一同步训练：第二节对数与对数函数第一小节(附答案)(第1课时)
高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)
〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若 , 则 叫做以 为底 的对数, 记作 , 其中 叫做底数, 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: .（2）几个重要的对数恒等式: , , .（3）常用对数与自然对数：常用对数： , 即 ；自然对数： , 即 （其中 …）. （4）对数的运算性质 如果 , 那么 ①加法: ②减法: ③数乘:④log a N a N = ⑤log log (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数 的定义域为 , 值域为 , 从式子 中解出 , 得式子 . 如果对于 在 中的任何一个值, 通过式子 , 在 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 表示 是 的函数, 函数 叫做函数 的反函数, 记作 , 习惯上改写成 .（7）反函数的求法①确定反函数的定义域, 即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ； ③将 改写成 , 并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称.②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域. ③若 在原函数 的图象上, 则 在反函数 的图象上. ④一般地, 函数 要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题:1. 的值是（ ）A.B. 1C. D. 22. 已知x= +1,则log4(x3－x －6)等于 （ ） A.23 B.45 C.0 D.21 3. 已知lg2=a, lg3=b, 则 等于 （ ） A.B.C. D. 4．已知2lg(x －2y)=lgx ＋lgy, 则 的值为（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 4或-15.函数y=)12(log 21 x 的定义域为（ ） A. ( , ＋∞) B. ［1, ＋∞ C. ( , 1 D. (－∞, 1) 6.已知f(ex)=x, 则f(5)等于 （ ）A. e5B. 5eC. ln5D. log5e7. 若 的图像是 （ ）A B C D8. 设集合等于（）A. B.C. D.9. 函数的反函数为（）A. B.C. D.二、填空题:10. 计算: log2.56.25＋lg ＋ln ＋=11. 函数y=log4(x－1)2(x＜1的反函数为__________ .12. 函数y=(log x)2－log x2＋5在2≤x≤4时的值域为______.三、解答题:13．已知y=loga(2－ax)在区间{0, 1}上是x的减函数, 求a的取值范围．14. 已知函数f(x)=lg[(a2－1) x2＋(a＋1)x＋1], 若f(x)的定义域为R, 求实数a的取值范围.15. 已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb, f(－1)=－2, 当x∈R时f(x)≥2x恒成立, 求实数a的值, 并求此时f(x)的最小值？一、选择题: ABBCBCDCBAAB13. , 14.y=1－2x(x∈R), 15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8, 16.17.解析: 因为a是底, 所以其必须满足a>0 且a不等于1a>0所以2-ax为减函数, 要是Y=loga(2-ax)为减函数, 则Y=loga（Z）为增函数, 得a>1又知减函数区间为[0,1], a必须满足2-a*0>0 2-a*1>0 即得a<2综上所述, 啊的取值范围是（1,2）18、解: 依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.当a2－1≠0时, 其充要条件是: 解得a＜－1或a＞又a=－1, f(x)=0满足题意, a=1, 不合题意.所以a的取值范围是: (－∞, －1]∪( , ＋∞)19、解析：由f(－1)=－2, 得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2, 解之lga－lgb=1,∴=10, a=10b．又由x∈R, f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x, 即x2＋xlga＋lgb≥0, 对x∈R恒成立, 由Δ=lg2a－4lgb≤0, 整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0即(lgb－1)2≤0, 只有lgb=1, 不等式成立．即b=10, ∴a=100．∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3当x=－2时, f(x)min=－3．。
对数和对数函数练习题(答案)
对数与对数函数同步测试 一、选择题： 1．3log 9log 28的值是（ ） A ．32 B ．1 C ．23 D ．22．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 D.21 4．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．b a b a +++12 B ．b a b a +++12 C．ba ba +-+12D ．ba ba +-+125．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则yx 的值为 ( ）A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．(21，1] D ．(－∞，1)7．已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 f (e x )=x ，则f (5)等于（ ）A ．e 5 B ．5e C ．ln5 D ．log 5e 9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ）A B C D10．若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[223,2]- B ．)223,2⎡-⎣ C ．(223,2⎤-⎦D ．()223,2- O yOy O yO y11．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（ ） A ．}1|{>x x B ．}0|{>x x C ．}1|{-<x x D ．}11|{>-<x x x 或12．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为 （） A ),0(,11+∞∈+-=x e e y x xB ．),0(,11+∞∈-+=x e e y x xC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x xD ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 二、填空题： 13．计算：log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= ． 14．函数y =log 4(x －1)2(x ＜1＝的反函数为 ． 15．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小 ． 16．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 ．三、解答题：17．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．18．已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围.19．已知f (x )=x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)=－2，当x ∈R 时f (x )≥2x 恒成立，求实数a 的值，并求此时f (x )的最小值?20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小。
高中数学必修1单元配套练习试题2.2.1 对数与对数运算及参考答案
2.2.1 对数与对数运算姓名:___________班级:______________________1.方程2log 3x ＝127的解是( ) A.x ＝18 B.x＝2C.x＝8 2.下面四个等式中,一定成立的是( )A.log 2(16－8)＝log 216－log 28B.log 216log 28＝log 216＋log 28C.222log 1616log log 88= D.log 216＝4log 223.在n ＝log (m －3)(6－m)中,实数m 的取值范围是( )A.m ＞6或m ＜3B.3＜ m ＜6C.3＜ m ＜4或4＜ m ＜6D.4＜ m ＜54.已知lg 3＝a,lg 4＝b,则log 312等于( ) A.a b a + B.a b b + C.a a b + D.b a b+ 5.131log 413-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A.6B.9C.12D.156.已知log 169＝a,log 25＝b,则lg 3等于( ) A.1a b - B.21a b - C.21a b + D.()21a b - 7.已知log 23＝a,2b ＝5,用a,b表示2log ( ) A.1122b a + B.111222b a ++ C.111222b a +- D.11122b a -+ 8.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v m /s 和燃料的质量M kg 、火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当燃料质量是火箭质量的_______倍时,火箭的最大速度可达4ln21 km /s .( )A.440B.441C.442D.4529.化简:333312380log log log log 23481++++=__________. 10.已知log 3[log 2(log 5x)]＝0,那么12x -＝________.11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数100log 213O v =,单位是 m /s ,其中O 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为1.5m /s 时,这条鲑鱼的耗氧量是_______个单位.12.求下列各式的值:(1)log 540＋2log 221－log 5150 －log 516; (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.13.(1)设log 23·log 36·log 6m ＝log 416,求m;(2)已知log 153＝a,用a 表示. 14.若a 、b 是方程2(lg x)2－lg x 6＋3＝0的两个实根,求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值.参考答案1.A【解析】∵2log 3x ＝127＝33-,∴log 2x ＝－3,∴x ＝32-＝18. 考点:对数式与指数式的互化.2.D【解析】log 216＝log 224＝4log 22.考点:对数的运算性质的应用.3.C【解析】由题意得60,30,31,m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩∴3＜m ＜6且m ≠4.考点:对数的定义.4.A【解析】log 312＝lg 12lg 3＝lg 3lg 4lg 3a b a ++=. 考点:换底公式.5.C 【解析】原式＝113-⎛⎫ ⎪⎝⎭⨯13log 413⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3×4＝12. 考点:对数求值.6.C【解析】∵log 169＝a,∴lg 9lg 16＝a,∴log 23＝2a . lg 3＝22log 3log 10＝22log 31log 5+＝21a b+. 考点:对数的运算性质的应用.7.B【解析】由2b ＝5,得log 25＝b.∴122221log log 30log 302== ＝12log 25＋12log 26＝12b ＋12log 22＋12log 23 ＝111222b a ++. 考点:指对互化及对数的运算性质的应用.8.A【解析】若火箭的最大速度为4000ln 21v =m /s ,那么2000ln 14000ln 21M m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 441ln 21ln 21ln 2)1ln(2===+∴m M ,即4411=+m M ,得440=m M .故选A. 考点:对数的实际应用.9.－4【解析】原式＝33123801log log 42348181⎛⎫⨯⨯⨯⨯==- ⎪⎝⎭. 考点:对数的运算性质的应用.10.15【解析】由题意得log 2(log 5x)＝1,即log 5x ＝2, 转化为指数式则有x ＝25＝25,∴112225x --=＝1212515. 