北京市2020届高三数学上学期期末考试试题理
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
2020年中学数学30 排列、组合(原卷版)
考点30 排列、组合1、掌握分布计数原理和分类计数原理；2、能运用计数原理解决简单的排列与组合问题；1、从2020年高考情况看，考题难度以中档题目为主，主要以选择题、填空题的形式出现，分值为5分；2、本章内容在高考中以排列组合的综合应用为主；1、从2020年高考情况来看，考查的方式及题目的难度与往年变化不大，延伸以前的考试风格；2、考查内容主要体现以下几个方面：利用排列组合解决实际问题；利用排列着解决概率有关的问题；1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种2、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1183、【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）5、【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________．5、【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)题型一 排列组合的简单运用1、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少．．．出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（ ）A ．54B ．44C ．32D ．222、（2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题）甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )A ．24B ．12C ．8D ．63、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理)试题）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A ．3600种B ．1440种C ．4820种D ．4800种4、（2020届北京市通州区高三第一学期期末）某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（ ）A ．80种B ．90种C ．120种D ．150种5、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个A ．120B ．132C ．144D ．1566、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将,,,,,A B C D E F 六个字母排成一排，若,,A B C 均互不相邻且,A B 在C 的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）8、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案.（用具体数字作答）9、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为____.（用数字作答）题型二、排列组合的综合运用1、（2020·浙江高三）从集合{A ，B ，C ，D ，E ，F }和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85 B ．95 C ．2040 D ．22802、（2020届北京市陈经纶高三上学期开学）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A ．46B ．44C ．42D ．403、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_____个．4、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____.5、（2020届北京市东城区五中高三开学）某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是_________________（用数字作答）.6、（2019年北京市清华大学附属中学高三月考）对于各数互不相等的整数数组()12,,,n i i i （其中n 是不小于3的正整数），若{},1,2,,p q n ∀∈⋅⋅⋅，当p q <时，有p q i i >，则称p i ，q i 为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组()2,3,1的逆序数等于2. （1）数组()5,2,4,3,1的逆序数等于______.（2）若数组()12,,,n i i i 的逆序数为n ，则数组()11,,,n n i i i -的逆序数为______.7、（2019年清华大学附属中学高三月考）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）题型三、运用排列组合解决概率问题1、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ）A ．166B ．155C ．566D ．5112、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．3203、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc def +是偶数的概率为______4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）海面上漂浮着A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个岛屿，岛与岛之间都没有桥连接，小昊住在A 岛，小皓住在B 岛.现政府计划在这七个岛之间建造n 座桥（每两个岛之间至多建造一座桥）.若1n =，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为______.5、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为_______.6、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）。
北京市第四中学2020届高三上学期期中测试数学试题含答案
参考答案A C A BB C B D D B 11．2-；12．13；13．1；14．5，10；15．]2,1()1,21[ ；16．2，()2311]332n k a n ππ+=-+（k ∈N ）．17．解：（Ⅰ）bx x x a x f ++-⋅=23cos 3cos (sin )(2bx x a +++⨯-⨯=2322cos 132sin 21(=b x a +-⋅)32sin(π………4分)(,,0x f R x a ∈> 的递减区间是)](1211,125[Zk k k ∈++ππππ…………6分（Ⅱ）32,3[32],0[2]2,0[πππππ-∈-∴∈∴∈x x x ]1,23[)32sin(-∈-∴πx ∴函数)(x f 的最小值是223-=+-b a ，最大值3=+b a 解得23,2-==b a …………………13分18．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由已知得3162q =，解得2q =，则112n n n a a q -==；…………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得38a =，532a =，则38b =，532b =，设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11612b d =-⎧⎨=⎩，从而1612(1)1228n b n n =-+-=-，则{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-．…………………13分19．解：（Ⅰ）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时该企业每年消耗的电费，由,得，则；…………………6分（Ⅱ）因为18000.5(5) 2.5 2.557.55F x x =++-≥=+，当且仅当，即时取等号，即当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．…………………13分20．解：（Ⅰ）因为2cos cos c b B a A -=，所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=．在△ABC 中，sin 0C ≠．所以1cos 2A =，3A π∠=；…………………7分（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a =所以2220220b c bc bc +-=≥-，所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=”．所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤．所以三角形面积的最大值为．…………………13分21．解：（Ⅰ）函数1()ln 1a f x x ax x-=-+-()a ∈R ，定义域：(0,)+∞，………………1分2222111(1)(1)()a ax x a x ax a f x a x x x x --++---+-'=--==………………2分（1）当0a =时，21()x f x x-'=，令()0f x '=，则1x =，则有，x(0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x ]极小值Z 则此时()f x 的单增区间：(1,)+∞，单减区间：(0,1)，………………3分（2）当0a ≠时，21(1)()()a a x x a f x x ----'=，令()0f x '=，则1x =或1a x a -=，则有，①当0a <时，111(0,)a x a a-==-∉+∞，则有，x(0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x ]极小值Z 则此时()f x 的单增区间：(1,)+∞，单减区间：(0,1)，………………5分②当102a <<时，1111a x a a -==->，则有，x(0,1)11(1,1)a -11a -1(1,)a -+∞()f x '-0+0-()f x ]极小值Z 极大值]则此时()f x 的单增区间：1(1,1)a -，单减区间：(0,1)，1(1,)a -+∞，……………7分③当12a =时，221(1)2()0x f x x --'=≤，当且仅当1x =时，等号成立，……………8分则此时()f x 的单减区间：(0,)+∞，综上所述：当0a ≤时，()f x 的单增区间：(1,)+∞，单减区间：(0,1)，当102a <<时，()f x 的单增区间：1(1,1)a -，单减区间：(0,1)，1(1,)a -+∞，当12a =时，()f x 的单减区间：(0,)+∞，……………9分（Ⅱ）当14a =时，由（Ⅰ）得x(0,1)1(1,2)()f x '-0+()f x ]极小值Z 则有min 1()(1)2f x f ==-，………………10分由题知：只需存在[]1,2x ∈，使21()242g x x bx =-+≤-即可，……………11分则有存在[]1,2x ∈，使922b x x ≥+，当[]1,2x ∈时，29922(10x x x'+=-<恒成立，∴917112[,]42x x +∈，则有1724b ≥，……………13分∴178b ≥．………………14分22．解：（Ⅰ）数对(1,2)是 的“友好数对”，按如下方式填表：第1行0369 (2)14710…第3行25811…数对(1,3)不是 的“友好数对”，理由如下：取n =0，则0，0+1=1，0+3=3不同行，不妨0在第一行，1在第二行，3在第三行.取n =1，则1，1+1=2，1+3=4不同行，所以2，4均不在第二行，且在不同行；取n =3，则3，3+1=4，3+3=4不同行，即4不在第三行，所以4在第一行，因为1,2,4不同行，所以2在第三行，即2与3同行.又取n =2，则2，2+1=3，2+3=5不同行，矛盾；（Ⅱ）存在满足条件的正整数 ，使得数对( , )是 的“友好数对”.取 =6，按如下方式填表：第1行01291011 (2)345121314…第3行678151617…（第1行填写被9除余0，1，2的数，第2行填写被9除3，4，5的数，第3行填写被9除6，7，8的数.）（Ⅲ） =2 .。
