关于1^m+2^m+...+n^m求和
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结一、简单分数裂项法：1.若分数的分母为n，则可将该分数表示为n等分之和，即如下形式：\(\frac{a}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{ 1}{n}\)这种情况下，裂项个数为分母的值。
2.若分数的分母为n，且分子a能被n整除，则可以将该分数表示为n等分之和，裂项个数为分子的值，即如下形式：\(\frac{a}{n}=\frac{a}{n}+\frac{a}{n}+...+\frac{a}{n}\)二、特殊分数裂项法：1.若分母为n(n≥2)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：\(\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}\)若此时n=2，则该分数可表示为：\(\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\)2.若分母为n(n≥3)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：\(\frac{1}{n}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1}\)若此时n=3，则该分数可表示为：\(\frac{1}{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}\)三、通用分数裂项法：1.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b，则可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：\(\frac{a}{b}=\frac{a+b}{b}+\frac{-b}{b}\)如将 \(\frac{7}{3}\) 进行裂项，可得：\(\frac{7}{3}=\frac{7+3}{3}+\frac{-3}{3}=\frac{10}{3}+\frac{-1}{3}\)2.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b的平方，则可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：\(\frac{a}{b^2}=\frac{a}{b^2}+\frac{a}{b^2}+...+\frac{a}{b^2}\)裂项的个数为分子的值。
母函数（生成函数）
母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。
如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。
具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。
（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。
假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。
⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。
递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。
所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。
然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。
具体计算就不算了。
PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。
高中必背88个数学公式
高中必背88个数学公式数学是一门需要记忆的学科，公式则是数学的重要部分。
在高中数学中，我们需要掌握的公式非常多。
下面就是必背的88个数学公式，大家可以结合具体情况进行记忆。
1. 两点距离公式：$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$2. 长方形周长公式：$C=2(a+b)$，面积公式：$S=ab$3. 正方形周长公式：$C=4a$，面积公式：$S=a^2$4. 平行四边形周长公式：$C=2(a+b)$，面积公式：$S=bh$5. 菱形周长公式：$C=4a$，面积公式：$S=\frac{1}{2}d_1d_2$6. 梯形周长公式：$C=a+b+c+d$，面积公式：$S=\frac{1}{2}(a+b)h$7. 圆心角公式：$l=R\theta$8. 弧长公式：$l=R\theta$9. 扇形面积公式：$S=\frac{1}{2}R^2\theta$10. 圆周率的记法：$\pi=\frac{C}{d}$11. 直角三角形勾股定理：$a^2+b^2=c^2$12. 三角形内角和公式：$180^{\circ}$13. 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$14. 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$15. 正切定理：$\frac{a-b}{a+b}=\tan\frac{A-B}{2}\cdot\tan\frac{A+B}{2}$16. 三角函数和差公式：$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$17. 三角函数积化和公式：$\sin x\cos y=\frac{1}{2}[\sin(x+y)+\sin(x-y)]$18. 