2016-2017学年高中数学人教b版高一必修4学业分层测评4_单位圆与三角函数线_word版含解析
2016-2017学年高中数学人教B版必修四学业分层测评 第一章 基本初等函数Ⅱ 学业分层测评7 含答案 精品
学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.设sin 160°＝a ，则cos 340°的值是( ) A.1－a 2 B.1－a 2 C.－1－a 2D.±1－a 2【解析】 因为sin 160°＝a ，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a ，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝1－a 2.【答案】 B2.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B.－35 C.45D.－45【解析】 因为sin(α＋π)＝－sin α，且tan α＝－34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝35，则sin(α＋π)＝－35.【答案】 B3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.－13 B.13 C.223D.－223【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.【答案】 A4.设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C.－1D.1【解析】 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ， 所以sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 【答案】 A5.若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)的值为( ) A.－32 B.32 C.－12D.12【解析】 因为f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32. 【答案】 A 二、填空题6.若a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π，b ＝tan 113π，则a ，b 的大小关系是________.【解析】 a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋34π ＝tan 34π ＝－tan π4，b ＝tan 113π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋23π＝tan 23π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－tan π3，∵0<π4<π3<π2，∴tan π4<tan π3， ∴a >b . 【答案】 a >b7.(2016·徐州高一检测)已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.【解析】 由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin (α－π)－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.【答案】 2 三、解答题8.求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值.【导学号：72010020】【解】 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 9.已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α.【解】 (1)f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝45， 则tan α＝sin αcos α＝－43.[能力提升]1.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A.－23m B.－32m C.23mD.32m【解析】 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ， 从而sin α＝m2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α ＝－32m . 【答案】 B2.计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A.89 B.90 C.892D.45【解析】 原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 【答案】 C3.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是________.【解析】 由条件知⎩⎨⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3，解得sin α＝31010. 【答案】310104.(2016·济宁高一检测)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根.(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值.(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值.【解】 由已知原方程判别式Δ≥0， 即(－a )2－4a ≥0，则a ≥4或a ≤0. 又⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ， (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即a 2－2a －1＝0，所以a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去). 则sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ＋cos θ＝1－ 2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.。
人教B数学必修四课时分层作业4 单位圆与三角函数线 含解析
课时分层作业(四) 单位圆与三角函数线(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上D ．在直线y ＝x 或y ＝－x 上 B [∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上．故选B.]2．如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( ) A ．cos θ＜tan θ＜sin θ B ．sin θ＜cos θ＜tan θ C ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．cos θ＜sin θ＜tan θA [由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP →，余弦线OM →，正切线AT →，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.]3．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 [答案] C4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第二、第三象限的角平分线上C [角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，所以sin α＝－cos α，即sin α＋cos α＝0，所以角α的终边在直线x ＋y ＝0上，所以选C.]5．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．AT >MP >OM [作图如下：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .]7．函数y ＝1－2sin x 的定义域为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) [要使函数有意义，有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′， 其对应的一个角分别为136π，56π，所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z )．]8. 若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，利用三角函数线得到α的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π [利用单位圆作出正弦线、余弦线，所以α的范围是0<α<π3或5π3<α<2π.] 三、解答题9．画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值．[解] 如图，MP →，OM →，AT →分别为正弦线，余弦线和正切线．sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33.10．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域．[解] 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎨⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22，则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z . [等级过关练]1．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角．]2．满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥12的x 的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈ZA [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥12，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z .]3．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5 [在单位圆中分别作角2π5与角6π5，可知6π5为第三象限角，所以cos 6π5<0.又0<π4<2π5<π2，所以2π5的正切线大于正弦线， 即0<sin 2π5<tan 2π5， 所以cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5.]4．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0.④ [若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.]5．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.[证明] 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α，在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α， S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4， 又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2， ∴1＜sin α＋cos α＜π2.。
人教B版高中数学必修四高一作业设计：1.2.2单位圆与三角函数线.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1．2．2 单位圆与三角函数线课时目标 1．理解三角函数线的几何意义，能正确画出三角函数线．2．会利用单位圆中的三角函数线求三角函数值或比较函数值的大小或解三角不等式．1．单位圆与三角函数的定义一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0)． 2．三角函数线三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值．图 示正弦线如上图，α终边与单位圆交于P ，过P 作PM垂直x 轴，有向线段MP 即为正弦线余弦线 如上图，有向线段OM 即为余弦线正切线 如上图，过(1,0)作x 轴的垂线，交α的终边或α终边的反向延长线于T ，有向线段AT即为正切线一、选择题1．如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π43．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1 D ．不能确定4．利用正弦线比较sin 1，sin 1．2，sin 1．5的大小关系是( ) A ．sin 1>sin 1．2>sin 1．5 B ．sin 1>sin 1．5>sin 1．2 C ．sin 1．5>sin 1．2>sin 1 D ．sin 1．2>sin 1>sin 1．55．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－π3，π3B ．⎝⎛⎭⎫0，π3C ．⎝⎛⎭⎫5π3，2πD ．⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 6．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α二、填空题7．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为______________．8．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________．9．不等式tan α＋33>0的解集是______________．10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．三、解答题11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12．12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．能力提升13．求下列函数的定义域．f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22．14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α．1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．2．三角函数的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT ．注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．1．2．2 单位圆与三角函数线 答案作业设计 1．