高中数学方法50题集锦-教师用卷

高中数学常用思维方法结论定义易错知识点集锦50题解析1.【命题的否定与否命题】给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b−1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1<1”；④在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件．其中正确的命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、命题的否定以及正弦定理．根据相应的知识点对命题一一判断即可．【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；②命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b−1”，故正确；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1<1”，故正确；④在△ABC中，“A>B”⇔“a>b”⇔“2RsinA>2RsinB”⇔“sinA>sinB”，故“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，故正确．故选C．2.【过曲线上一点的切线方程】过曲线S：y=3x−x3上一点A(2,−2)的切线方程为()A. 9x−y−16=0或y=−2B. 9x+y−16=0C. 9x+y−16=0或y=−2D. 9x−y−16=0【答案】C3.【解析】【分析】本题考查了曲线的切线方程，考查导数的应用，本题是一道中档题．先求出函数的导数，得到函数的大致图象，通过讨论A是切点和A不是切点，从而求出切线的方程．【解答】解：∵y’=3−3x2，令y’>0，解得：−1<x<1，令y’<0，解得：x>1或x<−1，∴函数在(−∞,−1)递减，在(−1,1)递增，在(1,+∞)递减，∴y极小值=−2，y极大值=2，函数的图象如图所示：，显然A(2,−2)在y=3x−x3上，①若A不是切点，∴y=−2是过A(2,−2)的一条切线方程，②若A是切点，∵在A点处的切线的斜率是：3−3×4=−9，∴切线方程是：y+2=−9(x−2)，即：9x+y−16=0，综上，切线方程是：y=−2或9x+y−16=0，故选：C ．3.【明确函数单调性，则()()00≤'≥'x f x f 或】已知在[1,+∞)上为单调函数，则a 的取值范围是( )． A. [0,+∞) B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和导数的综合应用：求单调区间，考查了数学转化思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 求出原函数的导函数，由函数f(x)在[1,+∞)上为单调函数，得到x ∈[1,+∞)时，ax 2−2x +a ≥0恒成立，分离参数得出a 的取值范围． 【解答】 解：，f′(x)=ax 2−2x+ax 2，在[1,+∞)上为单调函数等价于ax 2−2x +a ≥0恒成立，a ≥2xx 2+1在[1,+∞)上恒成立，因为2xx 2+1≤2x2x =1，x =1时，取“=”， 所以a ≥1，即a 的范围为[1,+∞)， 故选D ．4. 【分式齐次式弦化切思想】已知sin α+3cos α3cos α−sin α=5，则sin 2α−sin αcos α的值是( ) A. 25B. −25C. −2D. 2【答案】A【解析】解：∵sinα+3cosα3cosα−sinα=5， ∴tanα+33−tanα=5，∴tanα=2．∴sin 2α−sinαcosα=sin 2α−sinαcosα sin 2α+cos 2α=tan 2α−tanα tan 2α+1=4−24+1=25，故选：A ．由已知条件求出tanα 值，化简sin 2α−sinαcosα=tan 2α−tanα tan 2α+1，把tanα值代入运算．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，1的代换，属于基础题．5. 【缩小角的取值范围确定三角函数值】已知sin θ+cos θ=43，θ∈(0,π4)，则sin θ−cos θ的值为( ) A. −√23B. 13C. √23D. −13【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，属于基础题． 根据同角三角函数关系式化简即可求值． 【解答】解：由sinα+cosα=43， 可得(sinα+cosα)2=169，即1+2sinαcosα=169，∴2sinα⋅cosα=79．=|√1−79|=±√23， ∵θ∈(0,π4)，，故sinθ−cosθ=−√23，故选A ．6. 【整体观察角的关系实质上就是角的配凑】设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式以及两角和与差的三角函数公式，先由同角三角函数的基本关系求出的值，再由二倍角公式求出和的值，又，由两角差的正弦公式即可求解． 【解答】解：cos(α+π6)=45，所以，所以， ，所以．故选A ．7. 【三角函数图像变换与基本性质】已知函数f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的最小正周期为π，为函数g(x)的一条对称轴，则函数g(x)的一个增区间为A. (0,π6) B. (π2,π)C. (π3,5π6)D. (π6,π3)【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角函数性质的应用j 及三角函数图像的平移变换，属于中档题．