三角函数积化差公式：$\cos x\cos y=\frac{1}{2}[\cos(x+y)+\cos(x-y)]$19. 三角函数半角公式：$\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cosx}{2}},\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$20. 一次函数解析式：$y=kx+b$21. 二次函数解析式：$y=ax^2+bx+c$22. 一次函数的斜率：$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$23. 一次函数的截距：$b=y-kx$24. 常数函数：$f(x)=c$25. 幂函数：$f(x)=x^a(a\in R,a\neq0)$26. 指数函数：$f(x)=a^x(a>0,a\neq1)$27. 对数函数：$\log_a x=y\Leftrightarrow a^y=x(a>0,a\neq1)$28. 指数函数的底数为e的情况：$f(x)=e^x$29. 对数函数的底数为e的情况：$f(x)=\ln x$30. 指数函数的性质：$a^x\cdot a^y=a^{x+y},(a^x)^y=a^{xy}$31. 指数函数的导数：$(a^x)'=a^x\ln a$32. 对数函数的性质：$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay,\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay,\log_aa^x=x$33. 对数函数的导数：$(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}$34. 牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$35. 实数幂次根的存在性定理：$a>0,n\in N^*$，则存在唯一的$b>0$，使得$b^n=a$。
专题06 物质的量【考点清单】(讲+练)(解析版)高一化学上学期期中考试复习
专题06物质的量01物质的量与气体摩尔体积1．物质的量(1)符号为n ，单位是摩尔(mol)。
(2)使用范围：适用于微观粒子或微观粒子的特定组合。
(3)阿伏加德罗常数：指1mol 任何粒子的粒子数，符号为N A ，N A ≈6.02×1023mol －1。
(4)公式：n ＝N N A 或N ＝n ·N A 或N A ＝N n。
点睛:物质的量——“四化”专有化“物质的量”四个字是一个整体，不能拆开，也不能添字。
如不能说成“物质量”或“物质的数量”等微观化只用来描述微观粒子，如原子、分子、离子、中子、质子、电子等及这些微粒的特定组合，如NaCl ；不能表示宏观的物质，如米具体化必须指明具体微粒的种类，常用化学式表示，如“1mol O”“2mol O 2”“1.5mol O 3”；不能说“1mol 氧”集体化物质的量可以表示多个微粒的特定组合或集合体，如1mol NaCl 、0.5mol H 2SO 42．摩尔质量点睛:摩尔质量——“三性”(1)等值性：摩尔质量只是以g·mol －1作单位时，在数值上与相对分子质量或相对原子质量相等。
(2)近似性：由于电子的质量非常微小，所以离子的摩尔质量以g·mol －1为单位时，其数值近似等于相对分子质量或相对原子质量，如Na 和Na ＋的摩尔质量都为23g·mol －1。
(3)确定性：对于指定的物质来说，其摩尔质量的值是一个定值，不随物质的物质的量多少而改变。
注意:摩尔质量与1mol 物质的质量的区别是两物理量的单位不同，1mol 物质的质量的单位是克，而摩尔质量的单位是克/摩。
如1mol H 2O 的质量是18g ，而H 2O 的摩尔质量是18g/mol 。
3．气体摩尔体积点睛；在标准状况下的气体摩尔体积(1)1个条件：必须为标准状况。
非标准状况下，1mol 气体的体积不一定是22.4L 。
因此在使用气体摩尔体积时。
人教版七年级数学上册4.1第2课时多项式课件
(3)a2+2ab+b2;(4)x2- 2 xy21- +y2.
32
解析 (1)4x2-3x+9为二次三项式,最高次项系数为4,常数项为9.
(2)a-a2b+b2+ 3 为三次四项式,最高次项系数为-1,常数项为3 .
7
7
(3)a2+2ab+b2为二次三项式,最高次项系数为1、2、1,无常数项.
(4)x2- 2 xy21-
3.(情境题·数学文化)(2021湖南湘西州中考)古希腊数学家把 1,3,6,10,15,21,…这样的数叫作三角形数,因为它的规律可以 用下图表示.根据图形,若把第1个图形表示的三角形数记为 a1=1,第2个图形表示的三角形数记为a2=3,……,则第n个图形
表示的三角形数记为an=
.(用含n的式子表示)
2
数是- 1 ,常数项是-5.故选C.
2
4.(2022江西九江修水期末)图中阴影部分的面积为 (用含a,b的式子表示).
解析 题图中阴影部分的面积为ab- 1 ×πb2×2=ab- b2.
4
2
5.说出下列多项式的项数、次数、最高次项系数、常数项.
(1)4x2-3x+9;(2)a-a2b+b2+ 3 ;
能力提升全练
8.(2022湖南长沙中考,7,★☆☆)为落实“双减”政策,某校 利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现 需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本 的单价为10元,乙种读本的单价为8元,设购买甲种读本x本, 则购买乙种读本的费用为 ( C ) A.8x元 B.10(100-x)元 C.8(100-x)元 D.(100-8x)元 解析 因为购买甲种读本x本,所以购买乙种读本(100-x)本, 故购买乙种读本的费用为8(100-x)元.
