li第三章电势2

∂ϕ Ex = − ∂x ∂ϕ
Ey = − ∂y ∂ϕ Ez = − ∂z
在直角坐标系中 梯度算符 ∂ r ∂ r ∂ r ∇= i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

r E = −∇ϕ
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讨论
r E = −∇ϕ
1. 静电场中某点的电场强度，等于该点电势的 静电场中某点的电场强度， 负梯度。 负梯度。 2. 电场强度：矢量，垂直于过该点的等势面， 电场强度：矢量，垂直于过该点的等势面， 方向是电势降低最快的方向。 方向是电势降低最快的方向。 3. 电场强度取决于电势的空间变化率，与电势 电场强度取决于电势的空间变化率， 本身的取值无关。 本身的取值无关。 4. 电场强度的第三种计算方法。 电场强度的第三种计算方法。
q
(3R − r ) ,静电能为
2 2
1 W = ∫ ϕ (r )dq 2q
3q 2 = 20πε 0 R
q 1R q 2 2 3R − r 4πr 2 dr = ∫ 4 3 8πε 0 R 3 20 πR 3
(
)
3q 2 W = 20πε 0 R
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电子的经典半径。 例 电子的经典半径。
3e 2 me c 2 = 20πε 0 rc
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2.场势关系 2.场势关系
v b v ϕ a − ϕ b = ∫ E ⋅ dl
a
r E
θ
沿 l 方向微小位移：
v v ϕ a − (ϕ a + dϕ ) = E ⋅ dl
− dϕ = E cos θdl
a 方向 b l
El
dϕ El = − dl
电场中某点场强沿某方向的分量等于电势沿此 方向的空间变化率的负值。 方向的空间变化率的负值。 9
dR
2
在真空中电场能量密度：w e = 在真空中电场能量密度：
ε0E
2
2
W 中电场的能量： 在区域V 中电场的能量： = ∫ we dV
V
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求均匀带电球体的静电能。 例 求均匀带电球体的静电能。
W=
=
e 全空间
dr
dV
∫ w dV
ε E2
0 1
r q
dV +
∫R r<
R
2
∫R r>
ε E2
0 2
W = W+ + W−
+q
r E
= qϕ + − qϕ −
−
θ
l
= q(ϕ + −ϕ − )
+
r r p = ql
-q
r r ϕ+ − ϕ− = ∫ E⋅dl = −Elcosθ
r r W = − p⋅ E
r r W = − p⋅ E
r r r 受力矩： （受力矩： = p × E） M
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如图电荷分布， 例 如图电荷分布，求： 点电势； （1）a点电势； 从无穷远处移到a （2）把电荷 从无穷远处移到a点，电场力作 的功； 的功； 电势能的增量。 （3）电势能的增量。
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电势能差、电场力的功及电势、 * 电势能差、电场力的功及电势、电场 四者之间的关系
Wa − Wb = Aab = q (ϕ a − ϕ b )
W＝ q ϕ ＝
ϕ1 − ϕ 2 = ∫
2 1
v v E ⋅ dl
r E = −∇ϕ
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十、 电荷体系的静电能 1.点电荷体系的相互作用能 1.点电荷体系的相互作用能 把 n 个静止点电荷从现有位置彼此分 散到无穷远时，它们间的静电力所作的功， 散到无穷远时，它们间的静电力所作的功， 称为这 n 个点电荷间的相互作用能
+
2
电偶极子的电场线与等势面
+
3
平行板电容器的电场线与等势面
+ +
+ +
+
+
+
+
+
4
两相等点电荷的等势面
电场线 电场线 等势面
5
电场线
等势面
6
人心脏的等电势 线，类似于电偶 极子。 极子。
7
* 等势面的性质： 等势面的性质： 1)电场线与等势面处处正交，并指向电势 电场线与等势面处处正交， 电场线与等势面处处正交 降低的方向。 降低的方向。 2)两等势面相距较近处的场强大，相距较远 )两等势面相距较近处的场强大， 处场强较小。 处场强较小。 3) 在等势面上移动电荷，电场力不作功。 在等势面上移动电荷，电场力不作功。
1 n W = ∑ qiϕ i 2i =1
所在处， 以外的其他电荷 其他电荷所产 其中ϕi 为 qi 所在处，由 qi 以外的其他电荷所产 生的电势。 生的电势。
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证明： 证明： 1）n=2
