HJM框架下服从跳跃扩散过程的利率模型
股票价格服从不对称跳跃-扩散过程的期权定价模型
从 连续 随机 过 程 。
立股票价格服从不对称跳跃一扩散过程的模型 ， 并通过无套利均衡分析推导出期权价值应满足 的偏微分方程 。
二 、 票价格 行为模 型 股
假设市场上存在两种可连续交易的有价证券 ， 中一种 为无风险证券 ， 其 其价格过程 Ｓ （） ｏｔ满足微分方程 ：
收 稿 日期 ：０ ８ ０ — ６ ２０ －９ ２
对期权定价 理论 的研究可 以追溯到 １ ９世纪 的法国数学
家 巴舍 利尔 ， 然而 ， 到 ２ 直 Ｏ世 纪 ７ Ｏ年代初 ， 由 Ｂａｋ Ｓ一 才 ｌ 、ｃ ｃ ｈ ｌ 和 Ｍ ｌ ｎ三位教授在期权定价方面取得了突破性进展 ， ｏｓ ｅ ｅｔ ｏ 。
推导出了 标的资产为不支付红利股票的欧式期权定价公式， 篓。 即Ｂｓ — 公式。 在该定价公 式中， 票价格遵循的 股 是一种称之为 嚣
、 、
，
—、
●
１ ５ ．
２０
２５
Ｏ ａ Ｊ ￣ 司股 票 执 行 价 （ Ｂ ｒ ｅ． ｅ Ｃ ｕ）
圈 ２ ２ ０３年 ４ 月 １ 日 甲 骨 文 （ ａ ｌ） 司 股 祭 ０ １ Ｏｒｃｅ 公 肴 涨 期 权 的 隐 含 波 动 率
Ｄ ｒａ 和 Ｋ ｎ １ ４建立 了“ ｅ ｎ ｍ ａｉ ９ ） （９ 隐含二叉树” 的数值模 型等 ， 这些模型都是从不同的角度对“ 隐含波动率微笑 ” 进行了一定的探 讨和研究。 本文在沿用前 面的研究成果基础上 ， 中国股市实际情况 ， 结合 假设股票价格的跳跃 变化分别满足不同的分布， 进而建
随机利率和跳-扩散过程下具有随机寿命的未定权益定价
ｒ１ ’
ｃｓ ￡， —Ｅ － （ （ —Ｋ） ｒ）］ （ （）ｔ ， Ｐ ［ｓ ＋ （ｓ＝ ｓ ｄ
Ｓ（） １ ，，） （ ）ｕ＋ Ｓ ￡，） （ （） ｔｕ ｆ ｕ ｄ
非常重 要 的 内容 ，自 １７ ９３年 Ｂａｋ和 Ｓ ｈｌｓ给 出 ｌｃ ｅｏｅ
１ 市场模型及期权定价
考 虑一 个 连续 时 间无 摩 擦 的金 融 市 场 ， 给定 具
欧式期权定价 的 ＩＳ ｝ 公式以来， 关于欧式未定权益 定价的研究主要 以 ＢＳ 型为基础．Ａ ｎ等［应 －模 ｍｉ １ ］
ｄ （） （（） ｎ ￡ｒ ￡） ｔ ｃ ｄ ｒ ｔ ： ６ ￡ 一 （） （） ｄ ＋ （） Ｂ（）
：
。
，
（ ￡ （）一 Ａ ｔＯ ｄ ＋ （） Ⅳ （ ） ｙｄ ￡ （） ） ｔ ￡ｄ ｆ＋ Ｎ（ ） （） １
式 中：（ 为股票的期望收益率 ，（） ） ￡是股票价格与 债券价格之间的瞬间相关系数 ， Ｔ是期权与贴现债
未定权益定价模型．对具有 随机寿命 的养老金合约 、 险合 同、 票期权 、 期合 约和可转换债券 等欧式未定权 益 保 股 远 进行定价 ，得到具体 的欧式未 定权 益定 价公 式． 关键词 ：跳一 扩散过程；随机寿命 ； 未定 权益；随机利率
中图分类号 ：Ｏ １． １Ｆ ３ ． ２ １６ ８ ０ ９ 文献标识码 ： Ａ
作者简介 ： 李
蕊 （９３）女 ， １７一， 河南新蔡人 ， 师． 讲
・
１０ ・ ７
兰 州 理 工 大 学 学 报
第 ３ 卷 ７
券 的到期 日， 是期权的执行价格， （ ） ， ￡ Ｋ Ｓ Ｏ 一Ｓ Ｂ（） 和 ｗ（ 为相互独立 的标准 Ｂ ｏ ｎ ￡ ） ｒｗ 运动 ， 是 与 Ｎ（） ｗ（ 相互独立 的参数 为 （） Ｐ ｉ ｏ ￡ ） 的 ｏ ｓｎ过程， ｓ ｙ是 股份每次跳跃 的高度 ， 且为随机变量 ， № ｙ 表示在
【精品】265-股票价格运行的幂律特征及幂律跳跃扩散模型
265-股票价格运行的幂律特征及幂律跳跃扩散模型股票价格运行的幂律特征及幂律跳跃扩散模型*曹宏铎何智李旲（中山大学管理学院，广州 510275）摘要：在Merton提出的跳跃扩散模型的逻辑框架之下，进行了两个方面修正：将计数过程由Poisson过程修正为带有幂律性质的更新过程，同时对跳跃的幅度也进行修正，赋予股票价格运动过程发生跳跃的时间和幅度以幂律分布特征；通过实证研究，本文所做出的两个修正可以更加准确的描述股票价格的运动过程，可以同时得到具有尖峰胖尾的收益率分布和波动聚集性；以此为基础可以更加准确地为期权等金融衍生品进行定价，同时也对金融风险管理提供有效的工具。
关键词：风险；期权定价模型；跳跃扩散模型；更新过程；幂律分布0 引言早在20世纪初，法国数学家Bachelier开始利用Brownian运动来研究股票价格的运动[1]．Fama提出了著名的有效市场假说[2]，基于有效市场假说，Black 和Scholes提出了期权定价模型，可以得到欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格解析解[3]，对金融理论和实务的发展产生了重大影响．大量的实证研究对传统金融经济学的研究假设和框架提出了质疑与批评．Osborne发现股票价格收益率分布具有胖尾的特征[4]，同时很多学者也通过实证研究发现股票收益率分布的尖峰胖尾特性．因此，假设股票收益率服从正*本文受到中国国家自然基金项目（项目编号：70801066；71071168）、教育部人文社科规划基金、中山大学高校科研基本业务费支持作者简介：曹宏铎（1972—），男，河北秦皇岛人，博士，副教授，研究方向：金融工程．Email：caohan@态分布的ScholesBlack-模型的Black-模型也需要进行一定的修正．对Scholes修正主要从两个方面出发：引入波动率的随机性和股票收益的非连续性．Engle提出ARCH模型[5]，Bollerslev将其进行推广得到GARCH模型[6]．Cox和Ross提出价格依赖的波动率扩散模型[7]， Hull和White提出随机波动率模型[8]，Heston建立仿射随机波动率模型[9]，而GARCH模型则可以被看做随机波动率模型的特殊形式．Peters提出分数布朗运动[10]，但Rogers指出该模型存在套利机会[11]．Merton提出要在股票价格的运动中加入属于非系统风险跳跃的过程，认为股票价格的运动过程不是连续的[12]，Kou提出期权定价的双指数跳跃扩散模型[13]．Bates认为将随机波动率模型和跳跃扩散模型相互结合，则可以更好的刻画出股票价格运动方式[14]，Scott[15]、Duffie 等[16]、Bakshi[17]提出了各自的结合模型．Barndorf-Nielsen提出广义双曲分布[18]，Eberlein和Keller 将广义双曲分布的子族双曲分布用于金融模型分析[19]，Blattberg和Gonedes[20]、Bibby和Sørensen[21]也进行了相关的研究．叶中行等[22]、杨宏林和陈收[23]、钟春仿和佟孟华[24]通过实证研究发现，股票价格收益率的尾部分布呈现出幂律特征，而对尾部分布的研究则具有很强的现实意义，尤其体现在VaR的应用领域[25]．VaR的使用需要对股票收益率损失部分的尾部分布做出规定，而目前普遍的应用方法是让损失的尾部分布服从正态分布或历史统计数据分布．幂律分布为股票收益率的尾部分布赋予了较高的概率，这样就可以使VaR可以更好的应用于金融风险管理．同时，Barabási[26]、Vázquez等[27]发现个体的行动也具有幂律特征，即事件的发生具有在长时间的“了无一事”中存在高频度阵发活动的特点。
股票价格服从跳——扩散过程的择好期权定价模型
一
ｆ， ｌ
发生概率为 Ａｄ； ｉ ｔ
ｑ １，发 概 为１ Ａ ￡ ‘ ０ 生 率 一 ｉ ｄ ．
其 中 ｋ ＝占 ）， ｉ （ Ｕ 是第 ｉ Ｐｓｏ 跳发生时第 ｉ 个 ｏｓ ｎ ｉ 个股票价格的相对跳跃高度 ； 是无条件期望算子 ， 占
ｉ ＝ １， ． ２
设 ， ， ， （ ｋ Ａ ＝１２ 为常数 ， ，） 则由 Ｄ ｌ ｎ — ａｅ ｏ ａｓ Ｄ ｄ 指数公式 ， ６ 方程（ ） ２ 的解分别为 １ 和（ ）
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第３ 卷 第 １ ６ 期
２００７年 ２月
上海师范大学学报（ 然科学版 ） 自
Ｊ ｒ ｌ ｆ ｈ ｎｈｉ ｏ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃｓ ｏ ｎ ａ ｇａ Ｎ ｒ ｌ ｎ ｅ ｉ （ ａ ｒ ｅ ｅ ） ｕ ａ ｏｓ ｍ ｖ ｓｙ ｕｌｃｎ
作者简 介 ： 朱海燕 （９８ ， ， 师范大学 数理 信息学 院硕 士研究生 ； １７ 一）女 上海 张寄洲 （９８ ， 。 海师 范大学 数理 １５ 一）男 上 信息学 院教授 ．
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１ ８
上海师范大学学报 （ 自然科学版 ）
２０ ０７正
蠡）ｔ ｄ
＝
ｄ ＋Ｕｄ￣ １ ，
（ ＿Ａ后）ｔ ２：ａ
其 中 是第 ｉ 个股票 的期望收益率 ； 是不发生跳跃时第 ｉ ２ 个股票收益率的方差 ； 是标准 Ｂ ｗ ｏ ｒ ｎ运
动， 其相关系数为ｐ；： ｑ是强度为 Ａ 的相互独立的Ｐｓｏ 过程 ， ｏｉ ｓｎ 即
ｓ（ ｓ（）ｘ（ 。 Ａ后一 ） ＋ ＂ ） 。 ）＝ 。 ｅ （ 一 。 Ｏ ｎ ｌ ） ￡ ０ ｐ 。 １ ＋ ，
ｓ（） ＝ｓ （ ）ｅｐ （ 一Ａ后 ２ ＋ ：￡ ：０ ｘ （ ２：一 １ ）
股票价格服从纯生跳—扩散过程的期权定价模型
．７ — — √２ （ － ｆ ￣Ｔ－ １
如果 Ｘ 为欧式 看 涨期权 ， 那么 巾 （（ ） （（ 一 ＝ ｓ ）＝ ｓ ） 欧式看 涨期 权价 格我们有 下 面的定 理 ２ ：
＝
一 。 其 中
。’
（０ １１
， 其中 是 执行 价格・ 关于
程 ， 建 立 了股 票 价格 的 纯 生跳 一 散 行 为模 型 ，在 风 险 中性 假 设 下推 导 出欧 式期权 定价 公 扩 关键 词 期 权 定价 Ｐ ｓｉｎ过程 纯 生跳一 ｏｓ ｏ 扩散过 程
一
、
引
言
Ｃｏ ｘ和 Ｒ ｓ（９５．Ｍｅｔｎ１７） 先建立 了股 票价 格 的 跳一 ｏｓ１７ ） ｒ （９６首 ｏ 扩散 行为模 型，其 中扩 散 过 程表示股 票 价格的连 续 波动 ，跳过 程表示股 票价 格的 不连 续变 动，即 当重 大信息 到达 时引
（＝Ⅳｆ ∑ｎ ｆ Ｄ （一 ） ｐ （ ）
其 中
ｆＰ （ ｅ ｆ ） ＬＰ０ｆ一 Ｐ （ ）
则 ｆ为 一纯 断平 方可积 鞅。 （）
假设市场上存在两种可连续交易的证券，其中有 一种无风险证券，称为债券，其价格
过程 （ 满 足下面 的微分 方程 ： ｆ ）
，
＾
Ｚ
ｄ （。 ｒ ｅ Ｏ：
，
占 ０ ｌ （）
（） ５
Ｉ 其中 ｒ 为瞬时 无风 险 利率。 另 一种 为有 风险证 券，称为股票，在风险中性概率镬 度下，其价 ＾
格过 程 （） ｆ满足 下面 的 随机微分方 程：
Ｐ
—
一
ｆ＋ 础 ）
（） ｙ ｆ＋
）
（） ６
利率随机时的跳跃扩散过程的期权定价模型
是均值 、 方差参数为 肛 ＋ 。
Ｅｆｖ ，‘ 。ｌｖ］ Ｅ ， ， ｌ ， ， （， ‘ ）
：
又 在ＰＦ所 跳 都 从 值 方 参 为 的 数 态 布，在Ｐ下， （ 就 若 － 跃 胆 均 、 差 数 ， 对 正 分 则 ） ， ｎ ≥
Ｅ ・， ） ・ ］ ・ ］＝
Ｎｒ
Ｅ（， ’ ）ｐ １ Ｅ ） Ａ） Ｈ ］ Ｉｖ ’ ｅ／ 一（ ） （ｄ ＝ ｆ ， ， Ｘ （ 上 ｓｓ ｅ｛ 一（ ）Ａ）｝＋］ ，，， ｌｖ ＝ ｘ （ ＥＩ上 （ｄ Ｈ Ｅ － －ｉ ｐ １ ， ｓｓ 。 ［ ） ． ］ ． ｌ
Ｋ （ — ‘ ， ，｝ ＝ Ｅ ｅ ‘也 ｛； ）
（，） Ｐ（）［ ）， ｏ７ ∑ Ｅ （ ］ －
（） ９
其中
ｄ ２＝ｄ 一０
由（ ） （ ） （ ） ３ ，８ ，９ 式化简可得： ｃ０ｓ ） （ ，ｒ Ｐ （ Ｅ ５ｅｐ （ Ｅ ） Ａ ｓ（ ｛ ） ［ ０ｘ ｛ １一 （ ） （ ）ｓ Ｉ （ ｔ （ ， ） 如） 。 ‘ ）一 ｏ （ ］
其中 ： ｔ为随机利率；， 为波动率 ； ． ≤Ｉ ｝ ｛ ， ≤ｔ ｝（ Ｂ ＝ ＋／ — 。 ， ｒ） （ ｛ ０ ≤Ｔ ， ０ ≤ ｛ ｐ ￣ｌ ｐ ０ ≤ ） ≤ｔ ｝ 是定义在概率空间＜ Ｆ Ｐ 上构标准 Ｂｏ ｎ 。） ｒ 运动 ， ，≤＃ ｌ ｛ ， ≤ｌ ｝ ｗ ｛ Ｏ ≤ ， Ｏ ≤ｒ 的瞬时
， ｏ≤￡ ｚ， ≤ ’若令
