上海市浦东新区2016届高三数学上学期期末质量抽测试卷
上海市各区县届高三上学期期末考试数学理试题汇编.docx
高中数学学习材料唐玲出品上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编函数一、填空题1、（宝山区2016届高三上学期期末）方程0624=--xx 的解集为 .2、（崇明县2016届高三上学期期末）已知 f (x )、g(x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f (x ) −g(x ) ＝2x＋x ，则f (1) ＋g(1) ＝3、（奉贤区2016届高三上学期期末）方程9360x x+-=的实数解为_________ 4、（虹口区2016届高三上学期期末）函数1()2x f x +=的反函数1()_________.f x -=5、（黄浦区2016届高三上学期期末）若函数22()1f x x a x =-+-为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 ．6、（金山区2016届高三上学期期末）方程4x – 6⨯2x +8=0的解是7、（静安区2016届高三上学期期末）方程3(1)(1)l o g (98)l o g (1)3x x x x x +--+⋅+=的解为 .8、（闵行区2016届高三上学期期末）方程4260xx--=的解为 .9、（普陀区2016届高三上学期期末）若函数()1f x x =-，()1g x x x =-+，则()()f x g x +=________.10、（青浦区2016届高三上学期期末）函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .11、（松江区2016届高三上学期期末）若幂函数()x f 的图像过点22,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()12f -= ▲ ． 12、（杨浦区2016届高三上学期期末）已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________.13、（闸北区2016届高三上学期期末）函数ln(1),0()1ln,01x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪-⎩的单调性为 ；奇偶性为 ；14、（长宁区2016届高三上学期期末）方程9x ＋3x －2 ＝ 0的解是___________. 15、（闵行区2016届高三上学期期末）若函数()2x af x -=()a ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 .16、（青浦区2016届高三上学期期末）函数()lg(23)xxf x =-的定义域为 . 17、（松江区2016届高三上学期期末）已知函数()f x ，对任意的[1,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立， 且当[1,2)x ∈时，()2f x x =-. 则方程1()3f x x =在区间[1,100]上所有根的和为 ▲ ．18、（杨浦区2016届高三上学期期末）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.19、（长宁区2016届高三上学期期末）设函数 y ＝f （x ）的反函数是 y ＝f －1（x ），且函数 y ＝f （x ）过点P （2,－1），则 f －1（－1）＝二、选择题1、（崇明县2016届高三上学期期末）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ） (A)消耗1 升汽油，乙车最多可行驶5千米(B)以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 (C)甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油(D)某城市机动车最高限速80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油2、（虹口区2016届高三上学期期末）设函数22,0,(),0,x x f x log x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x且1234,x x x x <<<则3122341()x x x x x ++的取值范围是 ( ) （A ）()3,-+∞ （B ）(),3-∞ （C ）[)3,3- （D ）(]3,3-3、（金山区2016届高三上学期期末）如图，AB 为定圆O 的直径，点P 为半圆AB 上的动点．过点P作AB 的垂线，垂足为Q ，过Q 作OP 的垂线，垂足为M ．记弧AP 的长为x ，线段QM 的长为y ，则函数y =f (x )的大致图像是( )．4、（静安区2016届高三上学期期末）函数213(10)x y x -=-≤<的反函数是 ( )A ．311log ()3y x x =-+≥B ．311log (1)3y x x =-+<≤C ．311log (1)3y x x =+<≤ D ．311log ()3y x x =+≥5、（闵行区2016届高三上学期期末）设2345()2510105f x x x x x x =+++++，则其反函数的解析式为（ ）.(A) 511y x =+- (B) 511y x =--(C) 511y x =-+- (D) 511y x =---6、（普陀区2016届高三上学期期末）若函数()()lg 1,1sin ,12x x f x a x x π⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程 ()()()210f x a f x a -++=，给出下列结论：①存在这样的实数a ，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a ，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a ，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a ，使得方程由6个不同的实数根.其中正确的个数是（ ）.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个7、（杨浦区2016届高三上学期期末）下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8、（长宁区2016届高三上学期期末）关于函数，有下列四个命题：①的值域是； ②是奇函数；③在上单调递增；④方程总有四个不同的解.其中正确的是 （ ）A . ①②B . ②③C . ②④D . ③④三、解答题1、（奉贤区2016届高三上学期期末）已知函数()x f y =是单调递增函数，其反函数是()1y f x -=．（1）、若⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=2112x x y ，求()1y f x -=并写出定义域M ； (2)、对于（1）的()1y f x -=和M ，设任意2121,,x x M x M x ≠∈∈，求证：()()212111x x x f x f-<---；（3）、若()x f y =和()1y f x -=有交点，那么交点一定在x y =上．2、（虹口区2016届高三上学期期末） 对于函数1(),1f x x=-定义[]11()(),()()().n n f x f x f x f f x n N *+==∈已知偶函数()g x 的定义域为(,0)(0,),(1)0g -∞⋃+∞=； 20150,1()().x x g x f x >≠=当且时， （1）求234(),(),(),f x f x f x 并求出函数()y g x =的解析式；(2) 若存在实数,()a b a b <使得函数[](),g x a b 在上的值域为[],mb ma ，求实数m 的取值范围.3、（静安区2016届高三上学期期末）已知定义在实数集R 上的偶函数()x f 和奇函数()x g 满足()()12x f x g x ++=.(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)若定义在实数集R 上的以2为最小正周期的周期函数()x ϕ，当11x -≤≤时，()()x f x ϕ=，试求()x ϕ在闭区间[2015,2016]上的表达式，并证明()x ϕ在闭区间[2015,2016]上单调递减；(3)设22()21h x x mx m m =++-+（其中m 为常数），若2(())1h g x m m ≥--对于[1,2]x ∈恒成立，求m 的取值范围.4、（普陀区2016届高三上学期期末）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体，存在实数()0a k k ≠、，对于定义域内的任意x 均有()()f a x kf a x +=-成立，称数对(),a k 为函数()f x 的“伴随数对”（1）判断()2f x x =是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数()sin f x x M =∈，求满足条件的函数()f x 的所有“伴随数对”； （3）若()()1,1,2,1-都是函数()f x 的“伴随数对”，当12x ≤<时，()cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；当2x =时，()0f x =.求当20142016x ≤≤时，函数()y f x =的解析式和零点.5、（杨浦区2016届高三上学期期末）已知函数()D)(x x f ∈，若存在常数T （T>0），对任意D x ∈都有()() x f T T x f ⋅=+，则称函数() x f 为T 倍周期函数 （1）判断()x x h =是否是T 倍周期函数，并说明理由.（2）证明()x41 x g ⎪⎭⎫⎝⎛=是T 倍周期函数，且T 的值是唯一的.（3）若() )N (n n f *∈是2倍周期函数，()11f =，()42f -=，n S 表示()n f 的前n 项和，1n 2n2n S S C -=，若10)1a (log C a n ++<恒成立，求a 的取值范围.6、（长宁区2016届高三上学期期末）已知函数，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有成立，则称函数是D 上的m级类周期函数，周期为T . （1）已知函数上的周期为 1 的 2 级类增周期函数，求实数a 的取值范围； （2）已知上的m 级类周期函数，且上的单调递增函数，当时，，求实数m 的取值范围.参考答案 一、填空题1、{}3log 22、－123、3log 24、2log 1(0)x x ->5、(1,)+∞6、x=1或x =27、3x =8、2log 3x =9、 10、(,1)-∞-11、1412、1 13、单调递增，奇函数 14、x ＝0 15、1 16、(,0)-∞ 17、1190218、（264-，436-） 19、2二、选择题1、D2、D3、A4、B5、C6、C7、A8、B三、解答题 1、解：（1）、(),11+=-x x f⎪⎭⎫⎝⎛+∞-=,43M 3+2=5分（2）、()()11112121212111+++-=+-+=---x x x x x x x f x f 7分1131,142x x >-∴+>，211,4322>+∴->x x 9分11121>+++∴x x ，1111021<+++<∴x x 10分 21212111x x x x x x -<+++-∴()()212111x x x f x f -<-∴-- 11分（3）、设()b a ,是()x f y =和()1y f x -=有交点（第21题解图）y1x1-1O 即()()⎩⎨⎧==-a f b a f b 1，()()a f b b f a ==∴, 12分 当b a =，显然在x y =上 13分 当b a >，函数()x f y =是单调递增函数，()a b b f a f >∴>∴,)(矛盾 15分 当b a <，函数()x f y =是单调递增函数，()a b b f a f <∴<∴,)(矛盾 16分因此，若()x f y =和()1y f x -=的交点一定在x y =上 16分 2、解：（1）因为()11()()1,1f x f x x x==≠-故 []()2111()()10,1,111f x ff x x x xx===-≠≠-- [][]32431()()(0,1),11(1)1()()(0,1),(3)1f x ff x x x x xf x f f x x x x===≠≠--==≠≠-分故对任意的3,()()(2,3,4),n i i n N f x f x i +∈==有于是20153671221()()()1(0,1);f x f x f x x x x ⨯+===-≠≠201510,1()()1.x x g x f x x>≠==-故当时， 1(1)0,0()1.g x g x x =>=-又故当时，由()g x 为偶函数，1100,()()11.x x g x g x x x<->=-=-=+-当时， 11,0,1()1110.x xg x xx x ⎧+<⎪⎪==-⎨⎪->⎪⎩，因此. ……(6分)(2) 由于()y g x =的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞， 又,,a b mb ma a b <<可知与同号，0m <且;进而[](),g x a b 在递减,且0.a b << ……(8分)函数()y g x =的图像，如图所示. 由题意，有1()1,1()1,g a ma a g b mb b ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩……(10分) 故,a b 是方程11m x x+=的两个不相等的负实数根，即方程210m x x --=在(),0-∞上有两个不相等的实根，于是140101010.4m a b m ab m m ⎧⎪∆=+>⎪⎪+=<⎨⎪⎪=->⎪⎩⇔-<< ……(12分) 综合上述，得：实数m 的取值范围为1,0.4⎛⎫-⎪⎝⎭……(14分) 注：若采用数形结合，得出直线y m x =与曲线11(0)y x x=+<有两个不同交点，并进行求解也可.3、解：（1）假设1()()2x f x g x ++=①，因为()x f 是偶函数， ()x g 是奇函数所以有1()()2x f x g x -+-+-=，即1()()2x f x g x -+-= ②∵()f x ，()g x 定义在实数集R 上， 由①和②解得，11221()222x x xx f x +-++==+，11221()222x x x x g x +-+-==-.(2) ()x ϕ是R 上以2为正周期的周期函数, 所以当[2015,20x ∈时,2016[1,0]x -∈-,201620161()(2016)(2016)22x x x x f x ϕϕ--=-=-=+,即()x ϕ在闭区间[2015,2016]上的表达式为201620161()22x x x ϕ--=+.下面证明()x ϕ在闭区间[2015,2016]上递减:201620161()222x x x ϕ--=+≥，当且仅当201621x -=,即2016x =时等号成立.对于任意1220152016x x ≤<≤,1212212120162016201612201620162016111()()22(21)(2)222x x x x x x x x f x f x --------=+--=--,因为1220152016x x ≤<≤,所以121221,210x x x x --<-<,220160221x -≤=,120160221x -<=，12016112x ->,2120162016220x x ---<, 从而12()()0x x ϕϕ->,所以当1220152016x x ≤<≤时, ()x ϕ递减.(证明1()22xx f x =+在[1,0]-上递减,再根据周期性或者复合函数单调性得到也可)（3）∵()t g x =在[1,2]x ∈单调递增，∴31524t ≤≤.∴222()211h t t mt m m m m =++-+≥--对于315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∴222tmt+≥-对于315,24t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令22()2tk tt+=-，则221222t tt t+=+≥，当且仅当2t=时，等号成立，且322<所以在区间315,24t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上22()2tk tt+=-单调递减，∴max317()()212k t k==-，∴1712m≥-为m的取值范围.4、5、（1） 设：()() x h T T x h ⋅=+则 x T T x ⋅=+ 对任意x 恒成立 （2分）T 无解∴ ()x x h = 不是T 倍周期函数 （2分）（2） 设：()() x g T T x g ⋅=+则 xT x 41T 41⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+ 对任意x 恒成立 （2分）T 41T=⎪⎭⎫⎝⎛21T = （2分）下证唯一性： 若 21T >， 214141T 21T =⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾 若 21T <， 214141T 21T =⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾∴ 21T = 是唯一的 （2分）（3）()()()2 12f 21f 3f ==+=()()()22 32f 23f 5f ==+=()()()32 52f 25f 7f ==+=()()()1-n 2 3-2n 2f 23-2n f 1n 2f ==+=-()()()()1222211-2n f 5f 3f 1f n 1n 2-=++++=++++- （2分）同理： ()()()()()()124222142n f 6f 4f 2f n 1n 2--=++++-=++++- ∴ ()()()()123n 2f 2f 1f S n n 2--=+++=同理：()()()321n 2f 2f 1f S n 1n 2+-=-+++=- ()32123S S C n n 1n 2n 2n --==- （2分） 3C 1-= 9C 2=显然：2n ≥ 0C n > 且 ()()()()()()32522327223212332123C C n 2n n 2n n n 1n 1n n1n +⋅-+⋅-=----=+++ ()()<+⋅-32722n 2n()()32522n 2n +⋅- ∴ 1C C n1n <+ 即单调递减 ∴ ()9C C 2m a x n == （2分） 10)1a (log C a n ++<恒成立，∴ >++10)1a (log a ()9C max n =∴ 1)1a (log a ->+① 1a > 时 a11a >+ 解得 ：1a > ② 1a 0<< 时 a 11a <+ 解得 ：251a 0+-<< ∴ 251a 0+-<< 或 1a > （2分） 6、1）由题意可知：f （x+1）＞2f （x ），即-（x+1）2+a （x+1）＞2（-x 2+ax ）对一切[3，+∞）恒成立，整理得：（x-1）a ＜x 2-2x-1，∵x≥3，令x-1=t，则t∈[2，+∞），g（t）=t-2 t在[2，+∞）上单调递增，∴g（t）min=g（2）=1，∴a＜1．（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m•2x-1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）=mf（x-1）=m2f（x-2）=…=m n f（x-n）=m n•2x-n，即x∈[n，n+1）时，f（x）=m n•2x-n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m＞0且m n•2n-n≥m n-1•2n-（n-1），即m≥2．。
