-⎧⎨>⎩【解析】【分析】解不等式组10,10,x y +<⎧⎨->⎩即得解.【详解】解：由题意得10,10,x y +<⎧⎨->⎩所以1,1.x y <-⎧⎨>⎩28.已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i ，则实数x 的取值范围是__________.【答案】425⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由复数模的定义列不等式求解即可.【详解】由题意得2－6x－8＜0，∴(5x＋4)(x－2)＜0，∴425x -<<.【点睛】本题主要考查了复数模的计算，属于基础题.29.已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝1＋a i(a ，b ∈R )，若|z 1|<z 2，则b 的取值范围是________.【答案】()1,1-【解析】【分析】根据|z 1|<z 2，得到z 2为实数，故a ＝0，再计算不等式得到答案。
高中数学 3.2复数的四则运算习题课(含解析)苏教版高二选修1-2数学试题
2015年高中数学全套备课精选 3.2复数的四则运算习题课（含解析）苏教版选修1-2 课时目标 1.进一步理解复数的四则运算.2.了解解复数问题的基本思想．1．复数乘方的性质：对任何z ，z 1，即z ∈C 及m 、n ∈N *，有z m ·z n ＝________(z m )n ＝z mn(z 1z 2)n ＝z n 1z n 22．n ∈N *时，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.一、填空题 1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是____________．2．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz ＝______.3．设C ，R ，I 分别表示复数集、实数集、纯虚数集，取C 为全集，下列命题正确的是____________(请填写相应的序号)．①R ∪I ＝C ；②R ∩I ＝{0}；③C ∩I ＝∁I R ；④R∩I ＝∅.4．1＋i 1－i表示为a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 5．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i (x ∈R )，若z 1·z 2为实数，则x ＝________.6．已知复数z 满足z ＋(1＋2i)＝10－3i ，则z ＝________.7．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.8．若x 是实数，y 是纯虚数且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________.二、解答题9．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .10．解方程x 2－(2＋3i)x ＋5＋3i ＝0.能力提升11．已知z 是虚数，且z ＋1z 是实数，求证：z －1z ＋1是纯虚数．12．满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z 是否存在，若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．1．对于复数运算中的分式，要先进行分母实数化．2．充分利用复数相等的条件解方程问题．习题课答案知识梳理1．z m ＋n作业设计1．3－3i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，故所求复数为3－3i.2．±i解析 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，依题意2x ＝4且x 2＋y 2＝8，解之得x ＝2，y ＝±2. ∴zz ＝z 2z ·z ＝2±2i28＝±i.3．④解析 复数的概念，纯虚数集和实数集都是复数集的真子集，但其并集不是复数集，当ab ≠0时，a ＋b i 不是实数也不是纯虚数，利用韦恩图可得出结果．4．1解析 ∵1＋i 1－i ＝1＋i 22＝i ，∴a ＝0，b ＝1， 因此a ＋b ＝1.5．－2 6.9＋5i7．2＋i解析 z ＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i 5＝10－5i 5＝2－i. ∴z ＝2＋i.8．122i 解析 设y ＝b i (b ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝0b ＝2，∴x ＝12. 9．解 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i (a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则有a 2－b 2＋2ab i －[(2a －3b )＋(3a ＋2b )i]＋5＋3i ＝0，根据复数相等的充要条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2－2a －3b ＋5＝0，2ab －3a ＋2b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1. 故方程的解为x ＝1＋4i 或x ＝1－i. 11．证明 设z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )，于是 z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b i a 2＋b 2 ＝a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. ∵z ＋1z ∈R ，∴b －b a 2＋b 2＝0. ∵z 是虚数，∴b ≠0，∴a 2＋b 2＝1且a ≠±1.∴z －1z ＋1＝a －1＋b i a ＋1＋b i＝[a －1＋b i][a ＋1－b i]a ＋12＋b 2＝a 2－1＋b 2＋[a ＋1b －a －1b ]i a 2＋b 2＋2a ＋1＝0＋2b i 1＋2a ＋1＝b a ＋1i.∵b ≠0，a ≠－1，a 、b ∈R ， ∴b a ＋1i 是纯虚数，即z －1z ＋1是纯虚数． 12．解 设存在虚数z ＝x ＋y i (x 、y ∈R 且y ≠0)． 因为z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .因为y ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．。
第5课时 复数的三角形式习题课
复数乘方法则： ③ 复数乘方法则： [r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ) (n∈N, n≥2) θ θ θ θ ∈ ≥ 复数开方法则： ④复数开方法则： z=r(cosθ θ的 复数 z=r(cosθ+isinθ)的 n 次方根为
n
r (cos
θ + 2kπ θ + 2kπ ) (k = 0,1,2L , n − 1) + i sin n n
[r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] ÷ [r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r1 [cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin( θ 1 − θ 2 )) (r2 ≠ 0) r2
复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换 复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换.
