专题复习 二次根式的计算
专题：二次根式的计算(八年级下册)
专题：二次根式的计算（八年级下册）1. 什么是二次根式？二次根式是指以平方根为底数的根式，其中底数为一个非负实数，指数为2的根式。
2. 二次根式的基本性质- 二次根式的指数为2，即根号内的数被平方。
- 二次根式的底数必须是非负实数。
- 二次根式可以进行加减乘除运算。
3. 二次根式的加减运算对于两个二次根式a√x和b√x，其中a和b为实数，x为非负实数，可以进行以下加减运算：- 当根号内的数相同（x相同）时，可以直接合并系数：a√x ± b√x = (a ± b)√x。
- 当根号内的数不同（x不同）时，无法直接合并系数，保留原样。
4. 二次根式的乘法运算对于两个二次根式a√x和b√y，其中a和b为实数，x和y为非负实数，可以进行以下乘法运算：- 将根号内的数相乘：a√x * b√y = ab√(xy)。
5. 二次根式的除法运算对于两个二次根式a√x和b√y，其中a和b为实数，x和y为非负实数，可以进行以下除法运算：- 将根号内的数相除：(a√x) / (b√y) = (a / b)√(x / y)。
6. 简化二次根式当二次根式的底数不能被开平方时，可以通过找出底数的因数来进行简化。
例如：- √12 = √(4 * 3) = 2√3- √18 = √(9 * 2) = 3√27. 实例演练例题1：计算：3√5 + 2√5解答：由于根号内的数相同，可以直接合并系数：3√5 + 2√5 = (3 + 2)√5 = 5√5例题2：计算：4√7 * 2√3解答：将根号内的数相乘：4√7 * 2√3 = 8√(7 * 3) = 8√21例题3：计算：(5√6) / (√2)解答：将根号内的数相除：(5√6) / (√2) = (5 / 1)√(6 / 2) = 5√3以上是关于二次根式的计算的基本知识和方法，希望对你的学习有所帮助！。
专题：二次根式的计算(八年级下册)
专题：二次根式的计算（八年级下册）一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
二、二次根式的性质1. 任何非负实数a的平方根都是一个非负实数。
2. 若a和b是非负实数，则√(a*b) = √a * √b。
3. 若a和b是非负实数，则√(a/b) = √a / √b（b不等于0）。
三、二次根式的运算1. 化简二次根式：对于二次根式√a，如果a的因数中存在完全平方数，则可以将其分解为该完全平方数的平方根与其他因数的乘积。
例如：√12 = √(4 * 3) = 2√3。
2. 加减二次根式：对于二次根式的加减运算，只有当根号内的数相同或者互为相反数时，才可以进行运算。
例如：√5 + √5 = 2√5，√5 + √(-5) = √5 - √5 = 0。
3. 乘除二次根式：- 乘法：将根号内的数相乘，并合并同类项。
例如：√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
- 除法：将被除数和除数的根号内的数相除，并合并同类项。
例如：√6 / √2 = √(6 / 2) = √3。
四、解决实际问题中的二次根式计算1. 面积问题：当计算图形的面积时，如果涉及到二次根式的计算，可以先将二次根式化简，然后代入数值进行计算。
例如：计算一个边长为√2的正方形的面积，可以化简为2，即面积为2平方单位。
2. 长度问题：当计算图形的边长时，如果涉及到二次根式的计算，可以根据问题中给出的条件，利用二次根式的性质进行计算。
例如：计算一个正方形的对角线长度，已知边长为2，可以利用勾股定理得到对角线长度为2√2。
以上是关于二次根式的计算的简要介绍，希望对你的研究有帮助！。
(完整word版)二次根式知识点复习,文档
二次根式复习【知识回忆】1. 二次根式： 式子 a 〔 a ≥ 0〕叫做二次根式。
2. 最简二次根式： 必定同时满足以下条件：⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：〔1〕〔2〔 a ≥ 0〕；〔2〕a 〕 = a 2aa 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，尔后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：a 〔 a ＞0〕0 〔 a =0〕；a 〔 a ＜ 0〕① ab =a ?b 〔 a ≥ 0,b ≥ 0〕；②aaba 0,b 0b【例题讲解】例 1 计算：〔1〕 (3)2 ；〔2〕 (2 ) 2 ； 〔3〕 ( a b )2〔a+b ≥ 0〕3解析：依照二次根式的性质可直接获取结论。
例 2 计算：⑴6·15⑵ 1 ·24⑶ a 3 · ab 〔 a ≥ 0，b ≥ 0〕2解析：本例先利用二次根式的乘法法那么计算， 再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。
例 3计算：〔1〕32+23－22+3〔 2〕12 +18 － 8 －32〔 3〕40 －1 +10510【基础训练】1．化简：〔 1〕72____ ；〔2〕252242___ __；〔3〕612 18 ____；〔4〕75x3 y2 (x0, y0) ____；〔5〕204_______ 。
2.(08 ，安徽 ) 化简42=_________。
3. 〔 08，武汉〕计算 4 的结果是Ａ .2Ｂ．± 2Ｃ． -2Ｄ． 44. 化简：〔1〕〔 08，泰安〕9 的结果是；〔 2〕〔 08，南京〕12 3 的结果是；〔3〕(08 ，宁夏 ) 528 =；〔 4〕〔 08，黄冈〕 5 x -2x =_____ _；5．〔 08，重庆〕计算82的结果是A、 6B、 6C、 2D、 26．〔 08，广州〕 3 的倒数是。
二次根式题型归类讲解
二次根式题型归类讲解
二次根式是初中数学的一个重要知识点，也是中考的重点内容之一。
以下是一些常见的二次根式题型归类讲解：
1. 二次根式的化简与求值：
（1）化简二次根式：将根号下的数或式子化为最简形式，即去掉根号下的平方因子。
（2）求值：根据已知条件，求出二次根式的值。
2. 二次根式的运算：
（1）加减运算：同类二次根式可以加减，即将根号下的数或式子相加减。
（2）乘除运算：二次根式相乘，将根号下的数或式子相乘；二次根式相除，将根号下的数或式子相除。
3. 二次根式的化简求值：
（1）化简求值：先化简二次根式，再代入求值。
（2）整体代入求值：将一个式子整体代入到另一个式子中，求出二次根式的值。
4. 二次根式的混合运算：
（1）混合运算顺序：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里的。
（2）去括号法则：括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”，把括号和它前面的“-”去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
5. 二次根式的应用：
（1）在几何中的应用：求边长、周长、面积等。
（2）在物理中的应用：求速度、力等。
二次根式的计算
二次根式的计算一、引言二次根式是数学中的重要概念，它涉及到数的开方运算。
本文将介绍如何进行二次根式的计算，并给出相关例题进行解答。
二、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
在二次根式中，a 被称为被开方数，√a被称为二次根式号。
三、二次根式的基本运算1. 同底数的二次根式相加减当二次根式的底数相同时，可以进行相应的加减运算。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 同底数的二次根式相乘当二次根式的底数相同时，可以进行相应的乘法运算。
例如，√3 × √3 = 3。
3. 同底数的二次根式相除当二次根式的底数相同时，可以进行相应的除法运算。
例如，√5 ÷ √5 = 1。
4. 不同底数的二次根式运算当二次根式的底数不同时，无法进行运算，需要化简或变形。
例如，√2 × √3无法进行运算，但可以化简为√6。
五、例题解答1. 计算√8 + √18。
首先，将底数进行分解，得到√(2 × 2 × 2) + √(2 × 3 × 3)。
然后，按照同底数相加的规则，得到2√2 + 3√2，再合并同类项，得到5√2。
2. 计算√12 - √3。
首先，将底数进行分解，得到√(2 × 2 × 3) - √3。
然后，按照同底数相减的规则，得到2√3 - √3，再合并同类项，得到√3。
3. 计算(2√5 + √10) × √2。
首先，按照分配率展开括号，得到2√(5 × 2) + √(10 × 2)。
然后，按照同底数相乘的规则，得到2√10 + 2√20，再合并同类项，得到2√10 +4√5。
4. 计算√15 ÷ (√3 + √5)。
首先，按照有理化分母的原则，将分母进行乘积形式变形，得到√15 ÷ (√3 + √5) × (√3 - √5)。
然后，按照差的平方公式展开，得到(√15 ×√3 - √15 × √5) ÷ (3 - 5)。
专题02 《二次根式》计算、解答题重点题型分类(解析版)
