2011届高考数学三角恒等变换2
【下雨啦】2011年高考数学总复习精品课件三角函数与三角恒等变换.
β ( β ) ,2 ( β ) ( β )、 是 的2倍角等 . 2 2 4
例题剖析 [例1]
不查表求值 cos40(1 3 tan10) 原式=cos40°(1+
[解析]
3 sin 10 ) cos10 cos 40( 3 sin 10 cos10) cos10 3 1 2 cos 40( sin 10 cos10) 2 2 cos10 2 cos 40 sin(10 30) cos10 2 cos 40 sin 40 sin 80 cos10 1 cos10 cos10 cos10
cos 2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2 sin 2 2 tan tan 2 1 tan2
3.
1 cos 2 sin 2
2
知识要点
1 cos 2 cos 2
2
4. a sin x b cos x a 2 b 2 (
知识要点
4. 同角三角函数关系是由三角函数的定义推导得到的，所以各“恒等” 的含义是使各三角函数及各式有意义. 5. ①平方关系:sin2α+cos2α=1 sin ②商数关系:tanα= cos 6. ①2kπ+α(k∈Z),-α,π ±α，2π -α的三角函数值等于α的同名函数值， 前面加上一个把α“看成”锐角时原函数值的符号，即“函数名不变， 符号看象限”.
sin 3 cos3 的值.
1 [解析] (sin cos ) , 25 24
2
25 又 (0, )时, sin 0, cos 0, ( , ) 2 sin cos (sin cos) 2 24 7 1 2 sin cos 1 . 25 5
2011届高考数学期中考试精选分类汇编—三角函数及三角恒等变换
全国各地市重点名校2011届高三高考数学【文、理】期中考试精选38套分类汇编-----三角函数及三角恒等变换（湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【文】）3、已知23)23cos(=-ϕπ，且2||πϕ<，则ϕtan 为 （ ）A ．33-B ．33C ．3-D ．3 （湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【文】）4、设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线=x 1对称，且当x ≥1时，13)(-=x x f ，则有（ ）A ．)32()23()31(f f f <<B ．)31()23()32(f f f <<C ．)23()31()32(f f f <<D ．)31()32()23(f f f <<（湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【文】）5、若函数)0()32cos(>+=ωπωx y 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则=ω（ ） A ．21B ．1C ．2D ．4 （湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【文】）17、(本题满分12分) 已知)3,0(),0,3(B A ，C(ααsin ,cos )，O 为原点； （1）若//，求αtan ；（2）若||OA OC +=与的夹角。
答案：（湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【理】）4、 sin210O= （ ）(A)23(B) -23 (C)21(D)21-（湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【理】）16（12分）.已知1024cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx 。
(1)求sinx 的值; (2)求⎪⎭⎫⎝⎛+32sin πx 的值.答案：（江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）6．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1A C B C ⋅=- ，则21tan 2sin sin2ααα++的值为（ ）A ．59-B ．95-C ．2D ．3（江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）15．已知31)6tan(,21)6tan(-=-=++ββα，则)3tan(πα+=_____________1 （江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）18．（本小题满分12分）已知函数2()cos 22sin ,3f x x x x R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期及图像的对称轴方程； （2）设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域答案：解：⑴1π()cos 22cos 21sin 2126f x x x x x ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，………3分∴最小正周期2ππ2T ==．………4分 由ππ2π()62x k k -=+∈Z ，得ππ()23k x k =+∈Z 函数图像的对称轴方程为ππ()23k x k =+∈Z ………6分⑵222πππ31()[()]()sin 23sin 22sin 266624g x f x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦8分当πsin 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，()g x 取得最小值0；………10分当πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值6，所以()g x 的值域为[]0,6．………12分（江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）5． 若31)sin()2sin(=+++x x ππ，则sin cos x x ⋅的值为 （ ）A ． 94B ． 94-C ． 98-D ．98（江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）7．设A ，B ，C 是△ABC 三个内角，且tanA ，tanB 是方程3x －5x +1=0的两个实根，那么 △ABC 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上均有可能 （江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）15．已知点G 是ABC ∆的重心，若︒=∠60A ，2=⋅的最小值是____ ．332 （江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）20．（本小题满分12分）已知函数221()2(cos sin )122f x x x x =--- （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且0)(,7==C f c ，若向量(1,sin )m A =与向量)sin ,3(B n =共线，求,a b 的值。
2011届全国各地高考数学试题汇编 三角函数的图象和性质及三角恒等变换2
三角函数的图象和性质及三角恒等变换题组二一、选择题1．（2011湖南嘉禾一中）x x x y 2cos 32sin )2sin(sin ππ++=的最大值 和最小正周期分别是（ ） A ．231+ B ．2，2π C ．2，2π D ．1，2π 答案 D.2．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）函数的图象为C ，则下列论断中，正确论断的个数是（ ） （1）图象C 关于直线对称；（2）函数在区间内是增函数；（3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C.3．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( ) )(A 22cos y x = )(B cos 2y x = )(C cos 2y x =- )(D 22cos y x =-答案 A.4. （福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）将函数)42sin(4)(π+-=x x f 的图象向右平移ϕ个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的21倍,所得图象关于直线4π=x 对称,则ϕ的最小正值为 ( )A. π81B. π83C.π43 D. π21 答案 B.5. （福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）在同一直角坐标系中，3cos()([0,2])22xy x ππ=+∈的图象和直线21=y 的交点个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 4答案 C.6．（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）函数2()2cos sin 21f x x x =+- ，给出下列四个命题：（1）函数在区间5[,]88ππ上是减函数； （2）直线8π=x 是函数图象的一条对称轴；（3）函数)(x f 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向左平移4π而得到； （4）若 [0,]2x π∈ ，则)(x f 的值域是2] 。
