《1.3.1 单调性》课件1-优质公开课-苏教选修2-2精品
高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章1.31.3.1单调性Word版含解析
高中数学“兀n 審料21 已知函数 y i = x , y 2= x 2, y 3=-.X问题1:试作出上述三个函数的图象. 提示：图象为问题2:试根据上述图象说明函数的单调性. 提示：函数y i = x 在R 上为增函数，y 2= x 2在(一8, 0)上为减函数，在(0,+^ )上为增函数，1 y 3= 一在(一8, 0), (0, )上为减函数. x问题3:判断它们导函数的正负.1 提示：yj = 1>0, y 2‘= 2x ,当 x>0 时，y 2‘ >0,当 x<0 时，y <0, y 3‘=— ~2<o.x问题4:试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.提示：当f ' (x)>0时，f(x)为增函数，当f ' (x)<0时，f(x)为减函数.一般地，在某区间上函数 y = f(x)的单调性与导数有如下关系：导数 函数的单调性 f ' (x)>0 f(x)为该区间上的增函数 f ' (x)<0f(x)为该区间上的减函数上述结论可以用下图来直观理解.导数在研究函数中的应用-新知无师自通[对应学生用书P13]［归纳-升华・领悟112f (x)>O(f (x)<0) f(x)()f (x)f(x)f(x) x 3( )f (x)3x 2f (0)f (x)>0.[1](1)y ax 5 1(a>0)(2)y a x xa (a>0a 1)[ ][ ](1) y5ax 4 a>0y 0 Ry ax 5 1 R(2)ya：xln a ax|n a( x)(a x a x )in aa>1In a>0 a x xa >0[ P14]y >0 Ry a x xaR0<a<1In a<0 a x a x >0y <0 Ry a x xaR[ ]X ix2X 1<X 2f(x 1) f(X 2)yO ax bx高缺爵点题组化.名师一点就通(1)f (x) f (x)f(x) (a b)(a b)高中数学1 •下列函数中，在区间(一1,1)上是减函数的有__________① y= 2—3X2；② y= In x；③:④ y= sin x.解析：显然，函数y= 2—3x2在区间(一1,1)上是不单调的；函数y= In x的定义域为(0,+^ )，不满足题目要求；1—1对于函数y=匚^,其导数y'= --p <0,且函数在区间(—1,1)上有意乂, 所以函数y 1=七在区间(一1,1)上是减函数;x —2函数y= sin x在［—n,彳上是增函数，所以函数y= sin x在区间(—1,1)上也是增函数.答案：③2•证明：函数y= In x+ x在其定义域内为增函数.证明：显然函数的定义域为{x|x>0},1又f f (x) = (In x+ x) '= 1+ 1,x当x>0 时，f' (x)>1>0 ,故y = In x+ x在其定义域内为增函数.3.判断y= ax3—1(a € R)在(— 3,+^ )上的单调性.解：因为y'= 3ax2，又x2>0.(1)当a>0时，y' > 0,函数在R上是增函数；⑵当a<0时，y' < 0,函数在R上是减函数；(3)当a = 0时，y'= 0,函数在R上不具备单调性.(1)y= x3—2x2+ x；(2)f(x) = 3x2—2In x.［思路点拨］先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f' (x)>0, f' (x)<0 ,并与定义域求交集从而得到相应的单调区间.［精解详析］(1)y'= 3x2—4x+ 1.令3/—4x+ 1>0 ,解得x>1 或x<33因此，y= x3—2x2+ x的单调递增区间为(1,+3 ), —^, .再令3/ —4x+ 1<0,解得忘<1.3高中数学(2)y x 3 2x 2f (x) 6x (03x 2 1 x (x)<0 f (x)>02吟>0x'i 3x>0x>*.f (x)<0 1 -<0x<_3 3 0<x 今 x>0f(x)(1)0<x<#专丿.(1)f(x)3)(1f(x)2x 4ln xf(x)f(x)(0(x)>0 ff (x) 2x 2x 2x2x 4f (x)>0 x>0f(x) f(x) f (x)>0 1 x> ex 2 x 2>0f(x)xln x xln x(x>0)In x 1>0x< f (x)In x> 1x>2 (2In x 11.