先化得f(x)=√2sin(ωx +φ−π4)，利用图像平移得g(x)，再结合其周期和对称轴可确定其解析式，从而求解． 【解答】解：f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=√2sin(ωx +φ−π4)，∵g(x)的最小正周期为π，所以ω=2为函数g(x)的一条对称轴， 则φ−π4=π2+kπ(k ∈Z)，|φ|<π2即φ=−π4，故，令，即，故当k =0时，选项C 满足条件； 故选C ．8. 【异名三角函数利用诱导公式化为同名三角函数再研究图像变换】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( )A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)，诱导公式，函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属中档题，难度一般，先根据诱导公式化为同名三角函数，进而利用图像变换法则做出判断． 【解答】解：易知曲线C 1:y =cosx =sin (x +π2)，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =sin (2x +π2)的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度， 可得函数y =sin [2(x +π12)+π2]=sin (2x +2π3)的图象，即曲线C 2，故选D ．9. 【复合三角函数的奇偶性】已知函数f(x)=√3sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数，且y =f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则f (π6)的值为( ) A. 1 B. −1 C. √3 D. √2 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数y =Asin (wx +φ)的图像和性质，属中档题．先通过恒等变换将函数f (x )化简，进而根据题意求出函数表达式中的w,φ，可得出答案． 【解答】解：由f(x)=√3sin(ωx +φ)−cos (ωx +φ)，得f(x)=2sin (wx +φ−π6)， 当f(x)=2sin (wx +φ−π6)为偶函数，所以φ−π6=kπ+π2,k ∈Z ， 又0<φ<π，所以φ=2π3．又因为f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2， 所以T =π， 故ω=2，所以f(x)=2sin (2x +2π3−π6)=2sin (2x +π2) =2cos 2x ， 故f (π6)=2cos π3 =1．故选A ．10. 【平面向量平行与垂直的判定】平面向量a ⃗ =(x,−3)，b ⃗ =(−2,1)，c ⃗ =(1,y)，若a ⃗ ⊥(b ⃗ −c ⃗ )，b ⃗ // (a ⃗ +c ⃗ )，则b ⃗ 与c ⃗ 的夹角为( )A. 0B. π4C. π2D. 3π4 【答案】C【解析】【分析】本题考查向量数量积的定义，考查向量垂直的条件，考查了两个向量的平行的应用，考查两个向量夹角的求法，考查了向量的坐标运算．运用两向量垂直的条件即为数量积为0，化简即可得到2a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ 2=b ⃗ 2，即|a⃗ |=|b ⃗ |.再由向量的夹角公式计算即可得到． 【解答】解：平面向量a⃗ =(x,−3)，b ⃗ =(−2,1)，c ⃗ =(1,y)， a ⃗ ⊥(b ⃗ −c ⃗ )，可得a⃗ ·(b ⃗ −c ⃗ )=0， 即−3x −3(1−y )=0，化为x −y +1=0，① b ⃗ // (a⃗ +c ⃗ )，x +2y −5=0，② 则由①②可得{x =1,y =2，故c⃗ =(1,2)， 设b ⃗ 与c ⃗ 的夹角为α， cosα=b ⃗ ·c ⃗|b ⃗ |·|c ⃗ |=0|b ⃗ |·|c ⃗ |=0， 可得b ⃗ 与c ⃗ 的夹角为π2． 故选C ．11. 【利用建系解决平面向量最值问题】△ABC 中，AB =2,AC =2√2，∠BAC =450，P 为线段AC 上任意一点，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [−14,1] B. [−12,4] C. [−14,0] D. [−12,2] 【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、向量的几何运用，解题的关键是建立平面直角坐标系，属于中档题．利用余弦定理求得BC =2，得△ABC 为以B 为直角顶点的直角三角形，利用向量的几何运用，求解即可． 【解答】解：根据题意，△ABC 中，AB =2，AC =2√2，∠BAC =45º， 则根据余弦定理可得BC 2=4+8−2×2×2√2×cos 45º=4， 即BC =2，∴△ABC 为以B 为直角顶点的直角三角形，以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，如图所示，则A(0,2)，C(2,0)，B(0,0)，则线段AC 的方程为x 2+y2=1，(0≤x ≤2)， 设P(x,y)，则，，，∵0≤x ≤2，∴−12≤PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ≤4， 故选B ．12. 