2011年高考数学试题分类考点15 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换
考点15 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换一、选择题1.（2011·福建卷理科·Ｔ3）若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【思路点拨】将2sin 2cos aα化简为与tan α有关的式子，然后将tan 3α=代入求解. 【精讲精析】选D. 22sin 22sin cos 2tan 6cos cos αααααα⋅===,2sin 2cos αα∴的值等于6. 2.（2011·福建卷文科·Ｔ9）若α∈（0， 2π），且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于（ ）（A （B （C 【思路点拨】将2cos 212sin αα=-代入21sin cos 24αα+=求得sin α的值，然后再求cos α和tan α的值.【精讲精析】选D.21sin cos 24αα+=，221sin (12sin )4αα∴+-=，23sin 4∴=α，又0,,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα1cos ,sin tan 22∴==∴=ααα3.（2011·浙江高考理科·Ｔ6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()43πα+=，cos ()423πβ-=则cos ()2βα+=（ ）（A ）3 （B ）3-（C ）9 （D ）9- 【思路点拨】用已知角拼凑所求角,注意求函数值时角的符号.【精讲精析】选C.由1cos ()43πα+=,3444πππα<+<可得sin()43πα+=，由cos ()42πβ-=及4422ππβπ<-<可得sin()42πβ-=所以cos ()cos[()()]cos()cos()sin()sin()2442442442133339+=+--=+-++-=⋅+=βππβππβππβαααα 4.（2011·辽宁高考理科·Ｔ7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A)79- (B)19- (C)19 (D)79【思路点拨】先将sin 1+=43πθ（）展开，再两边平方化简即得． 【精讲精析】选A.将sin 1+=43πθ（）展开得31)sin (cos 22=+θθ，两边平方得91)2sin 1(21=+θ，所以sin 2θ=79-． 二、填空题 5.（2011·江苏高考·Ｔ7）已知,2)4tan(=+πx 则x x 2tan tan 的值为__________． 【思路点拨】本题考查的是三角函数的化简与计算，解题的关键是求出1tan 3x =，然后正确化简x x 2tan tan ． 【精讲精析】由题,2)4tan(=+πx 可得1tan 3x =，2tan 1tan 4tan 229x x x -==． 【答案】49三、解答题6.（2011·广东高考理科·Ｔ16）已知函数R x x x f ∈-=),631sin(2)(π （1）求）45(πf 的值； （2）设α、⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πβ，，1310)23(=+παf ，56)23(=+πβf ，求)cos(βα+的值. 【思路点拨】（1）以45π=x 代入解析式直接求解；（2）由题目条件可求出sin α及cos β的值，然后利用同角三角函数关系，求出cos α及sin β的值，再利用两角和的余弦公式求解.【精讲精析】（1）24sin 2)64531sin(2)45(==-⨯=ππππf ； （2）由10f (3)213πα+=得2sin α=1310,即sin α=135，由56)23(=+πβf 得2sin(2πβ+)=56,从而cos 53=β, α 、πβ[0]2∈，，∴cos 12α13==,sin 4β5==,∴cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β=123541613513565⨯-⨯=. 7.（2011·江西高考理科·Ｔ17）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin2C （1）求sinC 的值；（2）若 a 2+b 2=4(a+b)-8，求边c 的值.【思路点拨】（1）首先利用倍角公式化简sinC+cosC=1-sin2C 为2sin (2cos 1)2sin 222+=C C C ，即1sin cos ,222-=C C 再平方易得sinC.(2)由a 2+b 2=4(a+b)-8，易得a=2,b=2,再由余弦定理易得边c.【精讲精析】222221sin sin 1cos ,sin (2cos 1)2sin ,22221sin 02cos 12sin sin cos ,2222223sin .413(2)sin cos 0,,sin 22242224,4()82)(2)0,4+=-+=≠+-==-=><<<<=+=+--+-==C C C C C C C C C C C C C C C C C a b a b a b a ππππ=（）由已知得即由得，即两边平方得：由得即，则由得cosC= -由得：(则2222,2,2cos 81.==+-=+=b a b ab C c 由余弦定理得：c 所以。
三角函数及三角恒等变换
全国各地市重点名校2011届高三高考数学【文、理】期中考试精选38套分类汇编-----三角函数及三角恒等变换（湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【文】）3、已知23)23cos(=-ϕπ，且2||πϕ<，则ϕtan 为 （ ）A ．33-B ．33C ．3-D ．3（湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【文】）4、设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线=x 1对称，且当x ≥1时，13)(-=xx f ，则有 （ ） A ．)32()23()31(f f f << B ．)31()23()32(f f f << C ．)23()31()32(f f f << D ．)31()32()23(f f f << （湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【文】）5、若函数)0()32cos(>+=ωπωx y 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则=ω（ ）A ．21B ．1C ．2D ．4（湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【文】）17、(本题满分12分)已知)3,0(),0,3(B A ，C(ααsin ,cos )，O 为原点； （1）若AB OC //，求αtan ；（2）若||13OA OC +=，求OA 与OC 的夹角。
答案：（湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【理】）4、 sin210O = （ ）(A)23 (B) -23 (C)21 (D)21-（湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【理】）16（12分）.已知1024cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx 。
(1)求sinx 的值; (2)求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πx 的值. 答案：（江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）6．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1AC BC ⋅=-，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为（ ）A ．59-B ．95-C ．2D ．3（江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）15．已知31)6tan(,21)6tan(-=-=++πβπβα，则)3tan(πα+=_____________1（江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）18．（本小题满分12分）已知函数2π()cos 22sin ,3f x x x x R⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期及图像的对称轴方程；（2）设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域答案：解：⑴13π()cos 2sin 2cos 21sin 21226f x x x x x ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，………3分 ∴最小正周期2ππ2T ==．………4分由ππ2π()62x k k -=+∈Z ，得ππ()23k x k =+∈Z 函数图像的对称轴方程为ππ()23k x k =+∈Z ………6分⑵222πππ31()[()]()sin 23sin 22sin 266624g x f x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-+=-+-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦8分当πsin 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，()g x 取得最小值0；………10分当πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值6，所以()g x 的值域为[]0,6．