第六章 模拟信号数字处理

这里Pδ(t)是周期性单位冲激信号，周期是T，它的 傅立叶变换是强度为 2π/T 的周期性单位冲激串，频率
在nΩs处，用公式表示如下：
2 P (j ) ( n ) s Tn
fs表示采样频率，Ωs和fs之间的关系如下：
(6.2.4)
式中，Ωs称为采样角频率，T称为采样间隔，如用
2 2 fS s T
按照 (6.2.3) 式，采样信号等于模拟信号乘以周期 单位冲激信号，那么采样信号的傅立叶变换等于模拟
信号的傅立叶变换卷积周期性单位冲激信号的傅立叶
变换，推导如下： 1 ˆ Xa( j) Xa( j)P ) ( j 2 1 2 Xa( j) (n d s ) 2 T n
(a )

－
c
0

c
P ( j )
(b )

－
s
0
Xˆ a (j Ω )

s
(c )

－
s
－
s
/2
0

s
/2

s
Xˆ a (j Ω )
(d )

－
s
0
/ 2 s
c

s
图6.2.2 采样信号的频谱
如果让采样信号通过理想低通滤波器 G(jΩ) ，如图 6.2.3 所示，毫无疑问, 理想低通滤波器的输出ya(t)就等于原来的 模拟信号xa(t)，用公式表示如下：
n

ˆa(t) xa(t) P x t) xa(t) (t nT ) (
n
式 中 ， 只 有 当 t=nT 时 ， δ 信 号 才 有 非 零 值 ， 即
ˆ a ( t ) 才有非零值，因此也可以写成下式： x
ˆ x ( t ) x ( nT ) ( t nT ) a a
n

(6.2.3)
ˆ a ( t ) 的表达式。下面转换到频域 上式是采样信号 x
进行研究，推导采样前后信号的频谱函数的变化。假
ˆ ˆ X ( j ) FT [ x ( t )], X ( j ) FT [ x ( t )], P ( j ) FT [ P ( t ) a a a a
1 Xa( j)(n d s ) T n
式中，只有在θ=Ω-nΩs时，才有非零值，因此得到:
1 ˆ( X ) X ( j jn ) a j a s T n ຫໍສະໝຸດ Baidu
ˆa (t ) 的 上式表示模拟信号经过采样，得到的采样信号 x
6.2.1 时域采样定理 对模拟信号进行采样 , 可以看成让模拟信号 xa(t) 通
过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每
次 合 上 时 间 为 τ<< T，在电子开关输出端得到信 号 x ˆ a ( t ) ，如图6.2.1(a)所示。该过程相当于将模拟信号 乘上一个周期性矩形脉冲串PT(t)，得到
ˆ x ( t ) x ( t ) P ( t ) a a T
x a(t ) S
ˆ x a (t )
x a(t )
ˆ x a (t )
x a(t )
P (t ) ， P (t ) x a(t ) 0
0
t P (t )
t P ( t )
0
ˆ x a (t )

T
t
0
ˆ x a (t )
第六章 模拟信号数字处理
6.1 模拟信号数字处理的原理框图
6.2 采样频率的确定 6.3 将模拟信号转换成数字信号(A/DC)
6.4 将数字信号转换成模拟信号(D/AC)
6.5 对数字信号处理部分的设计考虑 6.6 6.7 用DFT(FFT)对连续信号进行频域分析
6.1 模拟信号数字处理的原理框图
x ( t ) a
预 滤
A / D C
数 字 信 号 处 理D / A C
y ( t ) a 平 滑 滤 波
图6.1.1 模拟信号数字处理的原理框图
6.2 采样频率的确定
用采样间隔 T对模拟信号 xa(t)进行等间隔采样，得 到时域离散信号x(n)，公式如下： x(n) =xa(nT)=xa(t)|t=nT (6.2.1)
假设xa(t)是带限信号，其频谱函数的最高频率为Ωc， 它 的 频 谱 函 数 示 意 图 如 图 6.2.2(a) 所 示， Pδ(t) 的频谱 Pδ(jΩ)示意图如图6.2.2(b)所示。按照(6.2.5)式,
ˆ a ( j) 则如图6.2.2(c)所示。 ˆ a ( t ) 的频谱 X x
因为基带谱处在Ω=0附近，如果基带谱和其他延拓
谱不重叠，完全可以用一个理想低通滤波器从这些以
Ωs 为重复周期的重复谱中把基带谱滤出来。该理想低 通滤波器的传输函数G(jΩ)
T G( j) 0
1 | | s 2 1 | | s 2
(6.2.6)
X a ( j )
T
t
0 (a )
t
0 (b )
t
图6.2.1 对模拟信号进行采样
如果让电子开关合上的时间τ→0，则形成理想采样， 此时周期性矩形脉冲串变成周期性单位冲激串 Pδ(t) ，
周期为T，强度为1。得到的采样信号
6.2.1(b)所示，用公式表示如下：
ˆδ x (tt ) 和P )如图 a(
(6.2.2)
P t) (t nT ) (
频谱函数和原来信号 xa(t) 频谱函数之间的关系。如果把上 式展开，得到: 1 ˆ X ( j ) [... X ( j j ) X ( j ) X ( j j ) a a s a s a s T X ( j j 2 ) ...] a s
模拟信号数字处理的原理框图如图6.1.1 数字信号处理方法是采用对输入信号进行计算的 方法，使用的工具是计算机，因此必须把模拟信号转 变成数字信号，才能适合计算机的要求。图 6.1.1 中的 A/DC(Alalog/Digital Converter) 部分完成模拟信号到数 字信号的转变。数字信号处理完以后，再将数字信号 通过D/AC(Digital / Alalog Converter)转换成模拟信号。 这样整个系统的输入和输出信号仍然是模拟信号形式， 因此A/DC和D/AC起着信号形式的匹配作用。