【利用数形结合思想解决平面向量问题】已知A,B,C,P 是同一平面内的不同四点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )且|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 30∘ B. 60∘ C. 90∘ D. 120∘ 【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的夹角，属于基础题．由题意和向量的运算可得BC 为圆P 的直径，进而由直径所对的圆周角为直角可得结论． 【解答】解：∵已知A,B,C,P 是同一平面内的不同四点，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴P 为BC 的中点，又∵|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴BC 为圆P 的直径， ∴圆周角∠CAB =90°， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为90°. 故选C ．13. 【四边形对角互补与余弦定理的多次使用】如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A. 7kmB. 8kmC. 9kmD. 6km【答案】A【解析】【分析】本题考查了余弦定理解三角形，属于中档题．分别在△ACD ，ABC 中使用余弦定理计算cos B ，cos D ，令cosB +cosD =0解出AC. 【解答】解：在△ACD 中，由余弦定理得：cosD =AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD =34−AC 230，在△ABC 中，由余弦定理得：cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=89−AC 280.∵B +D =180°，∴cosB +cosD =0，即34−AC 230+89−AC 280=0，解得AC =7. 故选A .14. 【多个三角形中多次使用正弦定理与余弦定理】在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB =AD ，2AB =√3BD ，sinC =√66，则BC BD =( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. 3 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式，属于中档题． 由题意可设AB =AD =x ，BD =2√33x ，△ABD 中，由余弦定理cosA =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD可求cos A ，然后结合同角三角函数平方关系可求sin A ，△ABC 中，由正弦定理ABsinC =BCsinA ，可求BC ，即可． 【解答】解：由题意可设AB =AD =x ，BD =2√33x ，△ABD 中由余弦定理可得，cosA =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=x 2+x 2−43x 22x 2=13， ∵A ∈(0,π)， ∴sinA =2√23， ∵sinC =√66， △ABC 中，由正弦定理可得，AB sinC =BCsinA ，BC2√23=x√66，∴BC =4√3x3则BCBD =4√33x 2√3x 3=2，故选：C ．15. 【锐角三角形中注意角的范围】已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且a =2bsinA ，则cosA +sinC 的取值范围是( )A. (√32,√3)B. (√32,32)C. (−√32,√3) D. (32,√3) 【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的取值范围，两角和差公式和辅助角公式，正弦定理，属中档题．先由正弦定理，结合已知a =2bsinA 求得sin B ，根据三角形为锐角三角形，得到B 的值，进而求得A 与C 的关系及C 的范围，利用两角和的正弦公式解答所求式子表示为C 的三角函数，根据范围，利用三角函数的性质求解． 【解答】 解：，∴由正弦定理可得：sinA =2sinBsinA ，∵sinA >0，∴sinB =12，∵△ABC 为锐角三角形，∴B =30°，∴A +C =150°，且60°<C <90°，cosA +sinC =cos(150°−C)+sinC，∵60°<C <90°，即30∘<C −30∘<60∘，的取值范围是(12,√32)，∴ cosA +sinC 的取值范围是(√32,32)，故选B ．16. 【线性规划中开放式区域问题】已知x,y 满足约束条件{x +y −2⩾0x −y −2⩽0y ⩾1则z =x +2y 的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B【解析】【分析】本题考查线性规划中的最值问题，作出不等式组的可行域，利用数形结合即可求出答案． 【解答】解：做出可行域，如下图所示(阴影部分)： 由{y =1x +y =2，解得{x =1y =1,A(1,1) 由图像可得，当目标函数z =x +2y 过点A 时， 取得最小值为3． 故选：B ．17. 【分离常数法求最值问题】若对任意实数t >−1，不等式t+1t 2+2t+5⩽a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.．B. (1,+∞)C. [14,+∞)D. [1,+∞)【答案】C【解析】【分析】将恒成立问题转化为函数求最值问题即可，基本不等式求t 2+2t+5t+1的范围，再取倒数得t+1t 2+2t+5 的范围，从而得a 的范围，本题主要考查基本不等式求最值，属中档题． 