………12分（江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）5． 若31)sin()2sin(=+++x x ππ，则sin cos x x ⋅的值为（ ）A ． 94B ． 94-C ． 98-D ． 98（江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）7．设A ，B ，C 是△ABC 三个内角，且tanA ，tanB 是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么 △ABC 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上均有可能 （江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）15．已知点G 是ABC ∆的重心，若︒=∠60A ，2=⋅AC AB ，则AG的最小值是____ ．332（江西赣州十一县市2011届高三期中考试【理】）20．（本小题满分12分）已知函数2231()sin 2(cos sin )122f x x x x =---（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且0)(,7==C f c ，若向量(1,sin )m A =与向量)sin ,3(B n =共线，求,a b 的值。
2011年全国各地高考数学分类汇编-08三角函数 三角恒等变换
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数 三角恒等变换）一、选择题：1. (2011福建文)若a ∈（0， 2π），且sin 2a+cos2a=14，则tana 的值等于（ ）A.2B. C. D.1.解析：221sin cos 2cos 4ααα+==,而a ∈（0， 2π），则,tan 3παα==答案应选D 。
2．(2011辽宁理)设sin 1+=43πθ（），则sin2θ=（ ） A ．79- B ．19- C ．19 D ．793. (2011福建理)若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 解析：2sin 22tan 6cos aαα==，选D 。
4. (2011湖北文、理)已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为（ ） A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππD. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B .5．(2011辽宁文)已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)(πf （ ）A ．BC ．3D ．26. (2011安徽理)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（ ）（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦6.C 【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以(21),6k k Z πϕπ=++∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得()sin(2)6f x x π=-+，由3222262k x k πππππ+++剟，得263k x k ππππ++剟，故选C.7. (2011全国大纲卷文、理)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（ ） （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系. 【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.8.(2011全国新课标卷文、理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ= ( )（A ）45-（B ）35- (C) 35 (D) 45解析：本题考查三角公式，属于容易题。
2011年高考数学简单的三角恒等变换配套试卷及答案
简单的三角恒等变换1.如果α∈(π2，π)，且sin α＝45，那么sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝ ( )A.425 B ．－425 C.325 D ．－325解析：∵sin α＝45，π2＜α＜π，∴cos α＝－35，而sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝2sin(α＋π2)＝2cos α＝－325.答案：D2．(2010·平顶山模拟)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )A.54B. 2 C ．1 D.32 解析：由sin 2A ＋cos 2B ＝1，得sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B ，故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos2A ＝－cos 2A ＋2cos A ＋1. 又0＜A ＜π2，0＜cos A ＜1.∴cos A ＝12时，有最大值32.答案：D3．在△ABC 中，已知cos(π4＋A )＝35，则cos2A 的值为________．解析：cos(π4＋A )＝cos π4cos A －sin π4sin A＝22(cos A －sin A )＝35， ∴cos A －sin A ＝325＞0. ①∴0＜A ＜π4，∴0＜2A ＜π2①2得1－sin2A ＝1825，∴sin2A ＝725.∴cos2A ＝1－sin 22A ＝2425.答案：24254．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x . (1)求f (π4)的值；(2)设α∈(0，π)，f (α2)＝22，求sin α的值．解：(1)∵f (x )＝sin2x ＋cos2x ， ∴f (π4)＝sin π2＋cos π2＝1.(2)∵f (α2)＝sin α＋cos α＝22.∴sin(α＋π4)＝12，cos(α＋π4)＝±32.sin α＝sin(α＋π4－π4)＝12×22－(±32)×22＝2∓64. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.故sin α＝2＋64.5.函数y ＝2cos 2x ( ) A ．(－π4，π4) B ．(0，π2) C ．(π4，3π4) D ．(π2，π)解析：函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ，它的一个单调递增区间是(π2，π)．答案：D6．化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α等于 ( )A ．1B ．－1C ．cos αD ．－sin α 解析：原式＝cos2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1.答案：A7．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是 ( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°)＝tan21°＋tan24°1－tan21°tan24°，∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°， 即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1， ∴(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2， 同理(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝2，∴(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝2×2＝4. 答案：B8．求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x .证明：左边＝sin 2x cos 2x ＋cos 2xsin 2x＝sin 4x ＋cos 4x sin 2x cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x 14sin 22x＝1－12sin 22x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 18(1－cos4x )＝8－4sin 22x 1－cos4x ＝4＋4cos 22x 1－cos4x ＝4＋2(1＋cos4x )1－cos4x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x＝右边．∴tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x .9.(2010·大连模拟) ( ) A ．(π3，π2) B ．(π3，π) C ．(π3，4π3) D ．