北师大版八年级数学上学期期中圈题3 勾股定理应用课件 北师大版
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勾股定理的应用教学课件北师大版八年级数学上册
再见
1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现 要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不 变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？ 解：如图，在Rt△ABC中： ∵500＞202 ． ∴不能在20 s内从A爬到B．
典型例题
2．如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm.现有绳子从点D 出发，沿长方体表面到达点B′，问：绳子最短是多少厘米？
典型例题
5． 如图,长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折
叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于
5 3
.
随堂练习
1．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这
个洞口，则圆形盖的半径至少为
1 2
米．
2．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固
有 C 90 .
3．已知∣x-12∣+(y-13)2+z2-10z+25=0，试判断以 x、y 、z为三边的三角
形的形状.
直角三角形
探究新知
探究圆柱上两点之间最短距离
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物
在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第一章勾股定理
3.勾股定理的应用
学习目标
1．能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的 实际问题 2．能在实际问题中构造直角三角形，进一步深化对图形 的理解和辨析能力
复习回顾
1．在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若∠C=90°，则
有 a2 b2 c2.
2.在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若a2+b2=c2，则
勾股定理的应用 课件 2022—2023学年北师大版数学八年级上册
2x 1 1
图1
2z 3y
x2 1 1
图2
3.学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐 角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们 仅花仅草少。走4了 步路（假设2步为1米），却踩伤了
C
4
B
“路” 5
3
芳草青青，足下留情!
A
4.受台风影响，一棵9米高的大树在离地面4米的 地方断裂，树的前面4米处停放一辆小汽车，这 棵树折断后会砸中小汽车吗？
是 圆柱的高 ,它的另一边长是 底面圆的周长 .
3.有一个圆柱,它的高为12cm,
B
底面半径为3cm, 在圆柱下底
面上的A点有一只蚂蚁,它想从
点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱
侧面爬行的最短路程是多少?
(π的值取3)
A
我怎么走 会最近呢?
B C 9cm B
高
12cm
A
A 长18cm (π的值取3)
解:将圆柱如图侧面展开.在 Rt△ABC中,根据勾股定理
两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树的树梢，至少飞了
（）
A.7m
B.8m
C.9m
A
D.10m
8m
C
B
2m
8m
8. 一种盛饮料的圆柱形杯（如图）， 测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝， 吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝， 问吸管要做多长？
C
A
B
练习二
1.两点之间， 线段最短！ 2.一个圆柱体的侧面展开图是长方形,它的一边长
C６
B
8
８
A
A
5.如图，已知长方体的长、宽、高分 别为4cm、3cm、12cm，求BD’的长。
北师大版数学八年级上册《勾股定理的验证及应用》课件
+ ，
四边形 = △ + △ = + ( − ) ，
所以 + =
所以 + = .
+ (
− ) .
例2 如图,在铁路 附近有两个村庄 ， ，它们到铁路的距离分
所以 ∠ + ∠ = ∘ .所以 ∠ = ∘ .
因为 梯形 = △ + △ + △ ,
所以 (
+ )( + ) =
整理得 + = .
+ + .
变式 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，“面积法”是常用的方
该树 的一棵大树上，大树高 ，且巢离树顶部 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 / ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = ， = − = ， = .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = − = ， = .
在 △ 中，
= + = + = () .
5. 如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度.
同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面且还多 .
