对数与对数运算性质
对数与对数运算
(2).(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
3) log4 3 log9 2 log1 4 32
2
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震 能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量 的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线 的振幅就越. 这就是我们常说的里氏震级M，其 计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的 最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准 振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的 偏差）.
温故知新
对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga MN loga M loga N
loga
M N
loga M
loga
N
loga M n n loga M (n R)
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪 记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是 0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算是。7.6级地 震的最大振幅上是5级地震的最大振幅多少倍？（精确 到1）；
例题解析
例３ 生物机体内碳14的“半衰期”为 5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出 土时碳14的残余量约占原始含量的 76.7％，试推算马王堆古墓的年代.
2.2.1对数与对数的运算性质(3)
温故知新
1、对数的定义： 如果ax=N（a>0，a≠1）那么数x叫做以a为底 N的对数。 记作: x=logaN ， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x=logaN 叫做对数式．
对数的计算以及对数函数的基本性质
对数的计算以及对数函数的基本性质1.对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N=，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log ba ab =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N； 自然对数：ln N ，即log e N（其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 2.对数函数及其性质 定义：函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象：定义域：(0,)+∞ 值域：R 过定点：图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．1 xy O1xyO奇偶性：非奇非偶 单调性：在(0,)+∞上是增函数1a >；在(0,)+∞上是减函数01a <<； 函数值的变化情况：log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响：在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高． 判断技巧：指数函数令1=x 得到第一象限内底大图上；对数函数令1=y 得到第一象限底大图下。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数的基本性质和运算公式
对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。
本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。
一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。
其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。
在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。
二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。
2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。
3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。
5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。
6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。
三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。
这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。
四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。
2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。
3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。
4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。
对数与对数运算知识点
对数与对数运算1.对数：如果a x=N(a>0,且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x=log a N，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质:(1)1的对数等于0 ;(2)底数的对数等于1;(3)零和负数没有对数3.以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N.4.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N5.对数的运算性质：如果a>0，且a ≠1，M>0;N>0，那么：（1）log a (MN)=log a M +log a N ；log a (N1N2…Nk )=log a N1+log a N2+…log a N3；（2）log a (M ／N)=log a M -log a N ；（3）log a M n =nlog a M6.对数换底公式：log aN=abN bloglog ；7.对数运算中的三个常用结论：N aNa =log ,log aa =1,log a 1=08.两个常用的推论：a ，b ＞0且均不为1,m,n,为正整数（1）logab ×log b a=1；log ab ×log bc ×log c a=1；（2） b a b a m n nm log log =；ba b anm n m log log =；9.指数和对数的关系：a x =N ⇔log a N=x比较指数式、根式、对数式：几个对数运算公式的证明证明下列公式：（1）对数的运算性质:log a (M ／N)=log a M -log a N（2）对数的运算性质:log a M n =nlog a M（3）对数的换底公式：log ab=ab c c log log（4）对数运算中的常用结论：N a Na log（5）a ，b ＞0且均不为1,log a b×log b a=1 （6）a ，b ＞0且均不为1,m 为正整数,mmb alog =log a b（7）a ，b ＞0且均不为1,m,n 为正整数, n mb a log =m n log a b证明：（1）设a x =M ，a y=N ，则N M =y x aa =a x-y ．∴x-y=log a NM，∵x=log a M ，y=log a N，∴x-y= log a M - log a N ，∴log a N M = log a M - log a N（2）设a x=M ，则x=log a M，∴nx=nlog a M．∵（a x ）n=M n ，∴a xn =M n，∴xn=log a M n ，∴log a M n = nlog a M（3）设log a b =x ，则a x =b ．∴log c a x =log c b x ，∴xlog c a =log c b ，∴x=log c b÷log ca ，∴logab =ab c c log log（4）设log a N =x ，则a x=N ．∵log a a x=x ，∴xaa alog =a x，∴xaa a log =N（5）∵log a b =ab lg lg ，log b a =ba lg lg ，∴log ab ×log b a=a b lg lg ×ba lg lg =1（6）设mabm log =x ，则（a m）x=b m，∴a mx=b m，∴ mxa alog =log a b m ，∴mxlog a a=mlog ab，∴x=log ab ，∴mmb a log =log a b（7）设n a b mlog =x ，则（am）x=b n ，∴mxa alog =log a b n ，∴mxlog a a=nlogab，∴x=mnlog ab ，∴nmb alog =mn log a b。