(π3，3π2)解析：sin α＞3cos α，即sin α－3cos α＞0，即2sin(α－π3)＞0，即sin(α－π3)＞0.又0≤α≤2π，故－π3≤α－π3≤5π3.综上，0＜α－π3＜π，即π3＜α＜4π3.答案：C10．已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围是________．解析：法一：设x ＝cos αsin β，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12＋x ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝12－x .∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴⎩⎨⎧－1≤12＋x ≤1，－1≤12－x ≤1，∴⎩⎨⎧－32≤x ≤12，－12≤x ≤32.∴－12≤x ≤12.法二：设x ＝cos αsin β，sin αcos βcos αsin β＝12x .即sin2αsin2β＝2x .由|sin2αsin2β|≤1，得|2x |≤1，∴－12≤x ≤12.答案：11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)一个周期的图象如图所示． (1)求函数f (x )的表达式；(2)若f (α)＋f (α－π3)＝2425，且α为△ABC 的一个内角，求sin α＋cos α的值．解：(1)从图知，函数的最大值为1，则A ＝1. 函数f (x )的周期为T ＝4×(π12＋π6)＝π.而T ＝2πω，则ω＝2.又x ＝－π6时，y ＝0，∴sin ＝0.而－π2＜φ＜π2，则φ＝π3，∴函数f (x )的表达式为f (x )＝sin(2x ＋π3)．(2)由f (α)＋f (α－π3)＝2425，得sin(2α＋π3)＋sin(2α－π3)＝2425，即2sin2αcos π3＝2425，∴2sin αcos α＝2425.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2425＝4925.∵2sin αcos α＝2425＞0，α为△ABC 的内角，∴sin α＞0，cos α＞0，即sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝75.。
2011-2012年高考数学真题分类汇编第三章三角恒等变换(含解析)新人教版必修4
必修4第三章三角恒等变换1.（2012·安徽高考卷·T18·5分）在平面直角坐标系中，点O （0，0），点()6,8P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ） （A）(- （B）(-(C) ()2-- (D) ()- 【答案】A【解析】三角求值和定义.设POx α∠=，因为()6,8P ，所以4t a n=3α，可得431t a n t a n 3134tan =34471tan tan 143παπαπα-+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⨯+，验证可知只有当Q点坐标为(-时满足条件，故答案为A ；法二：估算.设POx α∠=，因为()6,8P ，所以4t a n=3α，可得<43ππα<，313<412πππα<+，所以点Q 在第三象限，排除B ，D 选项，又30tan <24πα⎛⎫<+- ⎪⎝⎭故答案为A.【技巧点拨】本题快速求解的办法是直接估测出角34πα+的范围，再利用三角函数定义加以排除.2.（2012·安徽高考卷·T4·5分）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】B【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【点评】本题主要考察三角函数的图象变化，三角变换是三角函数图象内容的一个重要的考点3.（2011年辽宁）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= （A ）79-（B ）19-（C ）19 （D ）79【答案】A4.（2011年福建）若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】D5.（2011年全国新课标）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 【答案】A6.（2011年上海）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。
高考数学热点：三角恒等变换
高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。
高考数学知识点：简单的三角恒等变换
高考数学知识点：简单的三角恒等变换一、半角公式(不要求记忆)
典型例题1：
二、三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
1、三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
2、三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．
3、三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典型例题2：
三、三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1、一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
2、二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
3、三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
典型例题3：
四、三角函数求值有三类
1、“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
2、“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
3、“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
典型例题4：
三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．典型例题5：
【作者：吴国平】。
2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题11 三角函数定义与三角函数恒等变换(学生版)
专题11三角函数定义与三角函数恒等变换年份题号考点考查内容2011课标理5文7三角函数定义三角恒等变换三角函数定义与二倍角正弦公式2013卷2理15同角三角函数基本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数基本关系式、三角函数在各象限的符号及两角和的正切公式卷2文6同角三角函数基本关系与诱导公式三角恒等变换二倍角公式及诱导公式2014卷1理8同角三角函数基本关系与诱导公式三角恒等变换本题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、三角函数性质等基础知识卷1文2三角函数定义三角函数在各象限的符号2015卷1理2同角三角函数基本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式及两角和与差的三角公式2016卷2理9三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式卷3理5同角三角函数基本关系与诱导公式二倍角正弦公式、同角三角函数基本关系、三角函数式求值．卷1文14同角三角函数基本关系与诱导公式诱导公式、同角三角函数基本关系、三角函数求值卷3文6同角三角函数基本关系与诱导公式利用二倍角公式及同角三角函数基本关系求值2017卷1文14三角恒等变换同角三角函数基本关系与诱导公式同角三角函数基本关系、两角和公式及化归与转化思想卷3文4三角恒等变换同角三角函数基本关系与诱导公式二倍角的正弦公式与同角三角函数基本关系．2018卷2理15三角恒等变换同角三角函数基本关系与诱导公式同角三角函数基本关系、两角和公式及化归与转化思想卷3理4文4三角恒等变换二倍角余弦公式，运算求解能力卷1文11三角函数定义同角三角函数基本关系与诱导公式三角函数定义、同角三角函数基本关系，转化与化归思想与运算求解能力卷2文15同角三角函数基本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化归思想与运算求解能力2019卷2理10三角恒等变换二倍角公式及同角三角函数基本关系，运算求解能力卷3文5三角恒等变换函数零点二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．卷1文7同角三角函数基本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式，两角和的正切公式卷2文11同角三角函数基本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数基本关系、二倍角公式、已知函数值求角，运算求解能力2020卷1理9三角恒等变换二倍角公式，平方关系卷2理2三角恒等变换二倍角公式，三角函数的符号文13三角恒等变换二倍角公式卷3理9三角恒等变换两角和的正切公式卷3文5三角恒等变换两角和的正弦公式考点出现频率2021年预测三角函数定义4/232021年高考仍将重点考查同角三角函数基本关系及三角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题．同角三角函数基本关系与诱导公式16/23三角恒等变换13/23三、试题分类探求规律考点36三角函数定义1．