2017届二轮复习 (五)直线与圆锥曲线专练专题卷 (全国通用)

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直线与圆锥曲线测试题(含答案)

直线与圆锥曲线练习题一、选择题1.直线x =与椭圆2212y x +=的位置关系为 AA .相离B .相切C .相交D .不确定2.抛物线2y x =的切线中，与直线240x y -+=平行的是 D A .230x y -+= B .230x y --= C .210x y -+= D .210x y --=3.若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 CA .2B .3C .4D . 4.过椭圆22221(0)4x y a a a +=>的一个焦点F 作直线交椭圆于,P Q 两点，若线段FP 和FQ 的长分别为,p q ，则11p q+= AA .4a B .12aC .4aD .2a 5.若直线:1(0)l y kx k =+≠被椭圆22:14x y E m +=截得的弦长为d ，则下列被椭圆E 截得的弦长不是d 的直线是 DA .10kx y ++=B .10kx y --=C .10kx y +-=D .0kx y +=6.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 CA .(0,1]B .(0,5)C .[1,5)(5,)+∞D .[1,5)7.设1F ，2F ，为双曲线2214x y -=的两焦点，点P 在双曲线上，且满足12F PF π∠=，则△12F PF 的面积是 AA .1BC .2D 二、填空题8.AB 是抛物线2y x =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .结果：52.9．（08海南、宁夏）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 . 结果：3215.10.过椭圆22143x y +=的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于 . 结果：3.11.过抛物线24y x =的焦点F 做垂直于x 轴的直线，交抛物线,A B 两点，则以AB 为直径的圆的方程是 . 结果：22(1)4x y -+=.12.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围为 .结果：(23,23)-.13.已知P 是抛物线24y x =上一点，设P 到此抛物线准线的距离为1d ，P 到直线2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 .P 到抛物线准线的距离即为P 到焦点(1,0)F 的距离.过F 作直线2120x y +-=的垂线，其方程是2(1)y x =-，由2(1),2120.y x x y =-⎧⎨+-=⎩得垂足1622(,)55Q ，易知点Q 在抛物线外部，当P 点为线段FQ 和抛物线交点时，12d d +最小. 三、解答题14.过点(1,1)P -作直线与椭圆22142x y +=交于，两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和AB 线段的长度.结果：230x y -+=，||AB .15.设过椭圆2212516x y +=的左焦点的弦为AB ，是否存在弦长||6AB =的弦，试说明理由.16.设11(,)A x y ，22(,)B x y 为抛物线22(0)y px p =>上位于x 轴两侧的两点.（1）若122y y p =-，证明：直线AB 恒过一个定点；结果：定点为(1,0).（2）若2p =，AOB ∠（O 是坐标原点）为钝角，求直线AB 在x 轴上的截距的取值范围．结果：设直线:AB x my t =+，则04t <<.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为e ．直线:l y ex a=+与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，点M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM AB λ=.（1）证明：21e λ=-；（2）若34λ=，△12MF F 的周长为6，写出椭圆C 的方程. 结果：22143xy +=. 18.已知抛物线2:C y x =与直线:34l y kx =+，试问C 上能否存在关于直线l 对称的两点？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.解1：（利用点在抛物线内构造不等式）假设C 上否存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线l 对称，设线段AB 中点为00(,)M x y ，由点差法求得02y k =-，进而01234x k =--，因点M 在抛物线内，故020y x <，故实数k 存在，范围为10k -<<.解2：（利用判别式构造不等式）设AB 方程为1y x bx k=-+联立消元得20y ky kb +-=，240k kb ∆=+>，设线段AB 中点为00(,)M x y ，12022y y y k +==-，由点00(,)M x y 在直线:3l y kx =+上，001(34)x y k=-，又00(,)M x y 在直线AB 上，得00213224x k b y k k k =+=---，代入240k kb ∆=+>整理得2320k k++<，解得10k -<<.19．如图1，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上顶点为A，左顶点为B F，为右焦点，离心率e=，过F作平行于AB的直线交椭圆于C D，两点，作平行四边形OCED，求证：E在此椭圆上．解：椭圆焦点(0)F c，，ABbka=，直线CD的方程为()by x ca=-，代入椭圆方程22221x ya b+=，得22220x cx b--=．设1122()()C x yD x y，，，，则12x x c+=，CD中点G的坐标为22c bca⎛⎫-⎪⎝⎭，．bcE ca⎛⎫-⎪⎝⎭，∴．cea==∵，a=∴．将点E的坐标代入椭圆方程2222222221c b c ca ab a+==满足，∴点E在椭圆上．20.直线:1l y kx=+与双曲线22:21C x y-=的右支交于不同的两点A，B.（1）求实数k的取值范围；结果：2k-<<（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在求出k的值；若不存在，说明理由.存在k=.21．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>，将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，，这也是双曲线的一个焦点，则1c =．又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，因此有229614a b -=．又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，，因此，双曲线的方程为224413y x -=．。

