高考数学极坐标与参数方程(基础精心整理)教师版

第7讲 极坐标与参数方程(教师版 )

【基础知识】

一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换ϕ：//,(0)

,(0)

x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩的作用下对应到点

///(,)P x y ，则称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

二.极坐标知识点

1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐

标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点

1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲

线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程

（1）圆的参数方程可表示为.

（2）椭圆的参数方程可表示为.

（3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.

注意：t 的几何意义

3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导：

1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：

(,)P x y ()

()

x f t y f t =⎧⎨

=⎩2

2

2

)()(r b y a x =-+-)(.sin ,

cos 为参数θθθ⎩

⎨⎧+=+=r b y r a x 122

22=+b y a x )0(>>b a )(.

sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x px y 22

=)(.2,

22为参数t pt y pt x ⎩

⎨

⎧==),(o o O y x M αl ⎩

⎨

⎧+=+=.sin ,

cos o o ααt y y t x x t y x , )

0(n t ,

sin ,

cos ,

222≠===+=x x

y

a y x y x θθρθρρ

代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2.把曲线的普通方程

化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前

后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。

【基本题型】

题型一. 极坐标与直角坐标的互化。互化原理（三角函数定义）、数形结合。

例1． 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨

⎧-=+-=t

y t

x 13（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半

轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为0cos 2=+θρ. （1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；

（2）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（πθρ20,0<≤≥）.

解析：（1）由0cos 2=+θρ得θρcos 2-=，两边同乘以ρ，得x y x 22

2

-=+； （2）由直线l 的参数方程为⎩

⎨

⎧-=+-=t y t

x 13（t 为参数），得直线的普通方程为02=++y x ，联立曲线C 与

直线l 的方程得，⎩⎨

⎧-=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=0

2y x ，化为极坐标为)45,2(π或),2(π.

考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化. 考点：cos ,sin x y ρθρθ==，2

2

2

x y ρ=+. 变式训练一．在极坐标系中，设圆C 经过点6π⎛

⎫P ⎪⎝

⎭，圆心是直线sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．

试题解析：：6π⎫P ⎪⎭直线sin 32

πρθ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭与

x 轴的交点也就是圆心为()1,0，所所以圆的方程为()

2

211x y -+=，得

2220x y x +-=所以，圆的极坐标方程为：2cos ρθ=

考点：转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标； 题型二.曲线（圆与椭圆）的参数方程。

（1）普通方程互化和最值问题。“1”的代换（22cos sin 1θθ+=）、三角解决。

例2．已知曲线C 的参数方程是)(sin ,

cos 2为参数θθ

θ⎩⎨

⎧==y x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立

极坐标系，B A ,的极坐标分别为)3

4,2(),,2(ππB A . （Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设M 为曲线C 上的点，求点M 到直线AB 距离的最大值. 试题解析：

（Ⅰ）将A 、B 化为直角坐标为44(2cos ,2sin ),(2cos

,2sin )33

A B ππππ，

即(2,0),(1,A B --

，AB k =，

∴直线AB

的方程为02)y x -=+

0y ++=． （Ⅱ）设(2cos ,sin )M θθ，它到直线AB 的距离为

d =

=

，

（其中tan ϕ=，

∴max d ． 考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值．

变式训练2．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程是x y ⎧=⎪⎪

⎨

⎪=+⎪⎩

(t 是参数） ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭.

（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；

（2）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围. 解析：（1）直线l

的普通方程为0x y -+=，