【解答】解：不等式t+1t 2+2t+5≤a 恒成立，即 a ≥(t+1t 2+2t+5 )max令ℎ(t )=t 2+2t+5t+1=(t+1)2+4t+1=(t +1)+4t+1，因为t >−1所以ℎ(t )≥2√(t +1)×4t+1=4，(当t =1时，等号成立)，所以t+1t 2+2t+5 ≤14，即(t+1t 2+2t+5 )max=14，所以a ≥14， 故选C ．18. 【注意基本不等式成立的条件】下列不等式或命题一定成立的是( )①lg(x 2+14)⩾lgx(x >0); ②sinx +1sinx ⩾2(x ≠kπ,k ∈Z)； ③x 2+1⩾2|x|(x ∈R); ④y =√x 2+3x 2+2(x ∈R)最小值为2．A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题． 【解答】解：①当x >0时，x 2+14≥2·x ·12=x ，当且仅当x =12时等号成立，所以lg(x 2+14)≥lg x(x >0)，当且仅当x =12时等号成立， 故选项①正确；②：运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x ≠kπ，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项②不正确；③：x 2+1=|x|2+1≥2|x |,当且仅当|x|=1时等号成立，可知③正确；④：设t =x 2+3≥3,∴√x 2+3x 2+2=√t t−1=√t−1√t，u =√t −√t 为增函数，所以u ≥2√33，当且仅当t =3时取等号，所以0<y ≤√32，故④不正确， 故选C ．19. 【异面直线的判定】如图，在正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，BC ，A 1D 1的中点，有下列四个结论：①AP 与CM 是异面直线；②AP ，CM ，DD 1相交于一点；③MN // BD 1；④MN //平面BB 1D 1D . 其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②④C. ①③④D. ②③④【答案】B【解析】【分析】本题考查空间中的线、面位置关系和线面平行的判断定理，考查推理能力和空间想象能力，属于基础题． 根据空间线线关系、线面平行的判定定理逐项判定，即可得到答案． 【解答】解：因为MP // AC ，MP ≠AC ，所以AP 与CM 是相交直线，又A 1ADD 1∩C 1CDD 1=DD 1，所以AP ，CM ，DD 1相交于一点，则①不正确，②正确．③令AC ∩BD =O ，因为M ，N 分别是C 1D 1，BC 的中点，所以ON // D 1M // CD ，OD =D 1M =12CD ，则MNOD 1为平行四边形， 所以MN // OD 1，因为MN ⊄平面BD 1D ，OD 1⊂平面BD 1D ， 所以MN //平面BD 1D ，则③不正确，④正确． 综上所述，②④正确，故选B ．20. 【多面体切割问题】如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且ΔADE,ΔBCF 是正三角形，EF//AB,EF =2，则该多面体的体积为( )A. √2B. √23C. 2√23D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是组合几何体的体积问题，其中对几何体进行合理的划分，从面能便捷的计算出基本几何体的体积是解答本题的关键．由已知中在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF =2，我们易将几何体分解为三棱锥E −ADG ，三棱柱ADG −BCH ，三棱锥F −HBC 三个部分，分别计算出三部分的体积，加在一起即可得到多面体的体积． 【解答】解：过AD 作与底面ABCD 垂直的平面交EF 于G 点，过BC 作与底面ABCD 垂直的平面交EF 于H 点，则多面体ABCDEF 被分为三棱锥E −ADG ，三棱柱ADG −BCH ，三棱锥F −HBC 三个部分， 由ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF =2，易得EG =HF =12，GH =1，S △ADG =S △BCH =√24， ∴V E−ADG =V F−HBC =√224，V ADG−BCH =√24， ∴多面体ABCDEF 的体积V =2×√224+√24=√23， 故选B ．21. 【对棱相等的三棱锥补成长方体】已知三棱锥P −ABC 每对异面的棱长度都相等，且△ABC 的边长分别为√11，3，4，则三棱锥P −ABC 外接球的体积为( ) A. 6√2π B. 9√2π C. 18π D. 36π 【答案】B【解析】【分析】本题考查棱锥的外接球的体积的计算，考查空间想象能力和转化能力，属中档题．依题意将三棱锥可以补形成一个长方体，该长方体的各面上的对角线长分别为√11，3，4，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，求出长方体的对角线长即得到球的直径，即可求体积． 【解答】解：由于三棱锥P −ABC 每对异面的棱长度都相等，所以该三棱锥可以补形成一个长方体，且该长方体的各面上的对角线长分别为√11，3，4， 设该长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，且不妨设a 2+b 2=√112=11，a 2+c 2=32=9，b 2+c 2=42=16， 所以a 2+b 2+c 2=18，所以三棱锥的外接球的直径为√a 2+b 2+c 2=3√2， 三棱锥P −ABC 外接球的体积为，故选B ．22. 