基于Weibull分布的次序统计量的随机比较
关于Weibull分布顺序统计量的分布性质
安庆师范学院学报（ 然科学版） 自
Ｊ ｕ ａ ｏ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅ ｏ ｅ ｅ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ Ｅ ｉ ｎ ｏ ｒ ｌ ｆ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｍ Ｃ ｌ ｇ （ ａｕ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｎ Ａ ｎ ｌ ａＳ ｅ ｔ ｏ
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定理 １ 设 ｛ ， ≤ｋ ｝ 立同分布 ， １ ≤ 独： 且 服从参数为（ 叼 的韦布尔分布 ， （ ， （ ， ，（ ｍ， ） Ｘ １ Ｘ … Ｘ ） ） ）
收 稿 日期 ：２ １ ０ ２ ０ １— ２— ３
基金项 目：安徽工程科技学院青年基金项 目（０ ７ Ｑ ｌ ） ２ ０ Ｙ Ｏ Ｓ 资助。 作者简 介：姜培华 ， ， 男 山东曹县人 ， 安徽工程大学数理学院讲师 ， 硕士 ， 研究方向 ： 概率统计和随机过程。
Ｆ ｂ． Ｏ ２ ｅ ２ １ ＶＯＩ１ ． ８ ＮＯ． １
关于 Ｗｅ ｕ 分布顺序统计量的分布性质 ｉｌ ｂ１
姜培华
《 ： 安徽工程大学 数理学院 ， 安徽 芜湖 ２ １ ０ ４０ ） ０
Weibull分布最大值吸引场次序统计量的不等式及应用
文章 编 号 ：ｌ ０ ０ ８ — ５ ４ ７ ５ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ — ０ ０ ４ １ — ０ ３
Ａｎ Ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ Ｏｒ ｄ ｅ ｒ Ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ｉ ｎ Ｍａ ｘ ｉ ｍｕ ｍ Ｄｏ ｍａ ｉ ｎ ｏ ｆ Ａｔ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
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（ １ ）
收 敛 的条 件 ． 很 多 文献都研 究 了这个 问题 ． 如， Ｈｓ ｕ 与 Ｒｏ ｂ ｂ ｉ ｎ ｓ …（ １ ９ ４ ７ ） 、 Ｅ ｒ ｄ ６ ｓ（ １ ９ ４ ９ ， １ ９ ５ ０ ［ ３ １ ） 考 虑
了 当 （ ） ＝１ ， ） ＝ 时 的结果 ； 当０ ＜ ｐ ＜ ２ 时， Ｂａ ｕ ｍ、 Ｋａ ｔ ｚ Ｌ ４ （ １ ９ ６ ５ ） 对 （ ） ＝Ｘ ， ｆ （ ｘ ） ＝Ｘ 进 行 了 讨 论 ，
Ｂｉ ｎ ｇ ｈ ａ ｍ、 Ｇｏ ｌ ｄ ｉ ｅ ［ ５ （ １ ９ ８ ８ ） 对 更一 般 的情 况进 行 了研 究 ． 众所 周知 ， 次 序 统 计 量 在 实 际 问题 中有 着 广 泛 的 应 用 ， 对 其 性 质 的 讨 论 历 来 是 一 个 热 点 问题 ， 严
假设 ｛ ， Ｉ ， ２ ≥１ ） 为 非退化独立 同分布（ ． ｆ ． ｄ ． ） 随机变量序列 ， 具有共 同的分布 函数Ｆ． 记部分和为
Ｓ ＝ ∑Ｘ ｉ ， ≥ １ ． 自 Ｈ ｓ ｕ 与Ｒ ｏ ｂ ｂ ｉ ｎ ｓ （ １ ９ ４ ７ ） … 引 入完 全收 敛的 概念后， 出 现了很多 结果． 最初考虑级数
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法
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6
起始時間(h) 結束時間(h) 失效樣本數(個)
0
500
1
5006002 Nhomakorabea600600
1
600
700
6
700
*
4
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7
分別輸入 “起始時間(h)” “結束時間(h)”“失效樣
本數(個)”
選擇“Weibull”
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8
結果分析
精选ppt课件得出形狀參數m=8.55
威布爾(Weibull)分布的可靠 性/壽命試驗方法
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1
在產品早期失效期以及耗損失效期, 其失效率曲線是符合Weibull分布.
因此, 本試驗方法是基于產品開發階段 的壽命是服從Weibull分布.
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➢1. 雙參數Weibull分布模型
概率f密 t度 mtm1etm,
平是95.05%.
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➢3. 如果某种產品的Weibull形狀參數m已經 确定, 則可做為經驗值供今後進行同類產 品試驗時參考.
➢4. 當Weibull形狀參數已知時, 可利用 MINITAB程序确定壽命試驗樣本的數量.
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案例二:利用MINITAB程序确定壽命試驗 樣本數量實例
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➢ 某新產品開發過程中,客戶要求90%的產品 壽命需達到500小時,QA根据以往經驗,認 為該類型產品的壽命服從Weibull分布(形 狀是8.55),每個測試樣辦的測試時間為 600小時.若不允許有樣本失效,請用 minitab确定需要多少樣本進行測試,才能 确保90%的產品壽命能達到500小時.
从几个次序统计量出发的二参数Weibull分布的参数估计
从⼏个次序统计量出发的⼆参数Weibull分布的参数估计Ξ第4卷 第1期2005年3⽉ 太原师范学院学报(⾃然科学版)JOURNA L OF T AIY UAN TE ACHERS C O LLEGE(Natural Science Edition) V ol.4N o.1 Mar.2005从⼏个次序统计量出发的⼆参数Weibull分布的参数估计郭德怀(江苏财经职业技术学院,江苏淮安223001)〔摘要〕 从两个或三个次序统计量出发,讨论了⼆参数Weibull分布的参数估计问题,在实际数据的缺失、删失、截尾等情况下,为可靠性试验的数据处理提供了⼀种有效的估计⽅法.〔关键词〕 次序统计量;⼆参数Weibull分布;参数估计〔⽂章编号〕 167222027(2005)0120004204 〔中图分类号〕 O213;T B114〔⽂献标识码〕A设产品寿命T～Weibull(η,γ),其分布函数为F T(t)=1-exp-tη1γ,η>0,γ>0,t>0.(1)记µ=lnη,则Tη1γ服从标准指数分布;X=1n T服从极值分布(也称对数Weibull分布),其分布函数为F X(χ)=1-exp-expχ-µγ,γ>0,-∞<µ<+∞.(2)再令Y=X-µγ=lnT,则Y服从标准极值分布,其分布函数为F Y(y)=1-exp(-e y) .(3)设有来⾃⼆参数Weibull分布的样本量为N的样本T1,T2,…,T N,T(1)≤T(2)≤…≤T(N)为其次序统计量,则相应的X(1)≤X(2)≤…≤X(N)可看作是来⾃极值分布的样本量为N的样本的次序统计量,Y(1)≤Y(2)≤…≤Y(N)可看作是来⾃标准极值分布的样本量为N的样本的次序统计量.1 形状参数的估计Murthy和S wartz从N个失效样本中两个次序统计量出发,提出了形状参数γ的⽆偏估计,根据次序统计量的选择准则,在使估计量的⽅差达到最⼩的条件下,渐进效率在70%左右[1].他们还运⽤此统计量在Weibull分布的刻度参数未知时进⾏了γ的假设检验.本⽂从三个次序统计量出发,导出γ的估计,并得到相对效率的公式.若有次序观测值t(m)与t(l),1≤lY=ln t(m)-ln t(l)2γ(4)易知Y的分布与未知参数⽆关.