(2018•新课标Ⅰ，文11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos 23α=，则||(a b -=)A ．15B C ．D ．12．(2014新课标I ，文2)若tan 0α>，则A.sin 20α>B ．cos 0α>C ．sin 0α>D ．cos 20α>3．(2011全国课标理5文7)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=(A)45-(B)35-(C)35(D)454．(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,55P --．(1)求sin()απ+的值；(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．考点37同角三角函数基本关系与诱导公式1．(2019•新课标Ⅱ，文11)已知(0,)2πα∈，2sin 2cos 21αα=+，则sin (α=)A ．15B ．55C ．33D ．2552．(2016新课标卷3，理5)若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=(A)6425(B)4825(C)1(D)16253．(2016全国课标卷3，文6)若tan 13θ=，则cos 2θ=()(A)45-(B)15-(C)15(D)454．(2013浙江)已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan ()A ．34B ．43C ．43-D ．34-5．(2012江西)若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=()A ．−34B ．34C ．−43D ．436．(2013广东)已知51sin()25πα+=，那么cos α=A ．25-B ．15-C ．15D ．257．(2016•新课标Ⅰ，文14)已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-=．8．(2013新课标Ⅱ，理15)若θ为第二象限角，1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=．9．(2014江苏)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值．考点38三角恒等变换1．(2020全国Ⅰ理9)已知() 0,πα∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=()A ．53B ．23C ．13D ．592．(2020全国Ⅱ理2)若α为第四象限角，则()A ．02cos >αB ．02cos <αC ．02sin >αD ．02sin <α3．(2020全国Ⅲ文5)已知sin sin 13θθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 6θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A ．12B ．33C ．23D ．224．(2020全国Ⅲ理9)已知2tan tan 74θθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan θ=()A ．2-B ．1-C ．1D ．25．(2019•新课标Ⅱ，理10)已知(0,2πα∈，2sin 2cos 21αα=+，则sin (α=)A ．15B ．5C ．3D ．56．(2019•新课标Ⅲ，文5)函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为()A ．2B ．3C ．4D ．57．(2019•新课标Ⅰ，文7)tan 255(︒=)A．2--B．2-C．2D．28．(2018•新课标Ⅲ，理4文4)若1sin 3α=，则cos 2(α=)A ．89B ．79C ．79-D ．89-9．(2017新课标卷3，文4)已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=A ．79-B ．29-C ．29D ．7910．(2016•新课标Ⅱ，理9)若3cos()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-11．(2015新课标Ⅰ，理2)sin20°cos10°-con160°sin10°=A ．32-B ．32C ．12-D ．1212．(2014新课标Ⅰ，理8)设(0,2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=13．(2013新课标Ⅱ，文6))14．(2015重庆)若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα--＝()A ．1B ．2C ．3D ．415．(2012山东)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ，8732sin =θ，则=θsin ()A ．53B ．54C ．47D ．4316．(2011浙江)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos(2βα+=A ．33B ．33-C ．539D ．69-17．(2020全国Ⅱ文13)设32sin -=x ，则=x 2cos ．18．(2020江苏8)已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________．19．(2020浙江13)已知tan 2θ=，则cos 2θ=；πtan 4θ⎛⎫-=⎪⎝⎭．20．(2020北京14)若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为．21．(2018•新课标Ⅱ，理15)已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=．22．(2018•新课标Ⅱ，文15)已知51tan()45πα-=，则tan α=．23．(2017新课标卷，文14)已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．24．(2019北京9)函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是________．25．(2019江苏13)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_________．26．(2017北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________．27．(2017江苏)若1tan()46πα-=，则tan α=．28．(2015四川)=+75sin 15sin ．29．(2015江苏)已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______．30．(2013四川)设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是_____．31．(2012江苏)设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为．32．(2018江苏)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．(1)求cos 2α的值；(2)求tan()αβ-的值．33．(2014江西)已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ．(1)求θ，a 的值；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值．34．(2013广东)已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1)求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
3.2简单的三角恒等变换
= 3sin2x - cos2x
3 1 = 2( sin2x - cos2x) 2 2
π π = 2(sin2xcos - cos2xsin ) 6 6 π = 2sin(2x - ) 6
故该函数的最小正周期是π，最小值是－2，在 0，π π 5π 上的单调增区间是 0， ， ，π。 3 6
1 5 sin（ ＋ ）＋ 2x 2 6 4
y取得最大值必须且只需
2x＋ ＋2k，k Z， 6 2
即x＝ ＋k，k Z。 6 所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 ｛x |x ＝＋k π，k ∈Z｝。
（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：
①把函数y＝sinx的图象向左平移 ，得到函数y＝sin（x＋ ）的图象； 6 6
α 1 + cosα cos = 2 2
α 1- cosα sinα 1- cosα tan = = = 2 1 + cosα 1 + cosα sinα
注意：
α α α α （1）sin 、cos 、tan 的符号有 所在的象限决定。 2 2 2 2
(2)正切半角公式的推导：
α α α α α α sin sin 2sin sin sin 2cos α α 2 = 2 2 2 = 2 2 tan = tan = 2 cos α cos α 2sin α 2 cos α cos α 2cos α 2 2 2 2 2 2
新课导入
学习了简单的和（差）角公式，倍 角公式后，对于一些稍微复杂的三角恒 等变化，比如已知2α求α，已知
y=sin2xcos2x,求最小正周期、最大最小
值、单调区间是否能求呢?