π 2
例题： 例题： 例 4 ． 复 数 z1 与 2+4i 的 积 是 2-16i ， 复 数 z2 满 足
z 1 ⋅ z 2 − ( 7 − 16i ) = −1 .如果复数 z1 的辐角主值是α，z2 的辐角 如果复数 的辐角主值是α i
主值是β 主值是β，求α+β的值 β的值. 分析与解答： 分析与解答： β 的一个辐角； ①α+β是 z1·z2 的一个辐角； 并由此确定α 的范围； ②必须先求出 z1 和 z2，并由此确定α、β的范围；
分析与解答： 分析与解答： 根据题意我们不妨画出草图，以便分析. 根据题意我们不妨画出草图，以便分析 根据平面几何的知识， 根据平面几何的知识，我们知道正方形的一条对角线 将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，而且斜边是直 将正方形分成两个全等的等腰直角三角形， 角边的 2 倍.
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课题：复数的概念及运算
授课类型：复习课
教学目标：
1.知识与技能：复习复数的概念，掌握复数代数形式的四则运算。
2.过程与方法：通过复习知识点和讲解典型例题，使学生建立这一章的知识体系，
并能运用所学知识解决高考中的复数问题。
3.情感态度与价值观：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是
的科学态度。
教学重点：
复数的概念及四则运算。
教学难点：
复数的几何意义及乘方，除法运算。
教学方法：讲授
教学过程：
一、知识点梳理
1、复数的概念：
⑴形如z=a+bi（R
∈,）的数叫做复数，其中a叫复数的实部，b叫虚
a∈
R
b
部。
①当且仅当b=0时,z为实数。
②当且仅当a=0,b≠0时，z为纯虚数。
③当且仅当a=b=0时，z=0.
（2）复数相等的条件
a+bi=c+di 当且仅当 a=c,b=d
2 复数的四则运算
（a+bi ）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
（a+bi ）-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
（a+bi ）(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2
222+-+++=++ 乘方,14=n i i i n =+14,124-=+n i ,34i i n -=+(Z n ∈)
4. 复数的几何意义
复数的模 |z|=|oz |=22b a +，共轭复数：a+bi 与a-bi 互为共轭复数
二．例题讲解
例1：已知z=(652+-m m )+)103(2-+m m i, (m R ∈),求满足下列条件的m 的值
（1） z 是实数。
（2） z 是虚数。
（3） z 是纯虚数
分析：（1）本题主要是巩固学生对复数中实数，虚数，纯虚数的概念的掌握。
（2）教学中可以提问学生，由学生解答，教师板书解答过程
（3）学生易出现逻辑错误，通过提问和分析引起学生注意。
解：（1）若z 是实数，则01032=-+m m ,解得52-==m m 或
(2) 若z 是虚数,则01032≠-+m m 解得2≠m 且5-≠m
（3）若z 是纯虚数，则{
10306522≠-+=+-m m m m ，解得m=3 例2：已知c z ∈且i z i z z 313+=-，求z 的值
分析：（1）本题是一个典型的复方程问题，设置本例目的是使学生掌握用复数相等的充要条件来解复方程的方法。
（2）教学方法上可以由教师启发，学生解答。
解答过程教师板书，培养学生规范的解题格式。
解：设z=a+bi, 其中R b R a ∈∈,，则bi a z -=，由i z i z z 313+=-可得
（ a+bi ）（a-bi ）-3i(a-bi)=1+3i
整理得i ai b b a 313322+=--+，由复数相等的充要条件得
{1
33322=-+=-b b a a 解得{10-==a b 或{1
3-==a b
所以z=-1 或z=-1-3i
（3）小结：解复方程中最为常用的方法是利用复数相等的条件把一个复方程转化为实方程求解，体现了转化的思想和方程的思想。
例3：已知复数Z 满足Z(3-i)=7+4i,求|Z|
【练习】
1.计算
（1）（3+2i ）(6-5i) (2)i
i 437++ 分析：类比多项式乘法进行复数的乘法运算，借助于共轭复数进行除法运算
i i i i i i i 32810
31810121518)
23)(56)(1(2
-=+-=-+-=+-解： i i i i i i i i i i -=-=++-=-+-+=++125252525
432821)43)(43()43)(7(437)
2( （3）100321i i i i +++
补充练习（可以根据学生对复数乘法、除法运算的掌握程度选择使用）
（4）（1+i ）（1+2i ）（1-i ） i
i i ++-1)21)(1()
5( 练习2.高考题演练
分析：本组练习主要是提供一些高考题，让学生了解高考中对“复数”的要求，同时通过习题，培养学生灵活解题的能力
（1）(08宁夏.文)已知复数z=1-i,则=-12
z z （ ） （A ）2 （B ）-2 （C ）2i (D)-2i
（2）（07宁夏.文）i 是虚数单位，_____8.....32832i i i i ++++
（用a+bi 的形式表示，R b a ∈,）
(3)(2007全国.文)设a 是实数，且
2
11i i a +++是实数，则a 等于（ ） A 21 B 1 C 23 D 2 作业：
1. 求复数i
z -=
11的共轭复数 2. 计算
（1）i i 212++- （2）)43()31(2i i ++ 3.已知复数z 满足
z i z -+=31，求z 小结：
本节课我们复习了复数的概念及运算。
高考对这部分的要求是：
1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。
2.掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。
了解从
自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想。
板书设计：。