考点:指对互化及对数的运算性质的应用.11.2700【解析】当5.1=v 时, 100log 215.13O =,即100log 33O =,2731003==O , 2700O ∴=.考点:对数的实际应用.12.(1)2(2)1【解析】(1)原式＝log 5(5×8)－22122log ＋log 5(52×2)－log 5(2×8) ＝1＋log 58－1＋2＋log 52－log 52－log 58＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.考点:对数求值.13.(1)4(2)()aa -12【解析】(1)利用换底公式,得lg 3lg 6lg lg 2lg 3lg 6m ⋅⋅＝2, ∴lg m＝2lg 2,于是m ＝4.(2)由对数换底公式,得= ＝3log 512＝2log 35＝2(log 315－log 33) ＝2(1a－1)＝()a a -12. 考点:换底公式.14.12【解析】原方程可化为2(lg x)2－6lg x ＋3＝0.设t ＝lg x,则方程化为2t 2－6t ＋3＝0,设t 1,t 2为此方程的两个实根,则t 1＋t 2＝3,t 1·t 2＝32. 又∵a、b 是方程2(lg x)2－lg x 6＋3＝0的两个实根,∴可令t 1＝lg a,t 2＝lg b,即lg a ＋lg b ＝3,lg a·lg b＝32. ∴lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝(lg a ＋lg b)·lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝(lg a ＋lg b)·()()22lg lg lg lg b a a b +⋅＝(lg a ＋lg b)·()2lg lg 2lg lg lg lg a b a b a b +-⋅⋅ ＝2332231232-⨯⨯=,即lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝12.考点:对数运算性质的运用.。
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案
1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数． 答案 ①解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343.log 3x 是定义域上的增函数，2>32>43，∴c <b <a .3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象， 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________． 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3， 所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。
高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)
高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中0,N0，那么MlogaNloga(MN)M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNNnlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)logba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义函数对数函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a1y某10a1y某1yloga某yloga某图象O(1,0)O(1,0)某某定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念设函数果对于yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将某yf(某)中反解出某f1(y)；f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(某)的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题：1．log89的值是log23A．（）23B．1C．32D．22．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.（）C.0D.32B.54123．已知lg2=a，lg3=b，则lg12等于lg15（）A．2ab1abB．a2b1abC．2ab1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某的值为 yA．1B．4（）C．1或4C．(C．ln5D．4或-1（）5.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）y6.已知f(e某)=某，则f(5)等于A．e57．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是yyyABCD8．设集合A{某|某10},B{某|log2某0|},则AB等于A．{某|某1}C．{某|某1}B．{某|某0}D．{某|某1或某1}2O某O某O某O某（）9．函数yln某1,某(1,)的反函数为（）某1e某1,某(0,)B．y某e1e某1,某(,0)D．y某e1e某1,某(0,)A．y某e1e某1,某(,0)C．y某e1二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg11log23＋lne＋2=10011．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.25y8413，14.y=1－2某(某∈R)，217.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a扩展阅读：高一数学上册_第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logbaab．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogMaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)log④aaNN⑤lognnabMblogaM(b0,nR)⑥换底公式：logbNaNloglog(b0,且b1)ba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a10a1y某1ylog某1a某yyloga某图象(1,0)OO(1,0)某某定义域(0,)值域R 过定点图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(0某1)a变化对在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．图象的影响(6)反函数的概念设函数yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(某)中反解出某f1(y)；③将某f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(某)的图象"1③若P(a,b)在原函数上．一、选择题：1．log89log的值是23A．23B．12．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.3B.5243．已知lg2=a，lg3=b，则lg12lg15等于A．2ab1abB．a2b1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某y的值为A．1B．45.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(12，＋∞)B．［1，＋∞)1)6.已知f(e某)=某，则f(5)等于C．32（）C.0（）C．（）C．1或4C．(12，1]（）D．2D.122ab1abD．4或-1）D．(－∞，（）A．e5B．5eC．ln5D．log5e7．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是（）yyyyABCDO某O某某OO某8．设集合A{某|某210},B{某|lo2某g0|}则,AB等于（）A．{某|某1}B．{某|某0}C．{某|某1}D．{某|某1或某1}9．函数yln某1某1,某(1,)的反函数为（）A．ye某1e某1,某(0,)B．ye某1e某1,某(0,)C．ye某1e某1e某1,某(,0)D．ye某1,某(,0)二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg1100＋lne＋21log23=（11．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.132，14.y=1－2某(某∈R)，15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.254y817.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a。
对数与对数运算 第一课时练习与答案-人教版高中数学必修一第二章2.2.1
第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.1.对数与对数运算第一课时对数测试题知识点：对数的定义1、在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值X围是( )A．a＞5或a<2 B．2<a<5 C．2＜a＜3或3＜a＜5 D．3＜a＜42、log a b＝1成立的条件是( )A．a＝b B．a＝b，且b>0C．a>0，且a≠1 D．a>0，a＝b≠13、若b＝a2(a＞0且a≠1)，则有( )A．log2b＝a B．logab＝2C．log b a＝2 D．log2a＝b4、在对数式中log(x－1)(3－x)中，实数x的取值X围应该是( ) A．1＜x＜3 B．x＞1且x≠2C．x＞3 D．1＜x＜3且x≠25、若log a 7b＝c，则a、b、c之间满足( )A．b7＝a c B．b＝a7c C．b＝7a c D．b＝c7a 6、如果f(e x)＝x，则f(e)＝( ) A．1 B．e e C．2e D．0知识点：指数式与对数式的互化7、将下列指数式与对数式互化：(1)log 216＝4； (2)log 1327＝－3；(3)log3x ＝6(x ＞0);(4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)(14)－2＝16.8、 将下列指数式与对数式进行互化.(1)64)41(=x （2）51521=-（3）327log 31-=（4）664log -=x9、若log x 3y ＝4，则x ，y 之间的关系正确的是( ) A ．x 4＝3y B ．y ＝64xC ．y ＝3x 4D ．x ＝3y 210、下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－3 C ．log 39＝2与32＝9D ．log 55＝1与51＝511、已知log 2x ＝4，则x － 12＝( )A.13B.123C.33D.14知识点：运用对数的性质进行计算或化简12、有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2，其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 13、方程4123log =x 的解是( ) A ．x ＝19B ．x ＝x3C ．x ＝3D ．x ＝914、若5lg x ＝25，则x 的值为________． 15、已知6a ＝8，试用a 表示下列各式： (1)log 68； (2)log 62； (3)log 26.16、已知log a b ＝log b a (a >0且a ≠1；b >0且b ≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.17、若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8C ．7 D ．618、已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( ) A.47B.27 C.72D.7419、方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________. 20、若a >0，a 2＝49，则=a 32log ________.21、若lg(ln x )＝0，则x ＝________.22、方程9x －6·3x －7＝0的解是________．23、计算：9log 53log 33232-++.24、若log 2[log(log 2x )]＝0，求x 的值．25、 求下列各式中的x .