同学们把绳子的末端拉开 后，发现绳子末端刚好接触地
别是 和 ,作 ⊥ , ⊥ ,垂足分别为 ， ，
且 = .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
解：因为AB=DC=8m，AD=BC=6m， 所以AB2+BC2=82+62=64+36=100. 又因为AC2=92=81， 所以AB2+BC2≠AC2，∠ABC≠90°， 所以该农民挖的不合格．
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用说课课件
《勾股定理的应用》说课稿
说课人：
说课内容：教材分析、学情分析、教法学法分析、教学过程分析
1
教材分析
2
学情分析
3
教法学法分析
44
教学过程分析
一、教材分析
提供了直角三角形三边间的数量关系与判断三角形是否 地位与作用 属于直角三角形的根据
提高学生质疑、发现、解决问题的能力
教学目标 知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
教学过程 第1 二环节：合作交流，探索新知
例2、在一个圆柱石凳上，若 小明在吃东西时留下了一点食 物在B处，恰好一只在A处讨论的交流 蚂蚁捕捉到这一信息，于是它 想从A 处爬向B处，你们想一 想，蚂蚁怎么走最近？
得出结论或解决问题
探索发现
教学过程
(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆 柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？
增强学生探索的信心
使学生运用知识、解决问题的能力得到 提高
三、教法学法分析
学法分析
自主学习 探究学习 练习巩固
激发学生原有的认知结构
使得学生学会发现问题
检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及 其差距
四、教学过程分析
1
一、创设情 境，导入新
2课
3
4二、合作交
流，探索新 知
5
三、迁移 训练，学 以致用
四、总结反 思，拓展升 华
教学过程
第2 一环节：创设情境，导入新课
例1、学校有一块长方形的 花圃，经勾常股有定同理学为了少 走几步而走捷径，于是在 草坪上开辟了一条“新路”， 他们这样走少走了几步？ (每两步约为1米）
勾股定理逆定理
4m 3m
设计意图：由简单的实际问题激发学生的探求愿望，通过 探求过程，学会分析问题中隐藏的几何模型，体会勾股定 理在生活中无处不在。激发和点燃学生学习的兴趣。
说课人：
说课内容：教材分析、学情分析、教法学法分析、教学过程分析
1
教材分析
2
学情分析
3
教法学法分析
44
教学过程分析
一、教材分析
提供了直角三角形三边间的数量关系与判断三角形是否 地位与作用 属于直角三角形的根据
提高学生质疑、发现、解决问题的能力
教学目标 知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
教学过程 第1 二环节：合作交流，探索新知
例2、在一个圆柱石凳上，若 小明在吃东西时留下了一点食 物在B处，恰好一只在A处讨论的交流 蚂蚁捕捉到这一信息，于是它 想从A 处爬向B处，你们想一 想，蚂蚁怎么走最近？
得出结论或解决问题
探索发现
教学过程
(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆 柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？
增强学生探索的信心
使学生运用知识、解决问题的能力得到 提高
三、教法学法分析
学法分析
自主学习 探究学习 练习巩固
激发学生原有的认知结构
使得学生学会发现问题
检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及 其差距
四、教学过程分析
1
一、创设情 境，导入新
2课
3
4二、合作交
流，探索新 知
5
三、迁移 训练，学 以致用
四、总结反 思，拓展升 华
教学过程
第2 一环节：创设情境，导入新课
例1、学校有一块长方形的 花圃，经勾常股有定同理学为了少 走几步而走捷径，于是在 草坪上开辟了一条“新路”， 他们这样走少走了几步？ (每两步约为1米）
勾股定理逆定理
4m 3m
设计意图：由简单的实际问题激发学生的探求愿望，通过 探求过程，学会分析问题中隐藏的几何模型，体会勾股定 理在生活中无处不在。激发和点燃学生学习的兴趣。
北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的墙上(如图)，
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
C
B
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的另一边长.
正方形C的面积应该怎么计算呢？
C A
B
图①
➢ 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=12×2×3×4+1×1=13；
➢ 把C“补”成边长为5的正方形 SC=5×5-12×2×3×4=13.
观察：
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形，即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形，即B的 面积是___9__. 正方形C中含有_1_3__个小正方形，即C的 面积是__1_3__.
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的探 究方法；
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简 单问题.
新知引入
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你 知道它的第三边长吗？
实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这个问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理.
观察：
A＇
C＇
B＇
图②
正方形A＇中含有__1_6_个小正方形，即 A＇的面积是__1_6__.
正方形B＇中含有__9__个小正方形，即 B＇的面积是__9___.
正方形C＇中含有__2_5_个小正方形，即 C＇的面积是__2_5__.
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理PPT课件全套
3 勾股定理的应用
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有 什么作用吗？
欲登12米高的建筑物，为安全 需要，需使梯子底端离建筑物 5米，至少需要多长的 梯子？
有一个圆柱体，它的高等于12厘米，底面半径 等于3厘米，在圆行柱体的地面A点有一只蚂 蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的 事物，需要爬行的最短路程是多少？
观察图形，正方形A中有 个小方格，即A的面积 为 个面积单位。
正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积 单位。
正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积 单位。
你发现A、B、C的面积之间有什么关系？
归纳得出结论：A+B=C
观察下图，A、B、C之间是否还满足 关系式：A+B=C.
