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山东大学 山大 2001-2002年数学分析 考研真题及答案解析

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2001年考研数学一试题答案与解析

2001年考研数学一试题答案与解析

2001年考研数学一试题答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭.再求 div grad r=()()()x y z x r y r z r ∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A E A E E +-⋅=.按定义知11()(2)2A E A E --=+. (5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤, 于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=. 二、(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ). (2)关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===.因此,(C )成立. (3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)lim x f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f +∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩　满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时). 注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t 有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2x x x x e e e e C ---+++. 四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意 '1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂.因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可. 直接将arctan x展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑ =12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑ =21111(1)()2121nnn x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑.上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑. 六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==.于是由斯托克斯公式得 222222cos cos cos 23SI dSx y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22333Sy z z x x y dS --+----⎰⎰ =(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-⎰⎰利用.于是'2'211113x y Z Z ++=++=.按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰⎰⎰,其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=,解出θ,令x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===. 八、【解】(1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示，先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r h t θπ≤≤≤≤. ⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()0()()h t D x V t dzdxdy=⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. (3)体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即0.9dVS dt =-将()V t 与()S t 的表达式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ① (0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时. 九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-. 下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于12,,s ααα线性无关,因此有 112211222132110,0,0,0.s s st k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ (*) 因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】(1)由于AP PB =,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A EB E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-。

2001-数二真题、标准答案及解析

2001-数二真题、标准答案及解析

(B)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f ( x) > x.
(C)在 (1− δ ,1) 内, f ( x) < x, 在 (1,1+ δ ) 内, f ( x) > x.
(D)在 (1− δ ,1) 内, f ( x) > x, 在 (1,1+ δ ) 内, f ( x) < x.
解得 y = e
−∫ e
⎡
∫ = 1−
x2
1 arcsin
x
dx
⎢⎢c ⎢⎣
+
1
∫
e
arcsin x
1
dx ⎤
1−x2 arcsin x dx⎥⎥
⎥⎦
1
(c+ x),
arcsin x
y
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
=
0
⇒
c
=
−
1 2
.
-2-
故曲线方程为：
y arcsin x = x − 1 . 2
⎡a 1 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
( ) ∫ 三、求
dx
.
2x2 +1 x2 +1
【详解】设 x = tan t, 则 dx = sec2 t.
( ) ∫ ∫ ∫ 原式 =
sec2 tdt
=
cos tdt = d sin t
sec t ⋅ 2 tan2 t +1 2sin2 t + cos2 t 1+ sin2 t
= arctan (sin t ) + C
M
3
⎥ ⎥
→
⎢⎣1 1 a M −2⎥⎦ ⎢⎣0 1− a 1− a2 M 1+ 2a⎥⎦