（1）32log 8-=x ； （2）4327log =x ；（3）0)(log log 52=x ； 0)(log log 52=x ；26、计算：（1）lg14－2lg 37+lg7－lg18；（2）9lg 243lg ；（3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+.27、 计算下列各式的值：（1）245lg 8lg 344932lg 21+-；（2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++.28、（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg 45； （2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 344yxa a ⋅；（3）已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ，求x .29．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，集合B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝__________. 30．设x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x的值．【参考答案】1 C 根据对数的定义可知选C.2 Da>0且a ≠1，b>0，b a =13B 根据对数的定义可知选B.4D 【解析】⎩⎨⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3且x ≠2.5 Bloga 7b ＝c ⇒ac ＝7b ，∴b ＝a7c.6A 令ex ＝t(t>0)，则x ＝lnt ，∴f(t)＝lnt.∴f(e)＝lne ＝1.7解：(1)24＝16.(2)(13)－3＝27.(3)(3)6＝x .(4)log 464＝3. (5)log 319＝－2.(6)=16log 41－2.8【分析】利用a x = N ⇔x = log a N ，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式.解、（1）∵64)41(=x ，∴x =41log 64（2）∵51521=-，∴2151log 5-= （3）∵327log 31-=，∴27)31(3=-（4）∵log x 64 = –6，∴x －6 = 64.【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据, 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义a b = N ⇔b = log a N 进行转换即可. 9A 【解析】log x 3y ＝4＝log x x 4，则x 4＝3y .10 B 根据定义式进行判断。
对数函数(第1课时)同步练习高一上学期数学人教A版(2019)必修一
《4.4 对数函数》同步练习（第1课时 对数函数的概念与图象）一、基础巩固1.已知函数f (x )=log a (x+2),若图象经过点(6,3),则f (2)的值为( )A.12B.-12C.-2D.2 2.已知f (x )=log 5x ,则f (5)=( )A.5B.25C.0D.13.函数y=√log 2x 的定义域是( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(0,1]D.(0,+∞)4.已知点(m ,n )在函数y=lg x 的图象上,则下列各点也在该函数的图象上的是( )A.(m+10,n+1)B.m 10,n+1C.(m 2,2n )D.(10m ,10n ) 5.若函数f (x )=a x-1的图象经过点(2,4),则函数g (x )=log a 1x+1的图象是( )6.已知函数y=f (x )的图象如图所示,则函数g (x )=lo g √2f (x )的定义域是 .7.已知函数f (x )=log 2x+2,则f (1)的值为 .8.已知函数f (x )=√log 2(x -1)的定义域为A ,函数g (x )=(12)x (-1≤x ≤0)的值域为B. (1)求A ∩B ;(2)若C={y|y ≤a-1},且B ⊆C ,求a 的取值范围.9.求下列函数的定义域:(1)y=√log 12(2-x ).(2)y=1lg (x+1)-3;二、能力提升1.设a ,b ,c 均为正数,且e a =-ln a ,e -b =-ln b ,e -c =ln c ,则( )A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<b<a 2.若|log a 14|=log a 14,且|log b a|=-log b a ,则a ,b 满足的关系式是( )A.a>1,且b>1B.a>1,且0<b<1C.0<a<1,且b>1D.0<a<1,且0<b<13.若函数f (x )=lg(x 2-2ax+a )的值域是R ,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)4.已知2x ≤256且log 2x ≥12,则函数f (x )=log 2x 2·lo g √2√x 2的最大值为 ,最小值为 .5.设函数f (x )=log a x (a>0,且a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 022)=8,则f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 2 0222)= . 6.当x 1≠x 2时,有f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2,则称函数f (x )是“严格下凸函数”,下列函数是“严格下凸函数”的是 (填序号).①y=x ;②y=|x|;③y=x 2;④y=log 2x.7.已知f (x )=log a 1+x 1-x (a>0,且a ≠1),(1)求f (x )的定义域;(2)若f (12)=1,求a 的值.8.设全集U=R ,函数f (x )=√x -a +lg(a+3-x )的定义域为集合A ,集合B={x |14≤2x ≤32}.命题p :若 ,则A ∩B ≠⌀.从①a=-5;②a=-3;③a=2这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p 中,使命题p 为真命题,说明理由,并求A ∩(∁U B ).参考答案一、基础巩固1.D 将点(6,3)的坐标代入函数f (x )的解析式,得3=log a (6+2)=log a 8,即a 3=8,∴a=2. ∴f (x )=log 2(x+2),∴f (2)=log 2(2+2)=2.2.D f (5)=log 55=1.3.B 由{log 2x ≥0,x >0,得{log 2x ≥log 21,x >0,解得x ≥1. 4.C ∵点(m ,n )在函数y=lg x 的图象上,∴lg m=n.当x=m 2时,lg x=lg m 2=2lg m=2n , ∴点(m 2,2n )也在该函数的图象上,故A 符合题意;当x=10m 时,lg x=lg(10m )=1+lg m=n+1,故B 不符合题意;当x=m+10时,lg x=lg(m+10)≠n+1,故C 不符合题意;当x=m 10时,lg x=lg m 10=lg m-1=n-1,故D 不符合题意.故选C .5.B 依题意,f (x )=a x-1的图象经过点(2,4),所以4=a 2-1,故a=4,所以g (x )=log 41x+1.当x=0时,g (0)=0,所以g (x )的图象过原点,排除A,B;又函数y=1x+1在区间(-1,+∞)内单调递减,y=log 4x 在区间(0,+∞)内单调递增,根据复合函数的单调性可知,g (x )为减函数,排除C,故选D .6.{x|2<x ≤8} 由题意知,g (x )的定义域为f (x )>0时的解集,由题中图象可知f (x )>0的解集为{x|2<x ≤8}.7.28.解 (1)由题意知,{x -1>0,log 2(x -1)≥0,解得x ≥2. ∴A={x|x ≥2}.∵-1≤x ≤0,∴1≤g (x )≤2,∴B=[1,2].∴A ∩B={2}.(2)由(1)知B=[1,2],要使B ⊆C ,则有a-1≥2,∴a ≥3.故a 的取值范围为[3,+∞).9.解 (1)由题意可知,{log 12(2-x )≥0,2-x >0,∴{log 12(2-x )≥log 121,2-x >0,∴{2-x ≤1,2-x >0,解得1≤x<2. 故函数的定义域为{x|1≤x<2}.(2)由{lg (x +1)-3≠0,x +1>0,得{x +1≠103,x >-1, 解得x>-1,且x ≠999,故函数的定义域为{x|x>-1,且x ≠999}.二、能力提升1.C 函数y=e x ,y=e -x ,y=ln x ,y=-ln x 的图象如图所示,a 是y=e x 与y=-ln x 的图象交点的横坐标,b 是y=e -x 与y=-ln x 的图象交点的横坐标,c 是y=e -x 与y=ln x 的图象交点的横坐标,由图可得a<b<c.故选C .2.C 依题意有log a 14≥0,∴0<a<1.又log b a<0,∴b>1.3.D 由题意得,二次函数y=x 2-2ax+a 有零点,因此Δ=4a 2-4a ≥0,解得a ≤0或a ≥1.故选D .4.2 -14 由2x ≤256得x ≤8,所以log 2x ≤3.又log 2x ≥12,所以12≤log 2x ≤3.又f (x )=log 2x 2·lo g √2√x 2=(log 2x-1)·(log 2x-2)=log 2x-322-14, ∴当log 2x=32时,f (x )min =-14,当log 2x=3时,f (x )max =2.5.16 f (x 12)+f (x 22)+f (x 32)+…+f (x 2 0222)=log a x 12+log a x 22+log a x 32+…+log a x 2 0222 =log a (x 1x 2x 3…x 2 022)2=2log a (x 1x 2x 3…x 2 022)=2f (x 1x 2x 3…x 2 022),∵f (x 1x 2…x 2 022)=8,∴原式=2×8=16.6.③ 对于①②,y=x 为线性函数,故不满足f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2,故①②不是“严格下凸函数”;对于③,函数y=f (x )=x 2,当x 1≠x 2时,有f (x 1+x 22)=(x 1+x 2)24=x 12+x 22+2x 1x 24,f (x 1)+f (x 2)2=x 12+x 222,显然满足f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2,故③是“严格下凸函数”; 对于④,当x 1≠x 2时,有f (x 1+x 22)=log 2x 1+x 22,f (x 1)+f (x 2)2=12(log 2x 1+log 2x 2)=12log 2(x 1x 2)=log 2√x 1x 2,所以f (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2,故④不是“严格下凸函数”.故答案为③.7.解 (1)∵f (x )=log a 1+x 1-x ,∴1+x1-x >0, ∴-1<x<1.∴函数f (x )的定义域为(-1,1).(2)∵f (12)=log a 1+121-12=log a 3, ∴log a 3=1,∴a=3.8.解 要使函数f (x )有意义,只需{x -a ≥0,a +3-x >0,解得a ≤x<a+3,即A=[a ,a+3). 由14≤2x≤32,得-2≤x ≤5,即B=[-2,5].选择第①个条件:当a=-5时,A=[-5,-2), ∴A ∩B=⌀,不满足条件.选择第②个条件:当a=-3时,A=[-3,0),∴A ∩B=[-2,0),满足条件.∵∁U B=(-∞,-2)∪(5,+∞), ∴A∩(∁U B)=[-3,-2).选择第③个条件:当a=2时,A=[2,5),∴A∩B=[2,5),满足条件.∵∁U B=(-∞,-2)∪(5,+∞), ∴A∩(∁U B)=⌀。
高一数学苏教必修同步练习： 对数函数 含答案
