正弦定理练习题DOC

合集下载

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案一、选择题1. 已知△ABC中,a＝c＝2,A＝30°,则b＝A. 错误!B. 2错误!C. 3错误!D. 错误!＋1答案：B解析：∵a＝c＝2,∴A＝C＝30°,∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2错误!.2. △ABC中,a＝错误!,b＝错误!,sin B＝错误!,则符合条件的三角形有A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个答案：B解析：∵a sin B＝错误!,∴a sin B<b＝错误!<a＝错误!,∴符合条件的三角形有2个．3．2010·天津卷在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2－b2＝错误! bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30° B．60°C．120° D．150°答案：A解析：利用正弦定理,sin C＝2错误!sin B可化为c＝2错误!b.又∵a2－b2＝错误!bc,∴a2－b2＝错误!b×2错误!b＝6b2,即a2＝7b2,a＝错误!b.在△ABC中,cos A＝错误!＝错误!＝错误!,∴A＝30°.4．2010·湖南卷在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C＝120°,c＝错误!a,则A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案：A解析：由正弦定理,得错误!＝错误!,∴sin A＝错误!＝错误!>错误!.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A. 错误!B. 错误!C. 错误!D. 错误!答案：D解析：方法一：设三角形的底边长为a,则周长为5a,∴腰长为2a,由余弦定理知cosα＝错误!＝错误!.方法二：如图,过点A作AD⊥BC于点D,则AC＝2a,CD＝错误!,∴sin错误!＝错误!,∴cosα＝1－2sin2错误!＝1－2×错误!＝错误!.6. 2010·泉州模拟△ABC中,AB＝错误!,AC＝1,∠B＝30°,则△ABC的面积等于A. 错误!B. 错误!C. 错误!或错误!D. 错误!或错误!答案：D解析：∵错误!＝错误!,∴sin C＝错误!·sin30°＝错误!.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时,A＝90°,S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!,当C＝120°时,A＝30°,S△ABC＝错误!×1×错误!sin30°＝错误!.即△ABC的面积为错误!或错误!.二、填空题7．在△ABC中,若b＝1,c＝错误!,∠C＝错误!,则a＝________.答案：1解析：由正弦定理错误!＝错误!,即错误!＝错误!,sin B＝错误!.又b<c,∴B＝错误!,∴A＝错误!.∴a＝1.8．2010·山东卷在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a＝错误!,b ＝2,sin B＋cos B＝错误!,则角A的大小为________．答案：错误!解析：∵sin B＋cos B＝错误!,∴sin B＋错误!＝1.又0<B<π,∴B＝错误!.由正弦定理,知错误!＝错误!,∴sin A＝错误!.又a<b,∴A<B,∴A＝错误!.9. 2010·课标全国卷在△ABC中,D为边BC上一点,BD＝错误!DC,∠ADB＝120°,AD＝2.若△ADC的面积为3－错误!,则∠BAC＝________.答案：60°解析：S△ADC＝错误!×2×DC×错误!＝3－错误!,解得DC＝2错误!－1,∴BD＝错误!－1,BC＝3错误!－1．在△ABD中,AB2＝4＋错误!－12－2×2×错误!－1×cos120°＝6,∴AB＝错误!.在△ACD中,AC2＝4＋2错误!－12－2×2×2错误!－1×cos60°＝24－12错误!,∴AC＝错误!错误!－1,则cos∠BAC＝错误!＝错误!＝错误!,∴∠BAC＝60°.三、解答题10. 如图,△OAB是等边三角形,∠AOC＝45°,OC＝错误!,A、B、C三点共线．1求sin∠BOC的值；2求线段BC的长．解：1∵△AOB是等边三角形,∠AOC＝45°,∴∠BOC＝45°＋60°,∴sin∠BOC＝sin45°＋60°＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝错误!.2在△OBC中,错误!＝错误!,∴BC＝sin∠BOC×错误!＝错误!×错误!＝1＋错误!.11. 2010·全国Ⅱ卷△ABC中,D为边BC上的一点,BD＝33,sin B＝错误!,cos ∠ADC＝错误!,求AD.解：由cos∠ADC＝错误!>0知B<错误!,由已知得cos B＝错误!,sin∠ADC＝错误!,从而sin∠BAD＝sin∠ADC－B＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.由正弦定理得错误!＝错误!,AD＝错误!＝错误!＝25.12. 2010·安徽卷设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2A＝sin错误!sin错误!＋sin2B.1求角A的值；2若错误!·错误!＝12,a＝2错误!,求b,c其中b<c．解：1因为sin2A＝错误!错误!＋sin2B＝错误!cos2B－错误!sin2B＋sin2B＝错误!,所以sin A＝±错误!.又A为锐角,所以A＝错误!.2由错误!·错误!＝12,可得cb cos A＝12.①由1知A＝错误!,所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cb cos A,将a＝2错误!及①代入,得c2＋b2＝52,③③＋②×2,得c＋b2＝100,所以c＋b＝10.因此c,b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由c>b知c＝6,b＝4.。