通过复习前面所学过的公式，以已
高中数学：3.2 简单的三角恒等变换(2)教案
3.2 简单的三角恒等变换（2）一、教学目标：知识与技能：1、加深对和差角、二倍角公式的记忆，推导降幂公式及其它变形形式。
2、理解三角恒等变换的基本思想，培养的定向思考和逆向思维能力，理解化归思想。
3、能独立分析和解决一些三角问题。
过程与方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.情感、态度与价值观通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 二．重点难点重点：三角恒等变换的模式难点：降次、化为一个角的三角函数三、教材与学情分析本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.（二）新知探究、提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1].函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin b a b x b a a+++cosx ）, ∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++b a b b a a ba b b a aϕ从而可令φ, 则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）=22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tanφ=ab .在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx ，y=cosx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动.（三）应用示例例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题.解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin (2x-6π).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0, 3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练1.已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x ∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π), 所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x ∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π]. 当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1.所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.例2. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值.活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练. 解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x 都成立.又ω>0,所以,得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0. ∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,…. ∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数.所以,综合得ω=32或ω=2. 点评：利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.例3. 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系;(2)由得出的函数关系,求S 的最大值.解:在Rt △OBC 中,BC=cosα,BC=sinα,在Rt △OAD 中,OADA =tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα.所以AB=OB-OA=c osα33-sinα.设矩形ABCD 的面积为S,则S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63. 由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63. 因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠COP=α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练2. 已知如图2的Rt △ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cosθ-sinθ=4(cos2C B +-cos 2C B -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由. 解:在Rt △BAD 中,m AB =cos 2B ,在Rt △BAC 中,a AB =sinC,∴mcos 2B =asinC.图2同理,ncos2C =asinB.∴mncos 2B cos 2C =a 2sinBsinC.而a 2=2mn, ∴cos 2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81. 积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2C B -)=-1, 若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1, ∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π,∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在.点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例4. 已知tan(α-β)=21，tanβ=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21，∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34. 从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=. 又∵tanα=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π. 又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)，∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等.变式训练3.若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π.证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ①3sinαcosα=sin2β， ② ①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cosαcos2β-sinαsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π. 六、课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.七、课后作业1.课时练与测八、教学反思。
2011届高考数学复习精编单元测试题—三角函数与三角恒等变换
辽宁名校2011届高三数学单元测试—三角函数与三角恒等变换注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名．考号．考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知34tan -=α，则1tan()4απ+的值是 （ ）A ．－7B ．71- C ．7 D ．712．已知)2,(,53)cos(πππ∈=+x x ,则sin x =（ ）A ． 35-B ． 45-C ．35D ． 453．下列命题中真命题是（ ）A ．44sin cos y x x =-的最小正周期是π； B ．终边在y 轴上的角的集合是{,}2k x x k Z π=∈； C ．在同一坐标系中，sin y x =的图象和y x =的图象有三个公共点； D ．sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数．4．函数2sin sin cos y x x x =+的最小正周期T= （ ）A ．2πB ．πC ．2π D ．3π 5．函数22cos ()14y x π=+-的一个单调递增区间是（ ）A ．3(,)22ππB ．3(,)44ππC ．(,)22ππ-D ．(,)44ππ- 6．已知4tan 3θ=，则sin cos sin cos θθθθ+-的值为 （ ）A ．31 B ．31-C ．7D ．7-7．已知α是第二象限角，且53sin =α，则=α2tan （ ）A ．724B ．724-C ．247D ．247-8．设函数2()cos 2sin 1()f x x x x x R =-+∈，则()f x 的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．2π D ．3π9．将函数cos 2y x =的图象上的所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图像向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是 （ ） A ．cos(2)16y x π=++ B ．cos(2)13y x π=-+C ．cos(2)13y x π=++ D ．cos(2)16y x π=-+ 10．