C2．D [角α终边落在第二、四象限角平分线上．] 3．A [设α终边与单位圆交于点P ，sin α＝MP ，cos α＝OM ，则|OM |＋|MP |>|OP |＝1， 即sin α＋cos α>1．]4．C [∵1,1．2,1．5均在⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎫0，π2内随α的增大而逐渐增大， ∴sin 1．5>sin 1．2>sin 1．]5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得D 正确．] 6．A [如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α．]7．⎣⎡⎦⎤π6，5π68．⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 9．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z ． 10．⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈Z 解析 如图所示．∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32．∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )． 即x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z )． 11．解 (1)图1作直线y ＝32交单位圆于A 、B ，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)图2作直线x ＝－12交单位圆于C 、D ，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }． 12．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2 (k ∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2 (k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2．当2k π＋5π4<θ2<2k π＋32π (k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2．13．解 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0. 即⎩⎨⎧sin x >22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z ． 14．证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α．因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α．。
2016_2017学年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4
3.3 三角函数的积化和差与和差化积1.能根据公式S α±β和C α±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)[基础·初探]教材整理 积化和差与和差化积公式 阅读教材P 149内容，完成下列问题. 1.积化和差公式：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].2.和差化积公式：设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y2，β＝x －y2.这样，上面的四个式子可以写成，sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y2cos x －y2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cosx ＋y2cosx －y2； cos x －cos y ＝－2sinx ＋y2sinx －y2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cosB.( )(2)sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sinB.( ) (3)cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) (4)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【精彩点拨】 在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.【自主解答】 (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝32cos 10°cos 50°cos 70°＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos 60°＋cos 40°·cos 70° ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.[再练一题]1.求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值.【解】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用(2016·平原高一检测)已知cos α－cos β＝2，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值.【导学号：72010090】【精彩点拨】 解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解. 【自主解答】 ∵cos α－cos β＝12，∴－2sinα＋β2sinα－β2＝12.① 又∵sin α－sin β＝－13，∴2cosα＋β2sinα－β2＝－13.②∵sinα－β2≠0，∴由①②，得－tanα＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止.[再练一题]2.(2016·银川高一检测)已知sin α＝－45，π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，tanα2的值.【解】 ∵π＜α＜32π，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2＜α2＜34π，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sinα2cosα2＝－2. [探究共研型]三角函数公式在解决三角形问题中的应用探究1 【提示】 注意三角形中的隐含条件的应用，如A ＋B ＋C ＝π，a ＋b >c 等. 探究2 在△ABC 中有哪些重要的三角关系？ 【提示】 在△ABC 中的三角关系：sin(A ＋B )＝sin C ， cos(A ＋B )＝－cos C ， sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2， sin(2A ＋2B )＝－sin 2C ， cos(2A ＋2B )＝cos 2C .在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2.【精彩点拨】 利用和差化积进行转化，转化时要注意A ＋B ＋C ＝π. 【自主解答】 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C2·cosB ＋C2＝2sin B ＋C2cosB ＋C2＋2sin B －C2cosB ＋C2＝2cosB ＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫sinB ＋C 2＋sinB －C 2＝4sin A2sin B2cos C2＝右边，∴原等式成立.证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.[再练一题]3.在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C2.【证明】 由A ＋B ＋C ＝180°， 得C ＝180°－(A ＋B )，即C 2＝90°－A ＋B2， ∴cos C 2＝sin A ＋B 2.∴sin A ＋sin B ＋sin C ＝2sin A ＋B2·cos A －B2＋sin(A ＋B ) ＝2sinA ＋B 2·cosA －B 2＋2sinA ＋B2·cosA ＋B2＝2sinA ＋B 2⎝⎛⎭⎪⎫cosA －B2＋cosA ＋B 2＝2cos C 2·2cos A2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－B 2＝4cos A2cos B 2cos C2，∴原等式成立. [构建·体系]1.计算sin 105°cos75°的值是( ) A.12 B.14 C.－14D.－12【解析】 sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.【答案】 B2.sin 75°－sin 15°的值为( ) A.12 B.22C.32D.－12【解析】 sin 75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B. 【答案】 B3.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )【导学号：72010091】A.12B.14C.1D.22【解析】 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14.∴取最大值14.【答案】 B4.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则sin αcos β＝________.【解析】 sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330.【答案】13305.化简下列各式：(1)cos A ＋cos 120°＋B ＋cos 120°－B sin B ＋sin 120°＋A －sin 120°－A ； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A. 【解】 (1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos Bsin B ＋2cos 120°sin A＝cos A －cos Bsin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sinB －A 22cos A ＋B 2sinB －A2＝tanA ＋B2.(2)原式＝sin A ＋sin 5A ＋2sin 3Asin 3A ＋sin 7A ＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋2sin 3A2sin 5A cos 2A ＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋12sin 5Acos 2A ＋1＝sin 3Asin 5A.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.sin 37.5°cos 7.5°＝( ) A.22 B.24 C.2＋14D.2＋24【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14. 【答案】 C2.(2016·吉林高一检测)sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°＝( )A.14B.12C.2D.4【解析】 原式＝2sin 30°cos 20°sin 35°cos 35°＝cos 20°12sin 70°＝2cos 20°cos 20°＝2.【答案】 C3.若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A.－23B.－13C.13D.23【解析】 ∵cos(α＋β)cos(α－β) ＝12(cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β， ∴cos 2α－sin 2β＝13.【答案】 C4.(2016·沈阳高一检测)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形【解析】 由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12cos(A －B )－12cos(A ＋B )＝1＋cos C 2， ∴12cos(A －B )＋12cos C ＝12＋12cos C ， 即cos (A －B )＝1， ∴A －B ＝0，即A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形. 【答案】 B5.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22C.32D.1【解析】 sin 20°＋s in 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80° ＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】 C 二、填空题6.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最大值是________. 【解析】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝12⎩⎨⎧cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋⎭⎬⎫cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋cos 4x ＝12cos 4x －14.∴取最大值14.【答案】 147.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________. 【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.(2016·日照高一检测)化简：sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝________.【导学号：72010092】【解析】 sin 42°－cos 12°＋sin 54° ＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18° ＝2cos 36°sin 18°＝2cos 36°sin 18°cos 18°cos 18°＝cos 36°sin 36°cos 18°＝2cos 36°sin 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝12.【答案】 12三、解答题9.(2016·济宁高一检测)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论.