3.2 对数函数1、已知函数(2)1,1,()=log,1aa x xf xx x--≤⎧⎨>⎩若()f x在(,)-∞+∞上单调递增,则实数a的取值范围为( )A. ()0,1 B. (]2,3 C. ()1,2 D. (2,)+∞2、如图所示,函数()f x的图像为折线ACB,则不等式()()2log1f x x≥+的解集是( ) A. {}|10x x-<≤ B. {}|11x x-≤≤C. {}|11x x-<≤ D. {}|12x x-<≤3、已知14xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为()y f x=,若()1f02=-, 则x=( )A. 2-B. 1-C. 2D.124、若1(0,]2x∈时,恒有4logxax<,则a的取值范围是( )A.2(0,2B.22C. (2D. )2,25、函数3xy=的反函数是( )A. 3xy-= B.13xy=C.3logy x= D.13logy x=6、已知()()314,1{log ,1a a x a x f x x x -+<=≥是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是( ) A. ()0,1 B. 10,3⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11[,)73 D. 1,17⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7、给出三个数312311 3,, 22a b c log ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则它们的大小顺序为( ) A. b c a <<B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<8、函数()2log 1y x =-的图像是( )A. B.C. D.9、函数()()20.5f log 2x x x =-++的单调递增区间为( )A. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.前三个答案都不对10、若函数()()2lg 2f x x ax a =-+的值域是R ,则a 的取值范围是() A. ()0,1 B. [0,1]C. (,0)(1,)-∞⋃+∞D. (,0][1,)-∞⋃+∞ 11、已知函数12y log x =的定义域为,值域为[]0,1,则m 的取值范围为________.12、设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a 等于__________.13、已知函数()()()21x f x lg bx =-≥的值域是[)0,,+∞则b 的值为__________.14、若定义在()1,0-内的函数()()2 log ?1?0a f x x =+>,则a 的取值范围是____________15、已知函数()()33x f x lg =-1.求函数()f x 的定义域和值域2.设函数()()()33,x h x f x lg =-+若不等式子()h x t >无解,求实数t 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：∵ ()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,∴ 20,1,21log 1,a a a a ->>--≤⎧⎪⎨⎪⎩解得23a <≤.则a 的取值范围为(]2,3.2答案及解析：答案：C解析：在平面直角坐标系中作出函数()2log 1y x =+的图像如图所示.所以()()2log 1f x x ≥+的解集是{}|11x x -<≤.3答案及解析：答案：C 解析：∵14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数是()14log f x x =, ∴()01041log 2f x x ==-∴11222011242x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦4答案及解析：答案：B 解析：若1(0,]2x ∈时, 4log x a x <恒成立,则01a <<. 在12x =处也需满足1214log 2a <,得2a >或2a <-.综上12a <<.故选B.5答案及解析：答案：C解析：由3xy =得反函数是3log y x =,故选C.6答案及解析：答案：C解析：∵()()log 1a f x x x =≥是减函数,∴01a << 且()10f =.∵()()()3141f x a x a x =-+<为减函数,∴310a -<,∴13a <又∵()()314,1{log ,1a a x a x f x x x -+<=≥是(),-∞+∞上的减函数, ∴()31140a a -⨯+≥,∴17a ≥∴11[,)73a ∈7答案及解析：答案：D 解析：312311 31,01, 022a b c log ⎛⎫=><=<=< ⎪⎝⎭,所以c b a <<8答案及解析：答案：C解析：函数()2log 1y x =-的定义域为{1}x x <,排除A,B;由复合函数单调性可知函数为减函数,排除D.故选C.9答案及解析：答案：B解析：函数() f x 的定义域为()1,2-,设()()22 12g x x x x =-++-<<,其单调递增区间为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,单调递减区间为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭且()0.5log f x x =单调递减,因此()()20.5f log 2x x x =-++的单调递增区间为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,故选B.10答案及解析：答案：D解析：由题意得,二次函数22y x ax a =-+有零点,因此2440a a ∆=-≥,解得0a ≤或1a ≥,故选D.11答案及解析：答案：[1,2]解析：作出12log y x =的图象(如图所示),由图象可知12m ≤≤12答案及解析：答案：4解析： 因为1a >,所以函数()log a f x x =在[,2]a a 上递增,所以最大值与最小值分别为log 21log a a a a =+和log 1a a =.所以1log (2)log 2a a a a -=,所以4a =.13答案及解析：答案：1解析：由于()()lg 2x f x b =-在[)1,+∞上是增函数, 又()f x 的值域为[)0,,+∞所以()()1lg 20f b =-=,所以21b -=,故 1.b =14答案及解析：答案：1{|0}2a a <<解析：∵10x -<<∴011x <+<由题意函数()()2log 10a f x x =+>恒成立 ∴021a <<∴102a << 即a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭15答案及解析：答案：1.由330x ->得1,x >所以定义域为()1,.+∞ 因为()()330,,x -∈+∞所以值域为.R2.因为()()()6lg 33lg 33lg 133x x x h x ⎛⎫=--+=- ⎪+⎝⎭的定义域为()1,+∞ 且在()1,+∞上是增函数,所以函数()h x 的值域为(),0.-∞若不等式()h x t >无解,则t 的取值范围是0t ≥.解析：。
数学人教B版必修1同步练习：3.2对数与对数函数第一小节第二课时 Word版含解析
第2课时1．对于a>0，a ≠1，下列说法中正确的是…()①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①②③④2．log 28＋log 218等于() A.103B.83C ．0D ．6 3．若a>0，a ≠1，x>0，y>0，x>y ，下列式子中正确的个数是()①log a x·log a y ＝log a (x ＋y)；②log a x －log a y ＝log a (x －y)；③log a x y＝log a x÷log a y ； ④log a xy ＝log a x·log a y.A ．0B ．1C ．2D ．34．若a ＝log 32，则用a 表示log 38－2log 36为________．5．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.1．若a>0，a ≠1，x>y>0，n ∈N *, 则下列各式中：①(log a x)n ＝n·log a x ；②(log a x)n ＝log a x n ；③log a x ＝－log a 1x ；④log a x log a y ＝log a x y ；⑤n log a x ＝1n ·log a x ；⑥1n log a x ＝log a n x ；⑦log a x ＝loga n x n ；⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y. 其中成立的有()A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．若y ＝log 56·log 67·log 78·log 89·log 910，则有()A ．y ∈(0,1)B ．y ∈(1,2)C ．y ∈(2,3)D ．y ＝13．已知a 、b 、c 为非零实数，且3a ＝4b ＝6c ，那么……()A.1c ＝1a ＋1bB.2c ＝2a ＋1bC.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b4．若lg(x －y)＋lg(x ＋2y)＝lg2＋lgx ＋lgy ，则x y＝________. 5．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________.6．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg 45的值．7．已知log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)，求x.1．(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5的值为()A ．4B ．1C ．6D ．32．若lnx －lny ＝a ，则ln(x 2)3－ln(y 2)3等于() A.a 2B ．aC.3a 2D ．3a 3．如果方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lgx ＋lg2·lg3＝0的两根为lgx 1、lgx 2，那么x 1·x 2的值为…()A ．lg2·lg3B ．lg2＋lg3C.16D ．－6 4.若x·log 34＝1，则4x ＋4－x 等于()A.103B ．6C.83D.1635．已知函数f(x)＝alog 2x ＋blog 3x ＋2且f(1200)＝4，则f(200)＝________. 6．lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋lg 22＝________. 7．a>1，b>1，p ＝log b (log b a)log b a，则a p ＝________. 8．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．9．如果lgx ＋lgy lgx ＋lgx ＋lgy lgy ＋[lg(x －y)]2lgx·lgy＝0，求x ，y 及log 2(xy)的值．10．设a>0，a ≠1，x 、y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求出当x 为何值时，log a y 取得最小值．答案与解析课前预习1．C 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 无意义，故①不成立；在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M ＝N>0成立，故②成立；在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M|＝|N|，但未必有M ＝N ，例如：M ＝2，N ＝－2时，有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N ，∴③不成立；在④中，若M ＝N ＝0时，log a M 2与log a N 2均无意义，∴④不成立．2．Clog 28＋log 218＝log 28×18＝log 21＝0. 3．A4．a －2log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.5．9log 34·log 48·log 8m ＝lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8＝lgm lg3， 又log 416＝2，∴lgm lg3＝2. ∴lgm ＝2lg3＝lg32＝lg9.∴m ＝9.课堂巩固1．B 其中③⑥⑦⑧正确．①式中nlog a x ＝log a x n ；②式中log a x n ＝n·log a x ；④式中log a x y＝log a x －log a y ；⑤式中1nlog a x ＝log a n x. 2．By ＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝1lg5， ∵lg5≈0.6990，∴y ≈1.43∈(1,2)．3．B 设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，得1a ＝log k 3，1b ＝log k 4，1c＝log k 6.所以2c ＝2a ＋1b. 4．2由对数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y>0，x ＋2y>0，x>0，y>0，又由原式可得(x －y)(x ＋2y)＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0，∴(x y )2－x y－2＝0， 解得x y ＝2或x y＝－1(舍去)． 5.2a ＋b 1－a log 512＝lg12lg5＝lg4＋lg3lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b 1－a. 6．解：方法一：lg 45＝12lg45＝12lg 902＝12(lg90－lg2) ＝12(lg9＋lg10－lg2) ＝12(2lg3＋1－lg2) ＝lg3＋12－12lg2 ＝0.4771＋0.5－0.1505＝0.8266.方法二：lg 45＝12lg45＝12lg(5×9) ＝12(lg5＋lg9) ＝12(lg5＋2lg3)＝12(1－lg2＋2lg3) ＝12－12lg2＋lg3 ＝0.8266.点评：运算过程中要注意对数运算法则的正确运用，体会lg2＋lg5＝1性质的灵活运用．7．解：原方程可化为log 9(x －1)2＝log 9(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5.∴x 2－3x －4＝0.∴x ＝－1或x ＝4.将x ＝－1，x ＝4分别代入方程检验知：x ＝－1不合题意，舍去，∴x ＝4.