思考
情景导入
上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现 了直角三角形三遍的关系，但是这种方法是否 具有普遍性呢？
思考探究，获取新知
1、在纸上画一个直角三角形，分别以这 个直角三角形的三边为边长向外作正方 形。
为了方便计算上图中大正方形的面积， 对其进行适当割补：
C D
Байду номын сангаас
c b
a A
B
S正方形ABCD=c2+2ab=（a+b）2
如果直角三角形两直角边分别是1~6个 单位长度和2、4个单位长度，前面所猜 想的数量关系式还成立吗？
你发现了吗？
直角三角形的两直角边的平方和等于斜 边的平方，这就是著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b， 斜边为c，那么有a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边 为勾，较长的直角边为股，斜边为弦， 这便是勾股定理的由来。
北师大版《勾股定理的应用》ppt优质课件3
例主3。在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.
2、如满图足，的四条边件形；ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。
若2、是如，图哪，一四条边边形所A对BC的D中角，是A直B⊥角A？D请，说已明知理AD由=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。
勾股定理的应用 （二）
本将聚焦
• 1、勾股定理的逆定理 • 2、勾股数 • 3、勾股定理的应用
考点评析
勾股定理逆定理与勾股数是判断直角三角形的 两个常用方法，常与勾股定理结合应用于各种 问题，题型以选择题、填空题和解答题为主。
知识回顾
概念1 勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足
，
那么这个三角形就是直角三角形。
2、满足的条件； 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.
（3）最短距离问题：在几何图形上移动的最短 （1）直角三角形的三边与面积应用：分别以直角三角形三边为边长向外作正多边形或半圆，以斜边为边的面积等于一直角边为边长的
面积和。
∴
。
勾（股二定 ）理的轨应用迹，可由“立体图形的展开图”，做起点与
B
牛奶盒
A 10cm
8cm 6cm
小试身手
1. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯
罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.已知 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
27、，以24下，各25组数为B. 三角形的三边长，其中“不能”构成直角三角形的是（ ）
北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》课件(24张PPT)
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
最短时: x 1.5,
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一 只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬 到B？
B
A
B B
A
【解析】因为从A到B最短路径AB满足 AB2=202+102=500＞400，所以不能在20 s内从A爬 到B.
3 勾股定理的应用
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定 理的逆定理）解决简单的实际问题. 2.数学思考、解决问题：在将实际问题抽象为数学问题 的过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决问题的 能力及渗透数学建模的思想.
1.你知道勾股定理的内容吗？ 2.一个三角形的三条边长分别为a,b,c(c>a,c>b）， 能否判断这个三角形是否是直角三角形？
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间的最 短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方程 来解.
最短时: x 1.5,
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一 只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬 到B？
B
A
B B
A
【解析】因为从A到B最短路径AB满足 AB2=202+102=500＞400，所以不能在20 s内从A爬 到B.
3 勾股定理的应用
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定 理的逆定理）解决简单的实际问题. 2.数学思考、解决问题：在将实际问题抽象为数学问题 的过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决问题的 能力及渗透数学建模的思想.
1.你知道勾股定理的内容吗？ 2.一个三角形的三条边长分别为a,b,c(c>a,c>b）， 能否判断这个三角形是否是直角三角形？
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间的最 短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方程 来解.
北师大版八年级上册数学 《一定是直角三角形吗》勾股定理PPT教学课件
两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
2020/11/08
13
变式1： 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为
大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，
哪一条边所对的角是直角？请说明理由 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²
=n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1
17
8 5
思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这 个三角形是直角三角形.
2020/11/08
有同学认为测量结果可能有误差,不同意 这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给 出一个更有说服力的理由吗?
6
证明结论
已知：如图，△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2．
2020/11/08
4
实验结果： ① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形.
120
90
60
150
12
13
30
180
2020/11/08
0
5
24
25 7
15
解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾 股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ， b=14 ， c=15; 解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不
北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用 课件(共15张ppt)
勾股定理的逆定理应用于根据三边的长度判断 三角形的形状。
试一试
中国人民的聪明智 慧真的让人叹服！
例3 在我国古代数学著作《九章算术》中记载 了一道有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各 几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池 的深度和这根芦苇的长度各为多少？
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为
x+1尺。由勾股定理得
5
x2 +52=(x+1)2 x2 +25= x2+2x+1
x x+1
24= 2x
x=12
x+1=13（尺）
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺
小试牛刀
练习2
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水 平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯 的高度ＣＥ＝３ｍ，ＣＤ＝１ｍ，试求滑 道ＡＣ的长
（2）量得AD长是30厘米，AB 长是40厘米，BD长是50厘米。 AD边垂直于AB边吗？
（3)如果李叔叔随身只有一个长 度为20厘米的刻度尺，能有办法 检验AD边是否垂直于AB边吗？ 边BC与边AB呢？
议一议
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于在直角三角形中求线段 的长度，甚至周长或面积。
如果将圆柱侧面剪开展开成 一个长方形,从A点到B 点的最短路 线是什么?你画对了吗?
