杭州二中高一数学每周一练 (2)
高中数学：浙江省杭州二中2024-2025学年高一上学期7月分班考试数学试卷(含参考答案)
浙江省杭州二中2024-2025学年高一上学期7月分班考试数学试卷一､选择题（每小题5分，共50分）1.计算等于（）C. D.2.设2t a b =+，21s a b =++，则s 与t 的大小关系是（）A.t s > B.t s ≥ C.t s < D.t s≤3.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，7BC =，点M ，N 分别是对角线BD ，AC 的中点，则MN =（ ）A.2B.5C.72 D.324.某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）A.(45π+B.36πC.63πD.2169π+5.已知两直线1120a x b y ++=和2220a x b y ++=的交点是()3,4，则过两点()()1122,,A a b B a b ､的直线方程是（）A.340x y +=B.430x y +=C.3420x y ++=D.4320x y ++=6.设x ，y ，0z >，14a x y =+，14b y z =+，14c z x =+，则a ，b ，c 三个数（ ）A.都小于4B.至少有一个不大于4C.都大于4D.至少有一个不小于47.将正整数排成下表则在表中数字2020出现在（ ）A.第44行第85列B.第45行第85列C.第44行第84列D.第45行第84列8.若存在正实数y ，使得154xy y x x y=−+，则实数x 的最大值为（ ） A.15 B.54C.1D.4 9.如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =.将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG CF ､.下列结论：（1）ABG AFG ≅ ；（2）BG GC =；（3）AG ∥CF ；（4）3FGC S = .其中正确结论的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1 10.()()()()()()()()333333332131412020121314120201−−−−++++ 的值最接近（ ） A.12 B.23 C.34 D.45二､填空题（每小题5分，共25分）11.tan45cos60−= __________.12.方程()()22120x a x a +−+−=的一个根比1大，一个根比1小，则实数a 的取值范围是__________. 13.函数15()22y x =+<<的最大值是__________.14.在等腰ABC 中，A B =，点D 在线段AC 上，且2CD DA =，若2tan 5ABD ∠=，则tan A =__________.15.设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若221a b −=，则1a b −<；②若111b a −=，则1a b −<；1−，则1a b −<；④若331a b −=，则1a b −<. 其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）三､解答题（每小题10分，共40分）16.解方程：4326736760x x x x +−−+=17.对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()()ff x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”.（1）求证；若x 为()f x 的“不动点”，则x 为()f x 的“稳定点”；（2）若()()21,f x ax a x =−∈∈R R ，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}()(){},A x f x x B xf f x x ====∣∣，且A B =，求实数a 的取值范围. 18.如图，圆1O 和圆2O 相交于点A B ､，半径1O B ､半径2O B 所在直线分别与圆2O ､圆1O 相交于点E F ､，过点B 作EF 的平行线分别与圆1O ､圆2O 相交于点M N ､.证明：MN AE AF =+.19.现有重量为1，2，4，8，16的砝码各一个，有一个天平，在每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入砝码的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中，发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，问这样的放法共有多少种？参考答案一､选择题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为2n .因为2441936=，2452025=，所以2017出现在第45行上.又由2020193684−=，故2017出现在第84列，故选D8.【答案】A 【解析】转化154xy y x x y =−+为()224510xy x y x +−+=，以y 为自变量的方程有正根，根据根与系数关系确定实数x 的范围即可.9.【答案】B【解析】（1）AB AD AF == ，AG AG =，90B AFG ∠∠== ，()Rt Rt ABG AFG HL ∴≅ ；故（1）正确（2）123EF DE CD ===，设BG FG x ==，则6CG x =−. 在Rt ECG 中，根据勾股定理，得()()222642x x −+=+，解得3x =，363BG GC ∴==−=.故（2）正确（3）CG BG = ，BG GF =，CG GF ∴=，FGC ∴ 是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=. 又Rt Rt ABG AFG ≅ ；AGB AGF ∠∠∴=，2AGB AGF AGB ∠∠∠+=18022FGC GFC GCF GFC GCF ∠∠∠∠∠=−=+==AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，AG ∴∥CF ；故（3）正确.（4）2EF = ，3GF =，故331185525FGC GCE GCE GF S S S GC EC GE ===×⋅= .故（4）错误.∴正确的个数有3个.故选：B .10.【答案】B【解析】由立方和､立方差公式得：()()32111n n n n −−++，()()()()()()322111111121n n n n n n n ++=+++−++=+++ . 所以()()()()()2332111111221n n n n n n n n n n −++−−==++++++. ()()()()()()()()()3333333333333333213141202011213120191202012131412020121314120201−−−−−−−=×××××−++++++++ ()()3311220181123202012020194520219201920202021××=×××××−=××−×× ()()222201920202020122202020201220202020132019202020213202020213202020201×++++++=×=×=×××××+ 222220202020121213202020203202020203++ =×=×+≈ ++ 故选：B . 二､填空题 11.【答案】1212.【答案】21a −<< 13.【答案】14.【答案】215.【答案】①④三､解答题 16.（221167360x x x x++−−= ，1t x x =−，32t =，83−；2x =，12−，3−） 17.（1）解：若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t A ∈，则()f t t =，()()()f f t f t t ==，t B ∴∈，故A B ⊆.（2）A ≠∅ ，21ax x ∴−=有实根，14a ∴≥− 又A B ⊆，所以()2211a ax x −−=，即3422210a x a x x a −−+−=的左边有因式21ax x −−，从而有()()222110ax x a x ax a −−+−+= A B = ，2210a x ax a ∴+−+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x −−=的根.若2210a x ax a +−+=没有实根，则34a <；若2210a x ax a +−+=有实根且实根是方程210ax x −−=的根，则由方程210ax x −−=，得22a x ax a =+，代入2210a x ax a +−+=，有210ax +=.由此解得12x a=−，再代入得111042a a +−=，由此34a = 故a 的取值范围是13,44 −. 18.【解析】试题分析：根据平角得R A S ､､三点共线，根据同弦所对角相等得F R S E ､､､四点共圆.根据四点共圆性质得MRB FRA ∠∠=，即得MB FA =，同理可得NB AE =，根据等量性质得MN AE AF =+. 试题解析：解：延长12BO BO ､分别与圆1O ､圆2O 相交于点R S ､，连结RM RF RB SA SE SN AB ､､､､､､.则90BAR BAS ∠∠== ，所以R A S ､､三点共线 又90RFS SER ∠∠== ，于是F R S E ､､､四点共圆. 故MRF MBF EFB ERS ∠∠∠∠===，从而MRB FRA ∠∠=，因此MB FA =，同理NB AE =.所以MN AE AF =+.证法二：连接1FO ，2EO ，那么我们易得等腰12O BF O EB ∼ .故我们有21BF BO BO BE ⋅=⋅，那么由相交弦定理的逆定理，我们有1O ，2O ，E ，F 四点共圆.从而我们有2221190O BN O FE O O E O BA ∠∠∠∠===− ， 故我们有22AO E BO N ∠∠=.从而AE BN =，同理AF BM =，即证明了MN AE AF =+.19.答案：是9*7*5*3*1945=，这算个组合计数题.分类讨论是比较困难的.最好的方法是分步原理，但不是很好想，但我觉得也有学生可能可以猜到这个答案.做法如下：将所有的位置分为：1左，1右；2左，2右；3左，3右；4左，4右；5左，5右.k左表示第k次放在天平左边，k右同理.那么我们先来看1这个砝码，你会发现对它的要求是不放在1右都可以.从而右9种选择.再看2这个砝码，若1这个砝码是第k次放，那么2这个砝码不能是第k次放，去掉一个位置，然后不能在去掉1这个砝码后放在右边，故还要去掉一个位置，故有7种可能……类似的考虑4，8，16……关键想法是考虑总共有10个位置，要将5个砝码放到这10个位置满足一定条件，然后砝码的顺序很重要.必须先考虑1.事实上也可以想象成归纳.。
浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一上学期分班考数学试题及参考答案
杭二中高一新生实验班选拔考试数学试卷注意：（1）本试卷分三部分，17小题，满分150分，考试时间60分钟. （2）请将解答写在答题卷相应题次上，做在试题卷上无效. 一、选择题.（5分×6=30分）1.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b +++++的值为（ ） A.6B.7C.9D.102.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ） A.1B.2C.3D.43.若质数a ，b 满足2940a b −−=，则数据a ，b ，2，3的中位数是（ ） A.4B.7C.4或7D.4.5或6.54. ()62121110121110102x x a x a x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅++，则12108642a a a a a a +++++=（ ） A.-32B.0C.32D.645.若四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足()()20122012201220122012ac ad −−=，()()20122012201220122012bc bd −−=，则()()20122012ab cd −的值为（ ）A.-2012B.-2011C.2012D.2011二、填空题（6分×8=48分）6.设下列三个一元二次方程：24430x ax a +−+=；()211?0x a x a +−++=；22230x ax a +−+=，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是___________.7.如图所示，把大正方形纸片剪成五个部分，在分别距离大正方形的四个顶点5厘米处沿450方向剪开，中间的部分正好是小正方形，那么小正方形的面积是__________平方厘米.8.点A 为y 轴正半轴上一点，A ，B 两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线2y x =于P ，Q 两点.若点A 的坐标为()0,1，且60PBQ ∠=°，则所有满足条件的直线PQ 的函数解析式为：___________.9.111005−>成立的正整数n 的值的个数等于___________.10.如图，四边形ABCD 中，AB BC CD ==，78ABC ∠=°，162BCD ∠=°.