点评：对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法，利用log a N ＝loga n N n (N>0，n ≠0)可得，计算过程中要注意等价变形，如本题中将log 3(x －1)化为log 9(x －1)2实质上是非等价变形，扩大了x 的取值范围，因此在解对数方程后要验根．课后检测1．B 原式＝(lg2＋lg5)(lg 22－lg2·lg5＋lg 25)＋3lg2·lg5＝lg 22－lg2·lg5＋lg 25＋3lg2·lg5＝(lg2＋lg5)2－3lg2·lg5＋3lg2·lg5＝1.2．Dln(x 2)3－ln(y 2)3＝3(ln x 2－ln y 2)＝3(lnx －ln2－lny ＋ln2)＝3(lnx －lny)＝3a. 3．C 由已知得lgx 1＝－lg2，lgx 2＝－lg3，∴x 1＝12，x 2＝13，∴x 1·x 2＝16. 4．A ∵x·log 34＝1，∴x ＝log 43，则4x ＋4－x ＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103. 5．0由f(1200)＝a·log 21200＋blog 31200＋2 ＝－alog 2200－blog 3200＋2＝4得alog 2200＋blog 3200＝－2，∴f(200)＝a·log 2200＋blog 3200＋2＝0.6．3原式＝lg25＋lg823＋lg 102·lg(10×2)＋lg 22 ＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋lg 22＝lg100＋lg 210－lg 22＋lg 22＝2＋1＝3.点评：对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值过程中，要注意公式的正用和逆用．7．log b a 由对数换底公式，得log b (log b a)log b a＝log a (log b a)， ∴p ＝log a (log b a)．∴a p ＝log b a.8．解：由3x ＝4y ＝36，得x ＝log 336，y ＝log 436，∴1x ＝1log 336＝log 363，1y ＝1log 436＝log 364. ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 9．解：去分母得lgy(lgx ＋lgy)＋lgx(lgx ＋lgy)＋[lg(x －y)]2＝0，即(lgx ＋lgy)2＋[lg(x －y)]2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ lgx ＋lgy ＝0，lg(x －y)＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，x －y ＝1.∴x ，－y 是方程t 2－t －1＝0的两个实根．又x ，y>0，且x ≠1，y ≠1，x>y ，∴x ＝5＋12，y ＝5－12. ∴log 2(xy)＝log 21＝0.10．解：由换底公式得log a x ＋3·1log a x －log a y log a x＝3，整理得log 2a x ＋3－log a y ＝3log a x ，∴log a y ＝log 2a x －3log a x ＋3＝(log a x －32)2＋34. ∴当log a x ＝32，即x ＝a 32时，log a y 取最小值34.。
人教B版数学高一版必修1同步训练对数函数
3.2.2 对数函数5分钟训练1.函数y=2log 2-x 的定义域是( )A.(3,+∞)B.［3,+∞)C.(4,+∞)D.［4,+∞)答案：D解析：由log 2x-2≥0,得x≥4.2.函数f(x)=|log 2x|的图象是( )答案：A解析：f(x)=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x 3.设a=0.3-2,b=log 0.34,c=log 43,则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜b ＜aD.b ＜c ＜a答案：D解析：利用它们与0、1的大小关系进行比较.4.函数f （x ）=log （a-1）x 是减函数，则a 的取值范围是______________.答案：1＜a ＜2解析：由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a ＜2.10分钟训练1.函数y=lg|x|是( )A.偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增B.偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减C.奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增D.奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减 答案：B解析：画出函数y=lg|x|的草图即见答案.在画函数y=lg|x|的草图时，注意应用函数y=lg|x|是个偶函数，其图象关于y 轴对称.比如列表时，要先确定对称轴，然后在对称轴的两侧取值列表.2.函数f(x)=xln|x|的图象是( )答案：A解析：因为函数f(x)是奇函数,所以C、D不成立.当x＞1时,f(x)＞0,所以B不成立.3.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-.2),1(log,2,2231xxxe x则f(f(2))的值为( )A.0B.1C.2D.3答案：C解析：f［f(2)］=f(1)=2.4.若定义在（-1，0）上的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）>0，则a的取值范围是( )A.（0，21） B.（0，21］C.（21，+∞） D.（0，+∞）答案：A解析：当x∈(-1，0)时，有x+1∈(0，1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可.由此解得0<a<21.5.方程log3x+x=3的解所在的区间为( )A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案：C解法一：在同一坐标系中作出函数y=log3x与y=3-x的图象,易知x∈(2,3).解法二:设f(x)=log3x+x-3.因为f(2)·f(3)＜0,可知函数的零点在(2,3)之间.6.设a≠0，对于函数f （x ）=log 3（ax 2-x+a ），（1）若x ∈R ，求实数a 的取值范围；（2）若f （x ）∈R ，求实数a 的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为R ，则ax 2-x+a ＞0对一切实数x 恒成立，其等价条件是 ⎩⎨⎧<-=∆>,041,02a a 解得a ＞21. (2)f(x)的值域为R ，则真数ax 2-x+a 能取遍大于0的所有实数，其等价条件是 ⎩⎨⎧≥-=∆>,041,02a a 解得0＜a≤21.30分钟训练1.（2006天津高考,文4）设P=log 23,Q=log 32,R=log 2(log 32),则( )A.R ＜Q ＜PB.P ＜R ＜QC.Q ＜R ＜PD.R ＜P ＜Q答案：A解析：∵P ＞1,0＜Q ＜1,R ＜0,∴R ＜Q ＜P.2.函数y=|x 21log |的定义域为［a,b ］,值域为［0,2］,则b-a 的最小值是() A.41B.3C.43D.2答案：C解析：如图,令|x 21log |=2,得x=41或x=4.∵y ∈［0,2］,∴(b-a)min =141-=43.3.下列四个函数中,图象如图所示的只能是( )A.y=x+lgxB.y=x-lgxC.y=-x+lgxD.y=-x-lgx答案：B解析：因为A 、D 是单调函数,所以它们不正确.不妨取x=10,∵C 中的y=-10+lg10=-9＜0,∴C 不正确.4.已知0＜a ＜1,log a m ＜log a n ＜0,则( )A.1＜n ＜mB.1＜m ＜nC.m ＜n ＜1D.n ＜m ＜1答案：A解析：由0＜a ＜1知函数f(x)=log a x 为减函数,由log a m ＜log a n ＜0,得m>n>1.5.已知函数y=lg(2x -b)(b 为常数),若x ∈［1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则( )A.b≤1B.b ＜1C.b≥1D.b=1 答案：A解析：由题意得,2x -b≥1,b≤2x -1,x ∈［1,+∞).此时(2x -1)min =1,从而b≤1.6.(创新题)设函数f(x)=log a x(a ＞0,且a≠1),若f(x 1·x 2·…·x 2 007)=8,则f(x 12)+f(x 22)+…+f(x 2 0072)的值等于( )A.4B.8C.16D.2log a 8 答案：C解析：∵f(x)=log a x,f(x 1·x 2·…·x 2 007)=8,∴由函数的运算性质,得f(x 12)+f(x 22)+…+f(x 2 0072)=f(x 12·x 22·…·x 2 0072)=f ［(x 1·x 2·…·x 2 007)2］=log a (x 1·x 2·…·x 2 007)2=2log a (x 1·x 2·…·x 2007)=2×8=16.7.若f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤,1,log ,1,4181x x x x 则满足f(x)=41的x 的值为_______________. 答案：1或3解析：当4141=x 时,x=1; 当log 81x=41时,x=41441381⨯==3. 所以x 的值为1或3.8.(探究题)对于函数f(x)定义域中任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),有如下结论：①f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2);②f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2); ③2121)()(x x x f x f --＞0; ④f(221x x +)＜21［f(x 1)+f(x 2)］. 当f(x)=lgx 时,上述结论成立的是_________________.(填序号)答案：②③ 提示:根据对数的运算性质及函数的性质进行判断.9.已知集合A={x|62)21(--x x ＜1},B={x|log 4(x+a)＜1},若A∩B=∅,求实数a 的取值范围.解：由62)21(--x x ＜1,得x 2-x-6＞0,解得x ＜-2或x ＞3,即A={x|x ＜-2或x ＞3}. 由log 4(x+a)＜1,得0＜x+a ＜4,解得-a ＜x ＜4-a,即B={x|-a ＜x ＜4-a}.∵A∩B=∅,∴⎩⎨⎧≤--≥-,34,2a a 解得1≤a≤2.即实数a 的取值范围是［1,2］. 10.已知函数f(x)=log a11--x mx (a ＞0,且a≠1)的图象关于原点对称. (1)求m 的值;(2)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.解：(1)根据已知条件对于定义域内的一切x 都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0, ∴11log 11log --+--+x mx x mx a a =0. 整理得11log 222--x x m a =0, ∴11222--x x m =1,即(m 2-1)x 2=0. ∴m 2-1=0.∴m=1或m=-1.若m=1,11--x mx =-1,f(x)无意义,则舍去m=1, ∴m=-1. (2)设1＜x 1＜x 2,而f(x)=log a11-+x x , ∵0)1)(1()(2111121122211>---=-+--+x x x x x x x x , ∴11112211-+>-+x x x x ＞0. 当a ＞1时,11log 11log 2211-+>-+x x x x a a , 即f(x)在(1,+∞)上递减；当0＜a ＜1时,11log 11log 2211-+>-+x x x x a a , 即f(x)在(1,+∞)上递增.。
数学人教B版必修1同步练习：3-2对数与对数函数第一小