自然数幂和公式伯努利数
自然数幂和公式伯努利数自然数幂和公式与伯努利数（Bernoulli numbers）之间有着紧密的联系。
伯努利数是一个在数学中经常出现的数列，其定义与自然数的幂和公式有关。
首先，我们来看自然数幂和的定义。
对于任意正整数(n) 和(k)，自然数幂和(S_k(n)) 定义为[ S_k(n) = \sum_{i=1}^{n} i^k ]即前(n) 个自然数的(k) 次幂的和。
伯努利数(B_n) 则是一个无穷数列，其定义与自然数幂和的生成函数有关。
伯努利数的生成函数(B(x)) 定义为[ B(x) = \frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n ]其中(e^x) 是自然对数的底数(e) 的指数函数。
伯努利数与自然数幂和之间的关系可以通过以下公式体现：[ \sum_{i=1}^{n-1} i^k = \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k+1}{j} B_j n^{k+1-j} ]这个公式给出了自然数幂和的一个表达式，其中涉及到了伯努利数(B_j)。
这个公式在(k \geq 2) 时成立，对于(k = 1) 的情况需要特别处理，因为此时(B_1 = -\frac{1}{2}) 会导致分母为零。
伯努利数的前几项是：(B_0 = 1), (B_1 = -\frac{1}{2}), (B_2 = \frac{1}{6}), (B_3 = 0), (B_4 = -\frac{1}{30}), (B_5 = 0), (B_6 = \frac{1}{42}), (\ldots)。
可以看出，伯努利数的绝对值交替出现，且随着(n) 的增大而逐渐减小。
伯努利数在自然数幂和的计算中起到了关键的作用，它们提供了一种有效的方法来求解自然数幂和的问题。
同时，伯努利数也在其他数学领域，如数论、组合数学和微积分等中有着广泛的应用。
级数求和的八种方法
级数求和的八种方法级数求和是高等数学课程中经常出现的一个重要问题。
求和的方法因级数的性质和特点而异，下面介绍了八种方法，帮助我们更好地解决求和问题。
一、部分分式分解法部分分式分解是可用于求解一般有理函数的技术，可以将一个消去精度高的有理函数转换为单项式之和。
则，若级数为$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$，那么就有因此原级数可以改写为用局部熟知来代替繁琐的求和，求和得到$\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} -\frac{1}{3}+……+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$二、递推法定义$a_n$表示级数前n项总和，即则有$S_{1}=a_{1}$$S_{2}=a_{1}+a_{2}=S_{1}+a_{2}$……若能求出$a_n$的通项公式，则可以利用递推计算出$S_n$。
三、换序法如果知道级数的其中一项的值，那么就可以通过改变级数项的序列来大大简化求和问题。
换序法不影响级数的总和，因此只要找到如下的项$a_{n1},a_{n2},a_{n3},……,a_{nm}$，其中每一个$m$都满足那么原级数就可以换为$S_n=(a_1+a_2+a_3+……+a_{n_1-1})+(a_{n_1}+a_{n_2}+……+a_{n_m})+(a_{n_{m+1}}+……+a_n)$四、差分法对于一个级数，有时候会出现一个有规律的序列。
我们可以使用差分法来求解这个序列。
定义级数的前$n$项的差分序列为其中，$\Delta{a_k}=a_{k+1}-a_k$对于单调不降（单调不增）的数列，通过差分可以得到一个常数序列。
因此，级数前$n$项和可以表示为：$S_n=\frac{1}{2}a_1+\sum_{k=2}^{n}(\Delta{a_1}+\Delta{a_2}+……+\Delta{a_{k-1} })$五、Euler变换在求解级数之前，我们可以将级数转化为某个未知函数的级数，再进行求解。
2024-2025学年沪科版高二数学上册阶段测试试卷524
2024-2025学年沪科版高二数学上册阶段测试试卷524考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果．A. B*D，A*DB. B*D，A*CC. B*C，A*DD. A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D2、给出下列命题：①在区间上，函数中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程有个实数根，其中正确命题的个数为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）13、袋中共有5个球，除了颜色不同外，形状大小都相同．