专题02 《二次根式》计算、解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《二次根式》中“二次根式的性质与化简”、“二次根式的乘除法”、“二次根式的加减法”、“二次根式的混合运算”、“二次根式的化简求值”计算、解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：二次根式的性质与化简方法点拨：（1）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．（2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．1．化简：（1（2（3（4（50,0)>>a b【答案】（1）（2）（3）（4）13；（5）2【分析】先将被开方数进行因数分解或因式分解，再应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来即可．【详解】解：（1===（2===；（3===；（413===；（52=【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关求解方法．2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：【答案】0【分析】由三个数在数轴上的位置即可确定它们的符号及大小关系，从而可确定a －b 及c －a 的符号，最后可化简绝对值与二次根式，从而可求得结果．【详解】由数轴知：0c b a<<<∴0a b ->，0c a -<＝－b －（a －b ）－（c －a ）－（－c ）＝－b －a ＋b ＋a －c ＋c＝0【点睛】本题考查了算术平方根的性质、绝对值的化简、数轴上数的大小关系等知识，注意：当a 为负数a ．3．已知实数a ，b【答案】1a b +-【分析】根据题意得：2,b 2a >-< ，可得20,30a b +>-< ，然后根据二次根式的性质化简原式，即可求解．【详解】解：根据题意得： 2,b 2a >-< ，∴20,30a b +>-< ，23a b =+--()23a b =++-1a b =+- ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，有理数的大小比较，根据题意得到2,b 2a >-< 是解题的关键．4．已知130a -£-£+．【答案】5【分析】先解不等式组可得23,a ££则有10,40,a a +>-<再化简二次根式即可得到答案.【详解】解：130a -£-£Q ，23,a \££10,40,a a \+>-<4-14 5.a a =++-=【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，二次根式的化简，解本题的关键是得到“10,40a a +>-< ”.5．阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一====1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1 （2【答案】（2【分析】（1（2）根据分母有理化的步骤进行化简，即可求解．（2【点睛】本题主要考查了分母有理化，明确题意，理解分母有理化的步骤是解题的关键．6a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==>>.，这里7m =，12n =，由于437+=，4312´=，所以22+==，2===（1（2（3【答案】（11+；（2（3【详解】解：（1）∴4m =，3n =，∵314+=，313´=，∴224+==，1===；（2），∴13m =，42n =，∵7613+=，7642´=，∴2213+===∴8m =，15n =，∵358+=，3515´=，∴228+=====【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键．7这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平1====；再如：==请用上述方法探索并解决下列问题：（1=，=；（2）若2()a m+=+，且a，m，n为正整数，求a的值．【答案】（13；（2）a的值为46或14【分析】（1）根据题意利用完全平方公式和二次根式的性质进行求解即可；（2）由222()5a m m n+==++，可得225a m n=+，62mn=，则3mn=，再根据a，m，n为正整数，可得1m=，3n=或3m=，1n=，由此求解即可．【详解】解：（1===3===-．3-；（2）∵222()5a m m n+==++，225a m n\=+，62mn=，∴3mn=又∵a，m，n为正整数，1m\=，3n=或3m=，1n=，∴当1m=，3n=时，2215346a=+´=；当3m=，1n=时，2235114a=+´=．综上所述，a的值为46或14．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和二次根式的性质化简，解题的关键在于能熟练掌握完全平方公式．8．（阅读材料）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（12．善于思考的小明进行了以下探索：若设a +=（m +）2＝m 2+2n 2+2a 、b 、m 、n 均为整数），则有a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把类似a +法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（问题解决）（1）若a +=（m +2，当a 、b 、m 、n 均为整数时，则a ＝ ，b ＝ ．（均用含m 、n 的式子表示）（2）若x =（m +2，且x 、m 、n 均为正整数，分别求出x 、m 、n 的值．（拓展延伸）（3= ．【答案】（1）m 2+5n 2，2mn ；（2）当m =1，n =2时，x=13；当m =2，n =1时，x =7；（3．【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到4＝2mn ，利用x 、m 、n 均为正整数得到12m n =ìí=î或21m n =ìí=î，然后利用x ＝m 2+3n 2计算对应x 的值；（3）=m +，两边平方(25m +=+，可得22651m n mn ì+=í=î消去n 得42560m m -+=，可求m【详解】解：（1）设a +m +2＝m 2+5n 2+2a 、b 、m 、n 均为整数），则有a ＝m 2+5n 2，b ＝2mn ；故答案为m 2+5n 2，2mn ；（2）∵(22232x m m n +=+=++∴4＝2mn ，∴mn ＝2，∵x 、m 、n 均为正整数，∴12m n =ìí=î或21m n =ìí=î，当m ＝1，n ＝2时，x ＝m 2+3n 2＝1+3×4＝13；当m ＝2，n ＝1时，x ＝m 2+3n 2＝4+3×1＝7；即x 的值为为13或7；（3=m +，∴(25m +=+，∴226522m n mn ì+=í=î，∴1n m=，22165m m æö+=ç÷èø，∴42560m m -+=，∴（m 2-2）（m 2-3）=0，∴m,m∴n =n =．∴m n ìïíïîm nìïí=ïî====．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一元高次方程，二元方程组，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．1．计算（1）（2；（3；（4【答案】（1）12；（2（3）34；（4）【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（2）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（3）先化简二次根式，根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（4）根据二次根式除运算法则转化为乘法计算，再化简即可．【详解】解：（1）原式==12；（2）原式=64（3）原式=´´=34；（4）原式=【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．2．若y =+【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式组，根据解不等式组，可得x ，根据x 的值可得y的值，再根据二次根式的除法，可得答案．2x -3≥0,3-2x ≥0，即x =32，y=【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．3==的值．【答案】4【分析】根据二次根式分母有理化计算即可；2=+2==原式===+224==；【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化和乘除运算，准确化简是解题的关键．4．若99a和b ，求4312ab a b ---的值【答案】37-【分析】先求出99a ，b 的值，再代入求值即可．【详解】∵34∴12，95，∴99，995=4，∴a =3，b=4∴原式=3）（443）-3（4-12-13﹣12-=37-．【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数都可以写成整数部分+小数部分的形式，从而得到小数部分＝这个无理数﹣整数部分，这是解题的关键．5．（13=，求a的值；（2能够合并，求a的值，并求出这两个二次根式的积．【答案】（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5．【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可；（2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案．【详解】解：（1）3=∴a+2=32解得a=7（2=能够合并=解得a=8∴5=.