∞
q2 q1 r
固定q1，把q2移到无限远电场力做的功
q1q 2 q1q 2 W =∫ dr = 2 4πε 0 r 4πε 0 r r
(P)
(0)
4. 两句话：注重典型场 两句话：
注重叠加原理
v E=
Q ˆ r 4πε 0 r 2
Q ϕ= 4πε 0 r
λ E= 2πε 0 r
r < R E=0 v r >R E =
Q ϕ= 4 πε 0 R
σ E= 2ε 0
Q Q ˆ r ϕ= 2 4 πε 0 r 4πε 0 r
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1. 以下各种说法是否正确？ 以下各种说法是否正确？ 场强为零的地方，电势也一定为零； ⑴场强为零的地方，电势也一定为零； 电势为零的地方，场强也一定为零。 电势为零的地方，场强也一定为零。 电势较高的地方，场强一定较大； ⑵电势较高的地方，场强一定较大； 场强较小的地方，电势也一定较低。 场强较小的地方，电势也一定较低。 场强大小相等的地方，电势相同； ⑶场强大小相等的地方，电势相同； 电势相等的地方，场强也都相等。 电势相等的地方，场强也都相等。 带正电的物体，电势一定是正的； ⑷带正电的物体，电势一定是正的； 带负电的物体，电势一定是负的。 带负电的物体，电势一定是负的。 不带电的物体，电势一定等于零； ⑸不带电的物体，电势一定等于零； 电势为零的物体，一定不带电。 电势为零的物体，一定不带电。
2.连续分布的电荷体系的静电能 2.连续分布的电荷体系的静电能 — 各电荷元间的静电相互作用能
1 ϕ dq W＝ ∫∫∫ 2（带电体） 带电体）
为在带电体上， 式中 ϕ为在带电体上，所有电荷在电荷元 处的电势。 dq处的电势。 带电体的静电能也称自能。 带电体的静电能也称自能。 自能
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均匀带电球面的静电能。 例 均匀带电球面的静电能。 球面处的电势为 o
− dW = q
2 2
q
R
8πε 0 R
dR
球壳( 球壳(R,R+dR )内的静电能
dW =
q
2 2
8πε 0 R
dR
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电场的能量密度： 电场的能量密度：
q2
2
2 dW q 8πε 0 R ε0 ε0E we = = = = 2 2 dV 4πR ⋅ dR 2 4πε 0 R 2
八、 等势面 电势梯度 1. 等势面 由电势相等的点组成的面叫等势面。 由电势相等的点组成的面叫等势面。 满足方程 ϕ ( x , y , z ) = C
ϕ1
ϕ2
当常量C取等间隔数值时， 当常量 取等间隔数值时， 取等间隔数值时 可以得到一系列的等势面。 可以得到一系列的等势面。
ϕ3
∆n
1
点电荷的电场线与等势面
x
13
九、 电荷在外场中的静电势能
A12 = W1 − W2
v 2 v A12 = ∫ E ⋅ dl = ϕ 1 − ϕ 2 1 q0
W＝ q ϕ ＝
0
电荷在电场中某点的电势能等于电荷的 电量与该点电势的乘积。 电量与该点电势的乘积。 “电荷与电场的相互作用能” 电荷与电场的相互作用能”
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例 氢原子中电子的静电势能。 氢原子中电子的静电势能。
ϕ2 =
4πε 0 r
q1
, ϕ1 =
4πε 0 r
q2
W = ϕ 2q2 = ϕ 1q1
写成对称形式即 W = 1 (q 1ϕ 1 + q 2ϕ 2 )
2
20
2）n=3
q3
q1
q2
1 W = [(ϕ 12 q1 +ϕ 21q2 )+ (ϕ 23 q2 +ϕ 32 q3 )+ (ϕ 31q3 +ϕ 13 q1 )] 2 1 = [(ϕ 12 +ϕ 13 )q1 + (ϕ 21 +ϕ 23 ) q2 + (ϕ 31 +ϕ 32 ) q3 ] 2 1 = (ϕ 1q1 +ϕ 2 q2 +ϕ 3 q3 ) 2 1 n 类推， 类推，得 W = ∑ qiϕ i 21 2i =1
1 q 1 dq W = ∫ ϕdq = ∫ 2 (球面) 4πε0 R 2 (球面)
E = 0 q R
=
q2 8πε 0 R
W = q
2
Ein = 0
静电能贮存在电场中
8πε 0 R
静电能贮存在哪儿？ 静电能贮存在哪儿？
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W =
q
2
8πε 0 R
dR
设电斥力作用 R → R+dR 减少的静电能： — 减少的静电能：
4πε 0 r e2 电子的静电势能： 电子的静电势能：W＝(−e )ϕ (r ) = − 4πε 0 r
原子核（质子）的电势： 原子核（质子）的电势：ϕ (r ) =
e
“电子与电场（质子）的相互作用能” 电子与电场（质子）的相互作用能”