高中数学即函数f(x)= xln x 的单调递增区间为 1,+s .答案：2，+^ /In x + k6.已知函数f(x) =-x (k 为常数，e = 2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y = f(x)在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值； ⑵求f(x)的单调区间.卄, In x + k解：(1)由 f(x)=—,由于曲线y = f(x)在(1, f(1))处的切线与x 轴平行, 所以f '⑴=0，因此k = 1.1(2)由(1)得 f ' (x) = x-x (1 — x — xln x), x € (0,+^ ), 令 h(x) = 1 — x — xln x , x € (0,+^ ), 当 x € (0,1)时，h(x)>0;当 x € (1,+s )时，h(x)<0. 又 e x >0，所以当 x € (0,1)时，f ' (x)>0 ; 当 x € (1 ,+^ )时，f ' (x)<0. 因此f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1 , +m).［例3］已知函数f(x)= x 2 + a (x z 0,常数a € R ).若函数f(x)在x € ［2 , +^ )上是增函数,x 求a 的取值范围.［思路点拨］ 成立问题求解答本题可先对函数求导， 再将问题转化为f ' (x) > 0在x € ［2 , +8 )上恒［精解详析］ 3 a 2x — af ' (x) = 2x — 2= 2 .x x要使f(x)在[2 ,+^ )上是增函数， 则f ' (x)>0在x € [2 ,+s )上恒成立, 2x 3 — a即一7 >0在x € [2 ,+s )上恒成立. ••• x 2>0,・.2x 3 — a >0,••• a w 2x 3在 x € [2 ,+s )上恒成立.得 f (x)= 1 — kx — xln xxxex € (0,(2x)min .3x [2) y2x 33 (2x)min 16a 16・2x 3 16a 16 f (x) ------------------- 2— o (x [2X aa 16.[ ](1) f(x) (a b)f(x) (a b) f(x) (a b)))(a b) f (x) 0f (x)0 (a b)f(x) f(x )max f(x)f(x )min .f(x) x 3 mx 2 m 2 f(x) x 3 mx 2 f (x)3x 2 2mx.(0,3)f (x) 0 x 0 2 3m 3f(x)f(x)9 2.如2)2 x 3m(0,3)bln x (1f (x) (x 2)-入1] (1 (x) x(x 2) x 2 2x(x(1))f(x) 2ax x 2x (0,1] f(x) (0,1]b x(x 2) x (1 1)baf (x)2a $xf(x) (0,1] 1 f (x)0 a ix (0,1]x高中数学1而g(x )= -1在(o,i ］上单调递增，X 二 g (X )max = g(1)=— 1，二 a >— 1. 2当 a =— 1 时，f ' (x) = — 2 + x s . X对 x € (0,1］也有 f '(X )》0.••• a =— 1时，f(x)在(0,1］上为增函数. •••综上，f(x)在(0,1］上为增函数， a 的取值范围是［—1,+^ ).［方法*规律…卜结］ -----------------------------1•在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程 中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间. 3•如果函数在某个区间内恒有f ' (x)= 0,则f(x)为常数函数.丽.7.凉益 W 赞注或委萼诞 ［对应课时跟踪训练(六)］一、填空题1.