其中红球3个，白球2个，从中摸出二个球，至少有一个白球的概率是（）A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.74、“”是“函数没有极值”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表:广告费用x(万元) 4 2 3 5销售额y(万元) 49 26 39 54根据上表可得回归方程，其中=9．4,据此模型预报广告费用为6万元时,销售额为()A. 63．6万元B. 65．5万元C. 67．7万元D. 72．0万元6、方程所表示的曲线的图形是（）7、【题文】若是第四象限角，，则A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、已知x2+y2-2ax+4y-6=0的圆心在直线x+2y+1=0上，那么实数a等于．9、计算．10、【题文】抛物线的焦点为，在抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为，则的最大值为________。
11、已知△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中=（1，m，2），=（2，m，n）（m，n∈R），则m+n= ______ ．12、椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共4题，共32分)18、1. （本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).19、1. （本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。
求和∑的运算法则
求和∑的运算法则求和符号∑是数学中常见的符号之一，用于表示对一列数进行求和运算。
在数学中，求和符号的运用非常广泛，尤其是在微积分、概率论、统计学等领域，都需要用到求和运算。
本文将介绍求和符号的基本概念、运算法则，以及一些常见的应用场景。
一、求和符号的基本概念求和符号∑表示对一列数进行求和运算，其基本形式为：$$sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + cdots + a_n$$ 其中，$a_i$ 表示第 $i$ 个数，$n$ 表示一共有 $n$ 个数需要求和，$i=1$ 表示求和的起始位置，$i=n$ 表示求和的结束位置。
求和符号的上下标表示了求和的范围，上标表示求和的结束位置，下标表示求和的起始位置。
例如，$sumlimits_{i=1}^{5} i$ 表示对 $1,2,3,4,5$ 这五个数进行求和，其结果为 $1+2+3+4+5=15$。
二、求和符号的运算法则求和符号具有以下运算法则：1. 换元法则如果 $j$ 是 $i$ 的一个函数，那么可以通过换元来改变求和符号的下标。
具体来说，如果 $j$ 是单调递增的函数，则有：$$sum_{i=m}^{n} a_i = sum_{j=f(m)}^{f(n)} a_{f^{-1}(j)}$$ 如果 $j$ 是单调递减的函数，则有：$$sum_{i=m}^{n} a_i = sum_{j=f(n)}^{f(m)} a_{f^{-1}(j)}$$例如，$sumlimits_{i=1}^{5} i^2=sumlimits_{j=1}^{5}(j-1)^2$，其中 $j=i-1$。
2. 分拆法则对于一个求和式，可以将其中的某些项拆分成两个或多个部分进行求和，从而简化计算。
具体来说，如果 $a_i=b_i+c_i$，则有：$$sum_{i=1}^{n} a_i = sum_{i=1}^{n} b_i + sum_{i=1}^{n} c_i$$例如，$sumlimits_{i=1}^{n} (2i+1)=2sumlimits_{i=1}^{n}i+sumlimits_{i=1}^{n} 1=2frac{n(n+1)}{2}+n=n^2+3n$。
求和∑的运算法则
求和∑的运算法则求和符号∑是数学中常见的符号之一，表示对一列数进行加和运算。
在数学中，求和符号的运用非常广泛，涉及到微积分、概率论、数论等多个领域。
因此，了解和掌握求和符号的运算法则对学习和应用数学知识都具有重要的意义。
一、求和符号的定义求和符号∑可以表示为“Sigma”，是希腊字母中的一个。
其常用的数学表示式为：∑_(i=1)^n a_i=a_1+a_2+...+a_n其中，i是求和的下标，n是求和的上限，a_i则是相应下标的数值。
求和符号的意义就是将下标从1到n的所有数值相加。
二、求和符号的基本性质1. 求和符号的交换律对于任意的i和j，以下公式成立：∑_(i=1)^n a_i + ∑_(j=n+1)^m a_j = ∑_(i=1)^m a_i即，求和符号可以交换求和的顺序，从而得到相同的结果。
这个公式的意义是，将下标从1到n和从n+1到m的两部分数值相加，结果就是下标从1到m的所有数值相加。