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象Oxyy = l o g x a ><a <a111( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 11111 1xxxxy y y yOO OOABC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是yyO x yO x yABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B.答案：C9.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1Oxy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f（x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169. 小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数运算对数性质
专题9 对数与对数运算【知识回顾】 1．对数的定义2．对数的基本性质与对数恒等式 3．两种常见对数 4.对数的运算性质 【典例应用】【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)2－7＝1128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)lg 0.001＝－3；(5)ln e ＝1.1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．①35＝243；②⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.73；【例2】（1）求x 的值log 2(log 3(log 4x ))＝0.(2)求2log 32－log 3329＋log 38＋3log 515.2．使式子(lg x )2－lg x ＝0成立的x 的值为________．【例3】 已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)且3x ＝4y ＝6z .求证：12y ＝1z －1x .3．已知315a ＝55b ＝153c ，则5ab －bc －3ac ＝________.【等级过关练】一、选择题1．若x＝y2(y>0，且y≠1)，则()A．log2x＝y B．log2y＝x C．log x y＝2 D．log y x＝2 2．若3log3x2＝9，则x＝()A．3 B．－3 C．±3 D．23．已知log a2＝m，log a3＝n，则a2m＋n＝()A．5B．7 C．10D．124．若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg54＝()A．a＋3b B．12a＋32b C.12a＋b D．a＋32b5．若方程(lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2lg 3＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝()A．－lg 2－lg 3 B．lg 2lg 3 C.16D．－6二、填空题6．若log7[log3(log2x)]＝0，则x＝________.7．lg 14－lg 25＝________.8．已知a 23＝49(a>0)，则log23a＝________.三、解答题9．求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log x27＝34；(3)(lg x)2＋5lg x－6＝0.10．计算：(1)l g 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50.专题8 对数与对数运算【知识回顾】 1．对数的定义2．对数的基本性质与对数恒等式 3．两种常见对数 4.对数的运算性质 【典例应用】【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)2－7＝1128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)lg 0.001＝－3；(5)ln e ＝1.[解] (1)log 21128＝－7；(2)log 327＝3；(3)log 100.1＝－1；(4)10－3＝0.001；(5)e 1＝e.1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．①35＝243；②⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.73；[解] ①log 3243＝5；②log 135.73＝m ；【例2】(1)求下列各式中x 的值．①log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1；②log 2(log 3(log 4x ))＝0. (2)求下列各式的值．2log 32－log 3329＋log 38＋3log 515.[解] (1)①由log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1得⎩⎨⎧3x 2＋2x －1＝2x 2－1，3x 2＋2x －1>0，2x 2－1>0且2x 2－1≠1.解得x ＝－2.②由log 2(log 3(log 4x ))＝0可得 log 3(log 4x )＝1，故log 4x ＝3， 所以x ＝43＝64.(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－3log 55＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8－3＝log 39－3＝2－3＝－1.2．使式子(lg x )2－lg x ＝0成立的x 的值为________．1或10 [由lg x (lg x －1)＝0得lg x ＝0或lg x ＝1， 即x ＝1或x ＝10.] 3．计算：12lg 3249－43lg 8＋lg 245.[解] 原式＝12(lg 32－lg 49)－43×32lg 2＋12(lg 49＋lg 5) ＝12lg 32－12lg 49－2lg 2＋12lg 49＋12lg 5 ＝52lg 2－2lg 2＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12lg 10 ＝12.【例3】 已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)且3x ＝4y ＝6z .求证：12y ＝1z －1x .[思路探究] 令3x ＝4y ＝6z ＝m ，通过取对数，把x ，y ，z 表示出来，再求解． [解] 令3x ＝4y ＝6z ＝m ， 则x lg 3＝y lg 4＝z lg 6＝lg m ∴x ＝lg m lg 3，y ＝lg m lg 4，z ＝lg m lg 6， ∴1z －1x ＝lg 6lg m －lg 3lg m ＝lg 2lg m ＝12y .3．已知315a ＝55b ＝153c ，则5ab －bc －3ac ＝________.0 [令315a ＝55b ＝153c ＝m ，则15a lg 3＝5b lg 5＝3c lg 15＝lg m∴a＝lg m15lg 3，b＝lg m5lg 5，c＝lg m3lg 15∴5ab－bc－3ac＝(lg m)215lg 3lg 5－(lg m)215lg 5lg 15－(lg m)215lg 3lg 15＝(lg m)2(lg 15－lg 3－lg 5) 15lg 3lg 5lg 15＝(lg m)2lg 115lg 3lg 5lg 15＝0]【等级过关练】一、选择题1．若x＝y2(y>0，且y≠1)，则()A．log2x＝y B．log2y＝x C．log x y＝2 D．log y x＝2 [答案]D2．若3log3x2＝9，则x＝()A．3 B．－3C．±3 D．2C[由已知得x2＝9，∴x＝±3.]3．已知log a2＝m，log a3＝n，则a2m＋n＝() A．5B．7 C．10D．12D[a2m＋n＝a2log a2＋log a3＝a log a12＝12.]4．若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg54＝()A．a＋3b B．12a＋32bC.12a＋b D．a＋32bB[lg54＝12lg 54＝12(lg 2＋lg 27)＝12(lg 2＋3lg 3)＝12(a＋3b)＝12a＋32b.]5．若方程(lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2lg 3＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝() A．－lg 2－lg 3 B．lg 2lg 3C.16D．