2001年考研数学三真题与全面解析

2001年考研数学三真题与全面解析

2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为 Q AL K, 其中 Q 是产出量 , L 是劳动投入量 , K 是资本投入量 ,而A, α, β,则当Q=1 K 关于 L的弹性为均为大于零的参数 时 (2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加 2 百万 .若以 W t 表示第 t 年的工资总额 (单位：百万元 )，则 W t 满足的差分方程是___k 1 1 11 k 1 1 (3) 设矩阵 A1 k , 且秩 (A )=3,则 k =1 1 1 1 1 k(4) 设随机变量 X,Y 的数学期望都是 2,方差分别为 1和 4,而相关系数为 0.5.则根据切比雪夫不等式 PX-Y 6.(5) 设总体 X 服从正态分布N(0,0.22),而 X 1, X 2, X 15 是来自总体 X 的简单随机样本， 则随机变量X 12 X 102 Y服从 ___分布，参数为 _______2 X 112X 152二、选择题(1) 设函数 f (x)的导数在 x=a 处连续 ,又 limf'(x)1, 则()x a x a(A) x = a 是 f (x)的极小值点 . (B) x = a 是 f (x)的极大值点 . (C) (a, f(a))是曲线 y= f(x)的拐点 .(D) x =a 不是 f (x)的极值点 , (a, f(a))也不是曲线 y=f(x)的拐点 .x1 (x2 1),0 x 1(2) 设函数 g(x)f (u)du, 其中 f (x)2 , 则 g(x)在区间 (0,2) 内 ()1( x 1),1 x23(A) 无界 (B) 递减 (C) 不连续 (D) 连续a 11 a 12a 13a 14a 14a 13 a 12 a 110 0 0 1 a21a22a23a24a24a23a22a210 1 0 0 (3)设Aa32a 33a 34, Ba33a 32a 31, P 10 1 ,a31a340 0 aaaaaaaa1 0 0 0P 20 0 1 0,其中A 可逆,则 B 1等于 ()0 1 0 0 0 0 0 1(A) A 1PP (B) PA1P(C)PP A 1(D)PA 1P .12121 221 (4) 设 A 是 n 阶矩阵， α是 n 维列向量 .若秩A秩 (A) ，则线性方程组 () T(A) AX =α必有无穷多解(B) AX =α 必有惟一解 .(C ) A X0 仅有零解(D )AX 0 必有非零解 .T 0y T 0 y(5) 将一枚硬币重复掷n次 ,以 X 和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X 和 Y的相关系数等于 ( )(A) -1(B) 0(C)1(D) 12三 、(本题满分 5 分)设 u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数 ,又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下列两式确定 :xyxy x x z sin t due2 和 et dt ,求 dx四 、(本题满分 6 分)已知f (x)在内可导 ,且 limf'( ) ,lim(x cxlim[ f (x)f (x 1)],求c 的值 .xxx cx五 、(本题满分 6 分)122 )y[1 xe 2 (xy求二重积分]dxdy 的值 ,其中 D 是由直线 y=x, y= - 1及 x =1围成的平面D区域六、 (本题满分 7 分 )已知抛物线2ypxqx ( 其中 p<0,q>0x+y=5相切，且此抛物线与x)在第一象限与直线轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问 p 和 q 为何值时， S 达到最大 ?(2)求出此最大值 . 七、 (本题满分 6 分 )1设 f (x)在区间 [0,1]上连续 ,在 (0,1) 内可导 ,且满足 f (1) k 3 xe 1 x f (x)dx,( k 1).∈(0,1), f '( ) 2(1) f ( ).2八、 (本题满分 7 分 )已知'n 1 xef n (x) f n (x) xe nf n (1),满足 为正整数 )且 求函数项级数( )(nf n (x) 之和 .i 1九、 (本题满分 9 分 )1 1 a1设矩阵A 1 a1,1 .已知线性方程组 AX =β有解但不唯一 ,试求 : a 1 12(1) a 的值 ;(2) 正交矩阵 Q,使 Q T AQ 为对角矩阵 .十、 (本题满分 8 分 )设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n ， A ij 是 Aa ij n n 中元素a ij 的代数余子式 (i,j=1,2, ,n ，二次型 f ( x 1 , x 2 , x n )n nA ijx i x j . )i 1 j 1A(1)记A( x 1 , x 2 , x n ), 把 f ( x 1 , x 2 , x n ) nnAijx i x j .写成矩阵形式， 并证明二次i 1j 1A型 f (X ) 的矩阵为 A 1 ;(2) 二次型 g( X )X T AX 与 f ( X ) 的规范形是否相同？说明理由.十一、 (本题满分 8 分 )生产线生产的产品成箱包装 ,每箱的重量是随机的 ,假设每箱平均重 50 千克 ,标准差为 5千克 .若用最大载重量为 5 吨的汽车承运 ,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱, 才能保障不超载的概率大于 0.977. ( Φ(2)=0.977,其中 (x) 是标准正态分布函数 ).十二、 (本题满分 8 分 ){ (}设随机变量)X 和 Y 对联和分布是正方形 G=x,y |1 ≤x ≤3,1y 3上的均匀分布，试求随机变量{}的概率密度 p(u).U=X- Y2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1) 【答案】【使用概念】 设 y f x 在 x 处可导， 且 f x 0 ，则函数 y 关于 x 的弹性在 x 处的值为Ey x y x f xExyf x1【详解】由 Q AL K ，当 Q1时，即 AL K1，有 KA L ,于是 K 关于L 的弹性为：11d A LA 1EK L KLLL1dL1ELKA LA L(2) 【答案】 1.2W t 1 2【详解】 W t 表示第 t 年的工资总额，则 W t 1 表示第 t 1年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加 2百万，所以由差分的定义可得W t 满足的差分方程是：W t (1 20 )W t 1 2 1.2W t 1 2(3) 【答案】 -3 【详解】方法 1：由初等变换 (既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A 进行初等变换k 1 1 1k 11 1A1 k 1 1行 分别加到2,3,4行 1k k 1 0 0 1 1 k 1 1( 1)1k 0 k 1 01 1 1 k1k 00 k 1k 3 1 11 2,3,4 列分别加到 0 k 10 01列0 k 1 00 0k 1可见只有当 k =- 3时， r(A )=3.故k =- 3.方法 2：由题设 r(A )=3， 故应有四阶矩阵行列式 A0 .由k 1 1 1k1 1 11 k 1 1 行 分别加到行1k k 1 0 01 k 1k 0 k 1 0 1 1 1 1 1 k1 k0 k 1k 3 1 1 1列分别加到 1列 0 k 1 0 0 (k 32,3,40 0 k 1 0 3)(k 1) 0,0 0 0 k 1 解得 k =1或 k = - 3. 当k =1时，11 1 11 1 1 11 1 1 1 行 分别加到 ，，行0 0 0 01 1 10 0 0 0 111 1 10 0 0 0可知，此时 r(A)=1，不符合题意，因此一定有k =- 3.1(4) 【答案】12D(X)【所用概念性质】切比雪夫不等式为：P X E(X)2期望和方差的性质： E( X Y )EXEY ； D(X Y) DX 2cov( X ,Y ) DY【详解】 把 X Y 看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.故E(X Y) EX EY2 2 0又相关系数的定义：(X ,Y)cov( X , Y)DXDY则cov(X , Y)(X,Y) DX DY( 0.5) 14 1D(X Y)DX 2cov( X ,Y ) DY12 ( 1) 4 3所以由切比雪夫不等式：PXY6 PXYE(XY)6D(X Y)316236 12(5) 【答案】 F ； (10,5)X【所用概念】 1. F 分布的定义： Fn 1 其中X~2 ( n 1 ) Y ~ 2(n 2 )Yn 2n2.2分布的定义： 若 Z 1, , Z n 相互独立，且都服从标准正态分布 N (0,1) ，则Z i 2 ~ 2 (n)i 13. 正态分布标准化的定义：若 Z ~ N (u, 2) ，则Zu~ N (0,1)【详解】因为 X iN (0,2 2)i 1,2,,15 ， 将其标准化有 X i0 X i N (0,1) ，从而根2 2据卡方分布的定义2222X 1X102(10),X11X152(5),22222222由样本的独立性可知，X 1 X10与X11X15相互独立 .2222故，根据 F 分布的定义2X102X 12210X 12X 102YF (10,5).X 11 2X1522 X 112X 152225故 Y 服从第一个自由度为 10，第二个自由度为 5的 F 分布 .二、选择题(1) 【答案】 [ B] 【详解】f '(x)知方法 1：由 lim1,x a xalim f '( x) limf '(x)x alim f '( x)lim x a1 0 0xax axax ax ax a又函数 f ( x) 的导数在 xa 处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以f (a)0 ，于是有f "( a)lim f '( x) f '(a) lim f '( x) 1,x a x a x a x a即 f (a)0 ， f (a) 1 0 ，根据判定极值的第二充分条件：设函数f ( x) 在 x 处具有二阶导数且 f ( x 0 ) 0 ， f (x 0 ) 0 ，当 f (x 0) 0 时，函数 f ( x) 在 x 0 处取得极大值 . 知 xa 是 f ( x) 的极大值点，因此，正确选项为(B).方法 2：由 lim f '(x)1, 及极限保号性定理：如果lim f xA ，且 A0(或A 0)，x ax ax x 0那么存在常数0 ，使得当 0x x 0时，有 f x 0 (或 f x 0 ) ，知存在xf '( x)0 .于是推知，在此去心邻域内当x a 时a 的去心邻域，在此去心邻域内axf ( x) 0 ；当 x a 时 f ( x)0. 又由条件知 f ( x) 在 x a 处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数f ( x) 在 x 0 处连续，且在x 0 的某去心领域内可导，若x x 0 , x 0 时， f ( x) 0 ，而 xx 0 , x 0时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 x 0 处取得极大值，知 f (a) 为 f (x) 的极大值 .因此，选 (B).(2) 【答案】 (D)【详解】应先写出g(x)的表达式 .当 0 x1时， f ( x) 1 ( x 2 1) ，有2g (x)x u dux 121 3 xf 0(u 1)duu26当 1 x2时， f ( x)1( x 1) ，有31 u x 1 31 20xx,62g (x)即g (x)x f (u)du1 u 31 1 u 1621 x 31x,6 2 2 1x 1 361x f (u)duf (u)du12 11 u2 x1 u x613 13 60 x 1 21x2,1 1(u21)dux 12(u 1)du13x 21因为lim g (x)lim 1 x 3 1 x2， lim g(x)lim2 1 x 122 ， 6 2 33 63x 1x 1x 1x 1且g (1)2 1 1 122 ，3 63所以由函数连续的定义，知g( x) 在点 x 1 处连续，所以 g (x) 在区间 [0, 2] 内连续，选 (D).同样，可以验证 (A) 、 (B) 不正确， 0 x 1 时， g (x)1 x 3 1 x 1 x2 1 0 ，单6 22 2调增，所以 (B) 递减错；同理可以验证当1 x2 时，g (x)2 1 x 1 21 x 1 0 ，363单调增，所以g 0g x g2 ，即 0 gx5与选项 (A) 无界矛盾 .6(3) 【答案】 (C)【详解】由所给矩阵A, B 观察，将 A 的 2,3 列互换，再将 A 的 1,4 列互换， 可得 B . 根据初等矩阵变换的性质，知将A 的 2,3 列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以 E 23 ，将 A 的 1,4 列互换相当于在矩阵 A 的右侧乘以 E 14 ，即1 0 0 00 0 0 1 AE 23E14B ，其中 E 230 0 1，E 14 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 110 0 0由题设条件知 P 1E 14 , P 2 E 23 ，因此 B AP 2 P 1 .由于对初等矩阵E ij 有， E ij1Eij ，故P 1 1 P 1, P 21P 2 .因此，由 BAP 2P 1 ，及逆矩阵的运算规律，有B1AP P11P 1A 1PP A1P2 1121 2.(4) 【答案】 (D )【详解】 由题设， A 是n 阶矩阵，是 维列向量， 即TA是n是一维行向量， 可知Tn 1 阶矩阵 . 显然有秩A秩 ( A) n n 1, AT即系数矩阵T0 非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组AX0 必有非零解 .Ty(5) 【答案】 AX Yn ，从而 Yn X ，【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以故DY D ( n X ) DX由方差的定义：DXEX 2 (EX )2， 所以DYD ( n X )E( n X )22E(n 2 2nX X 2 ) ( n EX )2E( n X )n 2 2nEX EX 2 n 2 2nEX ( EX )2 EX 2 (EX )2DX )由协方差的性质： cov( X , c)0 ( c 为常数 )； cov( aX , bY)ab cov( X ,Y)cov(X 1 X 2,Y) cov( X 1,Y ) cov( X 2 , Y) )所以cov( X , Y) cov( X , n X )cov( X , n) cov( X , X ) 0 DX DX由相关系数的定义，得(X,Y)cov( X ,Y)DX1DX DY DXDX[f ( x) g[ f (x)] f (x)三【变限积分求导公式】g (t )dt ] xa【详解】 根据复合函数求导公式，有du f f dy f dz . (*)dx x y dxz dx在 e xyxy 2 两边分别对 x 求导，得e xy( y xdy) ( y xdy) 0,dxdx即dyy .dxx xx zsin t在 edt 两边分别对 x 求导，得te xsin( xz) (1 dz ),即 dz 1 e x ( x z) .x zdxdx sin(x z)将其代入 (*) 式，得du f f dy f dz f y f 1 e x ( x z)f . dx x y dx z dx x x ysin( x z)z四 【详解】因为 lim(11 )x exxlim(xc )xx c 2clim( )x(把 xc 写成 x c 2c )xx c xx cx c 2c x c 2cx(把 x 写成 x c2 cxlim( ) 2 c x c)xx c2 cx cx clim (12c)2 cxx cx c 2cx2 c x cln (1 ) 2 c lim ex cx2cx lnx c(1 2c) 2 c x c x clim ex2 cx x c( 利用幂函数的性质a mn (a m )n )(利用对数性质e lnf ( x) f ( x) )(利用对数性质ln f ( x)g (x) g (x)ln f (x) )2 cxln (1 x clim2c ) 2 clim f (x )xx cx c(利用 y e x 函数的连续性， lim ef ( x )ee x)x2 cx lim ln (12 cx clim ) 2cxx c x x c (当各部分极限均存在时，elim f (x)g ( x) lim f (x) lim g( x) )xxxlim 2 cx ln lim 2 c x cx c (1 c ) 2cxx x (利用 yln x 函数的连续性， lim[ln f (x)] ln[lim f (x)] )exxe 2c ln e(利用 lim(11) x e )xxe 2c( ln e 1)又因为 f ( x) 在, 内可导，故在闭区间 [ x 1, x] 上连续，在开区间 (x 1, x) 内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有f ( x) f ( x 1)f ( )[ x ( x 1)] f ( ), x 1 x左右两边同时求极限，于是lim[ f ( x)f (x 1)] lim f '( )e ，xx因为 x 1 x ， x 趋于无穷大时，也趋向于无穷大由题意， lim( xc)x lim[ f (x) f ( x 1)], 从而 e2 c e ，故 c1x x c x2五【详解】积分区域如图所示，可以写成1y1, y x1y[11( x2 y2 )ydxdy1( x2 y2 )xe2]dxdy xye2dxdy,D D Dydxdy 11ydx1y)dy 2 ;其中，1dy y(1Dy131( x2 y2 )111( x2 y2 )1ydy11( x2 y2 )1 x2)xye2dxdy1ydy xe2dx1e2 d (Dy y2111( x2 y2 )( x2y2 )]11(1 y 2 )e y2ydy e2d[ 1(e2) dy 1y211 11 (1 y2 )e y221 11(1 y2 )dy21 1y222(e2)dy2e22e dy 11111(1 y2 )1111(1 y2 )11y2 1(1y2)]y 22e2d[22e dy e2e011121于是1 ( x2y2 )2y[1xe2]dxdy3D六【详解】方法 1：依题意知，抛物线如图所示，令y px2qx x( px q) 0 ，求得它与 x 轴交点的横坐标为：x10, x2q .p 根据定积分的定义，面积S 为qp x3q x2q31 x n 1C)S p px2qx dx p q2 (注：x n dx0326 p n1因直线 x y5与抛物线y px2qx相切，故它们有唯一公共点. 由方程组x y5y px 2qx求其公共解，消去y ，得px2(q1) x50，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即(q1)2 4 p( 5)(q1)220 p0,解得p1(q1)2 .20将 p 代入 S 中，得S(q)q3q3200q3.6 p26[1223(q 1)4(q1) ]20根据函数除法的求导公式，S (q)(200q3 )[3(q 1)4 ][3( q1)4 ](200q3 )200q2 (3q)[3(q1)4]23(q1)5根据驻点的定义，令S (q)0 ，已知有 q0 ，得唯一驻点 q3.当 1q 3 时， S ( q)0； q3时， S (q)0.故根据极值判定的第一充分条件知， q 3 时， S( q) 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为 S S(3)225 .32方法 2：设抛物线y px2qx 与直线x y 5 相切的切点坐标为(x0 , y0 ) ，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有y0px02qx0和 x0y0 5 .抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等. 在y px2qx 左右两边关于 x 求导，得y 2 px q ，在 x y 5 左右两边关于x 求导，得y1，把切点坐标 ( x , y ) 代入，得00y2 px 0 q1xq 1x x 02p由 x 0 y 0 5 y 0 5 x 0 ，将两结果代入 y 0px 02 qx 0 得y 0 5 x 05 (q 1) px 02qx 0p( q 1) 2q(q 1)2 p2 p2 p整理得p1(q 1)2 . 20将 p 代入 S 中，得S(q)200q 3 3(q4 .1)根据函数除法的求导公式，S (q) (200q 3 ) [3(q 1)4 ] [3( q 1)4 ](200q 3 ) 200q 2 (3 q)[3(q 1)4]23(q1)5根据驻点 (即使得一阶导数为零的点) 的定义，令 S (q) 0 ，已知有 q 0 ，得唯一驻点 q 3.当 1q 3 时， S ( q) 0; q 3时， S (q) 0; 故根据极值判定的第一充分条件知， q 3 时，S(q) 取唯一极大值，即最大值 . 从而最大值为 S225 S(3).32七【详解】将要证的等式中的换成 x ，移项，并命( x) f ( x)x1f (x)x问题转化为证在区间(0,1) 内 (x) 存在零点 . 将f (x)x1f (x) 0x看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由df (x) x 1f (x)dxxdf (x ) x 1 1两边积分得dx ( 1dx)f ( x)xx利用1dx ln x C 及 x n dx1x n 1 C ，得x n1ln f (x)x ln x C ln f ( x)ln Ce x f ( x)Ce x，1x x即xe x f ( x) C ，命 F (x)xe x f ( x) .由1f (1) k k xe1x f ( x)dx,( k1)及积分中值定理(如果函数 f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上连续，则在积分区间[ a,b] 上至少存在一个bf(x dx f( )(b a a b 1点，使得(0, )[0,1]，使a))() )，知至少存在一点k1f (1)k k xe1 x f ( x)dx e1 f ()且 F ( ) e f () ， F(1) e 1 f (1).把 f(1)e1f () 代入，则F (1) e 1 f (1) e 1e1 f ( )e f () F ( )那么 F (x) 在 [,1]上连续，在 (,1) 内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点( ,1) [0,1]，使得F ( ) e f ( ) e f ( ) 0即 f ( )(11 ) f ( ).八【详解】由已知条件可见f n( x) f n ( x)x n 1e x，这是以 f n ( x) 为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中p(x)1, q( x) x n 1e x，代入通解公式f ( x)e p (x )dxq(x)ep( x)dxC) (dx得其通解为f n ( x) e x n 1e x e dx C e x n C ,dx dxn由条件 f n (1)e, 又 f n (1)e1C，得 C0 ，故 f n (x)x n e x, n n nf n ( x)x n e x e x x nn 1n 1n n 1nx n, 则 a n 1liman 111记 S(x)，limn 11，则其收敛半径为 R1，n 1nnna nn1n收敛区间为 ( 1,1) . 当 x( 1,1)时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，S ( x)x nx nx n 11，其中11 x x 2x nn 1 nn 1nn 11 x1 x故根据函数积分和求导的关系f (x)dxf (x) C ，得x xS (x)dx S( x) 0 S(x) S(0)又由于 S(0)0n0 020 ，所以n 1n12S( x)S(0)xx1ln(1x) ，S (x)dx1dxx即有x n ln(1 x), x ( 1,1)nn 1当 x1时，( 1)nln 2 . 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的n 1n范围可扩大到 x1 处，即x n ln(1 x), x [ 1,1)n 1n于是f n ( x)e x ln(1 x), x [ 1,1)n 1九【详解】 (1) 线性方程组 AX有解但不唯一，即有无穷多解r ( A) r ( A)n 3 ，将增广矩阵作初等行变换，得1 1 a11 1 a 1 A1 a 1 1 2行行，行 行倍0 a 1 1 a 0 1 31 ( a)a 1 120 1 a 1 a 22 a1 1 a 1 2行加到 3行 0 a 11 a 0( a 1)(a 2)（ a 2）因为方程组 AX有解但不唯一，所以r ( A) r ( A) 3，故 a=- 2.(2) 由 (1) ，有112A121211由11212E A1212,3列加到 1列2121111112112提出1列公因子1211行(1)分别加到 2,3行 033111003(3)(3)0故A的特征值为10, 23, 3 3.当10 时，1121),2倍112112(0E A)121行的(0332行加到 3行 033 121分别加到2,3行033000 1于是得方程组 (0 E A) x0的同解方程组为x1x22x303x23x30可见， r (0 E A) 2 ，可知基础解系的个数为 n r (0 E A) 3 2 1 ，故有1个自由未知量，选 x为自由未知量，取x 1 ，解得对应的特征向量为1(1,1,1)T.22当1 3 时，212151 3E A15 1 1,2行互换212212212151151 3行-2 行2121行 2加到2行 0 9 000000016x 1 5x 2 x 3 09x 2可见， r (3E A) 2 ，可知基础解系的个数为 n r (3E A) 3 2 1，故有 1个自由未知量，选 x 为自由未知量，取x1，解得对应的特征向量为2(1,0, 1)T .11当 13 时，41 21 1 13EA1 1 1 ，行互换4 1 2 1 221 421 41行 ( 4)倍, 2倍 1 1 111 10 3 6 2行加到 3行0 36 分别加到 2,3 行36于是得方程组 ( 3E A) x 0 的同解方程组为x 1 x 2 x 3 03x 26x 3 0可见， r ( 3E A) 2 ，可知基础解系的个数为 n r ( 3E A) 3 2 1 ，故有 1个自由未知量，选 x 2 为自由未知量，取 x 2 2 ，解得对应的特征向量为3( 1,2, 1)T .由于 A 是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将1, 2, 3单位化，111 11111 , 220 , 332 .1326 112131其中， 1 12 12 123, 212 ( 1)22, 3( 1)2 22( 1)26令1 1 13 2 6 Q1 ,2 ,312 3 61 113263 00则有Q T AQ Q1AQ0 3 0.0 00十【详解】 (1)由题设条件，n n A ij1 n n1f ( x1 , x2 , x n )x i x jA i 1 j 1A ij x i x ji 1 j 1 | A |An nx i A ij x j i 1j 11 Anxi( Ai1x1Ai 2x2Ainxn) i 11 A1 Ax1x1n x21n x2x i ( A i1x i ( A i1, A i 2 , , A in ), A i 2 , , A in )i 1 A i 1x n x nx1 x1( A11, A12 , , A1n ) x2 (A21, A22 , , A2 n )x2x n ( A n1, A n2 , , A nn )x n A11 A12A1n x1x11(x1, x2 , , x n )A21 A22A2n x2(x1, x2 , , x n )T x2T XA X T AA A AA n1 A n2A nn x n x n( )X T A 1X其中 ( ) 的理由： A 是可逆的实对称矩阵，故(A 1)T(A T) 1A1 ，因此由实对称的定义知， A 1也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质 A A AE，知 A A A 1，因此 A也是实对称矩阵，A TA，故()成立.(2) 因为 A 1T AA 1A T1E A 1，所以由合同的定义知A与A 1合同.由实对称矩阵A与 B 合同的充要条件：二次型x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数.可知， g ( X )X T AX 与f ( X )有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形 .十一【应用定理】(i) 期望的性质：E( X Y ) EX EY ；独立随机变量方差的性质：若随机变量 X 和Y 独立，则 D( X Y) DX DY(ii) 列维 -林德伯格中心极限定理：设随机变量X 1 , X 2 , , X n , 相互独立同分布，方差存在，记22x ，恒有u(0) 分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数与1 nlim P ( X inu) x( x)nni 1(通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这些随机变量的和以正态分布为极限分布)(iii) 正态分布标准化：若Z ~ N (u,2)，则Zu~ N (0,1)【详解】设 X i (i 1,2, n) 是装运的第 i 箱的重量 (单位 :千克 )， n 是所求箱数 . 由题设可以将X 1 , X i , X n 视为独立同分布的随机变量， 而 n 箱的总重量 S nX 1X 2X n 是独立同分布随机变量之和 .由题设，有 E( X i )50, D (X i ) 5 ( 单位 :千克 )所以E( S n ) E( X 1 X 2 X n ) EX 1 EX 2 EX n 50nD( S n ) D( X 1 X 2X n ) DX 1DX 2DX n25n则根据列维 — 林德柏格中心极限定理，知S n 近似服从正态分布 N (50n,25 n) ，箱数 n 根据下述条件确定P S n 5000P S n 50n 5000 50n(将 S n 标准化 )5 n 5 n(100010n ) 0.977(2)n由此得1000 10nn2,从而 n98.0199 ， 即最多可以装 98箱 .十二【详解】由题设条件X 和 Y 是正方形 G( x, y):1 x 3,1 y 3 上的均匀分布，则 X 和 Y 的联合密度为：1,1x3,1 y3,1)f ( x, y)4(二维均匀分布的概率密度为0,其他面积由分布函数的定义： F (u)P U u P X Y u(1)当u0时， F (u)0(因为X Y 是非负的，所以小于0 是不可能事件 )(2)当u2时， F (u)1(因为 X 和Y 最大为3，X 和Y 最小为1，所以X Y 最大也就只能为2，所以X Y 2 是必然事件，概率为1)(3)当0u 2 时，F (u)P U u 相当于y阴影部分所占的概率大小. 如图所示：y x uF (u) P U u P X Y u3y x uS阴影面积12x y u 4 (2 u)2S总面积411 (2O1231u)24(二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面x积是用总面积减去两个三角形的面积)于是随机变量U 的概率密度为：1(2 u),0 u2,0,其他。

