加法交换律与结合律
加法交换律和结合律定义公式及文字表示
两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
a×b=b×a
10×12=12×10
乘法结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘，
或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变。
a×b×c=
a×（b×c）
12×25×4=
12×（25×4）
乘法分配律
两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别和这个
运算定律和简便算法
运算定律：
名称
内容
字母表示
用数举例
加法交换律
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
a+b=b+a
25+14=14+25
加法结合律
三个数相加，先把前两数相加，再同第三个数相加，
或者先把后两数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。
a+b+c=
a+（b+c）
20+14+36=
20+（14+36）
数相乘，再把两个积相加，结果不变。
（a+b）×c=
a×c+b×c
（12+15）×4=
12×4+15×4
运算性质：
名称
内容
字母表示
用数举例
减法的性质
一个数连续减去几个数等于一个数减去这几个数的和
a-b-b=
a-（b+c）
250-18-52=
250-（18+52）
除法的性质
一个数连续除以几个数（0除外）等0÷4÷25=
180÷（4×25）
四下运算定律单元大概念
四下运算定律单元大概念
四下运算定律单元大概念主要包括以下内容：
1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
用字母表示为
a+b=b+a。
2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
用字母表示为
a×b=b×a。
4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。
用字母表示为
(a×b)×c=a×(b×c)。
5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把积相加。
用字母表示为(a+b)×c=a×c+b×c。
以上内容仅供参考，可以查阅课本或相关教辅资料，以获取更全面准确的信息。
加法交换律,结合律,分配律定义
加法交换律、结合律、分配律是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
在本文中，我将从简到繁地对这些概念进行探讨，以便让你更深入地理解它们的含义和作用。
让我们从加法交换律开始讨论。
加法交换律是指对于任意两个实数a和b，a + b = b + a。
简单来说，就是加法运算的结果与加数的顺序无关。
这个性质在我们日常生活中也经常会遇到，比如1 + 2和2 + 1的结果都是3。
这个性质在代数运算中有着重要的作用，可以帮助我们简化计算，提高效率。
接下来，让我们转向结合律。
结合律是指对于任意三个实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
就是加法运算中括号的位置不会改变最终的结果。
这个性质在代数中也是非常常见的，可以帮助我们将复杂的运算转化为简单的形式，从而更容易进行计算和推导。
让我们来讨论分配律。
分配律是指对于任意三个实数a、b和c，a * (b + c) = a * b + a * c。
这个性质是加法和乘法之间的关系，它告诉我们在进行乘法运算时，可以先将加法运算进行，然后再进行乘法运算。
分配律在代数中也有着非常重要的作用，可以帮助我们简化复杂的表达式，提高计算的效率。
加法交换律、结合律、分配律是数学中非常重要的概念，它们在代数运算中有着广泛的应用。
通过理解这些概念，我们可以更加灵活地进行计算和推导，提高数学问题的解决效率。
希望通过本文的讨论，你对这些概念有了更深入的理解，并能够在日常学习和工作中灵活运用。
加法交换律、结合律、分配律这三个在数学中非常重要的概念，它们不仅在代数运算中有着广泛的应用，还在各个领域都有着重要的作用。
在本文中，我们将进一步探讨这些概念，以便更加深入地理解它们的含义和应用。
让我们从加法交换律展开讨论。
加法交换律是数学中的一个基本性质，它表明加法运算的结果与加数的顺序无关。
无论是先加a还是先加b，最终的结果都是一样的。
这个性质在代数运算中有着重要作用，可以帮助我们简化计算，提高效率。