【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．6．如图，从一个大正方形中裁去面积为215cm和224cm的两个小正方形，求留下部分的面积．【答案】2【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，进而可得大正方形的边长，再利用大正方形的面积减去两个小正方形的面积列式计算即可求得答案．【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为215cm和224cm，∴=，∴∴留下部分（即阴影部分）的面积是21524--152241524=++--=2)cm =，答：留下部分的面积为2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段ST ，我们定义点P 关于线段ST 线段比()()PS PS PT ST k PTPS PT ST ì<ïï=íïïî…．已知点(0,1)A ，(1,0)B ．（1）点(2,0)Q 关于线段AB 的线段比k = ；（2）点(0,)C c 关于线段AB的线段比k =c 的值．【答案】（1（2）3c =或c =．【分析】（1）求出QA 、QB 、AB ，根据线段比定义即可得到答案；（2）方法同（1），分0c >和0c …讨论．【详解】解：（1）∵(0,1)A ，(1,0)B ，(2,0)Q ，∴AB =QA ，1QB =，根据线段比定义点(2,0)Q 关于线段AB的线段比QB k AB ==；；（2）∵(0,1)A ，(1,0)B ，(0,)C c ，∴AB =|1|AC c =-，BC =2212AC c c =+-，221BC c =+，当0c >时，22AC BC <，即AC BC <，由(0,)C c 关于线段AB的线段比k =，解得3c =或1c =-（舍去），∴3c =，当0c …时，22AC BC …，即AC BC …，由(0,)C c 关于线段AB 的线段比k ==，解得c =c =，∴c =综上所述，点(0,)C c 关于线段AB 的线段比k 3c =或c =【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．8．先阅读下面的解题过程，然后再解答：a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +=，=)a b ==>7m =，12n =因为437+=，4312´=即227+=所以2===根据上述方法化简：（1（2【答案】（1（2【分析】根据a b m +=，ab n =，即22m +==代入计算即可；【详解】（1）根据题意，可知13m =，42n =，因为6713+=，6742´=，即2213+=====（2）根据题意，可知8m =，15n =，因为538+=，5315´=即228+===【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，准确计算是解题的关键．9．材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的．材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如23<<<<．根据上述材料，回答下列问题：（1的整数部分是，小数部分是．+的值．（2）5+5<<，求a ba b（3）已知3x y=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．【答案】（1）44-；（2）13；（3【分析】（1的整数部分和小数部分；（2（3的整数部分，得到x的值，从而表示出y，求出x+4y的结果，再求x+4y的倒数即可．【详解】解：（1）<∴45<，的整数部分是4，故答案为：44；（2）<<，∴12<，∴67<<，∵5<<，a b∴a=6，b=7，∴a+b=13；（3）∵12，∴1+3＜2+3，∴4＜5，∴x=4，y1，x+4y）∴x+4ya≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根．1+（2）()14---．【答案】（1）；（2【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算；（2）根据绝对值、化简二次根式、立方根可直接进行求解．【详解】解：（1）原式=+（2）原式134+【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．2．计算或化简下列各题：（1）2021(1)(+--；（2）【答案】（1）1-；（2．【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；（2）去掉绝对值符号，根据二次根式的加减运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式＝(1)-+＝1；（2）解：原式==【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．3．先化简再求值：当a =时，求a【答案】21,1a -【分析】本题应先根据二次根式的性质把原式进行化简，再将a 的值代入即可求解．【详解】解：当a a -1＞0，∴原式=a =a +(a -1)=2a ﹣1∴原式1．故答案为：2a ﹣1；1【点睛】本题考查了二次根式的性质化简求值，熟知二次根式的性质是解题的关键．4．已知【答案】2y-【分析】先根据已知条件判断出0y < ，30x -£ ，再根据0y < ，3x £ 化简即可．【详解】解：0=<Q ，0y \< ，30x -£ ，3x \£ ，=413x y x =-+---413x y x =-+--+2y =- ．5．嘉琪准备完成题目“计算：（）﹣”时，发现“■”处的数字印刷不清楚，（1）他把“■”处的数字猜成6，请你计算（）﹣（2）他妈妈说：“”通过计算说明原题中“■”是几？【答案】（1）0；（2）原题中“■”是152【分析】（1）先去括号，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；（2）将原式进行整理，设“■”为m【详解】解：（1）（﹣）﹣＝＝0；（2）设“■”为m ，-=，解得：152m =，∴原题中“■”是152．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．阅读下列内容：因为139<<，所以13<<11．试解决下列问题：（1的整数部分和小数部分；（2）若已知8+a ，8的整数部分是b ，求34ab a b -+的值．【答案】（1的整数部分是33-；（2）34ab a b -+13．【分析】（1的大小即可；（2，a 、b 的值，代入计算即可．【详解】解：（1）∴3＜4，的整数部分是3-3；（2）∵34，∴11＜12，∴a ，∵34，∴-4＜-3，∴4＜5，∴b =4，∴ab -3a +4b=）×4-3×）+4×4，答：ab -3a +4b ．【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出a 、b 的值是正确解答的关键．7111111112=+-=+；111112216=+-=+；1111133112=+-=+．（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想．（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式（n 为正整数）．【答案】（1）111441+-+，1120，1119+2）11(1)n n ++【分析】（11120的结果为11380；（2）第n 1与1n(n 1)+的和．【详解】解：（11111144120=+-=+；1111119191380=+-=+；故答案是：111441+-+，1120，11119191+-+，11380；（2）通过观察等式右边为1与1n(n 1)+的和，故第n 11(1)n n =++．【点睛】本题考查了二次根式的加减法：解题的关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．8．观察下列一组等式，解答后面的问题：=﹣1，==应用计算：（1（2＝ ；（3+LL＝ ．【答案】（1（2（310【分析】（1），然后利用平方差公式计算；（2）利用题中的计算结果和（1）小题的计算结果找出规律求解；（3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】解：（1=（2、（3...+10．10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法是解决问题的关键．考点4：二次根式的混合运算方法点拨：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.1．计算：（1）3）（−5）（2））（3）（）×（4）（）2018×（3）2018【答案】（1）2）2（3）-30（4）12．已知1x=+，求代数式229-+的值．x x【答案】11．【分析】先将代数式配方，然后再把1x =+代入要求的代数式中进行求解即可．【详解】解： ()222918x x x -+=-+当1x =时，原式)21183811=-+=+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和二次根式的混合计算法则．3．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B ，点A 所表示的数为，设点B 所表示的数为m ．