令γ^=ln t(m)-ln t(l)2E(Y)(5)显然,γ^为γ的⽆偏估计,由Y的构造不难推出Ξ收稿⽇期:2003212230作者简介:郭德怀(19652),男,湖南长沙⼈,江苏财经职业技术学院⾼级讲师,主要从事概率统计的研究.E (Y )=2A∑l -1i =0∑m -l -1j =0Cij14ρb ln ρ+1ρ(6)E (Y 2)=2A∑l -1i =0∑m -l -1j =0Cijg (ρ)(7)其中,A =N !(l -1)!(m -l -1)!(N -m )!,g (χ)=∑∞k =1(-1k2)(-1χ)k ,ρ=N +j -m +1b ,b =m -l +i +j ,C ij =(-1)i +j l -1i m -j -1j.类似的,若有三个次序观测值t (1),t (m ),t (n ),1≤lY 1=ln t (n )-ln t (m )2γ,Y 2=ln t (m )-ln t (l )2γ,(8)则Y ,Y 2的联合分布是完全确定的.令γ^=ln t (n )-ln t (m )2E (Y 1)?n -m n -l +ln t (m )-ln t (l )2E (Y 2)?m -l n -l(9)显然,E (γ^)=γ,并且γ^γ的分布是完全确定的,其⽅差Var γ^γ也是可求的.下⾯从标准极值分布出发导出Varγ^γ的公式.记α=n -m n -l ,β=m -ln -l,则γ^=ln t (n )-ln t (m )2E (Y 1)?α+ln t (n )-ln t (m )2E (Y 1)?β,从⽽ γ^γ=α2E (Y 1)?ln t (n )-µγ+β2E (Y 2)-α2E (Y 1)?ln t (m )-µγ-β2E (Y 2)ln t (l )-µγ.前⾯已指出,ln t (n )-µγ可看作是来⾃标准极值分布的容量为N 的第n 个次序样本,以Y (i )记来⾃标准极值分布的容量为N 的第i 个样本,则2E (Y 2)?Y (l ).(10)于是Var γ^γ=a 24E 2(Y 1)Var Y (n )+β2E (Y 2)-α2E (Y 1)2Var Y (m )+β24E 2(Y 2)Var Y (l )+αE (Y 1)β2E (Y 2)-α2E (Y 1)C ov Y (n ),Y (m )-α2E (Y 1)?β2E (Y 2)C ov Y (n ),Y (l )-β2E (Y 2)-α2E (Y 1)?β2E (Y 2)C ov Y (m ),Y (l ).(11)由于标准极值分布不含任何未知参数,其次序样本的期望、⽅差、协⽅差均为常数,⽽E (Y 1),E (Y 2)的公式与(6)是⼀致的,因⽽Var γ^γ完全可求.将γ^的⽅差与最⼩⽅差线性⽆偏估计的⽅差作⽐较,从⽽给出γ^的效率,以γB 记γ的BLUE ,则AE ff (γ^)=Varγ^BγVarγ^γ相对效率,结果如表1、表2所⽰.5 第1期郭德怀:从⼏个次序统计量出发的⼆参数Weibull 分布的参数估计表1 N =20时次序统计量的数字特征T able 1 Figure character of order statistics when N =20i期望值⽅差协⽅差i 12341-3.573941.6439312-2.545080.6456520.629963-2.020730.3953930.493160.308854-1.655350.2845340.418370.262010.20511表2 N =20,r =4的相对渐进效率(形状参数)T able 2 Relative asymptotic effectiveness when N =20,r =4所采⽤的次序统计量:i估计量γ^γ的⽅差相对渐进效率1,2,30.4808365.74%1,2,40.3521989.75%1,3,40.4887564.67%2,3,40.8592036.78%注意到⽆论是在(5)式还是(9)式中,若把ln t (i )看作次序样本实现值,则γ^都是ln t (i )(i =1,2,…,N )的线性函数,且其系数和为0.受此启发,假设有部分观测到的次序样本和部分未观测到的缺失次序样本,则可由观测到的部分次序样本出发构造的线性⽆偏估计γ^=∑其中∑3指对那些观测到的次序样本求和,∑3βi =0.另外也可将(12)写成γ^γ=∑3βi ln t (i )-µγ=∑3βi Y (i ).(13)由此,γ^γ的分布与未知参数⽆关,其⽅差可计算,不过在βi 的选择上还应使γ^成为γ的⽆偏估计.2 刻度参数的估计由于极值分布中µ=ln η,因此可将刻度参数η的估计转化为对µ的估计.由变换Y =ln t -µη,可⾃然地给出µ^=ln t (l )-E (Y (l ))γ^,Y (l )为标准极值分布的第l 个次序统计量.显然,E (µ^)=µ,µ^随着γ^的形式变化⽽变化,不妨以(5)式代⼊,因此,µ^是从两个次序统计量出发的估计量.于是,Var µ^γ=Var µ^-µγ=Var Y (l )-E (Y (l ))γ^γ=Var Y (l )-E (Y (1))(Y (m )-Y (l ))2E (Y )=Var1+E (Y (l ))2E (Y )Y (l )-=1+E (Y (l ))2E (Y )2Var (Y (l ))+E (Y (l ))2E (Y )2Var (Y (m ))-21+E (Y (l ))2E (Y )E (Y (l ))2E (Y )C ov (Y (1),Y (m )),C ov (µ^,γ^)=C ov (ln t (l )-E (Y (l ))γ^,γ^)=γ2C ov Y (l ),E (Y (l ))Y (m )-Y (l )2E (Y ),Y (m )-Y (l )2E (Y )=γ2C ov 1+E (Y (l ))2E (Y )Y (l )-E (Y (l ))2E (Y )Y (m ),-Y (l )2E (Y )+Y (m )2E (Y )=r 2-1+E (Y (l ))2E (Y )12E (Y )Var (Y (l ))-E (Y (l ))2E (Y )12E (Y )Var (Y (m ))+ 1+E (Y (l ))2E (Y )12E (Y )C ov (Y (l ),Y (m )).6太原师范学院学报(⾃然科学版) 第4卷 有了以上两个公式,下⾯来求µ^的渐进效率(以BLUE或G LUE作⽐较).以µ^B记µ的BLUE,则AE ff(µ^)=Var(µ^Bγ)Var(µ^γ)=A r,NVar(µ^γ),其中A r,N可在⽂献[2]中查得,r为截尾数.取N=20,r=4,可得如表3所⽰的结果.表3 N=20,r=4的相对渐进效率(刻度参数)T able.3 Relative asymptotic effectiveness when N=20,r=4所采⽤的次序统计量:i估计量γ^γ的⽅差相对渐进效率1,27.0323417.02%1,31.9823460.40%1,41.7123470.54%2,32.5947646.14%2,41.8762463.38%3,43.8647230.99%参考⽂献:[1] Murthy V K,S wartz G B.Estimation of W eibull parameters from tw o2order statistics[M].Ohio:Wright2Patters on Air F orce Base,1974[2] 第四机械⼯业部标准化研究所.可靠性试验⽤表[M].北京:国防⼯业出版社,1978Estimation of Tw o2parameter Weibull P arametersUsing Several Order Statistics〔Abstract〕 The problem of the parameter estimation of tw o2parameter weibull distribution is discussed using tw o or three order statistics.In practice we often need to deal with im plement data,especially in reliability statistics.It provides an effective method for estimating the parameter of Weibull distribution.〔K ey w ords〕 order statistics;tw o2parameter Weibull distribution;parameter estimation 7 第1期郭德怀:从⼏个次序统计量出发的⼆参数Weibull分布的参数估计。