3.2 对数与对数函数3．2.1 对数及其运算第1课时1．若a 2＝N(a>0且a ≠1)，则有( )A ．log 2N ＝aB ．log 2a ＝NC ．log N a ＝2D ．log a N ＝22．若log x 7y ＝z ，则( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x z D ．y ＝z 7x3．21＋log 272的值等于( )A ．272B ．7 C.47D ．144．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x ＝12，则x ＝________.5．若log 2(x 2－4x ＋6)＝1，则x ＝________.1．有下列说法：①零和负数无对数；②3log 3(－5)＝－5成立；③任何一个指数式都可以化为对数式；④以10为底的对数叫做常用对数．其中正确命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3D ．log 55＝1与51＝53．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围为…( ) A ．a>5或a<2 B ．2<a<5C ．2<a<3或3<a<5D ．3<a<44．计算3log 35＋3log315＝________.5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －12＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值．7．求alog a b·log b c·log c N 的值．1．给出下列式子：①5log 512＝12；②πlogπ3－1＝13；③4log 4(－3)＝－3；④xlog x 6＝ 6.其中不正确的是( )A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④ 2．下列命题正确的是( )①对数式log a N ＝b(a>0，且a ≠1)和指数式a b ＝N(a>0，且a ≠1)是同一关系式的两种不同表达形式；②在同底条件下，对数式log a N ＝b 与指数式a b ＝N 可以互相转化； ③若a b ＝N(a>0，且a ≠1)，则alog a N ＝N 一定成立； ④对数的底数是任意正实数． A ．①② B ．①②③④ C ．①②③ D ．④3．以6为底，216336的对数等于( )A.73B.113C.92D ．2 4.设5lgx＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．±10 C ．100 D ．±100 5．log 6(log 4(log 381))＝________.6．log 3(1－2x9)＝1，则x ＝________.7．(1)求对数值：log 4381＝________；log 354625＝________.(2)求真数：log 3x ＝－34，则x ＝________；log 2x ＝78，则x ＝________.(3)求底数：log x 3＝－35，则x ＝________；log x 2＝78，则x ＝________.8．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．9．已知log a b ＝log b a(a>0，a ≠1；b>0，且b ≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.10．已知lga 和lgb 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lga)x －(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．答案与解析课前预习1．D 由对数式与指数式的互化易得． 2．B log x 7y ＝z ⇔x z ＝7y ，∴x 7z ＝y.3．B 21＋log 272＝2·2log 272＝2·72＝7.4.12 －2 log 16x ＝－14⇔x ＝16－14＝12，(2)x ＝12⇔x ＝log 212＝log 2(2)－2＝－2. 5．2 由log 2(x 2－4x ＋6)＝1得x 2－4x ＋6＝2，即x 2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，∴x ＝2.课堂巩固1．B ③错误，如(－1)2＝1就不能写成对数式．②错误，log 3(－5)无意义． 2．C log 39＝2的指数式应为32＝9.3．C 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a>0，a －2>0，a －2≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<5，a>2，a ≠3，∴2<a<3或3<a<5.4.655 ∵3log 35＝5，3log 315＝(3log 315)12＝(15)12＝55. ∴原式＝5＋55＝655.5.24由已知得log 3(log 2x)＝1， ∴log 2x ＝3，则x ＝23.∴x －12＝2－32＝122＝24.6．解：∵log a 2＝m ，∴a m ＝2. 又log a 3＝n ，∴a n ＝3.∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12. 7．解：原式＝(alog a b)log b c·log c N ＝blog b c·log c N ＝(blog b c)log c N ＝clog c N ＝N.点评：重复使用对数恒等式即可得解；对数恒等式alog a N ＝N 中要注意书写格式．课后检测1．C ③不正确，log 4(－3)无意义，∵负数和零无对数；④不正确，应在条件“x>0，且x ≠1”的前提下计算．2．C ④中的底数应满足“大于0且不等于1”．3．A ∵216336＝63623＝63－23＝673，∴log 6216336＝log 6673＝73.4．C 5lgx ＝25，∴lgx ＝2，即102＝x. ∴x ＝100.5．0 原式＝log 6[log 4(log 334)] ＝log 6(log 44) ＝log 61＝0.6．－13 由已知得1－2x9＝3，∴x ＝－13.7．(1)16 3 (2)1427278 (3)3－53 287(1)(43)16＝34＝81，∴log 4381＝16； ∵(354)3＝625，∴log 354625＝3.(2)由题意可得x ＝3－34＝1427；由已知得x ＝278.(3)由已知得x －35＝3，∴x ＝3－53；x 78＝2，∴x ＝287.点评：对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可求另外一个，关键是指数式与对数式的互化．8．解：∵f(x)的最大值为3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧lga<0，16lg 2a －44lga＝3⇒(4lga ＋1)(lga －1)＝0.∴lga ＝1(舍去)或lga ＝－14.∴a ＝10－14.9．证明：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ， 从而有b ＝(b k )k ＝bk 2.∵b>0，b ≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b.∴a ＝b 或a ＝1b ，命题得证．10．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lga ＋lgb ＝1，lga·lgb ＝m ，(lga)2＋4(1＋lga)＝0，①②③由③得(lga ＋2)2＝0，∴lga ＝－2.∴a ＝1100.代入①得lgb ＝1－lga ＝3，∴b ＝103＝1 000. 代入②得m ＝lga·lgb ＝(－2)×3＝－6.∴a ＝1100，b ＝1 000，m ＝－6.。
数学人教版A必修1同步训练：2.2.1对数与对数运算第1课时(附答案)
2.2 对数函数2．2.1对数与对数运算第一课时1．以下说法不正确的是( )A ．0和负数没有对数B ．对数值可以是任意实数C ．以a(a>0，a≠1)为底1的对数等于0D ．以3为底9的对数等于±22．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln1＝0B ．8－13＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 77＝1与71＝73．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx ，则x ＝100；④若e ＝lnx ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③ B．②④ C．①② D．③④4．计算：(1)lg1＋lg10＋lg100；(2)lg0.1＋lg0.01＋lg0.001.课堂巩固1．对数式x ＝ln2化为指数式是( )A ．xe ＝2B ．e x ＝2C ．x 2＝eD ．2x ＝e2．下列指数式与对数式互化不正确．．．的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 24＝2与24＝2D ．log 55＝1与51＝53．若log a 7b ＝c ，则a ，b ，c 之间满足( )A ．b 7＝a cB ．b ＝a 7cC ．b ＝7a cD ．b ＝c 7a4．(2009河南六市第一次联考，文3)设f(x)＝1＋log 2x 1－x ，则f(15)＋f(45)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．给出以下三个命题：①对数的真数是非负数；②若a>0且a≠1，则log a 1＝0；③若a>0且a≠1，则log a a ＝1.其中正确命题的序号是__________．6．log 155＝a ，log 3b ＝2，则b －a ＝__________. 7．计算：log 2748＋log 212－12log 242.1．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为…( )A ．14B ．8C ．22D ．272．若log 2[log 12(log 2x)]＝log 3[log 13(log 3y)]＝log 5[log 15(log 5z)]＝0，则x 、y 、z 的大小关系是…( )A ．z<x<yB ．x<y<zC ．y<z<xD ．z<y<x3.2log a (M －2N)＝log a M ＋log a N ，则M N的值为… ( ) A.14B ．4C ．1D ．4或14．若函数f(x)(x>0)满足f(x y)＝f(x)－f(y)，f(9)＝8，则f(3)等于( ) A ．2 B ．－2C ．1D ．45．已知ab>0，下面四个等式中：①lg(ab)＝lga ＋lgb ；②lg a b ＝lga －lgb ；③12lg(a b )2＝lg a b ；④lg(ab)＝1log ab 10. 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，则log x (y x )的值是( )A ．1B ．0C ．xD ．y7．已知lga ＝2.431 0，lgb ＝1.431 0，则b a等于… ( )A.110B.1100C ．10D ．1008．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m －n ＝__________.9．设a ，b 同号，且a 2＋2ab －3b 2＝0，则log 3(a 2＋ab ＋b 2)－log 3(a 2－ab ＋b 2)＝__________.10．(2008广东北江期末考试，5)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，log 4x ，x<1，x>1，求满足f(x)＝14的x 的值．11．求下列各式中的x 值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)x ＝log 128.12．(1)已知3a ＝2，用a 表示log 34－log 36；(2)已知log 32＝a,3b ＝5，用a 、b 表示log 330.答案与解析2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算第一课时课前预习1．D 2.C 3.C4．解：(1)原式＝0＋1＋2＝3.(2)原式＝－1－2－3＝－6.课堂巩固1．B 2.C3．B ∵log a 7b ＝c ，∴7b ＝a c ，b ＝a 7c .4．B f(15)＋f(45)＝1＋log 214＋1＋log 24＝2. 5．②③ ①对数的真数为正数，故①错；②∵a 0＝1，∴log a 1＝0，②对；③∵a 1＝a ，∴log a a ＝1，③对．6．10 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(15)a ＝5⇒a ＝－1b ＝32＝9⇒b －a ＝10.7．解：原式＝12(log 27－log 248)＋log 23＋2log 22－12(log 27＋log 22＋log 23)＝12log 27－12log 23－12log 216＋log 23＋2－12log 27－12－12log 23＝－12. 课后检测1．C 原式＝2×2＋3×6－8×0＝22.2．A 由log 5[log 15(log 5z)]＝0， 可知log 15(log 5z)＝1，log 5z ＝15，可得z ＝515.同理可得x ＝212，y ＝313. ∵(212)10＝25＝32，(515)10＝52＝25， ∴(212)10>(515)10.∴x>z. 同理可得y>x.综上可知y>x>z.3．B 由题意，得M>0，N>0，M －2N>0.故M N>2，显然只有B 符合条件． 4．D ∵f(3)＝f(93)＝f(9)－f(3)， ∴f(3)＝12f(9)＝4. 5．B 若a<0，b<0，则①②不成立；若ab ＝1，则④不成立．6．B ∵(x－2)2＋(y －1)2＝0，∴x＝2，y ＝1，y x ＝1，log x (y x )＝log 21＝0.7．A 依据a x ＝N ⇔log a N ＝x(a>0且a≠1)，有a ＝102.431 0，b ＝101.431 0，∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110. 8.43∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m －n ＝a 2m a n ＝(a m )2a n ＝223＝43. 9．1 ∵a，b 同号，∴b≠0.将方程a 2＋2ab －3b 2＝0两边同除以b 2，得(a b )2＋2(a b)－3＝0， ∴(a b ＋3)(a b－1)＝0. 解得a b ＝1或a b＝－3(舍去)． ∴a＝b.∴log 3(a 2＋ab ＋b 2)－log 3(a 2－ab ＋b 2)＝log 3(3a 2)－log 3a 2＝log 33＝1.10．解：当x∈(－∞，1)时，由2－x ＝14，得x ＝2，但2∉(－∞，1)，舍去；当x∈(1，＋∞)时，由log 4x ＝14，得x ＝2，2∈(1，＋∞)．综上所述，x ＝ 2. 11．解：(1)由log 8x ＝－23，得 x ＝8－23＝(23)－23＝2－2＝14. (2)由log x 27＝34，得x 34＝27＝33， ∴x 14＝3.∴x＝34＝81. (3)由x ＝log 128，得(12)x ＝8＝23＝(12)－3， ∴x＝－3.点评：在解决一些对数问题时，若能将其转化为指数式的形式，运算更方便．解未知数处于指数位置的方程时，可运用指数函数的性质去解；解未知数处于底数位置的方程时，可运用开方(根式运算)的方法求未知数的值．12．解：(1)∵3a ＝2，∴a＝log 32.∴log 34－log 36＝log 323＝log 32－1＝a －1. (2)∵3b ＝5，∴b＝log 35.又∵log 32＝a ，∴log 330＝12log 3(2×3×5)＝12(log 32＋log 33＋log 35)＝12(a ＋b ＋1)． 点评：指数式与对数式是同一个式子的两种不同表现形式，它们之间的联系体现了数学中的转化思想．转化的依据是a b ＝N ⇔b ＝log a N(a>0，且a≠1)．。