(完整版)正弦定理与余弦定理练习题

正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4，ο30,34==A b ，则B 等于（）A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（） A ．75° B．60° C．45° D．30°3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 4．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（）A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（） A.14 B.23 C.23- D.14- 10．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos2=，则△ABC 为（）三角形．A ．正B ．直角C ．等腰直角D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（）A ．B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对13．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（）A.6πB.3πC.23πD.56π14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15．已知在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角 16．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===，则ABC ∆的面积为（） A.156 B. 154 C. 152D. 15 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ． 3－1 B ．3 C. 2 D. 1 评卷人得分一、解答题（题型注释）18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4A π=，22212b ac -=. （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B2=b ABC21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc +=+ （1）求sinA ；（2）若32a =，△ABC 的面积S ＝22，且b>c ，求b ，c ．22．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值；（Ⅱ）若17a c ==，，求ABC △的面积.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =，（1）求b 的值；（2）求sin C 的值．二、填空题 24．已知在中，，，，则___．25．△ABC 中，若222a b c bc =+-，则A ＝ .26．在中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若，则b=___________．27．在C ∆AB 中，已知，C 4A =，30∠B =o ，则C ∆AB 的面积是． 28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，，则C 的大小为___________. 29．在∆ABC ，则这个三角形的形状是参考答案1．D 【解析】试题分析：B b A a sin sin =，2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B ；b a <Θ，030=>∴A B ， 060=∴B 或0120=B ，选D.考点：正弦定理、解三角形2．B 【解析】试题分析：33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC ,则23sin =C ，所以060=C ，选B.考点：三角形面积公式3．C 【解析】试题分析：由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=，由于A 为三角形内角，所以0,sin 0A A ≠≠,所以1cos 2B =-，23B π=，选C. 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，sin 22sin C c c a A a==⇒=，又222237b a ac b a -=⇒=，由余弦定理可得，2222221cos 242a cb a B ac a +--===-，又()0,B π∈，所以120B ︒∠=. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.5．D 【解析】解：=， ∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C ＜π，∴∠C=45°或135°， ∴B=105°或15°，故选D ．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解． 6．D 【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B 角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A 【解析】试题分析：由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，()2222cos 3cos sin C C C =-，213tan ,tan 33C C ==，2,B C C =∴Q 为锐角,所以,,632C B A πππ===，故选A.考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C 【解析】试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝2222a b c ab+-<0，则角C 为钝角考点：运用正弦和余弦定理解三角形. 9．D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==- 考点：正余弦定理解三角形10．C 【解析】试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得22222a b c a b ab+-=g ，那么化简可知所以 2222=a a b c +-，即 22=b c ，=b c ，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ．考点：余弦定理判断三角形的形状． 11．B 【解析】试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状．解：∵cos2=，∴（1+cosB ）=，在△ABC 中，由余弦定理得，=，化简得，2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a （a+c ），则c 2=a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形，故选：B ． 12．C 【解析】试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数．解：∵A=60°，a=4，b=4， ∴由正弦定理=得：sinB===，∵b ＜a ，∴B ＜A ，则B=45°．故选C 13．A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点： 14．B 【解析】试题分析：()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+=sin 12A A π∴=∴=，三角形为直角三角形考点：三角函数基本公式 15．A【解析】试题分析：22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==，选A考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦16．B【解析】试题分析：2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴==∴=Q Q 1,2a c ∴==111515sin 122244S ac B ∴==⨯⨯⨯= 考点：正余弦定理解三角形17．C 【解析】试题分析：由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴= 考点：余弦定理解三角形 18．(1)2；(2)3.【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得b c 322=，进而求得b a 35=，再运用正弦定理求C sin 的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析：（1）由余弦定理可得222222⨯-+=bc c b a ，即bc c a b 2222=+-，将22212b a c -=代入可得b c 322=，再代入22212b ac -=可得b a 35=，所以522sin sin ==a c A C ，即52sin =C ，则51cos =C ，所以2tan =C ；（2）因3sin 21=A bc ，故322322212=⨯⨯b ，即3=b . 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19．（1）B=（2）【解析】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B ＜π， ∴B=；（2）由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即a 2+c 2﹣ac=4，又b=2，△ABC 的周长为2+2， ∴a+c+b=2+2，即a+c=2， ∴ac=，∴S △ABC =acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）B=.4π（2）21+ 【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件B c C b a sin cos +=，可运用正弦定理化边为角，再联系两角和差公式，可求出角B 。

正弦定理知识点与典型例题

正弦定理【基础知识点】1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝21ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/22．三角形中的边角不等关系: A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b<c ；3．【正弦定理】：A a sin ＝B b sin ＝Cc sin ＝2R （外接圆直径）；正弦定理的变式：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．asinB=bsinA bsinC=csinB asinC=csinA sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R4．正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角．②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A 为锐角a=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解两解一解(2)A 为锐角或钝角当时有一解.典型例题：例1、在ABC ∆中，ο45,1,2===A b a 求B 的大小。

例2、在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45 求A 、C 及c .例3、在△ABC 中，a=15,b=10,A=ο60,则cosB 的值例4、在△ABC 中，ο30=B ，32=AB ，AC=2，求△ABC 的面积。

例5、在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.例6、在△ABC 中，)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，试判断△ABC 的形状例7、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为？例8、在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长例9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；例10、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．例11、在△ABC 中，sin(C-A)=1,sinB=31.(Ⅰ)求sinA 的值；(Ⅱ)设AC= 6 求△ABC 的面积.。

