《7.3.2 圆的一般方程》课件1-优质公开课-湘教必修3精品
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《7.3.1 圆的标准方程》课件1-优质公开课-湘教必修3精品
答案 C
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3．圆的直径端点为A(2,0)，B(2，－2)，则此圆的标准方程为 ________________________．
解析 由已知得圆心为AB的中点(2，－1)， 1 半径r＝2 2－22＋－2－02 ＝1， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0， a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0， a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10.
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2．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(
A．x2＋y2＝25 C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 解析 B．x2＋y2＝5
)．
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
设圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝r2.
将点(0，0)坐标代入上述方程，得r2＝25.
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
∴圆心为(－1，－2)，半径 r＝ 2＋12＋－3＋22＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
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法三 设点 C 是圆心． ∵点 C 在直线 l 上，∴设点 C(2b＋3，b)． 又∵|CA |＝ |CB |， ∴ 2b＋3－22＋b＋32＝ 2b＋3＋22＋b＋52， 解得 b＝－2，∴圆心 C(－1，－2)，半径 r＝ 10， 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
d>r
d＝r
d<r
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3．圆的直径端点为A(2,0)，B(2，－2)，则此圆的标准方程为 ________________________．
解析 由已知得圆心为AB的中点(2，－1)， 1 半径r＝2 2－22＋－2－02 ＝1， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0， a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0， a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10.
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2．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(
A．x2＋y2＝25 C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 解析 B．x2＋y2＝5
)．
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
设圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝r2.
将点(0，0)坐标代入上述方程，得r2＝25.
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
∴圆心为(－1，－2)，半径 r＝ 2＋12＋－3＋22＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
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法三 设点 C 是圆心． ∵点 C 在直线 l 上，∴设点 C(2b＋3，b)． 又∵|CA |＝ |CB |， ∴ 2b＋3－22＋b＋32＝ 2b＋3＋22＋b＋52， 解得 b＝－2，∴圆心 C(－1，－2)，半径 r＝ 10， 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
d>r
d＝r
d<r
7.3.1圆的标准方程课件-湘教版必修3
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
a 2, b 3, r 5.
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆 心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
1 a2 1 b2 r 2
2 a2 2 b2 r 2
a b 1 0
a 3 解得b 2
r 5
方法3 因为圆心在直线x－y+1＝0上， 所以可设圆心C的坐标为(a，a+1).又因为|CA|＝|CB|，
a 12 a 112 a 22 a 1 22
解得a＝-3.
所以圆心为(-3，-2)，半径长 r＝|CA|＝5.
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7) ， M 2 ( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
把 M1(5,7的) 坐标代入方程 (x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点M 1 的坐标合适圆的方程，所以点 M 1在这个圆上；
几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程的形式
圆心在原点
x2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2>0)
