2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
【全国百强校】河北省武邑中学2016-2017学年高二上学期周考(11.6)理数试题解析(解析版)
河北省武邑中学2016-2017学年高二上学期周考（11.6）数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，425S S =，则3825a a a 的值为（ ） A ．2-或1- B ．1或2 C ．2±或1- D ．1±或2 【答案】C考点：等比数列基本运算.【易错点晴】本题主要考查等比数列的性质，考查等比数列基本元的思想.如果{}n a 是等比数列，且满足m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，由此可得题目是要求公比q 的值.在等比数列中，首项、公比和每一项都不为零.且1q =和1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是不一样的，所以要先考查等比数列公比是否为1，再利用前n 项和公式列式后求解q 的值.2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()5283S a a =+，则53a a 的值为（ ） A ．16 B ．13 C ．35 D ．56【答案】D 【解析】试题分析：由()5283S a a =+得()155562a a a+⋅=即3556a a =，所以选D.考点：等差数列基本运算.3.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列； 2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（ ）A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p 【答案】D 【解析】试题分析：0d >，{}n a 为递增数列，1p 为真命题，排除,B C 选项.由于3nd 为递增数列，所以{}3n a nd +是递增数列，4p 正确，故选D. 考点：数列的单调性.4.等比数列{}n a 中，39a =前三项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12- C. 1或12- D ．1-或12- 【答案】C考点：等比数列，定积分.5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25815a a a ++=，则9S =（ ） A ． 60 B ．45 C. 36 D ．18 【答案】B 【解析】试题分析：依题意25855315,5a a a a a ++===，所以199599452a a S a +=⋅==. 考点：等差数列的基本性质.6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，若11132S =，若324k a a +=, 则正整数k 的 值为（ ）A ．9B ．10 C. 11 D ．12 【答案】A 【解析】试题分析：根据11132S =，有111661111132,122a a a a +⋅===，而36242k a a a +==，所以312,9k k +==.考点：等差数列的基本性质.7.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53 B ．56 C.103 D ．116【答案】A考点：等差数列，数学文化. 8.在ABC ∆中, 3B π∠=, 三边长,,a b c 成等差数列，且6ac =，则b 的值是（ ）A B 【答案】D 【解析】试题分析：三边成等差数列，即2b a c =+，由余弦定理得()222222cos 322a c ac ba cb ac acπ+--+-==22312411242b b --===，解得b =考点：解三角形.9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若359,30S S ==，则789a a a ++=（ ） A ．27 B ．36 C.42 D ．63 【答案】D 【解析】试题分析：依题意有1133951030a d a d +=⎧⎨+=⎩10,3a d ==，所以789132163a a a a d ++==+=.考点：等差数列的基本性质.10.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足()()3,232f x f x f ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，数列{}n a 满足 11a =-，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则()()56f a f a +=（ ） A ．3- B ．2- C.3 D ．2 【答案】C考点：函数的奇偶性、对称性，数列基本概念.11.若{}n a 是等差数列，首项120112012201120120,0,0a a a a a >+><，则使前n 项0n S >和成立的 最大正整数n 是（ ）A ．2011B ．2012 C. 4022 D ．4023 【答案】C 【解析】试题分析：两个数的和大于零，两个数的积小于零，则这两个数一正一负.由于数列首项大于零，所以公差d 为负数，所以201120120,0a a ><，()140224022201120124022201102a a S a a +=⋅=+>，而14023402320124023402302a a S a +=⋅=⋅<，所以n 的最大值为4022. 考点：等差数列的基本性质.【思路点晴】本题主要考查等差数列的求和问题，考查等差数列的通项的性质，确定等差数列为递减数列是解题的关键.先根据首项大于零并且有负数的项，及两个数的和大于零，两个数的积小于零，则这两个数一正一负，判断出数列是一个递减的数列，即0d <，再根据等差数列前n 项和公式，和下标的关系，确定最大的n 的值.12.已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．()10613--- B ．()101139-- C.()10313-- D ．()10313-+ 【答案】C考点：等比数列的基本性质.【思路点晴】本题主要考查等比数列的定义和前n 项和公式，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：)0(1≠=+q q a a nn ,（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零），前n 项和公式注意q 是否为1.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知数列{}n a 满足()123,n n n a a a n n N *--=-≥∈，它的的前n 项和为nS若9106,5S S ==，则1a 的值为__________. 【答案】1 【解析】试题分析：根据12n n n a a a --=-，有112n n n n a a a a +--=-=-，所以3n n a a +=-，即6n n a a +=，所以n a 周期为6，10910411S S a a a -==-==-，所以11a =. 考点：递推数列求值.14.设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列.若12,12a a b b <<,且()21,2,3i i b a i ==,则数列{}n b 公比为__________.【答案】3+考点：等差数列与等比数列.15.对任意x R ∈,函数()f x 满足()112f x +=+,设()()2n a f n f n =-⎡⎤⎣⎦, 数列{}n a 的前15项和为3116-,则()15f =_________. 【答案】34【解析】试题分析：由于()112f x +=，()()2n a f n f n =-⎡⎤⎣⎦，所以()()()22112f n f n f n ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭展开得()()()()2211104f n f n f n f n +-++=-≥，所以()01f n ≤≤，()112f n +≥，即114n n a a ++=-，所以2114n n a a +++=-，化为2n n a a +=，数列是周期为2的数列，由于前15项和为3116-，所以()1512131716S a a a =++=-，2114a a +=-，解得1316a =-，2116a =-，所以()()232121016f k f k ---+=，解得()3214f k -=，所以()3154f =.考点：函数与递推数列.【思路点晴】本题是数列与函数结合的题目，首先已知条件有两个，一个是用函数来表示，与x 有关，一个是用数列来表示，与n 有关，我们现将已知都用n 来表示，即()()()22112f n f n f n ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，展开后通过观察，可知114n n a a ++=-，递推出2114n n a a +++=-可知2n n a a +=，即数列是周期为2的数列.利用前15项和为3116-可求出奇数项()3214f k -=.16.已知数列{}{},n n a b ，且的通项公式分别为232,n n a n b n =-=，现抽出数列{}{},n n a b 中所有 相同的项并按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n c ，则可以推断21k c -=（用k 表示())k N *∈ _________. 【答案】()232k -考点：新定义数列.【思路点晴】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中解答的关键是根据两个数列{}{},n n a b 的通项公式，利用合情推理与演绎推理，猜想出数列{}n c 的通项公式.当n 为偶数时，2312n n c ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.本题也可以采用特殊值的技巧，求得111a b ==，224a b ==，17749a b ==，所以211c =，()2237332c ==⋅-，由此猜想出通项为()232k -.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其中11221,a b a b ==≠， 且2b 为12,a a 的等差中项，2a 为23,b b 的等差中项. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记()()12121......n n n c a a a b b b n=++++++, 数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）121,2n n n a n b -=-=；（2）()()111222n n n n S n ++=--+. 【解析】试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知2122232,2b a a a b b =+=+解得2,2q d ==，从而121,2n n n a n b -=-=；（2）由于()21212n n n c n n n n=⋅⋅-=⋅-，利用分组求和法与错位相减法求得前n 项和()()111222n n n n S n ++=--+.考点：等差数列与错位相减法.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为12n n S +=, 数列{}n b 满足()211log n nb n n a =++.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）4,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩；（2）()131412n n n T n +=-++.试题解析：（1）当1n = 时，114a S ==,由12n n S +=, 得()()1114,122,2222,2,2nn nnn n n n n n n S n a S S n a n +--=⎧=≥∴=-=-=≥∴=⎨≥⎩.（2）当1n =时，1121551,2log 444b T =+=∴=.当2n ≥时,()()211111log 211n nb n n n n n n n n =+=+=-++++, ()511111111...234...42334451n T n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+++++ ⎪+⎝⎭()()111111111131...1234 (42334451412)n n n n n n +⎛⎫=+-+-+-++-++++++=-+ ⎪++⎝⎭. 上式对于1n =也成立，所以()131412n n n T n +=-++. 考点：数列基本概念，裂项求和法.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >, 且第2项、第5项、第14 项分别是等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 对任意n N *∈，均有12112...n n nc c c a b b b ++++=成立. ①求证: ()22nnc n b =≥；② 求122014...c c c +++.【答案】（1）121,3n n n a n b -=-=；（2）①证明见解析；②2014122014...3c c c +++=.