湖南省长沙市长郡中学2020届高考数学模拟试卷1(2月份) (含答案解析)

湖南省长沙市长郡中学2020届高考数学模拟试卷1（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i为虚数单位，则复数3−4ii=()A. −4−3iB. −4+3iC. 4+3iD. 4−3i2.设集合A={x|1<x<4}，B={x|−1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于()A. {x|1<x<4}B. {x|3<x<4}C. {x|1<x<3}D. {x|1<x<2}∪{x|3<x<4}3.向量a⃗=(−4,5)，b⃗ =(λ,1)，若(a⃗−b⃗ )//b⃗ ，则λ的值是()A. −54B. −43C. −45D. −24.双曲线y25−x2=m(m>0)的焦距等于离心率，则m=()A. 120B. 110C. 15D. 145.已知函数f(x)={2x−1,x>−1f(x+2),x⩽−1，则f(−3)=()A. −78B. −12C. 1D. 76.设a⃗，b⃗ ，c⃗是非零向量，已知命题p：若a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗；命题q：若a⃗⋅b⃗ =0，b⃗ ⋅c⃗=0，则a⃗⋅c⃗=0，则下列命题中真命题是()A. p∧qB. p∨qC. (￢p)∧(￢q)D. (￢p)∨q7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(−1,√2)，则cosα+sin(π2−α)=()A. −√23B. 2√23C. √33D. −2√338.袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是()A. 15B. 45C. 13D. 129.函数在区间[−3,3]的图象大致为()A. B.C. D.10.如图，在三棱锥D−ABC中，AC⊥BD，且AC=BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则AC和EF所成的角等于()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘11.已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且f(−1)=1，则f(1)+f(2)+⋯+f(2018)的值为()A. −1B. 0C. 1D. 212.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1，左焦点为F2，若椭圆上存在一点P，满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为()A. √53B. 23C. √22D. 59二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=2x+xln x，则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为______ ．14.若实数x，y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．15.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=34，则S4=___________．16.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，(Ⅰ)求总体数据落在[2,10)内的概率；(Ⅱ)以区间的中点值作为同一组样本数据的代表，求总体数据的平均数．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA−sinBsinC =b+ca+b．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求4sinB−cosC的取值范围．19.已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD(2)若PA=1，求点A到平面PFD的距离．,2)，且M的通径20.设抛物线M：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P在M上，PF的中点坐标为(52不超过10．(1)求抛物线M的方程；(2)过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，其中直线l1交M于点A，B，直线l2交M于点C，D，求四边形ACBD的面积的最小值．21.已知函数f(x)=elnx−ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=e时，证明：xf(x)−e x+2ex≤0．22. 在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22．(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A,B 两点，M 是圆C 上不同于A,B 两点的动点，求ΔMAB 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −a 2|+|x +2|，其中a ∈R ．(1)当a =−1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A=−4−3i，解析：解：原式=(3−4i)(−i)−i⋅i故选：A．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.答案：B解析：解：∁R B={x|x<−1，或x>3}；∴A∩(∁R B)={x|3<x<4}．故选：B．进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.答案：C解析：由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．解：向量=(−4,5)，=(λ,1)，则−=(−4−λ,4)，又(−)//，所以−4−λ−4λ=0，解得λ=−．故选C．4.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．利用双曲线方程求出焦距以及离心率，求解即可．解：由y25−x2=m得y25m−x2m=1(m>0)．可得：e=√1+m5m =2√m+5m，解得m=120．故选A．5.答案：C解析：直接利用分段函数，求解函数值即可．解：∵函数f(x)={2x−1x>−1f(x+2)x⩽−1,∴f(−3)=f(−1)=f(1)=21−1=1.故答案为C．6.答案：B解析：解：∵a⃗，b⃗ ，c⃗是非零向量，∴命题p：若a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗为真命题，若a⃗⋅b⃗ =0，b⃗ ⋅c⃗=0，则a⃗//c⃗，故命题q：若a⃗⋅b⃗ =0，b⃗ ⋅c⃗=0，则a⃗⋅c⃗=0为假命题；故命题p∧q，(￢p)∧(￢q)，(￢p)∨q均为假命题；命题p∨q为真命题，故选：B先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了向量的位置关系，复合命题等知识点，难度基础．7.答案：D解析：解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(−1,√2)，∴cosα=√1+2=−√33则cosα+sin(π2−α)=2cosα=−2√33，故选：D．分析：由题意利用任意角的三角函数的定义，、诱导公式，求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，、诱导公式的应用，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查概率的求法，考查古典概型的基础知识，是基础题．基本事件总数为15，至多摸出1个黑球包含的基本事件个数为12，由此能求出至多摸出1个黑球的概率．解：在一个口袋中有3个白球标记为A1，A2，A3和3个黑球为B1，B2，B3，从中任意摸出2个球，基本事件总数为(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)共15个，至多摸出1个黑球包含的基本事件个数共12个，则至多摸出1个黑球的概率是p=1215=45．故选B．9.答案：A解析：本题主要考查了函数图象判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面进行判断，属于中档题．判断f(x)的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算f(1)，结合选项即可得出答案．解：设f(x)=sinx+ln|x|，当x>0时，f(x)=sinx+lnx，f′(x)=cosx+1x，∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0，即f(x)在(0,1)上单调递增，排除B；又当x=1时，f(1)=sin1>0，排除D；∵f(−x)=sin(−x)+ln|−x|=−sinx+ln|x|≠±f(x)，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，排除C；故选A．10.答案：B解析：本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成的角的应用，属于基础题．取BC的中点G，连接FG，EG，E，F分别是CD，AB的中点，∠EFG为EF与AC所成的角或其补角，计算即可得解．。