微专题10 导数解答题之零点问题(原卷版)
微专题10导数解答题之零点问题秒杀总结1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴(或直线y k =)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.例1．（第21讲零点问题之一个零点-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练）已知函数21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-． (1)求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；(2)当0a =时，求()f x 的单调区间；(3)当0a >时，()f x 在区间[,]2ππ有一个零点，求a 的取值范围．例2．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第三次摸底考试理科数学试题）已知函数ln sin ()(0)x x a ea f x x a =+>，()'f x 为()f x 的导数. (1)若0x =为()'f x 的零点，试讨论()f x 在区间[]0,π的零点的个数；(2)当1a =时，()(0)2cos xf x mx x <>+，求实数m 的取值范围.例3．（湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期月考（四）数学试题）已知函数()()sin ln 1f x x x =-+.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)证明：()f x 有且仅有2个零点.例4．（黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021-2022学年高三上学期第二次校内检测数学（理）试题）已知()()1e 0x f a x x x -->=，1x =是()f x 的极值点（其中e 是自然对数的底数）.(1)求a 的值；(2)讨论函数()()sin h x f x x =-在()0,π的零点个数.（参考数据：12e 1.77π-≈）.过关测试1．（江苏省南通市如皋、镇江市2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题）设f (x )＝x e x －mx 2，m ∈R .(1)设g (x )＝f (x )－2mx ，讨论函数y ＝g (x )的单调性；(2)若函数y ＝f (x )在(0，＋∞)有两个零点x 1，x 2，证明：x 1＋x 2＞2.2．（考点12导数与不等式，函数零点等-2021年新高考数学一轮复习考点扫描）已知函数()ln f x x ax a =-+，2()1g x x =-.（1）当0a =，0x >且1x ≠时，证明：212()()11xf xg x x x +<--；（2）定义,{,},m m nmax m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设函数(){(),()}(0)h x max f x g x x =>，试讨论()h x 零点的个数.3．（湖南省常德市部分重点中学2019-2020学年高三上学期10月联考文科数学试题）已知函数()2,()ln x f x e ax a g x x =--=.（1）讨论()f x 的单调性；（2）用max{,}m n 表示,m n 中的最大值，设函数()max{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数.4．（广西玉林市2022届高三上学期教学质量监测数学（理）试题）已知函数()2ln 1f x x ax =-+.(1)若()f x 存在零点，求实数a 的取值范围；(2)若0x 是()f x 的零点，求证：00220032e 1xx a x x --≤≤.5．（江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（文）试题）已知函数24e ()ln 214e xx f x x =+++.(1)求函数()y f x =在(0,(0))f 处切线的斜率；(2)求证：()y f x =有且只有一个零点0x ，且满足0112e e 2x<<.参考数据：ln20.693≈6．（北京市密云区2022届高三上学期期末考试数学试题）已知函数()e x f x x k =+，R k ∈．(1)求曲线()y f x =在点()()2,2M f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()e x f x x k =+有两个不同的零点，记较大的零点为0x ，证明：当()01,2x ∈时，()2201e e 0k x k +->．7．（辽宁省大连市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知函数()()e ,ln x f x ax g x ax x =-=-，其中a ∈R .(1)若0x >时，()()0f x g x ⋅>恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数()()()F x f x g x =+的最小值为m ，试证明：函数()e ln x m G x x -=-有且仅有一个零点.8．（广东省揭阳市2022届高三上学期期末数学试题）已知函数()e ln .x f x x ax a x a =--+(1)若e a =，判断函数()f x 的单调性，并求出函数()f x 的最值.(2)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.。
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题含解析
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12=θθ，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为A.214a B.249a C.214a π D.249a π 2．设1153a =，1315b =，151log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<3．设定义在R 上的函数()f x 满足：当12x x <时，总有()()122122xxf x f x <，且()12f =，则不等式()2xf x >的解集为（） A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.()1,1-D.()(),11,-∞+∞4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A.4003πB.400πC.800πD.7200π5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（ ） A.{}33x x -<< B.{1x x <-或}5x > C.{3x x <-或}3x > D.{5x x <-或}1x >6．已知()3sin 5απ-=，则cos2=α（） A.－925 B.925C.－725 D.7257．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（）A.3-B.13-C.13D.38．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A.3y x =- B.3y x -= C.32y x =D.31y x =-9．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<10．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3D.()2,4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(全国卷)高三数学第一次大联考试题理
（全国卷）2020届高三数学第一次大联考试题 理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。
2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。
3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝A.{2}B.{－1，0，1)C.{－2，2}D.{－1，0，1，2}2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤-B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤-C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰ A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln44.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB φ= ”的2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0)01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 {}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤， 定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于 A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x － a －x ＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是 A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。
2020届高三2月联考(线上)数学(理)试题)
2.
已知
i
为虚数单位，
a、b
R
，复数
1 2
i i
i
a
bi
,则
A. 1 2 i
B. 1 2 i
C. 2 1 i
D. 2 1 i
55
55
55
55
3. 已知 A (1, 2), B (2, 3), C (-1, m),若 BA BC BA BC ，则 AC2 =
(II)若 M , N 分别为曲线 C1 和曲线 C2 上的动点，求 MN 的最大值.
23. (本小题满分 10 分) 选修 4 —5：不等式选讲
已知函数 f x 2x 7 2x 5 (I )解不等式 f x 6 ；
(II)设函数
f
x 的最小值为 m
，已知正实数 a,
若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积
相等.如图（1）,函数
f
x
sin x , x 2, 0
2
的图象与 x
1 x 12 , x 0, 2
轴围成一个封闭区域 A（阴影部分），将区域 A A（阴影部分）沿 Z 轴的正方向上移
6 个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图（2）所示，其
数学（理科）试題（第 1 页，共 6 页）
7. 已知点 G 在 ABC 内，且满足 2GA 3GB 4GC 0 ，现在 ABC 内随机取一点，此
点取自， GAB 、 GAC 、 GBC 的概率分别记为 P1、P2、P3 ，则
A.P1 P2 P3
大联考2023届高三上学期期末数学试题
所以 ．
故选：D
5.在三棱锥 中， ，且 ， ，则该三棱锥的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ， ，求出 为等边三角形， ，由余弦定理得到 ，从而由勾股定理逆定理得到 ， ，结合三角形面积公式得到 ， ，作出辅助线，得到 ，从而求出该三棱锥的表面积.