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：✍(R);AG AD λλ=∈✍2;GE GF GH +=✍0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x上的点的最远距离是43. 已知椭圆0(1:22221>>=+b a b y a x C 是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C 1的方程及双曲线C 2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C 2上一点P ，连结AP 交椭圆C 1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C 1于点N ，若MP AM =. 求证：.0=•AB MN4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tan α;（2）若2<tan α<3，求椭圆率心率e 的取值范围.5. 已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k≠0）与椭圆交于C D 两点问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围 7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点；（2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线；（3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。

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距离为18，N 为2MF 的中点，O 为坐标原点，等于（）A ．1 C ．2 D ．4 【答案】D22MF a -=D.10．【2017届辽宁庄河市高级中学高三12月月考】已知长方体1111D C B A ABCD -的外接球O ，其中21=BB ，则三棱锥ABC O -的体积的最大值为（） A.1 B.3 C.2 D.4 【答案】A【解析】由题意设外接球的半径为R ,则由题设可得由此可得2=R .记长方体的三条棱长分别为2,,y x ,422++y 由此可得1222=+y x ,因棱锥ABC O -的体积2612+⨯y x 故应选A.11．【2017届河北唐山市高三上学期期末】已知O 为坐标原点，F 是双曲线的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线 BM 与y 轴交于点N ，若 Γ的离心率为（）A.3B.2C.【答案】A【解析】易证得MFAEOA ∆∆，同理MFB NOB ∆∆，，所以2()c a a c -=+，整理，得故选A.12．【2017届重庆市一中高三上学期期中】的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足921=⋅PF PF ，则） A ．8 B ．10 C ．12 D ．15 【答案】D（二）填空题（4*5=20分）13．【重庆市第八中学2017届高三上学期第二次适应性考试】已知双曲线C ：右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，(0,2)M ，则△PFM 周长最小值为．【解析】依题意，双曲线2,1c a ==，所以1F 为左焦点，1,,M P F 三点共线时，14．【河南省豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛】已知圆C :228150x y x +++=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为．15．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心T 出发，先沿北偏西13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点 B C ，都在圆T 上，则在以线段BC 中点为坐标原点O ，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中，圆T 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的方程为，代入24y x =得，2222000(216)0y x y x y -++=，∴解得02y =±，故点M 的坐标为(1,2)或(1,2)-．19．【河南省豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛】已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线1l :2x =-的距离为1d ，到点(1,0)F -的距离为2d ，直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=︒. （1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设(,)P x y ，，，∴椭圆C 的方程为（2）(0,1)A ，(1,0)F -∴，又∵180OFA OFB ∠+∠=︒，∴1BF k =-，:1(1)1BF y x x =-+=--.得0,1,x y =⎧⎨=-⎩（舍）即直线l 的方程为（3）解法一：∵180OFA OFB ∠+∠=︒，∴0AF BF k k +=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB方程为y kx b =+.代直线AB 方程y kx b =+入∴()()()()()()1221121211=22kx b x kx b x kx x k b x x b+++++++++∴20b k -=， ∴直线AB 方程为()2y k x =+，直线l 总经过定点()2,0M -.解法二：由于180OFA OFB ∠+∠=︒，所以B 关于x 轴的对称点1B 在直线AF 上.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，'22(,)B x y -，直线AF 方程为(1)y k x =+.，令0y =，得又∵()111y k x =+，()221y k x -=+，∴.∴直线l总经过定点()2,0M -.20．【贵州省遵义市2017届高三上学期第一次联考（期中）】已知椭圆，两焦点分别为12F F 、，过1F 的直线交椭圆C 于M N 、两点，且2MF N ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(),0P m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆C 于A B 、两点，求弦长【解析】（1 48a =，所以．又222b a c =-，所以1b =，即椭圆C 的方程为（2，设切线l 的方程为()(),0y k x m k =-≠，由()22222148440k xk mx k m +-+-=．设()()1122,,A x y B x y 、，则()()42222264161444480km k k m k ∆=-+-=>．由过点()(),01P m m ≠±的直线l 与圆221x y +=相切得2．21．【河南省郑州市第一中学2017届高三上学期期中】已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于,A B 两点，求【解析】（1）设圆C 的方程为：()()2220x a y r r -+=>，因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()2222211a r a r⎧=⎪⎨--+=⎪⎩．解得1,1a r =-=．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．（2）设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤，由圆C 和圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作的两条切线的斜率必存在，设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -，所以，因为,PA PB 是圆C 的切线，所以12,k k 满足，即12,k k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，因为()220044y x =--，所以由026x ≤≤，可知()0f x 在22．【2017届陕西西安铁一中高三上学期三模】已知定点()0,1M 和直线1-=x 上的动点()t N ,1-，线段MN 的垂直平分线交直线t y =于点R ，设点R 的轨迹为曲线E .（I ）求曲线E 的方程；（II ）直线)0(≠+=k b kx y 交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点B A ,，点B 关于x 轴的对称点为P ，点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：Q P A ,,三点共线.【解析】（I ）由题意可知：RM RN =，即点R 到直线1-=x 和点M 的距离相等，根据抛物线的定义可知：R 的轨迹为抛物线，其中M 为焦点. 设R 的轨迹方程为：所以R 的轨迹方程为：x y 42=.。