三参数weibull分布参数估计的迭代公式
三参数Weibull分布是一种常用的概率分布模型，它在可靠性工程、生物学、环境科学等领域有着广泛的应用。
而参数估计是统计学中的一项重要任务，它可以帮助我们从收集的数据中推断出未知的参数值，从而更好地理解和预测现象。
在Weibull分布中，参数估计也是一个关键的问题，尤其是对于三参数Weibull分布来说，传统的参数估计方法虽然有效，但并不总是能够得到最优的估计结果。
我们需要一种更加高效、精确的参数估计方法。
1. 三参数Weibull分布的概念在统计学中，Weibull分布是一种连续概率分布，它常用于描述生存分析和可靠性工程中的时间间隔或寿命数据。
Weibull分布的概率密度函数如下：f(x;λ, k, β) = (k/λ) * ((x-β)/λ)^(k-1) * exp(-((x-β)/λ)^k)其中，λ>0为尺度参数，k>0为形状参数，β为位置参数。
当β=0时，称为标准Weibull分布。
2. 三参数Weibull分布的参数估计问题对于给定的Weibull分布，我们常常需要从实际观测数据中估计出λ、k和β这三个参数的值。
传统的参数估计方法包括最大似然估计、矩估计等，但这些方法在实际应用中存在一定的局限性。
对于三参数Weibull分布，最大似然估计方法通常需要求解一个复杂的非线性方程组，而且可能受到初始值选择的影响，导致估计结果不稳定。
我们需要一种更加高效、精确的参数估计方法。
3. 基于迭代的参数估计方法基于迭代的参数估计方法是一种常用的优化方法，它通过迭代优化参数的值，使得目标函数达到最小值或最大值。
对于三参数Weibull分布的参数估计问题，我们可以借鉴这种方法，提出一种基于迭代的参数估计公式。
算法步骤如下：(1) 初始化参数值：设定λ0、k0、β0的初始值；(2) 迭代更新参数值：通过迭代更新λ、k、β的值，直至收敛；(3) 检验收敛性：检验参数估计结果的收敛性。
4. 具体迭代公式的推导对于三参数Weibull分布的参数估计问题，我们可以根据最大似然估计的原理，构建相应的目标函数，并基于此构建迭代公式。
次序统计量
次序统计量次序统计量是一个重要的统计概念，它是统计学中实现经验概率分布的基础。
它的定义、计算方法以及应用都具有特殊意义。
首先，次序统计量是一类根据观测值确定概率分布的特征量。
它能够有效地实现观测值之间的比较，并区分出观测值在不同位置上的差异。
其次，次序统计量可以通过秩矩阵法来计算，由于一般假设有较大的正态分布，它是非常有用的。
次序统计量的计算方法以及计算结果，能够在不少统计学的应用实践中得到有效的利用。
次序统计量在实际应用中的类型比较多，它包括排序指数、Kendall’sτ、Spearman’sρ、Spearman-Brown预测公式等等。
排序指数是次序统计量的一种，它通过研究观测值在样本中出现的次数，来判断哪些观测值被认为是“比较大”。
Kendall’sτ和Spearman’sρ都是排序指数的扩展，它们能够涵盖更多的概念，比如离散度、偏度以及峰度等。
最后，Spearman-Brown预测公式是一种应用在排序统计量上的公式，它能够帮助我们评估一些概念的可靠性，从而使我们识别和预测一些特定模式。
次序统计量在统计学中有着重要的应用，它们能够实现观测值之间的比较，帮助我们识别和预测一些特定模式。
它们能够有效地帮助我们分析不同对象之间的差异，从而更好地掌握经验概率分布。
次序统计量也拥有计算灵活、应用广泛、考虑多种因素、能够实现丰富统计分析的优点。
因此，次序统计量在统计学的实践中具有极为重要的地位，它的定义、计算方法以及应用都是统计学的重要内容。
从本质上讲，次序统计量是统计学实现经验概率分布的基础，它能够有效地帮助我们分析不同对象之间的差异，有助于我们更好地掌握经验概率分布。
3参数威布尔分布参数估计方法的比较研究
第43卷 第4期河南农业大学学报Vol .43 No .42009年 8月Journal of Henan Agricultural UniversityAug . 2009收稿日期:2009-01-15基金项目:河南农业大学博士基金项目(30500022)作者简介:史景钊(1963-),男,河南商丘人,副教授,主要从事农业装备及其可靠性方面的研究.文章编号:1000-2340(2009)04-0405-053参数威布尔分布参数估计方法的比较研究史景钊1,杨星钊2,陈新昌1(1.河南农业大学机电工程学院,河南郑州450002;2.许昌职业技术学院,河南许昌461000)摘要:介绍了完全样本下极大似然估计法、矩估计法、相关系数优化法、概率权重矩法、灰色模型法、双线性回归法等常用的3参数威布尔分布的参数估计方法,提出了极大似然估计的一种新解法,从相关系数、Theil 不等系数、对数似然函数值3个方面比较了各种方法的差异.不同容量的样本实例计算表明,小样本情况下各估计法的差别较大,而大样本时差别较小,灰色模型法在各种样本下均具有较高的估计精度.关键词:可靠性;威布尔分布;参数估计中图分类号:T B114.3 文献标志码:ACo mparati ve study on parameter estimati on methods for32parameter W ei bull distri buti onSH I J ing 2zhao 1,Y ANG Xing 2zhao 2,CHE N Xin 2chang1(1.College of Mechanical and Electrical Engineering,Henan Agricultural University,Zhengzhou 450002,China;2.Xuchang Vocati onal and Technical College,Xuchang 461000,China )Abstract:Six kinds of commonly used para meter esti m ati on methods (maxi m u m likelihood esti m ati on method,moment method esti m ates,correlati on coefficient op ti m izati on method,p r obability 2weighted moment method,gray model method,and bilinear regressi on method )were intr oduced based on co m 2p lete sa mp le .A ne w algorith m method was p r oposed f or the max mu m likelihood esti m ati on .The differ 2ences bet w een vari ous methods were compared in three as pects:correlati on coefficrent .Their unequal coefficieut and l og 2likehood functi on value .Exa mp le calculati ons show that the s maller the sa mp le size is the greater the difference in esti m ati on methods .The gray model method in a variety of sa mp les has a higher esti m ati on accuracy .Key words:reliability;W eibull distributi on;para meter esti m ati on 用3参数威布尔分布比用对数正态分布往往能更准确地描述结构疲劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[1],物理意义更加合理.在以损耗为特征的机械零件寿命评估中,采用3参数威布尔分布比采用2参数威布尔分布拟合精度更高.