【答案】
【解析】
【分析】要使 的值域为 ，只要 时， 在 上有解且 恒成立即可．
【详解】 ，
，
，
易知当 时， ，
若当 时， ，
则当 时， ，
此时显然 的值域不为 ，不符题意，
又 ，
所以不等式 在 内有解，
且 恒成立，
即 在 内有解，且 恒成立，
设 ，
则 ，
综上，当 时， ， 单调递增，
，
设 ，
则 ，
A. B.2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不妨假设 ， ，则可求 ，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得 ，整理出 ，代入 之后再结合基本不等式即可求出答案
【详解】解：设 ， ，则 ．
∵点B，D都在椭圆C上，∴ 两式相减，得 ．
∴ ，即 ．
∴ ．当且仅当 时取“=”．
故选：B．
8.已知 ， ， ，则（）
（1）求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）已知当 时， ．若 ，采用“n合1”混检时，请估计当n为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】(1)根据题干条件分情况 和 求概率,写出分布列计算数学期望即可;
(2)由(1)的数学期望得出每位居民检测的次数,再应用基本不等式求出核酸检测中每位居民检测的最少次数,取等条件可求n.
(全国三卷地区适用)2020届高三上学期期末数学(文)教学质量检测卷及答案【测试范围：高中全部内容】
绝密★启用前2020届高三上学期期末教学质量检测卷(全国三卷地区适用)文科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．测试范围：高中全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x>0}，则A∩B=A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{1，2，3}2．已知复数312iz=-（i是虚数单位），则z=A．36i55+B．36i55-C．12i55-D．12i55+3．袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为A．35B．34C．710D．454．移効支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移功支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.85．已知实数x0是函数f（x）6x=的一个零点，若0<x1<x0<x2，则A．f（x1）<0，f（x2）<0 B．f（x1）<0，f（x2）>0C．f（x1）>0，f（x2）<0 D．f（x1）>0，f（x2）>06．已知等比数列{a n}的公比12q=，该数列前9项的乘积为1，则a1=A．8 B．16 C．32 D．647．若函数f（x）=x2ln2x，则f（x）在点（12，）处的切线方程为A．y=0 B．2x﹣4y﹣1=0 C．2x+4y﹣1=0 D．2x﹣8y﹣1=08．过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A．22019﹣1 B．22019﹣2 C．22020﹣2 D．22020﹣110．已知双曲线2211620x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，且PF 2的中点M 在以O 为圆心，OF 1为半径的圆上，则|PF 2|=A ．12B ．6C ．4D ．211．已知命题p ：∃x ∈R ，使x 2+x +1<0；命题q ：∀x ∈R ，都有e x ≥x +1．下列结论中正确的是A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧￢q ”是真命题C ．命题“￢p ∧q ”是真命题D ．命题“￢p ∨￢q ”是假命题12．若函数()()231sin 1f x m x m x =+++是偶函数，则y =f （x ）的单调递增区间是A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，0）D ．（0，+∞）第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=a （3，﹣2），=b （m ，1）．若向量（-a 2b ）∥b ，则m =__________． 14．数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1=2（n ≥2），S 10=10，则a 2+a 4+a 6+…+a 20=__________．15．已知椭圆2295x y +=1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是__________．16．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠C =30°，AB =1，D 和E 分别是边BC 和AC 上一点，DE ⊥AC ，将△CDE沿DE 折起使点C 到点P 的位置，则该四棱锥P ﹣ABDE 体积的最大值为__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos C =（2a ﹣c ）cos B ． （1）求角B 的大小；（2）若b =4，a +c =8，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 是矩形，PA =AB ，E 为PB 的中点． （1）若过C ，D ，E 的平面交PA 于点F ，求证：F 为PA 的中点；（2）若平面PAB ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥PA ． 19．（本小题满分12分）为了了解居民用电情况，某地供电局抽查了该市若干户居民月平均用电量（单位：kW •h ），并将样本数据分组为[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，其频率分布直方图如图所示．（1）若样本中月平均用电量在[240，260）的居民有30户，求样本容量；（2）求月平均用电量的中位数；（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组居民中，用分层抽样法抽取22户居民，则月平均用电量在[260，280）的居民中应抽取多少户？ 20．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=x ln x +ax 2﹣1，且f '（1）=﹣1． （1）求a 的值；（2）若对于任意x ∈（0，+∞），都有f （x ）﹣mx ≤﹣1，求m 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知抛物线y =x 2上的A ，B 两点满足OA OB ⋅=u u u r u u u r2，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ． （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得|MF |=λ|MO |（λ>0），若存在请说明理由；（3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，直线l的参数方程为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求直线l 及曲线C 1的直角坐标方程，并判断曲线C 1的形状； （2）已知点P （1，1），直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求11PA PB+的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知f （x ）=|x ﹣1|+|2x +3|． （1）求不等式f （x ）>4的解集；（2）若关于x 的不等式|x +1|﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，求实数m 的取值范围．2020届高三上学期期末教学质量检测卷(全国三卷地区适用)文科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ={﹣1，0，1，2，3}，B ={x |x 2﹣2x >0}，则A ∩B = A ．{3} B ．{2，3}C ．{﹣1，3}D ．{1，2，3}2．已知复数312iz =-（i 是虚数单位），则z = A ．36i 55+ B ．36i 55- C ．12i 55- D ．12i 55+ 3．袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为 A ．35B ．34C ．710D ．454．移効支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发 明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移功支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.85．已知实数x 0是函数f （x ）6x x=-的一个零点，若0<x 1<x 0<x 2，则 A ．f （x 1）<0，f （x 2）<0 B ．f （x 1）<0，f （x 2）>0C ．f （x 1）>0，f （x 2）<0D ．f （x 1）>0，f （x 2）>06．已知等比数列{a n }的公比12q =，该数列前9项的乘积为1，则a 1=A ．8B ．16C ．32D ．647．若函数f （x ）=x 2ln2x ，则f （x ）在点（102，）处的切线方程为 A ．y =0B ．2x ﹣4y ﹣1=0C ．2x +4y ﹣1=0D ．2x ﹣8y ﹣1=08．过正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作 A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．22019﹣1B ．22019﹣2C ．22020﹣2D ．22020﹣110．已知双曲线2211620x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，且PF 2的中点M 在以O 为圆心，OF 1为半径的圆上，则|PF 2|= A ．12B ．6C ．4D ．211．已知命题p ：∃x ∈R ，使x 2+x +1<0；命题q ：∀x ∈R ，都有e x ≥x +1．下列结论中正确的是A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧￢q ”是真命题C ．命题“￢p ∧q ”是真命题D ．命题“￢p ∨￢q ”是假命题12．若函数()()231sin 1f x m x m x =+++是偶函数，则y =f （x ）的单调递增区间是A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，0）D ．（0，+∞）第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=a （3，﹣2），=b （m ，1）．若向量（-a 2b ）∥b ，则m =__________． 14．数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1=2（n ≥2），S 10=10，则a 2+a 4+a 6+…+a 20=__________．15．已知椭圆2295x y +=1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是__________．16．