例题解析
h 12
C
B
A
解：由题意得展开图，知AB即为最短路径，其中 AC 12, BC 1 18 9 2 在RtABC 中，有 ＡＣ２＋ＢＣ２＝１２２＋９２＝２２５＝ＡＢ２ ＡＢ＝１５ 故最短路径是15cm。
试一试
中国人民的聪明智 慧真的让人叹服！
例3 在我国古代数学著作《九章算术》中记载 了一道有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各 几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池 的深度和这根芦苇的长度各为多少？
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为
x+1尺。由勾股定理得
5
x2 +52=(x+1)2 x2 +25= x2+2x+1
x x+1
24= 2x
x=12
x+1=13（尺）
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺
小试牛刀
练习2
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水 平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯 的高度ＣＥ＝３ｍ，ＣＤ＝１ｍ，试求滑 道ＡＣ的长
（2）量得AD长是30厘米，AB 长是40厘米，BD长是50厘米。 AD边垂直于AB边吗？
（3)如果李叔叔随身只有一个长 度为20厘米的刻度尺，能有办法 检验AD边是否垂直于AB边吗？ 边BC与边AB呢？
议一议
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于在直角三角形中求线段 的长度，甚至周长或面积。
如果将圆柱侧面剪开展开成 一个长方形,从A点到B 点的最短路 线是什么?你画对了吗?
例题解析
h 12
C
B
A
解：由题意得展开图，知AB即为最短路径，其中 AC 12, BC 1 18 9 2 在RtABC 中，有 ＡＣ２＋ＢＣ２＝１２２＋９２＝２２５＝ＡＢ２ ＡＢ＝１５ 故最短路径是15cm。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理素养拓展+中考真题课件
得到的不一定是最短路径,对阅读理解能力、知识迁移能力及分析并解决问题的能力有一定的要求.
ห้องสมุดไป่ตู้
1.[利用转化思想求面积]在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放的三个正方形的面积分别是1,2,3,正
放的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=
.
答案
1.4 【解析】
D.6.4
答案
1.A 【解析】
如图,连接CF,根据题意,得CF⊥DE.因为DE∥AB,所以CF⊥AB.因为∠C=90°,AC=6,BC=8,所以
1
1
AB=10,所以S△ABC=2AC·BC=2AB·CF,所以CF=4.8,所以AF2=AC2-CF2=62-4.82=3.62,所以AF=3.6.故选A.
定理的研究中会逐渐体会到数形结合思想、方程思想,同时在用面积法验证勾股定理时会用到转化思想.第1题体现
了转化思想,利用勾股定理将正方形的面积问题转化到直角三角形中解决;第2题通过用类比面积法来验证等式的方
式,创设数学活动,体验图形组合、变换的过程;第3题以最短路径问题为背景,通过探究、对照,说明利用表面展开图
5.[202X陕西西安交大附中期中]我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕
而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底
面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是
如图,容易证明Rt△ACB≌Rt△BDE,所以BC=ED,所以AC2+ED2=AC2+BC2=AB2,所以S1+S2=1.同理
ห้องสมุดไป่ตู้
1.[利用转化思想求面积]在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放的三个正方形的面积分别是1,2,3,正
放的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=
.
答案
1.4 【解析】
D.6.4
答案
1.A 【解析】
如图,连接CF,根据题意,得CF⊥DE.因为DE∥AB,所以CF⊥AB.因为∠C=90°,AC=6,BC=8,所以
1
1
AB=10,所以S△ABC=2AC·BC=2AB·CF,所以CF=4.8,所以AF2=AC2-CF2=62-4.82=3.62,所以AF=3.6.故选A.
