第九讲“牛吃草”问题

第九讲“牛吃草”问题有这样的问题，如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。

那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。

草的总量是由两部分组成的：（1）某个时间期限前草场上原有的草量；（2）这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量。

因此，必须设法找出这两个量来。

下面就用开头的题目为例进行分析。

（见下图）从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量。

为了求出一周新生长的草量，就要进行转化。

27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）。

23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）。

这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207－162）÷（9－6）=15头牛一周的吃草量。

需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有的草量。

所以牧场上原有草量为26×6－15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9－15×9=72）。

牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分。

一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草。

但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）。

故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21－15=6头牛去吃原有的草。

所以牧场上的草够吃72÷6=12周，也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周。

例2：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。

如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完。

如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？分析与解答：这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加。

所以总水量是个变量。

而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的。

船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量。

对于这个问题我们换一个角度进行分析。

如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”，则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10=30。

船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。

每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40－30）÷（8－3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。

船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量－3小时漏进水量，3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量。

所以船内原有水量为30－2×3=24。

如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2=12人。

但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需要12＋2=14人。

从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量。

有了这两个量，问题就容易解决了。

例3：12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。

多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场每天生长草量相等）？分析：解量的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。

12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原来的牧草加上28天新生产的草可供33.6头牛吃一天（12×28÷10=33.6）。

21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原有的草加上63天新生长的草可供44.1头牛吃一天（63×21÷30=44.1）。

1公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即：(44.1－33.6)÷(63－28) = 0.3（头）1公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即：33.6－0.3×28=25.2（头）72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天，即：72×25.2÷126=14.4（头）72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天，即：72×0.3=21.6（头）所以72公亩牧场上的牧草可供36（=14.4＋21.6）头牛吃126天，问题得解。

解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？（63×21÷30－12×28÷10）÷（63－28）=0.3（头）一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？12×28÷10－0.3×28=25.2（头）72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？72×25.2÷126＋72×0.3= 36(头)例4：一块草地，每天生长的速度相同。

现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只头吃12天。

如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？分析：由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15头牛每天的吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等。

解：60只羊每天吃草量相当于多少头牛每天的吃草量？60÷4=15（头）草地原有草量与20天新生长草量可供多少头牛吃一天？16×20=320（天）80只羊12天的吃草量可供多少头牛吃一天？80÷4×12=240（头）每天新生长的草量够多少头牛吃一天？（320－240）÷（20－12）=10（头）原有草量可够多少头牛吃一天？320－20×10=120（头）原有草量可供10头牛与60只羊吃多少天？120÷（60÷4＋10－10）=8（天）例5：一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？解：水库原有的水与20天流入水可供多少台抽水机抽1天？20×5=100（台）水库原有水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？6×15=90（台）每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？（100－90）÷（20－15）=2（台）原有的水可供多少台抽水机抽1天？100－20×2=60（台）若6天抽完，共需抽水机多少台？60÷6＋2=12（台）例6：有三片草场，每亩原有草量相同，草的生长速度也相同。

三片草场的面积分别为313亩、10亩和24亩。

第一片草场可供12头牛吃4周，第二片草场可供21头牛吃9周。

问：第三片草场可供多少头牛吃18周？用方程解：解：设每亩草场原有的草量为a ，每周每亩草场新生长草量为b 。

依题意 第一片草场（313亩）原有的草与4周新生长的草量之和为： （313）a ＋（4×313）b 每头牛每周的吃草量为（第一片草场313亩）： [b a )313(4)313(⨯+]÷(12×4)=4123)4(10⨯⨯+b a =72)4(5b a + (1) 第二片草场（10亩）原有的草与9周生长出来的草为： 10a ＋(10×9)b每头牛每周的吃草量为：（第二片草场）921)910(10⨯⨯+b a (2) 由于每头牛每周吃草量相等，列方程为：72)4(5921)910(10b a b a +=⨯⨯+ (3) 5a=60ba=12b （表示1亩草场上原有草量是每周新生长草量的12倍）将a=12b 代入（3）的两边得到每头牛每周吃草量为b 910。

设第三片草场（24亩）可供x 头牛吃18周吃完，则由每头牛每周吃草量可列出方程为：91018)2418(24b x b a =⨯⨯+ (4) x=36答：第三片草场可供36头牛18周食用。

这道题列方程时引入a 、b 两个辅助未知数，在解方程时不一定要求出其数值，在本题中只需求出它们的比例关系即可。

习 题 九1． 一场牧场长满草，每天牧草都均匀生长。

这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

问：可供25头牛吃多少天？2． 22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完；17头牛吃28亩同样的草地上的草，84天可以吃完。

问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天？（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）3．有一牧场，17头牛30天可将草吃完；19头牛则24天可以吃完。

现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完。

问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？4．现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。

若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。

问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？。