因此,3参数威布尔分布在强度与环境研究领域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的应用.3参数威布尔分布的参数估计比较复杂,国内外研究人员提出了很多方法[2～14],如极大似然估计[5]、双线性回归估计[6]、相关系数优化法[7,8]、概率权重矩法[9,10]、灰色估计法[11]、矩估计法[12]、贝叶斯估计法[13]等,但多数方法都需要用Matlab 或其他计算机语言编程求解.由于计算繁琐、使用不便,限制了很多方法的应用.作者研究了常用的几种可以在MS EXCE L 的工作表上进行求解的威布尔分布参数估计方法,这种表上作业的方法减少了编程的麻烦,便于工程406 河 南 农 业 大 学 学 报第43卷技术人员使用.1 常用的参数估计方法1.1 威布尔分布若某产品寿命X服从威布尔分布,则其概率密度函数为f(x)=mηm(x-γ)m-1exp[-(x-γ)m/ηm](1)寿命分布函数为F(x)=1-exp[-(x-γ)m/ηm](2)式中:m为形状参数,m>0;η为尺度参数,η>0;γ为位置参数.1.2 极大似然估计对于容量为n的完全样本数据x1≤x2≤…≤x n,威布尔分布的对数似然函数为ln L(x1,…,x n;m,η,γ)=∑n i=1ln mηm(xi-γ)m-1exp(-(x i-γ)m/ηm)(3)对数似然函数对各参数求偏导数,得方程组9ln L9m=nm+∑ni=1lnxi-γη-∑ni=1x i-γηmlnxi-γη=9ln L9γ=(1-m)∑ni=11x i-γ+mη∑ni=1x i-γηm-1=09ln L9η=-nη-n(m-1)η+mη∑ni=1xi-γηm=0(4)上述方程组即为求解威布尔分布参数估计的似然方程组,解方程组(4)即可获得3个参数的估计值.但由于方程组(4)无代数解,求解十分复杂,一般是通过计算机语言如C语言、M atlab等编程求解,使其应用不便.以下通过直接寻求对数似然函数的极大值求解各参数.由9L(x1,…,x n;m,η,γ)/9η=0可求得ηm=1n ∑ni=1(xi-γ)m(5)把(5)式代入(3)式,从(3)式中消去尺度参数η可得ln L(x1,…,x n;m,γ)=n ln m-n ln1n∑ni=1(xi-γ)m+(m-1)∑ni=1ln(xi-γ)-n(6)根据极大似然原理,使(6)式取得极大值的^m,^γ即为所求的形状参数、位置参数的估计值,然后再根据(5)式即可估计出尺度参数.由3参数威布尔分布的物理意义可知,一般有0<m<10,0≤γ<x1,这样就把求解对数似然方程组的问题变为了求解有约束条件的极值问题,使问题得到了大大简化,而且(6)式的极值可在M S EXCEL上使用“规划求解”功能直接求解,省去了编程的麻烦,方便了一般工程技术人员使用.极大似然估计法是一种常用的参数估计方法,精度较高,且适用于包括有中途撤出试验的各种截尾试验场合,但由于计算较复杂,以前较少使用,随着计算机技术的发展,极大似然估计已经成为最主要的参数估计方法之一.1.3 矩法估计若设gi(m)=Γ(1+im),i=1,2,3,则3参数威布尔分布的数学期望E(X)、标准差σ(X)、偏度B(X)及其估计值样本均值 x,样本标准差S,样本偏度B分别是E(X)=η·g1(m)+γ(7)σ(X)=ηg2(m)-g12(m)(8) B(X)=g3(m)-3g2(m)g1(m)+2g13(m)[g2(m)-g12(m)]3/2(9)x=1n∑ni=1x i(10)S=1n-1∑ni=1(xi-x)2(11) B0=n(n-1)(n-2)S3∑ni=1(xi-x)3(12)利用(12)式求出B后作为B(X)的估计值,代入(9)式可求出m的估计值^m,然后用(8)式和(11)式获得η的估计值^η,再用(7)式和(10)式获得γ的估计值^γ.矩法估计的基本思想是用试验样本的各阶矩估计母体的各阶矩,并据此估计其他参数.矩法估计算法简单,有专用数表可查,使用方便.该法在小样本时精度不高,且仅适用于完全样本的场合. 1.4 相关系数优化法对(2)式进行变换Y=ln[-ln(1-F(x))],X=ln(x-γ),B=lnηm则(2)式可化为线性方程Y=m X-B由样本数据(xi,F(x i))换算得到(X i,Y i),计算X与Y间的相关系数R(X,Y).第4期史景钊等:3参数威布尔分布参数估计方法的比较研究407 R (X,Y )=(∑ni =1X i Y i -nX ·Y )(∑ni =1X2i-nX 2)(∑ni =1Y2i-nY 2)(13)显然R (X,Y )是位置参数γ的函数,使R (X,Y )最大的^γ即为位置参数的估计值,然后利用最小二乘法即可求得形状参数估计值^m 和尺度参数估计值^η.通过推导可以证明[8],在下述等式成立时,相关系数R (X,Y )最大.(∑ni =1X 2i -n X 2)∑ni =1Y -Y i x i-γ-(∑ni =1X i Y i -nX ·Y )∑ni =1X -X ixi-γ=0(14)方程(14)的解即为要求的位置参数的估计值.相关系数优化法基于最小二乘原理,既适用于完全样本,也适用于截尾样本,具有满足工程要求的精度,是一种常用的估计方法.1.5 概率权重矩法试验样本概率权重矩的估计值[9]为M 1,0,k =1n∑ni =1x i 1-i -0.35nk,k =0,1,3(15)用概率权重矩表示的威布尔分布参数的估计值为^m =ln 2ln (M 1,0,0-2M 1,0,12M 1,0,1-4M 1,0,3)(16)^η=M 1,0,0-γΓln (M 1,0,0-2M 1,0,11,0,1-2M 1,0,3)/ln 2(17)^γ=4(M 1,0,3M 1,0,0-M21,0,1)4M 1,0,3+M 1,0,0-4M 1,0,1(18)概率权重矩法的精度与样本概率权重矩的计算方法有很大的关系,同时与数据的分散性有较大的关系,有时无法获得满足要求的解.在各种估计方法中,该法估计出的位置参数较其他方法小.1.6 双线性回归法变换(2)式,并令x 0=ηm,可得到2个方程ln [-ln (1-F (x ))]=m ln (x -γ)-ln x 0(19)[-ln (1-F (x ))]1/m=1ηx -γη(20)可以证明上述2式线性无关,每个方程单独进行最小二乘估计,合并整理后得到[6]m =ln (x -γ)·ln [-ln (1-F (x ))]-ln (x -γ)·ln [-ln (1-F (x ))]ln 2(x -γ)-ln (x -γ)2(21)γ= x -[-ln (1-F (x ))]1/m ·(x 2-x 2)x ·[-ln (1-F (x ))]1/m- x ·[-ln (1-F (x ))]1/m(22) ηm=exp [m ·ln (t -γ)-ln (-ln (1-F (x ))](23)任给m 的一个初始值,由式得(22)式得γ的一个初值,代入(21)式得m 的一个估计值m ′值,若m 和m ′差值足够小,则m ′即为所求的形状参数,否则用2m -m ′代替m ,继续用(22)式计算γ,再代入(21)式计算m ′,如此反复直至满足精度要求.最后用(22)式计算尺度参数^η.双线性回归法是一种精度较高的方法,但在迭代过程中,有些样本会出现负数取对数的现象,使得在M S EXCEL 上无法使用宏功能求解,这种情况下可使用其他方法代替.1.7 灰色模型法(2)式也可表示为x =γ+ηexpln [-ln (1-F (x ))]m(24)令t i =ln [-ln (1-F (x i ))],i =1,2,…,n,并记η=c ,1/m =-a ,γ=b,视(x i ,t i )为一时间序列,则(24)式可转化为x i =c exp (-a t i )+b(25)灰色模型G M (1,1)的微分方程为d ^x (t )d t+a^x (t )=u (t ∈R )(26)灰色模型G M (1,1)的时间响应模型为^x (t )=c exp (-a t )+ua(27)(25)式和(27)式具有相同的形式,因此可用灰色模型对参数a,u,c 进行估计,进而得到m ,γ,η的估计值.灰色模型的参数[11]为[a u ]T =(B T B )-1B TY N(28)式中:B =-(x 1+x 2)/21⁝⁝-(x n -1+x n )/21,Y N =x 2-x 1t 2-t 1…x n -x n -1t n -t n -1T[b c ]T=(D T D )-1D TX(29)式中:D =1…1exp (-a t 1)…exp (-a t n )T,408 河 南 农 业 大 学 学 报第43卷X=[x1,…,x n]T由(28)式得到a和u的估计值,对比(25)式和(27)式即知^m=-a-1,^γ=b=u/a.