【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B ＋C 2. ∴y ＝tan A 2＋2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋cos B －C 2＝tan A 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C 22cos B 2cos C 2＝tan A 2＋tan B 2＋tan C 2. 因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变. 10.求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最值. 【解】 f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]，∴取最大值34，取最小值－14. [能力提升]1.若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )A.－2π3B.－π3C.π3D.2π3 【解析】 ∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数，∴β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知：2sin α＋β2cos α－β2 ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin β－α2， ∴tan α－β2＝3，∴α－β2＝π3，∴α－β＝2π3. 【答案】 D2.在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( )A.[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14 【解析】 cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1，∴cos A sin C ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 【答案】 C3.sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°＝________.【解析】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋ 32sin 100°－32sin 60°＝14－12cos 40°－12cos 20°＋32sin 100° ＝14－12×2cos 30°cos 10°＋32cos 10° ＝14－32cos 10°＋32cos 10°＝14. 【答案】 144.已知3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12， ∴32⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α－sin π6＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋sin π6， ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12， ∴sin 2α＝1.。
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.1.1相似三角形判定定理学业分层测评新人教B版选修4_1
1.1.1 相似三角形判定定理(建议用时：40分钟)[学业达标] 一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1111，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )图1111【解析】 △ABC 中，AB ＝2，BC ＝2，∠ABC ＝135°.选项A 的三角形，有一个内角为135°，且该角的两边长分别为1和2，根据相似三角形的判定定理知，两三角形相似，故选A. 【答案】A2.如图1112，在△ABC 中，M 在BC 上，N 在AM 上，CM ＝CN ，且AM AN ＝BM CN ，下列结论中正确的是( )图1112A.△ABM ∽△ACBB.△ANC ∽△AMBC.△ANC ∽△ACMD.△CMN ∽△BCA【解析】 ∵CM ＝CN ，∴∠CMN ＝∠CNM ， ∵∠AMB ＝∠CNM ＋∠MCN ， ∠ANC ＝∠CMN ＋∠MCN ， ∴∠AMB ＝∠ANC .又AM AN ＝BM CN ，∴△ANC ∽△AMB . 【答案】B3.如图1113，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO 等于( )图1113 A.255B.13C.23 D.12 【解析】 ∵AF ⊥DE ， ∴Rt △DAO ∽Rt △DEA ，∴AO DO ＝AE DA ＝12. 【答案】D4.如图1114所示，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG ＝2，则CF 的长为( )图1114 A.4 B.4.5 C.5D.6 【解析】 ∵E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，∴FE ∥BC ，由平行线的性质，得△FEG ∽△CBG ， ∴FG GC ＝EF BC ＝12. 又FG ＝2，∴GC ＝4，∴CF ＝6. 【答案】D 二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1115所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b .则BD ＝________(用a ，b 表示).。
人教版数学高一B版必修4自我小测单位圆与三角函数线
自我小测1．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( )A ．第一象限的角B ．第一、二象限的角C ．第三象限的角D ．第一、三象限的角 2．下列不等式中，成立的是( ) A ．sin 18π⎛⎫-⎪⎝⎭>sin 10π B ．cos 235π⎛⎫- ⎪⎝⎭<cos 174π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．cos 4>cos12 D ．tan 75π<tan 25π⎛⎫- ⎪⎝⎭3．若θ∈02π⎛⎫⎪⎝⎭，，则sin θ＋cos θ的一个可能值是( )A ．23 B ．27πC．42 D ．14．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，我们把1x叫做α的正割，记作sec α；把1y叫做α的余割，记作csc α，则2sec32csc3ππ＝( ) ABC．－3 D．35．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β6．利用三角函数线求cos 2 040°的函数值是__________．7．已知集合E ＝{θ|cos θ<sin θ，0≤θ<2π}，F ＝{θ|tan θ<sin θ，0≤θ<2π}，则E ∩F ＝__________．8．求下列函数的定义域：(1)y(2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 9．利用三角函数线证明：若0<α<β<2π，则有β－α>sin β－sin α．参考答案1．解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限． 答案：D 2．答案：B3．解析：由θ∈02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，知sin θ＋cos θ>1，故选C ． 答案：C4．答案：A 5．答案：D 6．答案：－127．答案：2ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 8．解：(1)如图甲，因为2cos x －1≥0，所以cos x ≥12． 所以x ∈2,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)．(2)如图乙，因为3－4sin 2x >0， 所以sin 2x <34．所以－2<sin x <2． 所以x ∈2,233k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭∪242,233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(k ∈Z)． 9．证明：如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，与角α，β的终边分别交于点Q ，P ，过点P ，Q 分别作OA 的垂线，设垂足分别是M ，N ，则由三角函数定义可知：sin α=NQ ，sin β=MP ． 作QH ⊥MP 于点H ，则HP=MP-NQ=sin β-sin α． 由直观图可知HP< = - =β-α， 即β-α>sin β-sin α．。
2016-2017学年高中数学人教B版必修四学业分层测评 第
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A，B，C关系是()A.B＝A∩CB.B∪C＝CC.A CD.A＝B＝C【解析】钝角大于90°，小于180°，故C B，选项B正确.【答案】 B2.下列是第三象限角的是()A.－110°B.－210°C.80°D.－13°【解析】－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角.故选A.【答案】 A3.终边与坐标轴重合的角α的集合是()A.{α|α＝k·360°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°，k∈Z}【解析】终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.故选D.【答案】 D4.若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是()A.90°－αB.90°＋αC.360°－αD.180°＋α【解析】因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角.【答案】 C5.在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有()A.α＝－βB.α＝k·180°＋β(k∈Z)C.α＝180°＋βD.α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)【解析】因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z).【答案】 D二、填空题6.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________.【解析】根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°.【答案】120°，300°7.设集合A＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°<x<k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.【导学号：72010002】【解析】A∩B＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|k·360°－360°＋150°<x<k·360°－360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|(k－1)·360°＋150°<x<(k－1)·360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}【答案】{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}三、解答题8.在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角.【解】与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.9.若角β的终边落在直线y＝－33x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.【解】∵角β的终边落在直线y＝－33x上，∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}.当－360°＜β＜360°时，角β为－210°，－30°，150°，330°.[能力提升]1.如图1-1-4，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()图1-1-4A.{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}【解析】终边落在直线y＝±x在[0°，360°)内角有45°，135°，225°和315°共四个角，相邻两角之间均相差90°，故终边落在直线y＝±x上的角的集合为{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}.【答案】 D2.已知，如图1-1-5所示.图1-1-5(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【解】(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.。
2016-2017学年高中数学人教B版必修4模块综合测评 Word版含解析
