古扎拉蒂《计量经济学基础》第10章

二、实际经济问题中的多重共线性
一般地，产生多重共线性的主要原因有以 下一个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经 济变量（收入、消费、投资、价格）都趋于增 长；衰退时期，又同时趋于下降。 横截面数据：生产函数中，资本投入与劳 动力投入往往出现高度相关情况，大企业二者 都大，小企业都小。
三、多重共线性的后果 1．完全共线性下参数估计量不存在
Y Xβ
的OLS估计量为：
ˆ ( X X )1 X Y
如果存在完全共线性，则(X’X)-1不存在， 无法得到参数的估计量。
2．不完全多重共线性的后果 当模型解释变量之间出现不完全多重共线 性时，普通最小二乘估计方法虽然有解，但是 参数估计量的方差会无限增大，从而产生4种 结果。 为什么参数估计量的方差无限增大 以二元线性回归模型为例来说明解释变量 的线性相关程度较高时，会使OLS估计量的方 差很大。
10.2 重难点导学
一、多重共线性的性质：符号与假定
多 重 共 线 性 （ multicollinearity） 回归模型中的一些或全部解释变量（样本向量） 之间存在“完全”的线性关系。 即 ， 对 向 量 X 1 , X 2 , X k , 存 在 不 全 为0的
一 组 常 数 1 , 2 , k 使 得 1 X 1 2 X 2 k X k 0
（2）滞后变量的引入
在经济计量模型中，往往需要引入滞后 经济变量来反映真实的经济关系。例如，消 费=f(当期收入，前期收入） 显然,两期收入间有较强的线性相关性。
（3）样本资料的限制
由于完全符合理论模型所要求的样本数据
较难收集，抽样时，部分指标在一定抽样范围 内的样本间正好表现出了相关性，即特定样本 可能存在某种程度的多重共线性。 一般经验： 时间序列数据样本：简单线性模型，往往 存在多重共线性。 截面数据样本：问题不那么严重，但多重 共线性仍然是存在的。
注意： 除非是完全共线性，多重共线性并不意味 着任何基本假设的违背； 因此，即使出现较高程度的多重共线性， OLS估计量仍具有线性性等良好的统计性质。 问题在于，即使OLS法仍是最好的估计方 法，它却不是“完美的”，尤其是在统计推断 上无法给出真正有用的信息。
四、多重共线性的检验
多重共线性表现为解释变量之间具有相关 关系，所以用于多重共线性的检验方法主要是 统计方法：如判定系数检验法、逐步回归检验 法等。 多重共线性检验的任务是： （1）检验多重共线性是否存在； （2）估计多重共线性的范围，即判断哪些
1．违反非随机假定，工具变量法 2．违反零均值假定，对截距项估计有影响 3．违反同方差假定，异方差现象 4．违反无自相关假定，称自相关 5．违反无多重共线性假定，本章内容 6．违反 正态性假定，不影响最小二乘估计的性
质，不予讨论
本章介绍计量经济学模型经典假设中违背 解释变量线性无关时的情况,这时称之多重共线 性模型。多重共线性分为完全多重共线性与不 完全多重共线性两类。 完全多重共线性指模型中的解释变量之间 完全线性相关,不完全多重共线性指模型中解释 变量之间的线性相关程度较高。
不完全多重共线性时，Rank（X）=k，满 秩，系数可以估计，但是会导致模型估计结果 出现问题。 注意：解释变量之间不存在线性关系，并 不意味着不存在非线性关系，当解释变量之间 存在非线性关系时，并不违反无多重共线性的 假定。
一个总结 首先，无多重共线性的假定是对理论（即 PRF）模型而言。实际上，当为经验分析搜集 数据时，不能保证回归元之间不存在相关。
（4）预测可信度低
[Yˆf T /2 SE(e f ) , Yˆf T /2 SE(e f )]
由于模型回归估计的可信度较低，使预测 结果的可信度也降低。一般来说，预测结果不 可信。但是，如果样本期间解释变量之间的线 性相关关系在所预测的未来期仍然存在，多重 共线性模型的预测结果仍是可用的，但是模型 不能用于做结构分析等。
事实上，在本章稍后的说明性例子中将会 发现，在多数应用研究中，几乎不可能找到两 个或多个在某种程度上不相关的(经济)变量。 只是要求不存在非常精确的线性关系。
其次，记住只是在讨论两个或多个变量之 间的完全线性关系。多重共线性并不排除变量 之间的非线性关系。假设X3i=X2i2，这就不违背 不完全共线性的假定，因为变量之间的关系不 是线性的。
1 r223
倍。
VIF
1 1 r223
当r23=0.8时，OLS估计量的方差是线性无关 时的2.78倍，即方差膨胀因子为2.78；当 r23=0.95时，方差膨胀因子等于10；当 r23=0.999时，方差膨胀因子等于500，这时方差 为解释变量线性无关时方差的500倍。由此可见 ，多重共线性使方差的增大是十分惊人的。