试题解析： （1）()()()223141,14,113,141113a d a d a d d d d =+=+=+∴+=++,解得()20d d =>，()11221n a n n ∴=+-⨯=-.又22533,9b a a b ====，所以等比数列{}n b 的公比213223,3n n n b q b b q b --==∴==. （2）①证明:12112...,n n n c c c a b b b ++++=∴ 当2n ≥时，112121...n n n c c ca b b b --+++=,两式相减,得()12n n n n c a a n b +=-≥.②由①得()12232n n n c b n -==⨯≥.当1n =时，1211,3ca cb =∴=不满足上式故 20131220132014201412201466...32323 (23)3333313c c c -⨯∴+++=+⨯+⨯++⨯=+=-+=-.考点：等比数列的基本概念，数列求和.20.（本小题满分12分）已知{}n a 为正项等比数列,263,243,n a a S ==为等差数列{}n b 的前n 项 和为153,35b S ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设 1122...n n n T a b a b a b =+++, 求n T .【答案】（1）13n n a -=，21n b n =+；（2）3n n T n =⋅.试题解析：（1）1115131,,33243n n a q a a q a q -==⎧⎧∴∴=⎨⎨==⎩⎩,又 11133,,21510352n b b b n b d d ==⎧⎧∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩. （2）()21133537...321,n n T n -=⨯+⨯+⨯+++()()2313333537...321321n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-++,相减得()()()2121233232...323213233...3321n n n n n T n n ---=+⨯+⨯++⨯-+=++++-+ ()332123,3n n n n n n n T n =-+=-∴=考点：等差数列与等比数列、错位相减求和法．21.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =，且5346S a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）当1c =时，2n T n n =+，当1c ≠时，()()221211n n n c n c T cc -⋅=---. 【解析】 试题分析：（1）将5346S a =+转化为1,a d ，求得12a =，故2n a n =；（2）依题意1n n nb c a -=，所以12n n b n c -=⋅，当1c =时,2n b n =, ()()22212n n n T n n n n +==+=+. 当1c ≠时，利用错位相减法求得()()221211n n n c n c T cc -⋅=---.试题解析：（1）因为公差2d =，且5346s a =+, 所以()()115452431262a a ⨯+⨯=+-⨯+,所以12a =.所以等差数列{}n a 的通项公式为 2na n =.考点：等差数列与错位相减求和法.【方法点晴】本题主要考查等差数列基本元的思想，考查分类讨论的数学思想，考查错位相减求和法.由于已知条件知道n a 为等差数列，且5346S a =+，利用等差数列前n 项和公式，转化为1,a d 的关系，由此求得1a 和及通项公式.第二问首先利用第一问的几轮求出12n n b n c -=⋅，由于含有参数c ，所以要对c 进行分类讨论.利用公式法和错位相减法求和.22.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足1241,6a a a =+=,且对任意的n N *∈，函数()()1212cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=--+-满足'02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，若11n n n c a a -=, 则数列{}n c 的前 n 项和n S . 【答案】1n n +.试题解析：由函数 ()()1212cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=--+-满足 '02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可得，122n n n a a a ++=+，所以函数{}n a 为等差数列. 又1241,6a a a =+=，所以可得公差为1，所以通项为n a n =.所以()1111111n n n c a a n n n n +===-++. 所以数列{}n c 的前n 项和n S 为1n n +. 考点：数列与导数、裂项求和法.【方法点晴】本题考查函数与导数，考查裂项求和法.第一步结合了导数，我们先求导，代入'02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可求得122n n n a a a ++=+，这就意味着{}n a 是等差数列，利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a d ，列方程求解得1d =，所以n a n =.第二步先化简()1111111n n n c a a n n n n +===-++，这是典型的裂项求和法求前n 项和.：。
【精品】2017年河北省衡水市武邑中学高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)
2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，4）2．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．3．（5分）点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）4．（5分）若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．6．（5分）已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．7．（5分）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）8．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．79．（5分）双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O 为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．1610．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5分）正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=．14．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．15．（5分）已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k的取值范围是．16．（5分）如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是面对角线A1B 与B1D1的中点，设=，=，=．（1）以{，，}为基底，表示向量；（2）求证：MN∥平面BCC1B1；（3）求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．20．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，4）【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4，∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）故选：B．2．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．【解答】解：命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则¬p：∃，故选：D．3．（5分）点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）【解答】解：点A（a，1）在椭圆的内部，即为+＜1，即有a2＜2，解得﹣＜a＜，故选：A．4．（5分）若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于=b，∵双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b=，∴b==，∴b=1，∴该双曲线的虚轴长是2．故选：A．5．（5分）若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．【解答】解：当焦点在x轴上时，a2=3，b2=m，c2=3﹣m，由，得，即，解得m=；当焦点在x轴上时，a2=m，b2=3，c2=m﹣3，由，得，即，解得m=4．∴m=或4．故选：C．6．（5分）已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．【解答】解：=（3，﹣2，4），则P（1，1，4）到α的距离d===4，故选：B．7．（5分）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，∴=，，=．∴=﹣==[（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]==（﹣2，﹣3，﹣3）．故选：B．8．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C．9．（5分）双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O 为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．16【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线方程为y=±x，代入抛物线的方程y2=4x，可得A（4，4），B（4，﹣4），可得|AB|=8．故选：C．10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．11．（5分）正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵正方体AC1的棱长为1，AH⊥平面A1BD，∴①点H是△A1BD的垂心，正确；②AH垂直平面CB1D1，正确；③AH=AC1=，正确；④点H到平面A1B1C1D1的距离为，错误．故选：C．12．（5分）设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为﹣ax﹣by=1．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），则2|PM|≤2，|BD|≤2，∴，，解得b≥1，，∴a+b≥1+1=2．∴a+b取值范围为[2，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=6．【解答】解：∵=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），∴﹣=（2，﹣4，4），∴|﹣|==6．故答案为：6．14．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．15．（5分）已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k（﹣，）．【解答】解：由题意可得|MN|=4，|PM|﹣|PN|=2＜|MN|，由双曲线的定义可得P的轨迹为以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，由a=1，c=2，可得b2=c2﹣a2=3，可得方程为x2﹣=1（x＞0），由y=kx代入双曲线的方程，可得：（3﹣k2）x2=3，由题意可得3﹣k2＞0，解得﹣＜k＜．故答案为：（﹣，）．16．（5分）如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为4，∴OH=EH=2．∴OE=2．在平面CED内建立直角坐标系如图．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），F为抛物线的焦点．C（2，4），∴16=2p•（2），解得p=2．F（，0）．即OF=，EF=，∵PB=4，PE=2，∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为==，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p ∧q均为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若命题p为真，则有0，即，解得m≤﹣1或m≥1，若命题q为真，则有1＜＜4，解得：0＜m＜15，∵￢q与p∧q均为假命题，∴q为真命题，p为假命题．则有解得0＜m＜1．故所求实数m的取值范围是0＜m＜1．18．