【截距与距离的区别】过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为( )A. y−x=lB. y+x=3C. 2x−y=0或x+y=3D. 2x−y=0或−x+y=1【答案】C【解析】【分析】本题考查用点斜式、截距式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．当直线过原点时，斜率为2，由点斜式求得直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程是：x+y=k，把点A(1,2)代入方程求得k值．【解答】解：当直线过原点时，方程为：y=2x，即2x−y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k，把点(1,2)代入直线的方程可得k=3，故直线方程是x+y−3=0．综上可得所求的直线方程为：2x−y=0，或x+y−3=0，故选C．23.【与圆有关的最值问题关键在圆心】圆C1：(x−1)2+(y−3)2=9和C2：x2+(y−2)2=1，M，N分别是圆C1，C2上的点，P是直线y=−1上的点，则|PM|+|PN|的最小值是()A. 5√2−4B. √17−1C. 6−2√2D. √17【答案】A【解析】【分析】本题考查圆有关的最值问题，圆与圆的位置关系，两点间的距离公式，考查转化思想与计算能力，属于中档题．求出圆C1关于直线y=−1的对称圆的圆心坐标C3，以及半径，然后求解圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：圆C1关于y=−1的对称圆的圆心坐标C3(1,−5)，半径为3，圆C2的圆心坐标，半径为1，由图象可知当P，C2，C3三点共线时，取得最小值，的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即．故选A．24.【过某点的圆的切线方程注意特殊情况】经过点M(3,0)作圆x2+y2−2x−4y−3=0的切线l，则l的方程为()A. x+y−3=0B. x+y−3=0或x=3C. x−y−3=0D. x−y−3=0或x=3【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆的切线方程的求法，属于基础题．分斜率存在与不存在两种情况，分别设出直线方程，利用点到直线的距离公式进行求解．【解答】解：由x2+y2−2x−4y−3=0，得(x−1)2+(y−2)2=8，则圆心坐标为(1,2)，半径为2√2，当过点M(3,0)的切线斜率存在时，设切线方程为y=k(x−3)，即kx−y−3k=0，∵圆心到该直线的距离为2√2，∴√k2+1=2√2⇒k=1，此时切线方程为x−y−3=0;当过点M(3,0)的切线斜率不存在时，切线方程为x=3，显然圆心到直线的距离为2(2≠2√2)，∴x=3不是圆的切线．因此切线方程为x−y−3=0，故选C．25.【直线和圆弧相交问题】若直线l：(m−n)x−(m+2n)y−3(m−2n)=0与曲线y=−2+√9−x2有两个相异的交点，则l的斜率k的取值范围是A. [37,+∞) B. (0,37] C. (0,247) D. (37,247)【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查与圆有关的最值问题，考查数形结合这一数学思想，题目常规．仔细审题，曲线y=−2+√9−x2表示的是半圆，直线l是过定点P(4,1)的动直线，画出图形，结合图形求解．【解答】解：由直线l：(m−n)x−(m+2n)y−3(m−2n)=0，可得m(x−y−3)−n(x+2y−6)=0，当x−y−3=0，x+2y−6=0时，x=4，y=1，(m−n)x−(m+2n)y−3(m−2n)=0，恒成立，故直线l是过定点P(4,1)的动直线，已知曲线y=−2+√9−x2表示的是如图所示的半圆，显然直线l过点A(−3,−2)时有两个交点，此时k PA=1−(−2)4−(−3)=37；当直线l在PB位置，即直线l与圆相切时，k PB=0．由图可知，当直线l绕点P在PA(含PA)与PB(不含PB)之间移动时均符合题意，即0<k≤37．故选B．26.【点差法中点弦问题】已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)，那么k的取值范围是()A. k<−12B. −12<k<12C. k>12D. k<−12或k>12【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查点差法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，利用点差法得6(x1−x2)+8m(y1−y2)=0，运用两点的斜率公式可得k=y1−y2x1−x2=−68m=−34m，又点M(1,m)在椭圆内，代入椭圆方程，解得m的取值范围，即可得k的范围．【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵线段AB的中点为M(1,m)，∴x1+x2=2，y1+y2=2m，将A，B代入椭圆C：3x2+4y2=12中，可得3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减可得3(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0，即6(x1−x2)+8m(y1−y2)=0，∴k=y1−y2x1−x2=−68m=−34m，因为点M(1,m)在椭圆内，即3+4m2<12，解得0<m<32，∴k=−34m <−12．故选：A．27.【线段和最值问题定义转化思想】已知点M(1,2)，点P在抛物线y2=8x上运动，点Q在圆(x−2)2+y2=1上运动，则|PM|+|PQ|的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线的概念及标准方程，抛物线的简单性质，圆外一点到圆上一点的最值，属于中档题．