（1）求m 的值；（2）求|m ﹣1|＋（2）（4﹣m ）的值．【答案】（1）2m =（21【分析】（1）根据一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B ，可得2AB =，再由点A 表示的数为B 表示的数为m ，即可得到(2m -=，由此求解即可；（2）根据（1）求出的结果，代入m 的值，根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：（1）由题意得：2AB =，∵点A 表示的数为，点B 表示的数为m ，∴(2m -=，∴2m =-；（2）∵2m =-∴(()124m m -+--(21242=--+-(122=-+-142=-+-1．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够根据题意求出2m =4．某居民小区有块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC AB长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分）1）米．（1）长方形ABCD 的周长是 米；（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m 2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）【答案】（1）（2）600元【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可；（2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案.（1）解：Q 长方形绿地的长BC AB\ 长方形ABCD 的周长为：(2=2答：长方形ABCD 的周长为：米.故答案为：（2)11-131=-+ =11212100,-=Q 通道要铺上造价为6元/m 2的地砖，则购买地砖需要花费：1006600´=，答：购买地砖需要花费600元.【点睛】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的的化简与运算是解本题的关键.5．阅读下列材料，然后回答问题这样的式子，我们可以将其分母有理化：1====；1====-．（1（2【答案】（12）1【分析】（1）法一：原式==（2）：原式=（1=；===；（2）解：原式=+=+=．1【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的将分式中的分母有理化．6．在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化．比如：（1==．（21试试看，将下列各式进行化简：（1（2（3【答案】（11；（3）2【分析】（1）根据第一个例子可以解答本题；（2）根据第二个例子和平方差公式可以解答本题；（3）根据第二个例子和平方差公式把原式化简，找出式子的规律得出结果即可．【详解】解：==；（211++¼+，1，＝3－1＝2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化和平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法．7．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下方法将其进一步1===，化简：（1）（2）【答案】（1（2【分析】（1）利用分母有理化的形式进行化简；（2，然后分母有理化，最后进行二次根式的乘法运算．【详解】解：（1===；L（2+=L2=L==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．81====．==2根据以上解法，试求：（1n为正整数）的值；（2×××【答案】（1（2）9【分析】（1）由题意根据材料所给出的解法进行分析计算求解即可；（2）根据题意直接依据材料所给出的解法得出规律进行计算即可.【详解】解：（1==；（2×××1=×××110=-+9=.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键.考点5：二次根式的化简求值方法点拨：（1）数形结合法：用坐标轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标。
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)
二次根式计算专题之杨若古兰创作1．计算：⑴()()24632463+-⑵20(3)(3)2732π++-+-【答案】(1)22; (2)643-【解析】试题分析：(1)根据平方差公式，把括号睁开进行计算即可求出答案.(2)分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案. 试题解析：(1)()()24632463+-=54－32 =22. （2）20(3)(3)2732π++-+-考点: 实数的混合运算. 2．计算（1）﹣×（2）（6﹣2x ）÷3．【答案】（1）1；（2）13【解析】试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案. 试题解析：(1)20511235+1=；（2）1(62)34x x x x÷13=.考点: 二次根式的混合运算.3．计算：⎛÷⎝．【答案】143．【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再算括号里面的,最初算除法．试题解析：⎛÷⎝÷=143=．考点：二次根式运算．4．计算：322663-+-⨯【答案】22.【解析】试题分析：先算乘除、去绝对值符号,再算加减.试题解析：原式=23323-+-=22考点：二次根式运算.5．计算：)23(3182+-⨯【答案】-【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再化简．6=-考点：二次根式化简．6．计算：2421332--．【答案】22．【解析】试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可.-==考点：二次根式的计算. 7．计算：)13)(13(2612-++÷-．2．【解析】试题分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特此外能利用公式的利用公式简化计算过程．1)=31-2． 考点：二次根式的化简．8．计算：⎝ 【答案】0. 【解析】试题分析：根据二次根式运算法则计算即可.0==⎝. 考点：二次根式计算. 9．计算：()+1π.【答案】1【解析】试题分析：任何非零数的零次方都为1，负数的绝对值等于它的相反数，再对二次根式进行化简即可． 试题解析：()+1π11=-=考点：二次根式的化简． 10．计算：435.03138+-+ 【答案】323223+． 【解析】试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算． 试题解析：原式=2322322+-+=323223+． 考点：二次根式的化简． 11．计算：（1）（2）()02014120143π---【答案】（1）1+（2）3-.【解析】试题分析：（1）根据二次根式的运算法则计算即可; （2）针对有理数的乘方，零指数幂，二次根式化简，.绝对值4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果. 试题解析：（1）(1=+（2）()020141201431133π---=--+=-考点：1.实数的运算;2.有理数的乘方;3.零指数幂;4.二次根式化简;5.绝对值. 12．计算： 212)31()23)(23(0+---+ 【答案】2.【解析】试题分析：本题次要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．本题中先根据平方差公式计算乘法和零指数幂的意义，去掉括号后，计算加减法． 试题解析： 解：原式=2123+--=2考点：二次根式的混合运算． 130(2013)|-+-． 【答案】1.【解析】0(2013)|+-+-1=.考点：二次根式化简.14．计算12)824323(÷+- 【答案】2623. 【解析】试题分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最初算除法即可求出答案. 试题解析：248)12(62622)23(226)23考点: 二次根式的混合运算. 151122322. 【解析】试题分析：把二次根式化简，再合并同类二次根式即可求出答案. 11223432223232332考点: 二次根式的运算. 16．化简：（1）83250+ （2）2163)1526(-⨯- 【答案】（1）92；（2）-．【解析】试题分析：（1）先去分母，再把各二次根式化为最简二次根式，进行计算；（2）直接利用分配律去括号，再根据二次根式乘法法则计算即可．试题解析：（1）原式=9=；2（2）原式===-．考点：二次根式的混合运算；17．计算（1）)2（2）2【答案】（1）3（2）3.【解析】试题分析：（1）根据运算顺序计算即可;（2）将括号内化为最简二次根式后合并再平方运算即可.试题解析：（1）)=-+233（2）(222===.3考点：二次根式化简.181)(1+-【答案】17.【解析】试题分析：先化简和，应用平方差公式计算1)(1+，再进行计算求解.--181＝17考点:实数的运算. 