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠C =30°，AB =1，D 和E 分别是边BC 和AC 上一点，DE ⊥AC ，将△CDE 沿DE 折起使点C 到点P 的位置，则该四棱锥P ﹣ABDE 体积的最大值为__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos C =（2a ﹣c ）cos B ． （1）求角B 的大小；（2）若b =4，a +c =8，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 是矩形，PA =AB ，E 为PB 的中点． （1）若过C ，D ，E 的平面交PA 于点F ，求证：F 为PA 的中点； （2）若平面PAB ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥PA ． 19．（本小题满分12分）为了了解居民用电情况，某地供电局抽查了该市若干户居民月平均用电量（单位：kW •h ），并将样本数据分组为[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，其频率分布直方图如图所示．（1）若样本中月平均用电量在[240，260）的居民有30户，求样本容量； （2）求月平均用电量的中位数；（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组居民中，用分层抽样法抽取22户居民，则月平均用电量在[260，280）的居民中应抽取多少户？ 20．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=x ln x +ax 2﹣1，且f '（1）=﹣1． （1）求a 的值；（2）若对于任意x ∈（0，+∞），都有f （x ）﹣mx ≤﹣1，求m 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知抛物线y =x 2上的A ，B 两点满足OA OB ⋅=u u u r u u u r2，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ． （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得|MF |=λ|MO |（λ>0），若存在请说明理由；（3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，直线l的参数方程为11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求直线l及曲线C1的直角坐标方程，并判断曲线C1的形状；（2）已知点P（1，1），直线l交曲线C1于A，B两点，求11PA PB的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知f（x）=|x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）>4的解集；（2）若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣m|≥|t﹣1|+|2t+3|（t∈R）能成立，求实数m的取值范围．2020届高三上学期期末教学质量检测卷(全国三卷地区适用)文科数学·参考答案13．【答案】2-【解析】∵向量=a （3，﹣2），=b （m ，1），∴()2324m -=--，a b ， ∵（-a 2b ）∥b ，∴﹣4m =3﹣2m ，∴m 32=-．故答案为：32-．14．【答案】100【解析】由a n ﹣a n ﹣1=2（n ≥2），知数列{a n }是公差为2的等差数列，由S 10=10，得110910102d a ⨯+=，即1912a d +=， a 2+a 4+a 6+…+a20()()11092102da d ⨯=++=10a 1+100d 11910454510452a d d a d d ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭=10+45×2=100．故答案为：100． 15【解析】椭圆2295x y +=1的a =3，b =c =2，e 23=，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '， 线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆，连接AO ，可得|PF '|=2|AO |=4，设P 的坐标为（m ，n），可得323-m =4，可得m32=-，n 2=，由F （﹣2，0），可得直线PF的斜率为2322=-+ 另解：由|PF '|=2|AO |=4，|PF |=6﹣4=2，|FF '|=2c =4，可得cos ∠PFF'4161612244+-==⨯⨯，sin ∠PFF'== 可得直线PF 的斜率为sin 'cos 'PFF PFF ∠=∠16．【答案】9【解析】在△ABC 中，∵∠ABC =90°，∠C =30°，AB =1，∴AC =2，BC=B 到AC 的距离d ABBC AC ⋅==， 设DE =x ，则0<x 2≤，CE=， ∴四边形ABDE 的面积S 11122x=⨯=（1﹣x2）， 显然当平面PDE ⊥平面ABDE 时，棱锥的体积最大，此时，PE ⊥平面ABDE ，∴棱锥的体积V （x ）13=S •PE 12=（x ﹣x 3）， V ′（x ）12=（1﹣3x 2），故当0<x 3<时，V ′（x ）>0，当3<x 2<V ′（x ）<0，∴当x =V （x ）取得最大值12）=．17．【解析】（1）由b cos C=（2a﹣c）cos B，以及正弦定理得sin B cos C+cos B sin C=2sin A cos B，即sin（B+C）=sin A=2sin A cos B（sin A>0），可得cos B12 =，则Bπ3=．（6分）（2）由b=4，a+c=8及余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cos B得16=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=64﹣3ac，可得ac=16，则△ABC的面积S12=ac sin B12=⨯162⨯=12分）18．【解析】（1）因为ABCD是矩形，所以，CD∥AB，又AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB，又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB=EF，所以CD∥EF，所以AB∥EF，又在△PAB中，E为PB的中点，所以，F为PA的中点．（6分）（2）因为PA=AB，E为PB的中点，所以AE⊥PB，AE⊂平面PAB又平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩⊥平面PBC=PB，所以AE⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，又ABCD是矩形，所以AB⊥BC，AE∩AB=A，AB，AE⊂平面PAB，所以，BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA．（12分）19．【解析】（1）由（0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+x+0.0050+0.0025）×20=1，解得x=0.0075，∴月平均用电量在[240，260）的频率为0.0075×20=0.15，设样本容量为n，则0.15n=30，解得n=200．（4分）（2）∵（0.0020+0.0095+0.0110）×20=0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数[220，240）内，设中位数a，则0.45+0.0125×（a﹣220）=0.5，解得a=224，∴中位数为224．（8分）（3）月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组频率分别为：0.25，0.15，0.1，0.05，∴月平均用电量在[260，280）的用户中应抽取220.10.250.150.10.05⨯=+++4户．（12分）20．【解析】（1）对f（x）求导，得f'（x）=1+ln x+2ax，所以f'（1）=1+2a=﹣1，解得a=﹣1．（4分）（2）由f（x）﹣mx≤﹣1，得x ln x﹣x2﹣mx≤0，因为x∈（0，+∞），所以对于任意x∈（0，+∞），都有ln x﹣x≤m．设g（x）=ln x﹣x，则()1'1g xx=-，令g'（x）=0，解得x=1，（8分）当x变化时，g（x）与g'（x）的变化情况如下表：x（0，1） 1 （1，+∞）g'（x）+ 0 ﹣g（x）增极大值减所以当x =1时，g （x ）max =g （1）=﹣1，因为对于任意x ∈（0，+∞），都有g （x ）≤m 成立，所以m ≥﹣1， 所以m 的最小值为﹣1．（12分）21．【解析】（1）由题意知，B （2，4），设A （t ，t 2），由OA OB ⋅=u u u r u u u r2，得2t +4t 2=2，解得t 12=（舍）或t =﹣1，∴A （﹣1，1）．（4分） （2）由条件知()222221()4x x x y λ+-=+，把y =x 2代入得()2221110216y y λλ⎛⎫-+-+=⎪⎝⎭，∴2234∆λλ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当λ=1时，M有两个点，当λ=M 有两个点，当12λ<<时，M 点有四个，当λ>1，M 点有两个，当0λ<<，M 点不存在．（8分） （3）设B （211x x ，），A （222x x ，），由题意得：2212122x x x x +=，解得x 1x 2=﹣2．设直线AB 的方程为y =kx +m ，联立2y kx my x=+⎧⎨=⎩，得x 2﹣kx ﹣m =0，得x 1x 2=﹣m ， 又x 1x 2=﹣2，∴m =2，则直线经过定点（0，2）， ∴S 四边形OABC =S △OAB +S △OBC =S △OAB +S △OBF()1211111192232248x x x x x =⨯⨯-+⨯⨯=+≥=， 当且仅当143x =等号成立，四边形OABC 面积最小， ∴B （43，169）．（12分） 22．【解析】（1）∵直线l的参数方程为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．∴直线l的直角坐标方程为)11y x -=-，1y =+-∵曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，∴曲线C 1的直角坐标方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=8，是以（2，2）为圆心，为半径的圆．（5分） （2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程得)2160t t --=．记该方程的两根为t 1，t 2，由直线参数方程的几何意义可得|PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|，121t t +=，t 1t 2=﹣6，故1212121211t t t t PA PB t t t t +-+===．（10分）23．【解析】（1）由题意可得|x ﹣1|+|2x +3|>4，当x ≥1时，x ﹣1+2x +3>4，解得x ≥1； 当32-<x <1时，1﹣x +2x +3>4，解得0<x <1； 当x 32≤-时，1﹣x ﹣2x ﹣3>4，解得x <﹣2． 可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．（5分）（2）由（1）可得|t ﹣1|+|2t +3|32134123322t t t t t t ⎧⎪+≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，，，，可得t32=-时，|t﹣1|+|2t+3|取得最小值52，关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣m|≥|t﹣1|+|2t+3|（t∈R）能成立，等价为52≤|x+1|﹣|x﹣m|的最大值，由|x+1|﹣|x﹣m|≤|m+1|，可得|m+1|52≥，解得m32≥或m72≤-．（12分）。