过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义可知，当M,P,B三点共线时取最小值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，准线l：，圆(x−2)2+y2=1的圆心为F(2,0)，半径r=1，过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义可知，则，∴当M,P,B三点共线时取最小值1+2=3，即有取得最小值2．故选A．28. 【抛物线焦点弦问题】过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |=8，则原点到l 的距离为( )A. √22B. √55C. 2√55D. 4√55 【答案】A【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义，点到直线的距离公式及直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．对于直线与圆锥曲线问题，通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，进而求解问题，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 【解答】解：由抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，设直线l 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)y 2=4x，则k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 所以x 1+x 2=2k 2+4k2，根据抛物线的定义可知|AB|=x 1+x 2+p =2k 2+4k 2+2=8，解得k =±1，当k =1时，直线l 的方程为x −y −1=0，所以原点到l 的距离为d =22=√22， 当k =−1时，直线l 的方程为x +y −1=0，所以原点到l 的距离为d =√12+12=√22，所以原点到直线l 的距离为√22． 故选A ．29. 【直线与双曲线相交问题关键在于直线与渐近线斜率的比较】已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60∘的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A. [1,2] B. (1,2) C. [2,+∞) D. (2,+∞) 【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及其应用，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围． 【解答】 解：∵x 2a2−y 2b 2=1,(a >0,b >0)，∴一条渐近线的斜率为ba ， ∴b a≥tan (60°)=√3，∴e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+(b a )2≥4，∴e ≥2．故选C ．30. 【焦点到渐近线的距离为虚半轴b 】双曲线x 2+ty 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则它的一个焦点到渐近线的距离为 A. 15 B. 25 C. 1 D. 2 【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的几何性质，为基础题，焦点到渐近线的距离等于b ． 【解答】解：双曲线x 2+ty 2=1，化为标准形式：x 2−y 2−1t=1，则有a 2=1，b 2=−1t ，虚轴长是实轴长的2倍，则2b =2×2a ，即b 2=4a 2， ∴b 2=−1t =4，b =2，又因为焦点到渐近线的距离等于b ， ∴一个焦点到渐近线的距离为2． 故选D ．31. 【圆锥曲线通径的应用】已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围为( )A. (0,√2−1)B. (√2−1,1)C. (0,√3−1)D. (√3−1,1) 【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 先求出A ，B 两点的纵坐标，由△ABF 2是锐角三角形知，tan∠AF 2F 1=b 2a 2c<1，e 2−2e −1<0，解不等式求出e 的范围． 【解答】解：∵点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，∴F 1(−c,0)，F 2(c,0)，A (−c,b 2a )，B (−c,−b 2a )，∵▵ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1<45∘，∴tan∠AF 2F 1<1，∴b 2a2c<1，整理，得b 2<2ac ，∴a 2−c 2<2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2+2e −1>0，解得e >√2−1，或e <−√2−1，(舍)，∵0<e <1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是(√2−1,1)，故选B ．32. 