设AD ，BC 延长线交于E ，则AEB ∠=____________.11. D 是ABC △的边AB 上的一点，使得3AB AD =，P 是ABC △外接圆上一点，PB 使得ADP ACB ∠=∠，则PBPD的值___________.三、解答题.（12分×6=72分）12.已和x ，y ，z 均为非负数，且满足142x y z y z =+−=−−. （1）用x 表示y ，z ；（2）求222u x y z =−+的最小值.13、由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone 手机二6月售价比一月每台降价500元.如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. （1）一月Iphone6手机每台售价为多少元?（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s 手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s 每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案?（3）该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金a 元，而Iphone6s 按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值?14.如图，在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=°，D 、E 是边AB 上的两点，3AD =，4BE =，45DCE ∠=°，则ABC △的面积是多少?15.若直线l ：3y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B .坐标原点O 关于直线l 的对称点O ′在反比例函数ky x=的图象上.（1）求反比例函数ky x=的解析式； （2）将直线l 绕点A 逆时针旋转角()045θθ<<°°，得到直线l ′，l ′交y 轴于点P ，过k 点P 作x 轴的平行线，与上述反比例函数k y x =的图象交于点Q ，当四边形APQO ′的面积为9θ的值. 16.已和关于x 的方程()()221331180m x m x −−−+=有两个正整数根（n 是整数）. ABC △的三边a 、b 、c 满足：c =，2280m a m a +−=，2280m b m b +−=. 求：（1）m 的值； （2）ABC △的面积.17.如图ABC △为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是ABD △和ACD △的外接圆的直径，连结EF ，求证：tan EFPAD BC∠=.附加题（同分优先）：18.如图，已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点.以点A 为圆心，AP 为半径作A ，A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作B ，B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M .求证：MP 分别与A 和B 相切.参考答案一、选择题1-5BDCAA二、填空题6. 12a ≥或32a ≤− 7.508.如图，分别过点P ，Q 作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D . 设点A 的坐标为()0,t ，则点B 的坐标为()0,t −.设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+，并设P ，Q 的坐标分别为(),P P x y ，(),Q Q x y .由2,23y kx t y x =+=得2203x kx t −−=， 于是32P Q x x t =−，即23P Q t x x =−.于是()()22222222333322223333p p p Q p p Q p p Q Q Q Q p Q Q Q px t x x x x x x y t x BC BD y t x x t x x x x x x +−−+=====−++−−.又因为P Q x PCQD x =−，所以BC PC BD QD=. 因为90BCP BDQ ∠=∠=°，所以BCP BDQ ∽△△， 故ABP ABQ ∠=∠.（2）设PC a =，DQ b =，不妨设0a b ≥>， 由（1）可知30ABP ABQ ∠=∠=°，BC =，BD =，所以2AC =−，2AD =.因为PC DQ ∥，所以ACP ADQ ∽△△.于是PC AC DQ AD =，即a b =所以a b +.由（1）中32p Q x x t =−，即32ab −=−，所以32ab =，a b +，于是可求得2a b==将b =代入223y x =，得到点Q的坐标12. 再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得k =. 所以直线PQ的函数解析式为1y x +.9.1008015 10.21°11.解：连接AP ，∵APB ∠与ACB ∠是 AB 所对的圆周角，∴APB ACB ∠=∠， ∵ADP ACB ∠=∠，∴APB ACB ADP ∠=∠=∠， ∵DAP DAP ∠=∠，∴APB ADP ∽△△，∴APAD PD AB AP PB ==，∴()233AP AD AB AD AD AD =⋅=⋅=，∴PB AP PDAD==.三、解答题.12.（1）32y x =−，23z x =−+ （2）当32x =时，min 12u =− 13.（1）一月Iphone4每台售价为4500元 （2）有5种进货方案（3）当100a =时（2）中所有方案获利相同 14. 36ABC S =△15.（1）9y x=− （2）15θ=°16.（1）2m =（2）1ABC S =△ 17.证明：如图，连接ED ，FD .∵BE 和CF 都是直径，∴ED BC ⊥，FD BC ⊥， ∴D ，E ，F 三点共线，连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠， ∴ABC AEF ∽△△. 作AH EF ⊥，重足为H .又∵AP BC ⊥，DF BC ⊥，∴四边形APDH 是矩形，∴AH PD =， ∵ABC AEF ∽△△，∴EF AHBC AP=， ∴EF PD BC AP=，∴tan PD EFPAD AP BC ∠==.18.证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作CE AB ⊥，DF AB ⊥， 垂足分别为E ，F∴CE DF ∥，90AEC ∠=°，90BFD ∠=°. ∵AB 是O 的直径，∴90ACB ADB ∠=∠=°， 又∵CAB ∠是ACB △和AEC △的公共角. ∴ACB AEC ∽△△. ∴::AC AB AE AC =即22·PA AC AE AB ==，同理22·PB BD BF AB ==. 两式相减可得()22PA PB AB AE BF −=−，∴()()()22PA PB PA PB PA PB AB PA PB −=+−=−，∴AE BF PA PB −=−，即PA AE PB BF −=−， ∴PE PF =，∴点P 是线段EF 的中点， ∵M 是CD 的中点，∴MP 是直角梯形CDEF 的中位线， ∴MP AB ⊥，∴MP 分别与A 和B 相切.。
浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}12．若函数()1f x +的定义域是{}10x x -<<，则函数()f x 的定义域为（）A ．{}01x x <<B ．{}21x x -<<-C ．{}10x x -<<D ．{}20x x -<<3．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知()e e x x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：0x ∃≥，111x x +<+，则（）A ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是真命题B ．命题p 的否定为0x ∃≥，111x x +≥+，且p 是真命题C ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是假命题D ．命题p 的否定为0x ∀<，111x x +≥+，p 是假命题6．已知函数2()32x a x f x ax x ⎧≤=⎨+>⎩，，是R 上的增．函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．13a <<C ．13a -≤≤D ．13a <£7．已知,,abc 为正数，且22a b c ++=，则14a b b c +++的最小值为（）A ．52B ．52C ．92D ．948．已知函数341()=41x x f x x -++，则不等式(21)()0f x f x -+<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞二、多选题9．设,R a b ∈，若0a b ->，则下列结论正确的是（）A ．0b a ->B ．0b a +>C ．220a b ->D ．330a b +<10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A ．三项比赛都参加的有2人B ．只参加100米比赛的有3人C ．只参加400米比赛的有3人D ．只参加1500米比赛的有3人11．设R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.51, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，记{}[]x x x =-.则下列说法正确的有（）A ．R,Z x n ∀∈∈，都有[][]n x n x +=+B ．,x y ∀∈R ，都有[][][]xy x y ≥C ．*R,N x n ∀∈∈，都有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．若存在实数x ，使得23[]1,[]2,[]3,...,[]n x x x x n ====同时成立，则正整数n 的最大值为4.三、填空题12．设集合(){}22,2,N,N A x y x y x y =+≤∈∈，则A 中元素的个数为13．如果2339x x --<，则x 的取值范围为.14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12x x D ∈,当12x x <时，有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0;f =②1()()32x f f x =；③(1)()1f x f x -+=.则21((55f f +=四、解答题15．已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .(1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()4(0)4x xa f x a =+≠(1)当1a =时，根据定义证明函数()f x 在(0,+∞）上单调递增.(2)若()f x 有最小值4，求a 的值.17．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈.(1)若1t =，（i ）当[0,3]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值;（ii ）对任意的[]0,2x a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的12,[0,4]x x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.19．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()4f x x x =-+.(1)求()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[,]a b （0a ）时，()f x 的值域为[,]a b ，求,a b 的取值.(3)是否存在实数,a b ，使得当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为88[,b a，如果存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
B． 0
C． 0,1
D． 1, 0,1
2．已知函数 f 2x 1 x2 1，则 f 3 （ ）
A．1
B． 2
3．“ x2 y2 0 ”是“ xy 0 ”的（ ）
C． 4
D． 6
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
4．已知函数 f x 的定义域为 0,1 ，则函数 f 2x 1 的定义域为（ ）
是
.
15．
f
x
log 2
4x
log 1
4
x 2
，
x
1 2
, 4
的最大值为
．
16．已知函数 f x x2 mx n m, n R ，记集合 A x f x 0 ，
B x f f x 2 0 ，若 A B ，则实数 m 的取值范围是
.
四、解答题
17．设集合 A x x2 ax a2 19 0 ， B x x2 5x 6 0 ， C x x2 2x 3 0 .