2. 求和符号的分配律对于任意的常数c和i，以下公式成立：c ∑_(i=1)^n a_i = ∑_(i=1)^n c a_i即，求和符号可以与常数c相乘，从而得到相同的结果。
这个公式的意义是，将下标从1到n的所有数值乘以常数c，结果就是将下标从1到n的所有数值相加之后再乘以c。
3. 求和符号的结合律对于任意的i和j，以下公式成立：∑_(i=1)^n a_i + ∑_(i=n+1)^m a_i = ∑_(i=1)^m a_i即，求和符号可以将相邻的两部分数值相加，从而得到相同的结果。
这个公式的意义是，将下标从1到n和从n+1到m的两部分数值相加，结果就是下标从1到m的所有数值相加。
三、常见的求和公式1. 等差数列求和公式对于等差数列a_1，a_2，...，a_n，公差为d，其求和公式为：∑_(i=1)^n a_i = (a_1 + a_n) n/2其中，n是等差数列的项数。
2. 等比数列求和公式对于等比数列a_1，a_2，...，a_n，公比为q，其求和公式为：∑_(i=1)^n a_i = a_1 (1 - q^n)/(1 - q)其中，n是等比数列的项数。
n的m次方求和公式
n的m次方求和公式好嘞，以下是为您生成的关于“n 的 m 次方求和公式”的文章：咱们先来说说“n 的 m 次方求和公式”这玩意儿，它可不像咱平常吃的蛋糕那么容易一口就咬明白。
就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。
有一次课堂上，我刚讲到这个知识点，小明那小脑袋瓜就像被塞住了一样，一脸的迷茫。
我问他咋啦，他嘟囔着说：“老师，这 n 的 m 次方求和咋就这么难呢，感觉像一团乱麻。
”其实啊，n 的 m 次方求和公式看起来复杂，但是只要咱们一点点梳理，还是能弄清楚的。
咱们先从简单的开始。
比如说，当 m = 1 的时候，这就是一个等差数列求和啦。
假设 n 从 1 到 k ，那求和公式就是 (1 + k) * k / 2 。
这就好比你从一楼爬到 k 楼，每爬一层楼的高度都一样，算总高度就是这么个算法。
再复杂点，当 m = 2 时，也就是平方的求和。
这时候公式就变成了k * (k + 1) * (2k + 1) / 6 。
想象一下，这就好像你在操场上摆正方形的砖块，一行摆 n 个，一共摆 k 行，算总砖块数就是这个式子。
那要是 m = 3 呢？这可就更难一点啦，公式是 [k * (k + 1) / 2] ^ 2 。
感觉有点晕乎？别着急，咱们慢慢来。
回到小明这儿，我给他举了个例子。
比如说，咱们算 1 的 2 次方一直加到 5 的 2 次方。
按照公式，5 * （5 + 1）* （2 * 5 + 1）/ 6 ，也就是 5 * 6 * 11 / 6 ，算出来就是 55 。
小明眼睛一下子亮了，说：“哎呀，老师，好像有点明白了！”可别以为这就完事儿了，真正做题的时候，还得灵活运用这些公式。
有时候题目不会直接告诉你要算 n 的几次方的和，得你自己去琢磨，去转化。
比如说，给你一道题：已知数列 an = n ^ 2 ，求前 10 项的和。
这时候你就得反应过来，这就是要算n 的2 次方的和呀，套公式就能解决。
总之呢，“n 的m 次方求和公式”虽然有点难搞，但只要咱们多练习，多琢磨，就像解开一团乱麻一样，总能理出个头绪来。
求和∑的运算法则
求和∑的运算法则求和符号∑是数学公式中常见的符号之一，它表示对一组数值进行加和运算。
求和符号可以用来表示数列的和、矩阵的迹等等。
在数学、物理、统计学等领域中，求和符号都有广泛的应用。
本文将介绍求和符号的运算法则。
1. 求和符号的定义求和符号∑的定义如下：$$sum_{i=m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + cdots + a_n$$ 其中，$sum$表示求和符号，$a_i$表示要求和的数列，$m$和$n$表示数列的下标范围。
例如，$sum_{i=1}^3 i$表示对数列$1,2,3$进行加和，结果为$1+2+3=6$。
2. 求和符号的性质求和符号具有以下性质：（1）线性性质对于任意常数$c$和数列$a_i$和$b_i$，有：$$sum_{i=m}^n (c a_i + b_i) = c sum_{i=m}^n a_i +sum_{i=m}^n b_i$$这个性质表明，对于求和符号而言，加法和数乘可以交换顺序。
（2）移项性质对于数列$a_i$和$b_i$，有：$$sum_{i=m}^n (a_i - b_i) = sum_{i=m}^n a_i - sum_{i=m}^n b_i$$这个性质表明，对于求和符号而言，减法和加法可以交换顺序。
（3）累加性质对于数列$a_i$和$b_i$，有：$$sum_{i=m}^p a_i + sum_{i=p+1}^n a_i = sum_{i=m}^n a_i$$ 这个性质表明，对于求和符号而言，可以将一个区间的求和分成两个区间的求和。