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．【解答】解：（1）设直线l的方程为x=my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+6与抛物线y2=4x得y2﹣4my﹣24=0，显然△＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣24，x1x2=36可得•=x1x2+y1y2=12．…（6分）（2）S=|OM|•|y1﹣y2|=3=12=12，△OAB∴m2=4，m=±2．那么直线l的方程为x+2y﹣6=0和x﹣2y﹣6=0…（12分）19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是面对角线A1B 与B1D1的中点，设=，=，=．（1）以{，，}为基底，表示向量；（2）求证：MN∥平面BCC1B1；（3）求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】（1）解：．（2）证明：连A1C1、BC1，则N为A1C1的中点，又M为A1B的中点，∴MN∥BC1，又MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（3）解：∵DA、DC、DD 1两两垂直，∴可以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz．设正方体棱长为2，则M（2，1，1），N（1，1，2），A1（2，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），∴，，，，∵，，∴，，∴为平面A1BD的法向量，设直线MN与平面A1BD所成的角为θ，则，所以直线MN与平面A1BD所成角的正弦值为．20．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，2，0），E（0，1，），=（0，1，）设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0），=（m，2，0）．设=（x，y，z）为平面ACE的法向量，则，取z=2，得=（，﹣1，2）．…（4分）又=（1，0，0）为平面DAE的法向量，…（4分）∵二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为，∴由题设知|cos＜＞|=，即，解得m=1，即AB=1．…（7分）（2），∴，，…（10分），∴异面直线BP与直线CE所成角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【解答】解：（1）设C方程为，则，由，a2=b2+c2，得a=4，∴椭圆C的方程为．（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0，由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由韦达定理得x1+x2=﹣t，．∴，由此可得：四边形APBQ的面积，∴当t=0，．②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB 的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），由整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，∴，同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得∴，，，所以直线AB的斜率为定值．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
【全国百强校】河北省武邑中学2016-2017学年高二上学期周考(10.9)理数试题解析(解析版)
河北省武邑中学2016-2017学年高二上学期周考（10.9）理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若双曲线:E 221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线E 上，且1||3PF =，则2||PF 等于（ ） A ．11 B ．9C ．5D ．3【答案】B考点：双曲线的定义．2．设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为（ ）A B C ．6332D ．94【答案】D 【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为3)4y x =-，即34x =+代入23y x =得：2904y --=，所以12y y +=，1294y y =-，16y -=，故12113962244S OF y y =⋅-=⨯⨯=，故选D ．考点：1．抛物线的性质；2．直线与抛物线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查的是抛物线与直线的位置关系，及三角形的面积公式，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件确定三角形的公共边，高确定为两点纵坐标之差的绝对值，要确定纵坐标的差的绝对值，需要根据直线与圆锥曲线的位置关系联立方程组，从而利用根与系数的关系去求纵坐标差的绝对值．3．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知||AB =，||DE =，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A考点：1．圆的性质；2．抛物线的简单几何性质．4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．2214x y -= 【答案】C 【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．||1||1BF AF --B ．22||1||1BF AF -- C ．||1||1BF AF ++D ．22||1||1BF AF ++【答案】A考点：1．抛物线的定义；2．三角形面积公式．【方法点晴】本题主要考查的是抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，三角形的面积公式，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件可知焦点弦的长等于点到准线的距离，再利用平行线分线段成比例进行转化，进而面积转化为||||||1||||||1BCF ACF S BC BM BF S AC AN AF ∆∆-===-，充分体现转化的数学思想，及抛物线定义的运用．6．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4PF FQ =-，则||QF =（ ）22【答案】B 【解析】试题分析：设Q 到l 的距离为d ，则||QF d =，因为4PF FQ =-，所以 ||=3PQ d ，不防设PF 的斜率为k ==-，由22)8y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩得：1x =，所以||123QF d ==+=，故选B ． 考点：1．直线与圆锥曲线的关系；2．抛物线的定义．7．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||2||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）AB ．23CD ．1【答案】A考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件||2||PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．8．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）2343【答案】D考点：1．抛物线的几何性质；2．导数的几何意义．9．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3CD【答案】B 【解析】试题分析：设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11,)A x y （，22,)B x y （，直线AB 与x 轴的交点为(,0)M m ， 由2x ty my x=+⎧⎨=⎩得：20y ty m --=，故12y y m =-，又2OA OB ⋅=，所以解得122y y =-，2m =-，不妨设A 在x 轴上方，又1(,0)4F ，所以12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯-+⨯=+≥=，当且仅当143y =时，取等号，故选B ． 考点：1．直线和圆锥曲线的位置；2．均值不等式．10．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．94D ．3【答案】B 【解析】试题分析：因为12|||2|PF PF a =-，两边平方得：221212||||4||||4PF PF PF PF a +-⋅=（），即22994b ab a -=，解得：43b a =，故222165,93c a c e a a -===，故选B ．考点：1．双曲线的定义；2．双曲线的简单几何性质．11．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a +，则该双曲线的渐进线斜率的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．((0,2)D ．(,(2,)-∞+∞【答案】A考点：1．双曲线的简单性质；2．直线的斜率．12．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,4C ．()2,3D ．(2,4)【答案】D考点：1．直线和圆的位置关系；2．直线和抛物线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆的相切问题，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件首先求出中点的轨迹方程3x =，这里主要考查的是点差法，问题转化为3x =与圆有交点，从而当直线斜率存在时，半径大于2且小于4有两条，当直线斜率不存在时，也有两条符合条件，故需要24r <<．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b （a b <），原点O 为AD 的中点，抛物线22y px =（0p >）经过C ，F 两点，则ba= ．1+ 【解析】试题分析：由题意(,),(,)22a a C a F b b -+，代入抛物线方程得：22()222()2a a p ab p b ⎧-=⋅⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，因为0,0,0a b p >>>，消去p 得：212a b a b=+，化简整理得： 2220a ab b +-=，即 2()210b b a a +-=，解得：1ba=1+． 考点：1．抛物线的标准方程；2．齐次方程的求解．14．已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是 ． 【答案】2考点：双曲线的简单几何性质．15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐进线与抛物线2C ：22x py=（0p >）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 ． 【答案】32【解析】试题分析：联立双曲线的渐近线方程与抛物线方程得：22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a -，抛物线的焦点 (0)2pF ，，由三角形的垂心的性质得：BF OA ⊥，所以1BF OA k k ⋅=-，即22414a b b ab a -⋅=-，即b =， 所以32c a =，所以双曲线的离心率32e =，故应该填32．考点：1．双曲线的简单几何性质；2．抛物线的简单几何性质．【方法点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质及抛物线的简单几何性质，涉及三角形的垂心和直线垂直的问题，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件写出22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a -利用三角形的垂心性质，建立直线斜率的关系22414a b bab a-⋅=-，对含有,a b 的式子进行处理，即可得出离心率的范围．16．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ． 【答案】12考点：椭圆的定义．【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的定义，及三角形中平行线分线段成比例，点关于点的对称性的问题，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，注意数形结合的思想的应用，在线段,MA MB 上中点分别是12F ，F ，又Q 是MN 的中点，巧妙利用中位线，即可得到122AN BN QF QF +=+（），从而利用椭圆定义求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求a ，b ． 