由(29)式得到c即得^η=c,(29)式算出的b可以作为γ的一个优化值.灰色模型法基于邓聚龙提出的灰色系统原理,是一种较新的参数估计方法.该法在数据量较小时就可获得较高的估计精度,在MS EXCEL上无需使用规划求解功能迭代求解,也无需使用宏命令,是一种较易实现的算法.2 实例对比分析产生50个服从形状参数m=2.5、尺度参数η=30、位置参数γ=20随机数:25.6,28.0,29.7,30.6, 31.5,32.7,33.4,34.5,35.3,36.0,36.7,37.3, 37.9,38.6,39.2,39.8,40.4,40.9,41.7,42.4, 43.2,43.7,44.3,44.9,45.4,45.9,46.5,47.1, 47.7,48.2,48.8,49.5,50.3,51.1,51.9,52.6, 53.4,54.2,55.0,55.7,56.4,57.4,58.5,59.6, 60.8,62.4,64.5,66.4,69.9,75.0.各种估计方法的估计结果如表1所示.实例中所有运算结果均在MS EXCE L上实现,主要使用规划求解、数据图表、宏和函数功能,这种表上计算方法免去了编程的麻烦,非常适于一般工程技术人员使用.从表1对比结果可以看出,本研究提出的求解极大似然估计的方法使对数似然表1 各种参数估计方法估计结果对比Table1 Co m par ison of results of var i ous esti m a tes算法A lgorithm 形状参数Shapepara meter尺度参数Scalepara meter位置参数Locati onpara meter相关系数Correlati oncoefficientTheil不等系数Theil unequalcoefficient对数似然函数值Log2likelihoodfuncti on value相关系数优化法Op ti m azati on ofcorrelati on coefficientesti m ati on2.352728.808120.98510.999840.003884-190.4288双线性回归法B ilinear regressi onesti m ati on2.326328.623121.16220.999830.003643-190.4223矩法Moment esti m ati on2.464729.466120.31450.999720.007423-190.4599灰色模型法Gray modelesti m ati on2.272728.036821.68830.999660.003732-190.3767概率权重矩法Pr obability weightedmoments esti m ati on2.319429.019320.73870.999820.005571-190.5469极大似然法Maxi m um likelihoodesti m ati on2.226326.635322.85460.998050.008941-190.2730函数不受尺度参数的影响.这种直接求解极大值的方法,求解精度比一般文献中的求解精度高[14].(6)式同时表明,对数似然函数值的大小只与形状参数和位置参数有关,而与尺度参数无关.相关系数优化法使得试验数据的拟合具有最好的线性度,在各种估计方法中,该法得到的相关系数最大,Theil不等系数也较小.(13)式和(14)式表明,相关系数的大小只与位置参数的估计值有关.因此,估计出位置参数后,形状参数和尺度参数的估计并不限于最小二乘法.相关系数优化法、灰色模型法、双线性回归法均使用了样本分布函数,其估计结果与样本分布函数的计算方法有关,表1中估计结果是按照中位秩算法计算样本分布函数得到的.3 结论1)研究的6种方法中,概率权重矩法计算最为简单,不需要迭代计算,但当样本容量较小时,该方法精度较差.灰色模型法也无需迭代计算,用最小二乘法即可获得3个参数的估计值,在各种样本容量下均可获得较好的精度.双线性回归法、相关系数优化法、矩法、极大似然法均需要迭代,在MS EXCE L求解时双线性回归法可用宏代码实现,其余可用“规划求解”功能实现.第4期史景钊等:3参数威布尔分布参数估计方法的比较研究4092)研究的6种方法中极大似然估计、相关系数优化法、灰色模型法、双线性回归法均可适用于截尾试验数据.在各种估计方法中,矩法估计和概率权重矩法估计的位置参数较小,形状参数较大,且这2种方法仅适用于完全样本数据.3)双线性回归法在迭代时采用动态步长,与文献[6]采用的固定步长相比加快了收敛速度,减少了计算时间.在MS EXCE L中实现时,数行宏代码即可实现,与使用其他编程语言相比,大大简化了程序,提高了执行效率.4)不同容量的样本实例计算表明,随着样本容量的增加,各估计方法之间的差异越来越小,在样本容量较大时,各种估计方法均可使用;在样本容量较小时,各种估计方法的差异较大,灰色模型法具有较高的精度.使用者需根据实际情况选择合适的估计方法.参考文献:[1] HALL I N AN A J.A revie w of the W eibull distributi on[J].Journal of Quality Technol ogy,1993,25(2):85-93.[2] TI RY AKI O LU 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[10]邓 建,古德生,李夕兵.确定可靠性分析W eibull分布参数的概率加权矩法[J].计算力学学报,2004,21(5):609-613.[11]郑荣跃,秦子增.W eibull分布参数估计的灰色方法[J].强度与环境,1989(2):34-40.[12]胡文中.用矩法估算W eibull分布三参数[J].太阳能学报,1997,17(4):348-452.[13]刘 飞,王祖尧,窦毅芳,等.基于Gibbs抽样算法的三参数威布尔分布Bayes估计[J].机械强度,2007,29(3):429-432.[14]杨谋存,聂 宏.三参数W eibull分布参数的极大似然估计数值解法[J].南京航空航天大学学报,2007,39(1):31-34.(责任编辑:蒋国良)。
韦布尔分布秩序统计量的随机比较
（ ） Ｏ ｉ － ， ｆ是 减 函数 ； １ 当 ≤ｆ ＩＲ（） ＜ （） ２ 当 １ Ｒ（） 增 函 数 ． ， ｆ是 （ ） ， 微 分 用
证 明 由 Ｒ（） ， ｆ ｆ一 （ 学 方 法 易 得 引 理 １的结 论 ． 毕 ． 证
参 数 ， 被 称 为 是 形 状 参 数 ． Ｘ ， ， ， 是 来 自 设 Ｘ。 … Ｘ
方 江 林
４１０） １ １ ４
（ 南 工程 学 院 数 理 系 ， 南 湘 潭 湖 湖 摘
要 ： 明 了 对于 独 立 不 同分 布 的两 个 韦 布 尔样 本 ． 韦 布尔 分布 的形 状 参 数 小 于 １ 情 况 下 ， 本 对 应 的 证 在 的 样
秩 序 统 计 量 间存 在 一致 的 随 机序 ； 当形 状 参 数 大 于 １时 ， 小 秩 序统 计 量 和 最 大 秩序 统 计 量 的 随 机序 相 反 ． 最 关键词 ： 机序 ； 布尔分布； 随 韦 秩序 统 计 量 中圈 分 类 号 ： ２ １ ５ Ｏ １． 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ６ １ １ ８ （ ０ ８ ０ — ０ ３ —０ １ ７ — ７ ５２ ０ ）６ ０ ３ ２
≤ Ｐ（ ≤ｆ ， Ｙ ） 则称 ｙ依 随机序 小于 Ｘ． Ｘ≥ ． 记 ｙ
２ 主 要 结 果
保险精 算 中， 是极为重 要的 双参 数生 存模 型 ， 于 它 关
保 险标的的 风 险 和损 失度 量 也 常用 到 韦 布 尔分 布 ． 另一 类 重要 的 寿命 分 布 一指 数分 布 是其 特 殊情 形 ．
当 它 是 Ｓ ｈ ｒ 函数 时 ， 等 号 反 向． ｃｕ 凸 不 定 义 １ ５ 令 Ｘ， 为 随 机 变 量 ， 果 Ｐ（ ． ｙ 如 Ｘ≤ ｔ ）
关于次序统计量分布的讨论
.
二x
1 , (
,
加
)
l 为极差 t 一x ) ) 的联合
,
.