＝
基垒壤目： 宝鸡文理学院重点科研基金资助项目（Ｋ９２）陕西省科技计划资助项 目（０９ Ｒ ９） Ｚ０１３ ； ２０Ｋ Ｍ９
作者筒 介： 杨亚强（９８ ）男 ， 西省宝鸡 市人 ， １７一 ， 陕 宝鸡文理学院讲师 ， 主要研究方 向为并行算法 ； 杨云峰（９８ ） １７一 ， 男 ， 西省永寿县人 ， 陕 西安科技大学讲师 ， 主要研究方 向为金融数学 、 时间序列分析。
利率期限结构模型研究
Y ( t , T ) ——时刻 t 开始持有 T 到期的本金为1的无违约风险零息票债券的到期收
益率，此处为复合利率。
f ( t , T ) ——远期利率，即时刻 t 观察到的 [T , T + dt ] 这段无穷小时间内的利率。 r ( t ) ——短期利率，即 [t , t + dt ] 这段无穷小时间内的利率。
III
北京理工大学硕士学位论文
前言
利率期限结构理论作为为债券以及相关利率衍生产品定价的基础理论与工具，对 于利率风险管理起着至关重要的作用。无论在当今理论界还是实业界，对利率期限结 构的研究都相当重视。同时，这也使其成为金融学术研究成果得到实践应用最快的领 域之一。再者，利率期限结构的动态变化对于中央银行制定财政政策、获得政策的效 果反馈、财政当局决定国债发行规模、利率等等重大宏观经济政策都具有指导意义。 在过去的几十年里，随着数学工具在金融领域的运用越来越得心应手，动态利率 期限结构理论也获得了多次重大的突破，由此涌现出了大量的理论研究型论文和实证 材料。动态利率期限结构模型由最初的单因素模型逐渐发展为更加贴近真实市场的多 因素模型。 为了解决稀有事件， 波动率偏态等问题， 以及更好的拟和复杂多变的市场， 先后又出现了跳跃扩散模型，随机波动模型，随机域模型等更加复杂的模型。本文综 合考虑了各种动态利率建模方法，权衡了模型的实用性以及技术复杂性两方面的因 素，提出一种理论上便于分析操作，实际应用中能够集多种利率模型的优点于一身的 新型模型——扩散漂移模型，并将其应用于远期利率过程的分析框架之下为零息票债 券进行定价。 本文的组织结构如下：第一章，对利率期限结构理论做了一个概述，简单阐明各 种建模方法论及其在数学上的等价性，同时简要介绍几个经典模型以及该领域研究的 最新进展；第二章提出扩散漂移模型的基本形式及基本分析框架；第三章中，作为特 例，将扩散漂移模型应用于HJM的分析框架之下并假设了漂移过程的具体形式，在这 种假设下求得了无套利条件下零息票债券价格的解析表达式；第四章对本文的工作做 出了总结，并对未来需要完成的工作以及可能的推广提出了相应的建议。
CKLS_JUMP过程驱动的利率动态模型_理论估计与实证模拟
CKLS JUMP过程驱动的利率动态模型:理论估计与实证模拟刘凤琴 王凯娟(浙江财经学院)摘要 利率期限结构动态模式研究已经成为现代金融领域的一个研究热点,而跳跃扩散过程已经成为模拟存贷款利率最为有效的动态模型。
本文主要以商业银行存贷款利率为对象,研究分析利率期限结构的动态变化过程。
首先基于存贷款利率的变化特征,建立利率的CKLS JUM P跳跃扩散模型;其次,运用马尔科夫链蒙特卡罗模拟方法(M CM C)对其参数进行理论估计;最后,以我国商业银行五年期存贷款利率为例进行实证模拟。
研究结论认为:CKLS JUM P模型更加符合我国存贷款利率动态行为;同时M CM C方法比传统估计方法更加准确。
关键词 存贷款利率 利率期限结构 CKLS JUM P模型 M CM C方法中图分类号 F273 文献标识码 ATheoretical Estimation and Empirical Simulationfor Interest Rate Dynamic Models Drivenby the CKLS JUMP ProcessAbstract:Studies on dynamic model for interest rate term structure beco me re search topic of modern finance Further,jump diffusion pr ocesses becom e the mo steffective dy namic m odels for simulating deposit and lend inter est r ate In this paper,choosing deposit and lend interest r ate for business banks as o bjects,w e analyzeand explore dynamic pro cess for interest rate term structur e Firstly,based on themain feature,w e set CKLS JUM P mo del for deposit and lend interestrate Secondly,w e estimate parameters of the model by using MCM C Lastly,tak ing5years deposit and lend interest rate ex am ples,w e make an empirical simula tion Conclusio ns of the research are:the CKLS JU MP mo del co nform s mo re to thedynamic behavior o f o ur depo sit and lending rates;M CM C method g ives a superiorestim ation o n parameters o f the jump diffusion m odel,w ith m ore complete and ac cur ate resultsKey words:Depo sit and Lend Interest Rate;Inter est Rate Term Structure;CKLS JUM P Mo del;M arkov Chain M onte Carlo Simulation本文受教育部人文社会科学研究项目(编号:09YJA790179)和浙江省人文社会科学重点研究基地项目的资助(编号:J YTjr20101202)。
含跳跃过程单因子利率模型的估计——基于中国国债回购利率的实证分析
场 数 据 时 具 有 两 个 重 要 的 特 点 ：一 是 模 型 能 够 解 释 观 察 到 的数 据 中 所 存 在 的 “ 峰 厚 尾 ” 尖 （ ｐｏ ｕ ｏｉ ａ ｄｆ —ｍ１ １ ｔｋ ￣ ｓ ｎ ａ ｔ ）特 征 ；（ 是模 型允许 变 量 的变化 中包 含 一 定 的非 预期 的跳 跃 ，具 体模 型 如 ｅ ｓ ｔ Ｄ 二
・ 陈学胜 ： 山东 工 商 学 院 会 计 学 院
烟台
２ ４０ 电 子 信 箱 ：ｘ１９ ＠１６ｃｌ。 ６０５ ｅｓ９ ９ ２ ． ｌ ｏｌ
一
９ — ６
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南 方经济
２０ ０ ６年 第 １ ０期
波 动 、 末 效 应 、 汇市 场 的 冲击 以及 其 他 突发 事件 的影 响 等 ， 时短 期 利 率相邻 数 据 变 动 很 多 ， 率 的 周 外 有 利
而且 揭 示 了利 率 均值 回 复和 水平 效应 的部分 原 因 ， 而 增强 了模 型 的 解释 能 力 。 从 关 键 词 利 率 期 限结构 回购利 率 跳 跃过 程 极 大似 然 估计
ＪＬ Ｅ 分类 ： １ ． ３ 中图分类号 ：８ ０９ 文 献标识码 ： 文章编号 ：０ ０６ ４ （０ ６ ０ ００ ９ － ８ Ｃ ５ Ｇ１ Ｆ３． Ａ １０ －２ ９ ２ ０ ） １－０ ６ ０ － ０
致 收敛 性 。
二
理 论 回 顾 及 模 型 的 建 立
引起 瞬 时利 率 变化 的不 确 定 因素 通常 用 Ｂ ｏ ｎ运 动表 示 ， ｒｗ ｒｗ Ｂ ｏ ｎ运 动 的样 本 路径 是 连 续 的 。这 意味 着 用 Ｂ ｏ ｎ运动 描 述 的价 格 的过 程 是连 续 的。尽 管 Ｂ ｏ ｎ运 动具 有 在统 计 上 的优 良特 性 和计 算 上 的易 ｒｗ ｒｗ 处理 性 ， 而金 融 市 场 自身 的复 杂性 决 定 了仅仅 用 Ｂ ｏ ｎ运 动 来 描述 是 不 完全 的 ， 融市 场 价格 的连续 然 ｒｗ 金 性经 常 会 被一 些不 可 预测 的随机 事件 所 破 坏 ，这 些 随机 事件 被称 为 稀 有事 件，包 括 利 好 和利 空 的事件 。
跳扩散过程的期权定价模型
跳扩散过程的期权定价模型在理论概述部分，我们将简要介绍跳扩散过程的基本理论。
跳扩散过程是一个随机过程，其中资产价格在每个时间段内的变化服从正态分布，但在某些随机时间点上可能发生跳跃。
跳跃的幅度和方向均服从某种随机分布，且跳跃幅度与时间之间存在关系。
在金融市场中，跳扩散过程可以更好地刻画资产价格的波动行为，更准确地预测金融衍生品的价格。
接下来，我们将详细介绍跳扩散过程的期权定价模型。
我们需要确定标的资产的价格动态。
在跳扩散过程中，标的资产的价格变化由两部分组成：连续部分和跳跃部分。
连续部分服从几何布朗运动，跳跃部分则服从某种随机分布。
然后，我们需要计算期权的价值。
期权的价值取决于标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率及波动率等因素。
通过将标的资产的价格动态方程与无风险利率及波动率等参数相结合，我们可以得到期权的定价公式。
我们可以通过数值方法求解该定价公式，得到期权的价值。
为了验证跳扩散过程的期权定价模型的正确性，我们收集了实际数据进行分析。
我们选择了某只股票的每日收盘价作为标的资产的价格数据，并计算了该股票对应期权的价值。
通过将实际数据代入跳扩散过程的期权定价模型，我们得到了期权的理论价值，并将其与实际期权价格进行比较。
结果表明，跳扩散过程的期权定价模型能够较好地刻画标的资产的波动行为，并对期权价格进行较为准确的预测。
在分析应用部分，我们将探讨跳扩散过程的期权定价模型在实际金融市场中的运用。
该模型可以用于衍生品交易策略的制定。
通过计算不同衍生品的理论价值，投资者可以制定相应的交易策略，从而实现盈利目标。
跳扩散过程的期权定价模型可以为风险管理提供帮助。
通过比较理论价值与实际期权价格，投资者可以更加准确地评估其投资组合的风险水平。
在结论部分，我们将总结本文的主要内容及观点。
跳扩散过程的期权定价模型在金融衍生品定价中具有重要的应用价值，能够较为准确地预测期权价格，并为投资者提供有效的交易策略和风险管理工具。
基于跳跃——扩散过程的外汇期权定价模型实证分析
ｄ ｘ 一 ｝０ 】＋ｄ＋ （ｄ 一 － ｄ ｏｚ１Ｙ ｑ ２ ｔ ｎ ） ｒ
＼
（） ２
当考 虑 突发 事 件 的 连 续 、 连 续 发 生 时 ， 些 非 这
重大 市 场 信息 对 外 汇 汇率 的影 响 就 可 以拆 分 为连 续部 分和非 连续部 分这 两个 过程 。同时我们 可 以进
论 ： 跃一 跳 扩散 期权 定 价模 型 对 于我 国金 融 市场
同样适用 ， 能够 更好 揭 示各 资 产价 格变 量 之 间关 它
键 的 内在变 动关 系 。
件下我们进一步 令外汇对数收益率ｘ ｌ ， ｔｎ 那么 ＝粤
． ）０
／
１
ｚ， －
＼
／ Байду номын сангаас
二 、 汇汇 率行 为模型 外
（９ １ ）女， １７ 一 ， 福建泉州人 ， 华侨大学经济与金融学院 、 数量经济研究院副教授。
贾 品壹 ， 武 ： 陈燕 基于跳 跃—— 扩散 过程 的外 汇期权 定价模 型实证 分析 变化 ， 其价 格可 利用传 统 Ｂａｋ Ｓｈｌｓ 则 ｌ —ｃｏｅ 公式进 行 ｃ
定价。具体而言 ， 在无风险利率 ｒ 贴现下， 若欧式看
，
Ｍ ｒ ｎ于 １７ 推 导 出 了在基 础 资产 价 格遵 ｅｔ ｏ ９６年 循 从 跳 跃—— 扩 散 过 程 下 的 欧 式期 权 解 析 定 价 模
型 。 文结合 国外 学者所 提 出的跳 跃—— 扩散 期权 本 定价模 型 以及 我 国期 权 市场 的实 践 ， 随机选 取 两 只
基于跳跃 一
扩散过程的夕汇期权定价模型实证分析 卜
贾品 壹 ， 陈燕武