北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试题+Word版含答案
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中 数学试卷2019．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =- （C ）2log y x =（D ）22x x y -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（A ）①② （B ）①③（C ）②③ （D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β（B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ（D ）若m β⊥，则αβ⊥（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为（A ）32（B（C）（D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP的取值范围是（A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C） （D）（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅； （ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④（D ）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，{|12}B x x =-<<，则(A B = )A ．{0，1}B ．{1-，0，1}C ．{0，1，2}D ．{1-，0，1，2}2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．()f x lnx = B ．()2x f x = C ．3()f x x =D ．()sin f x x =3．在等比数列{}n a 中，若23216a a =，则4(a = ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．44．在二项式52()x x -的展开式中，含3x 项的系数为( )A ．5B ．5-C ．10D ．10-5．在平面直角坐标系中，角α的终边过点(1,0)-，将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120︒与角β的终边重合，则cos (β= ) A ．12 B ．12-C ．32D ．32-6．人类已进入大数据时代．目前，全球年数据产生量已经从TB 级别跃升到PB ，EB 乃至ZB 级别(11024TB GB =，11024PB TB =，11024EB PB =，11024)ZB EB =．由国际数据公司IDC 的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：)ZB 的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量y 和时间x 的函数模型是( ) A ．y a bx =+ B ．y a b x =+ C ．y a blnx =+D ．x y a be =+7．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，过P 作l 的垂线，垂足为M ．若||||MF PF =，则||(PM = )A ．2BC ．4D ．8．已知直线:1l y mx m =--，P 为圆22:4210C x y x y +--+=上一动点，设P 到直线l 距离的最大值为()d m ，当()d m 最大时，m 的值为( )A ．12-B ．32-C ．23D ．29．已知点A ，B ，C 不共线，λ，μ为实数，AP AB AC λμ=+，则“01λμ<+<”是“点P 在ABC ∆内（不含边界）”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知{}n a 是各项均为正整数的数列，且13a =，78a =，对*k N ∀∈，11k k a a +=+与1212k k a a ++=有且仅有一个成立，则127a a a +++的最小值为( )A ．18B ．20C ．21D ．23二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市10区2020三角函数
5、（房山区 2020 届高三上学期期末考试）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB BC ， AB 3 3 ，
CD 3 ， sin DBC 3 3 ， C .
14
3
（Ⅰ）求 sin BDC 的值； （Ⅱ）求 BD ， AD 的值.
A D
B
C
6、（丰台区 2020 届高三上学期期末考试）已知函数 f (x) sin x cos x 3 cos2 x .
又函数 y sin x 的单调递增区间为[ π 2k π, π 2k π] ( k Z)．
2
2
由 2k 2x 2k ， k Z ，
2
62
得 k x k ，k Z ．
3
6
所以 f (x) 的单调递增区间为[ k, k](k Z) .
P ，且点 P 的横坐标为 3 ，则 sin( ) 的值为
5
2
（A） 3 5
（B） 3 5
（C） 4 5
（D） 4 5
9、（石景山区 2020 届高三上学期期末考试）在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c ．已知 b - c = 1 a ， 2sin B = 3sin C ，则 cos A 的值为_______．
6
6
所以△ ABC 的面积 S 1 bc sin A 1 2 2 3 1 3 .
2
2
2
.......................13 分
5、（Ⅰ）∵ sin DBC 3 3 ， sin2 DBC cos2 DBC 1, 0 DBC
14
2
∴ cos DBC 13 14
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．2-【答案】D由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果． 解：{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-， ∴a 的值可以为2-． 故选：D ．考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 2．下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ） A ．y x = B ．2y x =C．y x =+D ．1y x =-【答案】D结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．解：由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增；由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43S S =（ ） A ．1 B ．53C ．83D ．3【答案】C利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结果． 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，33S a =Q ，且30a ≠，11332a d a d ∴+=+，可得120a d -=≠．∴()11143111434232282 3232332a da a S S a a a d ⨯++⨯-==⨯=⨯-+． 故选：C ． 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．不等式11x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．102x << B ．1x > C ．01x <<D ．0x <【答案】A解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 解：不等式11x >的解集为()0,1，则其一个充分不必要条件可以是10,2⎛⎫⎪⎝⎭； 故选：A ．本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题．5．如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2απ+的值为（ ）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】B由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin()2απ+的值． 解：角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，所以3cos 5α=则sin()3cos 52παα==+； 故选：B ． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r .若32λμ+=，则=CDABu u u r u u u r （ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】B作出草图，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．可得四边形AECD 是平行四边形． AC AE AD =+u u u r u u u r u u u r，根据() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．可得1,AE AB μλ==u u u r u u u r ，又32λμ+=，可得12λ=，据此即可得出结果．解：如图所示，过C 作//CE AD ，又//CD AB ． ∴四边形AECD 是平行四边形．AC AE AD ∴=+u u u r u u u r u u u r， 又() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．1,AE AB μλ∴==u u u r u u u r，又3122λμλ+=∴=,，则1==2CDAE AB AB u u u r u u u r u u u r ． 故选：B ．本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知函数32()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞- C ．[0,)+∞ D ．(,0]-∞【答案】A根据题意将存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立转化为()()00f x f x -=-有根，再根据方程变形可得，原问题转化为22x x k -=有根，进而转化为22y x x =-与y k =的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．解：∵32()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（） 整理得22x x k -= ，∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点， 画出22y x x =-的图象如下：当1x =时，1y =-，由图可知，1k ≥-． 故选：A ． 