（4）交换次序性质对于数列$a_{i,j}$，有：$$sum_{i=1}^m sum_{j=1}^n a_{i,j} = sum_{j=1}^nsum_{i=1}^m a_{i,j}$$这个性质表明，对于求和符号而言，可以交换求和顺序。
（5）重命名性质对于数列$a_i$和$b_i$，有：$$sum_{i=m}^n a_i = sum_{j=m}^n a_j$$这个性质表明，对于求和符号而言，可以重命名下标。
∑求和公式汇总
∑求和公式汇总求和公式是数学中常见的一个概念，它指的是将一列数相加的操作。
在数学中，求和公式具有非常重要的作用，可以简化复杂的计算过程，提高计算的效率。
下面我将为大家汇总一些常见的求和公式，希望能给大家带来一些帮助。
1. 顺序求和：顺序求和是最基本的求和公式，它表示将一列数按顺序相加的操作。
示例如下：∑(n=1到m)n = 1+2+3+...+m = m(m+1)/22. 平方和：平方和是指将一列数的平方相加的操作。
它在统计学中有着重要的应用，示例如下：∑(n=1到m)n^2 = 1^2+2^2+3^2+...+m^2 = m(m+1)(2m+1)/63. 立方和：立方和是指将一列数的立方相加的操作。
它在物理学中经常出现，示例如下：∑(n=1到m)n^3 = 1^3+2^3+3^3+...+m^3 = (m(m+1)/2)^24. 等差数列求和：等差数列指的是一个数列中两个相邻的数之差都是一个常数的数列。
对于等差数列的求和，我们可以使用下面的公式进行计算：∑(n=1到m)(a+(n-1)d) = (m/2)[2a+(m-1)d]5. 等比数列求和：等比数列指的是一个数列中两个相邻的数之比都是一个常数的数列。
对于等比数列的求和，我们可以使用下面的公式进行计算：∑(n=1到m)ar^(n-1) = (a(1-r^m))/(1-r)6. 调和级数求和：调和级数是指形如1/n的数列相加的操作。
调和级数的求和是无限的，但它的求和结果是有限的。
调和级数的求和公式如下：∑(n=1到m)1/n ≈ ln(m)+γ，其中ln(m)表示自然对数，γ是欧拉常数，约为0.5772。
7. 几何级数求和：几何级数是指形如a*r^(n-1)的数列相加的操作。
对于几何级数的求和，我们可以使用下面的公式进行计算：∑(n=1到m)a*r^(n-1) = a*(1-r^m)/(1-r)以上是一些常见的求和公式，它们在数学中有着广泛的应用。
常用的一些求和公式
下面是常用的一些求和公式：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数)称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数.通项公式前n项和等差中项a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数)称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数.通项公式前n项和等比中项无穷递减等比级数的和更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数)等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠ 1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
爱因斯坦求和约定
爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）是⼀种标记的约定，⼜在数学⾥，特别是将线性代数套⽤到物理时，爱因斯坦求和约定爱因斯坦标记法（Einstein notation），在处理关于坐标的⽅程式时⾮常有⽤。
这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年称为爱因斯坦标记法提出的[1]。
后来，爱因斯坦与友⼈半开玩笑地说[2]：“这是数学史上的⼀⼤发现，若不信的话，可以试着返回那不使⽤这⽅法的古板⽇⼦。
”按照爱因斯坦求和约定，当⼀个单独项⽬内有标号变量出现两次，⼀次是上标，⼀次是下标时，则必须总和所有这单独项⽬的可能值。
通常⽽⾔，标号的标值为1、2、3（代表维度为三的欧⼏⾥得空间），或0、1、2、3（代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空）。
但是，标值可以有任意值域，甚⾄（在某些应⽤案例⾥）⽆限集合。
这样，在三维空间⾥，的意思是。
请特别注意，上标并不是指数，⽽是标记不同坐标。
例如，在直⾓坐标系⾥，、、分别表⽰坐标、坐标、坐标，⽽不是⼀次⽅、⼆次⽅、三次⽅。
简介爱因斯坦标记法的基本点⼦是余向量与向量可以形成标量：。
通常会将这写为求和公式形式：。
在基底变换之下，标量保持不变。
当基底改变时，⼀个向量的线性变换可以⽤矩阵来描述，⽽余向量的线性变换则需⽤其逆矩阵来描述。
这样的设计为的是要保证，不论基底为何，伴随余向量的线性函数（即上述总和）保持不变。