上海市浦东新区高三数学上学期期末考试试题 文(上海浦
上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）2014.1一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 221lim 2n n n n→∞+=-___________. 2. 不等式01xx <-的解是___________. 3.已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______.5.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.6.已知函数11()24xxf x -=的反函数为1()fx -，则1(12)f -=___________.7.已知复数12122,3(),z i z a i a R z z =+=+∈⋅是 实数，则12z z +=___________. 8．二项式291()x x-的展开式中，含3x 的项的系数是___________.9.在锐角ABC V 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于则AB 的长为___________.10.已知实数,x y 满足242y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22(1)(1)s x y =++-的最大值是 .11. 已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.12.函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 ．13.用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．14. 已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15.设,,a b R a b ∈>，则下列不等式一定成立的是（ ）(A) 22a b > (B)11a b< (C) 2a ab > (D) 22a b > 16. 方程5log sin x x =的解的个数为（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 517.已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 201321 18. 如图所示，点,,A B C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点,若OC mOA nOB uuu r uu r uu u r=+，则（ ）(A)01m n <+<； (B)1m n +>；(C)1m n +<-； (D)10m n -<+<；三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD AD ==（1）求证：SA CD ⊥；（2）求异面直线SB 与CD 所成角的大小.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+(a b 、为非零常数)给出，其中)/(2cm W I 为声音能量.BCAO（1）当声音强度321,,D D D 满足32132D D D =+时，求对应的声音能量321,,I I I 满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为213/10cm W -时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为212/10cm W -时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪. 21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，设1)22A 是单位圆上一点，一个动点从点A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B ，t 秒时动点到达点P .设(,)P x y ，其纵坐标满足()sin()()22y f t t ππωϕϕ==+-<<.（1）求点B 的坐标，并求()f t ；（2）若06t ≤≤，求AP AB ⋅u u u r u u u r的取值范围.22、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知a为实数，函数()f x =（1）当1a =时，求()f x 的最小值;（2）当1a =时,判断()f x 的单调性,并说明理由；（3）是否存在小于0的实数a，使得对于区间⎡⎢⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形，请说明理由.23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设项数均为k （*2,k k N ≥∈）的数列}{n a 、}{n b 、}{n c 前n 项的和分别为n S 、n T 、n U .已知*2(1,)n n a b n n k n N -=≤≤∈，且集合1212{,,,,,,,}k k a a a b b b L L={2,4,6,,42,4}k k -L .（1）已知nn n U 22+=，求数列}{n c 的通项公式；（2）若4k =，求4S 和4T 的值，并写出两对符合题意的数列}{n a 、}{n b ；x（3）对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对.上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷答案（文卷）2014.1一、填空题. 1.122. 01x <<（或(0,1)）3. 32n -4. 15. 306. 2log 37.8． -126 9.10. 90 11. 15π 12. 1＜a ＜4 13. 6 14.6二、选择题15. D 16. B 17. D 18. B 三、解答题 19. 解：（1）∵SD ⊥平面ABCDCD ⊆平面ABCD∴CD ⊥SD ……………………3分 又四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ∴CD ⊥平面SDASA ⊆平面SDA∴SA ⊥CD. ……………………………………6分（2）∵AB ‖CD∴SBA ∠或其补角是异面直线SB 与CD 所成角.…………………………8分 由（1），BA ⊥平面SDA ，∴△SAB 是直角三角形.tan 2arctan SBA SBA ∴∠==∴∠=………………………………………………11分 故异面直线SB 与CD所成角的大小为. …………………………………12分 20.解：（1）32132D D D =+Θ)lg (3)lg (2lg 321b I a b I a b I a +=+++∴ …………………………2分 321lg 3lg 2lg I I I =+∴ ………………………………………………4分 33221I I I =⋅∴ …………………………………………………6分（2）由题意得⎩⎨⎧=+-=+-40123013b a b a ………………………………………8分⎩⎨⎧==16010b a ………………………………………10分∴120160lg 10100<+<I 461010--<<I ………………………………………………………13分答：当声音能量)10,10(46--∈I 时，人会暂时性失聪. ………………………………14分21、解: (1)当2t =时，22123AOB ππ∠=⨯=， 所以2XOB π∠=所以，点B 的坐标是（0，1） ……………………………………………………2分 又t 秒时，66XOP t ππ∠=+………………………………………………………4分sin ,(0)66y t t ππ⎛⎫∴=+≥ ⎪⎝⎭. …………………………………………………………6分（2）由12A ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,1)B，得12AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，又cos ,sin 6666P t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1cos ,sin 662662AP t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r ，…………………………8分311cos sin 42664266AP AB t t ππππ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r1sin 2663t πππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1sin 266t ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………………………………10分 Q 06t ≤≤，5,6666t ππππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,1662t ππ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ …………12分 所以，AP AB ⋅u u u r u u u r 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………14分22、解：易知()f x 的定义域为(1,1)-，且()f x 为偶函数.（1）1a =时, ()f x ==………………2分 0x =时()f x = 2. …………………………4分 （2）1a =时, ()f x ==[)0,1x ∈时， ()f x 递增； (]1,0x ∈-时，()f x 递减；…………………………6分()f x 为偶函数.所以只对[)0,1x ∈时，说明()f x 递增.设1201x x ≤<<0>><()()120f x f x -=<所以[)0,1x ∈时， ()f x 递增；………………………………………………10分（3）t =1,[,1]3x t ⎡∈∴∈⎢⎣⎦Q ，1(1)3a y t t t ∴=+≤≤ 从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间1[,1]3上，恒有min max 2y y >.……12分 当0a <时, a y t t =+，1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为递增函数.……………………………………14分 由()123103a a ⎛⎫+>+>⎪⎝⎭，得115a >与0a <矛盾.所以不存在小于0的实数a ，使得对于区间⎡⎢⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形. ……………………………16分23、解：（1）1=n 时，411==U c2≥n 时，111222)1(222---+=---+=-=n n n n n n n n U U c ，41=c 不适合该式故，14,122,2n n n c n k-=⎧=⎨+≤≤⎩ …………………………………………………………4分（2）4412341234()()S T a a a a b b b b -=+++-+++11223344()()()()a b a b a b a b =-+-+-+-246820=+++=又4412341234()()S T a a a a b b b b +=+++++++24681012141672=+++++++=得，4S =46，4T =26 …………………………………………………………8分 数列}{n a 、}{n b 可以为：① 16,10,8,12；14,6,2,4 ② 14,6,10,16；12,2,4,8 ③ 6,16,14,10；4,12,8,2 ④ 4,14,12,16；2,10,6,8⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6 ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2 ……………………10分 （3）令42n n d k b =+-，42n n e k a =+-（*1,n k n N ≤≤∈） …………………12分(42)(42)2n n n n n n d e k b k a a b n -=+--+-=-=又1212{,,,,,,,}k k a a a b b b L L ={2,4,6,,4}k L ，得1212{42,42,,42,42,42,,42}k k k a k a k a k b k b k b +-+-+-+-+-+-L L={2,4,6,,4}k L所以，数列对（}{n a ，}{n b ）与（}{n d ，}{n e ）成对出现。
区高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)
浦东新区2016-2017学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷 2016.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知U R =，集合{}|421A x x x =-≥+，则U C A =____________．2.三阶行列式351236724---中元素-5的代数余子式的值为____________． 3. 812x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含2x 项的系数是____________．4.已知一个球的表面积为16π，则它的体积为____________．5．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是____________．6．已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =____________． 7．若复数()()12ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =____________． 8．函数())cos sin f x x xx x =+-的最小正周期为____________．9．过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于两点A B 、，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积的最小值为____________． 10．若关于x 的不等式1202xx m --<在区间[]0,1内恒成立，则实数m 的取值范围为____________．11．如图，在正方形ABCD 中，2,,AB M N =分别是边,BC CD 上的两个动点，且MN =则AM AN u u u u v u u u vg 的取值范围是____________．12．已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有()*f n N ∈，且()()3f f n n =恒成立，则()()20171999f f -=____________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项中，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分． 13.将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ）． A ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭14.已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，则函数()y f x =-与()1y f x -=-的图像（ ）．A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称 15.设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）．A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >．若10a <，则()()21230a a a a --> 16.元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是（ ）．A ．AB > B ． A B <C ．A B =D ．A B 、的大小关系不确定 三、解答题 （本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在长方体1111ABCD A B C D -中（如图）, 11,2AD AA AB ===，点E 是棱AB 的中点. （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.18.（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）若,7,3B b ABC π==∆的面积332S =，求a c +值； （2）若()22cos C BA BC AB AC c +=u u u v u u u v u u u v u u u v g g ，求角C .19.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2 小题满分8分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的一条直线交椭圆于P Q 、两点，若12PF F ∆的周长为442+，且长轴长与短轴长之比为2:1.