加法交换律的概念和加法结合律的概念
加法交换律的概念和加法结合律的概念加法交换律是数学中的一个概念，在加法运算中，无论两个加数的顺序如何改变，其和总是相同的。
即a+b=b+a。
这意味着加法运算是可交换的。
而加法结合律是另一个数学概念，在加法运算中，无论三个加数的顺序如何改变，其和总是相同的。
即(a+b)+c=a+(b+c)。
这意味着加法运算是可结合的。
这两个概念在日常生活中也有广泛的应用。
在计算购物清单或者分配资源时，我们可以根据加法交换律和结合律的原则，更加高效地完成任务。
同时，在学习数学和进行数学运算时，掌握这两个概念也是非常重要的。
- 1 -。
加减法的交换律与结合律
加减法的交换律与结合律在数学中，加法和减法是最基本的运算方式之一。
加法是将两个数值相加，而减法则是从一个数值中减去另一个数值。
这两种运算都有一定的规律，即交换律和结合律。
本文将详细探讨加减法的交换律和结合律，以帮助读者更好地理解和运用这两个重要的运算法则。
一、加法的交换律加法的交换律是指两个数值进行相加时，它们的顺序可以任意交换，结果保持不变。
也就是说，对于任意的实数a和b，有a + b = b + a。
举个简单的例子来说明交换律的应用，假设有两个数值分别为3和5。
按照加法的交换律，3 + 5的结果应该等于5 + 3的结果。
通过计算我们可以得知，3 + 5 = 8，而5 + 3也等于8。
因此，这个例子验证了加法的交换律的正确性。
加法的交换律在实际生活中也有广泛的应用。
比如，在购物时我们可以随意调整商品的顺序，因为最终的总价不会改变。
这个道理同样适用于其他领域，如家庭理财、工程结算等。
二、减法的交换律减法的交换律与加法类似，也是指两个减数的顺序可以改变，结果仍然保持不变。
也就是说，对于任意的实数a和b，有a - b ≠ b - a。
减法的交换律与加法的交换律存在差异是因为减法本质上是加上一个相反数，改变减数的顺序会导致所加的相反数也发生变化。
举个例子来说明减法的交换律的不适用性，假设有两个数值分别为5和3。
按照减法的交换律，5 - 3应该等于3 - 5。
然而，通过计算可以发现，5 - 3 = 2，而3 - 5等于-2，两者结果不同。
因此，减法的交换律在这个例子中不成立。
尽管减法的交换律不适用于一般情况，但在某些特殊情况下仍然成立。
比如，两个减数相等时，减法的交换律仍然成立，因为减去相同的数值不会改变结果。
三、加法的结合律加法的结合律是指在进行多个数值相加时，加法的顺序可以改变，结果保持不变。
也就是说，对于任意的实数a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)。
举个简单的例子来说明结合律的应用，假设有三个数值分别为2、4和6。
加法交换律结合律分配律公式
加法交换律结合律分配律公式数学公式在现代社会中占有重要地位。
在数学中，有三个重要的公式：加法交换律、结合律和分配律。
这些公式不仅仅只是数学家们使用的工具，更是我们日常生活中不可或缺的一部分。
下面我们将逐一介绍这三个公式。
一、加法交换律加法交换律是指：交换两个加数的位置，得到的和不变。
比如说，3 + 5等于8，而5 + 3也等于8。
这个公式给了我们一个提示，即交换加数的位置不会改变总和。
这个公式在我们日常生活中也有很多运用，比如说不同的数字组合会产生不同的效果。
例如，如果你去超市购买商品，某个商品的价格是10元，你要买3个。
那么总价格就是3 * 10 = 30元。
但是如果你的算术能力强，你也可以用加法交换律来计算，即3个商品的总价等于10元商品加上10元商品再加上10元商品，即3 * 10 = 10 + 10 + 10 = 30元。
二、结合律结合律是指：在加法或乘法中，多个数按照不同的组合顺序得到的结果是一样的。
比如说，5 + 3 + 2等于10，而2 + 3 + 5也等于10。
这个公式告诉我们，把三个数任意组合得到的结果都是一样的。
在日常生活中，我们也可以运用结合律来计算一些问题。
比如说，如果你有一组数字8, 7, 5，想要把它们相加得到总和，你可以按照以下步骤操作：首先，把8和7加起来得到15，然后再把15和5加起来，最终得到总和28。
实际上，你也可以先把7和5加起来得到12，然后再和8相加，结果也是一样的。
三、分配律分配律是指：用一个数乘以一个加数的和，等于用这个数分别乘以每个加数，然后得到的结果再相加。
这个公式有时甚至可以被人们视为是乘方的规则。
举个例子来说，如果你要计算2 *（5 + 1），你可以先计算括号里面的加数5 + 1，就得到了6。
接着，把6乘以2就是12，因此2 *（5 + 1） = 12。
同样地，你也可以先把2乘以5，再把2乘以1，然后将两个结果相加得到12，这也符合分配律的规律。