(完整版)圆锥曲线基础知识专项练习

..圆锥曲线练习一、选择题(本大题共13小题，共65.0分)1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A.k＞1B.k＜-1C.-1＜k＜1D.-1＜k＜0或0＜k＜12.方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A.m∈（-1，2）B.m∈（-4，2）C.m∈（-4，-1）∪（-1，2）D.m∈（-1，+∞）3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A.1或3B.1C.3D.64.已知椭圆的焦点为（-1，0）和（1，0），点P（2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么( )A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6.“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件7.方程+=10，化简的结果是（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=18.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|=（）A. B. C. D.9.若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x10.抛物线y=ax2（a＜0）的准线方程是（）A.y =-B.y =-C.y =D.y =11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.3B.4C.6D.812.已知点P是抛物线x =y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A.2B.C.-1D.+113.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（）A.2B.-1C.2或-1D.1±二、填空题(本大题共2小题，共10.0分)14.在平面直角坐标系x O y中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B 在椭圆上，则= ______ ．15.已知椭圆，焦点在y轴上，若焦距等于4，则实数k=____________．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)16.已知三点P （，-）、A（-2，0）、B（2，0）．求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程．17.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4．椭圆与直线y=x+2相交于A、B两点．（1）求椭圆的方程；（2）求弦长|AB|高中数学试卷第2页，共10页..18.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，已知点A（1，）（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点A（1，），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．19.已知抛物线的标准方程是y2=6x，（1）求它的焦点坐标和准线方程，（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB 的长度．20.已知椭圆的离心率，直线y=bx+2与圆x2+y2=2相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21.已知椭圆C：4x2+y2=1及直线L：y=x+m．（1）当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；（2）当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程．答案和解析【答案】1.D2.B3.A4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.B11.A12.C13.A14.15.816.解：（1）2a =PA+PB=2，所以a =，又c=2，所以b2=a2-c2=6则以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程为：+=1．17.解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，∴，解得a=4，b=2，∴椭圆方程为=1．（2）联立，得5x2+16x=0，解得，，∴A（0，2），B（-，-），∴|AB|==．18.解：（1）设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，∴，c=2∵c2=a2+b2∴a=1，b =∴双曲线的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），代入双曲线方程可得，两式相减，结合点A（1，）为线段MN 的中点，可得∴=∴直线L 方程为，即4x-6y-1=0．高中数学试卷第4页，共10页..19.解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=∴焦点为F（，0），准线方程：x=-，（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，∴直线L的方程为y=x-，代入抛物线y2=6x化简得x2-9x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．故所求的弦长为12．20.解：（1）因为直线l：y=bx+2与圆x2+y2=2相切，∴，∴b=1，∵椭圆的离心率，∴，∴a2=3，∴所求椭圆的方程是．（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2-36＞0，∴k＞1或k＜-1，设C（x1，y1），D（x2，y2），则有，，若以CD为直径的圆过点E，则EC⊥ED，∵，，∴（x1-1）（x2-1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k-1）（x1+x2）+5=0∴，解得，所以存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．21.解：（1）由方程组，消去y，整理得5x2+2mx+m2-1=0．（2分）∴△=4m2-20（m2-1）=20-16m2（4分）因为直线和椭圆有公共点的条件是△≥0，即20-16m2≥0，解之得-．（5分）（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得，（8分）∴弦长|AB|===，-，∴当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．（10分）【解析】1. 解：∵曲线表示椭圆，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0．故选：D．曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 解：方程表示椭圆的充要分条件是，即m∈（-4，-1）∪（-1，2）．由题意可得，所求的m的范围包含集合（-4，-1）∪（-1，2），故选：B．由条件根据椭圆的标准方程，求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m的范围，则由题意可得所求的m的范围包含所求得的m范围，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，要条件的定义，属于基础题．3. 解：①椭圆+=1，中a2=2，b2=k，则c =，∴2c =2=2，解得k=1．高中数学试卷第6页，共10页..②椭圆+=1，中a2=k，b2=2，则c=，∴2c=2=2，解得k=3．综上所述，k的值是1或3．故选：A．利用椭圆的简单性质直接求解．本题考查椭圆的简单性质，考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题．4. 解：设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，b=，即有椭圆方程为+=1．故选：B．设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查椭圆的焦点的运用，属于基础题．5. 解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B．6. 解：a＞0，b＞0，方程ax2+by2=1不一定表示椭圆，如a=b=1；反之，若方程ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0．∴“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要分充分条件．故选：C．直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案．本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了椭圆的标准方程，是基础题．7. 解：由+=10，可得点（x，y）到M（0，-3）、N（0，3）的距离之和正好等于10，再结合椭圆的定义可得点（x，y）的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，且2a=10、c=3，∴a=5，b=4，故要求的椭圆的方程为+=1，故选：C．有条件利用椭圆的定义、标准方程，以及简单性质，求得椭圆的标准方程．本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8. 解：椭圆的左焦点为F（-，0），右焦点为（，0），∵P 为椭圆上一点，其横坐标为，∴P 到右焦点的距离为∵椭圆的长轴长为4∴P到左焦点的距离|PF|=4-=故选D．确定椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，即可求得P到左焦点的距离．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题．9. 解：∵点P到点（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，∴将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=-4，可得点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=-4为准线的抛物线．设抛物线方程为y2=2px，可得=4，得2p=16，∴抛物线的标准方程为y2=16x，即为P点的轨迹方程．故选：C根据题意，点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．由抛物线的定义与标准方程，不难得到P点的轨迹方程．本题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大1，求点P的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于基础题．10. 解：抛物线y=ax2（a＜0）可化为，准线方程为．故选B．抛物线y=ax2（a＜0）化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程．本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键．11. 解：抛物线y2=4x的准线为x=-1，∵点P到直线x=-3的距离为5，∴点p到准线x=-1的距离是5-2=3，根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是3，故选A．先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x=-3的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案．本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距高中数学试卷第8页，共10页..离相等这一特性．12. 解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：-1=．故选：C．先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可．本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．13. 解：联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得k2x2-（4k+8）x+4=0，（k≠0），判别式（4k+8）2-16k2＞0，解得k＞-1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，由AB中点的横坐标为2，即有=4，解得k=2或-1（舍去），故选：A．联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可求得k=2．本题考查抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，属于中档题．14. 解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用．考查了学生对椭圆的定义的灵活运用．15. 解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然k-2＞10-k，即k＞6，，解得k=8故答案为：8．16.利用椭圆定义，求出2a，得出a，可求得椭圆的标准方程．本题考查了椭圆方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用．17.（1）由椭圆的离心率为，短轴长为4，列出方程组，能求出椭圆方程．（2）联立，得5x2+16x=0，由此能求出弦长|AB|．本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．18.（1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，（2）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题，所以利用了焦半径公式．属于基础题．20.（1）利用直线l：y=bx+2与圆x2+y2=2相切，求出b，利用椭圆的离心率求出a，得到椭圆方程．（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则利用韦达定理结合EC⊥ED，求解k ，说明存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查存在性问题的处理方法，设而不求的应用，考查计算能力．21.（1）由方程组，得5x2+2mx+m2-1=0，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围．（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求出弦长|AB|=，由此能求出当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．高中数学试卷第10页，共10页。