2002考研数学一真题及答案解析

2002考研数学一真题及答案解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)⎰∞+exx dx2ln =.(2)已知函数()y y x =由方程0162=-++x xy e y 确定,则(0)y ''=. (3)微分方程02='+''y y y 满足初始条件0011,'2x x yy ====的特解是.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换x Py =可化成标准型216y f =,则a =.(5)设随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为12,则μ＝ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续; ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ③),(y x f 在点),(00y x 处可微;④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ,则有(A ) ②⇒③⇒①. (B ) ③⇒②⇒①. (C ) ③⇒④⇒①.(D ) ③⇒①⇒④.(2)设0(1,2,3,)n u n ≠=L ,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑ (A ) 发散. (B ) 绝对收敛.(C ) 条件收敛.(D ) 收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,则 (A ) 当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(B ) 当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(C ) 当0lim ()0x f x +→=时,必有0lim ()0x f x +→'=. (D ) 当0lim ()x f x +→'存在时,必有0lim ()0x f x +→'=.(4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b ++=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则(A ) 1()f x ＋2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (B ) 1()f x 2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (C ) 1()F x ＋2()F x 必为某一随机变量的分布函数. (D ) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分) 设函数)(x f 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f '≠≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与⎰-=x t dt e yarctan 02在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分dxdy e Dy x⎰⎰},max{22,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y ＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记2221[1()][()1],L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰(1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数333369()1()3!6!9!(3)!n x x y x x n =++++++-∞<<+∞L L 满足微分方程x e y y y =+'+'';(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy 坐标面,其底部所占的区域为2{(,)|D x y x =275}y xy +-≤,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D 的边界线2275x y xy +-=上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ,4321,,,αααα均为4维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=,如果4321ααααβ+++=,求线性方程组β=Ax 的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为10,cos ,()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.对X 独立地重复观察４次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分)其中1(0)2θθ<<是未知参数,利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】 原式2ln 11.ln ln eed x x x+∞+∞==-=⎰(2)【分析】 方程两边对x 两次求导得'6'620,y e y xy y x +++=① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=②以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得''(0) 2.y =-(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy=== 代入方程得20dP yPP dy +=,即0dPy P dy +=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==). 分离变量得0,dP dy P y+= 积分得ln ln ',P y C +=即1C P y=(0P =对应10C =); 由0x =时11,',2y P y ===得11.2C =于是又由01x y==得21,C =所求特解为y =(4)【分析】 因为二次型TxAx 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.又因iiia λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=(5)【分析】 设事件A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=>4}.依题意,有1(){4}.2P A P X =>=而 4{4}1{4}1(),P X P X μΦσ->=-≤=-即414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ----===⇒=二、选择题(1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).(2)【分析】 由1lim 101n n un n →+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时10n u >,且1lim 0,n nu →+∞=不妨认为,0,n n u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1nu 的单调性. 按定义考察部分和111111111111(1)()(1)(1)nn nk k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑1111111(1)11(1)1(1)(),k n nn l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑⇒原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()n nn u u ∞=++∑.注意111112,11nn n n u u n n n u u n n++++=+⋅→+ 11n n ∞=∑发散⇒1111()n n n u u ∞=++∑发散.因此选(C ).(3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞'=≠,则由拉格朗日中值定理,(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M -≤+≤矛盾(()).f x M ≤(4)【分析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.(5)【分析】 首先可以否定选项(A )与(C ),因121212[()()]()()21,()()112 1.f x f x dx f x dx f x dx F F +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=≠+∞++∞=+=≠⎰⎰⎰对于选项(B ),若121,21,1,01,()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞ 12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞=≠⎰因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).进一步分析可知,若令12max(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰是12()().F x F x1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=及(0)0f '≠,则有20a b +=. 综上,得2, 1.a b ==-四、【解】 由已知条件得(0)0,f =22arctan arctan 02'(0)()'1,1xx t xx x e f e dt x --=====+⎰故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示2222,,max{,}(,),,,x x y x y x y D y x y ⎧≥⎪=∈⎨≤⎪⎩于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥U I I⇒I 222212max{,}max{,}xy xy D D e dxdy e dxdy =+⎰⎰⎰⎰2221212x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D 关于y x =对称)2102xx dx e dy =⎰⎰(选择积分顺序)221102 1.x xxe dx e e ===-⎰六、【分析与求解】(1)易知Pdx Qdy +∃原函数,2211()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y+=++-=-++ 0()()()[()].xy x xd f xy d xy d f t dt y y =+=+⎰⇒在0y >上Pdx Qdy +∃原函数,即0(,)()xy xu x y f t dt y =+⎰. ⇒积分I 在0y >与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得(,)(,)(,).c d a b c a I u x y d b==-七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数3693()13!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++L L的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得25831'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-L L ,4732''()4!7!(32)!n x x x y x x n -=+++++-L L ,所以2'''12!!nx x x y y y x e n ++=+++++=L L ()x -∞<+∞.(2)与'''xy y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,其特征方程为210λλ++=,特征根为1,212λ=-±.因此齐次微分方程的通解为212(cossin )22x Y eC x C x -=+. 设非齐次微分方程的特解为xy Ae *=,将y *代入方程'''xy y y e ++=可得13A =,即有13x y e *=.于是,方程通解为2121(sin )3xx y Y y eC x C x e -*=+=++. 当0x =时,有112121(0)1,23,0.311'(0)0.223y C C C y C ⎧==+⎪⎪⇒==⎨⎪==-++⎪⎩于是幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数为221()33x x y x e x e -=+()x -∞<+∞八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向0000(,)(,)0000(,){,}{2,2}x y x y h h h x y x y y x x y∂∂==-+-+∂∂grad方向导数取最大值即00(,)(,)x y h x y grad 的模,00(,)g x y ⇒=(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件22750x y xy +--=下的最大值点⇔22222(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-在条件22750x y xy +--=下的最大值点.这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数 2222(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--则有 22108(2)0,108(2)0,750.L x y x y x L y x y x yL x y xy λλλ⎧∂=-+-=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=+--=⎪∂⎩解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=⇒=-或 2.λ=-若y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=m 若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式得275x=即x y =±=±于是得可能的条件极值点1234(5,5),(5,5),(M M M M ----现比较222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:1234()()450,()()150.f M f M f M f M ==== 因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2(,)g x y 在12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.九、【解】 由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由123412312(,,,)2010ααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T- 再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知,(1,1,1,1)T 是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.十、【解】(1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1,P AP B -=故 111E B E P AP P EP P AP λλλ----=-=-11().P E A P P E A P E A λλλ--=-=-=-(2)令0100,,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么2.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使10P AP B -==.从而100A P P -==,矛盾,亦可从()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλL 则有A 相似于1,n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O B 也相似于1.n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 即存在可逆矩阵,P Q ,使111.n P AP Q BQ λλ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 于是111()().PQ A PQ B ---=由1PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.十一、【解】 由于311{}cos ,3222x P X dx πππ>==⎰依题意,Y 服从二项分布1(4,)2B ,则有2222111()()4(4) 5.222EY DY EY npq np =+=+=⨯⨯+⨯= 十二、【解】 22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(3).4EX θ=- θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8x =+++++++ 2.=因此θ的矩估计值11ˆ(3).44x θ=-= 对于给定的样本值似然函数为624()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-2ln ()62824286.112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=---- 令ln ()0d L d θθ=,得方程2121430θθ-+=,解得712θ-=(1,2θ=>不合题意). 于是θ的最大似然估计值为ˆθ=。