（ 华侨大 学 经 济 与金 融学院 ， 福建 泉州 ３ ２ ２ ） ６ ０ １
跳跃扩散过程下单因素利率期限结构模型以及参数估计
跳跃 因子 ， 来反 映宏观政策等 的变化对利率变化 的突发影响 ； 并且 利用 中国短期 国债 市场 回购利 率数据对模型进行 了参数估
计 以及拟合 ， 结果模 型的参数 ０ ， １ ０ ， ３ ， ， Ｊ 的估计值分别为 一 ． １ ， ．０ ０ ５３ ｏ ０， ２ ０， ， ０ １２ ０ ３４， ． １ ，一 ．０ ， ．５ ，一 ． × ００ ２ １５ ６ ２ １
Ｌ ， ｆ Ｊ
其 中为 了保证 平 稳 性 ， 求 ： 要 ＜０且 ＞０ 。但 是 当一些 突发 事 件 比如 重 大 货 币政 策 的变 化 对 利 率
产生一个瞬时影响时 ， 上述的这些模型就显得无
从正态分布 — Ｉ ， ） 能起到一个分散化的效 Ｎ（ ， ， ｚ ；
果 。通 常当 Ａ： ０表示 当前 没 有 跳跃 。进 一 步 假设 ｋ ， ｋ＝Ｏ ， ： Ｏ＝ 一 ｔ有 】
能为力 。基于这样 的考虑 ， 本文在传统的 Ｃ Ｌ Ｋ Ｓ单
因子 期 限 利 率 结 构 某 型 中 加 入 一 个 泊 松 跳 跃 因
子 ， ｊ并且利用上海证券交易所 国债 回购利率作为
２ １ 年 ９月 １ ０１ ９日收到，０月 ２ １ ０日修改 第～作者简介 ： 金 哲 ， ， － ｉ：ｅｌｉｇｈ ＠ｇ ｅｌｅｍ。 男 Ｅｍａ ｎｉ ｎｚｅ ｍ ｉ ｏ ｌ ｋ ．
⑥
２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎｒ． ０ ｃ ｅｈ Ｅ ｇ １ ． ｇ
管理科学
跳跃扩散过程下单 因素利率期限 结 构 模 型 以及 参 数 估计
金 哲
（ 暨南大学经济学 院统计系 ， 广州 ５０ ３ ） １６ ２
摘
要
利率期限结构模 型在金 融统计分析 中具有 非常重要的地位 。在 一般 的 Ｃ Ｌ Ｋ Ｓ单 因素利率模型的基础上 ， 加 了一个 增
标的资产价格服从跳-扩散过程的脆弱期权定价模型
标 的资产 价格服从跳一扩散过程 的脆 弱期 权定价模型术
陈 超
（ 浙江万 里学 院商学 院，浙江 宁波 ３ ５ ０ ） １ １ ０
摘 要： 文以公司价值信用风险模型为基础，讨论脆弱 期权 定价 问题 ，将具有信用风险的期权最终执行 本 情 况与交易对手的公司价值和负债 联系起来 ，建立 了标的资产价格服从跳一 扩散过程 的脆弱期权 定价模型；在跳 风险不可定价 的假 设下 ，推 导出脆弱期权的定价公式 。 关键词：信用风 险；脆弱期权定价 ；公司价值；公司负债 ；跳一扩 散过程
信用风 险是系统风险 ，它取决于个体 的信用 品质 ， 由于这些缺 陷 ，Ｍｅｔｎ ｒ 创立 了公司价值模 ｏ 型 ，通过结合相对 于其负债公司资产价值模型推导违约风险价格 ［。Ｊ ｈ ｓｎ Ｓｕｚ １ ｏ ｎ ｏ 和 ｔｌ首次分析 】 了含有信用 风 险的期权价格 ，并将 具有信 用风 险的期权 称为脆 弱期权 ，Ｈｕｌ Ｗ ｈｔ 用类似 ｌ 和 ｉ ｅ 于 Ｍｅｔｎ 型的假 设构造 一个二项格状 图求得 了脆弱 期权 的价格 ，Ａ ｍａ ｒｏ 模 ｎ ｎ通过鞅理论推导了 其连续解 。在上述模型 中，都假定标 的资产价格是连续变动 的，这个假设与实际情况有较大偏
第２卷 第 期 ５ ６
２ ０年１ 月 ０８ ２
工
程
数
学
学
报
Ｖ １２ Ｎ ． ｏ ５ ０６ ．
Ｄｅ ．２ ０ ｃ ０８
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
文章编号： ０— ｓ （ ｏ）６１２— １ ５ ｏｓ２ ｓｏ・ ９ ４ ０ ３ ｏ １ ０
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其中 是交 易对手 公司价 值期望 收益 率 ；
跳跃扩散过程下单因素利率期限结构模型以及参数估计
跳跃扩散过程下单因素利率期限结构模型以及参数估计金哲【摘要】The term structure models of interest rate has an important role in financial statistical analysis. Ba-sing on general CKLS single factor interests rate model, a jump factor is added to analyze interests rate movement affected by macro monetary policy events and then estimates its parameter by using Chinese short - term bond mar-ket interest rates. The result shows the estimation of the model' s parameters α0, α1, α2, α3, σ, γ, σJ, μ are -0.112,0.304,0.513, - 0.002, 1. 556, - 2. 1 × 10 -5, 0. 321, 0. 0012 respectively and all in 95% confi-dence level. This indicates all parameters of the model are significant and residual term is restricted to standard normal distribution. This means under jump diffusion process single factor term structure models of interest rate can better interpret the movement of interest rate.%利率期限结构模型在金融统计分析中具有非常重要的地位.在一般的CKLS单因素利率模型的基础上,增加了一个跳跃因子,来反映宏观政策等的变化对利率变化的突发影响；并且利用中国短期国债市场回购利率数据对模型进行了参数估计以及拟合,结果模型的参数α0,α1,α2,α3,σ,γ,σ(J),μ的估计值分别为-0.112,0.304,0.513,-0.002,1.556,-2.1×10-5,0.321,0.0012.而且都落在了各自95％的置信区间.这表明模型的各个参数都显著并且残差项也服从标准正态分布.说明了跳跃过程下单因素利率期限结构模型能够更好的解释利率变动的情况.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2011(011)036【总页数】3页(P9116-9118)【关键词】利率;跳跃;单因素;参数估计【作者】金哲【作者单位】暨南大学经济学院统计系,广州510632【正文语种】中文【中图分类】F830.42利率期限结构模型是利率衍生品定价和风险管理的基础。
跳跃-扩散下利率不等的动态投资组合选择
跳跃-扩散下利率不等的动态投资组合选择赵宁宁;刘宣会【摘要】The mean-variance model of investment porfolio choices is given, under the condition of difference of deposit rates and loan rates in a jump-fiffusion process. The jumps of stock prices is described by poission process. A general optimal control of the verification theorem is recommended on diffusion process because of the jump factor. Based on the verification theorem ,and using dynamic programming,the optimal stategy of the original problem is obtained by solving HJB equation.%给出一个跳跃扩散过程在存款利率和贷款利率不等条件下的均值-方差投资组合选择的模型.用Poisson过程描述股票价格的跳跃.由于跳跃因素,引用了一个关于扩散过程的一般最优控制的验证性定理,在此验证性定理的基础上,应用动态规划原理,求解HJB方程得到原问题的最优策略.【期刊名称】《西安工程大学学报》【年(卷),期】2011(025)002【总页数】6页(P255-260)【关键词】跳跃扩散过程;最优投资组合;HJB方程;均值-方差;借款利率;随机PLQ 控制【作者】赵宁宁;刘宣会【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安,710048;西安工程大学理学院,陕西西安,710048【正文语种】中文【中图分类】O224自从马柯维次在单期投资模型中的开拓性工作之后,均值-方差投资组合问题一直是金融界争议的核心问题.这个工作总的来说有两点:一是多期投资组合选择模型 [1-5];二是连续时间的投资组合选择模型[6-8].效用函数通常被认为是连续的、递增的、严格的凸函数,如幂函数、对数函数、指数函数和二次函数.风险和收益在效用函数的方法里不能通过最优策略解决.投资组合优化和未定权益定价一直是数理金融学研究的主要问题.大多数的结论都是建立在风险证券价格服从扩散过程基础之上.然而,在现实的金融市场上,当有重大信息出现时,会对风险证券价格产生冲击,使它们呈现一种不连续的跳跃而采用跳跃-扩散过程去拟合风险证券价格变化规律能较好的体现上述情况,同时从理论角度出发,对风险证券价格最一般的假设为连续半软:而跳跃-扩散过程一般为不连续半软,可弥补理论上的不足.本文在存款利率与贷款利率不等的条件下,研究了跳跃扩散过程的关于投资组合的均值-方差模型,用 Poisson过程描述股票价格的跳跃.由于跳跃因素,证明关于扩散过程的一般最优控制的验证性定理.在此验证性定理的基础上,应用动态规划原理,求解 HJB方程得到原问题的最优策略.令其中‖·‖X为空间 X的范数.假设有一个金融市场,不确定性有 2个驱动因素:一个是概率空间(ΩN,FN,PN)上密度为λ(t)=(λ1(t),λ2(t)…λm(t))T的 m维 Po isson过程N(t)=(N1(t),N2(t)…Nm(t))T,补偿 Po isson过程 M =N(t)-(t)d s是 FN-PN 个鞅;另一个是概率空间(Ωω,FωPω)上 l维的 B row n运动ω(t)=(ω(t),1 ω2(t)…ωl(t))T.其中{FNt}是σ(N(s);0≤s≤ t)的扩张,{Fωt}是σ(ω(s);0≤s≤ t)的扩张.定义积空间(Ω,F,P)=(Ωω ×ΩN,Fω ×FN,Pω ×PN),ω(t)与 N(t)在积空间(Ω,F,P)相互独立.若市场上有 d+1个证券,一个无风险证券价格为p0(t),t∈[0,T]在存款利率与贷款利率不等的情况下满足微分方程其中 r(t)是无风险债券的利率,R(t)是贷款利率且R(t)≥r(t),d个风险债券满足微分方程其中pi(0)=pi,l+m =d,b(t)=(b1(t),b2(t) …bd(t))T,σ(t)=σij(t)d×l,φ(t)=(φik(t))d×m,i∈{1,2,…,d}.假设利率R(t),r(t)∈C([0,T];R),扩散率σ(t)∈C([0,T];R d×l),平均收益率b(t)∈C([0,T];R d),φ(t) ∈ C([0,T];R d×m),若 d 阶矩阵σ(t)σ(t)T 非奇异 ,则[σ(t),φ(t)]满足[σ(t),φ(t)][σ(t),φ(t)]T≥δI.其中 I为 d阶单位矩阵,δ为正常数,显然[σ(t),φ(t)]可逆.若一个投资者,它最初的财富为 x0,在 t时刻的财富为x(t),πi(t)表示它 t时刻在第 i 个风险证券上的投资份额,令π(t)=(π1(t),π2(t),…,πd(t))T,称π(t)为投资组合,即有定义 1 若 u(t)为 Ft-可料过程称 u(t)为允许的,所有允许投资组合的集合记为Λ.有 x(t)满足微分方程其中 x(0)=x0>0,1d表示分量全为 1的 d维列向量.