正弦定理与余弦定理及应用练习题(1)

正弦定理、余弦定理及应用练习题一、选择题1.在△ABC 中，若a=11,b=21,A=60°，那么材（ C ） A.这样的三角形不存在 B.这样的三角形存在且唯一C.这样的三角形存在不唯一，但外接圆面积唯一D.这样的三角形存在不唯一，且外接圆面积不唯一解析：由于bsinA ＜a ＜b,故三角形不唯一，又其外接圆半径为R =Aa sin 2为定值，故面积唯一. 2.在△ABC 中，已知（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sin(A+B),则△ABC 的形状（ D ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：当A=B 满足.又当C=90°时，（a 2+b 2）sin(A-B)=c 2·sin(90°-2B)=c 2·cos2B=c 2(cos 2B-sin 2B) =a 2-b 2也满足，故选D.3.在△ABC 中，B=30°，AB=23，AC=2，那么△ABC 的面积是（ D ） A.23 B.3 C.23或43 D.3或23解析：运用正弦定理及S △=21AB ·AC ·sinA 求解，注意多解的情况. 4.在△ABC 中，C=60°，a+b=2(3+1),c=22,则A 的度数（ C ）A.45°B.75°C.45°或75°D.90°解析：由c 2=a 2+b 2-2abcosC 及a+b=2(3+1)知a ×b=3388+,求出a,b 后运用正弦定理即可. 5.已知A 、B 、C 是三角形的三个顶点，2=·+·+·，则△ABC 为 ( C )A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.既非等腰三角形又非直角三角形解析：因c 2=bc ·cosA+ac ·cosB-ab ·cosC,故c 2=⇒-+-+++-+222222222222c b a b c a a c b c 2=a 2+b 2,即△ABC 为直角三角形.6.已知△ABC 中，||=3，||=4，且·=-63，则△ABC 的面积是 ( C )A.6B.33C.3D.6+2解析：因·=-||||cosC ，故cosC=234336=⨯--，sinC=21，S △ABC =21||·||· sinC=21×3×4×21=3. 7.给出下列四个命题，以下命题正确的是 ( B )①若sin2A=sin2B,则△ABC 是等腰三角形②sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形③若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2,则△ABC 是钝角三角形④若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC 是等边三角形A.①②B.③④C.①④D.②③ 解析：①错.当A=30°，B=60°时，sin2A=sin2B,但△ABC 不是等腰三角形.②错.当A=120°，B=30°时，sinA=cosB ，但△ABC 不是直角三角形.8.若钝角三角形三角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值围是 ( B ).A.(1，2)B.C.D.解析：设三角形三角从小到大分别为，根据题意得，由得，，∴，根据正弦定理，.二、填空题9.等腰三角形的两边长为9，14，则底角的余弦值为______97或289_____________. 解析：当底边长为9，则cos θ=289149214149222=⨯⨯-+;当底边长为14时，则cos θ=9791429149222=⨯⨯-+. 10.△ABC 中，已知BC=3，AB=10，AB 边上的中线为7，则△ABC 的面积等于___2153___. 解析：cosB=21352735222-=⨯⨯-+,sinB=23.故S △ABC =21×10×3×23=2153. 11.在△ABC 中，若∠C=60°，则ca b c b a +++=_________1_________. 解析：∵cosC=212222=-+ab c b a , ∴a 2+b 2=c 2+ab ， ∴c a b c b a +++=22222)()()()(cc c a ab b a c c ab c c b a ab b a c b a +•+++++=+•+++++=1. 三、解答题12.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8sin 22C B +-2cos2A=7.(1)求角A 的大小；（2）若a=3，b+c=3，求b 和c 的值.解析：（1）由B+C=π-A,sin 2C B +=cos 2A , 即4cos 22A -cos2A=27, 2(1+cosA)-(2cos 2A-1)=27. 4cos 2A-4cosA+1=0,cosA=21,A=60°. (2)cosA=21=bc a c b 2222-+, 即b 2+c 2-3=bc,即(b+c)2-3=3bc. ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=.1,2,2,1.3,2c b c b c b bc 或解得 13. （2013高考卷16）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC+（cosA-sinA ）cosB=0.（1）求角B 的大小；（2）若a+c=1，求b 的取值围14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2-c 2=ac-bc,求A 的大小及cB b sin 的值. 解法一：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac.又a 2-c 2=ac-bc,∴b 2+c 2-a 2=bc.在△ABC 中，由余弦定理得：cosA=2122222==-+bc bc bc a c b , ∴A=60°.在△ABC 中，由正弦定理得sinB=aA b sin ,∵b 2=bc,∠A=60°, ∴acb c B b60sin sin 2==sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bcsinA=21acsinB. ∵b 2=ac,A=60°,∴bcsinA=b 2sinB. ∴23sin sin ==A c B b . 15.已知向量m =（sinB ，1-cosB ），且与向量n =（2，0）所成角为3π,其中A 、B 、C 是△ABC 的角.（1）求角B 的大小；（2）求sinA+sinC 的取值围.解析：（1）∵m=（sinB,1-cosB ）与向量n=（2，0）所成角为3π，∴B B sin cos 1-=3. ∴tan2B =3.又0＜β＜π， ∴2B =3π,即B=32π,A+C=3π. (2)由（1）得sinA+sinC=sinA+sin(3π-A) =21sinA+23cosA=sin(A+3π), ∵0＜A ＜3π,∴3π＜A+3π＜32π, ∴sin(A+3π)∈(23,1], ∴sin+sinC ∈(23,1]. 当且仅当A=C=6π时，sinA+sinC=1.16（备用）．已知的外接圆半径为，且满足求面积的最大值。