令tan a θ=，sin b θ=，cos c θ=，若在集合π3π,44θθθ⎧-<<≠⎨⎩ππ0,,42⎫⎬⎭中，给θ取一个值，,,a b c 三数中最大的数是b ，则θ的值所在范围是 （ ）A ．ππ(,)42-B ．π(0,)2C ．3π(0,)4D ．π3π(,)2411．已知函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(x x a x xx f --++=ππ的最大值为2，则常数a 的值为（ ）AB． C．D．12．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= （ ）A ．43-B ．54C ．34-D ．45第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上． 13．把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．14．若角α的始边为x 轴非负半轴，顶点是原点，点(4,3)P -为其终边上一点，则cos 2α的值为 ．15．已知()f x =x x x x x x cos sin 22sin 23sin 2cos 23cos--，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时)(x f 的零点为 .16．已知函数()sin(),(0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示，则函数()f x 的解析式为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为54,53(，三角形AOB 为直角三角形．（1）求COA ∠sin ，COA ∠cos 的值； （2）求COB ∠cos 的值．18．（本小题满分12分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =-+，（1）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （2）若53)(=θf ，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．20．（本小题满分12分）已知函数f (x ) = 3 cos 2x+sin x cos x- 32 ；（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的单调递增区间. 21．（本小题满分12分）设函数()cos 2f x x x x =.（1）在给出的直角坐标系中画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像； （2）根据画出的图象写出函数)(x f y =在],0[π上的单调区间和最值.22．（本小题满分14分）设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期. （2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA.参考答案一、选择题1．B ；解析：411tan tan 1134tan()471tan tan 1()143απαπαπ-+++===----⨯．2．B ；解析：∵3cos()5x π+=，∴3cos 5x -=，即3cos 5x =-；又(,2)x ππ∈，∴4sin 5x ==-；3．A ；解析：44222222sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos cos2y x x x x x x x x x =-=+-=-=-，故最小正周期为T π=．4．B ；解析：21cos 21sin sin cos sin 222x y x x x x -=+=+ 21)42sin(2221)2cos 2(sin 21+-=+-=πx x x ， ∴最小正周期T=π． 5．B ；解析：∵22cos ()1cos 2()cos(2)sin 2442y x x x x πππ=+-=+=+=-，∴找原函数的单调递增区间，就是找x y 2sin =的单调递减区间； 而x y 2sin =在区间3(,)44ππ上是减函数， ∴选B ．6．C ；解析：41sin cos tan 1374sin cos tan 113θθθθθθ+++===---．7．B ；解析：由α是第二象限角且53sin =α得4cos 5α=-；∴2524cos sin 22sin -==ααα，257sin cos 2cos 22=-=ααα；∴7242cos 2sin 2tan -==ααα． 8．B；解析：∵()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+，∴),6f xx T ππ=+=. 9．C ；解析：将函数cos 2y x =的图象上的所有点向左平移6π个单位长度得函数cos 2()6y x π=+的图像，即cos(2)3y x π=+的图像；再向上平移1个单位长度得cos(2)13y x π=++得图像；10．D ；解析：由已知得tan a θ=、sin b θ=、cos c θ=中最大的是sin b θ=；即⎩⎨⎧>>,c o s si n ,t a n si n θθθθ又∈θπ3π,44θθθ⎧-<<≠⎨⎩ππ0,,42⎫⎬⎭；∴∈θπ3π,24⎛⎫⎪⎝⎭．11．C ；解析：22cos ()sin cos 4cos 22x x x f x a x =+x a x sin 2cos 21+=1),(tan )x a φφ+=其中；24412=+∴a ， 15±=∴a ；12．D ；解析：222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθθθθθ+-+-=+ ＝22tan tan 2tan 1θθθ+-+＝4224415+-=+．二、填空题13．cos y x =；解析：把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得sin(2)2y x π=+，即cos 2y x =的图象，把cos 2y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到cos y x =的图象； 14．725；解析：由三角函数的定义知533)4(3sin 22=+-==r y α，4cos 5α=-；∴221697cos 2cos sin 252525ααα=-=-=． 15．58x π=；解析：x x x f 2sin 2cos )(-==)42cos(2π+x ，令0)(=x f ， 得)24cos(2x +π=0，又 ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 592444x πππ∴≤+≤， 3242x ππ∴+=， ∴58x π=，即函数)(x f 的零点是58x π=.16．()2sin()44f x x ππ=+；解析：由图像知 2.A = 8T =,28T πω== ,4πω∴=, ∴()2sin()4f x x πϕ=+；又图象经过点（－1，0）， ∴2sin()04πϕ-+=，∵2πϕ<，||,24ππϕϕ<∴=()2s i n ()44f x x ππ∴=+三、解答题17．解：(1) ∵A 点的坐标为)54,53(，根据三角函数定义可知53=x ，54=y ，1=r ；（3分） ∴54sin ==∠r y COA ，53cos ==∠r x COA ． （…………6分）(2) ∵三角形AOB 为直角三角形， ∴090=∠AOB ， 又由（1）知54sin =∠COA ，53cos =∠COA ；∴54sin )90cos(cos -=∠-=+∠=∠COA COA COB． （…………12分） 18．解：（1）∵()()2sin cos 2sin cos sin2f x x x x x x π=-==，（…………4分）∴函数()f x 的最小正周期为π. （…………6分）（2）由2623x x ππππ-≤≤⇒-≤≤，∴sin 212x -≤≤，（…………9分）∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为 （……12分）19．解：（1）2()sin 2(2cos 1)sin 2cos 2)4f x x x x x x π=--=-=-，（…4分）∴当ππ22π42x k -=+，即3ππ8x k =+（k ∈Z ）时，()f x 取得最大值2； （…………6分） （2）由θθθ2cos 2sin )(-=f ，及53)(=θf 得：532cos 2sin =-θθ， 两边平方得91sin 425θ-=，即16sin 425θ=； （…………10分） ∴ππ16cos22cos 4sin 44225θθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （…………12分）20．解：(1) f (x ) = 3 cos 2x+sin x cos x － 3 2 = 3 2 cos 2x + 12 sin 2x = sin(2x+ π3 )，（…………4分）∴)(x f 的最小正周期π=T ； （…………6分） (2) 由)(223222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ，得)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ， ∴)(x f 的单调递增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ. （…………12分）21．解：（1）()22sin(2)4f x x x x π==+，列表： （…………4分）（2）单调增区间：],85[],8,0[πππ；单调减区间：]85,8[ππ； （…………9分）函数的最大值是：1 ；函数的最小值是：1-. （…………12分）22．解：（1）f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.=1cos 21cos 2cos sin 2sin 233222x x x x ππ--+=- （…………4分）∴函数f(x)最小正周期π. （…………6分）（2）f(3C )=1223C =－41，∴2sin 3C =， （…………9分） ∵C 为锐角， ∴233C π=，∴2C π=, （…………12分） ∴sinA =cosB=31. （…………14分）。
三角恒等变换-高考数学复习
2
α＝ sin
π
（α＋ ）.