为了方便期间,只考虑利率为 r(t)的情况,则式 (5)等价于d x(t)=[r(t)x(t)+uT(t)(b(t)-r(t)1d)]d t+uT(t)σ(t)dω (t)+uT(t)φ(t)dN(t). (6)投资者的目的是在有限时间段[0,T]内连续投资的过程中,使得财富最终的期望值最大和风险最小之间能实现一个的实现合理的均衡,故其中μ >0,α∈R.令为了处理问题简单期间引入单目标函数令Πμ,α ={u(·)|u(·)是满足式 (8)的最优控制)},下面的引理给出Πμ与Πμ,α的关系:引理 1 ∀μ>0,有Π ⊆∪ Π,若u(·) ∈Π,u＊(·) ∈Π,α＊=1+2μx＊ (T),x＊ (t), μ-∞<α<∞μ,α＊μμ,α＊u＊(·)为 (6)式所对应的财富过程.证明过程见文献[9].定理 1 ∀μ >0,α∈R,式 (5)所对应的最佳投资组合为∀t∈ [0,T],令β =α/(2μ),y= μ(x(t)-β),s(t)= μu(t),则式 (6)可转化为其中p0(t)≥0,y(0)=y0=μ(x0-β).令Λ ={s(·)|s(·)可测,关于 Ft可料并且满足式 (4)},则有Λ =Λ,又因为μx(T)-αx(T)=y(T)2-α2/(4μ),(x(·),u(·)满足式 (6))等价于(y(·),s(·))满足式 (10)),所以式 (8)等价于模型考虑如下一个关于跳跃 -扩散过程的一般最优控制问题,式(10)状态方程为d y(t)=[A(t)y(t)+B(t)s(t)+f(t)]d t+s(t)TD(t)dω(t)+s(t)T G(t)dN(t), (12)其中y(0)=y0,A(t)∈C([0,T];R),B(t)∈C([0,T];R d),D(t)∈C([0,T];Rd×l),f(t)∈L2([0,T];R),G(t) ∈ C([0,T];R d×m).设G(t)=(eik(t))d×m.则控制问题为其中 c,k为常数.令式中Et,y=E[·|y(t)=y,y(s),s≤t].定义变分算子则有下面引理成立:引理 2 设存在且连续并且存在常数 c,k,使得|v(t,y)|≤c(1+|yk|)满足微分方程若∃ s＊∈Λ,使得 s＊∈m in{Asw(t,y(t))+L(t,y(t);s(t))},则 w (t,y＊ )=V(t,y＊ ).y＊ (t)为 s=s＊时式 (12)的解,s＊是式 (12),(13)的最优控制.证明由推广的伊藤公式得,见文献[9].边界条件为 V(T,y(T))=(1/2)y(T)2.将式 (15)代入式 (14)整理得其中p0(t)≥0.解式 (16)得其中 Q(T)=0.式 (17),(18)是初始条件为一阶线性微分方程,都存在惟一的解.由式(17)可得,∀t∈又已知λ(t)≥0,故 HJB方程 (14)的最优解为下面方程组的解其中 1m为 m维分量全为 1的列向量,上式可改写为因[σ(t),φ(t)]可逆,从而[σ(t),φ(t)]T可逆,故由式 (18)可得最有策略为由引理 2可知,s(t)为式 (11)的最优控制.由式 (17),(18)可得其中x(t)≥0.式 (21)就为式 (8)利率为 r(t)的最优投资组合.将式 (20)代入式 (6)可得其中x(0)=x0,x(t)≥0,两边取期望得其中 E x(0)=x.解式 (22)可得解关于α的方程a=1+2μE x(T),当β=α＊/(2μ)考虑利率不同的情况.由引理 1可知式 (9)就为原问题 (6)最优解.证毕.【相关文献】[1] MOSSIN J.Op tim alm u lti-period portfo lio po licies[J].Journal ofBusiness,1968,41:215-229.[2] SAMUELSON PA.L ifetim e po rtfo lio selection by dynam ic stochastic p rogramming[J].Reviec of Econom ics and Statics,1969,51:236-246.[3] CHEN S,L IX,ZHOU X Y.Stochastic linear quad ratic regulato rsw ith indefinite con tro l weight costs[J].SIAM Journal on Contro l and Op tim ization,1998,36:1 685-1 702.[4] CHEN S,ZHOU X.Stochastic linear quadratic regulatorsw ith indefinite contro lweight cost(Ⅱ)[J].SIAM Journalon Contro l and Op tim ization,2000,39:1 065-1 081.[5] CAM PBELL J Y,LO A W,MACK INLAY A C.The econom etrics of financial markets[M].New Jersey:Princeton University Press,1997.[6] M ERTON R C.An analytical derivation of the efficient portfo lio frontier[J].Journal of Financial and Econom ics Analysis,1972,7:1 851-1 872.[7] KARATZASL,LEHOCZKY J P,SHREVE S E.Op tim al portfo lio and consump tion decisionsfo r a sm all investor on a finite ho rizon[J].SIAM Jou rnal on Con tro l and Op tim ization,1998,2:215-258.[8] COX JC,HUANGC F.Op tim al consump tion and portfo lio po licieswhen asset p rices fo llow a diffusion p rocess[J].Journal of Econom ic Theo ry,1989,44:33-83.[9] 郭文旌.跳跃扩散股价的最优投资组合选择[J].控制理论与应用,2005,22(2):171-176.。
具有相关波动因子的广义随机波动HJM模型
具有相关波动因子的广义随机波动HJM模型杨宝臣;苏云鹏【期刊名称】《管理科学学报》【年(卷),期】2011(014)009【摘要】基于Heath-Jarrow-Morton( HJM)模型框架,将远期利率波动率设定为服从广义均值回归平方根过程的随机变量,以刻画隐性随机波动因子的动态特性,并通过将漂移项限制条件推广至波动因子之间,以及利率波动率的变化与利率变动之间存在相关性情况,建立了广义的多因子HJM模型.在该模型框架下,基于一类特定波动率设定形式将风险中性概率测度下的收益率曲线表示为服从仿射扩散过程的有限维状态向量的函数形式,并推导出零息债券的准解析定价公式.并且,基于市场风险价格的广义仿射设定形式,将以上结果推广至现实概率测度下.%Heath-Jarrow-Morton model is generalized by extending the no-arbitrage drift restriction with nonze ro instantaneous correlations between volatility factors and setting forward rate volatilities subject to generalized mean-reverting square-root processes and correlated with innovations to forward rates. In the framework above, the dynamics of the term structure under the risk-neutral probability measure are described in terms of a finite number of state variables that jointly follow an affine diffusion process under a certain volatility specification, and a quasi-analytical formula for zero coupon bond prices is derived based on transform techniques. Then the result is further generalized to the case under the actual probability measure through the extended affine market price of risk specification.【总页数】9页(P77-85)【作者】杨宝臣;苏云鹏【作者单位】天津大学管理与经济学部,天津300072;天津大学管理与经济学部,天津300072【正文语种】中文【中图分类】F830.91【相关文献】1.随机波动HJM框架下信用利差模型及实证研究 [J], 李春林;李冬连2.随机波动率模型中应用鞅方法定价具有不同借贷利率的欧式期权 [J], 霍慧东;孔繁亮3.基于HJM框架的随机波动率短期利率模型 [J], 陈志勇;江良4.基于广义矩方法的随机波动率模型参数估计 [J], 张新军; 陈华珠; 江良5.在约化模型下具有随机波动率的可违约债券定价 [J], 郭培栋;陈启宏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
具有相关波动因子的广义随机波动HJM模型
具有相关波动因子的广义随机波动模型①HJM 杨宝臣，苏云鹏( 天津大学管理与经济学部，天津 300072)摘要: 基于 H ea t h -Jarr ow -Mo r to n ( HJM ) 模型框架，将远期利率波动率设定为服从广义均值回归 平方根过程的随机变量，以刻画隐性随机波动因子的动态特性，并通过将漂移项限制条件推广至波动因子之间，以及利率波动率的变化与利率变动之间存在相关性情况，建立了广义的多因 子 HJM 模型． 在该模型框架下，基于一类特定波动率设定形式将风险中性概率测度下的收益 率曲线表示为服从仿射扩散过程的有限维状态向量的函数形式，并推导出零息债券的准解析 定价公式． 并且，基于市场风险价格的广义仿射设定形式，将以上结果推广至现实概率测度下．关键词: HJM 模型; 随机波动率; 相关性; 马尔科夫转换; 仿射实现 中图分类号: F830． 91文献标识码: A文章编号: 1007 － 9807(2011)09 － 0077 － 09 文献［5 － 7］发现存在隐性随机波动因子，这些因 子只影响利率衍生品的价格波动而不影响期限结构的动态特性，而文献［8］从实际利率波动中也 发现存在隐性波动因子．本文基于 HJM 模型框架，将远期利率波动率 设定为服从广义均值回归平方根过程的随机变 量，从而可以刻画隐性随机波动因子的动态特性; 并通过将漂移项限制条件推广至波动因子之间， 以及利率波动率的变化与利率变动之间存在相关 性情形，建立了一个广义的多因子 HJM 模型．此外，对于一般的波动率结构设定，HJM 模 型框架下期限结构的动态特性是具有路径依赖性 的，也即非马尔科夫的，这会大大增加模型估计和 定价计 算 的 复 杂 程 度． 鉴 于 此，很 多 学 者 对 将 HJM 模型表示为有限个状态变量的马尔科夫过 程的条件进行了研究，如文献［9 － 21］等． 在以上 研究基础上，本文在所提出的广义 HJM 模型框架 下基于一类特定波动率设定形式将风险中性概率 测度下的收益率曲线表示为服从仿射扩散过程的引 言0 H ea t h -Jarr ow -Mo r to n ( 简记 HJM ) ［1］ 模型对于 利率期限结构建模具有很好的灵活性，且其模型 参数与可观测市场变量之间往往存在明确的联 系，从而有利于市场环境的理解以及利率衍生品 的定价． 