【答案】（1）12；（2）7a =，b =．试题解析：（1）由题意知2||324MF c =，所以23||2MF c =， 由勾股定理可得15||2MF c =，由椭圆定义可得35222c c a +=，解得C 的离心率为12．（2）由题意，原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2D ）是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =，由2||5||MN F N =，得11||2||DF F N =，设11(,)N x y ，由题意知10y <，则112(),22,c x c y --=⎧⎨-=⎩即113,21,x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程得2229114c a b +=，将24b a =及c =代入2229114c a b +=得：229(4)1144a a a a-+=，解得7a =，b =． 考点：1．椭圆的定义；2．直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程及椭圆的简单几何性质，以及直线与椭圆相交的相关计算，属于中档题．求椭圆的离心率问题，关键是建立关于椭圆的基本量,,a b c 之间的方程或不等式，然后转化为关于c a的方程或不等式即可．当题目中涉及线段长度问题时，可以考虑利用向量，建立坐标之间的数量关系，避免直接求线段长度，可起到简化运算的效果．18．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：//AR FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【答案】（1）证明见解析；（2）21y x =-．试题解析：由题设1(,0)2F ，设1l ：y a =，2l ：y b =，则0ab ≠，且2(,0)2a A ，2(,)2b B b ，1(,)2P a -，1(,)2Q b -，1(,)22a b R +-． 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=．（1）由于F 在线段AB 上，故10ab +=，记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ， 则122211a b a b ab k b k a a ab a a---=====-=+-， ∴//AR FQ ．（2）设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ， 则1111||||||||222ABF S b a FD b a x ∆=-=--，||2PQF a b S ∆-=，由题设可得111||||||222a b b a x ---=， 所以10x =（舍去），11x =．设满足条件的AB 的中点为(,)E x y ，当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =，可得21y a b x =+-（1x ≠）． 而2a b y +=所以21y x =-（1x ≠）． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为21y x =-．考点：1．斜率公式；2．直线与圆锥曲线的位置关系． 19．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+（0a >）交于M ，N 两点． （1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．【答案】（10y a --=0y a ++=（2）(0,)P a -，证明见解析．试题解析：（1）由题设可得)M a ，()N a -或()M a -，)N a ．∵1'2y x =，故24x y =在x =C 在,)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=．故24x y =在x =-处的导数值为，C 在(,)a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=．0y a --=0y a ++=．考点：1．过抛物线上一点的切线；2．直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查的是过抛物线上一点的切线，以及直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率公式、直线的倾斜，属于中档题．求切线时要结合函数的导数，求出直线的斜率，写出过该点的切线方程，当涉及直线的倾斜角互补问题时，解题时一定要注意转化为直线的斜率互为相反数，通过直线与圆锥曲线的位置关系来解．20．设椭圆22213x y a +=（a >F ，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为坐标原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）6(,[,)-∞+∞． 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的基本量的关系得：113()c c a a a c +=-，化简23b =，21c =，所以24a =，所求直线方程22143x y +=；（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-，由直线与圆锥曲线的位置关系联立221,43(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(43)1616120k x k x k +-+-=，228643B k x k -=+，从而21243B k y k -=+，由BF HF ⊥，222129404343H ky k k k -+=++，直线MH 的方程为219412k y x k k-=-+，联立方程组得解得2220912(1)M k x k +=+，根据大角对大边，||||MA MO ≤，从而2222(2)M M M M x y x y -+≤+，化简得1M x ≥，即22209112(1)k k +≥+，解得k ≤或k ≥．（2）设直线l 的斜率为k （0k ≠），则直线l 的方程为(2)y k x =-，设(,)B B B x y ， 由方程组221,43(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得2222(43)1616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+， 由题意得228643B k x k -=+，从而21243B k y k -=+． 由（１）知，(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =-，2229412(,)4343k k BF k k -=++，由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222129404343H ky k k k -+=++，解得29412H k y k-=， 因此直线MH 的方程为219412k y x k k-=-+． 设(,)M M M x y ，由方程组2194,12(2),k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩解得2220912(1)M k x k +=+， 在△MAO 中，MOA MAO ∠≤∠等价于||||MA MO ≤，即2222(2)M M M M x y x y -+≤+，化简得1M x ≥，即22209112(1)k k +≥+，解得k ≤或k ≥． 所以，直线l的斜率的取值范围为6(,[,)-∞+∞． 考点：1．椭圆的简单几何性质；2．直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线和椭圆的位置关系，及创新性问题，属于难题．解题时首先根据条件建立,,a b c ，之间的关系，再利用222a b c =+，解出椭圆的标准方程，联立直线和椭圆的方程后，得一元二次方程，利用根与系数之间的关系或直接解，然后需要根据条件利用大边对大角转化为容易处理的数量关系，建立关于k 的不等式求解．。
2016-2017年河北省衡水中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．23．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）5．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）6．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n ∉N*，f（n）＞n7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F 1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）•（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．3．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：∵双曲线的离心率是，∴e==，即==1+（）2=，即（）2=﹣1=，则=，即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x，故选：C．4．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），故选：B．5．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选：A．6．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n ∉N*，f（n）＞n【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A （x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选：D．9．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故选：C．10．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，B．由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，即“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为“在△ABC中，若sinA ＞sinB，则A＞B，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，即等价为A＞B，即逆否命题为真命题，故C 判断错误．D．命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0，正确，故选：C．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=x，由于过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0），∴|AF|=x0+，∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，∴x0=2﹣，x0＞，∴0＜p＜2∴y0=（2﹣p），∴3（2﹣p）2=2p（2﹣），整理得p2﹣4p+3=0，解的p=1或p=3（舍去），故抛物线的方程为y2=2x，故选：A．12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵命题P：“”为假命题，∴￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，∴△≤0，即m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．∴实数m的取值范围是[2，6]．故答案为：[2，6]．14．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意可设F（c，0），代入直线l：x+3y﹣2b=0，可得：c﹣2b=0，即c=2b，即有a===b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F 1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：（1）（3）．【解答】解：由题意可得：，化为（x≠±3）．（1）由曲线C的标准方程可得=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴，∴S=mn=16；（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5﹣x A=8，解得x A=﹣3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=﹣3上，因此正确；（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6=﹣6．因此不正确．综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．故答案为：（1）（3）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．