完全多重共线性 当解释变量之间完全线性相关时，称解释 变量为完全多重共线性。 完全多重共线性即其中某一解释变量可以 用其余解释变量线性表示(比如： X2=0.5×X3+0.8×X4)。 这种情况在现实经济问题中一般不会出现。
完全多重共线性的数学意义
Y Xβ U
当rank(X)<k时，表示
五、克服多重共线性的方法
如果模型被检验证明存在多重共线性，则需 要发展新的方法估计模型，最常用的方法有三类。
1．第一类方法：排除引起共线性的变量 找出引起多重共线性的解释变量，将它排 除出去。 以逐步回归法得到最广泛的应用。 注意： 这时，剩余解释变量参数的经济含义和数 值都发生了变化。
1．X1, X2, …,Xk 是非随机的； 2．E(u i) = 0 ，零均值 3．Var(ui)=σ2 i=1,2,… ,n同方差 4．Cov(ui,uj)= 0 i≠j,i,j=1,2,… ,n 无自相关 5．X1, X2, …,Xk 线性无关；无多重共线性 6．ui～N(0,σ2 ) 正态性
Y1
Y
Y2
Yn
1
2
k
1
X
1
X 21
X 22
X X
k1 k2
矩阵X中，至少有一个列 向量可以用其余列向量线
1
X2n
X kn
性表示。|x'x|=0
u1
U
u2
un
此时，
ˆ ( X X )1 X Y
无法估计
不完全多重共线性 当解释变量之间虽然不是完全线性相关， 但其线性相关程度较高时，即解释变量之间的 多重相关系数较高时，称解释变量为不完全多 重共线性。 这种情况在现实经济问题中比较常见。
变量之间存在共线性。
1．检验多重共线性是否存在 （1）对两个解释变量的模型，采用简单相 关系数法 求出X1与X2的简单相关系数r，若|r|接近 1，则说明两变量存在较强的多重共线性。 （2）对多个解释变量的模型，采用综合统 计检验法 若在OLS法下：R2与F值较大，但t检验值较 小，说明各解释变量对Y的联合线性作用显著， 但各解释变量间存在共线性而使得它们对Y的独 立作用不能分辨，故t检验不显著。
具体可进一步计量
Fj
(1
R
2 j
/
(k
2)
R
2 j
)
/
(
n
k
1)
F (k
2, n
k
1)
式中：Rj•2为第j个解释变量对其他解释变 量的回归方程的决定系数，
若存在较强的共线性，则Rj•2较大且接近于 1，这时（1-Rj•2）较小，从而Fj的值较大。
因此，给定显著性水平，计算F值，并与 相应的临界值比较，来判定是否存在相关性。
这时，如果仍按照t-显著性检验的原则将 不显著的解释变量去掉，则会误删掉本来对被 解释变量是有重要影响的解释变量，而t-检验 显著的变量未必是最好的解释变量。比如，消 费模型中有可能将收入变量误删除掉。 （3）模型参数稳定性差。参数的OLS估计 量及方差均对样本的变化反应十分敏感，缺乏 稳定性，从而不可信。
另一等价的检验是：
在模型中排除某一个解释变量Xj，估计模 型； 如果拟合优度与包含Xj时十分接近，则说 明Xj与其它解释变量之间存在共线性。
（2）逐步回归法
以Y为被解释变量，逐个引入解释变量， 构成回归模型，进行模型估计。 根据拟合优度的变化决定新引入的变量是 否独立。 如果拟合优度变化显著，则说明新引入的 变量是一个独立解释变量； 如果拟合优度变化很不显著，则说明新引 入的变量与其它变量之间存在共线性关系。
2．第二类方法：差分法 时间序列数据、线性模型：将原模型变换 为差分模型:
Yi=1X1i+2X2i++kXki+i 可以有效地消除原模型中的多重共线性。
一般讲，增量之间的线性关系远比总量之 间的线性关系弱得多。
3．第三类方法：减小参数估计量的方差
多重共线性的主要后果是参数估计量具有 较大的方差，所以采取适当方法减小参数估计 量的方差,虽然没有消除模型中的多重共线性， 但确能消除多重共线性造成的后果。 例如： ①增加样本容量，可使参数估计量的方差 减小。
Var(ˆ3 )
2
x32i
这时，二元线性回归的OLS估计量的方差相 当于分别作被解释变量关于各个解释变量的一 元线性回归估计。
当r23=1时，即解释变量X2,X3完全正线性相 关时，由上可知，二元模型OLS估计量的方差式 中分母为0，即方差为∞。这也从另一个侧面说 明了解释变量完全线性相关时,OLS估计量无解。
例：对离差形式的二元回归模型
y 1 x1 2 x2
如果两个解释变量完全相关，如x2=x1，则
y (1 2 )x1
这时，只能确定综合参数1+2的估计值：
1 2 x1i yi / x12i
Yt 1 2 X 2t 3 X 3t ut
(t 1, 2,, n)
Var(ˆ2 )
2 x32i
x22i x32i ( x2i x3i )2