定理的研究中会逐渐体会到数形结合思想、方程思想,同时在用面积法验证勾股定理时会用到转化思想.第1题体现
了转化思想,利用勾股定理将正方形的面积问题转化到直角三角形中解决;第2题通过用类比面积法来验证等式的方
式,创设数学活动,体验图形组合、变换的过程;第3题以最短路径问题为背景,通过探究、对照,说明利用表面展开图
5.[202X陕西西安交大附中期中]我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕
而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底
面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是
如图,容易证明Rt△ACB≌Rt△BDE,所以BC=ED,所以AC2+ED2=AC2+BC2=AB2,所以S1+S2=1.同理
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
思路点拨：解题的关键是根据题设信息构造直角三角形并求出边 上进行判断.
举一反三
4. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城 街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图1-3-7，一辆小汽车在一 条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A的正前方60 m处的C点，过了5 s后，测得小汽车所在的B点与车 速检测仪A之间的距离为100 m. （1）求B，C间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请 说明理由.
谢谢
解：将曲面沿AB展开，如答图1-3-3，过点C作CE⊥AB于点E,连接 CF. 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=18-1-1=16（cm）， CE= ×60=30（cm）， 由勾股定理，得CF2= CE2+EF2＝302+162=342. 所以CF=34（cm）. 答：蜘蛛所走的最短路线的长度是34 cm.
典例精析 【例3】如图1-3-4所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， 点A处有一只蚂蚁，想到点B处吃可口的食物.请你想一想，这只 蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B的最短路程是多少？
解：如答图1-3-1,将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC ＝3×(3＋1)＝12(dm)，∠C＝90°，AB即为最短路程. 在Rt△ABC中，因为AB2＝AC2＋BC2， 所以AB2＝52＋122＝132. 所以AB＝13（dm）. 答：这只蚂蚁从点A出发,沿着台阶面 爬到点B的最短路程是13 dm.
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
目录
01 本课目标 02 课堂演练
本课目标
1. 能够运用勾股定理解决实际问题，体会把立体图形转化为平面 图形，解决“最短路径”的问题，树立转化思想. 2. 会运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 3. 利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及 其逆定理解决实际问题.
北师大版八上数学勾股定理的应用课件(共22张)
知2－练
•
去探宝旅游，按照探宝图，他们在点A登陆后先
•
往东走8 km到达C处，又往北走了2 km，遇到障
•
碍后又往西走了3 km，再往
•
北走了6 km后往东拐，仅走了
•
1km就找到了藏宝点B，如
•
图 ， 登 陆10点kmA 到 藏 宝 点 B 的
感悟新知
知2－练
•导引：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，连接AB
感悟新知
• 例2 • • • • •
知2－练
〈探究题〉如图，长方体的高为3 cm，底面是
正方形，其边长为2 cm.现有一只蚂蚁从A处出
发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最 短路线的长为( B )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
感悟新知
知2－练
• 解： 考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情况，
感悟新知
知1－练
• 例 1 如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12 cm，底
•
面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点C处
•
有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离
•
杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到蜂
15 cm
蜜
•
的最短路线长为________．
感悟新知
导引： 紧扣圆柱上最短路线的确定方法，确定路线，知1－练 再利用勾股定理求路线的长. 解: 如 作CD⊥ FA 于D， 作A 关于EF 的对称点A′， 连图接，A′ C，与EF 交于B，连接AB，则A → B → C 为最短路 线. 由题意知DC=9 cm，FD=8 cm，FA′ =4 cm， 在Rt △ A′DC 中，A′C2=A′D2+DC2 =（FA′ +FD）2+DC2=（4+ 8）2+92 =225=152，故A′C=15 cm.
《勾股定理的应用》示范课教学课件【数学八年级上册北师大】
做一做
如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁， 现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度 保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
解：将正方体展开得到如下图形， 由勾股定理得，
AB2 = 102 + 202 = 500
20×1=20(cm) ∵ 202 500 ∴蚂蚁不能在20 s内从A爬到B．
A'
OB
A′
B
侧面展开图
A
A
最短路程是AB，AB与圆柱的高和底面
圆周长的一半构成了一个直角三角形， 利用勾股定理即可以求出AB的长.
探究
A'
OB
A′
B
侧面展开图
A
A
在Rt△A′AB中，利用勾股定理，得AB²=AA′²+A′B²． 其中AA′是圆柱体的高，A′B是底面圆周长的一半． 已知圆柱体高为12 cm，底面周长的一半为18÷2=9(cm) ， 则 AB = 15 cm.