交换律结合律知识点
两个数的和与一个数相乘，可以先把这它们分别与这个数相乘，再把它们的乘积加起来。这叫做乘法分配律。
通常我们都用字母来表示乘法分配律：(a + b)×c = a×c + b×c
推广：(a - b)×c = a×c - b×c
注意:加法没有分配律，只有乘法才有分配律。
一、例题讲解：
例1、兔妈妈带小兔子去山上采蘑菇，兔妈妈采了83个蘑菇，小兔子采了64个蘑菇，兔妈妈和小兔子一共采了多少个蘑菇？
解：= 125+75+51+149（加法交换律）解：=452-352+647-147
=（125+75）+（51+149）（加法结合律）=（452-352）+（647-147）
= 200 + 200 = 100 + 500
= 400 = 600
例4、四（2）班的学生排队做早操，一共排了8队，每队有12人，四（2）班一共有多少人？
(3)﹍﹍+ 235 + 65 = 78 + (﹍﹍+﹍﹍)
(4)182 + 24 + 276 + 18 = (182 +﹍﹍)+(﹍﹍+ 24)
6、商场开展优惠活动，凡购物满200元就返回50元的现金，妈妈有520元钱，她最大能买到多少钱的物品？
7、下面各题，怎样计算简便就怎样计算。
（1）86 + 75 + 125（2）524 – 36 + 76（3）230 + 387 170
通常我们都用字母来表示加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)
加法交换律和结合律
02
CATALOGUE
加法结合律
定义
加法结合律是指三个数相加时，任意改变它们的加 法结合顺序，结果不变。
数学表达
a + (b + c) = (a + b) + c
实例说明
如3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 = 12，表示无论加数的组合顺序 如何，总和保持不变。
03
CATALOGUE
结合律的证明
结合律的定义
结合律是指加法运算中，加数的分组方 式不影响结果。即，对于任意三个数a、 b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)。
VS
证明过程
我们可以使用数学归纳法来证明结合律。 首先，考虑基础情况：当n=2时，显然有 (1+0)+1=1+(0+1)，满足结合律。然后 ，假设当n=k时，结合律成立，即对于任 意整数k，有[(k-1)+k]+(k+1)=k+[(k1)+k]+1。接下来，我们需要证明当 n=k+1时，结合律也成立。根据归纳假 设，我们有 [k+(k+1)]+(k+2)=k+[(k+1)+k]+2=k+( k+2)+(k+1)=(k+1)+[k+(k+2)]，这证明 了当n=k+1时，结合律也成立。因此， 根据数学归纳法，我们可以得出结论：对
解决实际问题
促进数学学习
在解决一些实际问题时，如统计、测量等 ，交换律和结合律可以帮助我们更加灵活 地处理数据和信息。
加法的交换律和结合律公式
加法的交换律和结合律公式
加法的交换律和结合律是数学的基本定律，在二维和三维的数学计算中十分有用。
它们的定义可以用公式的形式表示出来，本文将主要讨论这两个公式的特点以及在实际应用中的作用。
一、加法的交换律公式
加法的交换律的公式定义为: a+b=b+a，它表明两个数相加，不
论把哪个数放在前面，最后的结果是一样的。
比如2+3=3+2，4+5=5+4，以此类推，只要把两个数相加，不管怎么改变顺序，最后的结果都是相同的。
二、加法的结合律公式
加法的结合律的公式定义为: (a+b)+c=a+(b+c)，它表明多个数
相加，不论括号的位置如何改变，最后的结果也是一样的。
比如，(3+4)+5=3+(4+5)， (6+7)+8=6+(7+8)，以此类推，可以看出，多个
数相加，只要加号的位置发生改变，最后的结果也是相同的。
三、两个公式实际应用
1.法的交换律可以用来求解复杂的加法问题，尤其是大数相加时。
通常，如果两个数的位数不同，我们可以让位数更长的数放在前面，然后按照正常的加法计算即可，但有时候两个数的位数太长，我们就可以利用加法的交换律，先计算数值较小的数，再计算数值较大的数，以此来解决复杂的加法问题。
2.法的结合律可以用来计算大数的乘积，比如 a*(b*c)=(a*b)*c。
将大乘积拆分成多个乘积，再利用加法的结合律去结合，可以节省很
多计算时间，提高我们的工作效率。
四、结语
以上，就是本文关于加法的交换律和结合律公式的讨论，两个定律在实际应用中十分有用，大大提高了我们工作效率。
接下来，我们要多总结利用这两个公式的经验，在计算过程中尽量节省时间，提高工作效率。
加法的交换律、结合律
五育小学
3+4=7 4+3=7 3+4 = 4+3
根据上面算式，举出其他例子吗？