19．计算：231|21|27)3(0++-+--【答案】-．【解析】试题分析： 本题涉及零指数幂、二次根式的化简、分母有理化、绝对值化简4个考点．在计算时，须要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：原式=11-=-考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．分母有理化． 20．计算：12⎛⎫+- ⎪⎝⎭②⎛ ⎝⎛- ⎝1；②143；③a 3-. 【解析】试题分析：①针对算术平方根，绝对值，零指数3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；②根据二次根式运算法则计算即可；③根据二次根式运算法则计算即可. 01112⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.②143⎛⎛=÷⎝⎝.1a2a63⎛--⋅=-⎝.考点：1.二次根式计算；2.绝对值；3.0指数幂.21．计算：（1）2012101(1)5()1)2----++（2）【答案】（1）0；（2）【解析】试题分析：（1）原式=152310-++-=；（2）原式==考点：1．实数的运算；2．二次根式的加减法．22．计算与化简（1）(0π+（2）2(3(4-【答案】（1）1；（2）5.【解析】试题分析：（1）将前两项化为最简二次根式，第三项根据0指数幂定义计算，再合并同类二次根式即可；（2）利用完整平方公式和平方差公式睁开后合并同类二次根式即可.试题解析：（1）(011π==.（2）((()2344951675-=+--=.考点：1.二次根式化简；2.0指数幂；3.完整平方公式和平方差公式.23．（1）18282-+（2）3127112-+（3）0)31(33122-++（4）)2332)(2332(-+【答案】（1）-3）6；（4）6- 【解析】试题分析：本题次要考查根式的根式的混合运算和0次幂运算.根据运算法则先算乘除法，是分式应当先将分式转化为整式，再按运算法则计算. 试题解析:（1）==-原式试题解析：（2）==原式试题解析：（3）116==+=原式 试题解析：（4）22439212186=-=⨯-⨯=-=-原式（（243【答案】0 【解析】试题分析：先根据立方根的性质、绝对值的规律、二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 解：原式=25232+--+=0.考点：实数的运算点评：计算题是中考必考题，普通难度不大，先生要特别慎重，尽量不在计算上失分. 25．求以下各式的值（1）（2）()2331422-⨯--+【答案】⑴12⑵11 【解析】试题分析：（1）1132242-⨯-=（2）()2331422-⨯--+=328211-++=考点：整式运算点评：本题难度较低，次要考查先生对整式计算常识点的把握.为中考常考题型，请求先生牢固把握.26．计算：⎛÷ ⎝2+ 【答案】5 【解析】试题分析：解：原式13⎛=÷ ⎝考点：实数运算点评：本题难度较低，次要考查先生对实数运算常识点的额把握，为中考常考题型，请求先生牢固把握. 27．计算： （1）)3127(12+- （2）()()6618332÷-+-【答案】（1）334- （2）2【解析】试题分析：（1）==（2）==312考点：实数运算点评：本题难度较低，次要考查先生对平方根实数运算常识点的把握.请求先生牢固把握解题技巧.28．(【答案】1【解析】试题分析：(⨯⨯÷(32=1考点：二次根式的化简和计算点评：本题考查二次根式的化简和计算，关键是二次根式的化简，把握二次根式的除法法则，本题难度不大29．计算（每小题4分，共8分）（1）（2）【答案】(1)【解析】试题分析：原式=（2）原式+考点：实数的运算点评：实数运算经常使用的公式：（1）2(0)a a =≥（2）,a =（3）0,0)a b =≥≥（4）0,0)a b =≥≥. 30．计算： （1）（2）（3）++-+（4）14+6a-3a 【答案】（1）16，（2）-14，（3）194-13，（4）【解析】本题考查二次根式的二次根式的加减法法则进行计算解：（1）原式=（2）原式=-（3）原式=24+=4 （4）原式=32。
二次根式计算专题30题(教师版含答案解析)
试题解析：
0
+1123123313．
考点：二次根式的化简．
10．计算：
83
1
3
0.5
3
4
33
【答案】3
2
22
【解析】
．
试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算．
试题解析：原式=
2333
223=23
2222
．
考点：二次根式的化简．
11．计算：
（1）
271245
1
3
（2）
0
2014
1182014223
3
28
3
323
14
3
．
考点：二次根式运算．
6
4．计算：3623
2
【答案】22.
【解析】
试题分析：先算乘除、去绝对值符号,再算加减.
试题解析：原式=32332
=22
考点：二次根式运算.
5．计算：2183(32)
【答案】33．
【解析】
试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再化简．
试题解析：2183(32)=23233633．
考点：二次根式化简.
2
14．计算(3248)12
3
【答案】
26
-+.
23
试卷第4页，总10页
完美WORD格式
【解析】
试题分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案.
试题解析：
2
(3-24 +8)?12(6-26+22) ?23(22-6) ?23
3
26
=-+
23
考点:二次根式的混合运算.
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是数学中的一种特殊形式，它包括平方根、立方根等。
二次根式的运算是解决与这一数学概念相关的问题，涉及到简化、相加、相乘等操作。
本文将从这些角度进行讨论。
一、简化二次根式简化二次根式是将其转化为最简形式，即被开方数不包含平方数因子。
比如，√8可以简化为2√2。
下面以几个例子来说明简化操作：1. √12 = √(4 × 3) = 2√32. √18 = √(9 × 2) = 3√23. √75 = √(25 × 3) = 5√3需要注意的是，对于含有完全平方数因子的二次根式，可以直接提取出因子的平方根，并将其余部分保留在根号内。
二、相加与相减二次根式相加或相减二次根式时，需要满足被开方数相同，即根号内数字相同，才能进行合并。
比如，2√3 + 3√3 = 5√3。
下面是一些示例：1. 4√5 - 3√5 = √52. 2√6 + 5√6 = 7√63. 2√7 - √7 = √7可以看出，被开方数相同的二次根式可以直接相加或相减，而根号内的数字保持不变。
三、相乘二次根式相乘二次根式时，需要将根号内的数字相乘，然后提取出公因子。
下面是一些示例：1. 2√3 × 3√2 = 6√62. 4√5 × 2√5 = 8 × 5 = 403. √6 × √2 = √(6 × 2) = √12 = 2√3需要注意的是，如果根号内的数字是完全平方数，可以直接提取出平方根，并将其余部分保留在根号内。
四、二次根式的混合运算在实际问题中，常常需要进行多种运算的组合，例如简化后再相加、相乘等。
下面是一个综合例子：示例：简化3√12 + 4√27 的结果。
首先，简化被开方数：3√12 = 3√(4 × 3) = 6√34√27 = 4√(9 × 3) = 12√3然后，将结果相加：6√3 + 12√3 = 18√3所以，3√12 + 4√27 的结果为18√3。
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March二次根式计算专题1．计算：⑴ ()()24632463+- ⑵ 20(3)(3)2732π++-+-【答案】(1)22; (2) 643-【解析】 试题分析：(1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案.(2)分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案.试题解析：(1) ()()24632463+-22(36)(42)=- =54－32=22.（2）20(3)(3)2732π++-+-313323=+-+-643=-考点: 实数的混合运算.2．计算（1）﹣× （2）（6﹣2x ）÷3．【答案】（1）1；（2）13【解析】试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案. 试题解析：205112352553235+=32=-1=；（2）1(62)34x x x÷62)3x x x x =÷ (3)3x x x =÷3x x=13=.考点: 二次根式的混合运算.3．计算：⎛÷⎝【答案】143．【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再算括号里面的,最后算除法．试题解析：⎛-÷⎝÷=143=．考点：二次根式运算．4．计算：322663-+-⨯【答案】22.【解析】试题分析：先算乘除、去绝对值符号,再算加减.试题解析：原式=23323-+-=22考点：二次根式运算.5．计算：)23(3182+-⨯【答案】-【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再化简．6=-考点：二次根式化简．6．计算：2421332--．【答案】22．【解析】试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可.22-==．