－6C[由根与系数的关系得lg x1＋lg x2＝－(lg 2＋lg 3)，∴lg x 1x 2＝－lg 6，∴lg x 1x 2＝lg 16，∴x 1x 2＝16.] 二、填空题6．若log 7[log 3(log 2x )]＝0，则x ＝________.8 [由已知得log 3(log 2x )＝70＝1，∴log 2x ＝31＝3，∴x ＝23＝8.] 7．lg 14－lg 25＝________.－2 [lg 14－lg 25＝lg 14×25＝lg 1100＝lg 10－2＝－2lg 10＝－2.]8．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________.3 [取对数，得log 23a 23＝log 2349，∴23log 23a ＝2，∴log 23a ＝3.] 三、解答题9．求下列各式中的x 的值．(1)log 2(log 3x )＝0；(2)log x 27＝34；(3)(lg x )2＋5lg x －6＝0. [解] (1)由已知得log 3x ＝20＝1，∴x ＝31＝3. (2)由已知得x 34＝27，∴x ＝2743＝(33)43＝34＝81.(3)由已知得(lg x ＋6)(lg x －1)＝0，∴lg x ＝－6或1，∴x ＝1106或10. 10．计算：(1)l g 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)(lg 5)2＋lg 2lg 50.[解] (1)法一：原式＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.法二：原式＝lg 2＋lg 7－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－(lg 2＋2lg 3) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－lg 2－2lg 3＝0.(2)原式＝(lg 5)2＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1.。
对数运算与对数函数
§2.8 对数运算与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a (a >0，且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 称为以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数． 以10为底的对数叫作常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫作自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M b ＝b log a M (b ∈R )．(3)对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域 R性 质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log m n a b ＝nmlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N .( × )(2)函数y ＝log a 2x (a >0，且a ≠1)是对数函数．( × )(3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )的值域为( ) A ．[0,1] B ．(0,1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)答案 A解析 根据复合函数单调性同增异减可知f (x )在[0,1]上单调递增， 因为0≤x ≤1，所以1≤x ＋1≤2，则log 21≤log 2(x ＋1)≤log 22， 即f (x )∈[0,1]．2．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________． 答案 (3,2)解析 ∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3，y ＝2，∴函数的图象过定点(3,2)． 3．e ln 2＋log 2 02216log 2 0224＝________.答案 4 解析 e ln 2＋log 2 02216log 2 0224＝2＋log 416＝2＋2＝4.题型一 对数式的运算例1 (1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b 的值是( )A ．－1 B.12 C.710 D ．1答案 D解析 由2a ＝5b ＝10， ∴a ＝log 210，b ＝log 510， ∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5， ∴1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)计算：log 535＋22log 2log 5150－log 514＝________.答案 2解析 原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a ＝3，b ＝log 85，则4a －3b＝________.答案925解析 因为2a ＝3，所以a ＝log 23， 又b ＝log 85， 所以b ＝13log 25，所以a －3b ＝log 235，4a －3b ＝232log 52＝925.(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－log 34×log 23＝________.答案 －1解析 原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋12lg 4－2lg 2lg 3×lg 3lg 2＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1. 题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1 答案 A解析 由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1. 函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )， 由函数图象可知－1<log a b <0， 解得1a <b <1.综上，0<a －1<b <1.(2)(2023·佛山模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析f(x)＝|ln x|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，，所以ab＝1，则b＝1a，所以a＋2b＝a＋2a令g(x)＝x＋2x(0<x<1)，则g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．xlog跟踪训练2(1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝1b的图象可能是()答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)， ∴ab ＝1，∴a ＝1b，∴g (x )＝1log bx ＝log a x ，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝1log bx 互为反函数，∴函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx 的图象关于直线y ＝x 对称，且具有相同的单调性．(2)(2023·濮阳模拟)已知a >0且a ≠1，函数y ＝a x 的图象如图所示，则函数f (x )＝log a (－x ＋1)的部分图象大致为( )答案 D解析 由函数y ＝a x 的图象可得a >1.当a >1时，y ＝log a x 经过定点(1,0)，为增函数．因为y ＝log a x 与y ＝log a (－x )关于y 轴对称，所以y ＝log a (－x )经过定点(－1,0)，为减函数． 而f (x )＝log a (－x ＋1)可以看作y ＝log a (－x )的图象向右平移一个单位长度得到的， 所以f (x )＝log a (－x ＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数式的大小例3 (2023·武汉质检)已知a ＝log 30.5，b ＝log 3π，c ＝log 43，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <a <b答案 C解析 a ＝log 30.5<log 31＝0，即a <0； b ＝log 3π>log 33＝1，即b >1； 0＝log 41<log 43<log 44＝1，即0<c <1， ∴a <c <b .命题点2 解对数方程、不等式例4 若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，1解析 由题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数函数的性质及应用例5 (2023·郑州模拟)设函数f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B ．