2002年考研数学三真题及全面解析

2002年考研数学三真题及全面解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则 a =.(4)则2X 和2Y 的协方差22cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若而12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑13，则幂级数221nn i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( ) (A) 5 (B)(C) 13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解(C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的 特征向量，则矩阵()1TP AP -属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1Pα- (B) T P α (C)P α (D)()1TP α-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布 (C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布 三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt dux x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程xyzxe ye ze -=所确定，求du . 五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx . 六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ；(2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值. 七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞L L 满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n nn ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L LL L L L 其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分8分)假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +. 十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--．(2)【答案】2120(,)xxdx f x y dy ⎰⎰【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ，将它们的并集记为D ． 于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰．再将后者根据积分定义化为如下形式，即2102x y x x →→从，从，所以2120(,)(,).xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(3)【答案】1- 【详解】122212123,304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于A α与α线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有233411a a a a ++==，得 2334, 1.a a a +=+=- 或,(0)A k k αα=≠(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)即 231341a a a k a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得2334a ka a k a k =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得 1.(1)a k =-=(4)【答案】0.02-．【详解】2X 、2Y 和2X 2Y 都是01-分布，而01-分布的期望值恰为取1时的概率p ．由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1，且2Y 的可能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X ==++=；{}10.080.320.200.6P X ==++=； {}10.070.080.15P Y =-=+=；{}00.180.320.5P Y ==+=； {}10.150.200.35P Y ==+=；故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=而边缘分布律：{}{}2000.4P X P X ====，{}{}2110.6P X P X ====， {}{}2000.5P Y P Y ====，{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=所以，22(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到：2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）(5)【答案】1X -．【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 ()()()1x E X xf x dx xe dx θθθ+∞+∞---∞===+⎰⎰X0 10.4 0.6Y 1- 0 10.15 0.5 0.35样本均值 11ni i X X n ==∑用样本均值估计期望有 EX X =，即 111ni i X n θ=+=∑，解得未知参数θ的矩估计量为 11ˆ11n i i X X n θ==-=-∑．二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a∈⎧=⎨-=⎩，有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点．(C)与(D)的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因()min((),())r AB r A r B ≤．当m n >时，有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<．(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组()0AB x =必有非零解，故应选(D)．方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时,，则()r B n =，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，故选(D)．(3)【答案】(B)【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故T A A =．设()1TP APB -=，则111()TTT TTT T B P A PP APP A P ---===上式左乘1T P-，右乘T P ，得111()()()T T T T T T P BP P P A P P ---=，即1T T A P BP -=，所以 1()T T A P BP ααλα-==两边左乘T P ，得 1()()T T T T P P BP P αλα-=得()T TB P P αλα=根据特征值和特征向量的定义，知1()TB P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为T P α，即应选(B)．方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故TA A =．设()1TP AP -属于特征值λ的特征向量为ξ，即()1TP APξλξ-=，其中()111TTTTTTP AP P A PP AP---==对(A)，即令1P ξα-=，代入111()TT P AP P P αλα---≠对(B)，1()TT T P AP P α-1()TT T P A P P α-=1[())]T T TP A P P α-=TP A α=()T P λα=成立．故应选(B)．(4)【答案】C【分析】(i)2χ变量的典型模式是：222212n X X X χ=+++L ，其中i X 要求满足：i X 相互独立，(0,1)i X N :．称2χ为参数为n 的2χ变量．(ii) F 变量的典型模式是：12//X n F Y n =，其中,X Y 要求满足：X 与Y 相互独立，2212(),()X n Y n χχ::，称F 为参数为()12,n n 的F 变量．【详解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从(0,1)N ．故2X 和2Y 都服从2(1)χ分布，答案应选(C)．方法2：题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ，没有X 与Y 的相互独立条件．因此，2X 与2Y的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确．题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(,)X Y 正态，这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)．三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等 22arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛洛20arctan(1)2lim 3x x x x →+⋅2346ππ=⋅=．四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y z e x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y z e x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂，z y∂∂．由x y zxe ye ze -=两边对x 求偏导数，有 (),x x z z z xe e ze e x∂+=+∂ 得x x z zz xe e x ze e ∂+=∂+，(10)z +≠设．类似可得，y y z z z ye e y ze e ∂+=-∂+，代入,u u x y∂∂∂∂表达式1323(),()x xy yz z z z u xe e u ye e f f f f x ze e y ze e∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得 du 1323(1)(1)(1)(1)x y z ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦．五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x ．命2sin u x =，则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)()f x dx ==sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法) sin t tdt =2⎰[]2cos sin t t t C =-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣．六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤，()0f x ≥与直线,x a x b ==及x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积2()baV f x dx π=⎰.【详解】(1) ()2225142(32)5aV x dx a ππ==-⎰ 22222420202a V a a x dy a a πππ=-=<<⎰g ．(2) 54124(32)5V V V a a ππ=+=-+ 根据一元函数最值的求法要求驻点，令34(1)0dVa a daπ=-=, 得1a =. 当01a <<时0dV da >，当12a <<时0dVda<，因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点，所以是V 的最大值点，129max 5V π=．七【解】(1) 369331()113(3)!(3)!n nn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑L L +！6！9！， 由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑，同理得 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 ()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑ 11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)x e =这说明，30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件310(0)1(3)!n n y n ∞==+∑1=，3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=. (2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=，其特征方程为210λλ++=，其特征根为12-±，所以其通解为212[sin ]xy e C x C x -=+. 另外，该非齐次方程的特解形式为xy ce =，代入原非齐次方程得x x x xce ce ce e ++=，所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[sin ]3x x y e C x C x e -=++. 故22121211[][cos ]23x xx y e C C e C x e --'=-⨯++-+222112111(2(2223x xx e C C x e C C x e --=-⨯--⨯-+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022211212111[00]331110(20(202231123e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=++=+⎪⎪⎪=-⨯--⨯-+⎨⎪⎪⎪=-+⎩解得112113110223C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩， 于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为221cos 323x x y e x e -=+另一方面，由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由微分方程解的唯一性，知321211cos ().(3)!323xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==，2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==，满足()m f x M ≤≤．又()0g x >，故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()0g x >，故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx ⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=．不然，则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正，从而根据积分的基本性质得(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符．由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．九【详解】方法1：对系数矩阵记为A 作初等行变换21311000000n a b b b a b b b b a b b b a a b A bb a b b a a b b b b a b a a b -- -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M L L L LL L M M M M MM M M LL行行行行行行当(0)a b =≠时，()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=L ，基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…,230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-L L L L ，为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++L ，其中(1,2,1)i k i n =-L 是任意常数．当a b ≠时，000000ab b b b a a bA b a a bb a a b ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪→--⎪⎪ ⎪--⎝⎭L L L MM M M L23110010101001a b a b n a b a b b b -- -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭M L L L MM M M 行/()行/()行/() 12131(1)000110010101001bb n ba n b-⨯-⨯ -⨯+-⎛⎫⎪-⎪ ⎪→-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ML LL M M M M L行行行行行行 当a b ≠且(1)a n b ≠--时，(1)0A a n b =+-≠，(),0r A n AX ==仅有零解. 当(1)a n b =--时，()1,0r A n AX =-=的同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=L ，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数．方法2：方程组的系数行列式a b b bb a b b A b b a bb b b a=L L LM M M ML(1)(1)2...(1)1(1)a n b b b b a n b a b b n a n b b a b a n b b b a+-+-+-+-LL LM M M M L 把第，，列加到第列111[(1)]11b b b a b b a n b b a b b b a +-LLLM M M M L提取第列的公因子 1210003-1[(1)]000-1000bbb a b a n b a b n a b--+-- -LLLMM M MM L第行第行第行第行第行第行1[(1)]()n a n b a b -=+--(1)当a b ≠且(1)a n b ≠--时，0A ≠，()r A n =方程组只有零解． (2)当(0)a b =≠时，aaa a a a a a A a a a a aa aa ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M M L21000031000010000a a a a n ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦L LL M M M M M u u u u u u u u u u u u u u r L第行第行第行第行第行第行111100001100000000a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L LL u u u u u u u u u r MM M M L第行 方程组的同解方程组为120n x x x +++=L基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…, 230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-L L L L ，为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++L ，其中(1,2,1)i k i n =-L 是任意常数．(1)当(1)(0)a n b b =--≠时，(1)(1)(1)(1)n bb b bbn b b b A b b n bb b b b n b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭L LL MM M M L1,2,...,11111111111111111n b n n n n ⨯-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭L L LMM M M L 行分别111121003100100n n n n nn n n -⎛⎫-⎪- ⎪- ⎪-⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭L LL M M M M M u u u u u u u u u r L 行行行行行行 111111002,...,101011001n n n -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⨯⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭L LL M M M M u u u u u u u u u r L行分别0011002,...,10101001n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭LLL u u u u u u u u u u u u u u u u u r M M M M L把第行都依次加到第1行 ()1r A n =-，其同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=L ，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数．十【详解】(1) 设λ是A 的任意特征值，α是A 的属于λ的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 ,0,A αλαα=≠ ①两边左乘A ，得 2A αA λαλλα==2λα= ②②+2*①得 ()()2222A Aαλλα+=+因220A A +=，0α≠，从而上式()()22220A Aαλλα+=+=，所以有220λλ+=，故A 的特征值λ的取值范围为0,2-．因为A 是实对称矩阵，所以必相似于对角阵Λ，且Λ的主对角线上元素由A 的特征值组成，且()()2r A r =Λ=，故A 的特征值中有且只有一个0.(若没有0，则222-⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故()()3r A r =Λ=与已知矛盾；若有两个0，则200-⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()()1r A r =Λ=与已知矛盾；若三个全为0，则000⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()()0r A r =Λ=与已知矛盾). 故220A -⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦: 即A 有特征值1232,0λλλ==-=．(2)A kE +是实对称矩阵，A 有特征值1232,0λλλ==-=，知A kE +的特征值为2,2,k k k --．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故A kE +正定200k k ->⎧⇔⎨>⎩20k k >⎧⇔⎨>⎩2k ⇔> 故2k >时A kE +是正定矩阵．十一【分析】(,)X Y 有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与U 的值有关．U 的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即可．【详解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和．依照题意，有{}{}{}1(2)11,11,11;2(2)4P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-==--{}{}{}1,11,10;P X Y P U U P =-==≤->=∅={}{}{}11,11,111;2P X Y P U U P U ==-=>-≤=-<≤={}{}{}11,11,11.4P X Y P U U P U ===>->=>=于是，(,)X Y 分布为(2) 因为22()()[()]D X Y E X Y E X Y +=+-+，所以我们应该知道X Y +和2()X Y +的分布律．对离散型随机变量，X Y +的取值可能有2,0,2;-2()X Y +的取值可能有0和4；{}{}121,1,4P X Y P X Y +=-==-=-={}{}{}1101,11,10,22P X Y P X Y P X Y +====-+=-==+= {}{}121,1,4P X Y P X Y +=====(){}{}2100,2P X Y P X Y +==+==(){}{}{}214222P X Y P X Y P X Y +==+=-++==．X Y +和2()X Y +的分布律分别为和所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有：{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑所以有，2224()0,()2442E X Y E X Y +=-+=+==． 22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式． Y 由X 和2(小时)来确定，所以min(,2)Y X =．指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为：1510()500x X e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>是参数由分布函数的定义：{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时，()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =，其中X 和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时，()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y yyX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。