高考数学二轮复习第2部分直线与圆锥曲线

3-1,
短轴长为 2 2.
(1)求椭圆的方程;
(2)过左焦点 F 的直线与椭圆分别相交于 A,B 两点,若△OAB 的
3 2
面积为 4 ,求直线 AB 的方程.
- = 3-1,
= 3,
解 (1)由题意可知 = 2,
解得 = 2,
= 1.
2 = 2 + 2 ,
2
所以椭圆方程为
题型命题规律
直线与椭圆、抛物
线的位置关系是
高考的重点,常常
与平面向量、三角
函数、函数的性
质、不等式等知识
选择交汇命题. 直线
题
与圆锥曲线相交,
解答求其弦长、中点、
题
定点、定值、最值、
面积、对称、参数
范围、存在性问题
等是高考的热点,
常用到一元二次
方程根与系数的
关系.
复习策略
本部分复
习的重点
是直线与
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2
-6
1 + 2 =
1 2 =
又原点到直线 AB 的距离 d=
2
2+3
2
3 -6
,
2
4 3( +1)
所以|AB|=
2,
2
2+3
2+3
||
2
,所以△AOB 的面积
1+
2
1
1
||
4 3( +1)
S△AOB=2|AB|d=2 ·
·
2 .
命题热点三
命题热点四
对点训练1设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C

届高考二轮复习专题高效升级卷直线与圆锥曲线共33页文档

1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
届高考二轮复习专题高效升级卷直线与圆 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。锥曲线
则由|PA|＋|PB|＝10知，点P在以A，B为焦点，
长轴长为2a＝10的椭圆上.此时短半轴长b＝52 42 ＝3.
所以考察区域边界曲线（如图）的方程为x 2 ＋y 2
25
9
＝1.
（2）易知过点P1，P2的直线方程为4x－3y＋ 47＝0.因此点A到直线P1P2的距离为
d＝＝ | 16 47 |
点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆
＋＝1上，则 x 2
y2
25
9
sinAsinC sinB
＝_____.
答案：5 4
15. 已知F1、F2是双曲线ax 22
－y 2 b2
＝1（a＞0，b
＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形
MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲
线的离心率是_____.
（1）求考察区域边界曲线的方程; （（2）不如考图虑所其示他，边设界线）段，P当1P冰2是川冰融川化的时部，分边边界界线线沿
与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 km，以后每年移动的距离为前一年的2倍. 问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上?