探究
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂于 底边AB，但他随身只带了卷尺.
李叔叔量得边AD长是30cm，边AB 长是40cm，边BD 长是50cm. 边AD 垂直于边AB 吗？
解:连接BD ∵AD=30,AB=40,BD=50 又∵AD2+AB2=302+402=502=BD2 ∴ΔABD为直角三角形,∠A=90° ∴AD⟂AB 同理可证得BC⊥AB
A
A'
B
A′ d
B
P (B)
A
侧面展开图
B P
A B
A A
探究 A'
OB
A′ d
B
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04
4
l l
A
举一反三-突破提 升
l l l3 l l
）
1.如图，已知三角形 ABC 中， ABC 90 ， AB BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线 1 、 2 、 上，且 1 、 2 之间的距离为 2， 2 、 3 之间的距离为 3，则 AC 的长是（
2 17
B2Βιβλιοθήκη 5C 4 2 4=20秒＜25秒． ∴t=80
∴该车给居民带来20秒的噪音影响， 因为带来噪音影响的时间小于25秒，所以载 重汽车可以在这条路上通行．
破译规律-特别提 醒
03
3
破译规律-特别提 醒
【核心】：分析题意， 利用勾股定理解决题目相关问题 【关键】：勾股定理在实际问题中 的应用
举一反三-突破提 升
D 7
举一反三-突破提 升 2、如图，一架 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在一面竖直的墙 OB 上，这时梯脚 B 到墙角 O 的距离
为 0.7 米. （1） 这个梯子顶端离地面有多高？ （2） 如 果梯 子的 顶端 A 下滑 了 0.4 米， 那么 梯脚 B 在 水平方 向滑 动了 几米 ？
4
4
AC CD 5.835 0.1 5.935
又因为AB+BD=1+4.9=5.9， ∴AB+BD＜AC+CD． ∴蚂蚁沿着A-B-D路线走最近．
2
例题剖析-针对讲 解
(2013东区外国语 如图，居民楼与马路是平行的，相距 ) 9m，在距离载重汽车41m处就 可受到噪声影 响，试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，给 一楼的居民带来多长时间的噪音影响？若时间超过25秒，则此路禁 止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？ 解：如图，由题意可知，AB=AD=41m，AC=9m， 在Rt△ABC中，BC= AB2 AC2 412 92 40m ∴BD=2BC=2×40m=80m
举一反三-突破提 升
3、如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长 方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆， 其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E点，则 他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）
4
4、如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度，他发现绳子刚好 比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A点并与地面形成30°角 时，绳子未端D距A点还有1米，那么旗杆BC的高度为多少米？
举一反三-突破提 升
4
举一反三-突破提 升
针对性训练答案： 1、A 2、2.4;0.8 3、22m 4、10
解析：蚂蚁沿着A-B-D路线走最近。 理由如下：
2
例题剖析-针对讲 解
过C作CH⊥AB于H， 在Rt△BCH中，∠H=90°，∵株距为3，∴CH=3， ∵BC=5，∴由勾股定理：BH2=52-32=16， ∴BH=4 又∵AB=1， ∴AH=5 在Rt△ACH中，∠H=90°， ∴CA2=52+32=34， AC 34 5.835 又因为BC=5，CD=0.1，所以BD=4.9，
17、18
7 12
1.【 勾股 ★★★ 问题 应用 2.【 ★★★ ★★★
3.【
上
2013年
《省实验期中试卷》
22、23
★★★★
例题剖析-针对讲 解
02
2
例题剖析-针对讲 解
由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰 （2013外国语） 好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=1米，BC=5米，两棵树的株距 （两棵树的水平距离）为3米．在点A有一只蚂蚁想尽快爬到位于B、C 两点之间的D处，且CD=0.1米，问它怎样走最近？为什么？
——勾股定理应用
以史为鉴-考法回 顾
01
1
年份
2013年
以史为鉴-考法分 析
圈题3：《勾股定理应用》考法规律分析
试卷
《47中期中试卷》
知识点
勾股定理应用
题号
19、20、22
难度
★★★★
2013年
2013年 2013年
《东区外国语期中试卷》
《枫楊外国语期中试卷》 《外国语期中试卷》
勾股定理应用
勾股定理应用 勾股定理应用 勾股定理应用