两个数相加，交换加数的位置，它 们的和不变。这条就是加法的交换律。 用字母表示加法交换律：
a+b=b+a
运用加法交换律在括号里填上合 适的数:
766+589=589+（ 766） （420 ）+55=55+420
45+88+12+15
=（45+15）+（88+12） =60+100
=160
2、连一连。
83+315 87+42+58 (64+73)+37 56+78+44 64+(73+37) 315+83 87+(42+58) 78+(56+44)
想一想：最后一组连线的依据是什么？
• 83+315=315+83 • • 87+42+58=87+（42+58） • • (64+73)+37=64+（73+37） • 56+78+44 =78+（56+44)
如果用a、b、c表示三个数，如何 用这三个字母来表示这个规律呢？ （a + b）+ c = a +（b + c）
你还能举出其他例子吗
加数
运算 符号
加数 位置
和
计算 顺序加法 交换 律源自a+b=b +a 不变
不变
四年级数学加法交换律和结合律
四年级数学加法交换律和结合律数学，这门看似复杂的学科，其实蕴含着很多有趣的小秘密。
今天，我们就来聊聊两个重要的概念：加法的交换律和结合律。
别急着打哈欠，这些原理其实很简单，也很实用！1. 加法交换律1.1 交换律的基本概念交换律听起来有点高大上，其实它的意思很简单。
举个例子，你和小伙伴一起买了3个苹果，然后又买了4个苹果。
你可以先买3个，再买4个，最后一共是7个苹果；也可以先买4个，再买3个，结果也是7个苹果。
你看，不管你怎么换位置，结果都是一样的。
这就是加法交换律的意思：a + b = b + a。
1.2 生活中的例子生活中其实有很多地方都能见到交换律的身影。
比如说，你和朋友一起去超市买东西，一开始你们选了1袋糖，然后选了2瓶果汁。
不管你们先拿糖还是先拿果汁，最后结账时，钱的总数都是一样的。
这就是交换律的妙处，计算起来特别方便。
2. 加法结合律2.1 结合律的基本概念结合律听起来是不是更难懂一点？其实也没那么复杂。
假设你有3个苹果和2个橙子，然后再加上4个香蕉。
不管你先把苹果和橙子加在一起，再加香蕉，还是先把橙子和香蕉加在一起，再加苹果，最后的总数都是一样的。
这就是加法结合律的意思：(a +b) + c = a + (b + c)。
2.2 结合律的实际应用结合律在实际生活中也非常有用。
想象一下你正在整理书架。
你有5本小说和3本图画书，还有2本杂志。
你可以先把小说和图画书放在一起，然后加上杂志；也可以先把图画书和杂志放在一起，然后加上小说。
整理好后，你的书架上的书总数不变，方便又实用。
3. 结合律与交换律的比较3.1 结合律与交换律的相似之处结合律和交换律虽然是两个不同的规则，但它们有一个共同点，就是不管我们怎么换顺序，结果都不会变。
它们就像是数学里的“神奇法则”，让我们在计算时更加得心应手。
3.2 结合律与交换律的不同之处不过，它们也有区别哦。
交换律主要是关于两个数的位置交换，而结合律则是关于三个数的加法顺序。
加法的交换律和结合律
看谁算得又对又快：
1、187+240+160 = （587） 2、187+（240+160）=（587）
3、187+240+160= 187+（240+160）
加法的交换律和结合律
88+104+96 =192+96 =288
88+（104+96）
200 288
88+104+96=88+（104+96）
读一读：
三个数相加，先把前两个数相 加，或者先把后两个数相加， 和不变。这叫做加法结合律。
练一练： 1、25+68+32 = 25+（68+ 32） 2、130+（70+4）=（130+ 70）+ 4
找朋友：
56+72+28
24+42+76+58
（24+76）+（42+58）
56+（72 +28 ） 56+ 28 +72
加法的交换律和结合律
小结
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置， 和不变。
a+b=b+a
加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加， 或者先把后两个数相加，和不变。
(a+b)+c=a+(b+c)
小学数学人教版四年级下册第三单元
运算定律
（一）加法的运算定律
温故知新
25+35=60
加 加和 数数
早上3个 晚上4个
加法交换律和结合律
计算9+8的进位加时， 想： 9 + 8 = 17
17 +
10 +
17
运用了加法结合律
说说下面的等式各应用了什么运算律。
82+8=8+82 加法交换律
（84+68）+32=84+（68+32） 加法结合律
75+（47+25）=（75+25）+47 加法交换律、加法结合律