然而，越来越多的研究表明，利率波动率 具有一些传统利率期限结构模型不能刻画的特 性． 传统的 HJM 模型假设利率期限结构由若干个 互不相关的随机波动因子驱动，而实际上这些波 动因子并不总是互不相关的． 对于相关的波动因 子，虽然可以对其进行正交化处理以消除其相关 性，然而这会使其失去原有的经济含义，从而使得 模型参数与可观测市场变量之间的联系变得模糊 不清［2］． 此外，利率波动率是随机变化的，且与利 率变动相关． 例如，文献［3 － 4］在研究短期利率 动态特性的过程中发现利率的相对波动率与利率 负相关，而绝对波动率却与利率正相关． 最后，利 率波动率中包含一些重要的隐性波动因子． 例如，① 收稿日期: 2009 － 11 － 09 ; 修订日期: 2011 － 01 － 06 ．基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 70771075) ; 教育部博士点基金资助项目( 200800560032 ) ; 教育部新世纪优秀人才支持计划资助 项目( N C ET － 08 － 0397 ) ; 长江学者和创新团队发展计划资助项目( IRT1028 ) ; 天津大学自主创新基金资助项目． 作者简介: 杨宝臣( 1966 —) ，男，河北唐山人，博士，教授． Email : bchyang@ t j u ． edu ． cn— 78 —管 理 科 学 学 报2011 年 9 月有限维状态向量的函数形式，并推导出零息债券 的准解析定价公式． 并且，本文基于文献［22］提 出的市场风险价格的广义仿射设定形式，将以上 结果推广至现实概率测度下，从而可以使用常用 的经济计量方法对模型进行估计．将式( 4) 代入式( 3) ，可得现实概率条件下的HJM 模型框架 d f( t ，T) = σ( t ，T ) '［σ( t ，T ) － Λ( t) ］d t + σ( t ，T ) 'd W P( t) ( 5) 其中: Λ( t) 为市场风险价格向量; W P( t) 为现实概率测度下的标准维纳过程向量．传统 H e a t h -J a rr o w -M o r to n 模型1 广义 H e a t h -J a rr o w -M o r to n 模型2 对于有限到期日 T ∈ ［0，∞ ) ，给定一个完备 可测概率空间( Ω，F T ，( F t ) 0≤t ≤T ，P ) 其中 Ω 为状 态空间，P 为相应的现实概率测度，F T 为表示可测 事件的 σ 代数，( F t ) 0≤t ≤T 为现实概率测度下由 n 维独立标准维纳过程基于 HJM 模型框架，将远期利率波动率设定为服从广义均值回归平方根过程的随机变量，从 而可以刻画隐性随机波动因子的动态特性，并通 过将漂移项限制条件推广至波动因子之间，以及 利率波动率的变化与利率变动之间存在相关性情 况，建立了广义的多因子 HJM 模型．设定在风险中性概率条件下，远期利率动态 特性由下面微分方程组描述W P ( t ，ω ) =t ［W P ( t ，ω ) ，W P ( t ，ω ) ，…，W P ( t ，ω ) ］' 1 t 2 t n t 生成的右连续完备滤波，ωt 表示维纳过程的路 径． 为简便起见，记现实概率测度下 n 维独立标准 维纳过程向量为d f( t ，T) = μ( t ，T) d t +N∑σf i( t ，T) W P( t) = ［W P( t) ，W P( t) ，…，W P( t ) ］' 12 n 槡v i ( t) d W i ( t) ( 6) θ相应的风险中性概率测度下的标准维纳过程向 量为i = 1d v i ( t) = κi ( θi－ v i ( t) ) d t + 槡v i ( t) ×W Q( t) = ［W Q( t) ，W Q( t) ，…，W Q( t ) ］' ( ρ v i d W i ( t) Q 槡1 － ρv i d Z i ( t) )2 Q+ 12 n 在风险中性概率条件下，HJM 模型框架可由 下面的随机微分方程给出( 7)为随机波动因素; W Q ( t) 为风险中性 其中: v ( t) i d f( t ，T) = μ( t ，T) d t + σ( t ，T ) 'd W Q ( t) ( 1) 概率测度下的标准维纳过程向量，其各元素之间 其中，f( t ，T ) 为瞬时远期利率( 即在时刻 t 商定的到期时刻为 T 的瞬时借入或贷出利率) ，μ( t ，T) 为远期利率漂移项，σ( t ，T) 为远期利率瞬时波动 率向量，而 W Q( t) 为风险中性概率测度下的标准 维纳过程向量．由 HJM 框架下无套利漂移项限制条件 相关系数矩阵为 K ( t) ; ρ 为 v ( t) 与 W Q ( t) 的相 v i i关系数; σ 与 σ 分别为远期利率与随机波f iv i素的波动率因子，Z Q ( t) 为与 W Q( t) 相互正交的 标准维纳过程向量．在以上模型框架下，远期利率曲线由 N 个相 关的随机因子驱动，而远期利率波动率则除了由 以上 N 个期限结构因子驱动之外，还受 N 个与之 正交的额外随机因子驱动，从而可以刻画隐性随 机波动因子的动态特性． 此外，远期利率波动率与 远期利率水平变动是相关的．T μ( t ，T) = σ( t ，T ) '∫ σ( t ，u) d u( 2)t 式( 1) 可改写为 d f( t ，T) = σ( t ，T ) 'σ( t ，T) d t +σ( t ，T ) 'd W Q( t) ( 3)命题 1若 μ( t ，T) 为广义 HJM 模型( 6) 及T=∫σ( t ，u ) d u ．其中，σ( t ，T) ( 7) 中所定义的远期利率漂移项，则有N Ntt= ∫Γ( s) d s ，则 再假设市场风险价格为 Λ( t) 由文献［1］可知 μ( t ，T) ∑∑ i j ［ρ ( t) 槡v ( t) v ( t) ×= 0i j ijT σf i( t ，T )∫ σf j( t ，s ) d s ］( 8)d W Q ( t) = d W P( t) － Λ( t) d t( 4)t杨宝臣等: 具有相关波动因子的广义随机波动 HJM 模型— 79 —第 9 期 其中，σf i为远期利率波动率因子; v i ( t) 为随率测度下的收益率曲线表示为服从马尔科夫仿射 扩散过程的有限维状态向量的函数形式，并推导 出零息债券的准解析定价公式．机波动因素; ρi j ( t) 为维纳过程向量 W 各元素之间相关系数矩阵 K ( t) 的元素，也即 W Q( t) 的第 i 个和第 j 个元素间的相关系数．Q( t) 定义 1 称一个 HJM 模型 A 是可 d 维仿射实现的，如果对于某个 d ∈ N + ，存在一个 F t 可测的 d 维随机过程 z( t) 以及一个仿射函数 Φ ∶R + × R + × 证明见附录 A ．命题 1 基于 HJM 模型框架，在对隐性随机波动因子动态特性进行刻画的基础上，将远期利率 的漂移项限制条件推广至波动因子之间，以及利 率波动率的变化与利率变动之间存在相关性情 况，从而建立了广义的多因子 HJM 模型，具有如 下理论和实际意义．R d→R ，使得+ r( t ，τ) = Φ( t ，τ，z ( t) ) = h 0 ( t ，τ) + h ( t ，τ)( 9)其中，h 0 ( t ，τ) ∈ R 和 h( t ，τ) ∈ R 均是确定性函d引理 1一个HJM 模型 A 是可 d 维仿射实现 1) 该广义 HJM 模型允许波动因子之间存在 的，如果其波动率向量 V ( t ，τ) 的各元素 σi( t ，τ)均满足条件: 对于每一个 i ∈ { 1，…，n } ，则总存在 d i∈ R + 使得 σi ( t ，τ) 关于 τ 满足 d i 次可微，且满 足下面 d 阶齐次线性微分方程 相关关系，因此可利用具有实际经济意义但彼此 相关的波动因子对固定收益证券及利率衍生品进 行定价和风险管理． 例如，无风险利率和信用利差 是驱动企业债券价格变动的两个主要因素，因此 在对企业债券及其相关衍生品进行定价及风险管 理时，以无风险利率和信用利差作为企业债券的 利率期限结构的驱动因素会使得模型及其参数的 经济含义更加直接和容易理解，并有利于相关衍 生品的定价． 然而，实证研究表明，无风险利率和 信用利差之间存在显著的负相关关系，因此传统 的 HJM 模型框架需要对其进行正交化处理以消 除其相关性，但是这会使其失去原有的经济含义， 不利于利率风险和违约风险的测度及分析，从而 不利于企业债券及其相关衍生品的定价及风险管 理，而命题 1 所给出的广义 HJM 模型框架则有效 解决了以上问题;2) 该广义 HJM 模型允许利率波动率的变化 与利率变动之间存在相关性，有利于解决远期利 率分布的厚尾问题，从而减小固定收益证券及利 率衍生品的定价偏差;L i σi ( t ，τ) ( 10)= 0 其中d i －1d ij = － ∑ i j k ( τ) L i d jτ iτ j = 0 k i j ( τ) 为连续的确定性函数． 证明参见文献［20］中命题 1． 此外，对于一般的波动率结构设定，H JM 模 型框架下期限结构的动态特性是具有路径依赖性 的，也即非马尔科夫的，这会大大增加模型估计和［23 －25］ 定价计算的复杂程度 ．鉴于此，很多学者研 究了将 HJM 模型表示为有限个状态变量的马尔科夫过程的条件，如文献［9 － 21］等． 由以上研究 并引理 1 可知，在 HJM 模型框架下对远期利率曲 线进行有限维马尔科夫仿射实现的充要条件为－ γ i ( T －t) σf i ( t ，T) = p n ( T － t) e ( 11)其中 p n ( τ) 为 τ 的 n 阶多项式．为简便起见，本文设定 n = 1，也即3) 该广义 HJM 模型引入了隐性随机波动因－ γ i ( T －t)σf i ( t ，T) = ( α0i + α 1 i ( T － t) ) e ( 12) 子，因此可基于衍生品价格的历史数据对隐性随 机波动因子的动态特性进行刻画，从而提高衍生 品的定价精度和风险管理效果．以上波动率结构设定包含的范围十分广泛， 并可以刻画利率期限结构可能遭受的各种类型的 波动冲击，包括对于利率衍生品定价十分重要的驼型冲击［26］．基于以上波动率结构设定，可以对式( 6) 及 ( 7) 所定义的广义 HJM 模型进行有限维马尔科夫 仿射实现，如命题 2 所示．广义 H J M 模型的有限维马尔科 夫仿射实现3基于一类特定波动率设定形式将风险中性概命题 2在式( 12) 所设定的波动率结构条— 80 —管 理 科 学 学 报2011 年 9 月件下，式( 6) 及( 7) 所定义的广义 HJM 模型具有如下马尔科夫仿射实现Nd 4 ( t) = ( 2 ( t) － 2γ 4( t) ) d t ( 26) ( 27)i j i j i i jd 5 ( t) = ( 2 4 ( t) － 2γ 5 ( t) ) d t i j i j i i j 且初始条件为f( t ，T)= f( 0，T) + ∑C x i ( T － t) x i ( t) i = 1N+x i ( 0) 证明 = φi ( 0) = i j ( 0) = … = i j( 0)15= 0∑C φi( T － t) φi( t)+注意到，命 题 2 中的辅助状态变量 φi ( t) ， i = 15 NN1 2 5 i j ( t) ，i j ( t) ，…， i j ( t) 刻画了模型状态变量 ∑∑∑C k ( T － t) k (t) ( 13)i ji j k = 1 i = 1 j = 1x i ( t) 和 v i ( t) 的历史路径信息，而以上辅助状态 其中变量表达式中不含随机驱动项，也即局部确定性 变量，因此命题 2 通过将这些辅助状态变量引入模型状态空间，对式 ( 6) 和 ( 7) 所定义的 广 义 HJM 模型进行了有限维马尔科夫仿射实现，使其 具有很好的解析特性，从而为利用蒙特卡洛模拟对诸如互换期权、资产抵押证券等复合衍生品进 行定价提供了便利．由式( B ． 