P m, f n 构成一个正方形区域，则实数 a 的值为（ ）
试卷第 1页，共 4页
A．-1
B．-2
C．-3
D．-4
二、多选题
9．已知 x ， y 都为正数，且 2x y 1，则下列说法正确的是（ ）
A．
2 xy
的最大值为
1 4
C． x x y 的最大值为 1
4
B．
4x2
y2
的最小值为
1 2
问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如 x a2 y b2 的代数式，可
以转化为平面上点 M x, y 与 N a,b 的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数
2024届浙江省杭州市杭州第二中学高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析
2024届浙江省杭州市杭州第二中学高一数学第二学期期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11A D ，1A A 的中点，则异面直线EF 和1BD 所成角的余弦值为（ ）A ．63B ．33C ．22D ．662．定义运算:a b ad bc c d=-.若不等式22301k kx x+<-的解集是空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}[)024,⋃+∞ B ．[]0,24C ．(]0,24D ．(][),024,-∞⋃+∞3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，33S =，33a =，则1011a =（ ） A ．2019 B ．1010C ．2018D ．10114．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间上单调递增 B ．在区间上单调递增 C ．在区间上单调递增 D ．在区间上单调递增5．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（ ） A ．12019B ．12C ．12020D ．201920206．若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．27．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ．2B ．42C ．6D ．2108．已知向量()4,a x =，()8,4b =--且//a b ，则x 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．8-D ．89．对任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.6]3=，[ 3.4]4-=-，关于函数1()33x x f x ⎡+⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，有下列命题：①()f x 是周期函数；②()f x 是偶函数；③函数()f x 的值域为{0,1}；④函数()()cos g x f x x π=-在区间(0,)π内有两个不同的零点，其中正确的命题为( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④10．如图，'''A B C ∆是ABC ∆的直观图，其中'''',''//A B A C A B x =轴，''//A C y 轴，那么ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题四、解答题(1)为了观赏效果，需要保证则α应设计在什么范围内?(2)若BC =AD ，求当α为何值时，四边形21．已知函数1()1x x f x axa -=-++(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)证明：()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点；(3)设()f x 在(0,)+∞上的零点为22．已知函数()f x 满足：对∀2()f x x x m =--+.函数()log g x =(1)求实数m 的值；(2)已知22()3h x x x λλ=-+-+，成立?若存在，求出实数λ的取值范围；参考答案：【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0,0.5)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．6．C【分析】依题意画出函数图像，函数()()g x f x m =-的零点，转化为函数()y f x =与函数y m =的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；【详解】因为()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，画出函数()f x 的图像如下所示，函数()()g x f x m =-的有两个零点，即方程()()0g x f x m =-=有两个实数根，即()f x m =有两个实数根，即函数()y f x =与函数y m =有两个交点，由函数图像可得1m ≤-，如图，单位圆A 中，BAC θ∠=则 BC的长度l θ=，sin BD θ=当π2θ<，则ππ24θC -=>，故tan 故当1π20232θ=<时，有BC BD >∴1111cos 202220232023c >>-Þ综上，a c b >>.故选：D.【点睛】（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答9．ABD【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解【详解】则题意可得2tan xα-==()()22225sin 512α-==--+-，()()2215cos 512α-==--+-，C 由()1,2P --，角α的终边在第三象限，即()π3ππ,πZ 224k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，即角2α的终边在二、四象限，所以故选：ABD.10．BC由题意得，BAC ∠由余弦定理得cos120则灯塔与轮船原来的距离为故答案为：4．15．(]1,4【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合【详解】当0a <当02x <≤时，所以此时()f x ∈当2x >时，(f x 若函数()f x 存在最大值，则所以a 的取值范围为故答案为：(]1,416．2π2π22-+【分析】由tan x 02πx y <+≤02π,y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0【详解】因tan x故只需2t >恒成立，则22(0)32(1)132h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得01λ<<，综上所述：存在01λ<<满足条件.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析
数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.【详解】.故选：A2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ）AB. C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由斜二测画法的规则得到平面图形，即可得到原图形的面积.【详解】依题意不妨令直观图如下所示：.()21i (1i)+-22i-22i--22i+22i-+()()21i 1i +-()()221i 12i i =+-+()2i 1i 22i =-+=-1则还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以原图形面积为故选：B3. 已知在中，，则（ ）A.B.C.或D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】由正弦定理，即又，所以或.故选：C4. 已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】1O A ''=O B ''=1OA O A ''==2OB O B ''==1⨯=ABC π2,6AB AC C ===B =π43π4π43π4π2sin sin c b C B=2πsin 6=sin B =5π06B <<π4B =3π4B =4π6π8π16π【分析】根据圆柱的表面积公式计算可得.【详解】依题意圆柱的底面半径，高，所以圆柱的表面积.故选：B5. 已知正方形的边长为，点满足，则（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进行求解即可.【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，则，，，可得，点满足，所以．故选：C.6. 以下说法正确的是（ ）A. 是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个B. 若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则D. 空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个【答案】D 【解析】【分析】当与相交时，不存在过且与平行的平面，即可判断A ；举例说明即可判断1r =2h =222π2π2π12π126πS r rh =+=⨯+⨯⨯=ABCD 2P ()12AP AC AD =+ AP AC ⋅=u u u r u u u rABCD ()0,0A ()2,2C ()0,2D ()()2,2,0,2AC AD ==P ()()11,22AP AC AD =+= 12226AP AC ⋅=⨯+⨯=a αa ααβα//β,,A B C a αa αBC ；满足条件的平面有两个，且在的异侧，即可判断D.【详解】A ：当与相交时，不存在过且与平行的平面，故A 错误；B ：三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行，故B 错误；C ：当与相交时，也存在平面内不共线的三点到平面的距离相等，故C 错误；D ：空间中三点构成边长为2的正三角形，与这三点距离均为1的平面恰有两个，且这两个平面分别在的异侧，故D 正确.故选：D7. 已知满足，则的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解．【详解】已知满足，设、、对应的边分别为，，，则，即，则，当且仅当时取等号，即故选：D ．8. 已知正四棱锥的内切球半径为，则当四棱锥的体积最小时，它的高为（ ）ABC a αa ααβαβ,,A B C ABC ABC 345CA CB BA BC AB AC ⋅+⋅=⋅cos A 35452221123a b c =+ABC 345CA CB BA BC AB AC ⋅+⋅=⋅AB AC BC c b a 222222222345222a b c a c b b c a ab ac bc ab ac bc+-+-+-⨯⨯+⨯⨯=⨯2221123a b c =+222221223cos 22b cb c a A bc bc ++-==≥=221223b c =cos A P ABCD -r P ABCD -A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥底面边长为2a ，，高为h ，根据正四棱锥的结构特征结合三角形相似推出，表示出棱锥的体积，结合导数确定棱锥体积最小时，由此即可求得答案.【详解】如图，设正四棱锥的底面的中心为F ，内切球球心为O ，则O 在四棱锥的高上，设内切球与侧面相切于点G ，设E 为的中点，连接，则G 在上，且，则∽，设正四棱锥的底面边长为2a ，，高为h ，则，故四棱锥的体积为，则，当时，，V 在上单调递减，当时，，V 在上单调递增，故时，V 取得最小值，此时，的3r 4r 5rP ABCD -()a r ≠2222a rh a r =-a =P ABCD -PFPBC BC PE PE OG PE ⊥Rt PGO Rt PFE△P ABCD -()a r >r a =2222a rh a r =-P ABCD -222422224428333a h a a r r a V a r a r==⨯=⨯--()32222282(2)3r a a r V a r -=-'⨯r a <<0V '<()r a >0V '>),∞+a =3244r h r r==故选：C二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 以下关于向量的说法正确的有（ ）A. B. 若，则C. D. 若，则【答案】BC 【解析】【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直逐一判断即可．【详解】对于选项A ，当，，均为非零向量时，不妨设，，则，，即选项A 错误；对于选项B ，若，两边平方化简得，则，即选项B 正确；对于选项C ，，即选项C 正确；对于选项D ，若，若，则与的位置关系无法确定，即选项D 错误．故选：BC ．10. 已知为复数，，则以下说法正确的有（ ）A.B. ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ a b a b +=- 0a b ⋅= 3||a a a a ⋅⋅=a //,b b //c a //cabca b ⊥ //b c ()0a b c ⋅⋅= ()0a b c ⋅⋅≠||||a b a b +=-40a b ⋅= 0a b ⋅=3||||a a a a ⋅⋅=//,//a b b c0b =a c12,z z 120z z ≠1122||||||z z z z =1212||||||z z z z +=+C.互为共轭复数D. 若，则的最大值为6【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合复数模、共轭复数的意义计算判断AC ；举例说明判断B ；利用复数的几何意义求出最大值判断D.【详解】设复数，对于A ，，，A 正确；对于B ，取，则，B 错误；对于C，，，互为共轭复数，C 正确；对于D ，在复平面内，是表示复数的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，是上述圆上的点与复数对应点的距离，而点，的最大值为，D 正确.