本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题． 8．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ=I 且()1i A B ϕ=U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=I ()i A ϕg ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=U ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A根据题目中给的新定义，对于*,0i i N Aϕ∈=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．解：∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N ∴=∅=I U ，()()01i i A B A B ϕϕ∴==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B ϕ=I ，则()i A B ∉I ，则i A ∈且i B ∉，或i B ∈且i A ∉，或i A ∉且i B ∉；()()0i i A B ϕϕ∴⋅=；若()1i A B ϕ=I ，则()i A B ∈I ，则i A ∈且i B ∈； ()()1i i A B ϕϕ∴⋅=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i i A B Ai B ϕϕϕ=⋅I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B ϕ=U （）；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题9．已知向量()1,2,(3,)a b t ==r r ，且//a b r r，则t = _____ 【答案】6直接利用向量的共线的充要条件求解即可．解：由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=． 故答案为：6．本题考查平行向量坐标运算公式的应用，考查计算能力．10．函数()6f x x =的零点个数是________ 【答案】1首先求出函数()f x 的定义域为{}|0x x ≥，将原问题转化为260=，解方程，即可得出()f x 的零点个数．解：由题意可知()f x 的定义域为{}|0x x ≥，令()60f x x ==，可得260-=， 2=-（舍去）或3=，9x ∴=；所以函数()6f x x =的零点个数为1个． 故答案为：1．本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点．11．已知数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =，则1a =____，5678a a a a +++=_____ 【答案】0 1直接利用数列的递推关系式11n n n S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥，求出数列的首项和5678a a a a +++的值．解：数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =， 则112log 10a S ===； 又567884567822,log 8log 41a a a a S S a a a a +++=-∴+++=-=； 故答案为：0,1．本题考查了数列的数列的递推关系式11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b r的始点和终点，则a b ⋅r r的最大值为____________【答案】3由图可知，要使a b ⋅r r 取到最大值，即要求向量b r 在向量a r上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果．解：由题意可知：则 cos cos ,a b a b a b b a b ⋅=⋅<⋅>=<>r r r r r r r r r，所以要使a b ⋅r r 取到最大值，即要求向量b r 在向量a r上的投影最大， 由图形可知：当向量b AC =r u u u r 时，向量b r 在向量a r上的投影最大，即cos ,=1010a b b a b ⋅=<>r r r r r 即a b ⋅r r的最大值为3． 故答案为：3．本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力．13．已知数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意*n N ∈都成立，则p 的取值范围为__________ 【答案】ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．解：数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意的*n N ∈都成立， 则maxln n p n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，设()ln x f x x＝，则()21ln x xx f x x ⋅-'＝ ， 令()21ln 0xf x x-'＝＝，解得x e =， 所以函数的单调增区间为()0,e ，函数的减区间为(),e +∞， 所以函数在x e =时函数取最大值， 由于n N ∈，所以当3n =时函数最大值为ln 33． 所以p 的取值范围是ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________.【答案】2π2π①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积； ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值．解：函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，当1ω=时，()2sin ,()2cos f xx g x x ωω==．所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22 22222⋅+⋅=． 所以：()121122ABC S ππ∆⋅⋅+＝＝． 如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则222222πω⎭⋅＝， 解得ω的最小值为 2π． 故答案为：2π， 2π．本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、解答题15．已知数列{}n a 为各项均未正数的等比数列，n S 为其n 前项和，23a =，3436a a +=.()1求数列{}n a 的通项公式； ()2若121nS<，求n 的最大值.【答案】()113-=n n a ；()2 4（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由2343,36a a a =+=，可得123113,36.a q a q a q =⎧⎨+=⎩，即可求出结果．（2）3112131n n S -=<- ，即可得出结论．解：解:()1在等比数列{}n a 中，设{}n a 公比为q . 因为2343,36a a a =+=所以123113,36.a q a q a q =⎧⎨+=⎩ 所以23336q q +=.即2120q q +-=. 则3q =或4q =-. 因为0n a >， 所以0q >， 所以3q =. 因为213a a q ==， 所以11a =.所以数列{}n a 的通项公式1113n n n a a q --==()2在等比数列{}n a 中，因为()()1111nn a q S q q-=?-所以()13131132n nn S -==--因为121n S <， 所以()1311212nn S =-<. 所以3243n <. 所以5n <. 因为*n N ∈.所以4n ≤.即n 的最大值为4.本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数π()=2sin cos()3f x x x +.()1求函数()f x 的最小正周期；()2若()0f x m +≤对π[0,]2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】()1π；()2(,1]-∞-（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．解：解:()1因为()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin sin 33x x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭12sin cos 222x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos 2x x x =+1sin 2cos 222x x =+ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ== ()2“()0f x m +≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立”等价于“()max 0f x m +≤”因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=，即12x π=时()f x 的最大值为112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以10m +≤，所以实数m 的取值范围为(,1]-∞-.本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 17．已知函数321()3f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+()1求,b c 的值；()2若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围.【答案】()111b c =⎧⎨=⎩；()2()(),00,1-∞⋃（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于,b c 的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，结合二次函数，求出函数的单调区间，结合函数的存在极大值，确定a 的范围即可． 解：解：()1()2'2f x ax x b =++因为()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+，所以()()0101f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩解得11b c =⎧⎨=⎩()2()32113f x ax x x =+++，①当0a =时，()21f x x x =++不存在极大值，不符合题意.②当0a >时，()221f x ax x =++.令2210ax x ++=.(i )当440a =-≤V ，即1a ≥时，不符合题意.(ii )当440a =->V ，即01a <<时，方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根. 设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以()1f x 为极大值.③当0a <时，440a =->V 恒成立.设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以，()2f x 为极大值.