正弦定理练习题

正弦定理练习题1.在△ ABC 中， / A = 45 ° , / B = 60 ° a = 2,贝U b 等于（） A. 6B. .2C. .3D . 2,6 2.在△ ABC 中，已知a = 8 ,B = 60 ° ,C = 75 ° 则 b 等于（）A . 4 .2B . 4 3C . 4632DE3. 在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , A = 60°a = 4羽，b = 02,则角 B为（）A . 45或135 °B . 135 °C . 45 °D .以上答案都不对 4.在△ ABC 中，a : b : c =1 : 5 : 6,贝U sinA : sinB : sinC 等于（）A . 1 : 5 : 6B . 6 : 5 : 1C . 6: 1 : 5D .不确定5. 在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 所对的边，若 A = 105 ° B = 45 ° b = {2，则c =（）1 1A . 1B ・2C . 2 D.4 6. 在△ ABC 中，若需=?,则厶ABC 是（）cos B aA .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形7. 已知△ ABC 中，AB = V 3, AC = 1,Z B = 30 ° 则厶 ABC 的面积为（）养B 汙廿或3 或于& △ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c.若c = .2, b = . 6, B = 120。

，则a 等于（）A. . 6B . 2C. ,3D. . 29. ____________________________________________________________________________ 在厶ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,若a = 1, c = .3,C =扌，则A = _____________________ 10. ________________________________________________________ 在△ ABC 中，已知 a = 433, b = 4, A = 30° 则 sinB = _________________________________________ . 11. 在△ ABC 中，已知/ A = 30 ° / B = 120 ° b = 12 ,贝U a + c = ______________12. ________________________________________________ 在△ ABC 中，a = 2bcosC ,则厶ABC 的形状为 ________________________________________________ . c =14. 已知△ ABC 中，/ A : / B : / C = 1 : 2 : 3 ,115. 在△ ABC 中，已知 a = 3 .2 , cosC = 3 , S MBC = 4,3 ,贝V b = _____________ 16. 在△ ABC 中，b = 4*3, C = 30 ° ° c = 2,则此三角形有 _____________ 组解.13.在厶ABC 中, A = 60 ° a = 6 .3 , b = 12 , S ^ ABC = 18 .3,则 a + b + c sinA + si nB +a — 2b +c sin A — 2si n B + sinC17. A ABC 中，ab = 60.3 , sin B= sin C, △ ABC 的面积为15 3 ,求边b 的长.正弦定理1.在△ ABC 中，/ A = 45 ° , / B = 60 ° a = 2 , A. 6 B. 2 C. 3解析：选A.应用正弦定理得：壬=匕,si nA si nB C = 75 ° 则b 等于（求得 b = asinB 2.在△ ABC 中，已知 a = 8, B = 60 °A . 4 ,2B . 4 ,3 解析：选C.A = 45°由正弦定理得 sinA 则b 等于（C . 46 asi nB b =辭=4® ）D . 2 6,6.3.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为为（） A . 45 或 135 ° a 、 b 、c , A = 60 ° a = 4,3 , b = 4,2 ,则角 B B . 135° C . 45° a b 解析：选C.由正弦定理一三=」得：sin B = csinA si nB a 2 4. 在△ ABC 中,a : b : c = 1 : 5 : 6,贝U sinA : sinB : sinC 等于（）A . 1 : 5 : 6 C . 6 : 1 : 5 解析：选A.由正弦定理知sinA : sinB 5. 在△ ABC 中， =（）a ,b ,c 分别是角A , B , 1 B.2 C . D •以上答案都不对bSin ^-^2,又•/ a>b , ••• B<60° ••• B = 45°B . 6 : 5 : 1 D .不确定 :sinC = a : b : c = 1 : 5 : 6.C 所对的边，若 A = 105 ° B = 45 ° b = 2,贝U c解析：选 A.C =呃―10—45° 30° 由 si^B sinC 1 D ・4 c 伯 \/2 冶in 30 ° “ 得c =飞帚 =1. 6.在△ ABC 中，若 cOsB = b ，则厶 ABC 是（） cos B a A •等腰三角形 B •等边三角形 b sin B 解析：选 D. •••-=—=, a sin A sin AcosA = sin BcosB , •即 2A = 2B 或 2A + 2B = C •直角三角形 D •等腰三角形或直角三角形 cos A sin Bcos B sin A sin2A = sin2B n n,即 A = B ,或 A + B = 2 7.