故选：ACD11. 如图，在菱形中，分别为的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（ ）1122,z z z z 1||1z =1|34i |z -+222212121211212212,,,,,R,00i i ,z x z x x y y y x y y x y x =+=≠++∈+≠111112212122112222222222222222i (i)(i)i i (i)(i)z x y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y x y ++-+-===+++-++1212||||||z z z z ====12i,i z z ==-1212||||||20,z z z z +==+111122121212212222222222222212i (i)(i)i i (i)(i)x y x y x y x x z y y x y x y x y x y x y x y x y z --++-===+--+++1121221121212122122222222222222222()i i z x x y y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y +-+-=-=+++++1122,z z z z 1||1z =1z 11|34i ||(34i)|z z -+=--34i -(3,4)-(3,4)-5=1|34i |z -+516+=ABCD ,M N ,BC CD ABCD AC D ABCA. 平面B. 异面直线与所成角为定值C. 设菱形边长为，当二面角为时，三棱锥的外接球表面积为D. 若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是【答案】ABC 【解析】【分析】据题意，证得，证得平面，可判定A 正确；证得平面，证得，得到，可判定B 正确；取的中心，设外接球的球心为，根据球的截面圆的性质，求得外接球半径为，可判定C 正确；分为直角和钝角时，结合在线段的关系，结合，可判定D 错误．【详解】对于A ，∵，分别为菱形的边，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，故A 正确；对于B ，取中点，连接，如图，则，，平面，∴平面，而平面，∴，∴，即异面直线与所成的角为90°，B 正确；MN //ABDAC MN ABCD ,60a CDA ∠= D AC B --120 D ABC -27π3a AD BC ABC ∠π0,4⎛⎫⎪⎝⎭//MN BD //MN ABD AC ⊥BDO AC BD ⊥AC MN ⊥,ABC BCD 12,O O O R =ABC ∠H CB DB DO OB <+M N ABCD BC CD //MN BD MN ⊄ABD BD ⊂ABD //MN ABD AC O ,DO BO ,DO AC BO AC ⊥⊥BO DO O = ,BO DO ⊂BDO AC ⊥BDO BD ⊂BDO AC BD ⊥AC MN ⊥MN AC对于C ，取的中心，设外接球的球心为，连接平面，平面，连接，并延长交于点，因为的边长为，可得，则，又因为，当二面角为时，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，即外接球半径为，所以外接球的表面积为，所以C 正确；对于D ，过作，垂足为，若为锐角，在线段上；若为直角，则与重合；若为钝角，则在线段的延长线上，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，因为，所以平面，因为平面，所以，若为直角，与重合，所以，在中，因为，所以不可能成立，即为直角不可能成立；若为钝角，在线段的延长线上，则在菱形中，为锐角，由于立体图中，所以立体图中一定小于平面图中的，所以为锐角，，故点在线段上与H 在线段的延长线上矛盾，,ABC BCD 12,O O O 1OO ⊥ABC 2OO ⊥BCD 1BO 1BO AC E ABCa BE a=11,BO O E ==60CDA ∠=︒D AC B --120︒160∠=︒OEO 1OEO 111tan 602OO O E a ==1OO BOB ==R =2274ππ3S R a ==A AH BC ⊥H ABC ∠H BC ABC ∠HB ABC ∠H CB AD BC AH BC ⊥BC⊥AHD HD ⊂AHD CB HD ⊥ABC ∠H B CB BD ⊥CBD △CB CD =CB BD ⊥ABC ∠ABC ∠H CB ABCD DCB ∠DB DO OB <+DCB ∠DCB ∠DCB ∠CB HD ⊥H BC CB因此不可能是钝角；综上,的取值范围是，所以D 错误．故选：ABC .【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数满足，则的虚部为__________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可求得答案.【详解】由，得，故的虚部为1，故答案为：113. 已知向量，则与夹角相同的单位向量为__________.【答案】或．【解析】【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示及模长得x ,y 的关系式即可求解．【详解】设与、夹角相同的单位向量，ABC ∠ABC ∠π0,2⎛⎫⎪⎝⎭z ()1i 13i z +=+z ()1i 13i z +=+()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-z ()()2,1,2,1a b ==- a b ､(1,0)(1,0)-ab (,)e x y =，因为，所以或．故答案为：或．14. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.【解析】【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解．【详解】如图所示，在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，易知四边形是菱形，设在平面的射影为，由正三棱锥可知，点是△的外心，，则，=0y =221x y +=1x ==1x -(1,0)(1,0)-a 1111ABCD A B C D -P 11BA C 1B P =1D P 11BAC 1111ABCD A B C D -11112222A B C D A B C D -12C D 12A D 1B 11BA C 1O 2O P 12D PO ∠1D P 11BA C 1D 211D AC 2O P 1111ABCD A B C D -11112222A B C D A B C D -12C D 12A D 211D A BC 1B 11BA C 1O 111B A BC -1O 11BA C 1111A B BC A C ===11212BA C S ==由，得，所以，再结合，得，从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆，同理，在平面（即平面上的射影为的外心，连接，则在平面上的射影为，进而即为直线与平面所成角，记，则，其中为定值，而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时，取得最小值，记相交于Q ,易知，则，此时．． 【点睛】关键点点睛:本题考查空间中点的轨迹及线面角，关键111111B A BC B A B C V V --=2311111332B O a ⋅=⨯⨯11B O =1B P =1O P ==P 11BA C 1O r =1O 1D 211D AC 11)BA C 2O 211D A C △2O P 1D P 11BA C 2O P 12D PO ∠1D P 11BA C 12D PO θ∠=122tan D O O P θ=1211D O B O ==2O P P 1211O O AC ⊥1O 2O P 1211,O O AC 1213O Q O Q ===212O P O O r =-==tan θ=是确定在平面上的轨迹为圆.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知复数，且是实数.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）或， （2）【解析】【分析】（1）首先化简，根据为实数得到，再由余弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得，即可得到，再根据复数乘方法则计算可得.【小问1详解】因为，所以，因为是实数，所以，则，所以或，，解得或，.【小问2详解】当，时，若为偶数，则若为奇数，则，所以；的P 11BA C ()sin i cos21,R z θθθ=++∈2i z-θ3z ππ3k θ=+2ππ3k θ=+Z k ∈3i z =2i z -2i z -1cos 22θ=-sin θz ()sin i cos21z θθ=++()()2i 2sin i cos21i 2sin i 2cos 21z θθθθ⎡⎤-=++-=++⎣⎦2i z -2cos 210θ+=1cos 22θ=-22π2π3k θ=+42π2π3k θ=+Z k ∈ππ3k θ=+2ππ3k θ=+Z k ∈ππ3k θ=+Z k ∈k ππsin sin πsin 33k θ⎛⎫=+==⎪⎝⎭k ππsin sin πsin 33k θ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭sin θ=同理当，时，，又，所以当，则；当，则；故.16. 如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.（1）若，证明：平面；（2）连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围.【答案】（1）证明见解析2ππ3k θ=+Z k ∈sin θ=1cos 22θ=-sin θ=1i 2z =+323111i i i 222z ⎫⎫⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭11i i 22⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭sin θ=1i 2z =+323111i i i 222z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11i i 22⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3i z =ABCD A B C D -''''2,,E F ,A B B C ''''GB G B B λ=''12λ=//EG D AC 'BD M BD //D M 'EFG 1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D M '（2）【解析】【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证；（2）求出和时的长度，即可得到的取值范围.【小问1详解】连接，因为为的中点，当时即，所以为的中点，所以，又且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】当时为的中点，连接交于点，连接，连接交于点，取的中点，连接、，因为分别为的中点，所以，则为的中点，所以，又且，所以为平行四边形，所以，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以和重合，A B 'G BB '//EG A B '//A B D C ''//EG D C '12λ=1λ=D M 'D M 'A B 'E A B ''12λ=12B G B B ''= G BB '//EG A B '//A D BC ''=A D BC ''A D CB ''//A B D C ''//EG D C 'EG ⊄D AC 'D C '⊂D AC '//EG D AC '12λ=G BB 'B D ''EF H H G A C ''B D ''1O BD 2O 1BO 2D O ',E F ,A B B C ''''//EF A C ''H 1B O '1//HG BO 21//BO D O '21BO D O '=21O BD O '12//BO D O '2//GH D O '//D M 'EFG D DBB '' EFG GH =D M '⊂D DBB ''//D M GH 'M 2O又，此时，当时与点重合，在上取点使得，连接，由前述说明可知为的中点，则，又，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，所以综上可得当时，求长度的取值范围为.17. 设三个内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围.【答案】（1）BD==D M =='1λ=G B DB M 14DM DB =D M 'H 1B O '34D H D B '''=34BM DB =D H BM '=//D B BD ''D HBM '//D M HB 'HB ⊂EFG D M '⊄EFG //D M 'EFG D M ='1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D M 'ABC ,,A B C ,,a b c ()22cos sin sin sin b A C c B C b +=+A c ABC = D AC DB AC ⋅π3A =（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，转化求解即可．（2）由正弦定理求解的范围，结合向量的数量积，推出的表达式，然后求解范围即可．【小问1详解】因为，所以利用正弦定理可得，又为三角形内角，，所以，可得，因为，所以；【小问2详解】；，则，又为锐角三角形，则，得，则，故,，即，二次函数的开口向下，对称轴为，,3(3,)8-A AC AC 2(2cos sin )sinsin b A C c BC b +=+2sin (2cos sin )sin sin sin sin B A C C BC B +=+B sin 0B >22cos sin sin sin 1A C C C +=+1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =c =π3A=sin sin abA B==1πsin 2233sin sin 2tan C C C b C C C ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭====ABC π022ππ032C B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ62C <<tan C >32tan b C =211π()||||cos223DB AC CA AB AC AC AB AC ⋅=+⋅=-+⋅ 2211|22AC AC b =-+=- ()212f b b =-+b =在单调递减，故的取值范围,，即．