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在 y 轴上
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在 x 轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在 y 轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
《圆的方程》课件
核心要点
理解圆的定义、性质、与直 线和圆的交点，以及各种应 用场景。
实践练习
通过练习题和实际问题，巩 固对圆的方程与应用的理解。
圆的方程
1 一般式
圆的一般式方程是(x - a)²+ (y - b)²= r²。
2 标准式
圆的标准式方程是(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)是圆心坐标。
3 参数方程
圆的参数方程是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)是圆心坐标。
圆与直线的交点
应用举例
游乐园中的摩天轮
摩天轮是由一系列圆形构成的， 给游客带来乘风破浪的感觉。
地球的轨道
射箭运动中的心
地球绕太阳运行的轨道接近椭圆， 而不完全是一个完美的圆。
在射箭运动中，靶心通常是一个 圆，射手需要准确瞄准并打在靶 心上。
结论和要点
重要结论
圆的方程有多种形式，包括 一般式、标准式和参数方程。
《圆的方程》PPT课件
欢迎来到《圆的方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索圆的定义、性 质以及各种方程和应用举例。让我们开始这个精彩的旅程吧！
圆的定义和性质
1 什么是圆？
圆是平面上所有离圆心距 离相等的点的集合。
2 关键性质
圆的重要性质包括半径、 直径、弧长、面积等。
3 有趣的事实
圆在自然界和建筑中广泛 应用，如太阳、月亮、车 轮等。
1
切线
当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点。
2
相交两点
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点。
3
不相交
当直线不与圆相交时，直线与圆没有交点。
圆的一般方程公开课课件
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程有两个相等实根 ，则两圆相切。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
圆的一般方程课件
切点坐标的求解
利用切线与半径垂直的性质，求出切点坐标。
圆的面积和周长求解
面积求解
利用圆的面积公式$S=pi r^2$，求出圆的面积。
周长求解
利用圆的周长公式$C=2pi r$，求出圆的周长。
06
总结与回顾
本章重点回顾
1 2
圆的一般方程
$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中D、E、 F为常数，且D^2 + E^2 - 4F > 0。Fra bibliotek圆的一般方程课件
• 引言 • 圆的一般方程 • 圆的性质 • 圆的实际应用 • 圆的解题方法 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
圆的一般方程
本课件将介绍圆的一般方程及其 在几何学中的应用。
学习目标
通过本课件的学习，学生将掌握 圆的一般方程的推导、理解和应 用，提高解决几何问题的能力。
学习目标
01
圆周角定理
不在同一直线上的三个点可以确定一 个唯一的圆，这三个点称为圆的三个 不共线的点。
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于该弧所对的圆心角的一半。
圆的直径和半径
直径是经过圆心的弦，是圆中最长的 弦；半径是连接圆心和圆上任意一点 的线段。
圆的对称性
01
02
03
中心对称
圆关于其圆心对称，即任 意一点关于圆心对称的点 也在圆上。
科学中的圆
天文学
天文学中行星和卫星的运动轨迹常常是圆形或椭 圆形的，而圆形轨迹则是其中的一种特殊情况。
物理学
物理实验中常常需要用到各种圆形的器材，如圆 形的光束、圆形的电流等。
化学
化学实验中常常需要用到各种圆形的实验器材和 设备，如圆形烧杯、圆形滤纸等。
利用切线与半径垂直的性质，求出切点坐标。
圆的面积和周长求解
面积求解
利用圆的面积公式$S=pi r^2$，求出圆的面积。
周长求解
利用圆的周长公式$C=2pi r$，求出圆的周长。
06
总结与回顾
本章重点回顾
1 2
圆的一般方程
$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中D、E、 F为常数，且D^2 + E^2 - 4F > 0。Fra bibliotek圆的一般方程课件
• 引言 • 圆的一般方程 • 圆的性质 • 圆的实际应用 • 圆的解题方法 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
圆的一般方程
本课件将介绍圆的一般方程及其 在几何学中的应用。
学习目标
通过本课件的学习，学生将掌握 圆的一般方程的推导、理解和应 用，提高解决几何问题的能力。
学习目标
01
圆周角定理
不在同一直线上的三个点可以确定一 个唯一的圆，这三个点称为圆的三个 不共线的点。
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于该弧所对的圆心角的一半。
圆的直径和半径
直径是经过圆心的弦，是圆中最长的 弦；半径是连接圆心和圆上任意一点 的线段。
圆的对称性
01
02
03
中心对称
圆关于其圆心对称，即任 意一点关于圆心对称的点 也在圆上。
科学中的圆
天文学
天文学中行星和卫星的运动轨迹常常是圆形或椭 圆形的，而圆形轨迹则是其中的一种特殊情况。
物理学
物理实验中常常需要用到各种圆形的器材，如圆 形的光束、圆形的电流等。
化学
化学实验中常常需要用到各种圆形的实验器材和 设备，如圆形烧杯、圆形滤纸等。
数学同步优化指导(湘教版必修3)课件：7.3.2 圆的一般方程
2．已知A(6,0)，B(－2,0)，C(－3,3)，D(6,3)，判断A，B，
C，D四点是否共圆．
解：设过 A(6,0)，B(－2,0)，C(－3,3)的圆的方程为 x2＋y2 ＋Dx＋Ey＋F＝0，把 A，B，C 三点的坐标代入得 62＋02＋6D＋E· 0＋F＝0， 0＋F＝0， －22＋02－2D＋E· －32＋32－3D＋3E＋F＝0， D＝－4， 解得E＝－6， F＝－12.