（1）求椭圆C 的方程；（2）若12F P F Q PQ +=u u u v u u u u v u u u v，求直线PQ 的方程.20.（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n a 满足221241,2n n n n a a n n b a n n +=+-+=+-；（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数()22q r q r <<、、，若25q r b b b 、、这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(),q r ； （3）若11,c ,n n n n a b n d M ==+=是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数.21.（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<<<<<=L L ，其中分点121n t t t -L 、、、将区间[],a b 任意划分成()*n n N ∈个小区间[]1,i i t t -，记{}()()()()()()01121,,n n M a b n t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-=-+-++-L ，称为()x ϕ关于区间[],a b 的n 阶划分“落差总和”.当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a b n . （1）已知()x x ϕ=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；（2）已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件是()x ϕ在[],a b 上单调递增.（3）若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且00110i i n t t t t t -+++++=L L .参考答案一、填空题1. ()1+∞，2. 343. 74.323π5. 256. 42±7. 38. π9. 8 10.32⎛⎫⎪⎝⎭，2 11. )482⎡⎣，12. 54 二、选择题13. A 14. D 15. C 16. A 三、解答题17.解：（1）作//AE CE '交CD 于E '，因为11AD AA DE '===，所以12AE D E ''==，故1AD E '∆为正三角形，异面直线1AD 与EC 所成角为60°……………………………6分（2）E 是棱AB 上的中点，则ADE CBE ∆∆、均为等腰直角三角形，而显然11DD E DD C ∆∆、均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形，．．．．．．． 14分 18．解：（1）∵133,sin 322ABC B S ac B π∆===，∴6ac =……………………………2分 由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=……………………………………4分 ∴()225,5a c a c +=+=……………………………………….7分（2）∵()()22cos cosB bccosA 2cos cos cos C ac c C a B b A c +=⇒+=…………………10分又∵cos cos a B b A c +=……………………………12分 ∴12cos 1,cos 2C C ==， ∵()0,C π∈，∴3C π=……………………………………14分19.解：（1）由条件可知：224a c +=+，:a b =，∵222a b c =+，解得：2,2a b c ===，……………………………4分所以椭圆C 的方程为22184x y +=…………………………6分 （2）设直线2PF 的方程为：()()11222,,,,x ty P x y Q x y =+；因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v，所以OP OQ PQ +=u u u v u u u v u u u v，所以OP OQ ⊥，所以12120x x y y +=…………………………9分 ()222212440842x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 12122244,22t y y y y t t --+==++……………………………11分 ()()2412121212121x x y y t y y t y y ++=+++解得：21,2t t ==………………………………………13分 所以直线PQ0y ±-=…………………………………14分20.解：（1）由21241n n a a n n +=+-+，∴()()()22112122n n a n n a n n +++-+=+-，即12n n b b +=，又11110b a =-=≠，∴数列{}n b 是以1 为首项，2为公比的等比数列；………………4分 （2）由（1）知()1*22,5,,n n qrb n N b b b -=∈这三项经适当排序后能构成等差数列；①若225q r b b b ⨯=+，则211110222q r ---⨯=+，∴122225q r +---=，左边为偶数，右边为奇数，∴等式不成立；…………………………………8分 ③若225r q b b b =+，同理也不成立；综合①②③得，()(),3,5q r =；…………………………………10分（3）由211111210a b =⇒=+-⨯=，∴0n b =，…………………………………12分∴0n c n n =+=；………………………………13分由()()()()2222222222211111111111n n n n n n n d c c n n n n +++++=++=++=++ ()()()()2222211111111111n n n n n d n n n n n n n n ++++⎛⎫=⇒==+=+- ⎪+++⎝⎭+；∴2016122016111111223M d d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦L L 111112016120172016201720172017⎡⎤⎛⎫++-=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. ∴不超过2016M 的最大整数为2016…………………………………16分 21.解：（1）()()()()010023M ϕϕϕϕ=--+-=………………………4分（2）若()x ϕ在[],a b 上单调递增，则{}()()()(){}11,,,,1ni i i M a b n t t b a M a b ϕϕϕϕ-==-=-=⎡⎤⎣⎦∑，故()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b …………………………6分若()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b ，倘若()x ϕ在[],a b 上不单调递增， 则存在[]()()121212,,,,x x a b x x x x ϕϕ∈<>. 由()()()()()()()()1122a b a x x x x b ϕϕϕϕϕϕϕϕ-≤-+-+-…………………………（*）等号当且仅当()()()()()()11220,0,0a x x x x b ϕϕϕϕϕϕ-≥->-≥时取得，此时()()()()()()()()()()11220a b a x x x x b a b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=-+-+-=-<，与题设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立，即：增加分点12,x x 后，“落差总和”会增加，故{},,M a b n 取最大值时n 的最小值大于1，与条件矛盾.所以()x ϕ在[],a b 上单调递增……………………………………………10分（3）由（2）的证明过程可知，在任间区间[],a b 上，若()x ϕ存在最佳划分{},,1a b ，则当()()a b ϕϕ=时，()x ϕ为常值函数（舍）；当()()a b ϕϕ<时，()x ϕ单调递增；当()()a b ϕϕ>时，()x ϕ单调递减…………………………………12分若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则此时在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=L 上均为最佳划分{}1,,1i i M t t -.否则，添加分点后可使()x ϕ在[],a b 上的“落差总和”增大，从而{}0,,M a b n 不是“落差总和”的最大值，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,n i i t t i -=L 上都是单调………………………………14分若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则()x ϕ在相邻的两个区间[][]11,,i i i i t t t t -+、上具有不同的单调性，否则，()()()()()()11111i i i i i t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-+-+-=-+-，减少分点i t ，“落差总和”的值不变，而n 的值减少1，故n 的最小值不是0n ，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾………………………16分()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,n i i t t i -=L 上都单调，而()x ϕ是偶函数，故()x ϕ在y 轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当000,1,,2n i j n i ⎛⎫+== ⎪⎝⎭L 时，0i j t t +=，从而有00120n t t t t ++++=L ……………………………18分。
高考数学一模试题浦东2016届高三一模数学卷(附答案)
浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 （含答案） 2016.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 注：填写其他等价形式则得分1．已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<，则R A C B =I []2,32．已知向量()2,1,(1,)a b m =-=r r 平行，则m = 12-3．关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵 2312⎛⎫⎪-⎝⎭4．计算：1132lim 32n nnn n ++→∞-+ 3 5．若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z6．()1021x +的二项展开式中的第八项为 3960x7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里（精确到0.1海里） 8．已知3cos(),,252ππααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭9．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点，则AE与平面11BCC B 所成的角为552arctan ．（2arcsin 3，）（结果用反三角表示）10．已知函数()f x 的图像与()2xg x =的图像关于直线y x =对称，令()(1)h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称； ②()h x 的图像关于y 轴对称； ③()h x 的最大值为0； ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。
其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。
(完整word版)上海市浦东新区2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
浦东新区2016学年度第一学期教学质量检测高一数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象均过定点 .2. 请写出“好货不便宜”的等价命题： .3.若集合{}{}|1,|A x x B x x a =≤=≥满足{}1A B =，则实数a = .4.不等式2110x --<的解集是 .5．若()121f x x +=-，则()1f = .6.不等式302x x -≥-的解集为 . 7.若函数()()()1f x x x a =++为偶函数，则a = .8.设()()2f xg x x==，则()()f x g x ⋅= . 9.设:5x α≤-或1x ≥，:2321m x m β-≤≤+，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围为 .10.函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是 .11.已知0ab >，且41a b +=，则11a b+的最大值为 . 12.已知函数()()12,14,1x a x f x a x x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题共4小题，每题3分，共12分，每题都给出代号为A,B,C,D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分）13.函数43y x =的大致图象是（ ）14.已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则0x <时，()f x =（ ）A.1x --B. 1x +C. 1x -+D. 1x -15.证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎。
小强买股票A 连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个 涨停：比前一天收市价上涨10%）.A. 3B. 4C. 5D. 616.给定实数x ，定义[]x 为不大于x 的最大整数，则下列结论中正确的是（ ）A. []0x x -≥B. []1x x -<C. 令()[]f x x x =-，对任意实数x ，()()1f x f x +=恒成立.D.令()[]f x x x =-，对任意实数x ，()()f x f x -=恒成立.三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分8分）已知()()332553m m m +≤-，求实数m 的取值范围.18.（本题满分10分）如图，矩形草坪AMPN 中，点C 在对角线MN 上，CD 垂直AN 于点D ，CB 垂直于AM 于点B ，3CD AB ==米，2AD BC ==米，设DN x =米，BM y =米，求这块矩形草坪AMPN 面积的最小值.19.（本题满分10分,第1小题4分，第2小题6分）设a 是实数，函数()()2.21x f x a x R =-∈+ （1）若已知()1,2为该函数图象上一点，求a 的值；（2）证明：对任意a ，()f x 在R 上为增函数.20.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分） 已知函数()22f x x ax a =-+.（1）若对任意的实数x 都有()()11f x f x +=-成立，求实数a 的值；（2）若()f x 在区间[)1,+∞上为单调增函数，求实数a 的取值范围；（3）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最大值.21.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）在区间D 上，如果函数()f x 为减函数，而()xf x 为增函数，则称()f x 为D 上的弱减函数，若()f x =. （1）判断()f x 在区间[)0,+∞上是否是弱减函数；（2）当[]1,3x ∈时，不等式42a a x x +≤≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()1g x f x k x =+-在[]0,3上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围.浦东新区2016学年度第一学期期末质量测试高一数学参考答案一、填空题1. （0,1）2. 便宜没好货3. 14. )23,21(5. 1-6. ),3[)2,(+∞⋃-∞7. 1- 8. ) 0()0 1(∞+-∈，，， x x 9.3-≤m 或2≥m 10. (0,4]11. 912. [1,0)-二、选择题13. A 14. B 15. C 16. D三、解答题17.（本题满分8分）解：（1）设函数53x y =，函数为R 上的单调递增函数 ………………2分 得，32+-≤+m m m ………………2分 即，03-22≤+m m ………………2分得，0)3)(1（≤+-m m所以，m 的取值范围为：]1,3[-∈m ………………2分18．（本题满分10分） 解：263x NCD CMB xy y∠=∠⇒=⇒=………………….2分 (2)(3)AMPN S x y =++326x y x y =+++1232x y =++ ………………….3分1224≥+=………………….2分当且仅当32x y =，即2,3x y ==时取得等号。
上海市浦东新区届高三第一学期期末质量抽查数学试题.1
上海市浦东新区届高三第一学期期末质量抽查数学试题.1一、填空题： 1、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21arccos 23π 。
2、函数()21lg x y -=的定义域为 ()1,1- 。
3、不等式11x<的解集为 ()(),01,-∞⋃+∞ 。
4、已知43cos ,,52ααππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则cos 2α= 1010- 。
5、计算：=⎪⎭⎫⎝⎛-+10011i i 1 。