考点：二次根式的计算.7．计算：)13)(13(2612-++÷-．2．【解析】试题分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特别的能利用公式的应用公式简化计算过程．1)=31-2． 考点：二次根式的化简．8⎝ 【答案】0.【解析】试题分析： 根据二次根式运算法则计算即可.0==⎝. 考点：二次根式计算.9．计算：()0+1π.【答案】1-【解析】试题分析：任何非零数的零次方都为1，负数的绝对值等于它的相反数，再对二次根式进行化简即可．试题解析：()0+1π11=-=考点：二次根式的化简．10．计算：435.03138+-+ 【答案】323223+． 【解析】试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算．试题解析：原式=2322322+-+=323223+． 考点：二次根式的化简．11．计算：（1）（2）()020********π---【答案】（1）1（2）3-【解析】试题分析：（1）根据二次根式的运算法则计算即可;（2）针对有理数的乘方，零指数幂，二次根式化简，.绝对值4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.试题解析：（1）(1==（2）()020141201431133π---=--+=-.考点：1.实数的运算;2.有理数的乘方;3.零指数幂;4.二次根式化简;5.绝对值.12．计算： 212)31()23)(23(0+---+ 【答案】2.【解析】试题分析：本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．本题中先根据平方差公式计算乘法以及零指数幂的意义，去掉括号后，计算加减法．试题解析：解：原式=2123+-- =2考点：二次根式的混合运算．130(2013)|+-+-．【答案】1.【解析】0(2013)|+-+-1=+1=.考点：二次根式化简.14．计算12)824323(÷+-26 2.【答案】试题分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案.试题解析：248)12(62622)23(226)232623考点: 二次根式的混合运算.15112 23【答案】2 32.【解析】试题分析：把二次根式化简，再合并同类二次根式即可求出答案.11223432223232332考点: 二次根式的运算.16．化简：（1）83250+（2）2163)1526(-⨯-【答案】（1）92；（2）-【解析】试题分析：（1）先去分母，再把各二次根式化为最简二次根式，进行计算；（2）直接利用分配律去括号，再根据二次根式乘法法则计算即可．试题解析：（1）原式=92=；（2）原式==-．考点：二次根式的混合运算；17．计算（1）)2-（2）2【答案】（1）3; （2）3.试题分析：（1）根据运算顺序计算即可;（2）将括号内化为最简二次根式后合并再平方运算即可.试题解析：（1)233=-=.（2）(2223===.考点：二次根式化简.181)(1++ 【答案】17.【解析】，运用平方差公式计算1)(1+，再进行计算求解.试题解析：原式＝18122+-- ＝17考点:实数的运算.19．计算：231|21|27)3(0++-+--【答案】-．【解析】试题分析： 本题涉及零指数幂、二次根式的化简、分母有理化、绝对值化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：原式=11-+=-考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．分母有理化．20．计算：① 01 2⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ② ⎛ ⎝③⎛- ⎝1；②143；③a 3-. 【解析】试题分析：①针对算术平方根，绝对值，零指数3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；②根据二次根式运算法则计算即可；③根据二次根式运算法则计算即可.1112⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.②143⎛⎛=÷= ⎝⎝.1a 2a 63⎛-=-⋅=- ⎝. 考点：1.二次根式计算；2.绝对值；指数幂.21．计算：（1）2012101(1)5()1)2----++（2）【答案】（1）0；（2）【解析】试题分析：（1）原式=152310-++-=；（2）原式==．考点：1．实数的运算；2．二次根式的加减法．22．计算与化简（1）(0π+- （2）2(3(4+-+-【答案】（1）1；（2）5.【解析】试题分析：（1）将前两项化为最简二次根式，第三项根据0指数幂定义计算，再合并同类二次根式即可；（2）应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类二次根式即可.试题解析：（1）(011π+-==.（2）((()2344951675-+=+--=. 考点：1.二次根式化简；指数幂；3.完全平方公式和平方差公式.23．（1）18282-+（2）3127112-+ （3）0)31(33122-++（4）)2332)(2332(-+【答案】（1）-3）6；（4）6- 【解析】试题分析：本题主要考查根式的根式的混合运算和0次幂运算.根据运算法则先算乘除法，是分式应该先将分式转化为整式，再按运算法则计算。
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)
(2)(两2 ( 73)0V27 |73 21 332 ,34.3考点：实数的混合运算• V20W1-1 ； (2)-32 •计算(1)【答案】(1) 【解析】试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案试题解析：(1).20 .5 .5,6 ； x(一 2x x) x3.x二次根式计算专题1计算：⑴3J6 4J2 3J6 4/2⑵(J3)2( J3)° J 27 |^3 2【答案】(1)22; (2) 6 4,3【解析】试题分析：(1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案(2)分别根据平方、非零数的零次幕、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案 试题解析：(1) 3.. 6 4.2 3 6 4.2(3 6)2(4 . 2)2=54 — 32 =22.(3 x 2 -x) 3、x x 3. x[X 丨二 (2)14~34 .计算:..3 6、643试题解析:.324 4.2 亠2 2 .2 鼻2 2 21 3.考点：二次根式的混合运算 3•计算：3、,12 2,1.48 2.3 •14【答案】3【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式 ，再算括号里面的，最后算除法. 试题解析. 1 _________ _ _ 2 _ — — 28 —3>/i22V48 2-J3=(6^/3 — V 3 4V3)2/3 —y/3 2J 3考点：二次根式运算.【答案】2,2. 【解析】试题分析：先算乘除、去绝对值符号 ，再算加减.试题解析：原式=3 2,3 ,3 2=2 •. 2考点：二次根式运算 5.计算： 、2 ,18 3(.3 2)【答案】3.3 .【解析】试题分析: 先将二次根式化成最简二次根式,再化简.试题解析: ,2 ,18 3(、一 3 2)=2 3、2 3.3 6 3、3考点：二次根式化简.6.计算：国€令【答案】【解析】试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可考点：二次根式的计算(2) 12014 1820147 •计算：,12 ...6 ,2 (,31)(.3 1).【答案】,3 2 .【解析】试题分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特别的能利用公式的应用 公式简化计算过程. 试题解析：、一歪 （、、3 1）（、.3 1） = 2.3 ...3 3 1 = ...3 2 .考点：二次根式的化简. 8•计算：12.2 出 32N2【答案】0. 【解析】试题分析：根据二次根式运算法则计算即可•试题解析：12 232.6 3、6 1；6 0. 2V 22考点：二次根式计算• 9 .计算：+1屁 73 .【答案】1 .3.【解析】试题分析：任何非零数的零次方都为 1，负数的绝对值等于它的相反数，再对二次根式进行化简即可. 试题解析： +1712丽1 2用1.考点：二次根式的化简.10 .计算:..8 3»'3,0.53 4【答案】 3显\3,22【解析】试题分析: 先化成最简二次根式 ,再进行运算.试题解析: 原式=2、23 2空=3,23」2 2 2 2考点：二次根式的化简. 11 .计算：12 .计算:( ..3 '..2)( .3 . 2) (1,3)0【答案】(1) 1 .15; (2) 3 2 .【解析】试题分析：(1)根据二次根式的运算法则计算即可 ；(2)针对有理数的乘方，零指数幕，二次根式化简，.绝对值4个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果 •试题解析：( 1 )27 ,7245 ■1 332J3 3逅1曲3,3 3.5 \頁1 届.3(2)1201418201422 31 3.21 2 233 .2 .考点： 1.