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减 C ．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D ．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增 答案 A解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠±3}， f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|＝ln|x 2－9|， 令g (x )＝|x 2－9|， 则f (x )＝ln g (x )，函数g (x )的单调区间由图象(图略)可知，当x ∈(－∞，－3)，x ∈(0,3)时，g (x )单调递减， 当x ∈(－3,0)，x ∈(3，＋∞)时，g (x )单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f (－x )＝ln|(－x )2－9|＝ln|x 2－9|＝f (x )得f (x )为偶函数．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0，且a ≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3] B ．(1,3) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)答案 A解析 令t (x )＝6－ax ，因为a >0，所以t (x )＝6－ax 为减函数． 又由函数f (x )＝log a (6－ax )在(0,2)上单调递减， 可得函数t (x )＝6－ax >0在(0,2)上恒成立，且a >1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，6－2a ≥0，解得1<a ≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12(a >0，且a ≠1)有最小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，2) 解析 令u (x )＝x 2－ax ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 24， 则u (x )有最小值12－a 24，欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．课时精练1．函数f (x )＝log 0.5(2x －1)的定义域为( ) A.⎝⎛⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．[1，＋∞)答案 A解析 由题意，要使函数f (x )＝log 0.5(2x －1)有意义，则满足log 0.5(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤12，1. 2．(2023·洛阳模拟)若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 依题意，函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数，即函数y ＝a x 的图象过点(1,3)， 则a ＝3，f (x )＝log 3x ，于是得f (log 28)＝log 3(log 28)＝log 33＝1， 所以f (log 28)＝1.3．函数f (x )＝log 2(|x |－1)的图象为( )答案 A解析 函数f (x )＝log 2(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B ，C ； 由f (－x )＝log 2(|－x |－1)＝log 2(|x |－1)＝f (x )，可知函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C (单位：Ah)，放电时间t (单位：h)与放电电流I (单位：A)之间关系的经验公式：C ＝I n ·t ，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流I ＝20 A 时，放电时间t ＝20 h ；当放电电流I ＝30 A 时，放电时间t ＝10 h ．则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为( ) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A.43 B.53 C.83 D ．2 答案 B解析 根据题意可得C ＝20n ·20，C ＝30n ·10， 两式相比得20n ·2030n ·10＝1，即⎝⎛⎭⎫23n ＝12， 所以n ＝23321log log 22＝ ＝lg 2lg32＝lg 2lg 3－lg 2≈0.30.48－0.3＝53.5．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－|x |，则不等式f (x )>0的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．∅答案 B解析 不等式f (x )>0⇔log 2(x ＋1)>|x |， 分别画出函数y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象，由图象可知y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)， 由图象可知log 2(x ＋1)>|x |的解集是(0,1)， 即不等式f (x )>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的图象恒过定点(0,0) B ．函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，1上的最小值为0 D ．若对任意x ∈[1,2]，f (x )≥1恒成立，则实数a 的取值范围是(1,2] 答案 ACD解析 将(0,0)代入函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，成立，故A 正确； 当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1∈(1，＋∞)，又a >1，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)，由复合函数单调性可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)单调递增，故B 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，x ＋1∈⎣⎡⎦⎤12，2，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|≥log a 1＝0，故C 正确； 当x ∈[1,2]时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知log a 2≥1，解得1<a ≤2，故D 正确．7．(2023·淮北模拟)计算：⎝⎛⎭⎫12－2＋log4＝______. 答案 10解析 ⎝⎛⎭⎫12－2＋4log 2log 2422＝＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f (x )＝()log 2x 的最小值为________． 答案 －14解析 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 9．已知f (x )＝()213log 5.x ax a －＋(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝()213log 210x x －＋，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u (x )＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u (x )为减函数，∴u (x )＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤1，1＋4a >0，解得－14<a ≤2， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－14，2. 10．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝log 3(9x ＋1)＋kx 是偶函数．(1)求k ；(2)解不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)．