【解答】解：（1）甲班的平均分为：；（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）15个基本事件，设事件M=“至少含有甲班一名同学”，则事件M包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），9个事件，所以事件M的概率为．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．【解答】解：（1）由（0.005+0.035+a+0.02+0.01）×10=1，得a=0.03．平均成绩约为（55×0.005+65×0.035+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74.5．（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，则抽取3人的所有情形为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c）共20种第4组中恰有1人的情形有12种∴．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，∴+p=（+）2，∴p=2抛物线的方程为：y2=4x．…（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．∵=+=2，∴M为EP的中点．∴，∴，即y2=4x﹣12．∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===4（m2+1）．E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，=•|AB|•d=4，∴S△ABE∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，=8．∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE∴当m=0时，S取得最小值8．此时直线l的方程为x﹣1=0．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵K AM•K BM=﹣，∴，整理得点所在的曲线C的方程：．（2）由题意可得点，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，所以|PQ|==原点O到直线RQ的距离为，S△OQR==≤=．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即有a=2，c=2，b=2，则动点P的轨迹C的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，那么|MN|==•=，y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，线段MN中点H的坐标为（，），那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），令y=0，得D（，0），|DH|==，则=•=•，由k≠0，可得1+∈（1，+∞），于是∈（0，）．。
2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二(上)入学数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4＝M B．B＝A＝3C．x+y＝0D．M＝﹣M2．（5分）已知直线ax+y+1＝0与（a+2）x﹣3y+1＝0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣3或1B．1或3C．﹣1或﹣3D．﹣1或33．（5分）若球的表面积扩大到原来的2倍，则球的体积扩大到原来的（）A．2倍；B．倍C．2倍D．3倍4．（5分）点M（x0，y0）在圆x2+y2＝R2外，则直线x0x+y0y＝R2与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定5．（5分）对于使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界．若a＞0，b＞0且a+b＝1，则的上确界为（）A．B．C．D．﹣46．（5分）已知数列{a n}、{b n}都是公差为1的等差数列，b1是正整数，若a1+b1＝10，则++…+＝（）A．81B．99C．108D．1177．（5分）在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4，其面积S△ABC＝3，则BC＝（）A．5B．或C．D．8．（5分）已知集合A＝{（x，y）|＝a+1}，B＝{（x，y）|（a2﹣1）x+（a﹣1）y＝15}，若A∩B＝∅，则a的取值是（）A．﹣1，1B．﹣1，C．±1，D．±1，﹣4，9．（5分）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3 10．（5分）已知一圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是（0，4]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（）A．B．π或C．D．π11．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元12．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立．则实数k的最小值等于（）A．4B．0C．﹣2D．﹣4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）228与1995的最大公约数是．14．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为．15．（5分）数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的方差为．16．（5分）如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC ＝60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．18．（12分）如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，AE＝CD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰三角形，有关数据如图所示．（1）求出该几何体的体积；（2）试问在边CD上是否存在点N，使MN⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置（不需证明）；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．（1）求证：BF∥平面A1EC；（2）求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1．20．（12分）如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造“绿地△ABD”，其中AB ＝a，BD长可根据需要进行调节（BC足够长），现规划在△ABD内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，设种草的面积S1与种花的面积S2的比为y．（1）设角∠DAB＝θ，将y表示成θ的函数关系；（2）当BE为多长时，y有最小值，最小值是多少？21．（12分）设数列{a n}满足（6n﹣3）a n＝（2n+1）a n﹣1+4n2﹣2n+1（n≥2），a1＝2，设b n ＝．（1）求证：{b n}是等比数列；（2）设{a n}的前n项和S n，求+（）n的最小值．22．（12分）若对一切|p|≤2，不等式（log2x）2+p log2x+1＞2log2x+p恒成立，求实数x的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：对于A，4＝M，赋值符号左边不是变量，∴不正确；对于B，B＝A＝3，赋值语句不能连续直接对两个变量赋值，∴不正确；对于C，x+y＝0，赋值符号左边不是变量，∴不正确；对于D，M＝﹣M，左边为一个合法的变量名，右边为一个合法的表达式，∴正确．故选：D．2．【解答】解：∵直线ax+y+1＝0与（a+2）x﹣3y+1＝0互相垂直，∴a（a+2）+1×（﹣3）＝0，解得a＝﹣3或a＝1故选：A．3．【解答】解：设原球的半径R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍，故选：C．4．【解答】解：∵点M（x0，y0）在圆x2+y2＝R2外，∴x02+y02＞R2，∴圆心（0，0）到直线x0x+y0y＝R2的距离：d＝＜R，∴直线x0x+y0y＝R2与圆相交．故选：B．5．【解答】解：∵，（当且仅当时取到等号）∴（当且仅当a＝b＝时取到上确界）故选：B．6．【解答】解：∵a1+b1＝10，a1，b1∈N*，∴a1，b1有1和9，2和8，3和7，4和6，5和5，6和4，7和3，8和2，9和1九种可能，当a 1，b1为1和9时，＝a9＝9，＝a10＝10，前9项和为++…+＝9+10+…+16+17＝117；当a 1，b1为2和8时，＝a8＝9，＝a9＝10，前9项和为++…+＝9+10+…+16+17＝117；当a 1，b1为3和7时，＝a7＝9，＝a8＝10，前9项和为++…+＝9+10+…+16+17＝117；…当a 1，b1为9和1时，＝a7＝9，＝a8＝10，前9项和为++…+＝9+10+…+16+17＝117；故数列{c n}的前9项和等于117，故选：D．7．【解答】解：∵锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4，其面积S△ABC＝3，∴AB•AC•sin A＝3，即sin A＝，∴cos A＝＝，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos A＝9+16﹣12＝13，则BC＝．故选：D．8．【解答】解：∵A＝{（x，y）|＝a+1}＝{（x，y）|L1：（a+1）x﹣y+1﹣2a＝0，x≠2}又∵B＝{（x，y）|L2：（a2﹣1）x+（a﹣1）y＝15}若A∩B＝∅，则有以下两种情况：①L1∥L2，（a+1）（a﹣1）＝﹣（a2﹣1），解得，a＝1或﹣1②点（2，3）在直线L2上，将（2，3）带入L2可得，2（a2﹣1）+3（a﹣1）＝15，解得，a＝或a＝﹣4综上所述，a的取值是±1，﹣4，故选：D．9．【解答】解：∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，∴正四棱锥的斜高为a，∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6＝，a＝2，∴正四棱锥的体积是a2×a＝，故选：A．10．【解答】解：∵圆锥的轴截面顶角不小于90°时，过顶点的截面面积的最大值为×4×4＝8＞4，∴圆锥的轴截面为锐角三角形，∴过顶点的截面三角形中面积最大为轴截面面积，则×2r×＝4（r为圆锥底面半径），解得r＝2或r＝2（舍去）．∴侧面展开图扇形圆心角θ＝•2π＝•2π＝π．∴该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于π．故选：D．11．【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则z＝1600x+2400y，其中x、y满足不等式组，（x、y∈N）∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是≈44.4元，同理可得B型车的人均租金是＝40元，由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低由此进行验证，可得当x＝5、y＝12时，可载客36×5+60×12＝900人，符合要求且此时的总租金z＝1600×5+2400×12＝36800，达到最小值故选：C．12．【解答】解：由++≥0，得k≥﹣（+）（a+b），∵﹣（+）（a+b）＝﹣（2+）＝﹣4，当且仅当a＝b时取等号，∴k≥﹣4，即实数k的最小值等于﹣4，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：∵1995÷228＝8…171，228÷171＝1…57，171÷57＝3，∴228与1995的最大公约数是57，故答案为：57．14．【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣＝＝﹣，故切线的方程为y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣5＝0，故答案为：x+2y﹣5＝0．15．【解答】解：∵数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，∴数据x1，x2，…，x8的方差为4，∴数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的方差S2＝42＝16．故答案为：16．16．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P＝．故答案为：P＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】（1）解：由题设，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝＝．因为P A⊥平面ABC，P A＝1，所以V P﹣ABC＝•S△ABC•P A＝；（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥P A，交PC于点M，连接BM，由P A⊥平面ABC，知P A⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN＝N，所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN＝AB•cos∠BAC＝，从而NC＝AC﹣AN＝．由MN∥P A得＝＝．18．【解答】解：（1）侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，根据三视图的数据，四棱锥的高为2，∴几何体的体积V＝×2×2＝4．（2）在CD边上存在点N，使得MN⊥平面BDE．理由如下：以A为原点，CA为x轴，AB为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（﹣2，0，4），E（0，0，2），M（﹣1，1，2），，，＝（0，0，﹣4），＝（1，1，﹣2），假设在DC边上存在点N，满足题意，设＝（0，0，﹣4λ），λ∈[0，1]，则＝＝（1，1，﹣2）﹣（0，0，﹣4λ）＝（1，1，﹣2+4λ），∵MN⊥平面BDE，∴，即，解得∈[0，1]，∴DC上存在点N，满足DN＝时，NM⊥平面BDE．19．【解答】证明：（1）连接A1C与AC1交于点O，连接OF，∵F为AC的中点，∴OF∥C1C且OF＝C1C，∵E为BB1的中点，∴BE∥C1C且BE＝C1C，∴BE∥OF且BE＝OF，∴四边形BEOF是平行四边形，∴BF∥OE，∵BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，∴BF∥平面A1EC（2）∵AB＝CB，F为AC的中点，∴BF⊥AC由（1）知BF∥OE，∴OE⊥AC，∵AA1⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，∴AA1⊥BF，∵BF∥OE，∴OE⊥AA1，∵AA1∩AC＝A，∴OE⊥平面AA1C1C∵OE⊂面A1EC，∴平面A1EC⊥平面AA1C1C．20．【解答】解：（1）因为BD＝a tanθ，所△ABD的面积为a2tanθ（θ∈（0，）设正方形BEFG的边长为t，则由，得＝，解得t＝，则S2＝所以S1＝a2tanθ﹣S2，所以，；（2）因为tanθ∈（0，+∞），所以y＝（tanθ+）≥1当且仅当tanθ＝1，时取等号，此时BE＝．所以，y最小值为2．21．【解答】（1）证明：（6n﹣3）a n＝（2n+1）a n﹣1+4n2﹣2n+1（n≥2），可得a n＝，a n﹣n＝，即有＝，则b n＝b n﹣1，故{b n}是首项为＝，公比为的等比数列；（2）解：b n＝＝（）n，则a n＝n+（2n+1）•（）n，{a n}的前n项和S n＝+T n，T n＝3+5•+…+（2n+1）•（）n，T n＝3•+5•+…+（2n+1）•（）n+1，两式相减可得T n＝1+2（++…+）﹣（2n+1）•（）n+1，＝1+2•﹣（2n+1）•（）n+1，化简可得T n＝2﹣，即有S n＝+2﹣，则+（）n＝++＝++，由+≥2＝2，当且仅当＝，即n＝2，取得等号，由于n为正整数，当n＝6时，+＝，当n＝7时，+＝＜，则有n＝7时，取得最小值，且为．22．【解答】解：对一切|p|≤2，不等式（log2x）2+p log2x+1＞2log2x+p恒成立，等价于恒成立，即＞0在[﹣2，2]上恒成立．∴，解得，log2x＜﹣1或log2x＞3．∴x＞8或．∴x的取值范围为．。
河北省武邑中学2016-2017学年高二上学期周考(9.21)数
河北省武邑中学2016-2017学年高二上学期周考（9.21）数学（理）周日测试 椭圆、双曲线第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知F 为双曲线22:(0)C x my m m -=>的一个交点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A ．3 C D ．3m2、若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B ．虚半轴相等 C ．实半轴长相等 D ．焦距相等3、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率54e =，且其右焦点2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为A ．22143x y -= B ．221169x y -= C ．221916x y -= D ．22134x y -= 4、已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为A ．0x =B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=5、已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，121sin 3MF F ∠=则E 的离心率为A ．32C ．2 6、已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，12,e e 分别为12,C C 饿离心率，则A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <7、已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个交点，若120MF MF ⋅<，饿0y 的取值范围是A ．(B ．(C ．(D ．( 8、已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A 、B 分别为C 的左右顶点，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．349、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线与A 、B 两点， 则AB =A ．3B ．．6 D ．10、已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(1,3)-B ．(1-C ．(0,3)D ．11、已知双曲线2221(0)4x y b b -=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ．223144x y -=B ．224143x y -=C ．22214x y b -=D ．221412x y -= 12、已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为0120，则E的离心率为A ．2 C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河北省武邑中学高二数学上学期周考试题(9.4)理
河北省武邑2016-2017学年高二上学期周考（9.4）数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（ ）2.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A. 310cmB. 320cmC. 330cmD. 340cm3.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. πB. 2πC. 3πD.6π4.在梯形ABCD 中，,//,22 2.2ABC AD BC BC AD AB π∠====将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A. 23πB. 43πC. 23πD.2π5.如图，正方体或四面体中，,,,P Q R S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）6.下图所示的四个几何体，其中判断正确的是（ ）A. （1）不是棱柱B.（2）是棱柱C. （3）是圆台D.（4）是棱锥7.已知一圆锥母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积范围是(0,43⎤⎦，则该圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角等于（ ） A. 2π B. π C. 3π D.π或3π 8.若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 3332225π+B. 323325π+ C. 329325π+D. 1289325π+ 9.圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积2，表面积为24，则11r h +的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 2410.在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，则以这4个顶点为顶点构成的几何形体可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.则其中正确的结论序号是（ ）A. ①③④⑤B. ①②④⑤C. ①②③⑤D. ①②③④11.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）A.（1）（2）B. （1）（3）C. （1）（4）D.（1）（5）12.下列正方体或正四面体中，,,,P Q R S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的个数是 . 14.用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值是 ，最小值是 .15.一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为（只填写序号）16.有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母，下图是从3种不同的角度看同一粒骰子的情况，请问H 反面的字母是 .三、解答题：共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，,//,222,AB AD AB CD AB AD CD E ⊥===是PB 上的点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值为63求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.18.如图，已知AB ⊥平面ACD ，//,DE AB ACD ∆是正三角形，2AD DE AB ==,且F 是CD 的中点.（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等.（1）求证：//AB 平面PCD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面ABCD .20.选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 中，,AB AC AD AH CD ==⊥于H ，BD 交AH 于P ，且.PC BC ⊥ （1）求证：,,,A B C P 四点共圆；（2）若,13CAD AB π∠==，求四边形ABCP 的面积.21.如图，正三棱柱ABC A B C '''-中，D 是BC 的中点， 2.AA AB '==（1）求证:;AD B D '⊥（2）求三棱锥A AB D ''-的体积.22. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平PA ⊥面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）设1,3AP AD ==P ABD -的体积3V =，求A 到平面PBC 的距离.。
【全国百强校】河北省武邑中学2016-2017学年高二上学期周考(10.23)理数试题解析(解析版)
17.设在平面内给定一个四边形 ， 分别为 的中点，求证： .
【答案】证明见解析．
【解析】
试题分析：本题是一个证明向量相等的问题，要证明其大小相等，方向相同即可.首先连结连接 ，利用三角形的中位线特点即可完成证明.
试题解析：如图所示，连接 ，在 中，由三角形中位线定理知，
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.在平面直角坐标系中， ， ，将向量 按逆时针旋转 后，得向量 ，则点 的坐标是（）
A． B． C若向量 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
14. 是空间不共线的三点，则 ______________；类比上述性质得到一般性的结论是_____________.
【答案】 ,
【解析】
考点：空间向量的加法．
15.在平行四边形 中， 和 分别是边 和 的中点，若 ，其中 ，则 ______________.
【答案】
【解析】
试题分析：平行四边形 中， 和 分别是边 和 的中点，所以 ，同时 ，因为 不共线，所以 ，解得 ， ，故答案填 .
16. 表示“向东走 ”， 表示“向北走 ”，则 ____________， 的方向是______________.
【答案】 东北方向
【解析】
考点：1、向量的加法；2、向量的模．
【方法点晴】本题是一个关于向量加法的简单实际应用问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是，首先要理解平面向量的加法的几何意义，向量的求和，既要求大小的和，又要求方向的和.由于 表示“向东走 ”， 表示“向北走 ”，所以向量 的大小应该是 ，而向量 的方向是北偏东 ，也就是东北方向.