2002考研数学一真题及答案解析

2002考研数学一真题及答案解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)⎰∞+exx dx2ln =.(2)已知函数()y y x =由方程0162=-++x xy e y 确定,则(0)y ''=. (3)微分方程02='+''y y y 满足初始条件0011,'2x x yy ====的特解是.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换x Py =可化成标准型216y f =,则a =.(5)设随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为12,则μ＝ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续; ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ③),(y x f 在点),(00y x 处可微;④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ,则有(A ) ②⇒③⇒①. (B ) ③⇒②⇒①. (C ) ③⇒④⇒①.(D ) ③⇒①⇒④.(2)设0(1,2,3,)n u n ≠=,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑ (A ) 发散. (B ) 绝对收敛.(C ) 条件收敛.(D ) 收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,则 (A ) 当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(B ) 当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(C ) 当0lim ()0x f x +→=时,必有0lim ()0x f x +→'=. (D ) 当0lim ()x f x +→'存在时,必有0lim ()0x f x +→'=.(4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b ++=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则(A ) 1()f x ＋2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (B ) 1()f x 2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (C ) 1()F x ＋2()F x 必为某一随机变量的分布函数. (D ) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分) 设函数)(x f 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f '≠≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与⎰-=x t dt e yarctan 02在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分dxdy e Dy x⎰⎰},max{22,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y ＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记2221[1()][()1],L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰(1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数333369()1()3!6!9!(3)!n x x y x x n =++++++-∞<<+∞满足微分方程x e y y y =+'+'';(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy 坐标面,其底部所占的区域为2{(,)|D x y x =275}y xy +-≤,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D 的边界线2275x y xy +-=上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ,4321,,,αααα均为4维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=,如果4321ααααβ+++=,求线性方程组β=Ax 的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为10,cos ,()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.对X 独立地重复观察４次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分)其中1(0)2θθ<<是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】 原式2ln 11.ln ln eed x x x+∞+∞==-=⎰(2)【分析】 方程两边对x 两次求导得'6'620,y e y xy y x +++=① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=②以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得''(0) 2.y =-(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy=== 代入方程得20dP yPP dy +=,即0dPy P dy +=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==). 分离变量得0,dP dy P y+= 积分得ln ln ',P y C +=即1C P y=(0P =对应10C =); 由0x =时11,',2y P y ===得11.2C =于是又由01x y==得21,C =所求特解为y =(4)【分析】 因为二次型Tx Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.又因iiia λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=(5)【分析】 设事件A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=>4}.依题意,有1(){4}.2P A P X =>=而 4{4}1{4}1(),P X P X μΦσ->=-≤=-即414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ----===⇒=二、选择题(1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).(2)【分析】 由1lim 101n n un n →+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时10n u >,且1lim 0,n nu →+∞=不妨认为,0,n n u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1nu 的单调性. 按定义考察部分和111111111111(1)()(1)(1)nn nk k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑ 1111111(1)11(1)1(1)(),k n nn l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑⇒原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()n nn u u ∞=++∑.注意111112,11n n n n u u n n n u u n n++++=+⋅→+11n n ∞=∑发散⇒1111()n n n u u ∞=++∑发散.因此选(C ).(3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞'=≠,则由拉格朗日中值定理,(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M -≤+≤矛盾(()).f x M ≤(4)【分析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.(5)【分析】 首先可以否定选项(A )与(C ),因121212[()()]()()21,()()112 1.f x f x dx f x dx f x dx F F +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=≠+∞++∞=+=≠⎰⎰⎰对于选项(B ),若121,21,1,01,()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞=≠⎰因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).进一步分析可知,若令12max(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰是12()().F x F x1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=又由洛必达法则00()(2)(0)'()2'(2)limlim1h h af h bf h f af h bf h h →→+-+= (2)'(0)0,a b f =+=及(0)0f '≠,则有20a b +=. 综上,得2, 1.a b ==-四、【解】 由已知条件得(0)0,f =22arctan arctan 02'(0)()'1,1xx t xx x e f e dt x --=====+⎰故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得02()(0)2()(0)lim ()2lim 2lim 2'(0) 2.2n n x f f f x f n nf f n xn→∞→∞→--====五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示2222,,max{,}(,),,,x x y x y x y D y x y ⎧≥⎪=∈⎨≤⎪⎩于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥⇒I 222212max{,}max{,}xy xy D D e dxdy e dxdy =+⎰⎰⎰⎰2221212x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D 关于y x =对称)2102xx dx e dy =⎰⎰(选择积分顺序)22112 1.x xxe dx e e ===-⎰六、【分析与求解】(1)易知Pdx Qdy +∃原函数,2211()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y+=++-=-++ 0()()()[()].xy x xd f xy d xy d f t dt y y =+=+⎰⇒在0y >上Pdx Qdy +∃原函数,即0(,)()xy xu x y f t dt y=+⎰.⇒积分I 在0y >与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得(,)(,)(,).c d a b c a I u x y d b==-七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数3693()13!6!9!(3)!n x x x x y x n =++++++的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得25831'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-,4732''()4!7!(32)!n x x x y x x n -=+++++-,所以2'''12!!n x x x y y y x e n ++=+++++=()x -∞<+∞.(2)与'''xy y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,其特征方程为210λλ++=,特征根为1,212λ=-±.因此齐次微分方程的通解为212()x Y eC x C x -=+.设非齐次微分方程的特解为x y Ae *=,将y *代入方程'''xy y y e ++=可得13A =,即有13x y e *=.于是,方程通解为2121(sin )3xx y Y y eC x C x e -*=+=++. 当0x =时,有112121(0)1,23,0.311'(0)0.23y C C C y C ⎧==+⎪⎪⇒==⎨⎪==-+⎪⎩于是幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数为221()cos323x x y x e x e -=+()x -∞<+∞八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向0000(,)(,)0000(,){,}{2,2}x y x y h h h x y x y y x x y∂∂==-+-+∂∂grad方向导数取最大值即00(,)(,)x y h x y grad 的模,00(,)g x y ⇒=(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件22750x y xy +--=下的最大值点⇔22222(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-在条件22750x y xy +--=下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数2222(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--则有22108(2)0,108(2)0,750.Lx y x y x Ly x y x y L x y xy λλλ⎧∂=-+-=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=+--=⎪∂⎩解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=⇒=-或 2.λ=-若y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式得275x=即x y =±=±于是得可能的条件极值点1234(5,5),(5,5),(M M M M ----现比较222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:1234()()450,()()150.f M f M f M f M ==== 因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2(,)g x y 在12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.九、【解】 由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由123412312(,,,)2010ααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T -再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知,(1,1,1,1)T 是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.十、【解】(1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1,P AP B -=故 111E B E P AP P EP P AP λλλ----=-=-11().P E A P P E A P E A λλλ--=-=-=-(2)令0100,,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么2.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使10P AP B -==.从而100A P P -==,矛盾,亦可从()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλ则有A 相似于1,n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 也相似于1.n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦即存在可逆矩阵,P Q ,使111.n P AP Q BQ λλ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 于是111()().PQ A PQ B ---=由1PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.十一、【解】 由于311{}cos ,3222x P X dx πππ>==⎰依题意,Y 服从二项分布1(4,)2B ,则有2222111()()4(4) 5.222EY DY EY npq np =+=+=⨯⨯+⨯= 十二、【解】 22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(3).4EX θ=- θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8x =+++++++ 2.=因此θ的矩估计值11ˆ(3).44x θ=-= 对于给定的样本值似然函数为624()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-2ln ()62824286.112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=----令ln ()0d L d θθ=,得方程2121430θθ-+=,解得712θ-=(71,122θ+=>不合题意).于是θ的最大似然估计值为7ˆ12θ=。

《山东大学数学分析2007-2017年考研真题及答案解析》

《山东大学数学分析2007-2017年考研真题及答案解析》

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题 (2)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题 (3)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题 (5)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题 (6)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题 (7)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题 (8)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题 (10)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题 (12)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题 (14)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (16)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (16)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (22)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (29)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (34)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (59)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (68)Ⅰ历年考研真题试卷山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题科目代码：651科目名称：数学分析（答案必须写在答卷纸上，写在试卷上无效）1.求()sin 0lim cot xx x →2.求222222222222(),: 1.Vx y z x y z dxdydz V a b c a b c ++++=⎰⎰⎰3.求211.n n n x ∞-=∑()0,1x ∈4.证明：20lim sin 0.n n xdx π→∞=⎰5.()()0,()f a f b f x ''==有二阶导数，证明：存在,ξ满足24()()().()f f b f a b a ξ''≥--6.22220(,)0,0.x y f x y x y +≠=+≠⎩，证明：(,)f x y 在（0，0）连续，有有界偏导数,x y f f ''在（0，0）不可微。