3
（
× ）
× ）
高中总复习·数学
2. sin 20°cos 10°－ cos 160°sin 10°＝（
）
解析： 原式＝ sin 20°cos 10°＋ cos 20°sin 10°＝ sin （20°＋
10°）＝ sin
1
30°＝ .
2
高中总复习·数学
3. 若
三角恒等变换
1. 经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公
式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3. 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差
化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.
知识 逐点夯实
2
2
1+cos2
1−cos2
sin 2α＝
； cos 2α＝
2
2
2
2
；
；tan2α
.
（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式
中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如： 是 的2
2
4
3
倍，3α是 的2倍.
2
高中总复习·数学
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角.
sin α cos β－ cos α sin β （S（α－β））；
（4） sin （α＋β）＝
sin α cos β＋ cos α sin β （S（α＋β））；
（5）tan（α－β）＝
广东省2011届高考数学二轮总复习课件：第11课三角恒等变换
广东省2011 届高考数学二轮总复习课件：第11 课三
角恒等变换
第11 课时三角恒等变换
专题二三角函数
1．化简与求值是三角恒等变换的常见题型，在高考中常将化简与求值结合起来进行考查．解此类题常遵循“先化简再求值”的原则．
2．对于附加条件的求值问题，要注意条件和所求式子之间的相互关系，常从“角度”“名称”及“运算结构”上进行分析，找到已知和未知之间的联系．
3．利用平方关系求三角函数值时，要注意根据角所在的象限确定所求三角函数值的符号．
1．要注意整体特点的分析，如本题由于是特殊角，因此条件实质上是关于sina、cosa 的线性形式，如不能由得到,将导致解题思路受阻．
2．“变角”是三角变换的灵魂，因此，要注意分析条件与所求之间角的联
系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系．如本题中a+
与a+ 具有互补关系．此外，根据条件与所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：
1．三角问题常和向量知识综合在一起，求解的关键是“脱去”向量包装，将
其转化为相应的三角问题进行求解．
2 倍角公式及其变形sin2a= 与cos2a= 可实现三角函数的升、降幂变化，也可实现角的形式的转化．
3．关于sina，cosa 的同次式，常化正切进行处理．
1．三角恒等变换的基本题型一般有化简、求值和证明三种．解这类题时需。
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教案8 三角恒等变换
一、课前检测
1.（2010全国卷2理13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-
，则t a n a = ． 【答案】12
- 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.
【解析】由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22t a n 4t a n 21t a n 3
a αα==--，解得1t a n t a n 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1tan 2
α=-. 2. （2010全国卷1文14）已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .
答案 247
- 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析】因为α为第二象限的角,又3sin 5α=
, 所以4cos 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-,所22tan 24tan(2)1tan 7
ααα==-- 3．（2010上海文19）已知02x π
<<，化简：
2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)22
x x x x x π⋅+-+--+. 解析：原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2
=0． 二、知识梳理
1．三角函数式的化简的一般要求：
① 函数名称尽可能少；
② 项数尽可能少；
③ 尽可能不含根式；
④ 次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．
3．求值问题的基本类型及方法
① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．
② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；
③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
三、典型例题分析
例1. 化简：4221
2cos 2cos 2.2tan()sin ()44
x x x x ππ-+
-+ 1c o s 22x
变式训练1：已知x x x f +-=
11)(，若),2(ππα∈，则+)(cos αf )cos (α-f 可化简为 ． 解：
αsin 2
例2．求证：
sin(2)sin 2cos().sin sin αββαβαα+-+=
变式训练2 在△ABC 中，22cos sin =
+A A ，2=AC ，3=AB ，求tan A 的值和△ABC 的面积．
解：∵sinA ＋cosA ＝
22 ① ∵2sinAcosA ＝－21
从而cosA ＜0 A ∈(ππ,2)
∴sinA －cosA ＝A A A A cos sin 4)cos (sin 2-+ ＝26
②
据①②可得 sinA ＝
42
6+ cosA ＝426+- ∴tanA ＝－2－
3 S △ABC ＝4
)26(
3+
例3 已知tan(α－β)＝21，tan β＝-7
1，且α、β∈（0，π），求2α－β的值.
解：由tanβ＝－71 β∈(0，π)
得β∈(2π
, π) ①
由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝31
α∈(0，π)
得0＜α＜2
π
∴ 0＜2α＜π 由tan2α＝43
＞0 ∴知0＜2α＜
2π ② ∵tan(2α－β)＝βαβ
αtan 2tan 1tan 2tan +-＝1
由①②知 2α－β∈(－π，0)
∴2α－β＝－4
3π (或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)
变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπ
α的值． 解：由sinα＝
415 α为第二象限角
∴cosα＝－41
∴
)cos (sin cos 2)4sin(12cos 2sin )4sin(αααπαααπα++=+++ ＝
αcos 221＝－2
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;
2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度
② 变换函数名
③ 变换解析式结构
3．求值常用的方法：切化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．。