2017高考新课标数学(文)二轮复习-(五)直线与圆锥曲线专练含答案

（五）直线与圆锥曲线专练1．过点Q（－2，错误!）作圆O：x2＋y2＝r2（r〉0)的切线，切点为D，且｜QD｜＝4.(1）求r的值；（2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆O的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，2．如图,F是椭圆x2a2＋错误!＝1(a〉b>0）的右焦点，O是坐标原点，|OF｜＝错误!,过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为错误!。

(1）求该椭圆的标准方程；（2)若过点M（－5，0）的直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，且|PM|＝2|MQ|,求直线l的方程．3．已知点A（－4,0),直线l：x＝－1与x轴交于点B,动点M到A，B两点的距离之比为2。

（1)求点M的轨迹C的方程;(2)设C与x轴交于E，F两点，P是直线l上一点,且点P不在C上,直线PE,PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S,T三点共线．4．设直线l：y＝k(x＋1)（k≠0）与椭圆x2＋4y2＝m2(m>0)相交于两个不同的点A，B，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．(1）证明：m2>错误!；（2)若，求△OAB的面积取得最大值时椭圆的方程．答案1．解:（1）由题可知，圆O的圆心为（0，0），半径为r.∵过点Q(－2，21)作圆O:x2＋y2＝r2（r>0)的切线,切点为D，且｜QD｜＝4，∴r＝｜OD｜＝错误!＝（－22＋（21）2－42）＝3.（2）设直线l的方程为错误!＋错误!＝1(a>0，b>0），即bx＋ay－ab＝0,则A(a,0)，B(0，b)，∵直线l与圆O相切,∴错误!＝3,∴3错误!＝ab≤错误!，∴错误!≥6，∴||≥6,当且仅当a＝b＝3错误!时，等号成立．∴|｜的最小值为6。

2．解：(1）由题设条件,｜P0F|＝错误!＝错误!＝错误!。

易知|P0F｜＝错误!, 从而错误!＝错误!。

又c＝｜OF|＝错误!,即a2－b2＝5,因此a2－错误!a－5＝0，解得a＝3或a＝－错误!，又a>0，故a＝3,从而b＝2。

创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系练

专题五解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系练习理一、选择题1.(2014·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C.3 D.2解析过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3. 答案 C2.(2015·四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B.2 3C.6D.4 3解析右焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23，∴A (2，23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3. 答案 D3.已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( )A.52B.62C. 2D.153解析设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，根据对称性，B (－x 1，－y 1)，因为A ，P 在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得k PAkPB ＝b 2a 2＝23，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝53，故e ＝153. 答案 D4.(2014·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94解析易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p2sin30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.答案 D5.(2017·湖州一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( ) A.5＋12B.2＋1C.3＋1D.2 2＋12解析依题意，得F (p ，0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p ，2p ).又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a 2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1.答案 B 二、填空题6.已知直线l 过椭圆8x 2＋9y 2＝72的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M 、N 两点，则弦|MN |的长为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），8x 2＋9y 2＝72，得11x 2－18x －9＝0. 由根与系数的关系，得x M ＋x N ＝1811，x M ·x N ＝－911.由弦长公式|MN |＝1＋k 2|x M －x N |＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫18112＋4×911＝ 3 600112＝6011. 答案60117.过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________.解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2＝2(a 2－c 2)， ∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22. 答案228.(2017·郑州模拟)已知点A (－2，0)，B (2，0)，过点A 作直线l 与以A ，B 为焦点的椭圆交于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则该椭圆的标准方程是________.解析根据题意，知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，①由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a 2＞4)，②由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|2k |1＋k2＝1，解得k 2＝13.将①代入②，得(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0，设点M 的坐标为(x 1，y 1)，点N 的坐标为(x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－a 2a 2－3，又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，所以|x 1＋x 2|＝85，即－a 2a 2－3＝－85，解得a 2＝8.所以该椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.答案x 28＋y 24＝1 三、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点.(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.10.(2015·四川卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0).当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1，或y 0＝2，所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0，2)，下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|PA ||PB |，当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k ，易知，点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)，又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线，所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|PA ||PB |，故存在与P 不同的定点Q (0，2)，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立.11.(2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值.(1)解由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2. 所以|PA |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123 ＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.。

高考数学复习直线与圆锥曲线专项测试(附答案)