18.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，.（1）证明：平面平面；（2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证；（2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【小问1详解】设，连接，因为为正方形，所以且为的中点，又，所以，()f b DB AC ⋅ (f f 3(3,)8-P ABCD -2PB PD =PBD ⊥PAC 1PA =PA ABCD π4P BC A --AC BD O = OP AC BD ⊥OP BD ⊥BD ⊥PAC P PH AC ⊥AC H PH ⊥ABCD PAH ∠PA ABCD AH PH ==H HE BC ⊥BC E PE BC⊥PHE PEH ∠P BC A --AC BD O = OP ABCD AC BD ⊥O BD PB PD =OP BD ⊥又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】在平面中过点作交于点，因为平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，所以即为与平面所成的角，即，又，所以，过点作交于点，连接，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，又，所以因为为正方形，所以，则，所以，解得，又平面，平面，所以，AC OP O = ,AC OP ⊂PAC BD ⊥PAC BD ⊂PBD PBD ⊥PAC PAC P PH AC ⊥AC H BD ⊥PAC PH ⊂PAC BD PH ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD PH ⊥ABCD PAH ∠PA ABCD π4PAH ∠=1PA =AH PH ==H HE BC ⊥BC E PE PH ⊥ABCD BC ⊂ABCD PH BC ⊥PH HE H =I ,PH HE ⊂PHE BC ⊥PHE PE ⊂PHE BC PE ⊥PEH ∠P BC A --AC ==CH ==ABCD AB BC ⊥//AB HE CH EHAC AB =2EH =32EH =PH ⊥ABCD EH ⊂ABCD PH EH ⊥所以，所以所以二面角.19. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.（1）已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；（2）证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；（3）已知正多面体各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.【答案】（1） （2）证明见解析（3）的PE ===sin PEH ∠==P BC A --2n e f -+=n e f 12,6e f ==8n =n 36n -906,12,30【解析】【分析】（1）设此足球有个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得的值.（2）当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有关系.（3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，根据欧拉公式列出表达式，再由得不等式，分类取值即可.【小问1详解】设足球有个正五边形，则有个正六边形，足球的顶点，棱数，由欧拉公式得，解得，即此足球中有个面为正五边形，所以此足球的棱数.【小问2详解】由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即，又，即，解得，故个顶点的凸多面体，至多有条棱.【小问3详解】设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，则此多面体棱数，，即，由欧拉公式，得，所以，即，即，所以，m m 32e f =p q 220q p qp +->m 32m -()56323m m n +-=()56322m m e +-=()()5632563232232m m m m +-+--+=12m =12()5632902m m e +-==n 32f e =23f e =2n e f -+=223e n e -+=36e n =-n 36n -p q 22qf pn e ==,3p q ≥pn f q =2n e f -+=422q n q p qp=+-220q p qp +->1112q p +>1111112236p q >-≥-=6p <当时，，所以，，；当时，，所以，，；当时，，所以，，；综上：棱数可能为.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，讨研得点与棱、点与面、棱与面的数量之间的关系，从而得解.3p =6q <3,4,5q =4,8,20n =6,12,30e =4p =4q <3q =6n =12e =5p =103q <3q =12n =30e =6,12,30。
浙江省杭二中2024届数学高一第二学期期末达标检测模拟试题含解析
浙江省杭二中2024届数学高一第二学期期末达标检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在△ABC 中，已知tan 2A B+＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2．已知()f x 为定义在R 上的函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)=+f x x ，若方程()0f x kx -=（0k >）恰有5个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ） A ．11[,)74B ．11[,)64C ．11[,)65D ．11[,)753．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2c =，3C π=，sin 2sin B A =，则ABC 的面积为（ ）A ．B C D ．64．圆心坐标为()1,1-，半径长为2的圆的标准方程是（） A ．()()22112x y -++= B ．()()22112x y ++-= C ．()()22114x y -++=D ．()()22114x y ++-=5．在△ABC 中，a ＝b ＝3，A ＝3π，则C 为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．23π 6．如图，已知正三棱柱111ABC A B C －的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）cm ．A ．12B ．13C ．14D ．157．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( )A ．12B ．12或0 C ．0 D ．－2或08．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．400，40B ．200，10C ．400，80D ．200，209．圆()2221x y -+=与直线33y x =的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．直线过圆心10．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
杭州二中高一数学每周一练
杭州二中高一数学每周一练数列（一）一.填空题1. 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，则此数列为________．2. 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则此三个数为_________．3．数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为-2，公差为4的等差数列．若a n =b n ,则n 的值__________4．关于等差数列{}n a ，有下列四个命题：（1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数；（2）若有两项是无理数，则其余各项都是无理数；（3）数列{k a n }也是等差数列；（4）数列{a 2n }也是等差数列. 其中是真命题的个数为________.5．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为______.6．已知数列{}n a 的前n 项和为：①2n ；②2n ＋6；③n 2；④n 2-1；⑤n 2＋2n ；⑥n 2＋n ＋1；⑦n 3；⑧0．在上述各数列中构成等差数列的有__________个．7.在等差数列{}n a 中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为_______. 8.若数列{}n a 为等差数列，公差为21，且S 100=145，则a 2+a 4……+a 100的值为_____. 9．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为_______. 10. 设数列{}n a 的前n 项和为=++++-=||||||,1410212a a a n n S n 则 ___ 11.在等差数列{}n a 中，(1)已知a 2+a 7+a 8+a 9+a 14=70,则a 8= (2) S 4=6,S 8=20,则S 16= (3)S 3=S 8,S 2=S n ,则n=12.打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用 小时，打完这口井总共用 小时．13.在项数为n 的等差数列{}n a 中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n 项之和为240，则n= ．14．已知数列{}n a 的通项公式a n =n n +⋯++21 ,b n =11+n n a a ,则{b n }的前n 项和为 ．二.解答题:15.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,b n =nS 1，且a 3b 3=21，S 5+S 3=21,求b n ．16.已知等差数列{}n a ,a 1=29,S 10=S 20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值．17.已知f(x )=x 2-2(n+1)x +n 2+5n-7,(1)设f(x )的图像的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证：{}n a 为等差数列． (2)设f(x )的图像的顶点到x 轴的距离构成{b n }，求{b n }的前n 项和．18. 数列{}n a 中，a 1=1，当n ≥2时，其前n 项和S n , 满足S n 2=a n (Sn －21) (1)求S n 的表达式；(2)设b n = 12 n S n,求数列{b n }的前n 项和T n 。
浙江省杭州市某校高一(下)周练数学试卷(有答案)
浙江省杭州市某校高一（下）周练数学试卷一、选择题1. 设a>b>0，下列各数小于1的是（）A.2a−bB.(ab )12 C.(ab)a−b D.(ba)a−b2. 若a>1，0<b<1，则下列不等式中正确的是（）A.a b<1B.b a>1C.log a b<0D.log b a>03. 若a>b>c，a+2b+3c=0，则（）A.ab>acB.ac>bcC.ab>bcD.a|b|>c|b|4. 若集合M={y|y=x2, x∈Z}，N={x∈R|3x−1x−9≤1}，则M∩N的真子集的个数（）A.7B.8C.15D.165. 函数y=√log12(x2−1)的定义域是（）A.[−√2, −1)∪(1, √2]B.(−√3, −1)∪(1, √2)C.[−2, −1)∪(1, 2]D.(−2, −1)∪(1, 2)6. 设函数f(x)={2x+1,x≥1x2−2x−2,x<1，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（）A.(−∞, −1)∪(1, +∞)B.(−∞, −1)∪[1, +∞)C.(−∞, −3)∪(1, +∞)D.(−∞, −3)∪[1, +∞)7. 在R上定义运算：x∗y=x(1−y)，若不等式(x−y)∗(x+y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是（）A.−12<y<32B.−32<y<12C.−1<y<1D.0<y<28. 设变量x，y满足约束条件{x−y+2≥0，x−5y+10≤0，x+y−8≤0，则目标函数z=3x−4y的最大值和最小值分别为()A.3，−11B.−3，−11C.11，−3D.11，39. 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x, y)|x+y≤1, 且x≥0, y≥0}，则平面区域B＝{(x+y, x−y)|(x, y)∈A}的面积为（）A.2B.1C.12D.1410. 已知向量m→=(a−2b, a)，n→=(a+2b, 3b)，且m→，n→的夹角为钝角，则在aOb平面上，点(a, b)所在的区域是（）A. B. C. D.二、填空题若1<α<3，−4<β<2，则α−|β|的取值范围是________．已知a+b>0，则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是________．若关于x的方程x2+ax+a2−1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．已知x、y满足不等式组{y≥xx+y≤2x≥a，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=________．