已知△ ABC 中，AB =-. 3 , AC = 1, / B = 30° 则厶 ABC 的面积为（） 3 3 A.f B.〒 0宁或3 D. 43或~2 解析：选D.J AB =座,求出sinC =」, sinC si nB 2•••/ C 有两解,即/ C = 60°或 120°，•/ 1再由&ABC = ^AB ACsinA 可求面积. & △ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 A. 6C. 3•/ AB > AC , A = 90°或 30°解析：选D.由正弦定理得矗a 、b 、 B . D. i 2二 sinC ，c.若 c = 2 , b = 6 , B = 120 ° 则 a 等于（） 2 .c 1 • si nC =-2又••• C 为锐角，则 C = 30° • A = 30°△ ABC 为等腰三角形，a = c = .2.9.在厶ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,若a = 1, c = .'3, C =扌，则A =解析：由正弦定理得：岂=壬,sinA sinCa sinC 1 所以 sinA = =-. c 2nn又 v a < c ,「. A < C =—,• A =二3答案：n6n6.10.在△ ABC 中，已知 a = ^J 3,解析：由正弦定理得ab = 4, A = 30° 贝U sinB =?sinB = a sinA sinB 1bsinA 4 ^2 •.； 3—2 . 4.33答案：-2-11. 在△ ABC 中，解析：C = 180° — 120° — 30°= 30° • a = c ,已知/ A = 30° / B = 120 ° b = 12,贝U a + c = ,a b12 >sin30 ° , _ 由 = 得，a == 4 3, si nA si nB si n120•- a + c = 8 3答案：8 '312. 在△ ABC 中，a = 2bcosC ，则△ ABC 的形状为—解析：由正弦定理，得 a = 2R sinA , b = 2R sinB , 代入式子a = 2bcosC ，得2RsinA = 2 2R sinB cosC , 所以 sinA = 2sinB cosC ,即 sinB cosC + cosB sinC = 2sinB cosC , 化简，整理，得si n(B — C) = 0.•/ 0°< B v 180° 0°< C v 180° •••— 180°< B — C < 180° • B — C = 0° B = C.答案：等腰三角形sin120 13.在△ ABC 中, A = 60 ° a = 6 阪 b = 12, S "BC =聞,则艸：蔦;：si nCc =解析：由正弦定理得a +b +c .. i aA == 12，又 S^ABC = TbcsinA , •彳sinA + sinB + sinC sinA sin602 2X12 冶in60 冷=18雨,c = 6.答案： 12 614.已知△ ABC 中，/ A :/ B :/C =1 : 2: 3, a =1, a — 2b + c由/ A ：Z B :/C =1 :••• 2R=-^ = — = 2,sinA si n30又 v a = 2Rsin A , b = 2Rsin B ,a — 2b +c 解析: 2 : 3得，/ A = 30°则 sin A — 2sin B + sin C/ B = 60° , / C = 90°c = 2Rsi n C ,2R sin A — 2si nB + sin C sin A — 2s in B + sinC 答案：2=2R = 2. sin A — 2si n B + sin C解：由 sinCcosC = $ 得 sinC = 1, 又 C € (0, n )所以 C = Z 或 C = 5^ 由 sin Bsin C = cos 2A ，得1sin Bsi n C = Q1 — cos(B + C)],即 2sin Bsin C = 1 — cos(B + C),即 2sin Bsin C + cos(B + C)= 1，变形得 cos Bcos C + sin Bsi n C = 1, 即 cos(B — C)= 1，所以 B = C = n B = C =严(舍去),2nA = n — (B + C) = 3 .由正弦定理一匕=—七=—七，得sin A sin B sin C1- sin B 2 2 b = c = a = 2 3X _ = 2.sin A x 也2故 A = 2n ，B =n , b = c = 2.3 619. (2009年高考四川卷)在厶ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为15.在△ ABC 中，已知 a = 3,2 cosC = 3，ABC = 4治，贝H b= ________ ,解析：依题意， sinC = 23^， S^ABC = ^absinC = 4 3, 解得b = 2 3. 答案：2 316. _______________________________________________________ 在△ABC 中，b = 4書，C = 30° c = 2,则此三角形有 ________________________ 组解._ 1 _解析：••• bsinC = 4 3 2它且c = 2,••• c< bsi nC ,「.此三角形无解. 40 km/h 的速度沿着方位角船在 65° 17.如图所示，货轮在海上以向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位, 航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是距离是多少？（指从正北方向顺时针转到目标方B 点观测灯塔A 的方位角为110° 则货轮到达C 点时，与灯塔A 的1解：在△ ABC 中，BC = 40 X- = 20,/ ABC = 140° — 110°= 30°/ ACB = (180。