6、函数()b x f x+=2的反函数的图像经过()2,3，则=b 6- 。
7、若111,(2)n n a a a n n -==≥，则=4a38。
8、（理）在极坐标系中，O 是极点，532,,2,88A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC ∆的形状为 等腰直角三角形 。
（文）某工程由下列工序组成，则工程总时数为 16 天。
9、有4条线段，长度分别为3，5，7，8，从这4条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率是43 。
10、在ABC ∆中，4B π∠=，3cos 5A =-，2a =，则边c 长为 42 。
11、方程1sin 4x x π=的解的个数是 7 个 。
12、有穷数列{}n a ，n S 为其前n 项和，定义12nn S S S T n+++=……为数列的“凯森和”。
如果有99项的数列9921,,,a a a 的“凯森和”为1000，则有100项的,19921,,,a a a 的“凯森和”=100T 991 。
二、选择题：13、“C B C A ⋂⊇⋂”是“B A ⊇”的 （ B ）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 14、复数i z i z -=+=1,221，则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于 （ D ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限15、函数()φϖ+=x y sin 的部分图象如图，则ϖ、φ可以取的 一组值是 （ C ） A 、4,2πφπϖ==B 、6,3πφπϖ==C 、4,4πφπϖ==D 、45,4πφπϖ==16、已知命题p ：函数()212log 2y x x a =++的值域为R ，命题q ：()52xy a =--是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围是 （ D ） A. 1≤a B. 2<a C. 21<<a D. 1≤a 或2≥a三、解答题：17、关于x 的方程()()2210x i x mi m R -+++=∈有一实根为n ,设复数()()212z m i ni =+-， 求,m n 的值及复数z 的模。
上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编：概率与统计
上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编概率与统计一、填空题1、（虹口区2016届高三上学期期末）锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为___________.（结果用最简分数表示）2、（黄浦区2016届高三上学期期末）为强化安全意识，某学校拟在未来的连续天中随机抽取天进行紧急疏散演练，那么选择的天恰好为连续天的概率是（结果用最简分数表示）．3、（嘉定区2016届高三上学期期末）已知一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．4、（嘉定区2016届高三上学期期末）甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过次传球后，球仍在甲手中的概率是__________．5、（普陀区2016届高三上学期期末）如图，已知正方体，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是___________（结果用最简分数表示）6、（青浦区2016届高三上学期期末）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量，向量，则向量的概率．．是.7、（松江区2016届高三上学期期末）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球从中一次性随机摸出2只球则恰好有1只是白球的概率为▲ （结果用数值表示）8、（徐汇区2016届高三上学期期末）正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为________________．9、（杨浦区2016届高三上学期期末）学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是_____________.填空题参考答案：1、2、3、24、5、6、7、8、9、二、选择题1、（浦东新区2016届高三上学期期末）甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是…………（ C ）2、（宝山区2016届高三上学期期末）王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）网络月租费本地话费长途话费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算. ……（）（A）300秒（B）400秒（C）500秒（D）600秒3、（崇明县2016届高三上学期期末）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）(A)消耗1 升汽油，乙车最多可行驶5千米(B)以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多(C)甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油(D)某城市机动车最高限速80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油a a选择题参考答案：1、C2、B3、D。
上海市浦东新区2016年高三(三模)综合练习数学试卷含答案
上海市浦东新区2016年高三(三模)综合练习数学试卷含答案上的点与抛物线y=-1/2x没有交点，因此k≥0.当x≥2时，f(x-2)的图像向右平移2个单位，因此g(x)的零点为2n+1时，f(x)的图像与y=kx+1相交1次，即k≤2.综上所述，k∈{0}U[,+∞)∩[0,2]={0}U[0,2)。
2.计算lim(n→∞)1+2+3+。
+n/[(nπ)^2]。
解答过程：1+2+3+。
+n=n(n+1)/2，所以原式为lim(n→∞)(n^2+n)/(2(nπ)^2)=lim(n→∞)(1/(2π^2))(1/n+1/(n^2π))，显然极限为0.3.已知a=2，b=3，且a、b的夹角为θ，则3a-2b=6cosθ-6sinθ=6cos(θ-π/4)=-6/√2.改写：已知a、b分别为2和3，且它们的夹角为θ，则3a-2b=6(cosθ-sinθ)=6cos(θ-π/4)=-6/√2.4.在复平面内，点A(-2,1)对应的复数为z，则|z+1|=2.改写：设点A对应的复数为a+bi，则|(a+1)+bi|=2，即(a+1)^2+b^2=4.5.关于方程sinx+(1/2)cos2x=0的解为x=kπ±π/4(k∈Z)。
改写：方程sinx+(1/2)cos2x=0等价于2sinx+cos2x=0，即2sinx+2cos^2x-1=0，解得cosx=±1/√10，因此x=kπ±π/4(k∈Z)。
6.设A={x|x-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，且B⊆A，则实数a的取值集合为{0,-1}。
改写：解方程x-2x-3=0得到x=±3，因此A={-3,3}。
由于B⊆A，所以a=1/3或a=0时，B中的所有元素都在A中，即a∈{0,1/3}。
又因为当a=1/3时，B={1/3}∉A，因此实数a的取值集合为{0,-1}。
8.某校要从2名男生和4名女生中选出4人，担任在XXX举行的某项活动的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为7/15.改写：从6人中选出4人的方案数为C(6,4)=15，其中既有男生又有女生的方案数为C(2,1)×C(4,3)=8，因此男、女都有的概率为8/15=7/15.9.（文）已知约束条件为5x+4y≤26，2x+5y-13≤0，则目标函数z=20x+10y的最大值为100.改写：约束条件可以写成5/2x+2y≤13和y≤(13-2x)/5，因此可将z=20x+10y表示为z=10(5/2x+2y)，最大值为10×max{5/2x+2y}，其中x和y满足约束条件5/2x+2y≤13和y≤(13-2x)/5.画出这两个不等式的交点和约束区域，可以发现最大值为100，取到的点为(2,3)。
上海市浦东新区2016届高三上学期期末质量测试数学试题 含答案
浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 （含答案)2016。
1注意：1。
答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟。
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果,每个空格填对得3分，否则一律得零分。
注:填写其他等价形式则得分1．已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<，则R AC B =[]2,3 2．已知向量()2,1,(1,)a b m =-=平行,则m =12-3．关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵 2312⎛⎫ ⎪-⎝⎭4．计算:1132lim32n nn n n ++→∞-=+ 3 5．若复数z 满足1012i i z=-(i 为虚数单位），则z =6．()1021x +的二项展开式中的第八项为3960x7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向,与A 相距6.0海里。
船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处,这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里（精确到0。
1海里）8．已知3cos(),,252ππααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭,则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭9．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E为棱1CC 的中点，则AE与平面11BCC B 所成的角为552arctan．（2arcsin 3，）（结果用反三角表示）A110．已知函数()f x 的图像与()2xg x =的图像关于直线y x =对称，令()(1)h x f x =-,则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称； ②()h x 的图像关于y 轴对称； ③()h x 的最大值为0; ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。
其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。
上海市各区县高三上学期期末考试数学理试题汇编.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编直线与圆一、填空题1、（宝山区2016届高三上学期期末）以)2,1(为圆心，且与直线03534=-+y x 相切的圆的方程是2、（奉贤区2016届高三上学期期末）若圆x y x y 22++2-4=0被直线x y a 3++=0平分，则a 的值为__________3、（嘉定区2016届高三上学期期末）过点)2,1(P 的直线与圆422=+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值为___________．4、（金山区2016届高三上学期期末）若直线l 1：6x +my –1=0与直线l 2：2x －y +1=0平行，则m =5、（静安区2016届高三上学期期末）直线20x y --=关于直线220x y -+=对称的直线方程是 .6、（静安区2016届高三上学期期末）经过直线230x y -+=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，且面积最小的圆的方程是 .7、（静安区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位, 沿y 轴正方向平移5个单位,得到直线1l .再将直线1l 沿x 轴正方向平移1个单位, 沿y 轴负方向平移2个单位,又与直线l 重合.若直线l 与直线1l 关于点(2,3)对称,则直线l 的方程是 . 8、（普陀区2016届高三上学期期末）设O 为坐标原点，若直线1:02l y -=与曲线2:10x y τ--=相交于A B 、点，则扇形AOB 的面积为________9、（徐汇区2016届高三上学期期末）若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a的值为_______________10、（闸北区2016届高三上学期期末）过点0(3,)M y 作圆22:1O x y +=的切线，切点为N ，如果6OMN π∠≥，那么0y 的取值范围是 ；填空题参考答案：1、()()252122=-+-y x 2、1a = 3、434、-35、7220x y -+=6、225561810x y x y ++--=7、:6810l x y -+=8、3π9、0 10、[1,1]-二、选择题1、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知P 为直线y kx b =+上一动点，若点P 与原点均在直线20x y -+=的同侧，则k 、b 满足的条件分别为 [答] ( A )．A ．1k =，2b <B ．1k =，2b >C ．1k ≠，2b <D ．1k ≠，2b >2、（浦东新区2016届高三上学期期末）直线0ax by +=与圆220x y ax by +++=的位置关系是………………………（ B ）()A 相交 ()B 相切()C 相离 ()D 不能确定选择题参考答案：1、A2、B三、解答题 1、（崇明县2016届高三上学期期末）已知△ABC 的顶点 A ，B 在椭圆 x 2＋3y 2 ＝4上，C 在直线l ：y ＝x ＋2上，且 AB ∥l ．（1）当 AB 边通过坐标原点O 时，求 AB 的长及△ABC 的面积；（2）当∠ABC ＝90°，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程．2、（闵行区2016届高三上学期期末）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数ay x=图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为10千米，以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p . （1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围.3、（闸北区2016届高三上学期期末）如图，已知动直线l 交圆22(3)9x y -+=于坐标原点O 和点A ，交直线6x =于点B ；（1）若||35OB =，求点A 、点B 的坐标；（2）设动点M 满足OM AB =，其轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程(,)0F x y =； （3）请指出曲线C 的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C 是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由；17、（长宁区2016届高三上学期期末）解答题参考答案1、2、[解]（1）由题意得(1,8)M ，则8a =，故曲线段MPN 的函数关系式为8y x=，4分 又得4(10,)5N ，所以定义域为[]1,10. ……………………………6分（2）8(,)P p p ，设8:()AB y k x p p -=-由8()8y k x p p y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22(8)80kpx kp x p +--=，22222(8)32(8)0kp kp kp ∆=-+=+=, …………8分22880,kp k p ∴+=∴=-，得直线AB方程为288()y x p p p -=--， ………10分 得16(0,)(2,0)A B p p、，故点P 为AB 线段的中点， 由2168220p p p p--=⋅>即280p -> …………………………12分 得22p >时，OA OB <，所以，当2210p <≤时，经点A 至P 路程最近. 14分3、（1）2412(,)55A ±，(6,3)B ±；（2）326x y x =-；（3）关于x 轴对称；顶点(0,0)；[0,6)x ∈，y R ∈；（4）6x =；。
上海市浦东新区高三数学上学期期末质量抽测试题(含解析)