已知数列{a n}，新数列a1，a2−a1，a3−a2，…，a n−a n−1，…为首项为1，公比为13的等比数列，则a n=________．三、解答题关于x的不等式{x2−x−2>02x2+(2k+5)x+5k<0的整数解的集合为{−2}，求实数k的取值范围．家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序．己知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时．又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元．根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？设数列{a n}的首项a1＝a≠14，且a n+1={12a n(n)a n+14(n)，记b n＝a2n−1−14(n＝1, 2, 3…)．（1）求a2，a3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，（1）求a1、d满足的不等关系；（2）求a4的最大值．参考答案与试题解析浙江省杭州市某校高一（下）周练数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】不等式的概念与应用【解析】由指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象和性质进行判断．【解答】解：y=a x(a>0且a≠1)．当a>1，x>0时，y>1，当0<a<1，x>0时，0< y<1．∵a>b>0，∴a−b>0，ab >1，0<ba<1由指数函数性质知，D成立．故选D．2.【答案】C【考点】不等式性质的应用指数式、对数式的综合比较不等式比较两数大小【解析】取a=2，b=13，用特殊值分别代入四个备选答案，能够得到正确答案．【解答】解：取a=2，b=13，则a b=213>1，故A不正确．b a=(13)2<1，故B不正确．log a b=log213<0，故C正确．log b a=log132<0，故D不正确．故选C．3.【答案】A【考点】不等式的概念与应用【解析】根据a+2b+3c=0和>b>c，得a>0，c<0，然后进行判断即可．【解答】解：因为a>b>c，a+2b+3c=0，所以a>0，c<0，又b>c，a>0，故A正确．故选A．4.【答案】A【考点】交集及其运算子集与真子集【解析】分别求出M，N集合，求出M∩N，确定元素的个数，进而确定真子集的个数．【解答】解：若集合M={y|y=x2, x∈Z}={0, 1, 4, 9, 16...}；N={x∈R|3x−1x−9≤1}={x|−4≤x<9}；故M∩N={0, 1, 4}，真子集的个数为23−1=7故选A．5.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法对数的运算性质【解析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，故对数的真数大于0且对数值小于或等于1，x2−1>0，且x2−1≤1；解可得答案．【解答】解：{x2−1>0log12(x2−1)≥0⇔{x2>1x2−1≤1⇔{x2>1x2≤2⇔{x>1或x<−1−√2≤x≤√2⇔−√2≤x<−1或1<x≤√2．∴y=√log12(x2−1)的定义域为[−√2, −1)∪(1, √2]．答案：A6.【答案】B【考点】其他不等式的解法【解析】分x0≥1和x0<1两种情况考虑，分别将相应的函数解析式代入不等式中求出相应的解集，找出两解集的并集即为所求x0的取值范围．【解答】当x0≥1时，f(x0)＝2x0+1，代入不等式得：2x0+1>1，解得：x0>0，此时x0的范围为x0≥1；当x0<1时，f(x0)＝x02−2x0−2，代入不等式得：x02−2x0−2>1，解得：x0>3或x0<−1，此时x0的范围为x0<−1，综上，x0的取值范围是(−∞, −1)∪[1, +∞)．7.【答案】A【考点】函数恒成立问题【解析】由题意可得，(x−y)∗(x+y)=(x−y)(1−x−y)<1对于任意的x都成立，即y2−y<x2−x+1对于任意的x都成立，构造函数g(x)=x2−x+1，只要y2−y<g(x)min即可【解答】解：由题意可得，(x−y)∗(x+y)=(x−y)(1−x−y)<1对于任意的x都成立即y2−y<x2−x+1对于任意的x都成立设g(x)=x2−x+1=(x−12)2+34≥34所以，g(x)min=34所以y2−y<34解可得，−12<y<32故选：A8.【答案】A【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x−4y=0，平移直线观察最值．【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如图所示，可知当直线z =3x −4y 平移到点B(5, 3)时， 目标函数z =3x −4y 取得最大值3； 当直线z =3x −4y 平移到点A(3, 5)时， 目标函数z =3x −4y 取得最小值−11. 故选A ． 9.【答案】 B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 对数的运算性质【解析】求平面区域B ＝{(x +y, x −y)|(x, y)∈A}的面积为可先找出B 中点的横纵坐标满足的关系式，故可令x +y ＝s ，x −y ＝t ，平面区域A ＝{(x, y)|x +y ≤1, 且x ≥0, y ≥0}得出s 和t 的关系，画出区域求面积即可． 【解答】令x +y ＝s ，x −y ＝t ，由题意可得平面区域B ＝{(s, t)|s ≤1, s +t ≥0, s −t ≥0}， 平面区域如图所示S △OAB ＝2×1÷2＝1 10.【答案】 A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 数量积表示两个向量的夹角 【解析】由m →，n →的夹角为钝角，知m →⋅n →<0，再转化为向量的坐标关系，从而得a 与b 的不等关系，由此关系可得不等关系表示的平面区域． 【解答】解∵ m →，n →的夹角为钝角， ∴ m →⋅n →<0，得(a −2b, a)⋅(a +2b, 3b)=a 2−4b 2+3ab =(a +4b)(a −b)<0， ∴ {a +4b >0a −b <0…①，或{a +4b <0a −b >0…②．以a 为横坐标，b 为纵坐标，则不等式组①表示直线a+4b=0右上方与直线a−b=0左上方的公共区域，不等式组②表示直线a+4b=0左下方与直线a−b=0右下方的公共区域，故选：A．二、填空题【答案】−3<α−|β|<3【考点】不等式的基本性质不等式的概念与应用【解析】此题暂无解析【解答】∵ 4<β<2，∴ 0≤|β|<4．∴−4<−|β|≤0．∴−3<α−|β|<3．【答案】a b2+ba2≥1a+1b【考点】不等式比较两数大小【解析】用作差法比较它们的大小即可．【解答】解：因为ab2+ba2−(1a+1b)=a−bb2+b−aa2=(a−b)(1b2−1a2)=(a+b)(a−b2)a2b2．∵a+b>0，(a−b)2≥0，∴(a+b)(a−b2)a2b2≥0，∴ab2+ba2≥1a+1b．故答案为：ab2+ba2≥1a+1b．【答案】−1<a<1【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】先看二次函数的开口方向，利用0的函数值的符号确定a的范围．【解答】令f(x)＝x2+ax+a2−1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需f(0)<0，即a2−1<0，∴−1<a<1．【答案】13【考点】简单线性规划【解析】由题意大致确定a的取值，作出平面区域，由图找到最大值与最小值，从而解出a．【解答】解：依题意可知a <1．作出可行域如图所示，z =2x +y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由{x =a y =x 得A(a, a)，由{x +y =2y =x 得B(1, 1)．∴ z max =3，z min =3a ．∴ a =13． 故答案为13．【答案】32(1−13n ) 【考点】等比数列的性质 【解析】利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可得出结论． 【解答】解：∵ 数列a 1，a 2−a 1，a 3−a 2，…，a n −a n−1，…为首项为1，公比为13的等比数列，∴ a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+...+(a n −a n−1)=a n =1−13n 1−13，∴ a n =32(1−13n )． 故答案为：32(1−13n )． 三、解答题【答案】解：由x 2−x −2>0可得x <−1或x >2． ∵ {x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解为x =−2，又∵ 方程2x 2+(2k +5)x +5k =0的两根为−k 和−52．①若−k <−52，则不等式组的整数解集合就不可能为{−2}；②若−52<−k ，则应有−2<−k ≤3．∴ −3≤k <2．综上，所求k 的取值范围为−3≤k <2． 【考点】二元一次不等式组 【解析】由已知不等式{x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0我们易给出x 2−x −2>0的解集为{x|x <−1或x >2}，而方程2x 2+(2k +5)x +5k =0的两根为−k 和−52．我们分类讨论−k 和−52的关系，又由不等式{x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解的集合为{−2}，我们不难求出实数k 的取值范围． 【解答】解：由x 2−x −2>0可得x <−1或x >2． ∵ {x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解为x =−2，又∵ 方程2x 2+(2k +5)x +5k =0的两根为−k 和−52． ①若−k <−52，则不等式组的整数解集合就不可能为{−2}；②若−52<−k ，则应有−2<−k ≤3．∴ −3≤k <2．综上，所求k 的取值范围为−3≤k <2． 【答案】每天应生产桌子200张，椅子900张才能获得最大利润． 【考点】求线性目标函数的最值 【解析】先设每天生产桌子x 张，椅子y 张，利润总额为P 千元，根据题意抽象出x ，y 满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数P =15x +20y ，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可． 【解答】解：设每天生产桌子x 张，椅子y 张，利润总额为p ，目标函数为：p =15x +20y试卷第11页，总12页则{4x +8y ≤80002x +y ≤1300x ≥0y ≥0作出可行域：把直线l:3x +4y =0向右上方平移至l ′的位置时，直线经过可行域上的点B ，此时p =15x +20y 取最大值，解方程{4x +8y =80002x +y =1300得B 的坐标为(200, 900)．p =15×200+20×900=21000．【答案】∵ 数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n+1={12a n (n)a n +14(n) ， ∴ a 2＝a +14，a 3=12a 2=12a +18； a 4=12a +38，a 5=14a +316，∴ b 1＝a 1−14=a −14，b 2＝a 3−14=12a −18，b 3＝a 5−14=14a −116，猜想数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．证明如下：b n+1＝a 2n+1−14=12a 2n −14=12(a 2n−1+14)−14=12(a 2n−1−14)=12b n ， ∴ 数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．【考点】 数列递推式 等比数列的性质 【解析】（1）利用数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n+1={12a n (n)a n +14(n)，代入计算，可求a 2，a 3； （2）计算数列{b n }的前几项，猜想数列{b n }是等比数列，再利用递推式进行证明即可． 【解答】∵ 数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n+1={12a n (n)a n +14(n) ， ∴ a 2＝a +14，a 3=12a 2=12a +18；试卷第12页，总12页a 4=12a +38，a 5=14a +316，∴ b 1＝a 1−14=a −14，b 2＝a 3−14=12a −18，b 3＝a 5−14=14a −116， 猜想数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．证明如下：b n+1＝a 2n+1−14=12a 2n −14=12(a 2n−1+14)−14=12(a 2n−1−14)=12b n ， ∴ 数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．【答案】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意S 4≥10，可得4a 1+4×32d ≥10，即2a 1+3d ≥5；由S 5≤15可得5a 1+5×42d ≤15，即a 1+2d ≤3．综上可得，2a 1+3d ≥5，且a 1+2d ≤3．（2）根据a 4=a 1+3d =−(2a 1+3d)+3(a 1+2d)≤−5+3×3=4，因此a 4的最大值为4．【考点】等差数列的性质 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意S 4≥10，可得2a 1+3d ≥5；由S 5≤15可得a 1+2d ≤3，综上可得a 1、d 满足的不等关系．（2）根据a 4=a 1+3d =−(2a 1+3d)+3(a 1+2d)≤−5+3×3=4，可得a 4的最大值． 【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意S 4≥10，可得4a 1+4×32d ≥10，即2a 1+3d ≥5；由S 5≤15可得5a 1+5×42d ≤15，即a 1+2d ≤3．综上可得，2a 1+3d ≥5，且a 1+2d ≤3．（2）根据a 4=a 1+3d =−(2a 1+3d)+3(a 1+2d)≤−5+3×3=4，因此a 4的最大值为4．。