为 了导 出
,
R
的分布 在有 关教 程 和 专 著 中都 无
(如〔 1
。
一 例外 地采 用先 导 出 ( x
、
x
。)
分布 然后 再考 虑
,
R
5 ] ) 或 者在 导 3] 〔 〕 〔 叼 〔
,
,
,
2〕 ) 出联 合分 布 后 再作一 个二元 变换 最 后 导 出 .R 的分 布 ( 见 〔
`பைடு நூலகம்
文 服教
胃字 阮 字 报
目然 科 学 版 )
年第
期 总第
5
期)
关 于 次序 统 计量 分 布 的讨 论
伍 昌保
摘
梁 冯 珍
要
推 导次 序 统 计 全 的 分 布 一 般 邹 要 先 给 出 联 合 分布作 为 过 渡 本 文 进 开 联 合 分 布 月 完
。
,
全 令 刻 法 1 接 方 便 地 导 出桩 差 中程 中位 数
0
,
:
f (x
) 为 x 的 密 度 函 数 当且 仅 当对 任 意
,
x
,
P
+ △x ( )△ + ) 二fx
证 明中采 用 的先对 其 中一个 次序 统 计 量 的可 能取 值进
。
行 完 全分 割 定理
= 0,当 (v +
x x
然后将 两个次 序统 计 量 函 数 的分 布转 化为对 其 中一 个 进 行讨 论 的方 法 可 用 来 推
+
基于Weibull分布对比分析高压绝缘电缆料的击穿性能
合结果的可靠性ꎮ 结果表明:国产高压绝缘电缆料电气强度达到国外同类产品相同水平ꎬ国产高压绝缘电缆料
与进口高压绝缘电缆料的击穿性能可靠性相近ꎬ国产高压绝缘电缆料( ＹＪ￣１１０ ２＃) 同时具有较大的形状参数和
尺度参数ꎬ综合击穿性能更优ꎮ
关键词: 高压绝缘电缆料ꎻ 击穿性能ꎻ Ｗｅｉｂｕｌｌ 分布ꎻ 可靠性
缘电缆料的电气强度相差无几ꎬ 说明 国 内 的 ＹＪ￣
对电气强度进行统计处理ꎬ得到 ４ 种高压绝缘
电缆料的电气强度的数值统计( 见表 １) ꎬ累积失效
际水平ꎮ
表 １ ４ 种高压缘缘料的电气强度
ＹＪ￣１１０ １＃
序号
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
１３
１４
１５
进口料 Ａ
电气强度 /
累积失效
６６. ０
３. ６７
４３. ０２
４９. ５７
５６. １３
６２. ６９
６９. ２５
７５. ８０
８２. ３６
８８. ９２
９５. ４８
３. ２ 求解 Ｗｅｉｂｕｌｌ 分布各参数
布函数ꎮ
度的可靠性ꎬ应用 Ｗｅｉｂｕｌｌ 分布深入分析ꎬ假设位
形状参数与尺度参数ꎮ 结合 ４ 种高压绝缘电缆料
式变换进行作图分析ꎮ 应用 Ｏｒｉｇｉｎ 软件进行作图ꎬ
绝缘电缆料ꎮ
２. １. ２ 实验仪器
介电强度测试仪ꎬＢＤＪＣ￣１００ 型ꎬ北京北广精仪
仪器设备有限公司ꎻ
平板硫化仪ꎬＸＬＢ￣Ｄ 型ꎬ湖州顺力橡胶机械有
限公司ꎻ
点数据越集中ꎬ材料稳定性越好ꎮ
裁片机ꎬＣＰ￣２５ 型ꎬ江都市新真威实验机械有
Weibull与极值分布的l个未来样本的顺序统计量的单边联合预测区间
Weibull与极值分布的l个未来样本的顺序统计量的单边联合
预测区间
周源泉;李宝盛
【期刊名称】《质量与可靠性》
【年(卷),期】2015(000)001
【摘要】用基于辅助统计量的条件方法、基于群不变先验的Bayes方法及Fiducial方法，给出了Weibull与极值分布的l个未来样本的顺序统计量的单边联合预测区间，讨论了条件方法给出的该单边联合预测区间的性质与特例，并用数值例进行了说明。
【总页数】5页(P1-5)
【作者】周源泉;李宝盛
【作者单位】北京强度环境研究所，北京 100076;北京航天动力研究所，北京100076
【正文语种】中文
【相关文献】
1.完全样本时,(对数)正态分布未来样本顺序统计量的Bayesian与Fiducial预测下限 [J], 周源泉
2.双参数指数分布l个未来样本的顺序统计量单边联合预测系数表 [J], 周源泉;李宝盛
3.指数分布的l个未来样本的顺序统计量的单边联合预测系数表 [J], 周源泉;李宝盛
4.关于Weibull分布顺序统计量的分布性质 [J], 姜培华
5.Weibull过程将来第k次失效时间的Bayes预测区间 [J], 田国梁
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有关逆Weibull分布序统计量的一些比较结果
有关逆Weibull分布序统计量的一些比较结果邱国新;姜海波【摘要】In this paper, we consider two different systems consisting of independent com-ponents with inverse Weibull distributions whose characteristic life parameters are heterogeneous, but the shape parameters are common. It is shown that the sur-vival function (hazard rate) of a series system is decreasing in the characteristic life parameter vector with respect to p-larger (majorization) ordering. It is also shown that the reversed hazard rate of a parallel system is decreasing (increasing) in characteristic life parameter vector with respect to majorization ordering if the common shape parameters are less (greater) than 1. As a consequence, the simple upper bound on the survival function of the series (parallel) systems isbuilt in terms of geometric (arithmetic) mean of the characteristic life parameters.%考虑由独立元件组成的两个串(并)联系统，其元件寿命服从寿命参数不同，但形状参数相同的逆Weibull分布。
关于Weibull分布顺序统计量的分布性质
关于Weibull分布顺序统计量的分布性质姜培华【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(018)001【摘要】Let {Xk,1≤k≤n} be independent and identically distributed random variables,X（1）≤X（2）≤…≤X（n） be their order statistics.The joint probability density function of its order statistics and the density functions of extreme order statistics are derived,when X（k） followed Weibull distribution with parameter m and η.The mathematical expectations and variances of X（1） and X（n） are also obtained.What＇s more it proved the sample intervals X（1）,X（2）-X（1）,…,X（n）-X（n-1） are not independent and not identical distributions when the parameter m≠1,the sample intervals X（1）,X（2）-X（1）,…,X（n）-X（n-1） are independent but not identical distributions when the parameterm=1.%设{Xk,1≤k≤n}独立同分布,X（1）≤X（2）≤…≤X（n）为其顺序统计量,当X（k）服从参数为m和η的韦布尔分布时,得到了其顺序统计量的联合概率密度函数和极端顺序统计量的密度函数,进一步得到X（1）和X（n）数学期望与方差的表达式。