综上，若函数()f x 存在极大值，a 的取值范围为()(),00,1-∞⋃.本题考查了切线方程问题，导数在函数的单调性和极值问题中的应用，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，是一道综合题． 18．在ABC ∆中，7,5,8a b c ===.()1求sin A 的值；()2若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设APk PC=. ①求k 的取值范围；②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得APk PC=.【答案】()1()2①⎛ ⎝⎦；②答案不唯一，取值在区间⎛ ⎝⎭上均正确 （1）利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值； （2）①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围；②根据共线的条件求出在区间⎛ ⎝⎭上即可解：解:()1在ABC V 中，7,5,8,a b c ===根据余弦定理2222b c a cosA bc +-=所以2225871cos 2582A +-==⨯⨯因为()0,A π∈，所以sinA ==()2①在ABC V 中，根据正弦定理，得sin sin CP APA ACP=∠sin sin sin sin3AP ACP ACP k ACPPC A π∠∠====∠ 因为点P 为射线AB 上一动点， 所以20,3ACR π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭所以k的取值范围为⎛ ⎝⎦②答案不唯一.取值在区间1,3⎛ ⎝⎭上均正确.本题主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．已知函数ln ()xx f x e =. ()1判断函数()f x 在区间(0)1，上的单调性，并说明理由； ()2求证：1()2f x <.【答案】()1单调递增，理由见解析；()2证明见解析（1）因为()0,1x ∈，对()f x 求导，可证()0f x '>恒成立，即可证明结果； （2）证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”．求()f x 的最大值即可证明． 解：()1函数()f x 在区间()0,1上是单调递增函数. 理由如下:由()x lnx f x e=，得()1xlnxx f x e -'= 因为()0,1x ∈，所以11,ln 0x x ><. 因此10lnx x->.又因为0x e >， 所以()0f x '>恒成立.所以()f x 在区间()0,1上是单调递增函数.()2证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”由题意可得，(0,)x ∈+∞.因为()1xlnxx f x e -'=令()1lnx xg x -=，则()2110g x x x '=--<.所以()g x 在()0,∞+上单调递减 因为()()1110,10g g e e=>=-<， 所以存在唯一实数0x ，使得()00g x =，其中()01,x e ∈.()(),, x f x f x '的变化如表所示:所以()0f x 为函数()f x 的极大值. 因为函数()f x 在(0,)+∞有唯一的极大值. 所以()()00max ln ox x f x f x e == 因为001lnx x =， 所以()()000max 0ln 1o x x x f x f x e x e === 因为()01,x e ∈ 所以()0max 01112x f x x e e =<< 所以()12f x <本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求函数极值与最值，熟练掌握导数的相关性质是解题的关键，本题属于综合题．20．已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集； ()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},i j a a A ⊆.若12345a a a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>. 【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解析；()3证明见解析（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<.记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈，进而利用反证法求解；解：解:()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，;{}1,2,3,5,8是“独立的”()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为:{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =.所以，M 至多有5个“关联子集”.若{}21345 ,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a =同理可得若{}21345 ,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”.所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾.所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集” 同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”. 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A .若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；所以135,,A A A 都是“关联子集”所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-. 1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-. 所以12345,,,,a a a a a 是等差数列.()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<. 记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈.因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素.假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+所以任取t T ∈，232n nt -≤+任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素. (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立.因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立.所以12n n a a --≥.所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-=因为4T ∈，所以121,3a a ==.因为222n n T -+∈，所以2222n n n na a --+=+所以22824n n a n --+-=所以123n a a a a -+=+n ，矛盾. 所以命题成立.本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.。
北京市海淀区2020届高三第一学期期末考试物理试卷和答案
海淀区2020届高三第一学期期末考试物 理 2020.01说明：本试卷共8页，共100分。
考试时间90分钟。
一、本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的。
全部选对的得3分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
把你认为正确答案的代表字母填写在题后的括号内。
1．某电场的电场线分布如图1所示，电场中有A 、B 两点，则以下判断正确的是( ) A ．A 点的场强大于B 点的场强，B 点的电势高于A 点的电势 B ．若将一个电荷由A 点移到B 点，电荷克服电场力做功，则该电荷一定为负电荷C ．一个负电荷处于A 点的电势能大于它处于B 点的电势能D ．若将一个正电荷由A 点释放，该电荷将在电场中做加速度减小的加速运动 2．如图2所示，矩形导线框abcd 与无限长通电直导线MN 在同一平面内，直导线中的电流方向由M 到N ，导线框的ab 边与直导线平行。
若直导线中的电流增大，导线框中将产生感应电流，导线框会受到安培力的作用，则以下关于导线框受到的安培力的判断正确的是（ ）A ．导线框有两条边所受安培力的方向相同B ．导线框有两条边所受安培力的大小相同C ．导线框所受的安培力的合力向左D ．导线框所受的安培力的合力向右3．在图3所示的电路中，电源电动势为E ，电源内阻为r ，闭合开关S ，待电流达到稳定后，将滑动变阻器的滑动触头P 从图示位置向a 端移动一些，待电流再次达到稳定后，则与P 移动前相比（ ）A ．电流表示数变小，电压表示数变大B ．小灯泡L 变亮C ．电容器C 的电荷量减小D ．电源的总功率变大4．如图4所示，将一个半径为r 的不带电的金属球放在绝缘支架上，金属球的右侧放置一个电荷量为Q 的带正电的点电荷，点电荷到金属球表面的最近距离也为r。
由于静电感应图1M 左右图3在金属球上产生感应电荷。
设静电力常量为k 。
则关于金属球内的电场以及感应电荷的分布情况，以下说法中正确的是 （ ）A ．电荷Q 与感应电荷在金属球内任意位置激发的电场场强都是等大且反向的B ．感应电荷在金属球球心处激发的电场场强22rQk E ='，方向向右 C ．感应电荷全部分布在金属球的表面上 D ．金属球右侧表面的电势高于左侧表面5．在图5所示电路中，电源电动势为12V ，电源内阻为l.0Ω，电路中的电阻R 0为1.5Ω，小型直流电动机M 的内阻为0.5Ω，闭合开关S 后，电动机转动，电流表的示数为2.0A 。
北京市东城区2023届高三上学期期末考试数学试题
故选：D.
6.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆 交于点 ， 轴，垂足为 .若 的面积为 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.
【详解】由三角函数的定义可知： ，
故 ，故 ，
【详解】由题知，在正方体 中，点 是棱 上的动点，
建立以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴正方向得空间直角坐标系 ，设正方体边长为1，
所以 ，设 ，其中 ，
所以 ，
当 时， 无解，故①错误；
当 时，解得 ，故②正确；
因为 ，其中 ，
所以 到 的距离为
，不是定值，故③错误；
因为 ，其中 ，
所以 ，
【答案】B
【解析】
【分析】将点 代入直线方程中得出点 为圆上的动点，
结合图像分析即可求出直线 的斜率的取值范围.
【详解】因为点 在直线 上，
所以 ，
即 ，
则 表示圆心为 ，半径为1的圆上的点，
如图：
由图可知当直线 与圆相切直线相切，故有圆心 到直线 的距离为半径1，
【答案】①. ②. (答案不唯一)
【解析】
【分析】化简 ，代入即可求出 ；由三角函数的平移变换求出 ，再由三角函数的性质求出 的对称中心，即可得出答案.
【详解】 ，
所以 ，
将 的图象向左平行移动 个单位长度得到 的图象，
则 ，
所以 的对称中心为 .
故 的一个对称中心为 .
故答案为： ； (答案不唯一).