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2015·四川高考)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝()A.2B.3C.4D.6【解析】∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.【答案】 B2.如果一扇形的弧长为2π cm，半径等于2 cm，则扇形所对圆心角为()A.2πB.πC.π2 D.3π2【解析】θ＝lr＝2π2＝π.【答案】 B3.设α是第二象限的角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x5，则tan α＝()A.43 B.34C.－34 D.－43【解析】∵点P(x,4)在角α终边上，则有cos α＝x16＋x2＝x5.又x≠0，∴16＋x2＝5，∴x＝3或－3.又α是第二象限角，∴x＝－3，∴tan α＝yx＝4－3＝－43.【答案】 D4.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )【导学号：72010096】A.11B.9C.7D.5【解析】 因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数).又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数). 又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则ω＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件.若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件.故选B.【答案】 B5.(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A.5B.4C.3D.2【解析】 由四边形ABCD 为平行四边形， 知AC→＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5.【答案】 A6.(2016·本溪高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝m ，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( ) A.2m B.±2m C.3mD.±3m【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝m ，∴cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3m .【答案】 C7.(2015·重庆高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4 B.π2 C.3π4D.π【解析】 由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.【答案】 A8.(2014·福建高考)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A.y ＝f (x )是奇函数B.y ＝f (x )的周期为πC.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D.y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称【解析】 由题意得y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，显然A ，B ，C 均错误，只有D 正确. 【答案】 D9.(2016·阜新高一检测)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2 α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33 C. 2D. 3【解析】 因为sin 2 α＋cos 2α＝14， 所以sin 2 α＋cos 2 α－sin 2 α＝cos 2 α＝14， 又0<α<π2，所以cos α＝12，则有α＝π3， 所以tan α＝tan π3＝ 3. 【答案】 D10.已知A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A.74π B.π4 C.3π4D.－7π4【解析】 ∵A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010. ∴cos A ＝－255，cos B ＝－31010，tan A ＝－12，tan B ＝－13.∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π. ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－12－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.∴A ＋B ＝74π. 【答案】 A11.曲线y ＝A sin ωx ＋a (A >0，ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2πω上截直线y ＝2及y ＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是( )A.a ＝12，A >32 B.a ＝12，A ≤32 C.a ＝1，A ≥1D.a ＝1，A ≤1【解析】 由题意可知：a ＝2－12＝12， A ＝y max －y min 2>2－(－1)2＝32，故选A.【答案】 A12.(2015·福建高考)已知AB→⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB→|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21【解析】 ∵AB→⊥AC →，故可以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t ＋4(t ，0)t ＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1).PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t－4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13. 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.(2016·济南高一检测)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.【解析】 由题意知T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54π－π4＝2π， ∴ω＝2πT ＝1， ∴f (x )＝sin(x ＋φ). ∵0<φ<π，∴π4<π4＋φ<54π.又x ＝π4是f (x )＝sin(x ＋φ)图象的对称轴， ∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝π4＋k π，∵0<φ<π， ∴φ＝π4. 【答案】 π414.(2016·锦州高一检测)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－1)，若向量a 与b 夹角为钝角，则x 的取值范围为________.【解析】 当a ∥b 时有1×(－1)－2x ＝0，即x ＝－12，此时b ＝－12a 即a 与b 反向，若向量a 与b 夹角为钝角，则有： ⎩⎪⎨⎪⎧a·b <0，x ≠－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，x ≠－12，∴x <2且x ≠－12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，215.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin 2x 的最小正周期是________.【解析】 法一：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin 2x＝2sin π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴T ＝2π2＝π.法二：y ＝sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＋sin 2x ＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以其最小正周期为T ＝2π2＝π. 【答案】 π16.(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF→的值为________.【解析】 取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →， AF→＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →， ∴AE →·AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712BA →＋BC → ＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23 ＝2918. 【答案】 2918三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如果向量AB→＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中，i ，j 分别是x轴，y 轴正方向上的单位向量，试分别确定实数m 的值使，(1)A ，B ，C 三点共线； (2)AB→⊥BC →. 【解】 (1)利用AB →＝λBC →可得i －2j ＝λ(i ＋m j )，于是⎩⎨⎧λ＝1，λm ＝－2，得m ＝－2.(2)由AB →⊥BC →得AB →·BC →＝0，∴(i －2j )·(i ＋m j )＝i 2＋m i ·j －2i ·j －2m j 2＝0， ∴1－2m ＝0，解得m ＝12.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值. 【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2，k ∈Z . 故f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. (2)tan α＝－43，且α是第四象限的角，所以sin α＝－45，cos α＝35. 故f (α)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4cos α＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2α－22cos 2αcos α＝1－sin 2α＋cos 2αcos α＝2cos 2 α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝145.19.(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值.【解】 (1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值.所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.20.(本小题满分12分)(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值. 【解】 (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3， ∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.21.(本小题满分12分)(2014·重庆高考)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值.【解】 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142 ＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 22.(本小题满分12分)(2014·山东高考)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调增区间.【解】 (1)已知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x ，因为f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝m sin π6＋n cos π6＝3， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝m sin 4π3＋n cos 4π3＝－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12m ＋32n ＝3，－32m －12n ＝－2，解得⎩⎨⎧ m ＝3，n ＝1.(2)f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f (x )左移φ个单位后得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6，设g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(x 0,2)， 因为d ＝1＋x 20＝1，解得x 0＝0，所以g (0)＝2，解得φ＝π6，所以g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，令－π＋2k π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，∴－π2＋k π≤x ≤k π，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z .。
2016-2017学年高一数学(人教B版必修4)同步练习1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算一、基础过关1． －300°化为弧度是( ) A ．－43πB ．－53πC ．－54πD ．－76π2． 集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆B C ．B ⊆AD ．以上都不对3． 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 14． 已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B 等于 ( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5． 若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 6． 若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 7． 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．8． 用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？二、能力提升9． 扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 10．已知α为第二象限的角，则π－α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限11．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.12．如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A(1,0)出发， 依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为 θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处， 求θ.三、探究与拓展13．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？答案1．B 2.A 3.C 4.D 5.25 6.7π3或10π37． 解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k∈Z .8． 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l·r＝12(30－2r)·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为2254 cm 2.9． B 10.D 11.－11π3，－5π3，π3，7π312．解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k∈Z)，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n∈Z)，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n<214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.13．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴α＝c －2R R，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R)R ＝－R 2＋12cR ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －c 42＋c 216.当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c216.。