2016年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩∁R B= ．2．已知向量平行，则m= ．3．关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵．4．= ．5．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|= ．6．（2x+1）10的二项展开式中的第八项为．7．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距海里（精确到0.1海里）8．已知，则= ．9．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为．（，）（结果用反三角表示）10．已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．11．有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n= ．12．已知，则f（x）与g（x）图象交点的横坐标之和为．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab14．设α：x=1且y=2，β：x+y=3，α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件15．方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．k＞4 B．k=4 C．k＜4 D．0＜k＜416．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（）A．B．C．D．17．直线ax+by=0与圆x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．419．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A．B．C．0 D．﹣20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．21．已知函数f（x）存在反函数f﹣1（x），若函数y=f（x+1）过点（3，3），则函数f﹣1（x）恒过点（）A．（4，3） B．（3，4） C．（3，2） D．（2，3）22．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（）A．50 B．80 C．90 D．10023．符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a （常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x0，使f（x0）＞d．下列四个函数中，，，中“S函数”的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分25．已知OA，OB，OC交于点O，，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．26．已知函数f（x）=2sinx，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．27．已知两个向量=（1+log2x，log2x），=（log2x，1）（1）若⊥，求实数x的值；（2）求函数f（x）=•，x∈[，2]的值域．28．已知数列{a n}的前n项的和S n=n2﹣n．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c=0，我们称为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．（1）设椭圆上的任意一点P（x，y）到直线l1：x﹣2y=0，l2：x+2y=0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．（2）设点E（﹣t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα﹣2=0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．（3）已知直线l：mx﹣y+n=0和椭圆E：（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．30．如图，点A（﹣1，0）、B（1，0），点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点D i作与BC垂直的射线l i，在l i上的动点P使∠APB取得最大值的位置记作P i（i=1，2，3，…，n﹣1）．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数n≥2，点P i（i=1，2，…，n﹣1）都在这条曲线上？说明理由．31．定义符号函数sgn（x）=，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）当b=时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．32．已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足，，其中n∈N*，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n．（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k﹣1，称数列{c n}为“k坠点数列”．①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n．②若数列{a n}为“p坠点数列”，数列{b n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得S m+1=T m，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．2016年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩∁R B= [2，3] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据全集R，以及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，∴∁R B={x|x≥2}，则A∩（∁R B）={x|2≤x≤3}．故答案为：[2，3]．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知向量平行，则m= ﹣．【考点】平行向量与共线向量．【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用．【分析】直接利用斜率的平行列出方程求解即可．【解答】解：向量平行，可得﹣2m=1，解得m=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．3．关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】直接利用方程组与系数矩阵写出结果即可．【解答】解：关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵，故答案为：．【点评】本题考查方程组与系数矩阵的关系，是基础题．4．= 3 ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】借助指数函数的运算法则，先把原式等价转化为，由此能够得到它的极限值．【解答】解： ==3．故答案为：3．【点评】本题考查极限的性质和运算，解题时要注意指数运算法则的合理运用．5．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|= ．【考点】复数求模．【专题】方程思想；数系的扩充和复数．【分析】利用行列式的性质可得z﹣i（1﹣2i）=0，再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足（i为虚数单位），∴z﹣i（1﹣2i）=0，化为z=i+2．则|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了行列式的性质、复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2x+1）10的二项展开式中的第八项为960x3．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；规律型；二项式定理．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可．【解答】解：（2x+1）10的二项展开式中的第八项为： =960x3．故答案为：960x3．【点评】本题考查二项式定理的应用，基本知识的考查．7．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距 4.2 海里（精确到0.1海里）【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】直接由余弦定理可得结论．【解答】解：由余弦定理可得BC=≈4.2海里．故答案为：4.2．【点评】本题考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．已知，则= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】求出角的余弦函数值，然后利用两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：，可得sinα=，cosα=﹣，=sinαcos+cosαsin==．故答案为：．【点评】本题考查两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式诱导公式的应用，考查计算能力．9．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为．（，）（结果用反三角表示）【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由AB⊥平面B1BCC1，知∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，由此能求出AE与平面B1BCC1所成的角的大小．【解答】解：连结BE，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，∴BE==，∴AB⊥平面B1BCC1，∴∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，∵tan∠AEB===，∴∠AEB=．故答案为：．【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为②③（写出所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】图象关于直线y=x对称，利用反函数求出h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，根据偶函数的性质和对数函数性质可进行判断．【解答】解：函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=log2x，h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，∴①错误；②h（x）的图象关于y轴对称，故正确；根据偶函数性质可知④错误；∵1﹣|x|≤1，∴h（x）=log21=0，故③正确．故答案为②③．【点评】考查了反函数的性质，偶函数，对数函数的性质，属于基础题型，应熟练掌握．11．有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n= 4或5 ．【考点】数列与向量的综合．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】求出等差向量列的差向量，得出得通项公式，代入模长公式求解最小值．【解答】解：∵{}是等差向量列，∴{x n}，{y n}是等差数列，设{x n}，{y n}的公差分别是d1，d2，∴，解得d1=1，d2=1，∴x n=﹣20+n﹣1=n﹣21，y n=13+n﹣1=n+12，∴ =（n﹣21，n+12）．∴||2=（n﹣21）2+（n+12）2=2n2﹣18n+585=2（n﹣）2﹣+585．∴当n=4或n=5时，||2取得最小值．故答案为4或5．【点评】本题考查了数列与向量的综合应用，求出{}的通项公式是关键．12．已知，则f（x）与g（x）图象交点的横坐标之和为17 ．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出两个函数的图象，根据函数的对称性，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出f（x）与g（x）的图象，如图，令=2，解得x=9，令=﹣2，解得x=﹣7，∴f（x）与g（x）图象共有17个交点．∵则f（x）与g（x）关于（1，0）对称，设17个交点横坐标为x1，x2，x3，…x17，则x1+x2+x3+…+x17=2×8+1=17．故答案为17．【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合，结合函数的对称性是解决本题的关键．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞b2，a2＞ab，即为，因此A，C，D正确，而B不正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设α：x=1且y=2，β：x+y=3，α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；简易逻辑．【分析】α⇒β，反之不成立，例如：x=2，y=1．即可判断出．【解答】解：∵α：x=1且y=2，β：x+y=3，∴α⇒β，反之不成立，例如：x=2，y=1．∴α是β的充分非必要条件，故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．k＞4 B．k=4 C．k＜4 D．0＜k＜4【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用椭圆的简单性质考查不等式求解即可．【解答】解：方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，即方程表示焦点在x轴的椭圆，可得4＞k＞0．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．16．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数n=24，甲、乙二人相邻包含的基本事件个数m=12，由此能求出甲、乙二人相邻的概率．【解答】解：甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数n=A44=24，甲、乙二人相邻包含的基本事件个数m=A22A33=12，∴甲、乙二人相邻的概率P===．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17．直线ax+by=0与圆x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由d=r可得出直线与圆位置关系是相切．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y+）2=，∴圆心坐标为（﹣，﹣），半径r=，∵圆心到直线ax+by=0的距离d===r，则圆与直线的位置关系是相切．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．【点评】本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．19．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A．B．C．0 D．﹣【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．【解答】解：设圆柱高为h，则底面半径为．由题意知，S=πh2，∴h=，∴V=π（）2•h=．故选D．【点评】本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．21．已知函数f（x）存在反函数f﹣1（x），若函数y=f（x+1）过点（3，3），则函数f﹣1（x）恒过点（）A．（4，3） B．（3，4） C．（3，2） D．（2，3）【考点】反函数．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意知函数y=f（x）过点（4，3），从而确定反函数的点．【解答】解：∵函数y=f（x+1）过点（3，3），∴函数y=f（x）过点（4，3），∴函数f﹣1（x）恒过点（3，4）；故选B．【点评】本题考查了反函数的应用及复合函数的应用．22．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（）A．50 B．80 C．90 D．100【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意得这个小球在这次运动中所经过的总路程S n =2×10+2×10×+2×10×（）2+2×10×（）3+…+2×10×（）n﹣10，由此利用极限思想能求出结果．【解答】解：∵一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，∴这个小球在这次运动中所经过的总路程为：S n =2×10+2×10×+2×10×（）2+2×10×（）3+…+2×10×（）n﹣10=2×﹣10，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程：S=={2×﹣10}=2×﹣10=90．故选：C ．【点评】本题考查小球在运动中经过路程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和极限思想的合理运用．23．符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②f（x ）是奇函数，③f（x ）＜a （常数a ＞0），④f（x ）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量x 0，使f （x 0）＞d ．下列四个函数中，，，中“S 函数”的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用． 【分析】逐个判断函数是否符合新定义的5个条件．【解答】解：（1）∵f1（x）=arctanx的定义域为R，∵﹣＜arctanx，∴f1（x）的值域为（﹣a，a），∵f1（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴f1（x）是S函数，（2）f2（x）=的定义域为R，∵﹣1＜＜1，∴f2（x）的值域是（﹣a，a），∵f2（﹣x）==﹣f2（x），∴f2（x）是奇函数，当x＞0时，f2（x）==a﹣，∵a＞0，∴f2（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f2（x）是S函数．（3）由解析式可知f3（x）的定义域为R，当x＞0时，a﹣＜a，当x＜0时，﹣a﹣＞﹣a，∴f3（x）的值域是R，不符合条件③，∴f3（x）不是S函数．（4）f4（x）的定义域为R，∵ =1﹣，2x＞0，∴﹣1＜＜1，∴f4（x）的值域是（﹣a，a）．f4（﹣x）=a•=a•=﹣f4（x）．∴f4（x）是奇函数．∵f4（x）=a（1﹣），∴f4（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f4（x）是S函数．故选：C．【点评】本题考查了函数的定义域，奇偶性，值域，属于中档题．24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】平面向量坐标表示的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．