东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测
高三数学
2020届北京市房山区高三上学期期末考试化学试题(解析版)
北京市房山区2020届高三上学期期末考试可能用到的原子量：H-1 O-16 C-12 Cl-35.5 Br-80第一卷选择题一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，共14小题，每小题3分）1.化学让世界更美好，下列物质在生活中应用时，起还原作用的是（）A.明矾用作净水剂B.甘油用作护肤保湿剂C.漂粉精用作消毒剂D.铁粉用作食品脱氧剂[答案]D[详解]A. 明矾用作净水剂，是由于铝离子水解，与还原性无关，A不符合题意；B. 甘油用作保湿剂是由于其结构中存在-OH，可以保湿，与还原性无关，B不符合题意；C. 漂粉精用作消毒剂是由于HClO的强氧化性，C不符合题意；D. Fe粉用作脱氧剂，是由于其还原性，D符合题意；故[答案]选D。
2.反应NH4Cl+NaNO2==NaCl+N2↑+2H2O放热且产生气体，可用于冬天石油开采。
下列表示反应中相关微粒的化学用语不正确．．．的是（）A. 中子数为18的氯原子：3517Cl B. N2的电子式：C. Na+的结构示意图：D. H2O分子的比例模型：[答案]B[详解]A. 中子数为18的Cl原子的质量数为18+17=35，可表示为3517Cl，A正确；B. N2的电子式为::，B错误；C. Na+为Na原子失去最外层一个电子得到的微粒，其结构示意图为，C正确；D. H2O分子的比例模型为，D正确；故[答案]选B 。
[点睛]在书写电子式时，不要漏掉未成键的价电子。
3.下列说法不正确．．．的是（） A. 可用碘水检验淀粉在酸性条件下水解是否完全 B. 工业上可用淀粉、纤维素为原料生产葡萄糖 C. 疫苗要冷冻保藏，以防止蛋白质变性D. 油脂的氢化、葡萄糖的银镜反应均属于氧化反应 [答案]D[详解]A. 淀粉遇碘变蓝，可用碘水检验淀粉在酸性条件下水解是否完全，A 正确； B. 淀粉、纤维素水解为单糖可得到葡萄糖，因此工业上可用淀粉、纤维素为原料生产葡萄糖，B 正确；C. 高温会使蛋白质变性，因此疫苗要冷冻保藏，以防止蛋白质变性，C 正确；D. 油脂的氢化属于还原反应，D 错误； 故[答案]选D 。
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高三数学上学期期末考试试题 理第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}- （D ）{|22}x x -≤≤答案：B考点：集合的运算。
解析：取集合A ，B 的公共部分即可，所以，A B ={1,0,1,2}- 2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3 （B ）13（C ）13-（D ）3-答案：D考点：复数的概念及其运算。
解析：(2i)(i)a -+＝21(2)a a i ++-，实部与虚部互为相反数， 所以，21(2)a a ++-=0，解得：3a =-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34（B ）45（C ）56（D ）67答案：B考点：程序框图。
解析：第1步：S ＝12，k ＝1＜4，k ＝k+1＝2第2步：S ＝23，k ＝2＜4，k ＝k+1＝3第3步：S ＝34，k ＝3＜4，k ＝k+1＝4 第4步：S ＝45，k ＝4＜4，否，退出循环，所以，S ＝45。
4．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 （A ）30 （B ）45（C ）90（D ）186答案：C考点：等差数列的通项公式，前n 项和。
解析：公差d ＝6－3＝3，3(1)33n a n n =+-⨯=，26n n b a n ==，数列{}n b 是以6为首项，6为公差的等差数列，前5项和为：S ＝545662´??＝90 5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为 （A ）2（B（C）（D）俯视图侧（左）视图正（主）视图答案：D 考点：三视图。
解析：该几何体可以看成是棱长为2正方体截出来的，如下图所示， BD ＝最长的棱为PD ==6．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件答案：A考点：充分必要条件。
解析：由a 2＝a •b ，得a 2－a •b ＝0，即a （a －b ）＝0， 所以，a ⊥（a －b ）或a ＝b ，所以，充分性成立，必要性不成立，是充分不必要条件。
7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为 （A ）65（B ）54（C ）32（D ）52答案：D考点：双曲线的概念与性质。
解析：O 、A 是固定点，M 是动点， MO －MA ＝（OB －MB ）－（8－MB ）＝4 所以，2a ＝4，a ＝2，又2c ＝10，c ＝5，所以，离心率为：e ＝528．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（A （B ）1 （C （D ）2答案：C考点：线面平行，面面平行。
解析：平面EFG 截正方体的截面为EFGHIJ ，如下图所示，因为直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，所以，D 1P ∥平面EFGHIJ ， 易证：平面ACD 1∥平面EFGHIJ ，三角形1PBB 的面积S ＝112PB BB ⨯⨯，BB 1的长度为2，是一定值， 所以，当PB 最短时，S 最小，显然当P 与AC 中点O 重合时，PB 最短，三角形1PBB 的面积的最小值为S ＝122第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．在极坐标系中，圆C ：2sin =ρθ的圆心到点(1,0)的距离为____．答案考点：极坐标方程与普通方程的互化，两点之间的距离公式。
解析：圆方程为：22sin ρρθ=，化为普通方程：222x y y +=， 即：22(1)1x y +-=，圆心为（0,1）所以，（0,1）与（1,0 10．5(21)x -展开式中2x 的系数为____． 答案：－40 考点：二项式定理。
解析：515(2)(1)r r r r T C x -+=-，令r ＝3，得系数为：2352C -＝－40，11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．答案：满足0b a <<且,a b ∈Z 即可 考点：命题真假的判断。
解析：答案不唯一，如b ＝－.4，a ＝－2，满足1>ba，但b ＜a 。
12．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 则2z x y =-的最大值为____．答案：1考点：线性规划。
解析：不等式所示的平面区域如下图所示，当目标函数2z x y =-经过点A （1，0）时取得最大值为1。
13．动点(,)A x y 在圆221x y +=上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间0t =时，点A的坐标是1)2，则当06t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的值域为____．答案：1[,1]2-考点：圆的标准方程，函数的值域，三角函数。
解析：设平面直角坐标系的原点为O ，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，因为t=0时，点A 1()22如下图，可知θ＝∠AOB ＝6π，12秒旋转一周2π，每1秒旋转6π，当06t ≤≤时，766ππθ≤≤， 动点A 的纵坐标为：y ＝sin θ， 由766ππθ≤≤，得112y -≤≤，所以，值域为：1[,1]2-14．已知函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-+=⎨<⎩≥① 若0a =，则函数()f x 的零点有____个；② 若存在实数m ，使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是____．答案：2；0a <且1a ≠-考点：函数的零点，函数的导数及其应用。
解析：① 当0a =时，33,()2,0x x x f x x x ⎧-+=⎨<⎩≥0，()f x＝0时，由33x x -+＝0，得：x ＝0由2x ＝0（x<0）无解，所以，有2个零点。
②函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-+=⎨<⎩≥当33y x x =-+时，2'33y x =-+＝0，得x ＝±1 x ＝－1时，y 有极小值为－2，x ＝1时，y 有极大值为2， 函数图象如下图：函数()y f x m =+总有三个不同的零点，即(),y f x y m ==-有3个交点，a ＜－1时，y m =-与33y x x =-+有3个交点－1＜a ＜0时，y m =-与33y x x =-+有2个交点，与y ＝2x 有1个交点， 综上，0a <且1a ≠-三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．（本小题13分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =，b =，1cos 3B =. （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积.16．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，Q 为棱PD 的中点，PA AB =．（Ⅰ）求证：AQ CD ⊥；（Ⅱ）求直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角C AQ D --的余弦值．17．（本小题13分）2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.（i ）记X 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X 的分布列；（ii ）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记Y 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量,X Y 的均值()E X 和()E Y 的大小.（只需写出结论）18．（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =.19．（本小题13分）设函数()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈． （Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m =，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列； （Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.参考答案及评分参考2019．01一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。