解析：法一 设圆 C 的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 12 D＝－ 5 ， F＝0， 2D＋E＋F＋5＝0， 1 由题意，得 解得 D E＝－5， － ＋E＝1. 2 F＝0. 12 1 2 2 所以圆的一般方程为 x ＋y － x－ y＝0. 5 5
B．x2＋y2－4x－4y＋3＝0
C．x2＋y2＋4x＋4y＋3＝0 D．x2＋y2＋2x＋2y－3＝0
解析：因为 A，B 是圆上两点，由圆的几何性质知圆心在 AB 的垂直平分线上，AB 的垂直平分线为 x＝2，所以圆心横坐 标为 2，又圆心在直线 x－2y＋2＝0 上，所以令 x＝2，即 2－ 2y＋2＝0， 得 y＝2.所以圆心为(2,2)， 半径 r＝ 2－12＋2－02 ＝ 5.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5，即 x2＋y2－4x－4y ＋3＝0，故选 B.
答案：B
利用直接法求解虽然思路简明但计算量太 大，在计算几何性质巧妙解题计算量小，直观，AB中点不易求错，圆心坐
标易得，得分率高，且易于检验．
3 ．已知圆 C 经过原点 O 和 A(2,1) ，且圆心在直线 x － 2y － 1 ＝0上，则圆C的方程为________．
1 1 解得 m< ，故 m 的取值范围为－∞，5 . 5
高中数学 7.3.2 圆的一般方程学案 湘教版必修3(2021年整理)
7。
3。
2 圆的一般方程1．方程x 22(1)圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的圆心坐标为__________，半径为__________． 提示：（1，－2） 3（2)方程x 2＋y 2＋3x －4y ＋a ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是__________． 提示：错误!2．求圆的方程的方法(1)公式法：求圆心坐标和半径的方法．（2)待定系数法：列方程求D ,E ，F 的方法．(1）平面内任一圆的一般方程都是关于x ,y 的二元二次方程，反之是否成立？提示：不一定．如方程x 2＋2xy ＋y 2＝0，即x ＋y ＝0，代表一条直线，而不是一个圆．(2)已知点M (x 0，y 0)和圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0),如何判断点M 与圆的位置关系？提示：一、圆的判别及标准方程与一般方程的互化 【例1】判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径．本题可直接利用D 2＋E 2－4F ＞0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．解法一:由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0, 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20（m －2)2, 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为（2m ，－m ），半径为r ＝错误!错误!＝错误!｜m －2|。
解法二：原方程可化为(x －2m ）2＋(y ＋m )2＝5（m －2）2，因此，当m ＝2时,它表示一个点；当m ≠2时,原方程表示圆的方程,此时，圆的圆心为(2m ,－m ），半径为r ＝错误!|m －2｜.对于这个类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数相等，②不含xy的项;当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数即可．1－1下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径．（1）2x2＋y2－7y＋5＝0；(2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；（3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4）2x2＋2y2－5x＝0.解：(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2）∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为（x－1）2＋(y－2)2＝－5,∴它不能表示圆．(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为错误!2＋y2＝错误!2，∴它表示以错误!为圆心，错误!为半径的圆．二、求圆的一般方程【例2】已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B（－2，－2），C(5，5），求其外接圆的一般方程．设出圆的一般方程，然后将已知点的坐标代入方程组成方程组，解方程组求出D，E,F，也可用圆的几何性质求解．解法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0),由题意得错误!解得错误!故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.解法二：由题意可求得弦AC的垂直平分线的方程为x＝2，BC的垂直平分线的方程为x＋y－3＝0，由｛x＝2，解得错误!x＋y－3＝0，∴圆心P的坐标为(2，1）．圆的半径r＝|AP|＝错误!＝5。
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(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的 点． 求曲线的方程是解析几何中两大问题之一，它贯穿于整个解 析几何，上述方法是求曲线方程的最基本、最常用的方法．在(1) 中建立适当的坐标系，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中 点为原点，使其具有对称性，这样可以使方程尽可能地简单．
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自主探究 探究1：所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都 表示圆吗？
提示 不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆，D2＋E2－4F 取值不同，对应图形如下表.