【解答】解：因为想求a+b的最大值﹐所以考虑图中的6个顶点的向量即可；讨论如下﹕（1）因为=﹐所以（a，b）=（1，0）；（2）因为=+=+3=3+﹐所以（a，b）=（3，1）；（3）因为=+=+2=2+﹐所以（a，b）=（2，1）；（4）因为=++=++=++（+2）=3+2﹐所以（a，b）=（3，2）；（5）因为=+=+=+﹐所以（a，b）=（1，1）；（6）因为=﹐所以（a，b）=（0，1）；因此﹐a+b的最大值为3+2=5﹒故选：D﹒【点评】本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，也考查了平面向量的坐标表示的应用问题，是基础题目．三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分25．已知OA，OB，OC交于点O，，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知推导出四边形ADEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面AOC．【解答】证明：在△OBC中，∵E，F分别为BC，OC的中点，∴，又∵，∴由平行公理和等量代换知，，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF，又∵AF⊂平面AOC，DE⊄平面AOC，∴DE∥平面AOC．【点评】本题考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．26．已知函数f（x）=2sinx，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象的平移变换和伸缩变换法则是，可得函数y=g（x）的解析式，结合正弦函数的单调性，可得它的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=2sinx的图象向右平移个单位可得：y=2sin（x﹣）的图象；再再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得：y=2sin（2x﹣）的图象；∴g（x）=2sin（2x﹣），则2x﹣∈[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z，即函数y=g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换和伸缩变换，难度中档．27．已知两个向量=（1+log2x，log2x），=（log2x，1）（1）若⊥，求实数x的值；（2）求函数f（x）=•，x∈[，2]的值域．【考点】平面向量数量积的运算；函数的值域．【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到x的值；（2）运用向量的数量积的坐标表示，由对数函数的单调性可得t=log2x[﹣2，1]，再由二次函数的值域求法，即可得到．【解答】解：（1）=（1+log2x，log2x），=（log2x，1），若⊥，则（1+log2x）•log2x+log2x=0，可得log2x=0或log2x=﹣2，解得x=1或x=；（2）函数f（x）=•=（1+log2x）•log2x+log2x=（log2x）2+2log2x，令t=log2x，由x∈[，2]，可得t∈[﹣2，1]，即有函数y=t2+2t=（t+1）2﹣1，当t=﹣1时，函数取得最小值﹣1；当t=1时，函数取得最大值3．则函数f（x）的值域为[﹣1，3]．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查可化为二次函数的值域的求法，注意运用对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．28．已知数列{a n}的前n项的和S n=n2﹣n．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用递推关系即可得出；（2）变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵S n=n2﹣n，∴当n=1时，a1==1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣=3n﹣2．当n=1时，上式成立，∴a n=3n﹣2．（2）a n+1+≥λ，即3n+1+≥λ，化为：λ≤，∵当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，∴λ≤，∵≥+15≥12+15=27，当且仅当n=2时取等号．∴λ≤9．∴实数λ的取值范围是λ≤9．【点评】本题考查了递推关系、数列的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c=0，我们称为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．（1）设椭圆上的任意一点P（x，y）到直线l1：x﹣2y=0，l2：x+2y=0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．（2）设点E（﹣t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα﹣2=0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．（3）已知直线l：mx﹣y+n=0和椭圆E：（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足，且直线l与x轴的交点为A、与y 轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．【考点】综合法与分析法(选修）；类比推理；进行简单的合情推理．【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）由题意、，于是，又﹣2≤x≤2得0≤x2≤4，即可求δ1δ2的取值范围．（2）由题意，，于是，可得4﹣t2cos2α=cos2α+4sin2α⇔（3﹣t2）cos2α=0对任意的α都成立，即可得出结论；（3）确定n2＞b2+m2a2，，B（0，n），即可比较|AB|的长与a+b的大小．【解答】解：（1）由点P（x，y）在椭圆上，所以由题意、，于是 2分又﹣2≤x≤2得0≤x2≤4，即 4分（2）假设存在实数t，满足题设，由题意，，于是 6分4﹣t2cos2α=cos2α+4sin2α⇔（3﹣t2）cos2α=0对任意的α都成立只要3﹣t2=0即可，所以故存在实数t，，对任意的α都有η1η2=1成立． 9分（3）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0）、（c，0），于是c2=a2﹣b2、于是⇒n2＞b2+m2a2又，B（0，n）即 12分所以综上|AB|＞a+b． 14分【点评】本题考查推理，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，难度大．30．如图，点A（﹣1，0）、B（1，0），点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点D i作与BC垂直的射线l i，在l i上的动点P使∠APB取得最大值的位置记作P i（i=1，2，3，…，n﹣1）．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数n≥2，点P i（i=1，2，…，n﹣1）都在这条曲线上？说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|BC|=b，P（x，y），则x＞1，y＞0，，∠APB=∠PBC﹣∠PAC，所以=，根据基本不等式，即可得出结论．【解答】解：存在一条双曲线，对任意的正整数n≥2，点P i（i=1，2，…，n﹣1）都在这条双曲线上．如图所示，A（﹣1，0），B（1，0），设|BC|=b，P（x，y），则x＞1，y＞0，，∠APB=∠PBC﹣∠PAC，所以=．当i=1，2，3，…，n﹣1一定时，为常数所以≥2，此时tan∠APB取得最大值，当且仅当时等号成立，故x2﹣y2=1，x＞1，y＞0，P i在一条双曲线上．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查差角的正切公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．31．定义符号函数sgn（x）=，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）当b=时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；分类讨论；向量法；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据已知求出f（2）﹣f（1）=2|2﹣a|﹣|1﹣a|=，分析其单调性可得函数的最小值；（2）当x∈（0，1）时，f（x）=，由f（x）=0得：，即，令g（x）=|x﹣a|，h（x）=，在同一坐标系中分别作出两个函数在（0，1）上的图象，数形结合可得答案；（3）若存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，则+x＜a＜+x对任意的x∈[1，2]恒成立，分类讨论可得答案．【解答】解：（1）∵函数sgn（x）=，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．∴f（2）=2|2﹣a|+b，f（1）=|1﹣a|+b，∴f（2）﹣f（1）=2|2﹣a|﹣|1﹣a|=，由f（2）﹣f（1）在（﹣∞，2]上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，故当a=2时，f（2）﹣f（1）的最小值为﹣1；（2）当b=时，函数f（x）=﹣x|x﹣a|+=，当x∈（0，1）时，f（x）=，由f（x）=0得：，即，令g（x）=|x﹣a|，h（x）=，在同一坐标系中分别作出两个函数在（0，1）上的图象，如下图所示：由图可得：当a∈（﹣∞，）∪{}∪[，+∞）时，两个函数图象有且只有一个交点，即函数f（x）在（0，1）上有唯一零点；（3）x∈[1，2]时，f（x）=x|x﹣a|+b，由f（x）＜0得：|x﹣a|＜，∴b＜0，且＜x﹣a＜对任意的x∈[1，2]恒成立，即+x＜a＜+x对任意的x∈[1，2]恒成立，∵y=+x在[1，2]上单调递增，故当x=2时，y=+x取最大值2+，y=+x，x∈[1，2]的最小值为：，①，解得：b∈（﹣1，﹣）；②，解得：b∈[﹣4，﹣1]；③解得：b∈（﹣∞，﹣4），综上可得：b∈（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，分类讨论思想，难度中档．32．已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足，，其中n∈N*，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n．（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k﹣1，称数列{c n}为“k坠点数列”．①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n．。
度上海市浦东新区高三第一学期期末质量抽测试卷(理)
2006-2007学年度上海市浦东新区高三第一学期期末质量抽测试卷（理）（完卷时间120分钟 满分150分）一、填空题：（每小题4分，共48分）1．已知集合}4,3{},,3,1{=-=B m A ，若A B ⊆，则实数=m ． 2．=-∞→nn n)21(lim ． 3．函数x y 2sin =的最小正周期为 ．4．若5)1(-ax 的二项展开式中含3x 项的系数是80，则实数a 的值为 ． 5．设函数⎩⎨⎧<<-≤≤=0cos 0sin )(x x x x x f ππ．方程31)(=x f 解的个数为 ．6．在极坐标系中，O 是极点，设点)6,4(πA ，)65,2(πB ，则AB = ． 7．无穷数列}{n a 中，n n a 31=，则a 2 + a 4 + a 6 + … + a 2n + … = ． 8．函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图象与y 轴交于点)2,0(P ，则方程0)(=x f 的根是=x ．9．从1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个数，能组成等差数列的概率是 ． 10．函数xpx x f -=)(在),1(+∞上单调递增，则实数p 的取值范围为 ． 11．数列}{n a 中，k n k n a n 2-+-=，若对任意的正整数n ，43a a a n =≥都成立，则k 的取值范围为 ．12．右面是某次测验成绩统计表中的部分数据．某甲说：B 校文理平均分都比A 校高，全体学生的平均分肯定比A 校的高．某乙说：两个学校文理的平均分不一样，全体学生的平均分可以相等． 某丙说：A 校全体学生的均分可以比B 校的高。
你同意他们的观点吗？我不同意 的观点，请举例 ．二、选择题：（每小题4分，共16分）13．设z 是复数，以下命题中错误的是………………………………………………………（ ） （A ）z 为实数的充分必要条件是0=-z z （B ）z 为实数的充分必要条件是02≥z （C ）z 为纯虚数的充分必要条件是0=+z z （D ）z 为纯虚数的充分必要条件是02<z 14．函数(),01,10x by a a b +=<<-<<的图象为……………………………………………（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）15．设)(x f 是定义在R 上的函数．①若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f <成立，则函数)(x f 在R 上单调递增； ②若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f ≤成立，则函数)(x f 在R 上不可能单调递减； ③若存在02>x ，对于任意R x ∈1，都有)()(211x x f x f +<成立，则函数)(x f 在R 上单调递增；④对任意R x x ∈21,，21x x <，都有)()(21x f x f ≥成立，则函数)(x f 在R 上单调递减．以上命题正确的序号是……………………………………………………………………（ ） （A ）①③ （B ）②③ （C ）②④ （D ）②16．记数列}{n a 前n 项的积为πn = a 1a 2 … a n ，设n T =π1π 2 …πn .若数列1)21(2007-=n n a ，n 为正整数，则使n T 最大的n 的值为 ……………………………………………………（ ）（A ）11 （B ）22 （C ）25 （D ）48三、解答题：（满分86分） 17．（本题满分12分）已知α为锐角，53sin =α，β是第四象限角，54)cos(-=+βπ．求)sin(βα+的值． [解]18．（本题满分12分，第（1）题4分，第（2）题8分）z 为一元二次方程0222=+-x x 的一个根，且0Im <z ．（1）求复数z ；（2）若实数a 满足不等式211log 22≤+-a ai z ，求a 的取值范围． [解]19．（本题满分14分，第（1）题8分，第（2）题6分）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈)(x f B x A ++=)sin(ϕω 的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为)(x g （x 为月份），且满足2)2()(+-=x f x g ．（1）分别写出该商品每件的出厂价函数)(x f 、售价函数)(x g 的解析式； （2）问哪几个月盈利？20．（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题10分）已知函数n x n x x f 2)2()(2--+=的图像与x 轴正半轴的交点为)0,(n a A ，n =1，2，3，…． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 令n b n na n a n (2)1(31⋅⋅-+=-λ为正整数）, 问是否存在非零整数λ, 使得对任意正整数n ，都有n n b b >+1？ 若存在, 求出λ的值 , 若不存在 , 请说明理由．[解]21．（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题7分，第（3）题5分）已知函数xxx x f -+=4log )(3． （1）求)4()(x f x f -+的值；（2）猜测函数)(x f 的图象具备怎样的对称性，并给出证明；（3）若函数)(x f 的图象与直线3,1==x x 及x 轴所围成的封闭图形的面积为S ，求S 的值． [解]22．（本题满分18分．第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）（1）若等比数列{}n a 的前n 项和为a S nn +⋅=23，求实数a 的值；（2）对于非常数数列{}n a 有下面的结论：若数列{}n a 为等比数列，则该数列的前n 项和为B Aa S n n +=（A ，B 为常数）．写出它的逆命题并判断真假，请说明理由．（3）若数列{}n a 为等差数列，则该数列的前n 项和为1().2n n n a a S +=对其逆命题进行研究，写出你的结论，并说明理由． [解]。
上海市浦东新区2016届高三上学期期末质量测试(一模)英语试题 含答案
浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三英语考生注意：1．考试时间120分钟，试卷满分150分。
2．本考试设试卷和答题纸两部分.试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。
所有答題必须涂(选择题）或写（非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
3．答題前,务必在答題纸上填写准考证号和姓名。
第Ⅰ卷（共103分)I. Listening ComprehensionSection ADirections：In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers。
At the end of each conversation, a question will be asked about what was said。
The conversations and the questions will be spoken only once。