函数y = x 3— x 4 5— 40x + 80的增区间为 _________ ，减区间为 _________ 解析：y '= 3x 6 7 8 9— 2x — 40= (3x + 10)(x — 4), 10由 y ' >0,得 x>4 或 x< —10;由 y ' 3解析：令 f (x)= ——<0，解得 0<x<e , ln x 又因为函数f(x)的定义域为(0,1) U (1 , +O ),所以函数f(x)=产的单调递减区间是(0,1), (1, e). ln x 答案：(0,1), (1, e) 3.函数y = 1x 2— ln x 的单调减区间为 __________ .1解析：y '= x — 一，由 y ' <0,得 x<— 1 或 0<x<1.x<0,得—10<x<4.所以函数的单调增区间为 一 OO,10和(4,+O )，单调减区间为晋，4.答案: 一OO,,+O )1 —>x. x>00<x<1.x(0,1)6(1) f(x) x 4 2x 23(2) f(x) sin x(1 cos x)(0< x<(1) f(x) R . f (x) 4x 3 4x 4x(x 21) 4x(x 1)(x1)f (x)>04x(x 1)(x 1)>01<x<0x>1f(x)(1,0) (1)f (x)<04x(x 1)(x 1)<0.x< 10<x<1.x>0 0<x<1.(0,1)y厂-1 0 1Xf(x)y f (x)y f(x)f(x) (0 )f(x)>xf (x)x 'ffj f(x)<0(X)号)(x) xf (：2 f (x)<0.(0,1)④(x) (0)x高中数学所以函数f(x)的单调递减区间为(— g,— 1)和(0,1).2(2)f ' (x) = cos x(1 + cos x) + sin x( — sin x) = 2cos x + cos x — 1 = (2cos x — 1)(cos x + 1). ■/ 0<x< n, ••• cos x + 1>0,由 f '(x )>o 得 o<x<n ；由f ' (x)<0得n <x< n ，故函数f(x)的单调增区间为［0，3单调减区间为 £ n j.7.设函数 f(x) = ax — 2 — In x(a € R ).(1)若f(x)在点(e , f(e))处的切线为x — ey — 2e = 0,求a 的值;⑵求f(x)的单调区间.解：(1) ■/ f(x) = ax — 2 — In x(x > 0),1 • f ' (x)= a — - x 又f(x)在点(e , f(e))处的切线为x — ey — 2e = 0,• f ' (e)= a - 1 — 1 e e ‘故a =- e1 ax — 1(2)由(1)知：f ' (x) = a — =厂(x > 0),当a w 0时，f ' (x) v 0在(0,+g )上恒成立,• f(x)在(0，+g )上是单调减函数.1当 a >0 时，令 f ' (x)= 0 解得：x =-, a当x 变化时，f ' 0 (0, 1 1 a £ ,+Tf ' (x) 一 0 +f(x)a 上是单调增函数.由表可知：f(x)在0, 1上是单调减函数，在综上所述：当a < 0时，f(x)的单调减区间为(0,+g );f(x) (6 ) f (x) 0 (6 )a x 1. x 1>7 a 7.a 5 a 7.2.函数f(x)=烈的单调递减区间是In x — 11 3 1 2ax —1x 当a >0时，f(x)的单调减区间为 单调增区间为 + g&若函数f(x) = 3x3—2ax1 2+ (a —1)x在区间(1,4)上单调递减，在区间(6,+g )上单调递增，试求实数a的取值范围.解：f' (x) = x2—ax+ (a—1)，因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f' (x)w 0在(1,4)上恒成立，即a(x—1)>x2—1在(1,4)上恒成立，所以a>x+ 1.因为2<x + 1<5，所以a>5.。
苏教版高二数学选修2-2 1.3.1 单调性 课件(33张)
第1章 导数及其应用
2.若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是___①_____．(填 序号)
解析：函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增 函数，即在区间[a，b]上各点处切线的斜率k是递增的． 由图知，①符合条件，注意③中f′(x)＝k为常数．
(3)设 g(x)＝xf′(x)，其中 f′(x)为 f(x)的导函数，证明：对任
意 x＞0，g(x)＜1＋e－2.