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学人教B版必修四学业分层测评 第一章 基本初等函数(Ⅱ)
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列叙述错误的是( ) A.arctan y 表示一个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的角B.若x ＝arcsin y ，|y |≤1，则sin x ＝yC.若tan x2＝y ，则x ＝2arctan y D.arcsin y ，arccos y 中的y ∈[－1,1]【解析】 ∵tan π2＝y ，∴x2＝k π＋arctan y ，∴x ＝2k π＋2arctan y ，故C 错. 【答案】 C2.已知sin α＝－13，－π2＜α＜0，则α等于( ) A.π－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13B.π＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13D.－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13【解析】 －π2＜α＜0，sin α＝－13，所以α＝ arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13.【答案】 C3.若π2＜x ＜π且cos x ＝－56，则x 等于( ) A.arccos 56 B.－arccos 56 C.π－arccos 56D.π＋arccos 56【解析】 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝π－arccos 56.【答案】 C4.(2016·大连高一检测)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，则在区间[0,2π]上解的个数为( )A.5B.4C.3D.2【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，∴2x ＋π3＝k π＋π6(k ∈Z ).即x ＝k π2－π12(k ∈Z ).∵x ∈[0,2π]，∴k ＝1,2,3,4时，x 分别为5π12，1112π，17π12，2312π.故选B. 【答案】 B5.直线x ＋2y ＋1＝0的倾斜角为( )【导学号：72010035】A.arctan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12B.－arctan 12 C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55D.arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－255 【解析】 直线x ＋2y ＋1＝0可化为y ＝－12x －12，∴直线斜率k ＝－12，设直线倾斜角为α，则tan α＝－12，故α为钝角，∴cos α＝－255，∴α＝arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－255. 【答案】 D 二、填空题6.(2016·威海高一检测)函数y ＝arccos(sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域为________. 【解析】 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1， ∴0≤arccos(sin x )≤5π6. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π67.(2016·东营高一检测)若x ＝π3是方程2cos(x ＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.【解析】 由条件可知2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12，∴α＋π3＝2k π±π3(k ∈Z ).∵α∈(0,2π)，∴α＝4π3. 【答案】 4π38.(2016·日照高一检测)已知cos α＝13，α∈[0,2π)，则角α＝________. 【解析】 因为cos α＝13，所以α是第一或第四象限角.又因为α∈[0,2π)， 所以α＝arccos 13或α＝2π－arccos 13. 【答案】 arccos 13或2π－arccos 13 三、解答题9.已知sin α2＝－32，且α是第二象限的角，求角α.【解】 ∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限的角. 又∵sin α2＝－32＜0，∴α2是第三象限角. 又sin 4π3＝－32，∴α2＝2k π＋43π(k ∈Z )， ∴α＝4k π＋83π(k ∈Z ).10.(2016·四川高一检测)已知tan α＝－2，根据下列条件求角α. (1)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2；(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R .【解】 (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2).(2)∵tan α＝－2＜0，∴α是第二或第四象限角.又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π、⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π上是增函数知，符合tan α＝－2的角有两个.∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2， 且arctan(－2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2). (3)α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z ).[能力提升]1.给出下列等式：①arcsin π2＝1；②arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π6；③arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＝π3；④sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫arcsin 12＝12.其中正确等式的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4【解析】 ①arcsin π2无意义；②③④正确. 【答案】 C2.若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( )A.14 B.－34 C.14或－34D.－14或34【解析】 要使函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4有意义则2x ＋π4≠m π＋π2，m ∈Z∵直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交， ∴x ＝k π2时正切函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4无意义，即2×k π2＋π4＝π2＋m π， ∴4k ＝4m ＋1.当m ＝0时，k ＝14，满足要求； 当m ＝－1时，k ＝－34满足要求； 当m ＝1时，k ＝54不满足要求， 故满足条件的k ＝14或－34. 【答案】 C3.函数y ＝3－2x ＋π－arccos(2x －3)的定义域是________. 【解析】 要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ≥0，－1≤2x －3≤1，解得：1≤x ≤32. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，324.若f (arcsin x )＝x 2＋4x ，求f (x )的最小值，并求f (x )取得最小值时的x 的值. 【解】 令t ＝arcsin x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即sin t ＝x ，sin t ∈[－1,1]，于是f (t )＝sin 2t ＋4sin t ，即f (x )＝(sin x ＋2)2－4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2时，f (x )取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.。
高中数学人教B版选修4-1学业分层测评1.3.2 圆内接四边形的性质与判定 Word版含答案
学业分层测评(九)圆内接四边形的性质与判定(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题(每小题分，共分).如图--，⊙与⊙相交于、两点，是⊙圆周上一点，分别连、并延长交⊙于、两点.若∠＝，∠＝，则∠＝( )图--°－－°－－°＋－【解析】∵∠＝，∠＝，∴∠＝°－，∴∠＝°－－(°－)＝－，∴∠＝∠＝－.【答案】.如图--，在⊙中，弦的长等于半径，∠＝°，则∠的度数为( )图--°°°°【解析】连接，，∵∠＝∠＝°，∠＝°，∴∠＝∠＝°，∴∠＝∠－∠＝°－°＝°.【答案】.如图--所示，圆内接四边形的一组对边、的延长线相交于点，对角线和相交于点，则图中共有相似三角形的对数为( )图--【解析】利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△∽△，△∽△，△∽△，△∽△.因此共对.【答案】.已知△的斜边的两个端点分别在轴、轴的正半轴上移动，顶点与原点分别在的两侧，则点的轨迹是( ).圆.线段.一段圆弧.射线【解析】如图，∵∠＝∠＝°，∴四边形是圆内接四边形.∴∠＝∠，并且是定值.∴不管怎样移动△，直线的斜率不变.又由题意，可得动点的轨迹是线段.故选.【答案】二、填空题(每小题分，共分).如图--，以＝为直径的圆与△的两边分别交于，两点，∠＝°，则＝.。
2016-2017学年高中数学人教b版高一必修4学业分层测评2_弧度制和弧度制与角度制的换算_word版含解析AKAAlH
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.－25π6的角是( )A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【解析】 因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角.【答案】 D2.若2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( ) A.4 cm 2 B.2 cm 2C.4π cm 2D.2π cm 2【解析】 r ＝l |α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2).【答案】 A3.圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )A.π2 cm 2B.3π2 cm 2C.π cm 2D.3π cm 2【解析】 15°＝π12，则S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝3π2(cm 2).【答案】 B4.下列说法不正确的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关.【答案】 D5.集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界).故选C.【答案】 C二、填空题6.把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π)的形式是________. 【导学号：72010005】【解析】 法一：－570°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫570×π180rad ＝－196πrad ，∴－196π＝－4π＋56π.法二：－570°＝－2×360°＋150°，∴－570°＝－4π＋56π.【答案】 －4π＋56π7.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.【解析】 由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r ＝(π－2)r r ＝π－2(rad)，扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2).【答案】 π－2 2(π－2)三、解答题8.已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π)的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π).【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.9.已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S 的最大值.【解】 (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎨⎧l ＝20，r ＝10，则α＝l r ＝2(rad). 故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ，故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100，故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[能力提升]1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12B.2倍C.13D.3倍 【解析】 设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为l r ，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l12r＝3·lr，即弧度数变为原来的3倍.【答案】 D2.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 【解】(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r＝10，∴弧长l＝α·r＝π3×10＝10π3，∴S扇形＝12lr＝12×10π3×10＝50π3，而S△AOB ＝12·AB·53＝12×10×53＝5032，∴S＝S扇形－S△AOB＝50⎝⎛⎭⎪⎫π3－32.。