After you hear a conversation and the question about it，read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1。
A. At a restaurant。
B。
In a pet shop. C。
At a clinic.D. On a boat.2. A. The woman。
B. The woman’s mother。
C. The man. D。
The children。
3。
A. Teacher and student。
B. Doctor and patient.C。
Husband and wife。
D. Boss and secretary.4. A。
She will go to school in the man's car。
上海市黄浦区2016届高三上学期期末调研测试数学文试题Word版含解析
2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分，共14题，每题4分）1．不等式|x﹣1|＜1的解集用区间表示为．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=．3．直线=3的一个方向向量可以是．4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．若函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为．8．若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=a x+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是．9．在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为（结果用数字作答）．10．在△ABC中，若cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，且AB=2，则BC=．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．12．已知k∈N*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k=．13．已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B 两点，若=2，且||=||，则m=．14．若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）15．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件16．已知x∈R，下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．＞D．＞17．已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞218．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共74分，共有5题）19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．20．如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．21．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y．（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．22．已知a1，a2，…，a n是由m（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{b n}满足b n=n+1﹣a k（k=1，2，…，n）．（1）当n=3时，写出数列{a n}和{b n}，使得a2=3b2；（2）证明：当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（3）若c1，c2，…，c n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出c k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+nc n．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））23．已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与C交于点A、B 和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）若a=4，b=3，且ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1的方程为bx﹣ay=0，l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，证明：d12+d22=；（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分，共14题，每题4分）1．不等式|x﹣1|＜1的解集用区间表示为（0，2）．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】直接将不等式|x﹣1|＜1等价为：﹣1＜x﹣1＜1，解出后再用区间表示即可．【解答】解：不等式|x﹣1|＜1等价为：﹣1＜x﹣1＜1，解得，0＜x＜2，即原不等式的解集为{x|0＜x＜2}，用区间表示为：（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及解集的表示方法，属于基础题．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=π．【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π．故答案为：π．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．直线=3的一个方向向量可以是（﹣2，﹣1）．．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；矩阵和变换．【分析】平面中，直线方程Ax+By+C=0它的一个方向向量是（B，﹣A），由此利用二阶行列式展开式能求出直线的一个方向向量．【解答】解：∵直线=3，∴x﹣2y﹣3=0．∴直线=3的一个方向向量可以是（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查直线的方向向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】利用熔化前后球的体积的不变性，建立等式关系进行求解即可．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即．故答案为：．【点评】本题主要考查球的体积公式的计算和应用，利用体积相等是解决本题的关键，比较基础．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；极限思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设数列中的任意一项为a，利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和列方程，即可求得公比．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式，是基础的计算题．6．若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象，从而结合图象解得．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用．7．若函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为a＞1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数f （x ）=+为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出实数a 的取值范围．【解答】解：∵函数f （x ）=+为偶函数且非奇函数，∴f （﹣x ）=f （x ），且f （﹣x ）≠﹣f （x ），又，∴a ≥1．a=1，函数f （x ）=+为偶函数且奇函数，故答案为：a ＞1． 【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．若对任意不等于1的正数a ，函数f （x ）=a x+2的反函数的图象都经过点P ，则点P 的坐标是 （1，﹣2） ．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由指数函数可知图象经过点（﹣2，1），再由反函数可得．【解答】解：∵当x+2=0，即x=﹣2时，总有a 0=1，∴函数f （x ）=a x+2的图象都经过点（﹣2，1），∴其反函数的图象必经过点P （1，﹣2）故答案为：（1，﹣2）【点评】本题考查指数函数的单调性和特殊点，涉及反函数，属基础题．9．在（a+b ）n 的二项展开式中，若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为 70 （结果用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理．【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和为2n ，展开式中中间项的二项式系数最大．【解答】解：据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n ， ∴2n =256，解得n=8，展开式共n+1=8+1=9项，据中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为=70．故答案为：70．【点评】本题考查二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和是2n；展开式中中间项的二项式系数最大．10．在△ABC中，若cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，且AB=2，则BC=2．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，可得cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，由范围A，B，C∈（0，π），结合三角形内角和定理，三角函数的图象和性质可得：①，或②，可解得A，B，C，利用正弦定理可得BC的值．【解答】解：∵cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，cos（A+2C﹣B）≤1，sin（B+C﹣A）≤1，∴cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，∵A，B，C∈（0，π），∴A+2C﹣B∈（﹣π，3π），B+C﹣A∈（﹣π，2π），∴由正弦函数，余弦函数的图象和性质可得：A+2C﹣B=0或2π，B+C﹣A=，∴结合三角形内角和定理可得：①，或②，由①可得：A=，B=，C=，由②可得：A=，B=﹣，C=，（舍去），∴由AB=2，利用正弦定理可得：，解得：BC=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质，三角形内角和定理的综合应用，考查了转化思想和计算能力，利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角是解题的关键，属于中档题．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，先求出基本事件总数，再求出选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数，由此能求出选择的2天恰好为连续2天的概率．【解答】解：某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，基本事件总数为n==10，选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数m=4，∴选择的2天恰好为连续2天的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知k∈N*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k=1．【考点】曲线与方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】曲线x2+y2=k2与曲线xy=k联立，可得x4﹣k2x2+k2=0，利用△=0，求出k，结合k∈N*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，即可求出k．【解答】解：曲线x2+y2=k2与曲线xy=k联立，可得x4﹣k2x2+k2=0∴△=k4﹣4k2=0，∴k=2，∵k∈N*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，∴k=1．故答案为：1．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，利用已知条件求出A，B的坐标，通过向量关系求出m值即可．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，可得|m﹣1|=，解得m=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．14．若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，结合•=•=•，可得，．然后代入数量积求夹角公式求解．【解答】解：由+2+3=，得，代入•=•，得，即．再代入•=•，得，即．∴cos===﹣．∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）15．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也不必要条件【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】阅读型；对应思想；分析法；数系的扩充和复数．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z ，若z+=0，z 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z 为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件． 故选：B ．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．16．已知x ∈R ，下列不等式中正确的是（ ）A ．＞B ．＞C ．＞D ．＞【考点】不等式比较大小．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】举反例可排除A 、B 、D ，再证明C 正确即可．【解答】解：取x=0可得=1=，故A 错误；取x=0可得=1=，故B 错误；取x=1可得==，故D 错误；选项C ，∵x 2+2＞x 2+1＞0，∴＞，故正确．故选：C【点评】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．17．已知P 为直线y=kx+b 上一动点，若点P 与原点均在直线x ﹣y+2=0的同侧，则k ，b 满足的条件分别为（ ） A ．k=1，b ＜2B ．k=1，b ＞2C ．k ≠1，b ＜2D ．k ≠1，b ＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】设出P的坐标，根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系，结合不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：∵P为直线y=kx+b上一动点，∴设P（x，kx+b），∵点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，∴（x﹣kx﹣b+2）（0﹣0+2）＞0，即2[（1﹣k）x+2﹣b]＞0恒成立，即（1﹣k）x+2﹣b＞0恒成立，则1﹣k=0，此时2﹣b＞0，得k=1且b＜2，故选：A．【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用条件转化为不等式关系是解决本题的关键．18．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形【考点】等差数列的通项公式；三角形中的几何计算．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论．【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D．由C可知不正确．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共74分，共有5题）19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：（1）因为侧棱AA′⊥底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA′的长，而底面三角形ABC的面积S=AC•BC=6，周长c=4+3+5=12，=ch+2S△ABC=132．于是三棱柱的表面积S全（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，A′H为三棱柱的高．因为侧棱AA′与底面ABC所长的角为60°，所以∠A′AH=60°，又底面三角形ABC的面积S=6，故三棱柱的体积V=S•A′H=6×=30．【点评】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键．20．如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数的定义直接表示A，B坐标；（2）设出M，利用向量的数量积为0，得到关系式，然后求解点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA 为终边的角设为α，可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈[﹣，]．