高考数学复习直线与圆锥曲线专项测试（附答案）的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4B.3C.4D.87.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .8.(2019湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .9.(2019福建漳州模拟)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程.(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.10.(2019安徽,文21)设F1,F2分别是椭圆E:=1(a0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cosAF2B=,求椭圆E的离心率.能力提升组11.已知点F是双曲线=1(a0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率是()A. B.2 C.1+ D.2+12.(2019湖北,文8)设a,b是关于t的方程t2cos +tsin =0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.313.(2019福建三明模拟)设圆C的圆心与双曲线=1(a0)的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,若直线l:x-y=0被圆C截得的弦长等于2,则a的值为 .14.(2019江西,文20)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.15.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.参考答案1.A 解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则在双曲线中a=1. 又2c=4,c=2,e==2.2.C 解析:设F1,F2为焦点,由题意知,点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,则c1或k-1.9.解:(1)由已知得抛物线C的焦点坐标为F(1,0),设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0), 则所以(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4,又y0=2,所以k=1.故直线l的方程是y=x-1.(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消元得y2-4my-4=0,所以有y1+y2=4m,y1y2=-4,=16(m2+1)0,|AB|=|y1-y2|==4(m2+1),所以有4(m2+1)=20,解得m=2,所以直线l的方程是:x=2y+1,即x2y-1=0.10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k0,且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cosAF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k), 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e=.11.B 解析:将x=-c代入双曲线方程得A.由△ABE是直角三角形,得=a+c,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得c2-ac-2a2=0.e2-e-2=0,解得e=2(e=-1舍去).12.A 解析:可解方程t2cos +tsin =0,得两根0,-.不妨设a=0,b=-,则A(0,0),B,可求得直线方程y=-x,因为双曲线渐近线方程为y=x,故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.13. 解析:由题知圆心C(,0),双曲线的渐近线方程为xay=0,圆心C到渐近线的距离d=,即圆C的半径长为.由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径长为,可知圆心C到直线l的距离为1,即=1,解得a=.14.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为注意到x1x2=-8及=4y1,则有y==-2.因此D点在定直线y=-2上(x0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2.则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,即|MN2|2-|MN1|2为定值8.15.解:(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k2时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.设=t,则t0,S△OPQ=.因为t+4,当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足0.所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2. 直线与圆锥曲线专项测试的所有内容就为考生分享到这里，更多精彩内容请考生持续关注查字典数学网。

高考数学二轮复习直线与圆锥曲线问题专题检测(含解析)-人教版高三全册数学试题

36 直线与圆锥曲线问题 1．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋k 2＋1与(1)中所求点N 的轨迹E 交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且23≤OF →·OH →≤34，求k 2的取值X 围．解 (1)如图所示，连结NA .由AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，可知NP 所在直线为线段AM 的垂直平分线，所以NA ＝NM ，所以NC ＋NA ＝NC ＋NM ＝22>2＝CA ，所以动点N 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a ＝22，焦距2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，b ＝1.故曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋k 2＋1消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4k k 2＋1x ＋2k 2＝0， Δ＝8k 2>0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k k 2＋12k 2＋1，x 1x 2＝2k 22k 2＋1，所以OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋k 2＋1)(kx 2＋k 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k k 2＋1(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)·2k 22k 2＋1－4k 2(k 2＋1)2k 2＋1＋k 2＋1 ＝k 2＋12k 2＋1. 由23≤OF →·OH →≤34，得23≤k 2＋12k 2＋1≤34，解得12≤k 2≤1. 2．(2013·某某)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求AF ·BF 的最小值．解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0. 同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义知AF ＝y 1＋1，BF ＝y 2＋1，所以AF ·BF ＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴AF ·BF ＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92， ∴当y 0＝－12时，AF ·BF 取得最小值，且最小值为92. 3．(2013·某某)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以AB ＝24－d 2＝2 4k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2.所以PD ＝8k 2＋14＋k2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·AB ·PD ＝84k 2＋34＋k2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 4．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x －y ＋6＝0相切．(1)求双曲线E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q 两点(P 在Q 点左侧)，使FP →·FQ →为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知|6|12＋(－1)2＝a ， ∴a ＝ 3.又∵2c ＝4，∴c ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝1.∴双曲线E 的方程为x 23－y 2＝1. (2)当直线为y ＝0时，则P (－3，0)，Q (3，0)，F (－2,0)， ∴FP →·FQ →＝(－3＋2,0)·(3＋2,0)＝1.当直线不为y ＝0时，可设l ：x ＝ty ＋m (t ≠±3)代入E ：x 23－y 2＝1，整理得(t 2－3)y 2＋2mty ＋m 2－3＝0(t ≠±3)．(*)由Δ>0得m 2＋t 2>3.设方程(*)的两个根为y 1，y 2，满足y 1＋y 2＝－2mt t 2－3，y 1y 2＝m 2－3t 2－3， ∴FP →·FQ →＝(ty 1＋m ＋2，y 1)·(ty 2＋m ＋2，y 2)＝(t 2＋1)y 1y 2＋t (m ＋2)(y 1＋y 2)＋(m ＋2)2＝t 2－2m 2－12m －15t 2－3. 当且仅当2m 2＋12m ＋15＝3时，FP →·FQ →为定值，解得m 1＝－3－3，m 2＝－3＋3(舍去)．综上，过定点M (－3－3，0)任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q 两点，使FP →·FQ →＝1为定值．5．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且AB ＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4. 由抛物线定义得AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4，知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.6．(2014·某某)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3. (1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．解 (1)设切点P 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0. 由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时，x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－2b2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1. (2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0. 由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1，解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1. 显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0，又设y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－23m m 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋23＝43m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋3＝6－6m 2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤将①②③④代入⑤整理得2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－62＋1. 因此直线l 的方程为x －(362－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.。