(完整版)正弦练习题

正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. 6B. 2C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sinB ∶sinC 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5D ．不确定 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．正弦定理1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. 6B. 2C. 3 D．2 6解析：选A.应用正弦定理得：asin A＝bsin B，求得b＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 3解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝4 6.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对解析：选 C.由正弦定理asin A＝bsin B得：sin B＝b sin Aa＝22，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )A．1 B.12C．2 D.14解析：选 A.C＝180°－105°－45°＝30°，由bsin B＝csin C得c＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B 即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32解析：选D.AB sin C＝AC sin B，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°. 再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3D. 2 解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A＝c sin C，所以sin A＝a·sin Cc＝12.又∵a＜c，∴A＜C＝π3，∴A＝π6.答案：π610．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.解析：由正弦定理得asin A＝bsin B⇒sin B＝b sin Aa＝4×12433＝32.答案：3 211．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由asin A＝bsin B得，a＝12×sin30°sin120°＝43，∴a＋c＝8 3.答案：8 312．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，代入式子a＝2b cos C，得2R sin A＝2·2R·sin B·cos C，所以sin A＝2sin B·cos C，即sin B·cos C＋cos B·sin C＝2sin B·cos C，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________，c＝________.解析：由正弦定理得a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝63sin60°＝12，又S△ABC＝12bc sin A，∴12×12×sin60°×c＝183，∴c＝6.答案：12 614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝asin A＝1sin30°＝2，又∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝2R sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.解析：依题意，sin C＝223，S△ABC＝12ab sin C＝43，解得b＝2 3.答案：2 316．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C＝43×12＝23且c＝2，∴c<b sin C，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin∠ABCsin A＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C＋sin B sin C＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝π6，B＝C＝5π6(舍去)，A＝π－(B＋C)＝2π3.由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得b＝c＝a sin Bsin A＝23×1232＝2.故A＝2π3，B＝π6，b＝c＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝10 10，∴cos B＝1－sin2B＝310 10.又cos 2A＝1－2sin2A＝35，∴sin A＝55，cos A＝255，∴cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π4.(2)由(1)知，C＝3π4，∴sin C＝22.由正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C得5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.∴a＝2，c＝ 5.20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．解：由S＝12ab sin C得，153＝12×603×sin C，∴sin C＝12，∴∠C＝30°或150°.又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.又∵ab＝603，asin A＝bsin B，∴b＝215.当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．故边b的长为215.。

正弦定理、余弦定理的应用举例练习题(基础、经典、好用)

正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题图3－8－91．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－8－9)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里图3－8－103．(2013·广州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是() A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里图3－8－114．如图3－8－11所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714图3－8－125．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图3－8－12所示)，则旗杆的高度为()A．10 m B．30 m C．10 3 m D．10 6 m二、填空题6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________米．7．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．图3－8－138．如图3－8－13，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________．三、解答题图3－8－149．(2013·佛山调研)如图3－8－14，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？图3－8－1510．如图3－8－15，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．图3－8－1611．(2013·惠州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3－8－16所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由．解析及答案一、选择题1．【解析】在△ABC中，由正弦定理BCsin 30°＝ABsin 45°，AB＝50 2.【答案】 A2．【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．【答案】 C3．【解析】由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin 45°×sin 30°＝10 2.【答案】 A4．【解析】连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝21 7.【答案】 A5．【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC＝206×2 2＝203(m)．在Rt△CBD中，CD＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)．【答案】 B二、填空题6．【解析】如图，依题意甲楼高度AB＝20tan 60°＝203米，又CM＝DB＝20米，∠CAM ＝60°.所以AM＝CM·1tan 60°＝2033米，所以乙楼的高CD＝203－2033＝4033米．【答案】403 37．【解析】如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16.【答案】168．【解析】设AB＝h，在△ABC中tan 60°＝h BC，∴BC＝33h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得CDsin∠DBC ＝BCsin∠BDC，即30sin 135°＝33hsin 30°，解得h＝15 6.【答案】15 6三、解答题9．【解】在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理cos∠BDC＝DB2＋DC2－BC22DB·DC＝－17，所以cos∠ADC＝17，sin∠ADC＝437，在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝32×17＋12×437＝5314，由正弦定理ADsin∠ACD ＝CD sin A，所以AD＝2132×5314＝15，故这时此车距离A城15千米．10．【解】在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 km.故B ，D 间的距离约为0.33 km.11．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝356－320cos C ， ① 在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝392－392cos C ， ② 由①②得：356－320cos C ＝392－392cos C ，整理可得，cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°，又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形，故AB ＝14，即A 、B 两点的距离为14. (2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ， S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD ＞AC ·BC ，所以S △ABD ＞S △ABC ，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．因此小李的设计符合要求．。

正弦定理、余弦定理应用举例练习题

正弦定理、余弦定理应用举例练习卷、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. 如图所示，已知两座灯塔 A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与灯塔B 的距离为（）A . a km a km a km D. 2a km2. 张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上, 15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是（）A . 2/2 km B3. 轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（）D.亦 kmA. 35海里B . 3^/2海里C . 35、/3海里 D. 70海里4. 为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30° 测得塔基B 的俯角为45°,那么塔的高度是（）A . 20 1+ 申 mB . 20 1+申 mC . 20（1 +範 mD. 3 25. 在△ ABC 中, / ABC=-n,AB=Q 2,BC= 3,则 sin / BAC=( 6.线段 AB 外有一点 C,/ABC-60°AB= 200 km 汽车以 80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶, 则运动开始多少h 后，两车的距离最小（D. 2现测得/ ABC= 120°,则A C 两地的距离为 8. 如下图，一艘船上午9: 30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东 30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10: 00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8、/2n mile.此9. 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C,使CAB 30 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分, 共15分）7.已知A , B 两地的距离为10 km , B,C 两地的距离为20 km , km.船的航速是n mile/h.在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得/ BDC= 45°,则塔AB的高是_______ .三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）10.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为1^6米（如图所示）,旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒, 升旗手应以多大的速度匀速升旗?11.如图，A B是海面上位于东西方向相距5（3 +^/3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°, B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距2砧3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？12.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B, 然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山12 3 路AC长为1 260 m，经测量，cos A= -3, cosC= 5.13 5(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内?北号。