高考复习浙江省杭州第二中学高三数学周练(一)(含详细答案)
杭州二中高三代数综合测试一〔05－11－21下午3：05～4：35〕一． 选择题：本大题共10小题,每题6分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1．设x ,R y ∈,那么0xy >是||||||y x y x +=+成立的 〔 〕 A ．充分条件,但不是必要条件； B ．必要条件,但不是充分条件； C ．充分且必要条件； D ．既不充分又不必要条件.2．)2,1(=a ,)1,(x b =,且b a 2+与b a -2平行,那么=x 〔 〕 A ．1； B ．2； C ．21； D ．31. 3．函数)4sin()4sin()(x x x f -+=ππ是 〔 〕A ．周期为π2的奇函数；B ．周期为π2的偶函数；C ．周期为π的奇函数；D ．周期为π的偶函数.4．直线b ax x y kx y ++=+=31与曲线切于点〔1,3〕,那么b 的值为〔 〕A ．3B ．－3C ．5D ．－55．等比数列}{n a 各项为正数且公比1≠q ,那么)(41a a +与)(32a a +的大小关系是〔 〕A ．3241a a a a +>+；B ．3241a a a a +<+；C ．3241a a a a +=+；D ．不确定. 6．设全集U 是实数集R ,}4|{2>=x x M ,}112|{≥-=x x N ,那么图中阴影局部所表示的集合是 〔 〕 A ．}12|{<≤-x x ； B ．}22|{≤≤-x x ； C ．}21|{≤<x x ； D ．}2|{<x x . 7．假设)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数,那么θ的值为 〔 〕A ．)(42Z k k ∈-ππ B ．)(42Z k k ∈+ππ C ．)(42Z k k ∈±ππ D ．)(42Z k k ∈+ππ 8．假设}{n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,083>+a a ,09<S ,那么1S ,2S ,3S ,…,n S 中最小的是〔 〕A ．4S ；B ．5S ；C ．6S ；D ．9S .9．在△ABC 中,︒>∠90C ,以下关系式中正确的选项是 〔 〕 A ．B A B A C sin sin cos cos sin +<+<； B ．B A B A C cos cos sin sin sin +<+<； C ．C B A B A sin sin sin cos cos <+<+； D ．B A C B A sin sin sin cos cos +<<+.10．设奇函数)(x f 在[－1,1]上是增函数,且1)1(-=-f ,假设函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立,当]1,1[-∈a 时,那么t 的取值范围是 〔 〕 A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-tC ．022=-≤≥t t t 或或D ．02121=-≤≥t t t 或或二、填空题：本大题共4小题,每题5分,共20分.11．函数22()log (1)(0)f x x x =+≤,那么1(2)f-= .12. 将函数x x y cos sin +=的图象按向量),(k h a 〔其中,2π<h 〕平移后与1cos 2+=x y 的图象重合,那么向量坐标=h ,=k .13．0a >且1a ≠,2()xf x x a =-,当(1,1)x ∈-时,均有1()2f x <,那么实数a 的取值范围是 .14．对于n 个复数z 1,z 2,…,z n ,如果存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1z 1+k 2z 2+…+k n z n =0,就称z 1,z 2,…,z n 线性相关,假设要说明复数z 1=1+2i,z 2=1－i,z 3=－2线性相关,那么可取{k 1,k 2,k 3}= .〔只要写出满足条件的一组值〕杭州二中高三代数综合测试一做题卷班级 姓名 学号二．填空题：本大题共4小题,每题5分,共20分．把答案填在答卷中的横线上.11、 12、13、 14、三．解做题：本大题共4小题,共16＋18＋18＋18＝70分．解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.15、在△ABC 中,sinA 〔sinB ＋cosB 〕－sinC ＝0,sinB ＋cos2C ＝0,求角A 、B 、C 的大小. 16、某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪动,开关第一次闭合后,出现红灯和出现绿灯的概率都是21.从开关第二次闭合起,假设前次出现红灯,那么下一次出现红灯的概率是31,出现绿灯的概率是32；假设前次出现绿灯,那么下一次出现红灯的概率是53,出现绿灯的概率是52.问：〔Ⅰ〕第二次闭合后出现红灯的概率是多少？〔Ⅱ〕三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？17、设数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=≠=+.,41,,21,41}{11为奇数为偶数且的首项n a n a a a a a n nn n记211,1,2,3,.4n nb a n〔Ⅰ〕求a 2,a 3；〔Ⅱ〕判断数列}{n b 是否为等比数列,并证实你的结论； 〔Ⅲ〕求).(lim 21n n b b b +++∞→18、函数).,()(23R b a b ax x x f ∈++-= 〔Ⅰ〕假设1=a ,函数)(x f 的图象能否总在直线b y =的下方？说明理由；〔Ⅱ〕假设函数)(x f 在[0,2]上是增函数,2=x 是方程)(x f =0的一个根,求证：2)1(-≤f ；〔Ⅲ〕假设函数)(x f 图象上任意不同的两点连线斜率小于1,求实数a 的取值范围.参考答案：一、选择题二．填空题：11． 3- 12. ,4π-=k 1 .13． 1[,1)(1,2]2⋃ . 14． {2,4,3}〔或{1,2,23}等 三、解做题：15． 解：解法一 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B由于),,0(π∈B 所以0sin ≠B ,从而.sin cos A A =由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B . 由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .125,3ππ==C B 解法二：由).223sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π得由B <0、C ,所以.22223ππ-=-=C B C B 或即.22232ππ=-=+B C C B 或由sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A即.0)cos (sin sin =-A A B由于0sin ≠B ,所以.sin cos A A =由.4),,0(ππ=∈A A 知从而π43=+C B ,知B+2C=23π不合要求. 再由π212=-B C ,得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .125,3ππ==C B16．解〔Ⅰ〕如果第一次出现红灯,那么接着又出现红灯的概率是3121⨯；如果第一次出现绿灯,那么接着出现红灯的概率为5321⨯.综上,第二次出现红灯的概率为3121⨯+1575321=⨯.〔Ⅱ〕由题意,三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式： ①当出现绿、绿、红时的概率为535221⨯⨯；②当出现绿、红、绿时的概率为325321⨯⨯；③当出现红、绿、绿时的概率为523221⨯⨯； 所以三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的概率为535221⨯⨯+325321⨯⨯+523221⨯⨯=.753417. 解：〔Ⅰ〕.812121,41412312+==+=+=a a a a a a 〔Ⅱ〕由于.1634121,8321414534+==+=+=a a a a a a 所以所以).41(4141),41(2141,0414*******-=-=-=-=≠-=-=a a b a a b a a b猜测：}{n b 是公比为21的等比数列.证实如下： 由于)41(2141)41(2141214112122121-=-+=-=-=--++n n n n n a a a a b)(,21*∈=N n b n 所以}{n b 是首项为21,41公比为-a 的等比数列.〔Ⅲ〕).41(2211211)211(lim)(lim 1121-=-=--=+++∞→∞→a b b b b b n n n n 18．解：〔1〕不能,取,11)1(,1b b f x >++=--=则即存在点〔－1,2+b 〕在函数图象上,且在直线b y =的上方；〔2〕由2=x 是方程0)(=x f 的一个根,得,048)2(=++-=b a f 即a b 48-=又.32,0.023,0)(,23)(2122a x x ax x x f ax x x f ===+-='+-='得即令又函数)(x f 在[0,2]上是增函数,3,2322≥≥=∴a a x 即,2374811)1(-≤-=-++-=++-=a a a b a f〔3〕设任意不同的两点21222111),,(),,(x x y x P y x P ≠且,那么.12121<--x x y y 32322211221122121222121222212222222222221,()1()10()4(1)0324043()40,4033333x ax x ax x x x x a x x x x x a x x x ax x Rax x ax x ax a a a x a a a 即即故。
高考复习浙江省杭州第二中学高三数学周练(二)(含详细答案)
高考复习浙江省杭州第二中学高三数学周练(二)(含详细答案)一． 选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{0,2,3},{|,A B x x a b a ===⋅、}A b ∈则集合B 的真子集有（ ）（A ）7个（B ）8个（C ）15个（D ）16个（2）等比数列}{n a 中，已知5,1087654321-=+++=+++a a a a a a a a ，则数列}{n a 的前16项和S 16为（ ）（A ）－50 （B ）425 （C ）4125 （D ）425- （3）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数，其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为||,,2121x x x x -的最小值为π，则 （ ）（A ）2,2πθω== （B ）2,21πθω==（C ）4,21πθω== （D ）4,2πθω== （4）不等式02)1(≥+-x x 的解集是（ ）（A ）}1|{>x x （B ）}1|{≥x x （C ）}21|{-=>x x x 且 （D ）}21|{-=≥x x x 或（5）α-απ<α<π=ααsin cos ,24,83cos sin 则且的值是 （ ）（A ）21 （B ）－21 （C ）41 （D ）－41（6）若函数123)(-+=x x f 的反函数的图象过P 点，则P 点坐标可能是 （ ）（A ）（2，5）（B ）（1，3）（C ）（5，2）（D ）（3，1）（7）一个体户有一种货，假如月初售可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%，假如月末售出，可获利120元，但要付保管费5元，那个个体户为使获利最大，这种货（ ）（A ）月初售出好 （B ）月末售出好（C ）月初或月末售出一样 （D ）由成本费的大小确定何时售出 （8）若)(x f 是偶函数，且当1)(,),0[-=+∞∈x x f x 时，则不等式1)1(>-x f 的解集是（A ）}31|{<<-x x （B ）}3,1|{>-<x x x 或（C ）}2|{>x x （D ）}3|{>x x（9）已知)1,4(),6,1(),1,2(===，设M 是直线OP 上一点（O 为坐标原点），那么使MB MA ⋅取最小值时的OM 的坐标为（ ） （A ）)1017,517( （B ）)51,52(（C ）)101,51( （D ）)517,534(（10）已知)(x f y =是偶函数，当xx x f x 4)(,0+=>时，且当]1,3[--∈x 时，m x f n ≤≤)(恒成立，则n m -的最小值是（ ）（A ）31 （B ）32 （C ）34（D ）1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. （11）已知b a b a 与,2||,2||==的夹角为45°，要使b a a λ-与垂直，则 λ= .（12）关于x 的方程)(lg )3lg(lg 2+∈=+-R a a x x 在区间（3，4）内有解，则a 的取值范畴是 .（13）在10到2000之间，形如)(2N n n∈的数之和为 .（14）已知函数x x f )21()(=的图象与函数)(x g 的图象关于直线x y =对称，令|)|1()(x g x h -=，则关于函数)(x h 有下列命题：（1）)(x h 的图象关于原点对称；（2）)(x h 为偶函数；（3）)(x h 的最小值为0；（4）)(x h 在（0，1）上为减函数。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题2⎣A ．322x
x
x x
y --=+B ．cos222x
x
x x
y -=+4．
《九章算术》是一部中国古代的数学专著丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（
）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝A ．4B ．5
5．已知π3cos()124
θ-=，则π
sin(2)3θ+=（
A ．7
16
-
B ．18
-
6．已知函数()()cos f x x ωϕ=+0,ωϕ⎛>< ⎝
A ．ϕ
B ．ω
7．已知0x >，0y >，且31
1x y +=，则2A ．9