学以致用
根据加法结合律，在下面的横线填上适当的数。 369＋258＋147＝369＋（_2_5_8_ ＋147） （23＋47）＋56＝23＋（ _4_7__ ＋ __5_6_） 654＋（97＋a）＝（654＋_9_7__）＋__a__
（28+17）+23
= 45+23 = 68（人）
28+（17+23）
= 28+40 = 68（人）
上面两道算式可以写成等式吗？
（28+17）+23 ○= 28+（17+23）
1
算一算，下面的○里能填等号吗？
（45+25）+16 ○= 45+（25+16） （39+18）+22 ○= 39+（18+22） 比较上面的三组算式，和同学说说有什么发现。
甲数+乙数=乙 数+甲数
如果用字母a、b分别表示两个加数，上面的规律可以写成：
a+b=b+a 这就是加法交换律。
下面的计算用了什么运算律？ 笔算加法时：77+845=922
77 验 845
+8 4 5 算 + 7 7
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加法交换律与结合律
四年级（2）班
一、教学目标：
1．让学生经历探索加法运算律的过程，理解并掌握加法交换律和结合律，会用字母来表示。
2．在探索运算律的过程中，发展学生的观察、比较、抽象、概括能力，培养学生的符号感。
3.让学生在数学学习过程中获得探究的乐趣、成功的喜悦，进一步增强对数学学习的兴趣和信心。
4.初步形成独立思考、合作交流的意识和习惯。
二、教学重点：
理解掌握加法的交换律和结合律，并会用字母表示他们。
三、教学难点：
引导学生通过讨论,计算从而自己发现并总结出加法交换律、加法结合律的过程。
四、教学准备：课件、投影仪
五、教学过程：
（一）游戏导入：摘苹果。
（二）出示学习目标。
（三）情境引入：
1、出示书上的情境图，师：四年级的同学们正在操场上开展体育活动。
问：从图中你获得了哪些信息？指名说一说
根据这些信息，你能提出用加法计算的问题吗？
随学生回答板书，可能有的问题：
（1）跳绳的有多少人？
（2）参加活动的女生有多少人？
（3）参加活动的一共有多少人？
（四）探索加法交换律：
1、解答第一个问题：请大家列式计算，写在草稿本上。
做完后交流，老师依次随学生回答写出两个算式：
28＋17=45（人） 17＋28=45（人）
问：这两个算式有什么特点？（两个加数是一样的，但加数的位置不同，和不变……）
指出：这两个算式因为得数一样，所以我们可以用“=”把它们连起来，改写成：28＋17=17＋28
2、继续回答刚才的第2个问题：请你列式解答，再交流，同样可以得到：17＋23=23＋17
3、像这样的等式，你能再写出几个吗？用自己喜欢的图形或者文字表现出来，老师巡视，注意各种写法，在交流的时候有序呈现。
4、随学生回答板书，可能有的情况：甲数＋乙数=乙数＋甲数△＋○=○＋△a＋b=b＋……
依次请学生说说自己是怎么想的？（重点要说清楚两个数相加，交换加数的位置，和没变）
问：你比较喜欢哪一种表示方法呢？（a＋b=b＋a）为什么？（更为简便）
指出：两个数加的时候，可以交换这两个加数的位置，和是不变的。
这就是今天要学习的一个内容：加法交换律
5、运用加法交换律有什么用呢？其实我们以前做加法验算的时候就用到了它。
出示题目：357＋218说说你竖式怎么写？验算的竖式呢？
（五）探索加法结合律
1.解决问题，初步感知
出示：跳绳和踢毽子的一共多少人？
引导：可以怎样列综合算式计算？你想到几种方法？
板书：（28+17）+23=68（人） 28+（17+23）=68（人）
问：这两道算式分别先求什么？得数表示什么数量？两道算式相同的在哪里？不同的在哪里？
引导：上面两道算式可以写成等式吗？为什么？
说明：两道算式都是把这三个数相加，一道先算前两个数的和，另一道先算后两个数的和，它们的得数是相等的，所以可以用等号连接，那我们再看两道算式，这样算的得数是不是也会相等？
2.计算比较，发现规律
出示两组算式，请大家先计算每组两题的得数，看看同一组的两道算式能不能用等号连接起来。
自己试一试。
引导：你发现了什么么规律？请你先比较每组两个算式的联系，再
比较它们的共同点，想想能发现什么规律？
说明：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
引导：用字母a、b、c分别表示三个数，你发现的规律用字母式子可以怎样表示？（a+b+c=a+(b+c)）
小结这个字母表示的规律：加法结合律
四、回顾整理内容
今天学习的什么内容，你知道了什么？
五、巩固内化新知
1．根据运算定律，在下面的横线填上适当的数。
2. 说说下面的等式各应用了什么运算律。
3. 练习九第1题。
（六）全课总结
通过今天的学习，你有什么收货？。