高考数学二轮复习专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练17 椭圆、双曲线、抛物线理

专题能力训练17 椭圆、双曲线、抛物线能力突破训练1.(2017全国Ⅲ,理5)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=12.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是() A.B.C.D.3.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.84.已知双曲线=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=15.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.6.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.7.(2017全国Ⅰ,理15)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为. 8.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足||=·()+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l 与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.思维提升训练11.(2017全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1012.(2017全国Ⅱ,理16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.13.(2017山东,理14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.14.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC 交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.15.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B 是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q 两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线能力突破训练1.B解析由题意得,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.2.A解析由条件知F1(-,0),F2(,0),=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),-3<0. ①=1,=2+2.代入①得,∴-<y0<3.B解析不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=4,所以可设A(m,2).又因为|DE|=2,所以解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.4.D解析根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有则xy=b2=12.故所求双曲线的方程为=1,故选D.5.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),,,∴e=同理,当点P的坐标为时,e=故该双曲线的离心率为6.2解析∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x=1,即a=b.又|OB|=2,∴c=2a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2. 7解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,∵∠MAN=60°,∴|AP|=b,|OP|=设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ=又tanθ=,,解得a2=3b2,∴e=8.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为(2)由(1)知|AP|=t和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=9.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. ①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+此时>1,且2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且综上所述,的取值范围是10.解(1)由题意可知=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),=(0,2).∵||=()+2,=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Q,则S△QAB=2=2∵y=,∴y'=x,∴k l=x0,∴切线l的方程为y-x0(x-x0)与y轴交点H,|PH|==1-直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由得x D=由得x E=,∴S△PDE=|x D-x E|·|PH|=1-,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.思维提升训练11.A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cosθ+2=|AF|,即|AF|=同理可得|BF|=,所以|AB|=又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.12.6解析设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M因为点M在抛物线C上,所以=8,即a2=32,即a=±4所以N(0,±4).所以|FN|==6.13.y=±x 解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.14.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值15.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m。

直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(原卷版)—2025年高考数学一轮复习

直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

高考数学直线与圆锥曲线复习试题份

高考数学直线与圆锥曲线复习试题(三)份高考数学直线与圆锥曲线复习试题 11.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A.4B.3C.4D.8答案：C命题立意：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和考生的运算能力.根据已知条件中的直线的斜率和所经过的点F，写出直线方程，从而通过解方程组求出点A的坐标，得到三角形的底边长与高，计算出三角形的面积.解题思路：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，抛物线的焦点坐标为(1,0).直线AF的方程y=(__1)，解方程组得或因为点A在x轴的上方，所以符合题意，即点A的坐标为(3，2)，|AK|=3+1=4，点F到直线AK的距离d即为点A的纵坐标2，因此SAKF=|AK|·d=4.2.已知双曲线C的.右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.__2=1B.-y2=1C.-=1D.-=1答案：D解题思路：设双曲线C的方程为-=1(a0，b0)，而抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，即F(2,0)，4=a2+b2.又圆F：(__2)2+y2=2与双曲线C的渐近线y=±x 相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为=，a2=b2=2，故双曲线C的方程为-=1.3.已知数列{an}的通项公式为an=(nN*)，其前n项和Sn=，则双曲线-=1的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案：C命题立意：本题主要考查裂项法求数列的前n项和与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.解题思路：依题意得an=-，因此Sn=1-==，n=9，故双曲线方程是-=1，该双曲线的渐近线方程是y=± x=±x，故选C.4.如图所示，F1，F2是双曲线-=1(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A.+1B.+1C. D.答案：B命题立意：本题主要考查圆的性质与双曲线的性质等知识，意在考查考生的基本运算能力.解题思路：连接AF1，依题意，得AF1AF2，又AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，因此该双曲线的离心率e===+1，故选B.5.设e1，e2分别为具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|+|=||，则的值为()A. B.2C. D.1答案：A解题思路：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设mn.由|+|=||知，F1PF2=90°，则m2+n2=4c2，e1=，e2=，+==2，=.高考数学直线与圆锥曲线复习试题 2首先，要知错就改。