三参数Weibull分布的随机比较
三参数Weibull分布的随机比较官春梅【摘要】给出了两个相互独立但不同分布的三参数Weibull分布随机变量满足各种随机序时其分布所含参数间的相应关系.也给出了两组相互独立但不同分布的随机变量次序统计量之间的随机序关系.【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(035)002【总页数】3页(P65-67)【关键词】随机序;三参数Weibull分布;次序统计量【作者】官春梅【作者单位】喀什师范学院数学系,新疆喀什844000【正文语种】中文【中图分类】O211.50 引言随机变量的随机比较在可靠性分析和保险精算理论中都有其重要的意义，近年来有许多关于非负独立随机变量的随机比较的成果.文献［1］研究了指数随机变量之和的随机比较，文献［2］给出了Gamma分布的随机变量之和的随机比较.Weibull 分布是一种非常重要的寿命分布，在产品寿命和可靠性分析中有其重要意义.在保险精算中，Weibull分布也是极为重要的双参数生存模型，关于保险标底的风险和损失度量也常用到Weibull分布.而三参数Weibull分布是Weibull模型中对数据适应能力最强、拟合效果最好的.三参数Weibull分布是一种较为完善的分布，在拟合随机数据时有很大的灵活性，对不同形状的频率分布有很强的适应性.当形状参数取不同值时，它可以等效或接近于其他一些常用的分布［3-4］.关于重要概率分布的参数估计及参数特性在文献中设计［5-11］.本文讨论了三参数Weibull分布的随机变量之间的随机比较，给出了关于服从三参数Weibull分布的随机变量的顺序统计量的随机比较的结果.设随机变量X服从三参数Weibull分布，其密度函数为其中γ为位置参数，α＞0为尺度参数，β＞0为形状参数的分布函数(x≥γ)为记 x～W(α，β，γ).1 三参数Weibull分布的随机比较定理1 假定 X 和 Y 是 Weibull分布随机变量，且 X ～W(α1，β1，γ1)，Y ～W(α2，β2，γ2).如果两分布的位置参数和形状参数相同，即γ1=γ2=γ，β1=β2=β，则X≤lrY 当且仅当α1≤α2.证明如果X和Y的概率密度函数分别为f1(x;α1，β，γ)和f2(x;α2，β，γ)，则有X≤lrY⇔f1/f2关于X是减函数从而由定理1容易得到下面的推论.推论1 假定 X 和 Y 是 Weibull分布随机变量，且 X ～W(α1，β1，γ1)，Y ～W(α2，β2，γ2).如果两分布的参数满足:γ1= γ2，β1=β2，α1≤α2，则X≤stY，X≤hrY.定理2 假定 X 和 Y 是 Weibull分布随机变量，X ～W(α1，β1，γ1)，Y ～W(α2，β2，γ2).如果两分布的位置参数，即γ1=γ2=γ，则X≤stY 当且仅当α1≤α2，β1= β2.证明如果X和Y的分布函数分别为F(x)和G(x)，从而有定理3 假定X 和Y 是服从Weibull分布的随机变量，即X ～W(α1，β1，γ1)，Y ～W(α2，β2，γ2).如果α1=α2β1=β2，γ1≤γ2，则X≤stY.3 Weibull分布次序统计量的随机比较下面讨论独立但不同分布的三参数Weibull分布的次序统计量的随机比较.先给出一个概念.定义1［1］若λ =(λ1，…，λn)和μ =(μ1，…，μn)为向量，λ(i)和μ(i)为次序分量(i=1，2，…，n).如果，并且，则称λ优于μ，记为λ≻μ.引理1如果X是服从三参数的Weibull分布的随机变量，即X～W(α，β，γ)，X的危险率函数为R(t)，则(1)当0≤β≤1时，R(t)是减函数;(2)当β≥1时，R(t)是增函数.为了讨论方便，以下总假定随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，随机变量Y1，Y2，…，Yn也相互独立，且Xi～W(λi，β，γ)，Yi～W(μi，β，γ)，i=1，2，…，n.X(i)为次序统计量，即定理4 假设X1，X2(Y1，Y2)独立且服从三参数的Weibull分布，位置和形状参数分别为γ和β，尺度参数为λ1，λ2(μ1，μ2)，且(λ1，λ2)≻(μ1，μ2).则(1)当0≤β≤1 时，X(1)≥stY(1)，X(2)≥stY(2)，(2)当β≥1 时，X(1)≤stY(1)，X(2)≥stY(2).证明:令函数则Xi和Yi的分布函数分别为F(λit)和F(μit)，生成函数分别为=1－F(λit)和.故所以 (1)当0≤β≤1时，所以函数φ(λ)=P(X(1)≥t)是关于λ =(λ1，λ2)的Schur凹函数.又由于λ =(λ1，λ2)≻(μ1，μ2)=μ，故φ(λ)≥φ(μ)，即就是P(X(1)≥t)≥P(Y(1)≥t).从而X(1)≥st Y(1).(2)当β≥1 时，函数φ(λ)=P(X(1)≥t)是关于λ 的 Schur凸函数.又由于λ≻μ，故φ(λ)≤φ(μ)，从而X(1)≤stY(1).下证只要β≥0，总有X(2)≥stY(2).事实上，由于所以函数φ(λ)=P(X(2)≤t)是关于λ =(λ1，λ2)的 Schur凹函数.又由于λ =(λ1，λ2)≻(μ1，μ2)=μ，故φ(λ)≥φ(μ)，即就是P(X(2)≤t)≥P(Y(2)≤t).从而X(2)≥stY(2).类似于定理4，同样可以证明下面的更一般的结论.定理5 假设X1，X2，…，Xn(Y1，Y2…，Yn)独立且服从三参数的Weibull分布，他们的位置参数和形状参数分别为γ 和β，尺度参数为λ1，λ2，…，λn(μ1，μ2，…，μn)满足λ≻μ，λ =(λ1，λ2，…，λn)，μ =(μ1，μ2，…，μn).则:(1)当0≤β≤1 时，X(i)≥stY(i)，i=1，2，…，n(2)当β≥1 时，X(1)≤stY(1)，X(n)≥stY(n).参考文献【相关文献】［1］Chang，K.H.Stochastic orders of the sums of two exponential random variables ［J］.Statist.Probab.Lett.，2001，51:389 ～ 396.［2］Korwar，R.m.On stochastic orders for sums of independent random variables ［J］.J.Multivariate Anal.，2002，80:344 ～357.［3］Sun L H，Stochastic comparisons of order Statistics from Gamma distributions［J］.应用概率统计，2004，20(4):404 ～408.［4］Pecaric，J.E.Convex Functions，Partial Orderings，and Statistical Application ［M］.Academic Press，New York，1992.［5］胡恩平，罗兴柏，刘国庆.三参数Weibull分布几种常用的参数估计方法［J］.沈阳工业学院学报，2000，(3):88～94.［6］刘菡，刘次华.定数截尾数据缺失场合下双参数指数分布参数的贝叶斯估计［J］.武汉大学学报(理学版)，2006，(3):286～290.［7］徐宝，于春艳，孙宪军.一种对称损失下Poisson分布参数倒数的Bayes估计［J］.吉林师范大学学报(自然科学版)，2006，(3):53～54.［8］赵志文，刘银萍.具有部分缺失数据的两个幂分布总体参数的估计与检验［J］.吉林师范大学学报(自然科学版)，2008，(3):103～104.［9］徐宝，付志慧，张洪刚.贝叶斯框架下泊松分布参数倒数的估计［J］.吉林师范大学学报(自然科学版)，2010，31(1):57～58.［10］杨瑞成，王国东.关于一种三参数Weibull分布的参数估计问题的研究［J］.鲁东大学学报(自然科学版)，2011，(3):203～206.［11］刘银萍，马晓悦，赵志文.缺失数据场合泊松分布参数的贝叶斯估计［J］.吉林师范大学学报(自然科学版)，2012，33(3):13～15.。
Weibull随机寿命的统计量
Weibull随机寿命的统计量
王桂金
【期刊名称】《轴承》
【年(卷),期】2012(000)003
【摘要】应用极大似然法拟合样本尺寸由10到100的随机寿命数据（总样本为100）以取得二参数Weibull分布的形状参数κ，并与直接由寿命数据得到的斜度和过盈峭度相应的形状参数κ比较。