解 (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 3(9－x ＋1)－kx ＝log 3(9x ＋1)＋kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx ＝log 3(9－x ＋1)－log 3(9x ＋1)＝log 39－x ＋19x ＋1＝log 33－2x ＝－2x ， ∴k ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log 3(9x ＋1)－x ＝log 3(9x ＋1)－log 33x ＝log 39x ＋13x ＝log 3(3x ＋3－x )， 则不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)等价于3x ＋3－x ≥7·3x －1>0，由7·3x －1>0，解得x >－log 37；由3x ＋3－x ≥7·3x －1，得6·(3x )2－3x －1≤0，得0<3x ≤12， 即x ≤－log 32，综上，不等式的解集为(－log 37，－log 32]．11．若非零实数a ，b ，c 满足2a ＝3b ＝6c ＝k ，则( ) A.1a ＋1b ＝1c B.2a ＋2b ＝1c C.1a ＋1b ＝2cD.2a ＋1b ＝2c答案 A解析 由已知，得2a ＝3b ＝6c ＝k ，得a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，c ＝log 6k ，所以1a ＝log k 2，1b ＝log k 3，1c＝log k 6， 而2×3＝6，所以1a ＋1b ＝1c. 12．(多选)关于函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )，下列说法正确的是( )A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )在区间(0,2)上为增函数C ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称D ．f (x )的图象关于点(2,0)对称答案 BC解析 函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)，当x ＝2 时，4x －x 2 取到最大值4，故此时f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )取到最大值log 24＝2 ，A 错误；f (x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)可以看作是由函数y ＝log 2u ，u ＝－x 2＋4x (0<x <4) 复合而成，而y ＝log 2u 是定义域上的增函数，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故f (x )在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B 正确； 因为函数f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )，故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，C 正确； 因为f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )≠－f (x )，故f (x )的图象不关于点(2,0)对称，D 错误．13．(2023·宿州模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，图象恒过点(0,1)，对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)的解集为( )A ．(ln 2，＋∞)B ．(－∞，ln 2)C ．(ln 2,1)D ．(0，ln 2)答案 D 解析 因为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，不妨设x 1>x 2， 则f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，令g (x )＝f (x )－x ，则g (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)，等价于f (ln(e x －1))－ln(e x －1)<1＝f (0)－0，即g (ln(e x －1))<g (0)，所以ln(e x －1)<0，则0<e x －1<1，解得 0<x <ln 2.14．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x <2，x 2－8x ＋13，x ≥2，若f (x )＝a 有四个解x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A ．0<a <1B ．x 1＋2x 2∈(3，＋∞)C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4∈⎝⎛⎭⎫10，212 D ．x 4∈[4，＋∞)答案 AC解析 作函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x <2，x 2－8x ＋13，x ≥2的图象如图所示，f (x )＝a 有四个解，即y ＝a 与y ＝f (x )的图象有4个交点x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4， 可得0<a <1，故选项A 正确；由图象可得x 1·x 2＝1，则1x 1＝x 2，∴x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1， ∵12<x 1<1，且1<x 2<2，对勾函数y ＝x ＋2x 在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，故当12<x 1<1时，x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1∈⎝⎛⎭⎫3，92，故B 错误； x 1＋x 2＝1x 1＋x 1，∵12<x 1<1，∴1x 1＋x 1∈⎝⎛⎭⎫2，52， ∵x 3＋x 4＝8，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4∈⎝⎛⎭⎫10，212，故选项C 正确； 令x 2－8x ＋13＝0，解得x ＝4±3，由图象可知x 4∈(4＋3，6)，故选项D 错误．。
对数与对数函数
A. ①③
4.若 0<a<1, 则函数 y=loga(x+5)的图象不经过( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如果 loga3>logb3>0, 则( B ) A. 0<a<b<1 B. 1<a<b C. 0<b<a<1 D. 1<b<a
6.函数 f(x)=ax+loga(x+1) 在[0, 1]上的最大值与最小值之和为 a, 则 a 的值为( B ) 1 A. 1 B. C. 2 D. 4 2 4
1.化简下列各式: (1) (lg5)2+lg2· lg50; (2) 2(lg 2 )2+lg 2 · lg5+ (lg 2 )2-lg2+1 ; (3) lg5(lg8+lg1000)+(lg2 3 )2+lg 1 +lg0.06. 6 解: (1)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5) =(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5 =(lg5+lg2)2 =1. (2)原式=lg 2 (2lg 2 +lg5)+ (lg 2 -1)2 =lg 2 (lg2+lg5)+(1-lg 2 ) =lg 2 +1-lg 2 =1. (3)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2 =3lg5lg2+3lg5+3lg22-2 =3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2 =3(lg2+lg5)-2 =1.
三、对数恒等式
alogaN=N(a>0 且 a1, N>0).
对数与对数运算
一、对数 1．对数的概念：一般地，如果 a x = N (a 0, a 1) ，那么数 x
叫做以．a 为．底．N 的对数，记作： x = log a N （ a — 底数，
N — 真数， log a N — 对数式） 说明：① 注意底数的限制 a 0 ，且 a 1；
② a x = N log a N = x ； ③注意对数的书写格式． 两个重要对数： ①常用对数：以 10 为底的对数 lg N ； ②自然对数：以无理数 e = 2.71828为底的对数的对数 ln N ． ③对数的性质：（1）负数和零没有对数； （2）1 的对数是零： loga 1 = 0 ；（3）
A .56
B.2152
C.94
D．以上都不对
4、已知 2x＝5y＝10，则1x＋1y＝________.
5、求下列各式的值： (1)(lg 5)2＋lg 50·lg 2； 8；
(2)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 1
(3)log1327－log139；
(4)log89×log332.
( ) （5） log3
（６） lg 3 + 5 + 3 − 5
（7）
1－log63 2＋log62·log618 log64
例５ （１）lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 ，求 lg 45 ；（２）已知 log5 35 = m ，试用 m 表示 log 7 1.4 .