实数的运算； 2.有理数的乘方;3.零指数幕；4. 二次根式化简;5.绝对值.【答案】、、2 . 【解析】试题分析：本题主要考查了二次根式的混合运算•熟练化简二次根式后，在加减的过程 中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再 化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待.本题中先根据平方差公式计算乘法以及 零指数幕的意义，去掉括号后，计算加减法. 试题解析： 解：原式=3 2 12=.2考点：二次根式的混合运算.13 .计算:-27： ( 2013)0 | 2.3|.【答案】4 3 1 . 【解析】试题分析：解：.27 - ( 2013)0| 2 33 3 3 1 2.34.3 1 .考点：二次根式化简、.8) ,12 【答案】(2) ( ..62.15) -.3 6 【解析】试题分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案 试题解析(3、2 -、.24+、、8) ? .. 12 (、.6 - 2 6 +2.. 2) ? 2、、3 (2 ..2 - , 6) ? 2.3 ,2 .6 —__ + _ -2 3考点：二次根式的混合运算【答案】辽-232【解析】试题分析：把二次根式化简，再合并同类二次根式即可求出答案 试题解析：卫-」J 1—2、.3-二-空—口-空V 2 V 32 3 3 2考点：二次根式的运算• 16 •化简：(1)50 32J8【答案】(1) 9； (2)6、、5 .【解析】 试题分析： 2(1)先去分母，再把各二次根式化为最简二次根式，进行计算;(2)直接利用分配律去括号，再根据二次根式乘法法则计算即可.试题解析：⑴原式汽严2 ；考点：二次根式的混合运算； 17 •计算(1) 27 .3、3 2(2)•、、12 . 3 2【答案】(1) 3 3； (2) 3.【解析】试题分析：(1)根据运算顺序计算即可(2)原式-,3 2. 15.3 3&32 6.5 32①',82|3a 233个考点分别进行计算，然后根据实数③根据二次根式运算法(2)将括号内化为最简二次根式后合并再平方运算即可 试题解析：(1) • 27,3 3 2 3.3 3 2 3 3 ,3 .____ 2 2 2(2)1232 33 3 3.考点：二次根式化简• 18 •计算：、1 (3 . 2 1)(1 3.2) f【答案】17. 【解析】 试题分析：先化简1和一8，运用平方差公式计算(3. 2 1)(1 3 2),再进行计算求丫24解•试题解析：原式=_1 18 1丄22 2=17考点：实数的运算•19 .计算:(3)0,27 |1213 2【答案】2, 3 .【解析】试题分析： 本题涉及零指数幕、二次根式的化简、分母有理化、绝对值化简4个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果. 试题解析：原式=1 3..3、、2 1 .3 , 2 2、、3考点：1 •实数的运算；2 •零指数幕；3 •分母有理化.20 .计算：14②14:③3【解析】试题分析：①针对算术平方根，绝对值，零指数的运算法则求得计算结果；②根据二次根式运算法则计算即可; 则计算即可•试题解析：①罷问2曲血1血1.2 .二次根式的加减法.• 3 ° (2) (3 . 5)2 (4 . 7)(4 V7)0指数幕定义计算，再合并同试题解析:(1) 273、、3八3 1 2-31(2) 3.5 2 4,74.79 6.5 516 76.5 5.0次幕运算.根据运算法则先算乘除②6乔 2^1 448 尿6応 |>/3 4/3 2爲害宾2/3③37 32 2 \23=6芒2；：= 6右i 2ai .考点：1.二次根式计算；2.绝对值；3.0指数幕. 21•计算：(1) ( 1)2012| 5(1)1湎 (罷 1)°(2) 3.12 3 11.48 .27V 3 2【答案】(1) 0; (2) 4、、3 . 【解析】试题分析：(1)原式=1 5 2 3 10 ；(2)原式=6 .一3 ,3 2、、3 3 3 4^ 3 . 考点：1.实数的运算； 22 .计算与化简(1).27 -3_【答案】(1) 2.3 1 ； (2) 6.5 5.【解析】试题分析：(1)将前两项化为最简二次根式，第三项根据类二次根式即可；(2)应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类二次根式即可考点：1.二次根式化简；2.0指数幕；3.完全平方公式和平方差公式23. (1) 2 .8 2 .18(3)2蔦 3(1.3)0(4) (2.3 3、.2)(2、3 3 一2)【答案】(1) 3、2 ； (2)；(3) 6 ； (4)69【解析】试题分析：本题主要考查根式的根式的混合运算和6乜2二2 2七1法，是分式应该先将分式转化为整式，再按运算法则计算。
专题16 二次根式的乘除（含答案）
专题16 二次根式的乘除知识解读1.二次根式相关法则 （1）乘法法则：ab ab =a ≥0，b ≥0）.a bc abc =a ≥0，b ≥0，c ≥0）.（2）除法法则：a ab b=（a ≥0，b ≥0）. （3）积的算术平方根：ab a b =⋅（a ≥0，b ≥0）.（4）商的算术平方根：a ab b=（a ≥0，b ＞0）. 2.分母有理化（1）分母形如a x 的二次根式，可分子、分母同时乘x .（2）分母形如a x b y +的式子，可利用平方差公式，分子、分母同时乘a x b y -，就可以化去分母中的根号. 3.最简二次根式（1）被开方数不含分式，也就是被开方数是整数或者是整式；（2）被开方数的每一个因数或者因式的指数都小于根指数2，即每个因数或者因式的指数都是1.培优学案典例示范一、二次根式的乘法 例1 计算：（1）0436..⨯； （2）32545223⨯. 【提示】可将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后将二次根式化简. 【解答】【技巧点评】二次根式变形的最后结果必须是最简二次根式，最简二次根式要求：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 跟踪训练 1.计算：（12330554a b .bc （2320((211548)3⨯.二、二次根式的除法 例2 计算：（1）1327()108÷； （2）(24118854)33÷⨯-.【提示】有括号的先算括号里面的，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转化为乘法再进行计算. 【解答】【技巧点评】两个二次根式相除，把根号前面的系数与系数对应相除，根号内的部分对应相除，被开方数对应相除时也可以用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行约分化简. 跟踪训练 2.计算：(23213022)232⨯÷-.三、分母有理化 例3 化简下列各式：（172 （22x y +； （353-； （4232332-； （5x y +.【提示】（12；（2x y +；（3）将分子、分母同时乘53+；（4）将分母提取6；（5）由于x y +的有理化因式x y -可能为零，所以不能将分子分母同乘x y -，可考虑将x y -利用平方差公式因式分解.【解答】 跟踪训练3.将下列各式分母有理化：（1）3540； （2）101280⨯； （3）233a a -+； （4）74323++.四、二次根式的化简 例4 化简:1232＝________. 【技巧点评】二次根式化简的思路很多，只要应用的法则有根有据就行. 跟踪训练 4.化简312aab＝________.【拓展延伸】 例5 比较大小：（1）323 （27582； （351-05.； （4）12m m ++与23m m ++； （5）213与327+； （6）148-与82-【提示】（1）可把前面的系数乘到根号内，然后比较被开方数的大小；（2）可比较两数平方的大小；（3）将两数相减，看差是正数还是负数；（4）将两数相除，比较商与1的大小；（5）可用估值法；（6）将148-与82-看作1481-与821-，然后分子、分母分别同时乘148+和82+.【解答】跟踪训练 5.比较大小：（1）43与34； （2）611+与143+； （3）332+与531-；（4102652； （531-21-； （615141413【竞赛链接】例6 （希望杯试题）322322+-的结果是 ( ) A .3 B . 12 C . 22+D . 22 【提示322322+-. 跟踪训练6.（希望杯试题）如果7352x y +=-，7253x y -=-，那么xy 的值是 （ ）A . 3332+B . 3332-C . 7352-D . 7253-培优训练直击中考 1.★化简13232-+-的值是 （ ） A .0 B . 23 C . 23- D . 4 2.★计算35210⨯的结果应该是 （ ） A .300 B . 302 C . 605 D . 300 3.★y ＞0时，3x y -= （ ） A . x xy - B . x xy C . x xy -- D . x xy -4.★计算：3427a b ＝________；3239()x y x y +＝________. 5.★计算： （1）273； （2）(23418)58÷-.6.★计算： （13022043.； （2320((211548)3-⨯.7.★比较下列各式大小：（1）21135 （2）2736 （3148115；（4）62-与2； （5）237-与73-.8.★当a ＝-3，b ＝-2时，求322442b a a b ab a b b-+-的值.挑战竞赛1. ★★把二次根式1a a-化为最简二次根式是 （ ） A . a B . a - C . a -- D . a - 2.★★（希望杯试题）设11n n x n n+=++11n ny n n +=+-，n 为正整数，如果22221922015x xy y ++=成立，那么n 的值为 （ ） A . 7 B . 8 C . 9 D . 10114142.≈≈________（精确到0.01，22141422222.==≈≈⨯________（精确到0.01）. （2）在下列各题的横线上填上最简单的二次根式，使它们的积不含根号： 3×________； ②26×________； 32________；22a ________； 38x ________1x -×________；（3）根据以上问题解答过程所得到的启发求下列各式的值（精确到0.01）： ①63； ②2105； ③63214； ④15..中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。