2) 可知时刻 t 到期时刻为 T 的零息债券价格可表示为C x ( τ)= ( α0i+ α1i ) e － γ iτ( 14) ( 15)i C φi－ γ iτ= α1i e 1 ( α + α C 1 ( τ)= × φi j 0i1i γ j (α0j + e α 1 － γ iτ( 16)γj 0i( α0j + )1 ［α α 1 C2 ( )= － +φi j γγj j ( α0i α1j+ α1i)τα1iαT = e x p { －∫ f( t ，s) d s }γB( t ，T)j tα1iα1 j － ( γ i + γ) ττ ］e( 17)N=B( 0，T)B( 0，t)exp { ∑ γC槇 ( T － t) x ( t) +x iii = 1α1i = )α 1 j +C 3 ( τ) e － γiτ( 18)α Ni jγ 0j 槇 γ∑C φ( T － t) φi+j ii = 151 ( α α + α C 4 ( )= － + NN0i 1j1i 0jφi j γ ∑∑∑ 槇 C k( T － t) φk( t) }j i ji jk = 1 i = 1 j = 1α1iα1 j+ τ) e－ ( γi +γ ) τ( 19)α ( 28)1i 1 j γ其中α1iα 1 j － ( γ i+ γ j )τ = － e C 5 ( τ)( 20)i jα1i + 1( ］γ C 槇 ( e－ γ i τ－ + τ e －γ τj = αx i0iγγ而状态变量服从以下随机过程( 29)d x i ( t) d φi = － γi x i ( t) d t + 槡v i ( t) d W i ( t) Q( 21)( 22)α= ( x i ( t) － γi φi ( t) ) d tC 槇 － γ iτ( )= ( e － 1) ( 30)φγ i d 1 ( t) = ［ρ ( t) 槡v ( t) v ( t) － i j i j i j1 α 1 =(α0 j + γ γ)1 C i j ( τ)×γi i j( t) ］d t1( 23) γ i j j d 2 ( t) = ［ρ ( t) 槡v ( t) v ( t) － α ［(α0 i + γ)( e － 1) － γ i τ］( 31)i j i j i j 1i － γi τ + α1iτe2γi i j ( t) ］d t 2 ( 24)( 25) i d 3 ( t) = ( 1 ( t) － γ 3( t) )d ti j i j i i j α 1 i α1j 2α 1 iα1j + + α1j + γ ( γ + { － 1 0i (γ )(γ + )C 2 ( )( e － ( γ i + γ j ) τ－ = α + α + α + α α× 0j 0i 1 j 1 i 0j i jγ j i j j j i j }( 32)1i 1jγi + γ杨宝臣等: — 81 —第 9 期 具有相关波动因子的广义随机波动 HJM 模型αα 1 j+ γ (( ρv i d W i ( t)P 槡1 － ρv i d Z i ( t) ) 2 P( 42) + C 3 ( )( e －γ i τ － 1) ( 33) =α i j0 j γ i j j 其中 参数 κ θ σ ， 以及 γ 如上文定义 η ， = P 、 、 i i v i i iα 1 i α1j + + 1( α α + α C 4 ( τ)λ ，κP－ γ ，κP = λ ，κP = κ － σ λ 以 = － = λ i j 0i 1j1i 0j w i 0 x iw i x i xv i w i v i i v i z i vγ γ j j κi θi + σλ－ ( γ i + γ) τ P2α1i α1j ) e ( 34)及 θ且满足以下条件= κPiα 1 i α1j － ( γ i +γ j ) τ = － e C 5 ( )( 35) 2κ θ ≥ ( 43) ( 44)表达式中不显 i j i i v iγ j P P 22κi θi ≥σ对式( 28) 应用伊藤定理进行微分，可得零息债券价格 B( t ，T ) 服从以下随机过程 由于 φi ( t) ， i j ( t) ，…， i j ( t)1 5 性含有随机驱动项，因此其所服从的随机过程表 达式在概率测度变换过程中并不发生改变．d B( t ，T)= r( t) d t +B( t ，T)N∑C槇 ( T － t) 槡v ( t) d W Q ( t) ( 36)x ii i 5 模型实例i = 1市场风险价格的设定4 本文提出的广义 HJM 模型框架所包含的范畴十分广泛，通过对模型参数进行相应设定即可 得到许多重要的利率期限结构模型，以下给出了 几个模型实例． 基于文献［22］提出的市场风险价格的广义 仿射设定形式，将以上结果推广至现实概率测度 P 下，从而可以利用常用的经济计量方法对模型 进行估计，以便于实际应用模型． 令 ΛW i和 ΛZ i分别为维纳过程 W 和 Z 所对应 的市场风险价格，也即具有随机波动率的连续时间 H o-Lee 模型 5． 1当 N = 1，α01= 1，α11= 0，γ1= 0，ρ= 0，且 W Q( t) 各元素之间互不相关时，由式( A ． 21) 及( 7) 可知远期利率 f( t ，T) 服从以下随机过程d W Q ( t) = d W P( t) ( t) d t ( 37)( 38)－ Λ d f( t ，T) = ( T － t) v( t) d t + 槡v( t) d W ( t)Q i i W i d Z Q( t) = d Z P( t) ( t) d t－ Λ ( 45)i i Z i 为在概率测度转换时不改变状态向量动态特 性的仿射结构，本文设定市场风险价格 ΛW i 和 ΛZ i 具有如下广义仿射形式d v( t) = κ( θ － v( t) ) d t + σ槡v( t) d Z ( t)Q( 46) 式( 45) 和( 46) 即为具有随机波动率的连续λw i 0+ λw i x x i+ λw i v vi［27］ΛW i ( t) ( 39)=时间 Ho -L ee 模型 ．槡v i ( t) 5． 2 具有随机波动率的 H u ll -W h i te 模型1ΛZ i ( t)当 N1，α011，α110，ρv i0，且= ×= = = = 1 － ρ2槡v ( t) 槡 v i i W Q( t) 各元素之间互不相关时，由式( A ． 21) 及{ λz i 0+ λz i v v i－ ρv i ［λw i 0( 7) 可知远期利率 f( t ，T ) 服从以下随机过程λw i x x i ( t) + λw i v v i ( t) ］( 40)1 － γ1( T－ t ) －2γ1( T－ t)d f( t ，T) = (e γ ) ×－ e 其中: 状态变量 x i ( t) 和 v i ( t) 以及相关系数 ρv i 如 上文定义; λw i 0、λw i x和 λw i v以及 λz i 0和 λz i v分别为市场风险价格 ΛW i和 ΛZ i的设定参数．由以上设定可知，在现实概率测度 P 下，状态变量 x ( t) 和 v ( t) 服从以下随机过程1 v( t) d t + 槡v( t) e － γ1( T －t ) d W Q ( t) ( 47)d v( t) = κ( θ － v( t) ) d t+ 槡v( t) d Z ( t)Q( 48) σ式( 47) 和( 48) 即为文献［28］提出的具有随 机波动率的 H u ll -Wh i t e 模型［29］． 5． 3 广义随机波动模型当 W Q ( t) 各元素之间互不相关时，由式( A ． 21)P P P d x i ( t) = ( ηi + κx i x i ( t)+ κxv i v i ( t) ) d t +( 41) 槡v i ( t) d W i ( t) P d v i ( t) = κi( θi－ v i ( t) ) d t + P P槡v i ( t) ×—82 —管理科学学报2011 年9 月及( 7) 可知远期利率f( t，T) 服从以下随机过程N d vi( t)= κi( θi－vi( t) ) d t +σ槡v i ( t) ×d f( t，T)= ( ∑v i ( t) σf i ( t，T)i = 1( ρv i d W i ( t)槡1 －ρv i d Z i ( t) )Q 2 Q×+( 50)式( 49) 和( 50) 即为文献［30］提出的广义随机波动模型．T∫tσ( t，s) d s)d t + N∑σf i ( t，T) i = 1槡v i ( t) d W i( t)Q ( 49)参考文献:［1］Heath D，Jarrow R，Morton A． Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology for 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B，Schwartz E S． A general stochastic volatility model for the pricing of interest rate der i v a t i v es［J］． Review of F i- nancial Studies，2009，22( 5) : 2007 －2057．G e n e r a li ze d H e a t h-J a rr o w-M o r to n m o d e l with s toc ha s t i c volatility and co rr e-l a te d fa cto r sYANG B a o-c h e n，S U Y un-p e ngCollege of Management and Economics，Tianjin University，Tianjin 300072，C h i naAb st r a ct:H ea t h-Jarr ow-Mo r to n model is generalized by extending the n o-arb i t rage drift restriction with n o n z e-ro instantaneous correlations between volatility factors and setting forward rate vo l a t ili t i es subject to genera li z ed m ean -re v er t i ng square-r oot processes and correlated with innovations to forward ra t es． In the framework ab ov e，the dynamics of the term structure under the r i sk-neu t ra l probability measure are described in terms of a f i n i t e number of state variables that jointly follow an affine diffusion process under a certain volatility spec i f i ca t i o n，and a quas i-ana l y t i ca l formula for zero coupon bond prices is derived based on transform t echn i ques．Then t he result is further generalized to the case under the actual probability measure through the extended affine m arke t price of risk spec i f i ca t i o n．K e y wo r d s:H ea t h-Jarr ow-Mo r to n model; stochastic volatility; correlation; Markovian t rans fo r m a t i o n;affine rea li z a t i o n— 84 —管 理 科 学 学 报2011 年 9 月附录 A为简便起见，不妨令V ( t ，T ) = ［σf 1 ( t ，T ) 槡v 1 ( t) ，σf 2 ( t ，T ) 槡v 2 ( t) ，…，σf N ( t ，T) 槡v N ( t) ］' ( A ． 