古扎拉蒂《计量经济学基础》第10章

具体可进一步对上述回归方程作F检验：
构造如下F统计量
Fj
(1
R
2 j
/
(k
2)
R
2 j
)
/
(
n
k
1)
F (k
2, n
k
1)
式中：Rj•2为第j个解释变量对其他解释变 量的回归方程的决定系数，
若存在较强的共线性，则Rj•2较大且接近于 1，这时（1-Rj•2）较小，从而Fj的值较大。
因此，给定显著性水平，计算F值，并与 相应的临界值比较，来判定是否存在相关性。
2 x32i
x22i x32i ( x2i x3i )2
2
x22i (1 r223 )
Var(ˆ3 )
2 x22i
x22i x32i ( x2i x3i )2
2
x32i (1 r223 )
当r23=0时，即解释变量X2,X3完全线性无关
时，
Var(ˆ2 )
2
x22i ,
变量之间存在共线性。
1．检验多重共线性是否存在 （1）对两个解释变量的模型，采用简单相 关系数法 求出X1与X2的简单相关系数r，若|r|接近 1，则说明两变量存在较强的多重共线性。 （2）对多个解释变量的模型，采用综合统 计检验法 若在OLS法下：R2与F值较大，但t检验值较 小，说明各解释变量对Y的联合线性作用显著， 但各解释变量间存在共线性而使得它们对Y的独 立作用不能分辨，故t检验不显著。
Var(ˆ3 )
2
x32i
这时，二元线性回归的OLS估计量的方差相 当于分别作被解释变量关于各个解释变量的一 元线性回归估计。
当r23=1时，即解释变量X2,X3完全正线性相 关时，由上可知，二元模型OLS估计量的方差式 中分母为0，即方差为∞。这也从另一个侧面说 明了解释变量完全线性相关时,OLS估计量无解。
另一等价的检验是：
在模型中排除某一个解释变量Xj，估计模 型； 如果拟合优度与包含Xj时十分接近，则说 明Xj与其它解释变量之间存在共线性。
（2）逐步回归法
以Y为被解释变量，逐个引入解释变量， 构成回归模型，进行模型估计。 根据拟合优度的变化决定新引入的变量是 否独立。 如果拟合优度变化显著，则说明新引入的 变量是一个独立解释变量； 如果拟合优度变化很不显著，则说明新引 入的变量与其它变量之间存在共线性关系。
2．判明存在多重共线性的范围 如果存在多重共线性，需进一步确定究竟 由哪些变量引起。 （1）判定系数检验法
使模型中每一个解释变量分别以其余解释 变量为解释变量进行回归，并计算相应的拟合 优度。
如果某一种回归 Xji=1X1i+2X2i+LXLi
的判定系数较大,说明Xj与其他X间存在共线性。
三、多重共线性的后果 1．完全共线性下参数估计量不存在
Y Xβ
的OLS估计量为：
ˆ ( X X )1 X Y
如果存在完全共线性，则(X’X)-1不存在， 无法得到参数的估计量。
2．不完全多重共线性的后果 当模型解释变量之间出现不完全多重共线 性时，普通最小二乘估计方法虽然有解，但是 参数估计量的方差会无限增大，从而产生4种 结果。 为什么参数估计量的方差无限增大 以二元线性回归模型为例来说明解释变量 的线性相关程度较高时，会使OLS估计量的方 差很大。
（4）预测可信度低
[Yˆf T /2 SE(e f ) , Yˆf T /2 SE(e f )]
由于模型回归估计的可信度较低，使预测 结果的可信度也降低。一般来说，预测结果不 可信。但是，如果样本期间解释变量之间的线 性相关关系在所预测的未来期仍然存在，多重 共线性模型的预测结果仍是可用的，但是模型 不能用于做结构分析等。
不完全多重共线性时，Rank（X）=k，满 秩，系数可以估计，但是会导致模型估计结果 出现问题。 注意：解释变量之间不存在线性关系，并 不意味着不存在非线性关系，当解释变量之间 存在非线性关系时，并不违反无多重共线性的 假定。
一个总结 首先，无多重共线性的假定是对理论（即 PRF）模型而言。实际上，当为经验分析搜集 数据时，不能保证回归元之间不存在相关。