综上x∈[﹣，0）∪（0，]．点M横坐标的取值范围：[﹣，0）∪（0，]．【点评】本题考查平面向量的数量积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力．21．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y．（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由∠EOF=，可得∠COF+∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE）==1，化简可得函数的解析式，由0≤y≤4求得x的范围；﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF，运用三角形的面积公式，（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC设t=x+4，求得S的表达式，运用基本不等式可得最小值和x的值．【解答】解：（1）由∠EOF=，可得∠COF+∠AOE=，即有tan∠COF=，tan∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE）==1，即有y=，由y≤4，解得x≥，则函数的解析式为y=，（≤x≤4）；﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC=4×5﹣×5y﹣×4x﹣×（4﹣y）（5﹣x）=20﹣•﹣2x﹣（5﹣x）•=20+（≤x≤4），令t=x+4（≤t≤8），即有S=20+（5t+﹣80）≥20+（2﹣80）=20﹣20．当且仅当5t=即t=4，此时x=4﹣4，△OEF的面积取得最小值，且为20﹣20．【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用两角和的正切公式，考查三角形的面积的最小值，注意运用间接法求面积，再由换元法和基本不等式，属于中档题．22．已知a1，a2，…，a n是由m（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{b n}满足b n=n+1﹣a k（k=1，2，…，n）．（1）当n=3时，写出数列{a n}和{b n}，使得a2=3b2；（2）证明：当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（3）若c1，c2，…，c n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出c k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+nc n．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））【考点】数列递推式；数列的应用．【专题】综合题；函数思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）取n=3，可得数列{a n}，结合b k=n+1﹣a k求得数列{b n}，验证a2=3b2得答案；（2）若a k=b k，则有a k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），得到，由n为正偶数，得n+1为大于1的正奇数，故不为正整数，结合a1，a2，…，a n是均为正整数，说明不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（3）由题意可得，c k=n﹣（k﹣1）=（n+1）﹣k，然后利用数列的分组求和得答案．【解答】（1）解：当n=3时，数列{a n}为：1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1．当{a n}为：1，2，3时，此时对应的{b n}为：3，2，1，不满足题意；依次可得满足题意的数列{a n}和{b n}分别为：{a n}：1，3，2，{b n}：3，1，2；或{a n}：2，3，1，{b n}：2，1，3．（2）证明：若a k=b k（k=1，2，…，n），则有a k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），于是，当n为正偶数时，n+1为大于1的正奇数，故不为正整数，∵a1，a2，…，a n是均为正整数，∴不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（3）解：由题意可得，c k=n﹣（k﹣1）=（n+1）﹣k，∴S n=c1+2c2+…+nc n=[（n+1）﹣1]+2[（n+1）﹣2]+…+n[（n+1）﹣n]=（1+2+…+n）（n+1）﹣（12+22+…+n2）==．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的应用，考查数列的函数特性，属难题．23．已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与C交于点A、B 和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）若a=4，b=3，且ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1的方程为bx﹣ay=0，l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，证明：d12+d22=；（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意，直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，利用，可得x12=x22=，根据对称性，求出正方形的面积；（2）利用距离公式，结合d12+d22为定值，即可证明结论；（3）设出切线AC的方程与椭圆方程联立，分类讨论，即可求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）由题意，直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设A（x1，y1），B（x2，y2）为方程组的解，可得x12=x22=，根据对称性，正方形的面积S=4x12=；（2）设l1的方程为y=kx（k≠0），l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），d12+d22=+=为定值，∴k=±，∴d12+d22=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），于是切线AC的方程为x0x+y0y=1 A（x1，y1），C（x2，y2）为x0x+y0y=1与椭圆联立的方程（b2y02+a2x02）x2﹣2x0a2x+a2（1﹣b2y02）=0的解，①x0=0或y0=0时，ACBD为正方形，椭圆过点（1，1），∴+=1；②x0≠0且y0≠0时，x1x2=，同理y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∵x02+y02=1，∴a2+b2=a2b2，∴+=1．综上所述，+=1．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
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浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 （含答案） 2016.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<，则R A C B =I []2,32．已知向量()2,1,(1,)a b m =-=r r 平行，则m = 23．关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵 2312⎛⎫⎪-⎝⎭4．计算：1132lim 32n nn n n ++→∞-+ 35．若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位）6．()1021x +的二项展开式中的第八项为 3960x7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里（精确到0.1海里） 8．已知3cos(),,252ππααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭9．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点，则AE 与平面11BCC B 所成的角为552arctan．（2arcsin 3，）（结果用反三角表示） 10．已知函数()f x 的图像与()2xg x =的图像关于直线y x =对称，令()(1)h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称； ②()h x 的图像关于y 轴对称； ③()h x 的最大值为0； ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。
其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。
A111．有一列向量{}n a u u r ：111222(,),(,),,(,),n n n a x y a x y a x y ===u r u u r u u rL 如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列。
已知等差向量列{}n a u u r，满足1(20,13)a =-u r ，3(18,15)a =-u r，那么这列向量{}n a u u r 中模最小的向量的序号n =__4或5__。
12．已知()()2sin ,f x x g x π==则()f x 与()g x 图像交点的横坐标之和为__17___.二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．如果0a b >>，那么下列不等式中不．正确的是…………………………………（ B ） ()A 11a b < ()B 11a b> ()C 2ab b > ()D 2a ab > 14．设:1x α=且2y =，:3x y β+=，α是β成立的…………………………（ A ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件15．方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴的椭圆，则实数k 的取值范围是…………（ D ）()A 4k > ()B 4k = ()C 4k < ()D 04k <<16．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是…………（ C ）()A 14 ()B 13 ()C 12()D 1617．直线0ax by +=与圆220x y ax by +++=的位置关系是………………………（ B ） ()A 相交 ()B 相切()C 相离 ()D 不能确定18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -的值为……………………………………………………（ A ）()A 4 ()B 3 ()C 2 ()D 119．设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当0x π≤<时，()0f x =，则23()6f π=……………………………………………………………………………………（ A ）()A 12 ()B ()C 0 ()D 12-20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于…………… ( D )()A S S 2 ()B πS S 2 ()C S S4()D πS S 4 21．已知函数()f x 存在反函数1()fx -，若函数()1y f x =+过点()3,3，则函数()1f x -恒过点…………………………………………………………………………………………（ B ）()A ()4,3 ()B ()3,4 ()C ()3,2 ()D ()2,322．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的45处，再自由落下，又弹回到上一次高度的45处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为……………………………………………………………………………………………（ C ）()A 50 ()B 80 ()C 90 ()D 10023．符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②()f x 是奇函数，③()f x a <（常数0a >），④()f x 在(0,)+∞上单调递增， ⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量0x ，使0()f x d >。
下列四个函数中12()arctan af x x π=， 22()1ax xf x x =+ ，310()0010a x x f x x a x x ⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪--<⎩，421()21x x f x a ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭中“S 函数”的个数为…………（ D ）()A 1个 ()B 2个()C 3个 ()D 4个24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中,x y r u r分别为点O 到两个顶点的向量. 若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成为ax b y +r u r的形式，则a b +的最大值为（ C ）()A 3 ()B 4()C 5 ()D 6三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 注：其他解法相应给分25．（本题满分8分）已知OC ,OB ,OA 交与点O ，OB //AD 21，F ,E 分别为OC ,BC 的中点.求证：//DE 平面AOC ．证明：在OBC ∆中，因为F ,E 分别为OC ,BC 的中点，所以1//2FE OB ……………………………………………………………………………2分 又因为1//2AD OB ，所以由平行公理和等量代换知，//FE AD ，A BODF EC所以四边形ADEF 是平行四边形……………………………………………………4分 所以AF //DE …………………………………………………………………………6分 又因为AF Ü平面AOC ，所以//DE 平面AOC …………………………………8分 26．（本题满分8分）已知函数()2sin f x x =,将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位，再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =的解析式，并写出它的单调递增区间．解：由()y f x =，将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位，得2sin()6y x π=-……2分再把横坐标缩短到原的12（纵坐标不变），得到()2sin(2)6g x x π=-。
…………………4分 由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，可得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以()y g x =的单调递增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………8分27．（本题满分8分，第1小题4分、第2小题4分）已知两个向量()()2221log ,log ,log ,1a x x b x =+=r r（1）若a b ⊥r r，求实数x 的值；（2）求函数1(),,24f x a b x ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦r r 的值域。
解：（1）()222,1log log log 0a b x x x ⊥∴+⋅+=r rQ22log (log 2)0x x ⇒⋅+= 22log 0log 2x x ∴==-或经检验114x x ==或为所求的解；………………………………………………4分 （2）由条件知()2222()log (log 2)log 11f x x x x =⋅+=+-[]21,2,log 2,14x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦Q[]()[]222log 11,2log 10,4x x ∴+∈-⇒+∈所以值域为[]1,3-。
………………………………………………………………8分 28．（本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分) 已知数列{}n a 的前n 项的和23122n S n n =-， （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）当2≥n 时，λλ≥++nn a a 1恒成立，求λ的取值范围.解: （1）Q =n S n n 21232- 231-=-=∴-n S S a n n n ()2≥n …………………………………………2分当1=n 时也成立, 11a =23-=∴n a n（2）λλ≥++n n a a 1⇒λλ≥-++2313n n ⇒()())1(32313--+n n n λ≥ 设=n b ()())1(32313--+n n n=-+n n b b 1()()-++n n n 34313()())1(32313--+n n n ()()()132313--+=n n n n 0>∴n b 的最小值为3282=b ,328≤∴λ. 29．（本题满分14分，第1小题4分、第2小题5分、第3小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(00y x P 、直线:l 0=++c by ax ，我们称δ=),(00y x P 到直线:l 0=++c by ax 的方向距离。
（1）设椭圆1422=+y x 上的任意一点),(y x P 到直线02:,02:21=+=-y x l y x l 的方向距离分别为21δδ、，求21δδ的取值范围。