1) 则式( 6) 可改写为= μ( t ，T ) d t + V ( t ，T) 'd W Q ( t) d f( t ，T) ( A ． 2)由式( 4) 可知d f( t ，T ) = ［μ( t ，T ) － V ( t ，T ) 'Λ( t ) ］d t + V ( t ，T ) 'd W P( t) 令 α( t ，T) = μ( t ，T ) － V ( t ，T ) 'Λ( t) ，则式( A ． 3) 可改写为 ( A ． 3) = α( t ，T) d t + V ( t ，T ) 'd W P ( t) d f( t ，T) ( A ． 4)式( A ． 4) 可进一步改写为随机积分形式t t+ ∫α( s ，T ) d s + ∫V ( s ，T) 'd W P ( s )f( t ，T ) = f( 0，T)( A ． 5)T = exp ( －∫ f( t ，s) d s )，则由莱布尼兹微分法则可知假设在时刻 t 到期时刻为 T 的零息债券价格可表示为 B( t ，T) tT = [f( t ，t) －∫f( t ，s) d ]T ，) d t － ∫ d f( t ，s ) d s td ( ln B( t ，T ) ) (t t ( A ． 6)s d t = f tt分别利用式( A ． 5) 和( A ． 4) 表示 f( t ，t) 和 d f( t ，s) 并代入式( A ． 6) 中，可得tt= f( 0，t) d t + ∫α( s ，t ) d s d t + ∫V ( s ，T) 'd W P ( s) d t －d ( ln B( t ，T ) ) 0 0 TT∫t，)d t d s + ∫ V ( t sP( ( t s ，) 'd W t) d s ( A ． 7)t整理式( A ． 7) 可得d ( ln B( t ，T ) ) Ttt T=[f( 0，t) －∫ α( t ，s ) d s ]d t － ∫ V ( t ，s) 'd W P( t) d s + ∫ α( s ，t ) d s + ∫V ( s ，t ) 'd W P ( s )( A ． 8)tt对式( A ． 8) 应用伊藤定理可得零息债券价格的随机微分方程d B( t ，T) TV ( t ，s ) 'd W P( t) d s + 1 = [f( 0，t) t t － ∫α( t ，s) d s ]d t － ∫t T( T )2+ ∫α( s ，t ) d s + ∫V ( s ，t ) 'd W ( s ) ∫ P V ( t ，s ) 'd W ( ) Pt d s B( t ，T) 20 0t t( A ． 9)T又由于∫tV t s ( ，) 'd W t) d s 为标量 因此有P( ， T2TT( ∫tV d ) [ ( t) ] [ ( V td ) ] ∫ V ( t ，s) 'd d W P( t) ∫ ( d W P( t) ) ' ( t s ，) 'd W t) s P( = ( t s ，) s = ( ∫ V ( t ，s ) 'd s )［d W P( t) ( d W P( t) ) '］( ∫ V ( t ，s) d s )TT( A ． 10)tt由 d W P ( t) ( d W P ( t) ) ' = d W Q ( t) ( d W Q( t) ) ' = K ( t) d t 可知②T2TT( ∫t Vd ) ( t ) ( t) ∫ V ( t ，s) 'd s K ( t) ∫ V ( t ，s) d s d t( A ． 11)( t s ，) 'd W t) s P( = d B ( t ，T) = [ f( 0，t) + ∫α( s ，t) d s + ∫V ( s ，t) 'd W ( s ) t t T1V ( t ，s) d s ) ]d t －( A ． 12)( V ( t ，s) 'd s )K ( t )( TT－ ∫α( t ，s ) d s + P∫t∫tB( t ，T) 2 0 0tT∫tVt s ( ，) 'd W t) d s P( 在 n 维希尔伯特空间 H n上定义算子 D ，使得对于所有 V ( ·，·) ∈ H n，均有 t Tt1( T TV ( t ，s) 'd s )K ( t ) ( V ( t ，s) d s )+ ∫α( s ，t ) d s －∫ α( t ，s ) d s + ∫ V ( s ，t ) 'd W P( s )∫t∫tD ［V ( t ，T ) ］ = f( 0，t)+2t( A ． 13)由希尔伯特空间表示定理可知，存在 n 维有界随机过程 Λ槇( t) ，t ∈ ［0，T ］，使得TD ［V ( t ，T ) ］ = ( Λ槇( t) ) '∫V ( t ，s) d s( A ． 14)t参见文献［2］中定理 1 ②杨宝臣等: — 85 —第9 期 具有相关波动因子的广义随机波动 HJM 模型由式( A ． 13) 及( A ． 14) 可知T tTtTT+ 1K ( t) ∫ V ( t ，s) 'd s ∫ V ( t ，s) d s( Λ槇( t) ) '∫V ( t ，s) d s = f( 0，t) + ∫α( s ，t ) d s － ∫α( t ，s) d s + ∫V ( s ，t) 'd W P ( s )2tttt( A ． 15)由式( A ． 14) 可知，Λ槇( t) 表示债券价格变动漂移率与波动风险之间的比率，也即市场风险价格，因此有Λ( t ) = Λ槇( t) 对式( A ． 15) 两边同时关于 T 进行微分，整理可得 ( A ． 16)T α( t ，T) = ( V ( t ，T ) ) 'K ( t) ∫ V ( t ，s ) d s － ( V ( t ，T ) ) 'Λ( t)( A ． 17)t将式( A ． 17) 代入式( A ． 4) 中，可得= [ ( V ( t ，T ) ) 'K ( t) ∫ V ( t ，s ) d s － ( V ( t ，T ) ) 'Λ( t) ]d t + V ( t ，T ) 'd W P( t)Td f( t ，T) ( A ． 18)t也即T= [ ( V ( t ，T ) ) 'K ( t) ∫ V ( t ，s ) d s ]d t + V ( t ，T) '( d W P( t) d f( t ，T) － Λ( t) d t) ( A ． 19)t由式( 4) 可知= [( V ( t ，T ) ) 'K ( t) ∫ V ( t ，s ) d s ]d t + V ( t ，T) 'd W Q( t)T d f( t ，T) ( A ． 20)t也即NN NT= ( ∑∑ρi j ( t)槡v i v j σf i ( t ，T ) ∫σf j ( t ，s) d s )d t +∑σf i ( t ，Qd f( t ，T) 槡v i ( t) d W i ( t) ( A ． 21) ti = 1i = 1 j = 1命题得证．证毕．附录 B将式( 12) 代入式( 8) 中，整理可得μ( t ，T ) = ρi j ( t) 槡v i ( t) v j ( t){ γ( αα)( eα0i αα1jγ－ γ i ( T －t) － (γi + γ j ) ( T－ t )－ (γi + γ j ) ( T－ t ) ) －－ t) e － e +γjj α(α)( T － t) ( e) － α1i α1j ( T － t) α2 － ( γ i + γ j ) ( T －}－ γ i ( T － t )－ ( γ i + γ j ) ( T － t ) ( B ． 1)－ e+γγγj 由式( B ． 1) 可知远期利率曲线可表示为Nttf( t ，T ) = f( 0，T) + ∫ μ( s ，T) d s +∑∫ σf i ( s ，T) 槡v i ( s) d W ( s )Qi 0i = 1NN5NN= f( 0，T) +∑Cx i ( T － t) x i ( t) +∑Cφ i( T － t) φi+∑∑∑Ci j ( T － t) i jkk( B ． 2)i = 1i = 1k = 1 i = 1 j = 11 5其中，C x i ( T － t) ，C φ i ( T － t) ，C i j ( T － t) ，…，C i j ( T － t) ．由式( 14) － ( 20) 定义，且有t x i ( t) =∫ 槡v i( s) e d W i( s )－ γ i ( t －s)Q ( B ． 3) 0t φi( t) = ∫ 槡v i( s) ( t － s) e d W i( s )－ γ i ( t － s)Q ( B ． 4) 0t ij ( t) = ∫ ρi j( s ) － γ i ( t －s)1 槡v i( s) v j( s) e d s ( B ． 5) 0t ij ( t) = ∫ ρi j( s ) － ( γ i + γ j ) ( t － s )2 槡v i( s) v j( s) e ( B ． 6) d s 0t ij ( t) = ∫ ρi j( s ) － γ i ( t － s)3 槡v i( s) v j( s) ( t － s) e d s( B ． 7) 0t = ∫ ρi j( s ) 4 － ( γ i + γ j ) ( t－ s )ij ( t) 槡v i( s) v j( s ) × ( t － s) e ( B ． 8) d s 0t = ∫ ρi j( s ) 5 2 － ( γ i + γ j ) ( t － s )ij( t) 槡v i( s) v j( s ) × ( t － s) e ( B ． 9)证毕．d s 0对式( B ． 3) –( B ． 9) 应用伊藤定理进行微分即可得式( 21) –式( 27) ．命题得证．。
跳—扩散模型一种新的参数估计方法及应用
跳—扩散模型一种新的参数估计方法及应用
跳—扩散模型是一种用于描述金融市场中价格波动的模型，它结合了跳跃过程和扩散过程两种因素，能够更准确地捕捉金融市场中的非线性特征和极端事件。
然而，该模型的参数估计一直是一个具有挑战性的问题。
本文提出了一种新的参数估计方法，并在实际数据中进行了应用。
传统的参数估计方法通常基于最大似然估计或贝叶斯方法，但由于跳—扩散模型的非线性特征，这些方法往往难以有效地估计参数。
因此，本文引入了一种基于粒子群优化算法的参数估计方法。
该算法通过模拟粒子在参数空间中的搜索过程，寻找最优的参数组合，从而实现对跳—扩散模型参数的估计。
为了验证该方法的有效性，本文选择了某个股票的日收益率数据作为实证研究对象。
首先，利用传统的参数估计方法得到初始参数值，并将其作为粒子群优化算法的初始解。
然后，通过迭代更新粒子的位置和速度，最终得到最优的参数估计结果。
实证结果表明，基于粒子群优化算法的参数估计方法相比传统方法具有更高的准确性和稳定性。
通过与实际数据的比较，我们发现，该方法能够更好地拟合实际的价格波动情况，并能够更准确地预测金融市场中的极端事件。
此外，本文还探讨了跳—扩散模型在金融风险管理中的应用。
通过对模型参数的估计，我们可以计算出金融资产的价值-at-risk （VaR）和条件价值-at-risk（CVaR），从而为投资者提供更准确的风险度量和风险控制策略。
总之，本文提出了一种基于粒子群优化算法的跳—扩散模型参数估计方法，并应用于实际数据中。
实证结果表明该方法在参数估计和风险管理方面具有较好的性能。
未来，我们将进一步完善该方法，并探索其在其他金融领域的应用。
跳跃扩散股价的最优投资组合选择
跳跃扩散股价的最优投资组合选择
郭文旌
【期刊名称】《控制理论与应用》
【年(卷),期】2005(022)002
【摘要】假定股票价格服从跳跃扩散过程.在传统均值-方差组合投资模型基础上,最大化最终收益的期望及最小化最终财富的方差.引进一个随机线性二次最优控制问题作为原问题的近似问题.证明了一个状态为跳跃扩散过程的一般最优控制问题的验证性定理.应用验证性定理求解HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程得到了原问题的最优策略.最后还给出了原问题有效前沿的表达式.