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 1、21lim________2x x x →=+-．【分析】考查未定式极限。

可以分子有理化，也可用罗比达法则。

【详解】法一：2112x x x x →→=+-6x →==法二：116x x →→==-。

2、设函数()y f x =由方程曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 确定，则曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程为________．【分析】考查导数几何意义的使用及隐函数求导数。

【详解】方程两端微分得：2(2)sin()()0x y e dx dy xy ydx xdy ++++=。

将(0,1)P 代入上式得：(2)0P e dx dy +=，所以2P dydx=-，即法线斜率为12k =从而法线方程：112y x -=。

3、32222(sin )cos _______x x xdx ππ-+=⎰． 【分析】考查对称区间上定积分的计算。

对对称区间上的定积分一般都可利用积分性质化简计算。

【详解】3222232222222(sin )cos sin cos cos x x xdx x xdx x xdx ππππππ---+=+⎰⎰⎰22222202sin cos 2sin (1sin )x xdx x x dx ππ==-⎰⎰1132()πππ⋅=⋅-⋅=4、过点1(,0)2且满足关系式11arcsin 2=-+'xy x y 的曲线方程为________．【分析】考查一阶微分方程求特解。

【详解】方程11arcsin 2=-+'xy x y 是一阶线性微分方程，用通解公式可得其通解为1()arcsin y e e dx C x-=+⎰1()arcsin x C x=+又因为1()0y =，所以1C =-，从而曲线方程为1arcsin y x x =-。

2001考研数学一真题及答案解析(统编)

2001考研数学一真题及答案解析(统编)

y O x 2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)设222z y x r ++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________. (3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________. (5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示, 则)(x f y '=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+.(B ) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在. (B ) 01lim (1)h h f e h →-存在.(C ) 201lim (sinh)h f h h →-存在. (D ) 01lim [(2)()]h f h f h h →-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似.(B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1. (B ) 0. (C ) 12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx ee x x⎰2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2f x∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ= (,))f x x .求13)(=x x dx d ϕ.。