人教A版高中数学必修一对数同步训练新
2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算第1课时 对 数基础达标1． 有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln (ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e＝ln x ，则x ＝e 2，其中正确的是( )．A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0；ln(ln e)＝ln 1＝0，故①、②正确，若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故④错误．答案 C2．在M ＝log (x －3)(x ＋1)中，要使式子有意义，x 的取值范围为( )．A ．(－∞，3]B ．(3,4)∪(4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(3,4)解析 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，x －3≠1，解得3<x <4或x >4.答案 B3．若log 3(log 2x )＝1，则等于( )．A.13B.123C.122D.133解析 ∵log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝23＝8，则＝18＝122答案 C4．log 6[log 4(log 381)]＝________.解析 原式＝log 6[log 4(log 334)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0. 答案 05．若2log 3x ＝14，则x 等于________． 解析 ∵2log 3x ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19. 答案 196．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a2m ＋n的值为________．解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n＝4×3＝12.答案 127．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·的值．解 ∵log 2(log 3(log 4x ))＝0，∴log 3(log 4x )＝1， ∴log 4x ＝3，∴x ＝43＝64.由log 4(log 2y )＝1，知log 2y ＝4，∴y ＝24＝16. 因此x ·＝64×＝8×8＝64.能力提升8．若log x 7y ＝z ，则( )．A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x解析 由log x 7y ＝z ，得x z＝7y ， ∴⎝⎛⎭⎫7y 7＝(x z )7，则y ＝x 7z .答案 B 9．已知＝49(a ＞0)，则a ＝________.解析 设a ＝x ，则a ＝，又＝49，∴＝，即，∴23x＝2，解得x＝3.答案 310．已知log a x＝4，log a y＝5(a>0，且a≠1)，求A＝(x·3x－1y2)12的值．解由log a x＝4，得x＝a4，由log a y＝5，得y＝a5，所以A＝。
人教B版数学高一版必修1同步训练3.2.1对数及其运算
3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算5分钟训练1.对数式x=ln2化为指数式是( )A.x e =2B.e x =2C.x 2=eD.2x =e答案：B2.以下说法不正确的是( )A.0和负数没有对数B.对数值可以是任意实数C.以a(a ＞0,a≠1)为底1的对数等于0D.以3为底9的对数等于±2答案：D3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=100;④若e=lnx,则x=e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④答案：C4.log 2487+log 212-21log 242=_____________. 答案：21-解法一：487log 2+log 212-21log 242 =21(log 27-log 248)+log 24+log 23-21log 26-21log 27 =21-log 21621-log 23+2+log 23-2121-log 23=21-. 解法二：原式=log 2(21)67112347(-=⨯⨯⨯. 10分钟训练1.式子)5log 211(22+的值为( ) A.52+ B.52 C.2+25 D.1+25 答案：B解析：原式=5222)52(log )5log 1(22==+.2.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N 答案：D解析：在对数运算的性质中，与A 类似的一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B 中的lg 23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C 中的log a M+N 表示(log a M)+N ，它与log a (M+N)不是同一意义；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2N M N M 3log =，所以M=N. 3.已知11.2a =1 000，0.011 2b =1 000，那么ba 11-等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b 11000， ∴两式相除得0112.02.11100011=-b a =1 000. ∴b a 11-=1.解法二：用对数解.由题意，得a×lg11.2=3，b×lg0.011 2=3， ∴b a 11-=31(lg11.2-lg0.011 2)=1.4.若lnx-lny=a,则ln(2x )3-ln(2y)3等于( ) A.2a B.a C.23aD.3a 答案：D解析：ln(2x)3-ln(2y)3=3(ln 2x -ln 2y)=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3a.5.已知lg6=0.778 2,则102.778 2=______________.答案：600解析：∵lg6=0.778 2,∴100.778 2=6.∴102.778 2=102·100.778 2=100×6=600.6.(1)已知3a =2,用a 表示log 34-log 36;(2)已知log 32=a,3b =5,用a 、b 表示log 330.解：(1)∵3a =2,∴a=log 32.∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1.(2)∵3b =5,∴b=log 35.又∵log 32=a,∴log 330=21log 3(2×3×5) =21(log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1).30分钟训练1.已知a 、b 、c 为非零实数，且3a =4b =6c ，那么( ) A.b a c 111+= B.b a c 122+=C.b a c 221+=D.ba c 212+= 答案：B 解析：设3a =4b =6c =k ，则a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ，得a 1=log k 3，b 1=log k 4，c 1=log k 6.所以ba c 122+=. 2.设x 、y 为非零实数，a>0且a≠1，则下列各式中不一定成立的个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x|A.1B.2C.3D.4答案：C解析：①②③不一定成立，④一定成立.3.(探究题)已知f(x 6)=log 2x,那么f(8)的值为( ) A.34 B.8 C.18 D.21 答案：D 解析：设t=x 6,则x=61t ,所以f(t)=log 261t ,f(8)=log 2212log 821261==. 4.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f （91）］的值是( ) A.9 B.91 C.-9 D.91- 答案：B解析：f(91)=log 391=-2，f(-2)=3-2=91. 5.(创新题)已知集合M={(x,y)|xy=1,x ＞1},在映射f:M→N 作用下,点(x,y)与点(log 2x,log 2y)相对应,设u=log 2x,v=log 2y,则N 的集合为( )A.{(u,v)|u+v=0}B.{(u,v)|u+v=0,u ＞0}C.{(u,v)|u+v=1}D.{(u,v)|u+v=1,v ＞0}答案：B解析：∵x ＞1,∴log 2x ＞0.又∵xy=1,∴x=y1. 于是log 2x=log 2y 1=-log 2y, 从而log 2x+log 2y=0.6.已知log 23=a,log 37=b,则log 1456=_________________. 答案：abab ++13解析：由log 23=a,log 37=b,得log 27=ab.log 1456=abab ++=++=⨯⨯=137log 17log 3)72(log )87(log 14log 56log 222222. 7.式子n a n a n aaa a 1log 1log log ++(a ＞0,a≠1)的化简结果是_______________. 答案：-n 解析：原式=n a a a n a n a n a 1log log log 11=++--log a a-nlog a a-n 1log a a=n 1-n-n1=-n. 8.已知a 、b 均为正实数,且a 2+b 2=7ab,试证明213lg=+b a (lga+lgb). 证明：∵a 2+b 2=7ab,∴(a+b)2=9ab. ∵a ＞0,b ＞0,∴ab b a =+3. ∴21lg 3lg ==+ab b a (lga+lgb). 9.已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3,求a 的值.解：∵二次函数f(x)有最大值,∴lga ＜0.又［f(x)］max =aa a a lg 1lg 4lg 44lg 162-=-=3, ∴4lg 2a-3lga-1=0.∴lga=1或lga=41-. ∵lga ＜0,∴lga=41-. ∴a=4110-.10.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设N 为地震时所散发出来的相对能量程度，那么里氏震级m 可以定义为m=lgN ，试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度. 解：设8.2级和8.5级地震的相对能量程度分别为N 1和N 2，由题意得⎩⎨⎧==,lg 5.8,lg 2.821N N 因此lgN 2-lgN 1=0.3， 即12lg N N =0.3，∴12N N =100.3≈2. 因此，8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.。
人教B版数学必修1同步练习-3.2.2 对数函数 Word版含答案