2016-2017学年高中数学 学业分层测评4 单位圆与三角函数线(含解析)新人教B版必修4
学业分层测评(四) 单位圆与三角函数线(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.在直线y ＝x 上D.在直线y ＝x 或y ＝－x 上【解析】 ∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上.故选B. 【答案】 B2.(2016·石家庄高一检测)如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )A.cos θ＜tan θ＜sin θB.sin θ＜cos θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜sin θ＜tan θ【解析】 由于3π＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容x 的取值范围是( ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2【解析】 如图阴影部分(不包括边界)即为所求.【答案】 C4.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】 当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sinα＋cos α＝23，∴α必为钝角.【答案】 D5.(2016·天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( ) A.1个 C.3个D.4个【解析】 根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.【答案】 B 二、填空题6.(2016·西安高一检测)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________.【解析】 作图如下：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 【答案】 AT >MP >OM7.(2016·济南高一检测)函数y ＝1－2sin x 的定义域为________.【导学号：72010011】【解析】 要使函数有意义， 有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ). 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) 8.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为________. 【解析】 因为5π6＜3＜π，作出单位圆如图所示.设MP →，OM →的数量分别为a ，b ， 所以sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 【答案】 第四象限 三、解答题9.画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.【解】如图，MP ，OM ，AT .sin 7π＝－1，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33.10.求函数f (x )＝1－2cos x ＋【解】 由题意，自变量x 1－2cos x ≥0，cos x >22，)所示，∴⎩⎪⎨⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2k π＋3≤x <2k π＋4π，k ∈Z. [能力提升]1.已知sin α＞sin β，那么下列结论成立的是( ) A.若α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α，β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β【解析】 若α，β同属于第一象限，则0≤β＜α≤π2，cos α＜cos β，故A 错；第二象限，则π2≤α＜β≤π，tan α＜tan β，故B 错；第三象限，则π≤α＜β≤3π2，cos α＜cos β，故C 错；第四象限，则3π2≤β＜α≤2π，tan α>tan β，(均假定0≤α，β≤2π)，故D 正确.【答案】 D2.满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12的x 的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z【解析】 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z .【答案】 A3.(2016·东莞高一检测)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________.①sin θ＋cos θ＜0; ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|; ④sin θ＋cos θ＞0. 【解析】 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.【答案】 ④4.(2016·德州高一检测)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.【证明】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足.∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α∴1＜sin α＋cos α＜π2.。
2016-2017学年高中数学人教b版高一必修4学业分层测评28_半角的正弦、余弦和正切_word版含解析AKAAKU
学业分层测评(二十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( ) A.最小正周期为π2的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数 【解析】 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D. 【答案】 D2.(2016·邢台期末)若sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2等于( )A.－63 B.－66 C.66D.63【解析】 由题意知sin α＝－53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos α＝－23，∵α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－1＋cos α2＝－66.故选B. 【答案】 B3.(2016·鹤岗一中期末)设a ＝12cos 7°＋32sin 7°，b ＝2tan 19°1－tan 2 19°，c ＝1－cos 72°2，则有( )A.b >a >cB.a >b >cC.a >c >bD.c >b >a【解析】 a ＝sin 37°，b ＝tan 38°，c ＝sin 36°，由于tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°，所以b >a >c .故选A.【答案】 A4.若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( ) A.1 B.－1 C.0D.±1【解析】 ∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0， ∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝2sin αcos 2β＝0. 【答案】 C5.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值是( ) A.1 B.2 C.3＋1D.3＋2【解析】 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos x ＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵0≤x <π2， ∴π6≤x ＋π6<23π， ∴当x ＋π6＝π2时， f (x )取到最大值2. 【答案】 B 二、填空题6.若θ是第二象限角，且25sin 2 θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.【导学号：72010089】【解析】 由25sin 2 θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去).故cos θ＝－1－sin 2 θ＝－725， 由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35. 【答案】 ±35 7.(2016·重庆一中期末)1sin π18－3cos π18＝________. 【解析】 原式＝cos π18－3sin π18sin π18cos π18＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos π18－32sin π1812sin π9＝4sin π9sin π9＝4. 【答案】 4 三、解答题8.(2015·广东高考)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值.【解】 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.9.设函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)设f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最小值为3，求a 的值.【解】 f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋a ＋1.(1)由2ωx ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )， 得ωx ＝k π＋π6(k ∈Z ). 又ω>0，∴当k ＝0时，f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为x ＝π6ω＝π6，故ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，由π6≤x ≤π3，得π3≤2x ≤23π，π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴当2x ＋π6＝5π6，即x ＝π3时， f (x )取得最小值为12＋a ＋1. 由12＋a ＋1＝3，得a ＝3－32.[能力提升]1.(2016·临沂高一检测)已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos 2α的值是( )A.－sin α2B.cos α2C.sin α2D.－cos α2【解析】 因为450°<α<540°，所以225°<α2<270°， 所以cos α<0，sin α2<0， 所以原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos 2α ＝12＋12|cos α|＝12－12cos α＝sin 2 α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2.故选A.【答案】 A2.(2016·泉州质检)已知函数f (x )＝2cos 2 x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22.(1)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝g (x )；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )(x ∈[0，π])的单调区间，并求使h (x )取到最小值时x 的值. 【解】 (1)证明：f (x )＝2cos 2 x2＝1＋cos x ， g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22＝1＋2sin x 2cos x 2 ＝1＋sin x ，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝g (x )，命题得证.(2)函数h (x )＝f (x )－g (x )＝cos x －sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∵x ∈[0，π]， ∴π4≤x ＋π4≤5π4，当π4≤x ＋π4≤π，即0≤x ≤3π4时，h (x )递减， 当π≤x ＋π4≤5π4，即3π4≤x ≤π时， h (x )递增. ∴函数h (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π，根据函数h (x )的单调性， 可知当x ＝3π4时， 函数h (x )取到最小值.。
2016-2017学年高中数学人教B版必修4学业分层测评28 半角的正弦、余弦和正切 含解析
学业分层测评（二十八)(建议用时：45分钟）[学业达标］一、选择题1。
若函数f （x）＝－sin2x＋错误!(x∈R），则f （x）是（)A.最小正周期为错误!的奇函数B。
最小正周期为π的奇函数C。
最小正周期为2π的偶函数D。
最小正周期为π的偶函数【解析】 f （x）＝－错误!＋错误!＝错误!cos 2x。
故选D.【答案】D2。
(2016·邢台期末）若sin（π－α）＝－错误!且α∈错误!，则sin错误!等于（)A。
－错误! B.－错误!C。
错误!D。
错误!【解析】由题意知sin α＝－错误!，α∈错误!，∴cos α＝－错误!，∵错误!∈错误!，∴sin错误!＝cos 错误!＝－错误!＝－错误!.故选B。
【答案】B3。
（2016·鹤岗一中期末）设a＝错误!cos 7°＋错误!sin 7°,b＝错误!，c＝错误!，则有( ）A.b〉a>cB.a〉b〉cC。
a>c〉b D。
c>b>a【解析】a＝sin 37°，b＝tan 38°，c＝sin 36°，由于tan 38°〉sin 38°>sin 37°〉sin 36°,所以b〉a>c.故选A。
【答案】A4。
若sin（α＋β）cos β－cos(α＋β)sin β＝0,则sin（α＋2β)＋sin （α－2β）等于（)A.1 B。
－1C.0 D。
±1【解析】∵sin(α＋β）cos β－cos（α＋β)sin β＝sin（α＋β－β)＝sin α＝0，∴sin（α＋2β)＋sin（α－2β)＝2sin αcos 2β＝0。
【答案】C5。
若函数f （x）＝（1＋错误!tan x）cos x，0≤x〈错误!，则f (x）的最大值是（）A。
1 B.2C。
错误!＋1 D。
错误!＋2【解析】 f （x)＝（1＋错误!tan x）cos x＝错误!cos x＝错误!sin x＋cos x＝2sin错误!.∵0≤x〈错误!，∴错误!≤x＋错误!〈错误!π，∴当x＋错误!＝错误!时，f （x）取到最大值2.【答案】B二、填空题6。
人教版数学高一人教B版必修4课时检测(四)单位圆与三角函数线