7 a 例６
计算：（１）
1−log
4
27 3
log
5
4
1 2
log
2
10
−
3
3
2 3
−
7
log
对数及运算性质
§4.1 对数与对数运算1.对数：（1）定义：如果a N a a b=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b Na =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。
） 由于N a b=>0故lo g a N 中N 必须大于0。
2.对数的运算性质及换底公式.（2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log log n m a amb b n=④对数换底公式：log b N =b N a a log log lg lg N b =○5log a M a M= ○61log log a b b a=1、求下列各式中x 的值：log 83x =（1） lg100x =（2） 2ln x e =（3）- 642(4)log x 3=-2、求下列各式的值：51log 25（） 15log 15(2) 9log 81(3) 4lg1000（）(5)lg10000 0.4log 1(6) 217log 16（）lg 0.001（8）(9)lg0.01 (10) lg 5100 (11)3log 273 (12)5111255og3、化简求值（1）2log （74×52） （2）lg ５＋lg ２ （3）5log ３＋5log 31（4）2log ６－2log ３（5）3log ５－3log (6)3lglg 70lg 37+-（7）（8） （9）2194log 2log 3log -⋅ （10）（11）3log 12.05- （12）（13）21lg 4932-34lg 8+lg 245强化训练：对数与对数运算练习题一．选择题1．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3 B ．log 18(－3)＝2 C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝182．log 63＋log 62等于( )A ．6 B ．5 C ．1 D ．log 65 3．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( )A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2c 3D.2ab3c4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 5．的值等于( )A ．2＋ 5 B ．2 5 C ．2＋52D ．1＋526．Log 22的值为( )A ．－ 2B. 2 C ．－12D.127．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a ＞5或a <2B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5C ．2<a <5D ．3＜a ＜48．方程2log3x ＝14的解是( )A ．x ＝19 B ．x ＝x3C ．x ＝ 3D ．x ＝99．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 10．若102x ＝25，则x 等于( )A ．lg 15 B ．lg5 C ．2lg5D ．2lg 1511．计算log 89·log 932的结果为( )A ．4 B.53 C.14 D.3512．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( ) A.47 B.27 C.72 D.74 二．填空题：1．2log 510＋log 50.25＝__ __. 2．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝_______. 3．若lg(ln x )＝0，则x ＝_ ______. 4．方程9x －6·3x －7＝0的解是_______ 5．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝_______.(用m ，n 表示) 7．log 6[log 4(log 381)]＝_______.8．使对数式log (x －1)(3－x )有意义的x 的取值范围是_______ 三.计算题1．(1)2log 210＋log 20.04 (2) lg3＋2lg2－1lg1.2（3）log 6112－2log 63＋13log 627 (4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3)；（5）lg5·lg8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++ （6）2)2(lg 50lg 2lg 25lg +⋅+（7）lg 25+lg2·lg50 （8）(log 43+log 83)(log 32+log 92)2.已知5lg 2lg 35lg 2lg 33⋅++=+b a ，求333ba ab ++3．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值．§5 对数函数及其性质1、对数函数图像过点（4,2），则该对数函数的解析式是（ ）A 、x y 2log =B 、x y 4log =C 、x y 8log =D 、不确定2、函数x a y a log )1(2-=是对数函数，则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、2±D 、任意值3、函数x a a y a log )33(2+-=是对数函数，则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、1或2D 、任意值4、若)10(log )(≠>=a a x x f a 且，且0)2(<f ，则)(x f 的图像是 （ ）5、若函数)10()(≠>=-a a a x f x ，是定义在R 上的增函数，则函数)1(log )(+=x x g a 的图像大致是（ ）6、已知0lg lg =+ba ，则函数x a x f =)(与函数x x gb log )(-=的图像可能是（ ）7、函数)10(1log )(≠>-=a a x x f a 且的图像恒过点（ ）A 、（1,0）B 、（0,-1）C 、（1,1）D 、（1,-1）8、函数)10(12log )(≠>--=a a x x f a 且）（的图像恒过点（ ）A 、（1,0）B 、（0,-1）C 、（1,1）D 、（1,-1） 9、已知函数)10(98)3(log ≠>-+=a a x y a 且的图像恒过点A ，若点A 也在函数bx f x +=3)(的图像上，则b 的值为（ ）A 、0B 、0C 、0或1D 、-1 10、已知)1(log )2(log 45.045.0x x ->+，则实数x 的取值范围是11、已知)65(log )32(log 22->+x x ，则实数x 的取值范围是12、已知)2(log )43(log ->-x x a a ，则实数x 的取值范围是13、132log <a ，则a 的取值范围是 14、函数)1lg(-=x y 的图像大致是（ ）15、已知10≠>a a且，则函数x a y =与)(log x y a -=的图像可能是（ ）16、下列函数图像正确的是（ ）17、函数x y 2log =在[1,2]上的值域是 18、函数)1(log 22≥+=x x y 的值域是19、函数)73(1)1(log 2≤≤++=x x y 的值域是20、函数)73(1)1(log 21≤≤++=x x y 的值域是。