1．已知对数函数y ＝log a x 的图象，若a 43，35，110，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次是( )．43，35，11043，110，35C.4335，110D.43110，352．a 取大于0且不等于1的任意值，函数21log 1ax y x +=-的图象恒过定点P ，则P 的坐标为( )． A ．(1,1) B ．(－2,0)C ．(2,0)D ．(－1,0)3．已知0＜a ＜1，log log aa x =1log 52a y =，log log a a z =，则( )． A ．x ＞y ＞z B ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞y4．函数1()f x x=的定义域为( )． A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0]∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1)5．若函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，a ≠1)图象过点(－1,0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________.6．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 取值范围是________．7．比较下列各组数的大小： (1)5.24与6；(2)log 2π与log 20.9；(3)log 712与log 812；(4)log 0.76,0.76与60.7.8．设121()log ()1ax f x x -=-满足f (－x )＝－f (x )，a 为常数． (1)求a 的值；(2)证明f (x )在(1，＋∞)内单调递增．9．求函数212log (23)y x x =-++的定义域、值域和单调区间．参考答案1.答案：A解析：由规律可知，曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数a 1，a 2，a 3，a 4满足0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1，故选A.2.答案：B解析：令2111x x +=-得x ＝－2，∴P 的坐标为(－2,0)． 3.答案：C解析：log a x =log a y =log a z =∵0＜a ＜1，∴y ＞x ＞z .4.答案：D解析：不等式组223203400x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎨⎪≠⎩的解集为[－4,0)∪(0,1]当x ＝10=，不满足题意，舍去． 当x ＝－40>，所以函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．5.答案：22解析：由0log (1)1log (0)a a b b =--⎧⎨=+⎩得a ＝b ＝2. 6.答案：112x x >≠且 解析：由题意得201210x x x x >≠⎧⎨+->⎩且 解得112x x >≠且. 又由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，得log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2，则得320122x x x x <<⎧⎨+-<⎩或32122x x x x >⎧⎨+->⎩ 解得0＜x ＜1或x ＞1，所以x 的取值范围为112x x >≠且. 7.解：(1)因为函数y x =在(0，＋∞)上是减函数，且5.24＜6，所以 5.246>.(2)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且π＞0.9.所以log 2π＞log 20.9.(3)利用换底公式，可得7121log 12log 7=，8121log 12log 8=. 因为函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递增，且1＜7＜8，所以0＜log 127＜log 128. 所以1212110log 7log 8>>，即log 712＞log 812. (4)因为60.7＞60＝1,0＜0.76＜0.70＝1，又log 0.76＜log 0.71＝0，所以60.7＞0.76＞log 0.76.8.解：(1)∵f (－x )＝－f (x )． ∴11221111log log 01111ax ax ax x x x x ax +-+-=-⇒=>------ .222111a x x a ⇒-=-⇒=±检验a ＝1(舍)，∴a ＝－1.(2)证明：任取x 1＞x 2＞1，∴x 1－1＞x 2－1＞0. ∴1212121211222201111111111x x x x x x x x ++<<⇒<+<+⇒<<------ 1211122211log log 11x x x x ++⇒>--即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在(1，＋∞)内单调递增．9解：由对数函数的定义知：－x 2＋2x ＋3＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数的定义域为(－1,3)． 设t ＝－x 2＋2x ＋3，由0＜－x 2＋2x ＋3≤4，知0＜t ≤4. 又因为对数函数12log y t =是单调减函数，所以y ≥－2，即原函数的值域为[－2，＋∞)．因为函数t ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4在(－1,1]上递增，而在[1,3)上递减，函数12log y t =是单调减函数，所以函数212log (23)y x x =-++的单调减区间为(－1,1]，单调增区间为[1,3)．。
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3.2 对数与对数函数
3．2.1 对数及其运算
第1课时
1．若a 2
＝N(a>0且a ≠1)，则有( )
A ．log 2N ＝a
B ．log 2a ＝N
C ．log N a ＝2
D ．log a N ＝2 2．若log x 7y ＝z ，则( )
A ．y 7＝x z
B ．y ＝x 7z
C ．y ＝7x z
D ．y ＝z 7x
3．21＋log 272
的值等于( ) A ．272 B ．7 C.47
D ．14 4．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x ＝12
，则x ＝________. 5．若log 2(x 2－4x ＋6)＝1，则x ＝________.
1．有下列说法：
①零和负数无对数；②3log 3(－5)＝－5成立；③任何一个指数式都可以化为对数式；④以10为底的对数叫做常用对数．
其中正确命题的个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )
A ．100＝1与lg1＝0
B ．27－13＝13与log 2713＝－13
C ．log 39＝2与912
＝3 D ．log 55＝1与51＝5
3．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围为…( )
A ．a>5或a<2
B ．2<a<5
C ．2<a<3或3<a<5
D ．3<a<4
4．计算3log 35＋3log315
＝________. 5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －12
＝________. 6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值．
7．求alog a b·log b c·log c N 的值．
1．给出下列式子：①5log 512＝12；②πlogπ3－1＝13
；③4log 4(－3)＝－3；④xlog x 6＝ 6.其中不正确的是
( )
A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．②④
2．下列命题正确的是( )
①对数式log a N ＝b(a>0，且a ≠1)和指数式a b ＝N(a>0，且a ≠1)是同一关系式的两种不同表达形式；
②在同底条件下，对数式log a N ＝b 与指数式a b ＝N 可以互相转化；
③若a b ＝N(a>0，且a ≠1)，则alog a N ＝N 一定成立；
④对数的底数是任意正实数．
A ．①②
B ．①②③④
C ．①②③
D ．④
3．以6为底，216336
的对数等于( ) A.73 B.113 C.92
D ．2 4.设5lgx ＝25，则x 的值等于( )
A ．10
B ．±10
C ．100
D ．±100
5．log 6(log 4(log 381))＝________.
6．log 3(1－2x 9
)＝1，则x ＝________.
7．(1)求对数值：log 4381＝________；log 354625＝________.
(2)求真数：log 3x ＝－34，则x ＝________；log 2x ＝78
，则x ＝________. (3)求底数：log x 3＝－35，则x ＝________；log x 2＝78
，则x ＝________. 8．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．
9．已知log a b ＝log b a(a>0，a ≠1；b>0，且b ≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b
.
10．已知lga 和lgb 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lga)x －(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．
答案与解析
课前预习
1．D 由对数式与指数式的互化易得．
2．B log x 7y ＝z ⇔x z ＝7y ，∴x 7z ＝y.
3．B 21＋log 272＝2·2log 272＝2·72
＝7.
4.12 －2 log 16x ＝－14⇔x ＝16－14＝12，(2)x ＝12⇔x ＝log 212
＝log 2(2)－2＝－2. 5．2 由log 2(x 2－4x ＋6)＝1得x 2－4x ＋6＝2，即x 2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，∴x ＝
2.
课堂巩固
1．B ③错误，如(－1)2＝1就不能写成对数式．②错误，log 3(－5)无意义．
2．C log 39＝2的指数式应为32＝9.
3．C 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a>0，a －2>0，a －2≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a<5，a>2，
a ≠3，
∴2<a<3或3<a<5. 4.655 ∵3log 35＝5，3log 315＝(3log 315)12＝(15)12＝55
. ∴原式＝5＋55＝655
. 5.24
由已知得log 3(log 2x)＝1， ∴log 2x ＝3，则x ＝23.
∴x －12＝2－32＝122＝24
. 6．解：∵log a 2＝m ，∴a m ＝2.
又log a 3＝n ，∴a n ＝3.
∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.
7．解：原式＝(alog a b)log b c·log c N ＝blog b c·log c N ＝(blog b c)log c N ＝clog c N ＝N. 点评：重复使用对数恒等式即可得解；对数恒等式alog a N ＝N 中要注意书写格式． 课后检测 1．C ③不正确，log 4(－3)无意义，∵负数和零无对数；④不正确，应在条件“x>0，且x ≠1”的前提下计算．
2．C ④中的底数应满足“大于0且不等于1”．
3．A ∵216336＝63623
＝63－23＝673， ∴log 6216336
＝log 6673＝73. 4．C 5lgx ＝25，∴lgx ＝2，即102＝x.
∴x ＝100.
5．0 原式＝log 6[log 4(log 334)]
＝log 6(log 44)
＝log 61＝0.
6．－13 由已知得1－2x 9
＝3，∴x ＝－13. 7．(1)16 3 (2)1427
278 (3)3－53 287 (1)(43)16＝34＝81，∴log 4381＝16；
∵(354)3＝625，∴log 354625＝3.
(2)由题意可得x ＝3－34＝1427
； 由已知得x ＝278
. (3)由已知得x －35＝3，∴x ＝3－53；x 78
＝2， ∴x ＝287
. 点评：对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可求另外一个，关键是指数式与对数式的互化．
8．解：∵f(x)的最大值为3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ lga<0，
16lg 2a －44lga ＝3⇒(4lga ＋1)(lga －1)＝0.
∴lga ＝1(舍去)或lga ＝－14.
∴a ＝10－14.
9．证明：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，
从而有b ＝(b k )k ＝bk 2.
∵b>0，b ≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.
当k ＝－1时，a ＝1b ；
当k ＝1时，a ＝b.
∴a ＝b 或a ＝1b ，命题得证．
10．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
lga ＋lgb ＝1，lga·lgb ＝m ，
(lga)2＋4(1＋lga)＝0，
①②③ 由③得(lga ＋2)2＝0，∴lga ＝－2.
∴a ＝1100.
代入①得lgb ＝1－lga ＝3，∴b ＝103＝1 000.
代入②得m ＝lga·lgb ＝(－2)×3＝－6.
∴a ＝1100，b ＝1 000，m ＝－6.。