课时跟踪检测（四） 单位圆与三角函数线层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．a <c <b解析：选C 如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然b ＝cos(－1)＝OM >0，c ＝tan(－1)＝AT <0， a ＝sin(－1)＝MP <0， 由图可知MP >AT ，∴c <a <b .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是___________________________ ________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．解析：由图可知sin 3π4＝22，sin3π2＝－1，－1＜sin θ＜22， 即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，22 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)π6；(2)－5π6. 解：(1)如图(1)所示，在单位圆中ON ，OM ，AT 分别表示π6角的正弦线、余弦线、正切线．(2)如图(2)所示，在单位圆中ON ，OM ，AT 分别表示－5π6角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3. 解：(1)为使y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sin x <22，所以角x 终边所在区域如图所示，所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z. 所以原函数的定义域是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义， 则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出|OM |<|MP |<|AT |，且都与坐标轴的正方向相同．即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－3π4， sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．sin2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．解析：由图可知： cos6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0.∵|MP |<|AT |，且MP ，AT 与y 轴正方向相同， ∴sin2π5<tan 2π5. 故cos6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos6π5<sin 2π5<tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π.答案：⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即θ－5π6＋2k π<θ<－π6＋2k π，k ∈Z.(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即θ2k π－2π3≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3，k ∈Z.8．若0<α<π2，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ，∴12|OA|·|MP|<12l·|OA|<12|OA|·|AT|，∴|MP|<l<|AT|，∴sin α<α<tan α.。
2016-2017学年高中数学人教B版必修4学业分层测评3 三角函数的定义 含解析
学业分层测评(三）(建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1。
下列三角函数判断错误的是（)A。
sin 165°〉0 B.cos 280°〉0C。
tan 170°>0 D。
tan 310°〈0【解析】∵90°〈165°〈180°,∴sin 165°>0；又270°<280°<360°,∴cos 280°>0；又90°<170°〈180°，∴tan 170°〈0；又270°〈310°<360°，∴tan 310°〈0，故选C。
【答案】C2。
已知角α终边上异于原点的一点P且|PO｜＝r，则点P坐标为( )A。
P（sin α，cos α) B。
P(cos α，sin α）C。
P（r sin α，r cos α) D。
P（r cos α,r sin α）【解析】设P(x，y），则sin α＝错误!，∴y＝r sin α,又cos α＝错误!,x ＝r cos α，∴P(r cos α，r sin α），故选D.【答案】D3。
角α的终边上有一点（－a，2a)（a<0），则sin α的值为（) A。
－错误! B.错误!错误!C.错误!D。
－错误!错误!【解析】因为a〈0，所以sin α＝错误!＝错误!＝－错误!。
【答案】D4。
若θ是第二象限角，则（)A。
sin 错误!〉0 B。
cos 错误!〈0C。
tan 错误!〉0 D。
以上均不对【解析】∵θ是第二象限角,∴2kπ＋错误!〈θ<2kπ＋π，∴kπ＋错误! <错误!〈kπ＋错误!，∴错误!是第一或第三象限角,∴tan 错误!〉0.【答案】C5.使得lg(cos αtan α）有意义的角α是（)A.第一或第二象限角B。
高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.2.2 单位圆与三角函数线 Word版含答案
1.2.2单位圆与三角函数线学习目标 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一单位圆思考1什么叫单位圆？思考2点的射影是如何定义的？梳理(1)单位圆把________的圆叫做单位圆.(2)单位圆中角α的坐标角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的________和________.知识点二三角函数线思考1三角函数线的长度等于三角函数的值吗？思考2三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？梳理 三角函数线类型一 三角函数线例1 作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线.反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合.类型二 利用三角函数线比较大小 例2 利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小.反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”.(2)比较三角函数线的长度.(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小.类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1 利用三角函数线解不等式(组)例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期. (2)注意区间是开区间还是闭区间.跟踪训练3 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围.命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域. (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.跟踪训练4求函数f(x)＝2sin x－1的定义域.1.下列四个命题中：①当α一定时，单位圆中的正弦线一定；②在单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.则错误命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A.正弦线为PM，正切线为A′T′B.正弦线为MP，正切线为A′T′C.正弦线为MP，正切线为ATD.正弦线为PM，正切线为AT3.设a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.b <a <c4.函数y ＝2cos x －1的定义域为________.5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合： (1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y 轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x 轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.2.三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P ，M ，T 点，再画出MP ，OM ，AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了.答案精析问题导学 知识点一思考1 把半径为1的圆叫做单位圆．思考2 过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，作PN 垂直于y 轴于点N ，则点M ，N 分别是点P 在x 轴、y 轴上的正射影(简称射影)． 梳理 (1)半径为1 (2)横坐标 纵坐标 知识点二思考1 不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．思考2 当三角函数线与x 轴(或y 轴)正向同向时，所表示的三角函数值为正值；与x 轴(或y 轴)正向反向时，所表示的三角函数值为负值． 梳理 ON → OM → AT →或AT ′→题型探究例1 解 如图所示，sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ， cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT .跟踪训练1 解 已知角α的正弦值，可知MP ＝12，则P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12，过该点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z }．例2 解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号皆正， ∴sin 2π3>sin 4π5；|OM |<|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3<tan 4π5.跟踪训练2 解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°) ＝sin 146°.如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M 1P 1，M 2P 2.∵M 1P 1>M 2P 2，且符号皆正， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°)． 例3 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足要求的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 {α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }． 跟踪训练3 解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即 {θ|2k π－2π3π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3π，k ∈Z }．例4 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即 {x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练4 解 要使函数f (x )有意义，必须使2sin x －1≥0，则sin x ≥12.如图，画出单位圆，作x 轴的平行直线 y ＝12，交单位圆于点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2， 分别过点P 1，P 2作x 轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线， 易知这两条正弦线的长度都等于12.在[0,2π)内，sin π6＝sin 5π6＝12.因为sin x ≥12，所以满足条件的角x 的终边在图中阴影部分内(包括边界)，所以函数f (x )的定义域为 {x |π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }． 当堂训练1．B 2.C 3.D4.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z 5．解 (1){α|2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z }．(2){α|k π－π2<α≤k π＋π6，k ∈Z }．(3)|sin α|≤12，即－12≤sin α≤12，{α|k π－π6≤α≤k π＋π6，k ∈Z }．。
2016-2017学年高中数学必修4学业分层测评 1.4.1+4.2 单位圆与周期性 含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等;③若sin α>0,则α是第一、二象限的角;④若α是第二象限的角,且P（x,y）是其终边上一点,则cos α＝－错误!。
其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】根据任意角的三角函数定义知①正确；对于②,我们可举出反例sin 错误!＝sin错误!；对于③,可举出sin错误!〉0，但错误!不是第一、二象限角；对于④，应是cos α＝错误!（因为α是第二象限角，已有x〈0)，故选B。
【答案】B2．当α为第二象限角时，错误!－错误!的值是（）A．1 B．0C．2 D．－2【解析】当α为第二象限角时，sin α〉0,cos α〈0，所以错误!－错误!＝错误!＋错误!＝2。
【答案】C3．(2016·永寿高一检测)设角θ的经过点P（－3,4），那么sin θ＋2cos θ＝( ）【导学号：66470008】A.错误!B．－错误!C。
错误!D．－错误!【解析】因为P（－3,4)，所以sin θ＝错误!，cos θ＝－错误!。
则sin θ＋2cos θ＝错误!＋2×错误!＝－错误!。
【答案】D4．若sin αcos α〉0，则α在( )A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第一、四象限 D．第二、四象限【解析】由于sin αcos α〉0，∴sin α与cos α同号，因此角α在第一象限或第三象限,故选B.【答案】B5．若sin θ<0，cos θ〉0，则错误!是( )A．第二象限角B．第三象限角C．第二或第四象限角D．第三或第四象限角【解析】由sin θ〈0，cos θ〉0得θ为第四象限角，∴2kπ－错误!<θ<2kπ，k∈Z,∴kπ－错误!<错误!〈kπ，k∈Z,∴错误!是第二或第四象限角．【答案】C二、填空题6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y）是角θ终边上一点，且sin θ＝－错误!,则y＝________.【解析】∵sin θ＝错误!＝－错误!，∴y〈0且y2＝64，∴y＝－8。