正弦定理练习题

正弦定理练习题正弦定理练习题正弦定理是解决三角形问题中常用的重要定理之一。

它描述了三角形中边长和角度之间的关系，能够帮助我们求解未知的边长或角度。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固对正弦定理的理解和应用。

练习题一：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。

如果我们知道边长a和角度B，如何求解边长b呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a和角度B已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：b = a*sinB/sinA练习题二：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。

如果我们知道边长a和b，如何求解角度C呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a和b已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：a*sinB = b*sinA通过移项，我们可以得到：sinC = sin(A+B) = sin(180°-C)由此可得：C = 180° - (A+B)练习题三：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。

如果我们知道边长a、b和角度A，如何求解角度C呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a、b和角度A已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：a*sinB = b*sinA通过移项，我们可以得到：sinC = sin(180°-A-B) = sin(A+B)由此可得：C = A + B通过以上的练习题，我们可以看到正弦定理在解决三角形问题中的重要性。

它不仅可以帮助我们求解未知的边长或角度，还能够帮助我们理解三角形的性质和关系。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题

完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。

正弦定理练习题(经典)

正弦定理演习题【1 】1．在△ABC 中,A ＝45°,B ＝60°,a ＝2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C ＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中,a ,b ,c 分离是角A ,B ,C 所对的边,若A ＝105°,B ＝45°,b ＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.144．在△ABC 中,角A .B .C 的对边分离为a .b .c ,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不合错误5．△ABC 的内角A .B .C 的对边分离为a .b .c .若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( ) A.6B ．2C.3D. 26．在△ABC 中,a ∶b ∶c ＝1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定7．在△ABC 中,若cos A cos B ＝b a,则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形8．在△ABC 中,角A .B .C 所对的边分离为a .b .c ,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A ＝________.9．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sin B ＝________.10．在△ABC 中,已知∠A ＝30°,∠B ＝120°,b ＝12,则a ＋c ＝________.11．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c ＝2,则此三角形有________组解．12 . 断定知足下列前提的三角形个数（1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解正弦定理1．在△ABC 中,∠A ＝45°,∠B ＝60°,a ＝2,则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.运用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ,求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C ＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°,由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中,a ,b ,c 分离是角A ,B ,C 所对的边,若A ＝105°,B ＝45°,b ＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°,由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.4．在△ABC 中,角A .B .C 的对边分离为a .b .c ,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不合错误a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22,又∵a >b ,∴B <60°,∴B ＝45°. 5．△ABC 的内角A .B .C 的对边分离为a .b .c .若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( )A.6B ．2 C.3D. 26sin120°＝2sin C, ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角,则C ＝30°,∴A ＝30°,△ABC 为等腰三角形,a ＝c ＝ 2.6．在△ABC 中,a ∶b ∶c ＝1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.7．在△ABC 中,若cos A cos B ＝b a,则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ,∴cos A cos B ＝sin B sin A, sin A cos A ＝sin B cos B ,∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B ,或A ＋B ＝π2. 8．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B ＝30°,则△ABC 的面积为( ) A.32B.34 C.32或3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ,求出sin C ＝32,∵AB ＞AC , ∴∠C 有两解,即∠C ＝60°或120°,∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 9．在△ABC 中,角A .B .C 所对的边分离为a .b .c ,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C, 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ,∴A ＜C ＝π3,∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中,已知∠A ＝30°,∠B ＝120°,b ＝12,则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°,∴a ＝c ,由a sin A ＝b sin B 得,a ＝12×sin30°sin120°＝43,∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c ＝2,则此三角形有________组解．解析：∵Bb Cc sin sin =,有B sin 3430sin 2=︒,得sinB=13＞ ∴此三角形无解．答案：0一,二,二,无。

正弦定理练习题

正弦定理练习题1.在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，a=2，则b等于（B）2.2.在三角形ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（C）43.3.在三角形ABC中，已知∠A=60°，a=43，b=42，则∠B等于（A）45°或135°。

4.在三角形ABC中，已知a:b:c=1:5:6，则.5.在三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，若∠A=105°，∠B=45°，b=2，则c等于（C）2.6.在三角形ABC中，若cosA=cosB，则三角形ABC是（D）等腰三角形或直角三角形。

7.已知三角形ABC中，AB=3，AC=1，∠B=30°，则三角形ABC的面积为（A）3.8.三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。

若c=2，b=6，∠B=120°，则a等于（B）2.9.在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a=1，c=3，∠C=43°，则∠A=（C）63°。

10.在三角形ABC中，已知a=√3，b=4，∠A=30°，则sinB=（B）1/2.11.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=120°，b=12，则a+c=（D）24.12.在三角形ABC中，若a=2bcosC，则三角形ABC的形状为（A）等腰三角形。

13.在三角形ABC中，∠A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则sinA+sinB+sinC=（C）2.14.已知三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，a=1，则sinA-2sinB+sinC=（B）-1.15.在三角形ABC中，a=32，cosC=1/3，S△ABC=43，则b=（A）24.16.在三角形ABC中，b=43，C=30°，c=2，则此三角形有（B）两组解。