10.2 重难点导学
一、多重共线性的性质：符号与假定
多 重 共 线 性 （ multicollinearity） 回归模型中的一些或全部解释变量（样本向量） 之间存在“完全”的线性关系。 即 ， 对 向 量 X 1 , X 2 , X k , 存 在 不 全 为0的
一 组 常 数 1 , 2 , k 使 得 1 X 1 2 X 2 k X k 0
完全多重共线性 当解释变量之间完全线性相关时，称解释 变量为完全多重共线性。 完全多重共线性即其中某一解释变量可以 用其余解释变量线性表示(比如： X2=0.5×X3+0.8×X4)。 这种情况在现实经济问题中一般不会出现。
完全多重共线性的数学意义
Y Xβ U
当rank(X)<k时，表示
以上结论可以推广到多个解释变量的线 性回归模型中去。对于二元以上的线性回归 模型，衡量其线性相关的指标为解释变量之 间的多重相关系数，当多重相关系数比较高 时，带来较为严重的多重共线性。
（2）t检验通不过，可能误删重要解释变 量。T统计量=系数值/标准差。由于方差增大， 使估计量的标准差也增大，于是t-统计量值被 低估，t-显著性检验的结果可能不显著，但是 这种不显著可能并不是解释变量本身对被解释 变量的线性影响不显著，而是由于解释变量之 间的多重共线性所造成的。
2．第二类方法：差分法 时间序列数据、线性模型：将原模型变换 为差分模型:
Yi=1X1i+2X2i++kXki+i 可以有效地消除原模型中的多重共线性。
一般讲，增量之间的线性关系远比总量之 间的线性关系弱得多。
3．第三类方法：减小参数估计量的方差
多重共线性的主要后果是参数估计量具有 较大的方差，所以采取适当方法减小参数估计 量的方差,虽然没有消除模型中的多重共线性， 但确能消除多重共线性造成的后果。 例如： ①增加样本容量，可使参数估计量的方差 减小。
Var(ˆ2 )
2 x32i
x22i x32i ( x2i x3i )2
2
x22i (1 r223 )
Var(ˆ3 )
2 x22i
x22i x32i ( x2i x3i )2
2
x32i (1 r223 )
上面两式表明，解释变量之间的线性相关 程度越高，即越接近于1，这时方差的分母就越 小，从而方差就越大。另一方面，还可看出， 该模型式当解释变量存在线性相关关系时，其 OLS估计量的方差是线性无关时方差的 1
（2）滞后变量的引入
在经济计量模型中，往往需要引入滞后 经济变量来反映真实的经济关系。例如，消 费=f(当期收入，前期收入） 显然,两期收入间有较强的线性相关性。
（3）样本资料的限制
由于完全符合理论模型所要求的样本数据
较难收集，抽样时，部分指标在一定抽样范围 内的样本间正好表现出了相关性，即特定样本 可能存在某种程度的多重共线性。 一般经验： 时间序列数据样本：简单线性模型，往往 存在多重共线性。 截面数据样本：问题不那么严重，但多重 共线性仍然是存在的。
例：对离差形式的二元回归模型
y 1 x1 2 x2
如果两个解释变量完全相关，如x2=x1，则
y (1 2 )x1
这时，只能确定综合参数1+2的估计值：
1 2 x1i yi / x12i
Yt 1 2 X 2t 3 X 3t ut
(t 1, 2,, n)
Var(ˆ2 )
二、实际经济问题中的多重共线性
一般地，产生多重共线性的主要原因有以 下一个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经 济变量（收入、消费、投资、价格）都趋于增 长；衰退时期，又同时趋于下降。 横截面数据：生产函数中，资本投入与劳 动力投入往往出现高度相关情况，大企业二者 都大，小企业都小。
1 r223
倍。
VIF
1 1 r223