【焦点三角形面积公式】椭圆x 225+y 216=1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积是( )A. 16√33B. 32√33 C. 16√3 D. 32√3 【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，涉及焦点三角形问题，往往是考查椭圆定义与余弦定理的应用，是中档题． 由椭圆方程求得a ，b ，c 的值，然后利用椭圆定义及余弦定理求得|PF 1||PF 2|，代入三角形面积公式求解． 【解答】 解：由椭圆x 225+y 216=1，得a =5，b =4，c =3， 在△F 1PF 2中，∵∠F 1PF 2=60°， ∴由余弦定理可得：，则4c 2=(2a)2−3|PF 1||PF 2|，即36=100−3|PF 1||PF 2|，∴|PF 1||PF 2|=643．∴△F 1PF 2的面积是．故选A ．33. 【累加和结构特征递推作差法】若数列{a n }是正项数列，且√a 1+√a 2+⋯√a n =n 2+3n ，(n ∈N ∗)a 12+a 23+⋯+an n+1=( ) A. 2n 2+6n B. n 2+3n C. 4(n +1)2 D. 4(n +1) 【答案】A【解析】【分析】本题考查数列的递推关系式及数列求和的方法，考查计算能力．通过已知条件求出数列的通项公式，然后化简所求数列的各项，利用等差数列求出数列的和． 【解答】解：因为数列{a n }是正项数列，且√a 1+√a 2+⋯+√a n =n 2+3n ，(n ∈N ∗)…① 所以√a 1+√a 2+⋯+√a n−1=(n −1)2+3n −3，…② 所以①−②得，√a n =2n +2，可得a n =4(n +1)2，则：a nn+1=4(n +1)，所以a 12+a 23+⋯+a nn+1=4(2+3+4+⋯(n +1))=4×n ×(n +3)2=2n 2+6n ． 故选A ．34. 【三步曲思想】已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n −1，b n =a n +2n −1，则数列{b n }的前n 项和为( )A. 2n−1+n 2−1B. 2n +n 2−1C. 2n−1+2n 2−1D. 2n−1+n 2+1 【答案】B【解析】【分析】本题考查了数列递推公式和分组求和，是中档题．先由n =1时，a 1=S 1，n ≥2时a n =S n −S n−1，得出{a n }的通项，设数列{b n }的前n 项和为T n ，利用分组求和即可得出结果． 【解答】解：当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(2n −1)−(2n−1−1)=2n−1， n =1时，a 1=S 1=21−1=1也满足上式， ∴a n =2n−1,(n ∈N ∗)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，∵b n =a n +2n −1=2n−1+2n −1，∴T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n=(1+21+22+⋯+2n−1)+(1+3+5+⋯+2n −1)=1−2n 1−2+n(1+2n−1)2=2n +n 2−1， 故选B ．35. 【因式分解变形技巧】已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n 满足4S n =a n2+2a n ，(n ∈N ∗)，设b n =(−1)n ⋅a n a n+1，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 20=( ) A. 110 B. 220 C. 440 D. 880 【答案】D【解析】解：由题意，当n =1时，4a 1=4S 1=a 12+2a 1，整理，得a 12−2a 1=0， 解得a 1=0，或a 1=2， ∵a n >0，n ∈N ∗， ∴a 1=2，当n ≥2时，由4S n =a n 2+2a n ，可得：4S n−1=a n−12+2a n−1，两式相减，可得4a n =a n 2+2a n −a n−12−2a n−1，整理，得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0， ∵a n +a n−1>0，∴a n −a n−1−2=0，即a n −a n−1=2，∴数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴a n =2+2(n −1)=2n ，n ∈N ∗，∴b n =(−1)n ⋅a n a n+1=(−1)n ⋅4n(n +1)， 则T 20=b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 19+b 20=−4×1×2+4×2×3−4×3×4+4×4×5−⋯−4×19×20+4×20×21=(−4×1×2+4×2×3)+(−4×3×4+4×4×5)+⋯+(−4×19×20+4×20×21) =4×2×(3−1)+4×4×(5−3)+⋯+4×20×(21−19) =4×2×2+4×4×2+⋯+4×20×2 =16×(1+2+⋯+10) =16×55 =880． 故选：D ．本题先根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2并结合题干进行计算可判别出数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列{a n }的通项公式，进一步计算出数列{b n }的通项公式，然后运用分组求和可计算出T 20的值．本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和求前n 项和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．