2001考研数一真题及解析

2001考研数一真题及解析

2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设12(sin cos )x y e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 (2) 设222,r x y z =++则(1,2,2)()|div gradr -=(3) 交换二次积分的积分次序：112(,)ydy f x y dx --=⎰⎰(4) 设矩阵A 满足2A 40A E +-=,其中E 为单位矩阵，则()1A E --＝(5) 设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计{}()2P X E X -≥≤二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图形如右图所示，则导函数()y f x '= 的图形为 ( )(2) 设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义，且''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==则 ( )(A)(0,0)|3.dz dx dy =+(B)曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}.(C)曲线(,)z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1, 0,3}.(D)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0, 0, f (0,0))的切向量为{3,0,1}.(3) 设(0)0f =，则()f x 在点0x =可导的充要条件为 ( )(A)201lim(1cosh)h f h →-存在. (B)h 01lim (1)h f e h →-存在. (C)201lim (sinh)h f h h →-存在. (D)[]01lim (2)()h f h f h h→-存在.(4) 设111140011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 ( ) (A)合同且相似 . (B)合同但不相似. (C)不合同但相似 . (D)不合同且不相似.(5) 将一枚硬币重复掷n 次，以X Y 和分别表示正面向上和反面向上的次数，则X Y 和的相关系数等于 ( )(A)-1 (B)0 (C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan xxe dx e⎰ 四、(本题满分6分)设函数(,)z f x y =在点(1,1) 处可微，且(1,1)(1,1)1,3,()(,(,)).f f x f x f x x xϕ∂===∂求31()x d x dxϕ=.五、(本题满分8分)设21arctan ,0(), 1, 0x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩试将()f x 展开成x 的幂级数，并求级数21(1)14n n n ∞=--∑的和. 六、(本题满分7分)计算222222()(2)(3),LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰ 其中L 是平面2x y z ++= 与柱面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设()y f x = 在(1,1)- 内具有二阶连续导数且"()0,f x ≠试证： (1) 对于(−1,1)内的任意0x ≠, 存在唯一的()x θ∈(0,1) ，使[]()(0)'()f x f x f xx θ=+成立；(2) 01lim ().2x x θ→=八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130 厘米的雪堆全部融化需多少小时？九、(本题满分6分)设12,,,s ααα 为线性方程组0Ax = 的一个基础解系，1112221223121,,,,s s t t t t t t βααβααβαα=+=+=+ 其中12,t t 为实常数.试问12,t t 满足什么关系时，12,,,s βββ 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3 阶矩阵A 与三维向量x , 使得向量组2,,x Ax A x 线性无关，且满足3232A x Ax A x =-(1) 记()2,,,P x Ax A x =求2 阶矩阵B , 使1;A PBP -=(2) 计算行列式.A E +十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01)P P <<，且途中下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. 十二、(本题满分7分)设总体X 服从证态分布2(,)(0),N μσσ>从该总体中抽取简单随机样本122,,,(2)n X X X n ≥，其样本均值为211,2ni i X X n ==∑求统计量()212ni n i i Y X X X +==+-∑的数学期望()E Y .2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】220y y y '''-+=.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解为12(sin cos )x y e c x c x αββ=+时，则特征方程20r pr q ++=对应的两个根为一对共轭复根：1,2i λαβ=±，所以根据题设12(sin cos )x y e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1αβ==，特征根为1,2λi αβ=±1,i =± 从而对应的特征方程为：()()2(1)(1)220,i i λλλλ-+--=-+= 于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220y y y '''-+=.(2)【答案】2.3【分析】若(),,r x y z 具有连续的一阶偏导数，梯度gradr 在直角坐标中的计算公式为：r r r gradr i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂ 设()()()(),,,,,,,,A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，其中,,P Q R 具有一阶连续偏导数，散度divA 在直角坐标中的计算公式为：P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ 若(),,r x y z 具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：222222()r r rdiv gradr x y z∂∂∂=++∂∂∂【详解】本题实际上是计算222222r r rx y z∂∂∂++∂∂∂r x ∂∂222x y z x ∂++=∂22222x x y z=++222x x y z =++xr=22r x ∂∂x x r ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2r r xx r∂-∂=2xr x r x r x r r -∂ = ∂223r x r -= 类似可得 r y y r ∂=∂，22r y∂∂223r y r -=；r z z r ∂=∂，22r z ∂∂223r z r -= 根据定义有 ()div gradr 222222r r r x y z∂∂∂=++∂∂∂222222333r x r y r z r r r ---=++ 222233r x y z r ---=2233r r r -=232r r=2r =2222x y z =++于是 (1,2,2)()|div gradr -()2221,2,22x y z -=++2222231(2)2==+-+(3)【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域， 如图阴影部分. 但在10y -≤≤内，21y ≥-， 题设的二次积分并不是(,)f x y 在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰其中{}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤ 再由图所示，又可将D 改写为{}(,)12,10,D x y x x y =≤≤-≤≤于是112(,)ydy f x y dx --⎰⎰0211(,)ydy f x y dx --=-⎰⎰2011(,)xdx f x y dy -=-⎰⎰211(,).xdx f x y dy -=⎰⎰(4)【答案】1(2).2A E + 【详解】要求()A E -的逆，应努力把题中所给条件化成()A EB E -=的形式.由题设240A A E +-=⇒222A A E E +-=⇒()()22A E A E E -+=Oxyx+y=1x=2 1即 ()()12,2A E A E E -⋅+= 故 ()()1122A E A E --=+.(5)【答案】12【分析】切比雪夫不等式：{}2()()D X P X E X εε-≥≤【详解】根据切比雪夫不等式有{}22()21()2222D X P XE X -≥≤==二、选择题(1) 【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在y 轴的左侧，曲线()y f x =是 严格单调增加的，因此当0x <时，一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==未设(,)f x y 在点(0,0)可微，也没设(,)z f x y =，所以谈不上dz ，因此可立即排除(A)；令(,,)(,)F x y z z f x y =-，则有''''',,1x x y y z F f F f F =-=-=. 因此过点(0,0,(0,0))f 的法向量为{}''',,x y z F F F ±={}'',,1x y f f ±--=±{−3,−1,1} ，可排除(B)；曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩可表示为参数形式：0,(,0)x xy z f x =⎧⎪=⎨⎪=⎩点(0,0,(0,0))f 的切向量为 {}{}'1,0,(0,0)1,0,3x f ±=±. 故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为0001()()lim(1)1lim lim ln(1)ln(1)h h h x x f x f x xf e e x h x x x →→→--==⋅-- 0()ln(1)limx f x x x x x x → -- ⋅- ()()00()0()lim 0lim 0x x f x f f x f x x →→-=- =0 -()0f '=可见，若()f x 在点0x =可导，则极限01lim(1)h h f e h→-一定存在；反过来也成立. 方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，()f x x =, 在0x = 处不可导，但2220001cos 11cos lim (1cos )lim limh h h h h f h h h h →→→---==22012sin 2lim h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=2201112sin lim 22h h h h h→⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12=，故排除(A)2200sin 1lim(sin )lim h h h h f h h h h →→--=30sin lim h h hh h→-=⋅ 其中，30sin lim h h h h →-30sin lim h h h h →-=201cos lim 3h h h →- 洛22012sin 2lim 3h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=22012lim 3h h h → 等16= 根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以3sinhlim0h h h h→-⋅=.故排除(C). 又如1,0()0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处不可导，但[]00111lim (2)()lim0h h f h f h h h →→--==存在，进一步可排除(D).(4)【答案】 (A)【详解】方法1：因为A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ.1111111111111111E A λλλλλ---------=--------44442,3,41111111111111λλλλλλλ----------------行分别加到行 111111111(4)111141111λλλλλ--------------行提出公因子()111110(4)00000λλλλ-行分别加到2,3,4行34λλ=-()=0 得A 的特征值为：12344,0,λλλλ====故必存在正交矩阵Q , 使得14000000000000000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A B 与相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似. 因此，A B 与也合同. 即A B 与既合同且相似.应选(A).方法 2：因为A 是实对称矩阵，故A 必相似于一对角阵Λ. 又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩, 知A 与Λ有相同的秩，故()()1,r r A Λ== 即Λ对角线上有3个元素为零.因此, 1230λλλ===是A 的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知444114.iii i i a λλ=====∑∑ 故，44λ=.即A 有特征值40λλ==和(三重根)，和对角阵B 的特征值完全一致，故A ,B 相似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似. 知A ,B 合同.(5)【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-，故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义：22()DX EX EX =-, 所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义，得 cov(,)(,)1X Y DXX Y DX DY DX DXρ-===-三【详解】2arctan x x e dx e⎰2arctan x xe e dx -=⎰()21arctan 22x x e e d x -=--⎰ ()21arctan 2x x e d e -=-⎰()221arctan arctan 2x x x xe e e d e ----⎰分部 2221arctan 2(1)x x xxx de e e e e -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰ 222111arctan 21x x x x x e e de e e -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰ 22211arctan 21x x x x x xe e e de de e --⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭⎰⎰ ()21arctan arctan 2xx x x e e e e C --=-+++四【详解】 由题设，()d x dx ϕ[](,(,))df x f x x dx=()12(,(,))(,(,))(,)f x f x x f x f x x f x x '''=+ 1212(,(,))(,(,))(,)(,)f x f x x f x f x x f x x f x x ⎡⎤''''=++⎣⎦这里1f f x ∂'=∂，2ff y∂'=∂，所以1()x d x dx ϕ={}12121(,(,))(,(,))(,)(,)x f x f x x f x f x x f x x f x x =⎡⎤''''=++⎣⎦1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)f f f f ⎡⎤''''=++⎣⎦[]2323=+⋅+17=又 (1,1)1,f =()(,(,))x f x f x x ϕ=， 所以 (1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1(1,1)f f = 1,=所以3211()()3()x x d d x x x dxdx ϕϕϕ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21()3(1)x d x dx ϕϕ==1()(1)1,173117x d x dx ϕϕ= == ⋅⋅51=五【详解】 首先将arctan x 展开.因为 ()arctan 'x =2211(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑故 ()0arctan arctan 0arctan 'xx x dx =+⎰2000(1)xn n n x dx ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑⎰2210(1)(1)21n xnnn n n x dx x n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰， ()1,1x ∈-于是 21()arctan x f x x x +=22101(1)21n n n x x x n ∞+=+-=+∑220(1)(1)21n n n x x n ∞=-=++∑ 22200(1)(1)2121n n n n n n x x n n ∞∞+==--=+++∑∑()()011210210(1)(1)(1)20121211n n n n n n x x xn n +-∞∞+==---=++⋅+++-∑∑ 12211(1)(1)12121n n n n n n x x n n -∞∞==--=+++-∑∑2211(1)(1)12121n n n nn n x x n n ∞∞==--=+-+-∑∑21111(1)2121nn n x n n ∞=⎛⎫=+-- ⎪+-⎝⎭∑221(1)2114n n n x n∞=-=+-∑， ()1,1,0x x ∈-≠ 又0lim ()x f x →2201(1)2lim 114n n x n x n ∞→=⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑1=，且(0)1f =，所以()f x 在0x =处连续，从而0x =时，()f x 221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑也成立. 进而()f x 221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑，(1,1)x ∈-，又在1x =±处级数22211(1)2(1)21414n n n n n x n n ∞∞==--=--∑∑收敛， 2111lim ()lim arctan x x x f x x x --→→+=2111lim lim arctan x x x x x--→→+=⋅242ππ=⋅=()1f =， 2111lim ()lim arctan x x x f x x x ++→-→-+=2111lim lim arctan x x x x x ++→-→-+=⋅()2142f ππ⎛⎫=-⋅-==- ⎪⎝⎭， 所以()f x 在1x =处左连续，在1x =-处右连续，所以等式可扩大到1x =±，从而 221(1)2()114n nn f x x n∞=-=+-∑，[]1,1x ∈-， 变形得 221(1)()1142n n n f x x n∞=--=-∑ 因此 21(1)14n n n ∞=--∑221(1)114n n n n∞=-=⋅-∑[]1(1)12f =-1122π⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦1.42π=-六【详解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)D 为S 在xoy 坐标面上的投影， {(,)| 1 }D x y x y =+={}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y xyz z z z αβγ''=--''++ 在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydz dzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.把111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===代入上式， I [](24)cos (26)cos (22)cos Sy z z x x y dS αβγ=--+--+--⎰⎰[]1(24)(26)(22)3Sy z z x x y dS =--+--+--⎰⎰ []18463S x y z dS =---⎰⎰2(423)3Sx y z dS =-++⎰⎰ 按第一型曲面积分的算法，将S 投影到xoy ，记为σ.dS 与它在xoy 平面上的投影d σ的关系是2211cos x y dS d z z d σσγ''==++ 故3dS d σ=，将2x y z ++=代入2(423)3S I x y z dS =-++⎰⎰2[423(2)](3)3Sx y x y d σ=-++--⎰⎰ 2(6)Dx y d σ=--+⎰⎰由于D 关于y 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.D 关于x 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy =-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)其中，D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=- 方法2：转换投影法.用斯托克斯公式，取平面2x y z ++=被L 所围成的部分为S ，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，S 在xoy 平面上的投影域记为{(,)| 1 }D x y x y =+=.由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰由 111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===， 及 {}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y xyz z z z αβγ''=--''++ 知 11cos cos dS dydz dxdy αλ==，11cos cos dS dzdx dxdy βλ==， 故 22221cos 1cos 1xx yx x yz z z dydz dxdy dxdy z dxdy z z αλ'-''++'===-''++ 22221cos 1cos 1yx yy x yz z z dzdx dxdy dxdy z dxdy z z βλ'-''++'===-''++ 因为S 为2z x y =--，式子左右两端分别关于,x y 求偏导，1,1,z zx y∂∂=-=-∂∂于是 (24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰{}24,26,26,,1Sz z y z z x x y dxdy x y ⎧⎫∂∂=------⋅--⎨⎬∂∂⎩⎭⎰⎰2(423)2(6)SDx y z dxdy x y dxdy =-++=--+⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰. 类似的，因为区域D 关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy =-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法3：降维法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，D 为S 在xoy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+= 把2x y z ++=代入I 中， 1L 为L 在xoy 平面上投影，逆时针.1222222((2))(2(2))(3)()L I y x y dx x y x dy x y dx dy =---+---+---⎰ 12222(42444)(324888)L y x xy x y dx y x xy x y dy =--++-+-+--+⎰ 12222(324888)(42444)[]L y x xy x y y x xy x y dxdy x y∂-+--+∂--++--∂∂⎰ 格林公式 2(6)24Dx y dxdy =--+=-⎰⎰方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则){}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y xyz z z z αβγ''=--''++ 在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰用逐个投影法，先计算1(24),SI y z dydz =--⎰⎰ 其中{}(,)|21yz D y z y z y =--+≤为S 在yoz 平面上的投影，分别令0,0,20,20y y y z y z ≥≤--≥--≤, 可得到yz D 的4 条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z = ；左：21y z +=；下：1z =.于是 13(3)2111(1)22(2)16z z I dz y z dy --=-+=-⎰⎰再计算2(26)SI z x dzdx =--⎰⎰，其中{}(,)|21xzD x z x x z =+--≤为S 在xoz平面上的投影，分别令0,0,20,20x x x z x z ≥≤--≥--≤, 可得到xz D 的4 条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z = ；左：21y z +=；下：1z =.于是 13(3)321211(1)22(3)(6)8z z I dz z x dx z dz --=-+=-=-⎰⎰⎰再计算3(22)DI x y dxdy =--⎰⎰，其中{}(,)|1xyDx y x y =+≤为S 在xoy 平面上的投影，因为区域关于y 轴和x 轴均对称，被积函数是关于x 和y 都是奇函数， 于是 32()0SI x y dxdy =-+=⎰⎰故 12324.I I I I =++=- 方法5：参数式法.L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，是由4条直线段构成的封闭折线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当0,0x y ≥≥时，1:1,2L y x z x y =-=--, 则,dy dx dz dx =-=-，x 从1 到0. 以x 为参数，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(2)][2(2)]()[3(1)]()x x y dx x y x dx x x dx =----+----+--- 22[(1)1(2)(1)]x x dx =--+--则1222222()(2)(3)L y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰221(1)1(2)(1)x x dx ⎡⎤=--+--⎣⎦⎰7.3= 当0,0x y ≤≥, 2:1,12L y x z x =+=-, 则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1- 于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(12)][2(12)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =+--+--+-+-(24)x dx =+所以212222220()(2)(3)(24)3L y z dx z x dy x y dz x dx --+-+-=+=-⎰⎰当0,0x y ≤≤, 3:1,3L y x z =-=,则,0dy dx dz =-=，x 从1-到0，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)3][23]()[3(1)]0x dx x dx x x =--+⋅--+--⋅ 2(2226)x x dx =+-所以32222222179()(2)(3)(2226)3L y z dx z x dy x y dz x x dx --+-+-=+-=-⎰⎰ 当0,0x y ≥≤, 4:1,32L y x z x =-=-，则,2dy dx dz dx ==-，x 从0 到1， 于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(32)][2(32)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =---+--+---(1812)x dx =-+所以41222222()(2)(3)(1812) 3.L y z dx z x dy x y dz x dx -+-+-=-+=⎰⎰所以 123424.LL L L L I ==+++=-⎰⎰⎰⎰⎰七【分析】拉格朗日中值定理：如果()f x 满足在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立【详解】(1) 因为()y f x = 在(1,1)- 内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零(1,1)x ∈-，存在()x θ∈(0,1)，()(1,1)x x θ⋅∈-，使[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<成立.因为()f x ''在(1,1)-内连续且"()0,f x ≠ 所以()f x ''在(1,1)-内不变号，不妨设"()0,f x >则()f x '在(1,1)-内严格单调且增加，故()x θ唯一.(2)方法1：由(1)知[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<< 于是有 []'()()(0)xf x x f x f θ=-，即 []()(0)'()f x f f x x xθ-=所以[]2'()'(0)()(0)'(0)f x x f f x f f xxx θ---=上式两边取极限，再根据导数定义，得左端＝[]0'()'(0)limx f x x f xθ→-[]0'()'(0)lim()()x f x x f x x xθθθ→-=[]0'()'(0)limlim ()()x x f x x f x x xθθθ→→-=0"(0)lim ()x f x θ→=右端＝20()(0)'(0)limx f x f f x x →--0'()'(0)lim 2x f x f x →- 洛01'()'(0)lim 20x f x f x →-=-1"(0)2f 导数定义 左边=右边，即01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=，故01lim ().2x x θ→=方法2：由泰勒公式得()21()(0)'(0)"(),02f x f f x f x x ξξ=++ ∈，再与(1)中的 []()(0)'()(0()1)f x f xf x x x θθ=+<<比较，所以 []21'()()(0)'(0)"(),2xf x x f x f f x f x θξ=-=+ 约去x ，有 []1'()'(0)"(),2f x x f f x θξ=+凑成[]'()'(0)1()"(),()2f x x f x f x xθθξθ-=由于 []0'()'(0)lim"(0)()x f x x f f x xθθ→-=，0lim "()lim "()"(0)x f x f f ξξ→→==所以 01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→= 故 01lim ().2x x θ→=八【详解】222222()1()0()()2x y z h t x y h t h t +=-≥⇒+≤，所以侧面在xoy 面上的投影为：()2221,:()2D x y x y h t ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由体积公式V (),Df x y dxdy =⎰⎰Dzdxdy =⎰⎰222()()()D x y h t dxdy h t ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 化为极坐标，令cos ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤V ()22202()()h t r d h t rdr h t πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰()22022()()h t r h t rdr h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ ()()22222()()h t h t r h t rdr rdr h t π⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰()()24222()22()h t h t r r h t h t π⎛⎫ ⎪=-⎪⎪⎝⎭33()()248h t h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()4h t π=再由侧面积公式：()()22''1x y DS f f dxdy =++⎰⎰()()221xy Dz z dxdy ''=++⎰⎰22441()()Dx y dxdy h t h t ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰22216()1()Dx y dxdy h t +=+⎰⎰ 化为极坐标，令cos ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤S =()()22220161h t r d rdr h t πθ+⎰⎰()()22201621h t r rdr h t π=+⎰()()22220161h t r dr h t π=+⎰()()()()22222201616116h t h t r rd h t h t π=+⎰()()()32222202161163h t h t r h t π⎛⎫=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭()()()32232228211163h t h t h t π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22271163h t π=⋅⋅-213()12h t π= 由题意知0.9(),dVS t dt=- 将上述()V t 和()S t 代入，得 32()13()40.912dh t h t dt ππ=-⋅223()13()()0.9412dh t h t h t dt ππ⇒=-⋅() 1.3dh t dt ⇒=- 积分解得 13()10h t t C =-+ 由 ()0130h =, 得130C =. 所以13()130.10h t t =-+ 令()0h t →，即13130010t -+→100t ⇒→ 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时.九【详解】由题设知，12,,,s βββ 均为12,,,s ααα 的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以12,,,s βββ 均为0Ax =的解. 下面证明12,,,s βββ 线性无关. 设11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+ 代入整理得，()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++=由12,,,s ααα 为线性方程组0Ax =的一个基础解系，知12,,,s ααα 线性无关，由线性无关的定义，知()*中其系数全为零，即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s s t t +=+-(*（）变换：把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行，其中1,, 1.i s =- ) 由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当12(1)0,s st t +-≠，即12(),s s t t ≠-即当s 为偶数，12;t t ≠±当s 为奇数，12t t ≠时，上述方程组只有零解120,s k k k ==== 因此向量组12,,,s βββ 线性无关，故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时，12,,,s βββ 也是方程组0Ax =的基础解系.十【详解】(1)方法1：求B ，使1A PBP -=成立，等式两边右乘P ，即AP PB =成立.由题设知，AP ()2,,A x Ax A x =()23,,Ax A x A x =，又3232A x Ax A x =-，故有AP ()22,,32Ax A x Ax A x =-()2000,,103012x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭000103012P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 即如果取000103012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，此时的B 满足1A PBP -= ，即为所求.方法2：由题设条件()2,,P x Ax A x =是可逆矩阵，由可逆的定义，知有1P -使11PP P P --=()()121112,,,,P x Ax A x P x P Ax P A x ----==E =100010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即有11121000,1,0001P x P Ax P A x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由题设条件，3232A x Ax A x =-，有()131232P A x P Ax A x --=-11232P Ax P A x --=-00312001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭032⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭由1A PBP -=，得1B P AP -=()12,,P A x Ax A x -=()123,,P Ax A x A x -=()11213,,P Ax P A x P A x ---=000103012⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(2) 由(1)及矩阵相似的定义知，A 与B 相似. 由矩阵相似的性质：若A B ，则()()f A f B ，则A E +与A E -也相似. 又由相似矩阵的行列式相等，得100113011A E B E ⎡⎤⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1001(1)0132011⎡⎤⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行加到行1113(1)11+=--4=-十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景. 它的背景是：做n 次独立重复试验，每次试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为p ，随机变量X 表示n 次试验成功的次数，则~(,)X B n p . 在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有n 个人相当于做了n 次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为p ，则问题(1)成为n 重伯努利实验中有m 次成功.【详解】 (1)求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率{}|P Y m X n ==，由题设知，此条件概率服从二项分布，因此根据二项分布的分布律有:{}|(1),0,0,1,2m mn m n P Y m X n C P P m n n -===-≤≤=(2) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布，其实就是求{},P X n Y m ==，利用乘法公式，有 {}{}{},|P X n Y m P Y m X n P X n ======又X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，由泊松分布的分布律有{}!nP X n e n λλ-==故 {}{}{},|(1)!m mn mn ne P X n Y m P Y m X n P X n C P P n λλ--=======-⋅， 其中0,0,1,2m n n ≤≤=十二【详解】 记121111,n ni n i i i X X X X n n +====∑∑，则()1212X X X =+，即122X X X =+ 且 1111nin i i i EX nu E X E X u n n n ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑，211n n i i E X E X u n +=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑因此 ()()()221211()2n n i n i i n i i i E Y E X X X E X X X X ++==⎡⎤⎧⎫⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑ ()()()()22112212n i i n i n i i E X X X X X X X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑()()()()2211221112n n n i i n i n i i i i E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑因为样本方差()221111n i i S X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑是总体方差的无偏估计，则22ES σ=，即()2221111ni i ES E X X n σ=⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦∑ 所以 ()2211(1)n i i E X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑，同理 ()2221(1)n n i i E X X n σ+=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑而 ()()()()12121122n ni n i i n i i i E X X X X E X X X X ++==⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤--=--⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑()()1212ni n ii E X X XX +=⎡⎤=--⎣⎦∑()21121ni n i i n i i E X X X X X X X X ++==--+∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑由于122,,,(2)n X X X n ≥ 相互独立同分布，则2i X X 与，1n i X X +与，12X X 与也独立(1,2i n = ). 而由独立随机变量期望的性质(若随机变量,X Y 独立，且,EX EY 都存在，则EXY EXEY =)，所以2i n i i n i EX X EX EX u ++==，222i i EX X EX EX u ==211n i n i EX X EX EX u ++==，21212EX X EX EX u ==故有 ()()121n i n i i E X X XX +=⎧⎫⎡⎤--⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ ()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑()222210ni u u u u ==--+=∑即 ()()()()221122111()2n n n i i n i n i i i i E Y E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑()()()2221121n n n σσσ=-+-=-。

