广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习数列试题精选03

数列03
34．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *
∈均在函数y ＝3x －2的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有n N *∈都成立的
最小正整数m 。

本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。

因此，使得
111261n ⎛⎫- ⎪
+⎝⎭﹤()20m n N ∈g 成立的m 必须满足12≤20
m ，即m≥10,故满足要求的最小整数m 为10。

35．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a .
（Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；
（Ⅱ）令n
n n n n a a
a a
b 11+++=
，证明32221+<++<n b b b n n Λ，n =1,2,…. 解 （Ⅰ）由已知得15,1054==a a ， 2
)
1(12)1(+=+++-+=n n n n a n Λ.
（Ⅱ）因为Λ,2,1,22
222211==+⋅+>+++=+=
++n n
n n n n n n n a a a a b n n n n n ， 所以n b b b n 221>+++Λ. 又因为Λ,2,1,2
22222=+-+=+++=
n n n n n n n b n ， 所以)]2
1
1()4
12
1()3
1
11[(2221+-++-+-+=+++n n
n b b b n ΛΛ =322
21232+<+-+-
+n n n n . 综上，ΛΛ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .
36．设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）
本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

①-②得c n –c n+2=（a n –a n+2）+2 (a n+1–a n+3)+3 (a n+2–a n+4)=b n +2b n+1+3b n+2
∵c n –c n+2=( c n –c n+1)+( c n+1–c n+2)= –2 d 2 ∴b n +2b n+1+3b n+2=–2 d 2 ③ 从而有b n+1+2b n+2+3b n+3=–2 d 2 ④
④-③得（b n+1–b n ）+2 (b n+2–b n+1)+3 (b n+3–b n+2)=0 ⑤ ∵b n+1–b n ≥0, b n+2–b n+1≥0 , b n+3–b n+2≥0, ∴由⑤得b n+1–b n =0 ( n=1,2,3,…)，
由此不妨设b n =d 3 ( n=1,2,3,…)则a n –a n+2= d 3(常数). 由此c n =a n +2a n+1+3a n+2= c n =4a n +2a n+1–3d 3 从而c n+1=4a n+1+2a n+2–5d 3 ，
两式相减得c n+1–c n=2( a n+1–a n ) –2d 3 因此1132311
()22
n n c c a a c c d d d ++-=
-+=+(常数) ( n=1,2,3,…) 所以数列{a n }公差等差数列。

【解后反思】理解公差d 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来.
37．已知数列｛a n ｝满足：a 1＝
3
2
，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－
求数列｛a n ｝的通项公式；
证明：对于一切正整数n ，不等式a 1•a 2•……a n <2•n ！
用数学归纳法证明3︒式：
n ＝1时，3︒式显然成立， 设n ＝k 时，3︒式成立， 即2k 1
11111333•（－）（－
）…（－）≥1－（2k
111
333
＋＋…＋） 则当n ＝k ＋1时，
2k k 1111111113333•••＋（－）（－）…（－）（－）
≥〔1－（2k 111333＋＋…＋）〕•（k 11
13＋－） ＝1－（2k 111333＋＋…＋）－k 113＋＋k 113＋（2k 111
333
＋＋…＋）
≥1－（2k 111333
＋＋…＋＋k 11
3＋）即当n ＝k ＋1时，3︒式也成立。

故对一切n ∈N *，3︒式都成立。

利用3︒得，2n 111
111333•（－）（－
）…（－）≥1－（2n
111333＋＋…＋
）＝1－n
11133113〔－（）〕－
＝1－n n 11111123223
〔－（）〕＝＋（）
>12 故2︒式成立，从而结论成立。

38．已知各项均为正数的数列{}n a ，满足：13a =，且
111
22n n
n n n n a a a a a a +++-=-，*n N ∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设222
12n n S a a a =+++L ，22212111n n
T a a a a =
+++L ，求n n S T +，并确定最小正整数n ，使n n S T +为整数．
（2）由1︒式有S n ＋T n ＝
222
12121112n n
a a a n a a a ⋯（－）＋（－）＋＋（－）＋ ＝345n 22222
22222n 3333
＋（）＋（）＋（）＋…＋（）＋ ＝
n
64412n n N 27
*∈（－）＋（）
为使S n ＋T n ＝n 64412n n N 27
*
∈（－）＋（）
为整数，当且仅当n 4127－为整数
. 39．已知函数f(x)=d cx bx ax +++233
1
,其中a,b,c 是以d 为公差的等差数列，，且a ＞0,d ＞0.设的极小值点，在为)(0x f x ［1-
0,2a
b
］上，处取得最大植在1')(x x f ，在处取得最小值2x ，将点
依次记为（))(,(,()),(,()),(,22'21'100x f x f x x f x x f x A ，B ，C (I)求的值o x
(II)若⊿ABC 有一边平行于x 轴，且面积为32+
，求a,d 的值
【解析】(I)解:2b a c =+Q
22()2()(1)()f x ax bx c ax a c x c x ax c '∴=++=+++=++
令()0f x '=,得1c x x a
=-=-
或 0,0
0a d a b c
>>∴<<<Q
1,1c c
a a ∴>-<- 当1c
x a
-<<-时,()0f x '<;
当1x >-时,()0f x '>
所以f(x)在x=-1处取得最小值即1o x =- (II)2
()2(0)f x ax bx c a '=++>Q
()f x '∴的图像的开口向上,对称轴方程为b
x a
=-
由1b a
>知2|(1)()||0()|b b b a a a ---<--
()f x '∴在2[1,0]b
a
-上的最大值为(0)f c '=
即1x =0 又由
21,[1,0]b b b a a a
>-∈-知 ∴当b
x a =-时,()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a '-=-
=-即 01
()(1)3
f x f a =-=-Q
2
1(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a
∴----
解法2:2
()2(0)f x ax bx c a '=++>Q
2(1)0,(0)b
f f c a
''-
==Q 又c>0知()f x 在2[1,0]b
a
-上的最大值为(0)f c '=
即:1x =0 又由
21,[1,0]b b b a a a
>-∈-知 ∴当b
x a =-时,()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a '-=-
=-即 01
()(1)3
f x f a =-=-Q
2
1(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a
∴----
由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2
221,a =3(1)3d a d a
-=-
L 即。