详解：八年级下册二次根式的计算专题
详解：八年级下册二次根式的计算专题
一、引言
本文将详细讨论八年级下册数学课程中关于二次根式的计算专题。
我们将介绍如何计算二次根式以及相关的基本概念和规则。
通过本文的学习，您将能够更好地掌握和应用二次根式的计算方法。
二、基本概念
1. 二次根式
二次根式是指形如√a的数学表达式，其中a为一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数被称为被开方数。
2. 二次根式的计算
计算二次根式时，我们可以遵循以下基本规则：
- 如果被开方数是一个完全平方数，那么二次根式的结果就是这个数的平方根。
- 如果被开方数不是完全平方数，那么我们需要将其分解为质因数的乘积，然后将每个质因数的二次根式计算出来，最后将它们相乘。
三、计算示例
1. 计算完全平方数的二次根式
例如，计算√16的值：
- 16是一个完全平方数，它的平方根为4。
- 因此，√16的值为4。
2. 计算非完全平方数的二次根式
例如，计算√18的值：
- 首先，将18分解为2和9的乘积。
- √2和√9分别为不完全平方数2和完全平方数3。
- 因此，√18可以计算为√2 × √9，即2√3。
四、总结
通过本文的介绍，我们了解了八年级下册二次根式的计算专题。
我们学习了二次根式的基本概念和计算方法，并通过示例进行了实
际操作。
掌握这些知识后，我们可以更加熟练地计算二次根式，并
在解决数学问题时应用它们。
希望本文对您的学习有所帮助！。
初中数学复习二次根式的运算与应用
初中数学复习二次根式的运算与应用初中数学复习：二次根式的运算与应用一、引言二次根式是初中数学中的重要内容之一，在日常生活和实际问题中广泛应用。
本文将重点介绍二次根式的基本运算法则以及在应用问题中的实际运用。
二、二次根式的基本运算法则1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a 的数，其中 a 为非负实数。
2. 二次根式的四则运算（1）同类项的加减法对于同类项的二次根式来说，可以直接对根号下的数进行加减运算，同时保持根号不变。
例1：化简√2 + 3√2。
解：√2 + 3√2 = 1√2+ 3√2 = 4√2。
（2）乘法法则二次根式的乘法法则为：√a * √b = √(a * b)。
例2：化简2√3 * 5√5。
解：2√3 * 5√5 = 10 * √(3 * 5) = 10√15。
（3）除法法则二次根式的除法法则为：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0。
例3：化简√16 / √4。
解：√16 / √4 = √(16 / 4) = √4 = 2。
三、二次根式的应用1. 长方形的对角线对于一个长方形，其长为 a，宽为 b，对角线的长度可以表示为√(a^2 + b^2)。
例4：一个长方形的长为4 厘米，宽为3 厘米，求其对角线的长度。
解：对角线的长度= √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5 厘米。
2. 半径与周长的关系对于一个圆的半径为 r，其周长可以表示为L = 2πr，其中π 是一个常数（近似值为 3.14）。
例5：已知一个圆的周长为6π，求其半径的值。
解：周长L = 2πr，根据题意可得6π = 2πr，解得 r = 3。
3. 直角三角形的斜边在一个直角三角形中，已知两条直角边的长度分别为 a 和 b，斜边的长度可以表示为c = √(a^2 + b^2)。
例6：一个直角三角形的直角边分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解：斜边的长度= √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 厘米。
八年级数学上册二次根式二次根式的加法和减法小专题二次根式的计算与求值
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13、二次根式的运算
二次根式的运算知识点1、二次根式的乘除法1、乘法法则：两个二次根式相乘，就是把被开方数相乘作为积的被开方数将被开方数，根指数不变。
如果ab b a b a =⋅≥≥那么有,0,0反之ab =b a ⋅0,0≥≥b a 即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数积的算术平方根注：①这里的b a ,即可以是数，也可以是代数式，但都必须满足0,0≥≥b a ；②二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．2、除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除作为商的被开方数将被开方数，根指数不变。
如果b a ba b a =>≥那么有,0,0反之bab a =0,0≥≥b a 即两个非负数（除数不为0）的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
例2、二次根式除法计算知识点2、二次根式的化简1、最简二次根式的条件①根号内不含有开得尽方的因数或因式；②被开方的因数是整数，因式是整式：被开方数不含分母。
例3、最简二次根式的识别2、分母有理化（1）定义：二次根式除法的运算，通常采用把分子、分母同乘一个式子化去分母中的根号的方法来进行。
把分母去根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称作这两个代数式互为有理化因式.（3）常见的有理化因式的形式a a 和，b a b a +-和，bn a m b n a m -+和注意：分母有理化的关键是确定分母的有理化因式。
（4）分母有理化方法1）直接对ba分母有理化：法一：化为ba，然后分母有理化为b ab 法二：根据分式的性质，bab b ab ba==22）利用平方差公式法：()()aa a a+-+=111-11()()ba b a b a ba +-+=-1注：一个二次根式的有理化因式不唯一的，一般情况找最简单的。
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二次根式
一、选择题
1.若二次根式有意义，则的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.如果，那么（）
A. B. C. D.
3.要使式子有意义，则x的取值范围是（）
A.x＞1
B.x＞﹣1
C.x≥1
D.x≥﹣1
4.若代数式有意义，则x的取值范围是（）
A.x＞1且x≠2
B.x≥1
C.x≠2
D.x≥1且x≠2
5.
若=1﹣x，则x的取值范围是（）
A.x＞1
B.x≥1
C.x＜1
D.x≤1 6．下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
7．下列各式计算正确的是（）
A．B．（a＞0）
C．=×D．
8．下列计算错误的是（）
A．•=B． +=C．÷=2 D．=29．下列计算正确的是（）
A．a2•a3=a6B．
C．D．
10．下列计算正确的是（）
A．B．=2 C．（）﹣1=D．（﹣1）2=2
二、填空题
11.计算的结果是
12.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是
13.若，则_______ ,___________ ．
14.已知x，y 为实数，且（y﹣2）2=0，则x﹣y= ．
15.如果最简二次根式与是同类根式，那么
16.化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．
三、解答题
17．（+）（﹣）18．（ +）2﹣19．（）（）﹣
4．
20.
21.(3＋1)(3－1)－(2－3)2. 22.(3+)(3﹣)﹣(﹣1)2．
23．.÷﹣×+．24.
25 .×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．26．﹣32÷+|﹣3| 27．（ +）×．28．（﹣1）2015+（2﹣）（2+）．29.先化简,再求值:( +)÷,其中a,b 满足+|b ﹣|=0．
30. 先化简,再求值: ，其中
.
31.先化简，再求值：⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
+
÷
-
-
ab
b
a
ab
b
a
b
a
2
1
2
2
2
2
2
2
，其中11
3-
=
a，11
3+
=
b.。