B ．10
x ()()2
2
11x m x +-
A．
12 BD BA BC =+
三、填空题
四、解答题
()
养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；。
浙江省杭州市萧山区第二高级中学2020-2021学年高一下学期第五周数学周测试卷Word版含解析
2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第五周周测班级姓名学号总分：100分时间：60分钟一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A. P⊆QB. Q⊆PC. P⊆C R QD. Q⊆C R P2.函数的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos2x的图象（）A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度3.若a=e0.5，b=sin0.2，则a、b、c的大小关系为（）A. b＞a＞cB. a＞b＞cC. c＞a＞bD. b＞c＞a4.函数y=x cosx+sin x在区间[-π，π]的图象大致为（）A. B. C. D.5.正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为（）A. 4cm2B. 8cm2C. 4cm2D. 8cm26.已知，若的值为（）A. B. C. D.7.如图，在高为20m的楼顶A处观察前下方一座横跨河流的桥BC，测得桥两端B，C的俯角分别为60°，45°，则桥的长度为（）A. mB. 10mC. 20-mD. 20-10m8.如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=1，则•=（）A. B. C. 3 D.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(1，-5)，则第四个顶点的坐标可以是（）A. (1，5)B. (5，-5)C. (-3，-5)D. (5，5)10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若满足的三角形有两个，则边长a的取值可以是（）A. 1B. 3/2C. 2D. 5/411.设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，则下列说法正确的有（）A. z1与z2的夹角是直角B. z1与z2的夹角是锐角C. |z1－z2|＝.D. |z1－z2|=2.12.已知a，b为正实数，则下列判断中正确的个数是（）A. 若，则；B. 若，则的最小值是10；C. ；D. 函数的最小值为1．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知复数（i是虚数单位），则z的虚部是．14.函数y=log a（x+2）-5恒过定点______．15.若实数x，y满足，且，则的最小值为__________．16.如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量、、满足=x+y（x，y∈R），则4x+y的值为______．四、解答题（本大题共3小题，共28分）17.已知向量=(6,2),=(-3,k).(1)若(-),求k的值;(2)若与所成的角是钝角,求k的取值范围.18.已知函数，其最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=g（x），求函数y=g（x）在区间上的值域.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，（1）若a=（-1）c，求角A的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故B正确．此题只要求出x2＜4的解集{x|-2＜x＜2}，画数轴即可求出此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．2.【答案】D【解析】解：函数的图象向右平移个单位，可得到函数y=cos2x的图象，故选：D．直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵a=e0.5＞e0=1，b=sin=sin∈（0，1），c=log20.2＜log21=0，∴a、b、c的大小关系为a＞b＞c．故选：B．利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数、三角函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于基础题．先判断函数的奇偶性，再利用f（π）的符号确定选项．【解答】解：y=f（x）=x cosx+sin x，则f（-x）=-x cosx-sin x=-f（x），∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，当x=π时，y=f（π）=πcosπ+sinπ=-π＜0，故排除B，故选：A．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查棱台的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可．【解答】解：正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，所以棱台的斜高为：=cm．所以棱台的侧面积是：4××=8cm2．故选：D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的数量积，两角和与差的三角函数，属于简单题．通过，得到关于α的三角函数，求出sinα，然后求出cosα，利用两角和的正切求解，可得选项．【解答】解：因为，所以cos2α+sinα（2sinα-1）=,所以,所以sinα=，因为，所以cosα=-，tanα=-,所以=,故选：C．7.【答案】C【解析】【分析】设垂足为D，则tan60°=，tan45°=，求出BD，CD，可得桥的长度．本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，比较基础．【解答】解：设垂足为D，则tan60°=，tan45°=，∴BD=m，CD=20，∴BC=（20-）m，故选：C．8.【答案】A【解析】解：∵AD⊥AB，∴．∴cos＜＞=cos∠ADB=，∵，，∴=（）•====•||×||×cos＜＞=•||×||×===．故选：A．由AD⊥AB，知cos＜＞=cos∠ADB=，由，，知=（）•====，由此能求出其结果．本题考查平面向量数量积的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，根据平行四边形，分三种情况由向量相等的坐标运算求解即可.【解答】解：设A(-1，0)，B(3，0)，C(1，-5)，第四个顶点为D．①若这个平行四边形为□ABCD，则，∴D(-3，-5)；②若这个平行四边形为□ACDB，则，∴D(5，-5)；③若这个平行四边形为□ACBD，则，∴D(1，5)．综上所述，D点的坐标可以为(1，5)，(5，-5)，(-3，-5)．故选ABC10.【答案】BD【解析】【分析】本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数，属于基础题目.求出b sin A根据三角形解的个数得出a的取值范围即可.【解答】解：如图,b=2,A=,垂线段=b sin A=1,若△ABC有两个解，则1< a<2.故选BD.11.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了复数的几何意义，复数的模的运算，属于中档题.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，结合题意依次判断各个选项的正误即可. 【解答】解：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又由(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝. ,故C正确，D错误.画出图形可以知道构成以z1，z2为邻边的正方形，,故A正确，B错误.故选AC.12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，属于中档题.运用不等式的性质判断A，运用基本不等式判断BCD.【解答】解：为正实数，,故A正确；=（）（）=5+,当且仅当a=,b=时取得“=”，故B错误；∵,,∴，当且仅当a=b=1取等号，故C正确；=，当且仅当，即a=0时取等号，而a>0，所以y>1，不能取等号，所以D不正确．故选：AC．13.【答案】-2【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【解答】解：,所以z的虚部是-2，故答案为-2.14.【答案】（-1，-5）【解析】解：令x+2=1，解得：x=-1，故y=log a（-1+2）-5=-5，故函数过（-1，-5），故答案为：（-1，-5）．根据对数函数的性质求出函数过的定点即可．本题考查了对数函数的性质，是一道基础题．15.【答案】4【解析】【分析】本题考查了对数与对数运算和利用基本不等式求最值，属于基础题.先根据对数的运算性质求出xy=2，再根据基本不等式求出最小值即可.【解答】解：∵log2x+log2y=1，∴log2xy=1=log22，∴xy=2，∴==（x-y）+≥2=4，当且仅当x=1+，y=-1时取等号，∴的最小值为4，故答案为4．16.【答案】7【解析】解：作出如图直角坐标系，设方格正方形的边长为单位长度1，可得=（1，3），=（3，-2），=（4，3）∵=x+y（x，y∈R），∴，将方程组中两式相加，可得4x+y=7故答案为：7将题中的4×4的方格放入如图坐标系，并设小方格边长是1，可得向量、、的坐标形式，根据=x+y建立关于x、y的方程组，解之即可得到4x+y的值．本题给出4×4的方格纸中的向量量、、，在已知它们的线性关系情况下求4x+y之值，着重考查了平面向量线性运算的坐标表示的知识，属于基础题．17.【答案】（1）由题意,得()=0,即54+2(2-k)=0,解得k=29.（2）与所成的角是钝角,<0,即6(-3)+2k<0,解得k<9.由,得6k+6=0,k=-1,k的取值范围是k<9且k-1.【解析】本题考查平面向量数量积的应用，属于基础题，考查学生的计算能力；(1)由向量数量积()=0,列方程即可求解.(2)根据是钝角,可得<0,由向量数量积6(-3)+2k<0,解得k<9.再根据,得6k+6=0,k=-1,从而即可求解。
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杭州二中高一数学每周一练
数列（一）
一.填空题
1. 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，则此数列为________．
2. 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则此三个数为_________．
3．数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为-2，公差为4的等差数列．若a n =b n ,则n 的值__________
4．关于等差数列{}n a ，有下列四个命题：（1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数；（2）若有两项是无理数，则其余各项都是无理数；（3）数列{k a n }也是等差数列；（4）数列{a 2n }也是等差数列. 其中是真命题的个数为________.
5．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为______.
6．已知数列{}n a 的前n 项和为：①2n ；②2n ＋6；③n 2；④n 2-1；⑤n 2＋2n ；⑥n 2＋n ＋1；⑦n 3；⑧0．在上述各数列中构成等差数列的有__________个．
7.在等差数列{}n a 中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为_______. 8.若数列{}n a 为等差数列，公差为
2
1
，且S 100=145，则a 2+a 4……+a 100的值为_____. 9．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为_______. 10. 设数列{}n a 的前n 项和为=++++-=||||||,1410212a a a n n S n 则 ___ 11.在等差数列{}n a 中，
(1)已知a 2+a 7+a 8+a 9+a 14=70,则a 8= (2) S 4=6,S 8=20,则S 16= (3)S 3=S 8,S 2=S n ,则n=
12.打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，
以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用 小时，打完这口井总共用 小时．
13.在项数为n 的等差数列{}n a 中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n 项之和为240，则n= ．
14．已知数列{}n a 的通项公式a n =n n +⋯++21 ,b n =1
1
+n n a a ,则{b n }的前n 项和为 ．
二.解答题:
15.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,b n =n
S 1
，且a 3b 3=21，S 5+S 3=21,求b n ．
16.已知等差数列{}n a ,a 1=29,S 10=S 20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值．
17.已知f(x )=x 2-2(n+1)x +n 2+5n-7,
(1)设f(x )的图像的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证：{}n a 为等差数列． (2)设f(x )的图像的顶点到x 轴的距离构成{b n }，求{b n }的前n 项和．
18. 数列{}n a 中，a 1=1，当n ≥2时，其前n 项和S n , 满足S n 2
=a n (Sn －
2
1) (1)求S n 的表达式；
(2)设b n = 1
2 n S n
,求数列{b n }的前n 项和T n 。
(供题人: 蔡小雄)。