河北省衡水市武邑中学高二数学上学期期中试题 理(含解
2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．1．设集合M=，N={x|2x+1≤1}，则M∩（∁R N）=( )A．（3，+∞）B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，3] D．A．30° B．45° C．60° D．90°10．双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为，则△PF1F2面积为( )A．16B．32C．32 D．4211．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( ) A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件12．已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为( )A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题卡上相应位置．13．设=（x，4，3），=（3，﹣2，y），且∥，则xy=__________．14．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，设，则=__________．15．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为__________．16．已知在空间直角坐标系中，有棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为__________．三．解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．18．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角．19．设命题p：函数是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x2﹣4x+3在的值域为．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．20．设F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4．（1）求椭圆的方程．（2）若K为椭圆C上的一点，且∠F1KF2=30°，求△F1KF2的面积．21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．22．已知椭圆 C：=1（a＞b＞0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，为坐标原点），当点M坐标为时，l的方程为x+2y﹣4=0．（I）求椭圆C方程；（Ⅱ）设直线l的斜率为K，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），求∠HOM 最大时k的值．2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．1．设集合M=，N={x|2x+1≤1}，则M∩（∁R N）=( )A．（3，+∞）B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，3] D．．【点评】本题考查了集合的交集、补集的运算，考查椭圆、指数函数的性质，是一道基础题．2．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( )A．¬p：∃x∈R，sinx≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞1【考点】命题的否定．【分析】根据¬p是对p的否定，故有：∃x∈R，sinx＞1．从而得到答案．【解答】解：∵¬p是对p的否定∴¬p：∃x∈R，sinx＞1故选C．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题．3．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为( )A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=a，再由离心率公式及a，b，c的关系，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．4．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A． B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos∠A1BE的大小．【解答】解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．由余弦定理可知：cos∠A1BE=．故选C．【点评】本题主要考查了异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力．5．若θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，则曲线=1是( )A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把sinθ+cosθ=两边平方可得，sinθ•cosθ＜0，可判断θ为钝角，sinθ＞﹣cosθ，从而判断方程所表示的曲线．【解答】解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，从而sinθ＞﹣cosθ，从而曲线=1是焦点在x轴上的椭圆．故选：A．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，由三角函数式判断角的取值范围．6．与双曲线3x2﹣y2=3的焦点相同且离心率互为倒数的椭圆方程为( )A．x2+=1 B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的方程可得焦点坐标和离心率，由题意可得椭圆的焦点及离心率，设出椭圆方程，由离心率公式，可得a，进而得到b，可得椭圆方程．【解答】解：双曲线3x2﹣y2=3即为x2﹣=1，可得焦点为（﹣2，0），（2，0），离心率为e=2，即有椭圆的离心率为，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），a2﹣b2=4，=，即有a=4，b=2，则椭圆方程为+=1．故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，属于基础题．7．从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】压轴题．【分析】从9个数中随机抽取3个不同的数，共有C93种取法，3个数的和为偶数包括抽取3个数全为偶数，或抽取3数中2个奇数1个偶数，用组合数表示出算式，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：基本事件总数为C93，设抽取3个数，和为偶数为事件A，则A事件数包括两类：抽取3个数全为偶数，或抽取3数中2个奇数1个偶数，前者C43，后者C41C52．∴A中基本事件数为C43+C41C52．∴符合要求的概率为=．【点评】本题不能列举出基本事件，可以用组合数表示，如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数是解题的关键．8．设F1，F2为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可得a，b，c的值，可得P，Q恰好是椭圆的短轴的端点时满足题意，由此可得PF1，PF2的长度和夹角，由数量积的定义可得．【解答】解：由于椭圆方程为，故a=2，b=，故c==1由题意当四边形PF1QF2的面积最大时，点P，Q恰好是椭圆的短轴的端点，此时PF1=PF2=a=2，由于焦距|F1F2|=2c=2，故△PF1F2为等边三角形，故∠F1PF2=60°，故=2×2×cos60°=2故选C【点评】本题考查椭圆的简单性质，判断出椭圆的四边形PF1QF2的面积最大时的情形是解决问题的关键，属中档题．9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD 与平面BB1C1C所成角的大小是( )A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选C【点评】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成的角；②设定﹣﹣论证所作或找到的角为所求的角；③计算﹣﹣常用解三角形的方法求角；④结论﹣﹣点明斜线和平面所成的角的值．10．双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为，则△PF1F2面积为( )A．16B．32C．32 D．42【考点】双曲线的应用；直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】先由题意求出∠F1PF2，再由△PF1F2面积=求出△PF1F2面积．【解答】解：∵直线PF1，PF2倾斜角之差为，∴∠F1PF2=，∴△PF1F2面积=16×=16．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要牢记公式△PF1F2面积=．11．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( ) A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题；规律型．【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．12．已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设切点为M，连接OM、PF1，通过已知条件可得|PF1|=2b、PF1⊥PF2，进而可得|PF2|=2，利用椭圆的定义便得到2b+2=2a，化简即可得到b=，根据离心率的计算公式即可求得离心率e．【解答】解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2，∵M，O分别是PF2，F1F2的中点，∴MO∥PF1，且|PF1|=2|MO|=2b，∵OM⊥PF2，∴PF1⊥PF2，|F1F2|=2c，∴|PF2|=2，根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，∴2b+2=2a，∴a﹣b=，两边平方得：a2﹣2ab+b2=c2﹣b2，∴c2=a2﹣b2，并代入并化简得：2a=3b，∴b=，a=1，c==，∴e==，即椭圆的离心率为，故选：D．【点评】本题考查中位线的性质、圆心和切点的连线和切线的关系，以及椭圆的定义，c2=a2﹣b2，椭圆离心率的计算公式，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题卡上相应位置．13．设=（x，4，3），=（3，﹣2，y），且∥，则xy=9．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】空间向量及应用．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴存在实数λ，使得，可得，解得．∴xy==9故答案为9．【点评】熟练掌握向量共线定理是解题的关键．14．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，设，则=．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算．【专题】空间向量及应用．【分析】取CC1中点E，连结AC，AE，结合正方体的结构特征，利用向量加法三角形法则得到==，再利用勾股定理能求出的值．【解答】解：取CC1中点E，连结AC，AE，∵正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，设，则==，∴=||===．故答案为：．【点评】本题考查向量和的模的求法，是基础题，解题时要注意空间向量加法的三角形法则的合理运用．15．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法．m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种．所以m，n都取到奇数的概率为．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题．16．已知在空间直角坐标系中，有棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为a．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；向量法；空间位置关系与距离．【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出与两异面直线AD1和DC1均垂直的向量，再由在上的投影，即为点M到直线AD1距离的最小值．【解答】解：如图以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，a，0），C1（a，a，a），D1（0，a，a），=（0，a，a），=（a，0，a），点M到直线AD1距离的最小值即为两异面直线AD1和DC1间的距离，设它们的公垂线段所在的向量为=（x，y，z），则⊥，即有•=0，即为ay+az=0，，即有=0，即为ax+az=0，可取=（﹣1，﹣1，1），取=（0，a，0），则两异面直线AD1和DC1间的距离为：==a．故答案为：a．【点评】本题考查空间两异面直线的距离的求法，考查向量法求数量积和模，考查运算能力，属于中档题．三．解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有=15种，按规律列举即可；（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果【解答】解：（I）抽样比为=，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3，14×=2，7×=1（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种，∴P（B）==【点评】本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题18．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；数形结合；向量法；空间角．【分析】以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF和CD所成的角．【解答】解：以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），C（0，1，0），E（），F（），=（0，﹣，﹣），=（0，1，0），∴cos＜，＞==﹣，∴＜，＞=135°，∴异面直线EF和CD所成的角是45°．