方程 条件 D2＋ E2－ 4F<0 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0 D2＋ E2－ 4F>0 D2＋ E2－ 4F＝ 0 图形 不表示任何图形 D E 表示坐标为 (－ ，－ )的点 2 2 D E 表示以 (－ ，－ )为圆心，以 2 2 1 D2＋ E2－ 4F为半径的圆 2
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探究2：圆的标准方程和一般方程体现了圆的什么特点？
提示 由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以看出圆心 坐标C(a，b)和半径r，圆的几何特征明显． 而由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 知道圆的方程是一种特殊的二元一次方程，圆的代数特征明显．
解析 将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 故圆心坐标为(1,1)，半径r为1. |3＋4＋8| ∴圆心到直线的距离d＝ ＝3. 5 ∵d>r，∴直线与圆不相交． ∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2.
答案 2
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名师点睛 1．圆的标准方程与一般方程的特点对比
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3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系
2 (1)x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F>0⇔点P在圆外． 2 (2)x2 0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F＝0⇔点P在圆上． 2 (3)x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F<0⇔点P在圆内．
3 解析 圆心(2， )，半径r＝ 2
2
3 2 5 2－0 ＋ －0 ＝ ， 2 2
2
3 2 25 ∴圆的标准方程为(x－2) ＋(y－ 2 ) ＝ 4 ，化为一般方程为x2 ＋y2－4x－3y＝0.
答案 x2＋y2－4x－3y＝0
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4．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0 的距离的最小值为________．
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预习测评 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( A．(4，－6) B．(2，－3) C．(－2,3) D．(2，－3)
解析
)
r＝16 r＝4 r＝4 r＝16
将圆的一般方程化成标准方程为
(x＋2)2＋(y－3)2＝42.
答案 C
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标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 指出了圆心坐标和半径大 小，几何特征明显 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2 ＋E2－4F>0) 是一种特殊的二元二次方 程，代数特征明显
二者都含有三个待定的系数，要确定方程，均需要三个 独立条件
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2.圆的方程的确定 (1)确定圆的标准方程和圆的一般方程分别需要确定三个量 a，b，r和D，E，F.因此都需要三个独立的条件，在圆的标准方 程中，圆心是定位条件，半径是定量条件，在圆的一般方程中， D2＋E2－4F>0是必须具备的先决条件．
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2．若方程 x2 ＋ y2 － 4x＋ 2y ＋ 5k＝0表示圆，则 k的取值范围
是( )． A．k>1 C．k≥1 解析 B．k<1 D．k≤1
由方程表示圆的条件，得16＋4－20k>0，∴k<1.
答案
B
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3．以A(0,0)，B(4,3)点为直径的两个端点的圆的一般方程是 ____________．
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4．求轨迹方程的五个步骤 (1)设点：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点 M的坐标； (2)列式：写出适合条件p的点M的集合p＝{M|p(M)}； (3)代换：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；
7.3.2 圆的一般方程
【课标要求】 1．会用待定系数法求圆的一般方程． 2．会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化． 3．通过对含参数的二元二次方程的研究，探索二元二次方 程表示圆的充要条件．
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自学导引 1．圆的一般方程的概念 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当 D2＋E2－4F>0 时，方程叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的 D E 1 2 圆的圆心为(－ 2 ，－ 2 )，半径长为2 D ＋E2－4F.
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典例剖析 题型一 圆的方程的判断 【例1】 方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，求实数a的 取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程．
(2)对于一般的二元二次方程，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝ 0，若表示圆必须有：①A＝C≠0；②B＝0； D 2 E 2 4F ③( ) ＋( ) － >0，即D2＋E2－4
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(3)求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆 的方程的大致步骤是： ①根据题意所给条件，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． (4)求圆的方程时要注意与平面几何知识相联系(如圆的几何 性质)可使问题简单化．