由于只有总和不变，⽽总和所涉及的每⼀个项⽬都有可能会改变，所以，爱因斯坦提出了这标记法，重复标号表⽰总和，不需要⽤到求和符号：采⽤爱因斯坦标记法，余向量都是以下标来标记，⽽向量都是以上标来标记。
标号的位置具有特别意义。
请不要将上标与指数混淆在⼀起，⼤多数涉及的⽅程式都是线性，不超过变量的⼀次⽅。
在⽅程式⾥，单独项⽬内的标号变量最多只会出现两次，假若多于两次，或出现任何其它例外，则都必须特别加以说明，才不会造成含意混淆不清。
数列极限的运算性质
数列极限的运算性质极限的运算教学⽬标1熟练运⽤极限的四则运算法则，求数列的极限.2 ?理解和掌握三个常⽤极限及其使⽤条件?培养学⽣运⽤化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能⼒.3?正确认识极限思想和⽅法是从有限中认识⽆限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的⼀种辩证唯物主义的思想.教学重点与难点使⽤极限四则运算法则及3个常⽤极限时的条件.教学过程（⼀）运⽤极限的四则运算法则求数列的极限师：⾼中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个例1 ：求下列极限:3^27n 3n (1) limn师：（1）中的式⼦如何转化才能求出极限. ⽣：可以分⼦、分母同除以n3,就能够求出极限.7- 0+ 0^- 0 7师：（2）中含有幕型数，应该怎样转化？⽣；可以转化咸11啤JO的形式.分⼦、分母同时除臥"⼼0师：分⼦、分母同时除以3n-1结果如何? ⽣：结果应该⼀样.常⽤极限:1lim — =0,limC=C ,lim q n=0 (|q|<1 )来解决。
n4n3 1,3157 ----- 1 -------- p—解‘原式牡叮⼭lim 7 —lim —I- lim -□- + lim ~?lim4 -IL-KX*nf gfi解：原式=lim肮—CO孑Z怕I?⼃Mi）1z 0-1 3-lim Il旳⽣；不能-因为limq" = 0中!时，⼀般⽅法是把分⼦、分母同除以n的最⾼次為转化威求数列￡} 的极限问题.% rr^w师；第〔1）题有的同学结果得A有的得刍写岀⽾⼤家分析、判断正误.0^~ 31-0 1师：分⼦、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限?|q|1（⼆）先求和再求极限例2求下列极限：由学⽣⾃⼰先做，教师巡视.解法li 原式=lim +limJ+ +lim —\473 1~ + ~2□f K ） 1解袪基原式■站f 7 Hfg n -1 ..3n 2 + 5n5 3 + _3 鈕 22 *5⽣：因为极限的四则运算法则只适⽤于有限个数列加、减、和式成了⽆限项的和，不能使⽤运算法则，所以解法师：解法2先⽤等差数列的求和公式，求出分⼦的和, 件，从⽽求出了极限?第（2）题应该怎样做？⽣：⽤等⽐数列的求和公式先求出分母的和.池1-3 + 9 ------ +（- 3）^竝—関]_ ⼘⼸⼴ m=12 .师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及⽅法随意地搬到⽆限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适⽤条件.例3求下列极限：'f IV ]\{]\1CO 1 ⾎ ti 1 - -1 --1 -- (1)T*111 1-------- H ---------- 4 -------------- + …4 ----- --------------------------1 * 4 4 ? 7 7 - 10 （免⼀2）（飭⼗ 1）师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点,-lim 11 [ +lim n .n-*oo ] it-? 1 ]-p1 -—:-0 + Q + h +, + Q ■,=lim —n （4 + 3n ⼗ 1）乘、除的情况.此题当1是错的.满⾜了极限四则运算法则的条解:原式想出对策.（1）题是连乘积的形式，可以进⾏约分变形.⽣：「㈡⼘肛般爲4 11 +1 2n■■- ---- = -------5 fi + 2 n + 2 ' 故原式訓魁⼆么⽣：(2)题是分数和的形式，可以⽤“裂项法”变形. 1 1 1 1 1 * 4 4* 7 7 * 10 (3n-2][3n + l) 1 1+…+ ------------------- 3n - 2 五⼗】3n 4 1故原摯諾i=￡例4设⾸项为1，公⽐为q (q >0)的等⽐数列的前 n 项和为S n , 设⼏■菩L, n€N—军眄. 师：等⽐数列的前 n 项和S n 怎样表⽰？⽣甲’ /业呵 3n + l 1-q⽣⼄；当q=l 时，％ =当占1时，兀⼀—】_q师：看来此题要分情况讨论了. ⽣卞最简单的情况是当q ⼆1时，S lt = na 1则丁丸=limlL = 1.n 1-严师！回答正确.话1时，T肿］.⼬中纳必=? ⽣因却蜩 j 中，何€ 1-所以当q 尹1时，还要再分情况讨论?