北京朝阳区2016-2017学年高二数学北师大版必修四学业分层测评：第1章 4.3+4.4 单位圆的对称性与诱导公式
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．cos＋sin 的值为( )(－163π)(－163π)A.B ． －1＋321－32C ．D ．3－123＋12【解析】 原式＝cos π－sin ＝cos －sin 16316π34π34π3＝－cos ＋sin ＝.π3π33－12【答案】 C2．(2016·桂林高一检测)若cos(2π－α)＝，则sin 等于( )53(3π2－α)【导学号：66470012】A ．－B ．－5323C ．D ．±5353【解析】 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝，53∴sin ＝－cos α＝－.(3π2－α)53【答案】 A3．已知f (sin x )＝ cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )12A ．－B ．1414C ．D ．－3432【解析】 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝×cos 3×80°＝cos 240°＝－.121214【答案】 A4．已知cos(π＋α)＝－，则sin 等于( )35(32π＋α)A.B ．－ 4545C ．±D ．－4535【解析】 由于cos(π＋α)＝－cos α＝－，35∴cos α＝，35∴sin ＝sin ＝sin(32π＋α)(2π－π2＋α)(α－π2)＝－sin (π2－α)＝－cos α＝－.35【答案】 D5．cos(k ∈Z )的值为( )(k π＋π3)A ．±B ．1212C ．－D ．±1232【解析】 若k 为偶数，不妨设k ＝2n (n ∈Z )，则cos＝cos＝cos ＝；(k π＋π3)(2n π＋π3)π312若k 为奇数，可设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则cos ＝cos＝cos(k π＋π3)(2n π＋π＋π3)＝－cos ＝－.综上，cos 的值为±.(π＋π3)π312(k π＋π3)12【答案】 A 二、填空题6．y ＝3 sin x ，x ∈的值域为________．[－π3，4π3]【解析】 借助单位圆可知，函数y ＝sin x ，x ∈在x ＝处取最大[－π3，4π3]π2值1，在x ＝－和x ＝处同时取得最小值－，即－≤sin x ≤1，所以－π34π33232≤3 sin x ≤3.32【答案】 [－332，3]7．若cos ＋sin(π＋θ)＝－m ，则cos ＋2sin(6π－θ)＝________.(π2＋θ)(3π2－θ)【解析】 ∵cos ＋sin(π＋θ)＝－sin θ＋(－sin θ)＝－2sin θ＝－m ，(π2＋θ)∴sin θ＝.m2∴cos ＋2sin(6π－θ)＝－sin θ－2sin θ＝－3sin θ＝－.(3π2－θ)3m2【答案】 －3m28．若|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则角α的取值范围是________．【解析】 因为|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则|sin α|＝－sin α，所以sin α≤0，所以2k π－π≤α≤2k π(k ∈Z )．【答案】 {α|2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z }三、解答题9．求函数y ＝3－2cos x ，x ∈的值域．[－π4，π4]【解】 ∵－≤x ≤，∴≤cos x ≤1，π4π422∴－1≤－cos x ≤－，22∴－2≤－2cos x ≤－，2∴1≤3－2cos x ≤3－.2故函数y ＝3－2cos x ，x ∈的值域为[1,3－]．[－π4，π4]210．已知角α终边上一点P (－4,3)，求的值．cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)【解】 点P 到原点O 的距离|OP |＝＝5，根据三角函数的定(－4)2＋32义得，sin α＝，cos α＝－.3545cos (π2＋α)sin(－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin α·[－sin (π＋α)]cos [6π－(π2＋α)]sin (4π＋π2＋α)＝sin α·sin (π＋α)cos (π2＋α)sin (π2＋α)＝sin α(－sin α)－sin α·cos α＝＝×＝－.sin αcos α35(－54)34[能力提升]1．(2016·长武高一检测)设f (x )＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α≠k π(k ∈Z )．若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5【解析】 因为f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以a sin α＋b cos β＝－5.又f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.【答案】 D2．下列三角函数中，与sin 数值相同的是( )π3①sin；②cos ；③sin ；(n π＋4π3)(2n π＋π6)(2n π＋π3)④cos ；⑤sin(n ∈Z )．[(2n ＋1)π－π6][(2n ＋1)π－π3]A ．①② B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤【解析】 ①中，sin ＝Error!3＝Error!②中，cos ＝cos ＝sin ＝sin ；(2n π＋π6)π6(π2－π6)π3③中，sin ＝sin ；(2n π＋π3)π3④中，cos ＝cos＝－cos ≠sin ；(2n π＋π－π6)(π－π6)π6π3⑤中，sin＝sin＝sin .(2n π＋π－π3)(π－π3)π3故②③⑤中的三角函数与sin 的数值相同．π3【答案】 C3．sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.【导学号：66470013】【解析】 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°·cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×32321212＝1.【答案】 14．化简：··.cos (3π－θ)2sin (θ－3π)sin (－θ－4π)【解】 原式＝··－sin (5π－θ)cos (π－θ)sin θ－sin (3π－θ)cos θ－sin (4π＋θ)＝··－sin (4π＋(π－θ))－cos θsin θ－sin[2π＋(π－θ)]cos θ－sin θ＝··－sin (π－θ)－cos θsin θ－sin (π－θ)cos θ－sin θ＝··－sin θ－cos θsin θ－sin θcos θ－sin θ＝1.。
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学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.在直线y ＝x 上
D.在直线y ＝x 或y ＝－x 上
【解析】 ∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上.故选B. 【答案】 B
2.(2016·石家庄高一检测)如果3π
4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( ) A.cos θ＜tan θ＜sin θ B.sin θ＜cos θ＜tan θ C.tan θ＜sin θ＜cos θ
D.cos θ＜sin θ＜tan θ
【解析】 由于3π
4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.
【答案】 A
3.在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛
⎭⎪⎫π，5π4 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，π C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π4，3π2 【解析】 如图阴影部分(不包括边界)即为所求.
【答案】 C
4.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝2
3，则这个三角形是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】 当0＜α≤π
2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝2
3，∴α必为钝角.
【答案】 D
5.(2016·天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
【解析】 根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.
【答案】 B 二、填空题
6.(2016·西安高一检测)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别
是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________.
【解析】 作图如下：
因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .
【答案】 AT >MP >OM
7.(2016·济南高一检测)函数y ＝1－2sin x 的定义域为________.
【导学号：72010011】
【解析】 要使函数有意义， 有1－2sin x ≥0，得sin x ≤1
2，
如图，确定正弦值为1
2的角的终边OP 与OP ′，
其对应的一个角分别为136π，5
6π
所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ). 【答案】 ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z )
8.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为________. 【解析】 因为5π
6＜3＜π，作出单位圆如图所示.
设MP →，OM →
的数量分别为a ，b ， 所以sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，
所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.
故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 【答案】 第四象限 三、解答题
9.画出7π
6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值. 【解】
如图，MP ，OM ，AT 分别为正弦线，余弦线和正切线.sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π
6＝33.
10.求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin x －22的定义域.
【解】 由题意，自变量x 应满足不等式组
⎩⎨⎧
1－2cos x ≥0，
sin x －22
>0，即⎩⎪⎨
⎪⎧
cos x ≤1
2，sin x >2
2，
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
2k π＋π3≤x <2k π＋3
4π，k ∈Z . [能力提升]
1.已知sin α＞sin β，那么下列结论成立的是( ) A.若α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α，β是第三象限角，则cos α＞cos β
D.若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β
【解析】 若α，β同属于第一象限，则0≤β＜α≤π
2，cos α＜cos β，故A 错；第二象限，则π2≤α＜β≤π，tan α＜tan β，故B 错；第三象限，则π≤α＜β≤3π
2，cos α＜cos β，故C 错；第四象限，则3π
2≤β＜α≤2π，tan α>tan β，(均假定0≤α，β≤2π)，故D 正确.
【答案】 D
2.满足sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π4≥1
2的x 的集合是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π
12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈Z
C.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z
D.⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z
【解析】 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥1
2，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋
13π
12，k ∈Z .
【答案】 A
3.(2016·东莞高一检测)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π4，π，则下列各式错误的是________.
①sin θ＋cos θ＜0; ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|; ④sin θ＋cos θ＞0.
【解析】 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.
【答案】 ④
4.(2016·德州高一检测)已知α∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.
【证明】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足.
∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.
∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝1
2sin α， S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12
＝π4， 又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，
∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2， ∴1＜sin α＋cos α＜π
2.。