当r23=0.8时，OLS估计量的方差是线性无关 时的2.78倍，即方差膨胀因子为2.78；当 r23=0.95时，方差膨胀因子等于10；当 r23=0.999时，方差膨胀因子等于500，这时方差 为解释变量线性无关时方差的500倍。由此可见 ，多重共线性使方差的增大是十分惊人的。
1．违反非随机假定，工具变量法 2．违反零均值假定，对截距项估计有影响 3．违反同方差假定，异方差现象 4．违反无自相关假定，称自相关 5．违反无多重共线性假定，本章内容 6．违反 正态性假定，不影响最小二乘估计的性
质，不予讨论
本章介绍计量经济学模型经典假设中违背 解释变量线性无关时的情况,这时称之多重共线 性模型。多重共线性分为完全多重共线性与不 完全多重共线性两类。 完全多重共线性指模型中的解释变量之间 完全线性相关,不完全多重共线性指模型中解释 变量之间的线性相关程度较高。
事实上，在本章稍后的说明性例子中将会 发现，在多数应用研究中，几乎不可能找到两 个或多个在某种程度上不相关的(经济)变量。 只是要求不存在非常精确的线性关系。
其次，记住只是在讨论两个或多个变量之 间的完全线性关系。多重共线性并不排除变量 之间的非线性关系。假设X3i=X2i2，这就不违背 不完全共线性的假定，因为变量之间的关系不 是线性的。
1．X1, X2, …,Xk 是非随机的； 2．E(u i) = 0 ，零均值 3．Var(ui)=σ2 i=1,2,… ,n同方差 4．Cov(ui,uj)= 0 i≠j,i,j=1,2,… ,n 无自相关 5．X1, X2, …,Xk 线性无关；无多重共线性 6．ui～N(0,σ2 ) 正态性
五、克服多重共线性的方法
如果模型被检验证明存在多重共线性，则需 要发展新的方法估计模型，最常用的方法有三类。
1．第一类方法：排除引起共线性的变量 找出引起多重共线性的解释变量，将它排 除出去。 以逐步回归法得到最广泛的应用。 注意： 这时，剩余解释变量参数的经济含义和数 值都发生了变化。
国内外经典教材名师讲堂
古扎拉蒂《计量经济学基础》
第10章 多重共线性：回归元 相关会怎么样
主讲老师：李庆海
10.1 本章要点
●多重共线性的性质 ●出现多重共线性时的估计问题 ●出现高度但不完全多重共线性时的估计问题 ●多重共线性的理论后果 ●多重共线性的实际后果 ●多重共线性的侦查 ●多重共线性的补救措施
这时，如果仍按照t-显著性检验的原则将 不显著的解释变量去掉，则会误删掉本来对被 解释变量是有重要影响的解释变量，而t-检验 显著的变量未必是最好的解释变量。比如，消 费模型中有可能将收入变量误删除掉。 （3）模型参数稳定性差。参数的OLS估计 量及方差均对样本的变化反应十分敏感，缺乏 稳定性，从而不可信。
注意： 除非是完全共线性，多重共线性并不意味 着任何基本假设的违背； 因此，即使出现较高程度的多重共线性， OLS估计量仍具有线性性等良好的统计性质。 问题在于，即使OLS法仍是最好的估计方 法，它却不是“完美的”，尤其是在统计推断 上无法给出真正有用的信息。
四、多重共线性的检验
多重共线性表现为解释变量之间具有相关 关系，所以用于多重共线性的检验方法主要是 统计方法：如判定系数检验法、逐步回归检验 法等。 多重共线性检验的任务是： （1）检验多重共线性是否存在； （2）估计多重共线性的范围，即判断哪些
Y1
Y
Y2
Yn
1
2
k
1
X
1
X 21
X 22
X X
k1 k2
矩阵X中，至少有一个列 向量可以用其余列向量线
1
X2n
X kn
性表示。|x'x|=0
u1
wk.baidu.com
U
u2
un
此时，
ˆ ( X X )1 X Y
无法估计
不完全多重共线性 当解释变量之间虽然不是完全线性相关， 但其线性相关程度较高时，即解释变量之间的 多重相关系数较高时，称解释变量为不完全多 重共线性。 这种情况在现实经济问题中比较常见。