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(五)直线与圆锥曲线专练
1．过点Q (－2，21)作圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的切线，切点为D ，且|QD |＝4.
(1)求r 的值；
(2)设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设
，求||的最小值(O 为坐标原点)．
2．如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，|OF |＝5，过F 作OF 的垂线交椭圆于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.
(1)求该椭圆的标准方程； (2)若过点M (－5，0)的直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，且|PM |＝2|MQ |，求直线l 的方程．
3．已知点A (－4，0)，直线l ：x ＝－1与x 轴交于点B ，动点M 到A ，B 两点的距离之比为2.
(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)设C 与x 轴交于E ，F 两点，P 是直线l 上一点，且点P 不在C 上，直线PE ，PF 分别与C 交于另一点S ，T ，证明：A ，S ，T 三点共线．
4．(2016·四川高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .
(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值．
答案
1．解：(1)由题可知，圆O 的圆心为(0，0)，半径为r .
∵过点Q (－2，21)作圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的切线，切点为D ，且|QD |＝4， ∴r ＝|OD |＝|OQ |2－|QD |2 ＝（－2）2＋（21）2－42＝3.
(2)设直线l 的方程为x a ＋y b
＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0，则A (a ，0)，B (0，b )，
∵
， ∴
＝(a ，b )， ∴||＝a 2＋b 2.
∵直线l 与圆O 相切，∴
|－ab |a 2＋b 2＝3， ∴3a 2＋b 2＝ab ≤a 2＋b 2
2
， ∴a 2＋b 2≥6，∴|
|≥6，当且仅当a ＝b ＝32时，等号成立．
∴||的最小值为6. 2．解：(1)由题设条件，|P 0F |＝S △OP 0Q 0|OF |＝45
35＝43
. 易知|P 0F |＝b 2a ，从而b 2a ＝43
. 又c ＝|OF |＝5，即a 2－b 2＝5，
因此a 2－43
a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53
，又a >0，故a ＝3，从而b ＝2.
故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 2
4
＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意y 1>0，y 2<0，并可设直线l ：x ＝ty －5，代入椭圆方程得（ty －5）29＋y 2
4
＝1，即(4t 2＋9)y 2－85ty －16＝0. 从而y 1＋y 2＝85t 4t 2＋9，y 1y 2＝－164t 2＋9
.
又由|PM |＝2|MQ |，得
y 1－y 2＝|PM ||MQ |
＝2，即y 1＝－2y 2. 因此y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22，
故－164t 2＋9＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫85t 4t 2＋92，可解得t 2＝14. 注意到y 2＝－85t 4t 2＋9
且y 2<0，知t >0，因此t ＝12. 故满足题意的直线l 的方程为x ＝12
y －5，即为2x －y ＋25＝0. 3．解：(1)设点M (x ，y )，依题意，|MA ||MB |＝（x ＋4）2＋y 2（x ＋1）2＋y
2＝2，化简得x 2＋y 2＝4，即轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝4.
(2)证明：由(1)知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，令y
＝0得x ＝±2，不妨设E (－2，0)，F (2，0)，如图．
设P (－1，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则直线PE 的方程为y ＝y 0(x ＋2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝y 0（x ＋2），x 2＋y 2＝4得(y 20＋1)x 2＋4y 20x ＋4y 20－4＝0，所以－2x 1＝4y 20－4y 20＋1，即x 1＝2－2y 20y 20＋1，y 1＝4y 0y 20＋1
. 直线PF 的方程为y ＝－y 03
(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－y 03（x －2），x 2＋y 2＝4
得(y 20＋9)x 2－4y 20x ＋4y 20－36＝0，所以2x 2＝4y 20－36y 20＋9，即x 2＝2y 20－18y 20＋9，y 2＝12y 0y 20＋9
. 所以
k AS ＝y 1x 1＋4＝4y 0y 20＋12－2y 20y 20＋1＋4＝2y 0y 20＋3，
k AT ＝y 2x 2＋4＝12y 0
y 20＋92y 20－18y 20＋9
＋4＝2y 0y 20＋3，所以k AS ＝k AT ，所以A ，S ，T 三点共线．
4．解：(1)由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2
b 2＝1. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，
得3x 2－12x ＋18－2b 2＝0. 由题意Δ＝24(b 2－3)＝0，得b 2＝3，
则直线l 与椭圆E 的交点坐标为(2，1)
所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23
＝1. 点T 的坐标为(2，1)．
(2)证明：由已知可设直线l ′的方程为y ＝12
x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m 3，y ＝1＋2m 3.
所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3，|PT |2＝89
m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋4m 2
－12＝0. 由Δ＝16(9－2m 2)＞0，解得－322＜m ＜322
. 则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123
. 所以|P A |＝ ⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12 ＝52⎪
⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝
52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2. 所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝
⎛⎭⎫2－2m 3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2 ＝54⎪⎪⎪
⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2
＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123
＝109
m 2. 故存在常数λ＝45
，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.。