同时也将寿命数据由小到大排列做同样计算。
发现无序随机寿命组的极大似然法结果在样本为10到100时都给出了合理的形状参数，κ及尺寸参数A。
但是，斜度和过盈峭度仅在样本大于48的场合得到相近
的形状参数κ。
然而，按序排列的数据只在全样本情况下得到3种方法相近的形状参数κ。
随着样本由100逐渐减小到10，形状参数，κ不断增大而尺寸参数λ却
逐渐减小。
因此认为，极大似然法、斜度和过盈峭度的形状参数κ相互重叠的出现，应是满足Weibull寿命随机特性的一个条件。
【总页数】5页(P38-42)
【作者】王桂金
【作者单位】原钢铁研究总院,北京100083
【正文语种】中文
【中图分类】TH133.33
【相关文献】
1.随机截尾场合下Weibull分布恒加寿命试验的统计分析
2.基于Weibull分布的次序统计量的随机比较
3.随机截尾寿命试验三参数Weibull分布的统计分析
4.三参数Weibull分布下随机截尾恒加寿命试验的Baye…
5.定数截尾步加寿命试验缺失数据下Weibull分布的正常应力水平下特征寿命的近似Bayes估计
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基于Weibull分布的次序统计量的随机比较的开题报告
基于Weibull分布的次序统计量的随机比较的开题报告一、选题背景随机比较是概率论和数理统计中的基本问题之一，它是一种常用的分析方法，用来比较两个或多个总体的差异或相似性。
在实际应用中，经常会遇到需要比较不同总体的生存曲线或失效时间等问题，这时可以采用Weibull分布来描述随机事件的发生时间，例如机械零件的寿命、电子设备的故障时间等，因此研究基于Weibull分布的次序统计量的随机比较具有实际意义。
二、研究意义在实际生产和工程领域中，需要比较不同总体的产品寿命、故障时间等随机事件的发生情况。
Weibull分布是一种常用的分布模型，具有很好的适用性，它是描述振荡失效模式的一种经验模型，因此具有较高的实用价值。
利用基于Weibull分布的次序统计量的随机比较，可以更好地分析、刻画不同总体的生存曲线、故障时间等特征，对于提高产品可靠性、优化生产工艺等方面具有重要意义。
三、研究方法本研究将采用理论分析和数值模拟相结合的方法进行，主要包括以下几个方面：1、基于Weibull分布的次序统计量的定义和性质，分析其在随机比较中的应用。
2、介绍几种常用的基于Weibull分布的随机比较方法，包括点估计、区间估计、假设检验等。
3、利用数值模拟的方法，比较不同随机比较方法的性能，包括准确性、稳定性、敏感性等方面。
4、以实际数据为基础，对比不同随机比较方法的应用效果，分析其在工程实践中的应用前景。
四、存在问题及解决办法在进行研究过程中可能存在以下问题：1、数据质量问题：实际数据可能存在噪声、异常值等问题，需要进行数据预处理和合理的处理方法，保证数据的准确性和可靠性。
2、理论分析复杂度问题：基于Weibull分布的次序统计量的随机比较涉及到许多概率论和数理统计的理论知识，需要进行深入的分析和研究，同时需要进行实际应用的验证。
3、数值模拟方法选择问题：数值模拟方法的选择可能会影响研究结果的准确性和可靠性，需要选取合理的数值方法和分析工具。
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摘 要 ： 机 序 的 比较 是 对 随 机 变 量 之 间 相 关 关 系 的一 种 刻 画 ． 文 中将 证 明 ： 于 独 立 不 同分 布 随 在 对
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基 于 Ｗｅｂ ｌ 分 布 的次 序 统 计量 的随 机 比较 ｉｕ１
李 蔚 ，陈应 保
（ 中帅 范 大学 数 学 与 统 计 学 学 院 ，武 汉 ４ ０ ７ ） 华 ３ ０ ９
作 为 寿 命 分 布 的 一 种 ， ｅｂ ｌ分 布 在 实 际 生 ｗ ｉｕ１
活 和 工 程 应 用 中 起 着 举 足 轻 重 的 作 用 ，同 时
ｗ ｅ ｌ分 布 族 还 囊 括 了 非 常 重 要 的 指 数 分 布 ， ｍｕ１ 因 此 本文 所得 的结 论 也 可 以非 常 容 易的 应 用 到 指数 分 布．
在 给 出 结 论 之 前 ， 先 引 入 文 章 中 要 用 到 的 一 首
些记 号．
命题 １ 一 如 果 （ ）是 Ｓ ｈ ｒ凹函数 ， 么在 ｃｕ 那
Ｒ 中 ， ） 关 于 置 换 对 称 的 ， 即 在 置 换 变 换 下 （ 是 也 该 函数 是不 变 的．
定 理 １ 一 一 个关 于 置换对 称 的可 微 函数 （ Ｈ ）
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第 ４ １卷 第 ４期
２０ ０ ７年 １ ２月
华 中 师 范 大 学 学 报 （｛ 科 学 版 ） 『然
Ｊ ） Ｒ ＮＡ １ （Ｆ Ｕ Ａ ＺＨ Ｏ Ｎ Ｇ ＮＯ ＲＭ Ａ １ Ｕ ＮＩ ＥＲ Ｓ Ｔ Ｙ （ ａ ． Ｓｃ．） （Ｕ ） Ｈ Ｖ Ｉ Ｎ ｔ ｉ
个 维度 上不 同． 下 面 是 对 Ｓ ｈ ｒ凹 函数 的定 义 ， 关 结 论 也 非 ｃｕ 相
常 重要 ．
ｇ ｍｍａ 布 次序统 计 量 的 随 机 比较 ， 们 都 是 在 ａ 分 他 控 制的 意义 下进行 比较 的 ． 文将 证 明 ， 立 不 同 本 独 分 布但 形状 参 数 相 同的 两 Ｗｅ ｕ１ 布 随机 变 量 ｉ ｌ分 ｂ 所 对应 的次序 统计 量有 下 面的 随机 序 ： 当他们 共 同
华中师范大学学报（ 自然 科 学 版 ）
＊Ｅ ｍａｌ ｉ １ ｙ ｈ ｏ ｃ ｍ． ｎ — ｉ：ｌ ｗ３ ＠ ａ ｏ ． ｏ ｃ ．
≤ “ ≤ Ｐ（ ） Ｙ≤ “ 对 所 有 “∈ Ｒ 成 立 ， 称 Ｘ 在 一 ） 则 般 随 机 序 下 大 于 ｙ， 为 Ｘ ≥ ． 记 ｙ
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５０ １
大的分 布所 对应 的 次 序统 计 量 一 致 的大 于 尺 度参 数 小 的分布 所对 应 的次序 统计 量 ； 当形 状 参数 大 而 于 １ ， 时 我们 只能 得到 两组 次数 统计 量 中极 大值 之 间和极 小值之 间 的关 系 ， 尺度参 数 大的分 布对 应 的 极 小值 小于 尺度参 数小 的 分布 ， 而极 大值 却相 反．
是 Ｓ ｈ ｒ 函数 的 充 要 条 件 是 ｃｕ 凹
定义 １
若 一 （
一， ） 一 （ 一， ） ， ｆ
（ ｘ
） （
一
） ≤０
表 示 两 个 实 向 量 ， Ｊ≥ Ｌ ］ … ≥ ［ ， １ ２≥ ≥ ： ］ ２ ］
对 所 有 ≠ 成 立 ．
一
致 的 一般 随 机 序 ． 而 ， ａ大 于 １时 ， 本 对 应 的 极 大 值 和 极 小 值 统 计 量 有 着 相 反 的 一 般 随 然 当 样
机．
关 键 词 ： ｅ ｕ１ 布 ； 机 序 ；随 机 比较 ；拧 制 ； ｃ ｕ ｗ ｜ ｌ分 ｂ 随 Ｓ ｈ ｒ凹 函数 中 图 分 类 号 ： ）１． （２ ２ １ 文献 标 识 码 ： Ａ
≥ … ≥
表 示 和次序 统计 量 大小顺 序 刚好相 反
对 于凸 函数 的情况 不 等号反 向．
定 义 ３ 设 Ｘ 和 ｙ 为 两 个 随 机 变 量 ， 果 Ｐ（ 如 Ｘ
的统 计 量 ， 果 如
∑ ］ ∑ ： ≥
收 稿 日期 ： ０ ７０ — ５． ２ ０ —３１ 基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ ０ ７ ０ ０ １５ １７ ）
对 所 有
一 １ … ， 一 １ 成 立 ，并 且 ，
明 一
∑ ｊ 称 控制． ＞ 。 则 被 ， 记为 ．
控 制是 对 向量之 间关 系 的一种 描述 ． 引理 １ ＞ 的充 要条 件是 ： 在一个 有 限 存
对 于 非 负独 立 随 机 变量 随 机 比较 的研 究 已经 有 以下 一些 ： ｈ ｎ 【 考 虑 了两指 数分 布 随机 变 量 Ｃ ａｇ Ｉ
的 形 状 参 数 不 超 过 １时 ， 控 制 的 意 义 下 尺 度 参 数 在
定 义 ２ 对 于 函数 （ ： ” Ｒ， 所 有 ， ） Ｒ 一 对 ∈ Ｒ ， 如果 ＞ 有 （ ≤ （ 成 立 ， ） ） 则 （ 被称 ）
为 Ｓ ｈ ｒ凹 函 数 ． ｃｕ