2001年考研数学试题详解及评分参考

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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2001 年数学试题详解及评分参考
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、填空题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) (1) 设 y = e (C1 sin x + C2 cos x) （ C1 , C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方
-1
(B) 0
(C)
1 2
(D) 1
【答】 应选 (A). 【解法一】 因 X + Y = n ，故 Y = n - X . 由于相关系数 r X ,Y 的绝对值等于 1 的充要条 件是 X 与 Y 之间存在线性关系，即 Y = a + bX （其中 a, b 是常数） ，且当 b > 0 时，
r X ,Y = 1 ；当 b < 0 时， r X ,Y = -1 . 因此 r x , y = -1 ，故选 (A).
æ1 ç1 (4) 设 A = ç ç1 ç è1
1 1 1 1
1 1 1 1
1ö æ4 ÷ ç0 1÷ ,B = ç ç0 1÷ ÷ ç 1ø è0
0 0 0 0
0 0 0 0
0ö 0÷ ÷ ，则 A 与 B 0÷ ÷ 0ø
(C) 不合同但相似 (D) 不合同且不相似
(A) 合同且相似 【答】 应选 (A).
【解法二】 根据相关系数的定义， 有 r x, y =
C ov( X , Y ) . 由于 DY = D ( n - X ) = DX ， DX × DY - DX Cov( X , Y ) = Cov( X , n - X ) = -Cov( X , X ) = - DX ，因此 r x , y = = -1 . DX

2001考研数学一真题及答案解析

2001考研数学一真题及答案解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________. (5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,3分,满分15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y'=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则 (A ) (0,0)|3z d dx dy =+.(B ) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx ee xx⎰2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立; (2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y z x r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z ++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对. 应选(D ).关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑22(1)21n nx ∞-=+∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22Sy z z x x y dS ------⎰⎰=(423)(2)(6)S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-利用. 于是==按第一类曲面积分化为二重积分得(62(6)D DI x y x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于 12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。

山大数学分析试题.doc

山大数学分析试题.doc

2000年试题一、填空。

1 1- r,2 2?(〃T)\ 91. Iim[—- H—- H --- 1 ---- —] = ?2.i im£^L±^ = ?•E X■ 23 .设x = 3cosr, y = 2sin r(0<r < 2勿),则= ?dx~4. / 心+iy?5 .设r = Jr + ),2,则JJ [ r \dxdy = ? x1 2+y2<162 26•设「表小椭圆—+ — = 1 正向，贝U f (x-y)dx + (x+ y)dy = ?4 9 廿7.级数也(1 +打的收敛范围为?〃=i n8.设/(x) = (l + x)ln(l + x),则严(0) = ?1 .设f(x)在［Q,0］上可积，令F(x)= ［/(rMr,证明：F(x)在［Q,。

］上连续。

2.求［e~x cos(2ax)dx(a为实数)。

3.试求级数£〃与〃的和函数。

〃=1三、任选两题。

f fMdx f ——dx > (h-a)2.* * i 3)1 .设f(x)在［a,b］上连续旦/(x)>0,证明:(3.-4) or xdx + ydy = ?2 .求 fcos"xsin/udx (n > 1 为正整数) 3.设 f(Q,g(x) 在 [0, +00) 上可微 H 满足■ ,(1) lim /(x) = A(0 < A < +oo), (2 Q^g(x) g(x).求证： 存 在数列XTSXTSJV —> 00{qj (c 、〃 T +00，" T 8)使得 f(c n )gf(c n ) < -g(C 〃)j'(Cn).2001年试题1 cos 2x -1 o 一、1. hm —=?jr+sirrx 2" n I 2.1im^ = ?3.设y),则紧=? 4 § x 2Vl - cos 2xdx = ? .5. 交换积分顺序f 公「'，(2知=?6.7.£〃(〃 + 1)尤"的和函数为?«=18.设 /(x) = arctan x,则 f ⑵中)(0) = ?二、1 .叙述函数fM)在［。

2001考研数学一真题及答案

2001考研数学一真题及答案

2001考研数学一真题及答案2001考研数学一真题及答案2001年的考研数学一真题是考生们备考的重点之一。

本文将为大家详细解析该年的数学一真题，并提供相应的答案。

希望通过这篇文章的阅读，考生们能够更好地理解和掌握数学一的考试内容。

第一部分：选择题选择题是考研数学一中的常见题型，也是考生们需要熟练掌握的部分。

以下是2001年数学一的选择题部分。

1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 2，下列结论中正确的是：A. f(x) 在 (-∞, +∞) 上恒大于 0B. f(x) 在 (-∞, +∞) 上恒小于 0C. f(x) 在 (-∞, +∞) 上有且仅有一个零点D. f(x) 在 (-∞, +∞) 上有两个零点答案：C解析：我们可以通过求导数来判断函数的单调性和极值点。

对 f(x) 求导，得到f'(x) = 3x^2 - 3。

令 f'(x) = 0，解得x = ±1。

将 x = -1 和 x = 1 代入 f(x) 的表达式，可以发现 f(x) 在 x = -1 和 x = 1 处取零值。

由于 f(x) 是一个三次函数，所以在整个实数范围内，f(x) 有且仅有一个零点。

2. 设 A 是一个 n 阶方阵，且满足 A^3 = A，则 A 的特征值可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都有可能答案：D解析：根据矩阵的特征值定义，特征值满足 |A - λI| = 0，其中λ 是特征值，I 是单位矩阵。

由于 A^3 = A，我们可以得到 A^3 - A = 0，即 A(A^2 - I) = 0。

所以 A 的特征值可能是方程 A^2 - I = 0 的根，即 1 和 -1。

同时，由于 A 是一个n 阶方阵，所以 A 的特征值可能还包括 0。

第二部分：填空题填空题是考研数学一中的另一种常见题型，考生们需要根据给定的条件填写相应的数值。

以下是2001年数学一的填空题部分。

1. 设函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若对任意的 x，都有f(x) ≥ 0，则实数 a, b, c 满足的条件是 ______。

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