36. 【取倒数法】在数列{a n }中，a n+1=2a n2+a n，对所有正整数n 都成立，且a 1=2，则a n =( ) A. 1nB. 2n+3C. n2D. 2n【答案】D【解析】【分析】本题考查数列的递推公式，考查等差数列通项与证明，属于基础题．由a n+1=2a n 2+a n，得到1a n+1=1a n+12，利用等差数列通项进行求解即可．【解答】解：∵a n+1=2a n2+a n，∴1an+1=1a n+12．∴{1a n}是等差数列且公差d =12． ∴1a n=1a 1+(n −1)×12=12+n−12=n2，∴a n =2n． 故选D37. 【取对数法】已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a【答案】A分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a >∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得211lg lg 2lg n n n a a a --==即1lg 2lg nn a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -=38.【二元思想利用线性规划解决几何概型问题】甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( ) A. 14B. 13C. 34D. 716【答案】D【解析】【分析】本题考查利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率． 【解答】解：设甲到达的时刻为x ，乙到达的时刻为y 则所有的基本事件构成的区域Ω={(x,y)|{0≤x ≤240≤y ≤24,这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A ={(x,y)|{0≤x ≤240≤y ≤24|x −y|≤6,如图所示，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率P(A)=S 阴S Ω=1−18×1824×24=716．故选D ．39. 【条件概型】将三颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于( )．A. 91216B. 518C. 6091D. 12 【答案】C【解析】【分析】本题考查条件概率，属于基础题．根据要求的结果等于P(AB)÷P(B)，需要求出A 、B 同时发生的概率以及B 发生的概率，代入算式得到结果． 【解答】解：∵P(A|B)=P(AB)÷P(B)，P(AB)=3×4×563=518，P(B)=1−P(B)=1−5363=1−125216=91216， ∴P(A|B)=P(AB)÷P(B)=51891216=6091．故选C ．40. 【相互独立事件概率】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为( ) A. 35 B. 79 C. 715 D. 3145 【答案】A【解析】【分析】本题考查等可能性事件的概率、独立事件同时发生的概率的计算，属于中档题．根据题意，分第一次取出的是红球还是黄球两类，利用独立事件同时发生的概率和可能性事件的概率计算可求． 【解答】解：根据题意，第一次从袋中任取1球，若取出的是红球，加入红色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为25×39=645； 若取出的是黄球，加入黄色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为35×79=2145，故所求概率为25×29+35×79=2745=35， 故先A ．41. 【二项分布】设随机变量X ∽B(6,12)，则P (X =3)等于( )A. 516B. 316C. 58 D. 716 【答案】A【解析】【分析】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题x =3，代入公式得到要求的概率． 【解答】解：∵随机变量X 服从二项分布B(6,12)，∴P(X =3)=C 63(12)3×(1−12)3=516．故选A .42. 【正态分布】已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，P(ξ≤4)=0.74，则P(0≤ξ≤2)=( )A. 0.26B. 0.24C. 0.48D. 0.52 【答案】B【解析】【分析】本题考查正态分布的概率计算，属于基础题．利用正态分布曲线对称性，知对称轴为直线x =2，再由正态分布曲线的面积是1求解． 【解答】解：因为P(ξ≤4)=0.74，所以P(ξ>4)=0.26． 由题意知图象(如图)的对称轴为直线x =2，P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.26，所以P(0≤ξ≤4)=1−P(ξ<0)−P(ξ>4)=0.48．所以P(0≤ξ≤2)=12P(0≤ξ≤4)=0.24． 故选B ．43. 【简单随机抽样 系统抽样 分层抽样】现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是( )A. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 【答案】A【解析】【分析】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．观察所给的三组数据，根据三组数据的特点，把所用的抽样选出来即可． 【解答】。