对数与对数运算
汇报人：日期:对数与对数运算常用对数任意底数的对数值域定义域加减法换底公式乘除法对数和指数互为逆运算。
例如，如果x^n=b，那么log(x)(b)=n；如果log(x)(b)=n，那么x^n=b。
对数的定义可以看作是“以任意底a把某个数x升幂到x^1=x”。
例如，log(2)(8)=3，因为2^3=8。
同样地，指数函数可以看作是“以任意底a把某个数x降幂到1”。
例如，2^3=8，因为2^3=8。
对数与指数的关系03幂法则01乘法法则02除法法则对数运算法则对数运算的简化无穷大的对数负数的对数整数的指数幂-log(x)。
对于整数n，log(a^n) = n *log(a)。
在科学计算中的应用在金融领域中的应用在信息科学中的应用对数运算的实际应用ln(xy)=lnx+lny ln(x^n)=nlnx01定义：常用对数是以10为底数的对数，记作lg x。
02性质：常用对数函数在定义域内是单调递增函数，其性质包括03当x>0时，log(x^n)=nlogx04log(xy)=logx+logy 05log(x/y)=logx-logy06log(x^n)=nlogx对数的换底公式对数函数的定义与性质定义对数函数是指数函数与自然对数的复合函数，即$log_{a}x$，其中$a$为底数，$x$为真数。
性质对数函数具有非负性、单调性、奇偶性等性质。
当$a>1$时，对数函数为增函数；当$0<a<1$时，对数函数为减函数。
利用计算机软件如GeoGebra、Desmos等可以方便地绘制对数函数的图像。
绘制方法图像求解方程01数据分析02信号处理03换底公式对于不同底的对数，可以通过换底公式“log(a, b) = log(c, a) / log(c, b)”进行转换。
求解方法利用对数的性质，例如log(a, b) = 1/log(b, a)，可以对方程进行变形，从而求得未知数的值。
定义域分析先需要分析其定义域，即a和b的取值范围是否满足对数函数的定义。
知识讲解_对数及对数运算_基础(学生)
对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ．2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >；（2）1的对数为0，即log 10a =；（3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作．4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ，log a （M·N ）=log a M·log a N ，log aNM N M a a log log =．要点三、对数公式1．对数恒等式： log log a b N a a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， （a b ）n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n aa M M n log log =． （2）)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c 即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ． 【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -； （2）(1)log (2)x x -+； （3）2(1)log (1)x x +-．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）2log 164=； （2）13log 273=-； （3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x（4）2-2ln e x = 【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++-举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0）．类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式举一反三：【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185ba ==，求36log 45．35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z yz举一反三：【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++； （2）32log 9log 278⋅；（3）31log 529-．类型六、对数运算法则的应用例6．计算 （1）34331654()log log 8145-++ （2）7lg142lg lg 7lg183-+-（3）)36log 43log 32(log log 42122++ （4）353log 21log 235++-举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++； （2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++．【变式2】已知1,(1,0)()44,(0,1)x x x f x x ⎧∈-⎪=⎨⎪∈⎩，则4(log 3)f = ．。
对数与对数函数
C．a＜b＜c
[ 解析 ]
D．b＜a＜c
因为 0 ＜ log53 ＜ 1 ，所以 0 ＜ (log53)2 ＜ log53 ，又
的方法．
[解]
(1)由指数函数单调性可知 20.3>20＝1； 由对数函数
的单调性可知 log20.3<log21＝0；而 0.32＝0.09∈(0,1)． 综上可知 log20.3<0.32<20.3. 3 3 3 (2)因为 log55 5＝2，log49>log48＝2，log925<log927＝2. 所以 log49>log55 5>log925.