当 Q > 1 时，limT —q ;当 0 W q W 1 时，limT =1 .师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：解:当⼼时代訥f 则空字,輙I;誨罟⼆1;当q 〉0且诒时,a ⽃⼔么严 T n1 - q 1 - q因此当C MqQ 时,■，出⼯ -1; 当q ⼆1时, 且，住 -<■师：本例重点体现了分类讨论思想的运⽤能够使复杂问题条理化?同学们在利甩^『⼆0： |q|< 1求概限⽅⾯有了很⼤进歩.（三）公⽐绝对值⼩于 1的⽆穷等⽐数列前 n 项和的极限师：⽲U ⽤⽆穷等⽐数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公⽐的绝对值⼩于1的⽆穷等⽐数列各项和的公式：$=寻，其中引是数列的⾸项，曲公⽐.⑴数列7 ■⼘彩…’…所有项的和辽）⽆穷等⽐数列V2+1, L ^2-1, ■"所有奇数项的和.题⽬不难，可由学⽣⾃⼰做. 师：（1）中的数列有什么特点？⽣：⾸项丙是，公⽐是冷的⽆穷等⽐数列?冷<1,可以直1接⽤公式S - —j⼋=；.师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么?1 ⼀ f当0〔 n+i当⼼咏器承希有q-⽣实质是求⽆穷等⽐数列72+L 屈4…所有项的和眄J — 罷-1 e q ⼆萨" -2^<1. S-后严1-尹2也 2师；使⽤梆⼷要注意三个问趣（1 ）所给数列是等⽐数列；（2）公⽐的绝对值⼩于 1;C3）前□项和与所有项和的关系S = limS =—打―00 * I -（四）利⽤极限的概念求数的取值范围例6 （1）⼰知⽫兽炉=和求点值，l ■蘭 3- 5n 2（2）⼰知曲——乡 --- 莎冷p 求坦的取值範围?九~啊严札⼗⾎⼀2） 2师：（1）中a 在⼀个等式中，如何求出它的值. ⽣：只要得到⼀个含有 a 的⽅程就可以求出来了. 师：同学能够想到⽤⽅程的思想解决问题⾮常好，怎样得到这个⽅程? ⽣：先求极限.解: 因-| ° f J 贝临=~师：（2）中要求m 的取值范围，如何利⽤所给的等式？⽣：观察所给等式的左侧，发现要求极限需要利乱輛1M3?这⾥m 的范围.lim 1+ n +an25 Ta5|q|v 1，正好能得到⼀个含有m 的不等式，解不等式就能求出解:作业答案或提⽰由已知，上式值为⼆-因此hrn2罷⼇侮=O s 于是有m -22解得O v m v 4.师：请同学归纳⼀下本课中求极限有哪些类型？⽣：主要有三种类型：（1）利⽤极限运算法则和三个常⽤极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n 项和，再求数列的极限；（3）求公⽐绝对值⼩于 1的⽆穷等⽐数列的极限. 师：求数列极限应注意的问题是什么？⽣甲：要注意公式使⽤的条件.⽣⼄：要注意有限项和与⽆限项和的区别与联系.上述问答，教师应根据学⽣回答的情况，及时进⾏引导和必要的补充. （五）布置作业1.填空题：（?）当融时’lim2 .选择题：（数列何｝的通项公式为铲⼼-张）“，若鮒存在,则x 的取值范围是[].A . 2B . -2C . 1D . -1W …+严1的值是[].1. (1) 0；(7) a .2 ?选择题：(2)* ⑶ 1； (4^ -1； (5)h ⑹ 0;⑴提⽰；当|3-*| V1时诂曙⽿⼆0,解得⼻当3-5u = 1Hf, lima n =l f 解⼻导Ji =三.故选C.Tlf QQ°(2)由于所给两个极限存在，所以 a n 与b n 的极限必存在，得⽅程故加隆也)⽼故选丄以上习题教师可以根据学⽣的状况，酌情选⽤. 课堂教学设计说明1 ?掌握常⽤⽅法，深化学⽣思维.数学中对解题的要求，⾸先是学⽣能够按部就班地进⾏逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学⽣⽴即反思，为什么要这么做？对常⽤⽅法只停留在会⽤是不够的，应该对常⽤⽅法所体现的思维⽅式进⾏深⼊探讨，内化为⾃⾝的认知结构，然后把这种思维⽅式加以运⽤?例1的设计就是以此为⽬的的.2 ?展⽰典型错误，培养严谨思维.第⼆课时数列极限的运算性质教学⽬标：1、掌握数列极限的运算性质；会利⽤这些性质计算数列的极限2、掌握重要的极限计算公式：lim(1+1/n) n =e教学过程：⼀、数列极限的运算性质如果 lima n =A , limb n =B ，那么(1) lim(a n +b n )= lima n + limb n =A+B (2) lim(a n -b n )= lima n - limb n =A-B(3) lim(a n ?b n )= lima n ? limb n =A ?B (4) lim(a n /b n )= lima n / limb n =A/B ( BO , b n 0) 注意：运⽤这些性质时，每个数列必须要有极限，在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零。