【总页数】6页(P171-176)
【作者】郭文旌
【作者单位】南京财经大学,金融学院,江苏,南京,210046
【正文语种】中文
【中图分类】O221
【相关文献】
1.跳跃-扩散下利率不等的动态投资组合选择 [J], 赵宁宁;刘宣会
2.跳扩散环境下红利支付对不确定厌恶投资者最优投资组合选择的影响 [J], 梁勇;费为银;方和远;刘鹏
3.一类跳跃扩散型股价过程组欧式未定权益定价 [J], 林建忠;叶中行
4.在跳跃扩散模型下带延迟和错误定价的超额损失再保险和投资的最优化问题 [J],
黄晴; 马世霞; 龚晓琴
5.跳跃扩散过程下企业的最优投资策略 [J], 刘彦云;胡支军
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作者简介 : 赵静娴 ( 1981- ) , 女 , 天津人 , 天津大学管理学院硕士生 , 主要从事金融工程与金融管理研究 .
2005年第 4 期
赵静娴, 等 : H JM 框架下服从跳跃扩散过程的利率模型
t
其微分形式为: ln P ( t, T ) = r1 dt T t T t
( t, s )d sd t -
(t , s) dsdW t T
t
( t, s) d sdJ t = [ rt + ( 6)
f(t , T) = f(0 ,T ) +
t 0
0 t
( u, T )du + (, T ) 表示时刻 T 到期的债券在 t 时的 价格, f ( t, T )表示 t 时刻的瞬时远期利率则: P ( t, T ) = e T f( t , s)d s t
=t 0 u T
f(0 , s) d s -
0
(u, s) dsdW u t t 0 s
0 s 0 t
u
( u, s) dsdJ u
0
f( 0 , s)d s ( u, s) dsdW u -
相应跳跃的波动函数。 且假设跳跃的发生及大小与扩散过程无关。
(u, s) dsdu t 0 u T
( u, s) d sdJu
T
运用诸如因素分析等统计技术 , 从历史数据中可 估算出 ( t, T ) 和 ( t , T )的函数形式。这一模型 在 HJ M 框架下引入了随机跳跃, 从而更好地描述 了远期利率变动的行为。对式 ( 2 ) 中的变量 t ,从 时刻 0 到时刻 t进行积分, 得到积分形式:
A(t , T ) ] + S ( t, T )dW t + D ( t, T ) dJ t 其中: A ( t , T) = T t t
( t, s )d s , S(t , T) =
T
( u, T ) dW u +
0
其中, 第一项是初始远期利率; 第二项取决于
( t, s) d s , D ( t, T ) = -
赵静娴 杨宝臣
( 天津大学 管理学院 , 天津 300072) 摘要 : 由于一些不可预测的随机事件的 影响 , 纯粹 的连续扩 散过程 难以正 确描述 利率变 动的行 为 。 因 此 , 在 HJ M 框 架下 , 给出 了服从跳 跃扩散 过程的 利率期 限结构 模型 , 进而推 导出我 国固定 收益市 场的债券 定价公 式 , 为投资者进行投资和风险管理提供帮助 。 关键词 : 随机跳跃 ; H J M 模型 ; 利率期限结构 中图分类号 : F 830. 49 文献标志码 : A 文章编号 : 1009- 3699( 2005) 04- 0018- 03
Interest Rate M odel of Jum p D iffusion P rocess under H J M F ra m es
ZHAO J ing xian, YANG B ao chen
( Schoo l o fM anag e m ent , T ianjin U nivers ity , T ianjin 300072 Ch ina)
,
f ( t, T ) = ( 1)
0
+
t 0
f (0 , s) ds +
0
( u, s) dud s +
s 0 0
ln P ( t, T ) T
(u, s) dW u ds +
( u, s)dJu ds ( 4 )
s
按照反映远期利率运动的跳跃 - 扩散过程来 描述利率期限结构的动态化, 把变量的变化过程 分解成纯的随机跳跃与布朗运动的叠加, 而且假 定跳跃部分与连续部分是相互独立的 , 故设定 : df ( t, T ) = 式中: dW t ( t, T ) 与 T) ( t, T ) d t + (t , T ) dJ t 标准维纳过程 ; dJ t ( t, T ) 漂 移 项 与 波 动 率; ( t, T )dW t + ( 2) 泊松过程 ; ( t,
19
型、 Cox、Ingerso ll和 Ross 模型 ) 首先对经济 变量 的动态过程作出具体的假定, 然后给定在这种假 定下利率期限结构所应遵循的变量方式。其缺点 是它们不能自动地适合目前的期限结构。无套利 模型 (如 H o、 Lee 模型和 H u ll和 W h ite模型 ) 则以 当前的利率期限结构作为输入变量 , 并相应为利 率衍生品定价 的一种方法。 1992 年 H eath , Jar row 和 M orton 提出了一种新方法对固定受益证券 及其衍生产品进行定价, 这是定价理论的一个突 破。与其他模型先模拟短期利率 , 再导出远期利 率的思路不同, H JM 模型先模 拟远期利率 , 所以 能方便地拟合期初的 收益曲线。 H J M 模 型的另 一个优点是该模型是无套利的。 本文将随机跳跃与 H J M 模型相结合, 在 H J M 框架下 , 研究包含随机跳跃的远期利率模型, 建立 我国固定收益市场服从跳跃 - 扩散过程的利率期 限结构基准模型: H J M - JUMP 模型, 并推导出债 券定价公式 , 为投资者进行投资和进行风险管理 提供帮助。
D (t , T) T t T u
2005 年第 4 期 f ( 0, s) ds (t , T)e [ ( t, T ) !
= exp {T t t 0 u
0
0
( t, T ) d s T
D( t , T)
∀( t ) ] d sdu ( u, s) dsdJ u }
t
T u
( u, s)d sd W u -
0
(u, s) dsdW u t t 0 u
0 t
t
( u, s) dsdJ u
+
t 0 u t
f (0 , s) ds + 0
( u, s) dsdu +
t t u T u t 0
(u, s) dsdW u +
T t 0
( u, s) d sdJu ( u, s)d sdu T
二、 HJ M J UM P 模型的推导
短期无风险利率 : r s = f ( s, s) = f ( 0 , s) +
s 0 s 0
( u, s)du + ( 5)
( u, s) dW u +
t
0
( u, s)dJ u
T
将式 ( 5) 代入式 ( 4) 得到 : lnP ( t , T) =
t 0 u T 0
rs d s t T u 0
0 到 t 时刻漂移项的累加; 第三项取决于波动率和 布朗运动在 0 到 t 时刻间的表现; 第四项取决于 跳跃的波动函数和泊松过程在 0 到 t 时刻间的表 现。
T
故 =T t 0 t
lnP ( t , T) = T t T
t
f ( t, s)d s
t 0 T
f(0 , s) d s -
t
( u, s)dud s t 0
-
三、 H JM JUMP 模型的应用步骤
在实务中使用 H J M 模型应采取以下步骤: ( 1) 设定波动率结构 ( t, T ) 和 ( t, T ) 对于跳跃部分由历史数据经验得出, 在不同 的金融市场中 , 存在着非常不同的跳跃行为。我 们大体可以分为两类 : 一类是宏观上的, 这类突发 信息对整个收益率曲线的影响大体上是一致的; 另一类 ∀ 稀有事件 #的作用则相对没有那么突出, 只是影响收益率曲线的某些部分。因此 , 我们在 实际中可以根据不同市场的具体情况来设定跳跃 波动 率。例 如 , 设 定 ( t, T ) = 1 或 ( t, T ) = e
0
风险中性过程: 令 dW t = ! ( t)d t+ d W t , dJ t = ∀( t ) d t+ d J, 其中 ! ( t ), ∀( t ) 分别为扩散和跳跃风险 的市场价格 , 则: 1 2 dP ( t, T ) = P ( t , T ) [ rt + A ( t, T ) + S ( t , T) + 2 D ( t, T ) ! ( t) S ( t , T ) + ∀( t) ( e - 1) ] d t + P ( t, T )
(u, s) dW u ds T t
t t T
( u, s) dJ u d s ( u, s)dud s -
=t 0 t T
f(0 , s) d s -
0
t t
T t
(u, s) dsdW u T t
0 T u t
( u, s) dsdJ u ( u, s)d sdu T
=t 0 t T
0
f(0 , s) d s -
Abstract : Due to som e unexpected stochastic events , the pure contin uous diffu sio n process is unable to de scrib e th e interest rate behav ior exact ly. Th is article g ives a ter m structure of interest rates m odel w hich sub m its to jump d iffusion process under the H J M fram es . The for m ula o f bond pr ic in g in the fixed incom e m arke t has been deduced and presented to a id investm ent and risk m anagem en. t K ey w ord s : stochast ic jum p ; HJ M m ode;l ter m structure of interest rate 上对扩散模型的性质研究已比较充分 , 其微观经 济学基础也十分牢固 , 因此已经成为该领域理论 研究的主流模型。但金融市场自身的复杂性决定 了仅仅用布朗运动来描述是不完全的。布朗运动 的样本道路是连续的 , 这意味着用布朗运动描述 的变量的变化过程是连续且密集发生的, 不会有 跳跃或不连续的情况发生。但从金融市场发展的 历史来看, 利率、 股价等变量的连续性经常会被一 些不可预测的随机事件破坏, 例如 , 金融危机、 股 市崩盘等重大的消息。这些事件发生的频率相当 小 , 因此称之为稀有事件。为了在模型中充分反 映稀有事件的影响 , 可以把变量的变化过程分解 成纯的随机跳跃与布朗运动的叠加 , 而且假定跳 跃部分与连续部分是相互独立的。因此 , 复合的 跳跃 扩散过程能更好地解释利率等变量的变化 过程。 常见的随机利率期限结构模型包括均衡模型 和无套利模型两大类。均衡模型 ( 如 Vasicek 模