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．设命题p：函数是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x2﹣4x+3在的值域为．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】命题中，根据指数函数的性质，求出a的范围，对于命题q，根据二次函数的性质，求出a的范围，因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得p、q中一真一假，然后再分类讨论；【解答】解：命题p：∵函数是R上的减函数，由得命题q：∵g（x）=（x﹣2）2﹣1，在上的值域为得2≤a≤4∵p且q为假，p或q为真，得p、q中一真一假．若p真q假，得若p假q真，得综上，＜a＜2或≤a≤4【点评】此题主要考查指数函数的性质以及二次函数的性质，以及分类讨论思想的应用，另外计算量比较大要仔细计算．20．设F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4．（1）求椭圆的方程．（2）若K为椭圆C上的一点，且∠F1KF2=30°，求△F1KF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由点A到F1，F2两点的距离之和等于4．可得2a=4，解得a．又点在椭圆上，可得，解得b2，即可得出．（2）=1．记|KF1|=m，|KF2|=n，则m+n=4，由余弦定理可得：，可得mn．利用，即可得出．【解答】解：（1）∵点A到F1，F2两点的距离之和等于4．∴2a=4，解得 a=2．又点在椭圆上，∴，解得b2=3，所以所求椭圆的方程为．（2）=1．记|KF1|=m，|KF2|=n，则m+n=4，由余弦定理可得：，∴，，∴，又，∴．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．22．已知椭圆 C：=1（a＞b＞0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，为坐标原点），当点M坐标为时，l的方程为x+2y﹣4=0．（I）求椭圆C方程；（Ⅱ）设直线l的斜率为K，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），求∠HOM 最大时k的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）将M点坐标代入椭圆方程，同时联立直线l与椭圆方程，计算即得结论；（ II）通过设直线l并与椭圆方程联立，利用△=0，进而可得|OM|2、|OH|2的表达式，化简即得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：+=1，（*）将x+2y﹣4=0代入椭圆C，有：（3a2+4b2）x2﹣8a2x+16a2﹣4a2b2=0，令△=0得：3a2+4b2=16，（**）联立（*）、（**），解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为：+y2=1；（ II）设直线l：y=kx+m，M（x0，y0）．将直线l的方程代入椭圆C得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，令△=0，得m2=4k2+1，且=，∴|OM|2=，又|OH|2==，∴（cos∠HOM）2=，∵（1+16k2）（4+4k2）≤=，∴≥，等号当且仅当k2=时成立，∴∠HOM取最大时k=±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
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2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，4）2．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．3．（5分）点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）4．（5分）若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．6．（5分）已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．7．（5分）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）8．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．79．（5分）双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O 为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．1610．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5分）正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=．14．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．15．（5分）已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k的取值范围是．16．（5分）如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是面对角线A1B 与B1D1的中点，设=，=，=．（1）以{，，}为基底，表示向量；（2）求证：MN∥平面BCC1B1；（3）求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．20．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，4）【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4，∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）故选：B．2．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．【解答】解：命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则¬p：∃，故选：D．3．（5分）点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）【解答】解：点A（a，1）在椭圆的内部，即为+＜1，即有a2＜2，解得﹣＜a＜，故选：A．4．（5分）若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于=b，∵双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b=，∴b==，∴b=1，∴该双曲线的虚轴长是2．故选：A．5．（5分）若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．【解答】解：当焦点在x轴上时，a2=3，b2=m，c2=3﹣m，由，得，即，解得m=；当焦点在x轴上时，a2=m，b2=3，c2=m﹣3，由，得，即，解得m=4．∴m=或4．故选：C．6．（5分）已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．【解答】解：=（3，﹣2，4），则P（1，1，4）到α的距离d===4，故选：B．7．（5分）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，∴=，，=．∴=﹣==[（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]==（﹣2，﹣3，﹣3）．故选：B．8．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C．9．（5分）双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O 为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．16【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线方程为y=±x，代入抛物线的方程y2=4x，可得A（4，4），B（4，﹣4），可得|AB|=8．故选：C．10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA 1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．11．（5分）正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵正方体AC1的棱长为1，AH⊥平面A1BD，∴①点H是△A1BD的垂心，正确；②AH垂直平面CB1D1，正确；③AH=AC1=，正确；④点H到平面A1B1C1D1的距离为，错误．故选：C．12．（5分）设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为﹣ax﹣by=1．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），则2|PM|≤2，|BD|≤2，∴，，解得b≥1，，∴a+b≥1+1=2．∴a+b取值范围为[2，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=6．【解答】解：∵=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），∴﹣=（2，﹣4，4），∴|﹣|==6．故答案为：6．14．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．15．（5分）已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k（﹣，）．【解答】解：由题意可得|MN|=4，|PM|﹣|PN|=2＜|MN|，由双曲线的定义可得P的轨迹为以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，由a=1，c=2，可得b2=c2﹣a2=3，可得方程为x2﹣=1（x＞0），由y=kx代入双曲线的方程，可得：（3﹣k2）x2=3，由题意可得3﹣k2＞0，解得﹣＜k＜．故答案为：（﹣，）．16．（5分）如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为4，∴OH=EH=2．∴OE=2．在平面CED内建立直角坐标系如图．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），F为抛物线的焦点．C（2，4），∴16=2p•（2），解得p=2．F（，0）．即OF=，EF=，∵PB=4，PE=2，∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为==，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p ∧q均为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若命题p为真，则有0，即，解得m≤﹣1或m≥1，若命题q为真，则有1＜＜4，解得：0＜m＜15，∵￢q与p∧q均为假命题，∴q为真命题，p为假命题．则有解得0＜m＜1．故所求实数m的取值范围是0＜m＜1．18．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．【解答】解：（1）设直线l的方程为x=my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+6与抛物线y2=4x得y2﹣4my﹣24=0，显然△＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣24，x1x2=36可得•=x1x2+y1y2=12．…（6分）=|OM|•|y1﹣y2|=3=12=12，（2）S△OAB∴m2=4，m=±2．那么直线l的方程为x+2y﹣6=0和x﹣2y﹣6=0…（12分）19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是面对角线A1B 与B1D1的中点，设=，=，=．（1）以{，，}为基底，表示向量；（2）求证：MN∥平面BCC1B1；（3）求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】（1）解：．（2）证明：连A1C1、BC1，则N为A1C1的中点，又M为A1B的中点，∴MN∥BC1，又MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（3）解：∵DA、DC、DD1两两垂直，∴可以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz．设正方体棱长为2，则M（2，1，1），N（1，1，2），A 1（2，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），∴，，，，∵，，∴，，∴为平面A1BD的法向量，设直线MN与平面A1BD所成的角为θ，则，所以直线MN与平面A1BD所成角的正弦值为．20．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，2，0），E（0，1，），=（0，1，）设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0），=（m，2，0）．设=（x，y，z）为平面ACE的法向量，则，取z=2，得=（，﹣1，2）．…（4分）又=（1，0，0）为平面DAE的法向量，…（4分）∵二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为，∴由题设知|cos＜＞|=，即，解得m=1，即AB=1．…（7分）（2），∴，，…（10分），∴异面直线BP与直线CE所成角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【解答】解：（1）设C方程为，则，由，a 2=b 2+c 2，得a=4，∴椭圆C 的方程为．（2）①设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为，代入，得x 2+tx +t 2﹣12=0，由△＞0，解得﹣4＜t ＜4， 由韦达定理得x 1+x 2=﹣t ，．∴， 由此可得：四边形APBQ 的面积，∴当t=0，．②当∠APQ=∠BPQ ，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为﹣k ，直线PA 的直线方程为y ﹣3=k （x ﹣2）， 由整理得（3+4k 2）x 2+8（3﹣2k ）kx +4（3﹣2k ）2﹣48=0，∴，同理直线PB 的直线方程为y ﹣3=﹣k （x ﹣2）， 可得∴，，，所以直线AB 的斜率为定值．第21页（共21页）。