正弦定理练习题

1.1.1正弦定理A 组（满分50分）一．选择题（每小题6分）1．已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别是c b a ,,，下列等式中总能成立的是( )A ．B b A a sin sin = B ．A cC b sin sin =C ．B bc C ab sin sin =D ．A c C a sin sin =2. 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B ∠为( ) A.3π B.6π C.6π或6π5 D.3π或3π2 3．已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,对边分别是c b a ,,，若26+==c a ，且︒=∠75A ，则=b ( )A ．2 B. 26- C ．324- D ．324+4．在ABC ∆中B b A a cos cos =,则ABC ∆是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形二．填空题（每小题6分）5．在ABC ∆中，6=AC ，2=BC ，︒=∠60B ，则C ∠＝________.6. 在ABC ∆中，12=+b a ，︒=60A ，︒=45B ，则=a _______，=b ______．7.三角形的两边分别为3 cm 和5 cm,它们所夹角的余弦为方程06752=--x x 的根,则这个三角形的面积是_________.三．解答题8. (8分)在ABC ∆中，︒=45A ，5:4:=C B ，最大边长为10，求角C B ,，ABC ∆外接圆半径R 及面积S .1.1.1正弦定理制作人：岳双珊审核人：于绪迎时间：2012年4月（第十周）B 组（满分50分）一．选择题（每小题6分）1．在ABC ∆中，已知︒===150,16,18A b a ，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定2．在ABC ∆中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则C B A sin :sin :sin 为( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6二．填空题（每小题6分）3. ABC ∆三内角C B A ∠∠∠,,满足C B A 222sin sin sin +=且C B A sin sin 2sin 2=，则ABC ∆为三角形.4．在ABC ∆中，︒===45,2,B b x a ，若三角形有两解，则x 的取值范围_____________．三．解答题5．（10分）在锐角ABC ∆中，B A 2=，c b a ,,所对角分别为C B A ,,，求b a 的取值范围．6.（12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且272cos 2sin 42=-+A C B . (1)求A 的大小；(2)若3,3=+=c b a ，求b 和c 的值.。

正弦定理练习题(打印版)

正弦定理练习题（打印版）
# 正弦定理练习题
## 一、选择题
1. 在三角形ABC中，已知a=3，b=4，c=5，求角A的正弦值。

A. 1/3
B. 1/4
C. 1/5
D. 2/5
2. 若三角形ABC的内角A、B、C的正弦值分别为sinA、sinB、sinC，且a=5，b=7，c=8，求sinC。

A. 3/4
B. 4/5
C. 5/8
D. 8/7
## 二、计算题
1. 在三角形ABC中，已知a=7，b=8，A=45°，求B和C的度数。

2. 已知三角形ABC的边长分别为a=5，b=7，c=6，求角A的正弦值。

## 三、证明题
1. 证明：在任意三角形ABC中，如果a=b，那么sinA=sinB。

2. 证明：在三角形ABC中，如果sinA+sinB+sinC=2，那么三角形ABC 是直角三角形。

## 四、应用题
1. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，求这个三角形的面积。

2. 在三角形ABC中，已知b=8，c=10，B=60°，求边长a。

## 五、综合题
1. 已知三角形ABC的边长a，b，c和对应的角A，B，C，求证：
a/sinA = b/sinB = c/sinC。

2. 在三角形ABC中，已知a=9，b=12，C=90°，求角A和B的度数以及三角形ABC的面积。

注意：请在解答时，确保计算过程清晰，步骤合理，结果准确。

正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)

正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为°°°°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=+（-1） C.（+1）10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于°°°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1.2（-1） 23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7.a=b sin A或b＜a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大, 最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。

(完整版)正弦定理、余弦定理超经典练习题

正弦定理、余弦定理练习题一、选择题1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.。

正弦定理(三)

正弦定理(三)
教学目标实际应用问题转化为三角形的边角关系。

教学重点实际应用题用正弦定理的解决。

教学难点
实际问题的转化。

课前预习 1. S=C ab sin 2
1= = 典型例题例1：某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为︒20的倾斜角前进1000m
后到达D 处，又测得山顶的仰角为︒
65，求山顶的高度BC （精确到1m ）
例2证明S=
C ab sin 2
1,并运用这一结论解决下面的问题。

（1）在∆ABC 中，已知a=2,b=3,C=︒150,求S 。

（2）在∆ABC 中，已知c=10,A=︒45,C=︒30,求b 和S
课堂练习
1.填空题。

(1).在∆ABC 中，若A=30︒
，b=1,c=3,则∆ABC 面积为
(2).在∆ABC中，已知B=30︒，b=1,c=3，则∆ABC的面积是。

2.解答题。

25，30min
1. 一艘船以42nmile/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东︒
58。

求灯塔S和B 之间的距离。

（精确到0.1nmin）后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东︒
2.(2007 潍坊模拟) 在∆ABC中，若B=30︒，AC=2, AB=23，求∆ABC的面积是多少？
课堂小结
利用正弦定理公式求三角形的面积公式：
三角形的面积公式的应用。