从而原函数的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
对于函数 f(x)＝log1(x2－2ax＋3)，解答下列问题：
2
(1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围； (3)若函数 f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数 a 的取值 范围； (4)若函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数 a 的值．
① 零与负数 没有对数；②loga1＝ 0；③logaa＝ 1 ；④
alogaN＝N(对数恒等式)．
(3)对数的运算法则 ① logaMN ＝ ＝ logaM－logaN a≠1，M>0，N>0.) (4)对数换底公式及几个对数恒等式． logmb ①logab＝ log a (b>0，a>0 且 a≠1，m>0 且 m≠1) m 1 ②logab＝log a b ③logab＝loganbn
对数与对数运算
换底公式推导
根据对数定义及指数运算规则，可以 推导出换底公式。具体过程略。
换底公式在简化计算中作用
化简复杂对数式
利用换底公式可以将复杂对数式转化为简单对数式，从而简 化计算过程。
复合函数处理方法
• 对于形如$f(g(x))$的复合函数，若外层函数$f(x)$和对内层函数$g(x)$都可导，则复合函数可导。在处理复合 对数函数如$\ln(\sin x)$、$\log_2(\cos x)$等时，需利用链式法则求导。
04
换底公式推导及应用技巧
换底公式介绍和推导过程
换底公式定义
形如$a^x+b^x=c$或$a^x \times b^x = c$等 更复杂的方程。
利用对数性质解指数方程步骤梳理
第一步
确定方程类型，选择合适的对数性质进行转 换。
第二步
应用对数性质，消去指数，将方程转化为代 数方程。
第三步
解代数方程，求得$x$的值。
第四步
验根，将求得的解代入原方程进行验证，确 保解的正确性。
统一底数
在实际问题中，有时需要将不同底数的对数式统一为一个底 数，以便进行计算和比较。换底公式可以实现这一目的。
实际应用案例展示
案例一
求解log5(25)+log2(32)-log3(9)。通过换 底公式，可将原式转化为以10为底的对数 式进行计算。
案例二
比较log0.5(0.4)与log0.4(0.5)的大小。通过 换底公式将两个对数式转化为以10为底的
运算性质总结
正对数性质
若$a>0, a\neq1, M>0, N>0$，则$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M\log_a N$，$\log_a M^n=n\log_a M$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
log c b log a b = 通过换底公式， log 通过换底公式，人们 c a
⇒ log c b = log c a , ⇒ log c b = p log c a,
p
log c b log c b ⇒ p= 即证得 log a b = log c a log c a
这个公式叫做换底公式
作业： 作业： P74习题2.2 A组 P74习题2.2 A组3(1)(3)(5) 习题 A组4
解 (2)原式 = log a ( x 2 y ) − log a z
2 1 2
1 2
1 3
1 3
= log a x + log a y − log a z
1 1 = 2 log a x + log a y − log a z 2 3
例 ４ ： 计 算 下 列 各 式 的 值
2、 练习 P68 2、3
（1）log 2 ( 2 ）
5
×4 )
7
5
解 : 原式 = log 2 2 + log 2 4
5
7
= log 2 2 + log 2 214 =5+14
=19 （2） lg ）
5
100
2 lg10 5
解 : 原式 =
2 = 5
积、商、幂的对数运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0，N > 0, 那么： 那么： log a ( M ⋅ N ) = log a M + log a N (1) M log a = log a M − log a N ( 2) N n log a M = nlog a M ( n ∈ R) ( 3)
x
当a > 0, a ≠ 1时,
log a N＝b ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ 底数
b =N a
指数 幂
底数 真数 对数
⑴负数与零没有对数. 负数与零没有对数
复 习 ： 有 关 性 质
⑵ log a 1 = 0, log a a = 1 ( a > 0, 且a ≠ 1) (3)对数恒等式 (3)对数恒等式 a
2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算 II
2010—10--25
复 习 ： 对 数 定 义
一般地， 一般地，如果a = N ( a > 0, 且a ≠ 1) 叫做以a为底 那么数 x叫做以 为底 的对数， 叫做以 为底N的对数， 其中a叫做对数 记作 x = log a N ，其中 叫做对数 底数， 叫做真数。 叫做真数 的底数，N叫做真数。式子log a N 对数式. 叫做对数式 叫做对数式
n
设M = a , N = a ,
推 导
M m−n 则 =a , N 又 log a M = m, log a N = n,
M 所以 log a = m − n, N
= log a M − log a N
由(a ) = a (m, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∈ R )
m n mn
推 导
设M = a ,
m
则 log a M = m, M = a ,
n
(1) ( 2) ( 3)
表示下列各式： 用log a x,log a y, log a z 表示下列各式：
例 ３ ：
练习 P68 1
xy (1)log a ; z
( 2) log a
x
2 3
y z
解 (1)原式 = log a ( xy ) − log a z
= log a x + log a y − log a z
m n
m+n
( m, n ∈ R )
n
设M = a , N = a ,
m
推 导
则M ⋅ N = a
m +n
又log a M = m,log a N = n, 所以 log a ( M ⋅ N ) = m + n,
= log a M + log a N .
由a ÷ a = a
m n m
m−n
(m, n ∈ R )
n mn
所以 log a M = mn,
n
= n log a M
积 、 商 、 幂 的 对 数 运 算 法 则
如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0，N > 0, 那么： 那么：
log a ( M ⋅ N ) = log a M + log a N M log a = log a M − log a N N log a M = nlog a M ( n ∈ R)
小
推论： log 推论： a a = n( n ∈ R )
n
探究： 探究：推导公式
探 究
(a > 0,
log c b log a b = log c a
a ≠ 1; c > 0, c ≠ 1; b > 0)
可以把其他底的对数 ( a > 0 , 且 a ≠ 1; c转换为以c ≠ 1;为底 0 ) > 0 , 且 或e为底 b> 转换为以10或 的对数， 证明：设 log a b = p 的对数，经过查表就 能求出任意不为1的 能求出任意不为 的 p 正数为底的对数。 由对数的定义可以得：b = 正数为底的对数。 a ,
=N (a > 0, 且a ≠ 1, N > 0)
log a N
复 习 ： 指 数 运 算 法 则
a ⋅ a = a (m, n∈R)
m n
m+n
a ÷a = a (m, n∈R)
m n
m−n
(a ) = a (m, n∈R)
m n n mn
(ab) = a ⋅b (n∈R)
n n
由a ⋅ a = a