栏目 导引
第1章 导数及其应用
[解] (1)由 f(x)＝ln xe＋x k， 得 f′(x)＝1－kxx－exxln x ，x∈(0，＋∞).2 分 由于曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与 x 轴平行， 所以 f′(1)＝0，因此 k＝1.4 分 (2)由(1)得 f′(x)＝x1ex(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)． 令 h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，5 分 当 x∈(0，1)时，h(x)＞0；当 x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0. 又 ex＞0，所以当 x∈(0，1)时，f′(x)＞0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋ ∞) .8 分
栏目 导引
(2)函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－2x＝2·3x2x－1. 令 f′(x)>0，即 2·3x2x－1>0， 解得－ 33<x<0 或 x> 33. 又∵x>0，∴x> 33；
第1章 导数及其应用
栏目 导引
令
f′(x)<0，即
3x2－1 2· x <0.
苏教版选修2-2高中数学1.3.1《单调性》ppt课件
x＜2，函数的单调递减区间为(1,2)．
(2)函数的定义域为{x|x≠0}， f′(x)＝x＋px′＝1－xp2＝x2x－2 p＝x12(x＋ p)(x－ p)． 令 f′(x)＞0，则x12(x＋ p)·(x－ p)＞0， 解得 x＜－ p或 x＞ p. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ p)和( p，＋∞)． 令 f′(x)＜0，则x12(x＋ p)(x－ p)＜0， ∴－ p＜x＜ p，且 x≠0， ∴函数 f(x)的递减区间为(－ p，0)和(0， p)．
(2 分)
要使 f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则 f′(x)≥0 在 x∈[2，＋∞)上恒成立，
即2x3x－2 a≥0 在 x∈[2，＋∞)上恒成立．
(6 分)
∵x2＞0，∴2x3－a≥0，即 a≤2x3 在 x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3 是单调递增的．
题型三 已知单调性求参数的取值范围 【例 3】 (14 分)已知函数 f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数 a∈R)．若
函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求 a 的取值范 围．
审题指导 可先对函数求导，再将问题转化为
f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立问题求解．
[规范解答] f′(x)＝2x－xa2＝2x3x－2 a
证明
f′(x)＝xcos
x－sin x2
x，又
x∈2π，π，
则 cos x＜0，∴xcos x－sin x＜0，
∴f′(x)＜0，∴f(x)在π2，π上是减函数．
题型二 求函数的单调区间 【例 2】 求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x；(2)y＝21x.
苏教版高中数学选修(2-2)课件1.3.1.导数在研究函数中的应用——单调性
y f ( x) 如果在某区间上单调递增，那么在在该区间上
必有吗？
y
f ( x) 0
y=x3
【结论】 f(x)在(a,b)内单调递增
f ( x ) 0 f ( x ) 0
O
x
f(x)在(a,b)内单调递减
知识生成：
函数f(x)在区间(a,b)内：
f ( x ) 0 f(x)在(a,b)内单调递增 f ( x ) 0 f(x)在(a,b)内单调递减 f ( x ) 0 f ( x ) 0
[ , ] f ( x) sin x 变式：证明函数在区间上是单调增函数 2 2
小结：利用导数求单调区间的步骤： ①.确定函数的定义域 ②.求函数的导数 ③.令f’(x)>0（或者f’(x)<0）,解不等式 ④.写出自变量x的取值范围，即函数的单调区间
课堂练习1：证明函数在定义域上是单调减函数 y ln x
拓展与研究：如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)
注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的
水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
h
h
h
O
(A)
t
O (B)
t
O
(C)
t
O
(D)
t
• 作业：P342.
区间上是减函数？
y
f ( x) x 2 4 x 3 x2 4x 4 1 ( x 2) 2 1
o 1
2
3 x
(2,) 在区间上是增函数 ; (,2) 在区间上是减函数
图像法
问题情境：
f ( x) (a,b)上是减函数， 证明：函数在区间
高中数学 1.3.1《函数的单调性与导数》课件 苏教版选修2-2
2
且x≠1.
∵1为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(5 －∞，0)，
2
( ，+∞)
5
精选ppt
（2）求 f (x) ln
1 x2 1 x2
的单调递增区间
• 解：由函数的定义域可知 1x2 0，即1x1
又
f(x)ln1x21[ln(1x2)ln(1x2)] 1x2 2
• 所以 f(x)1 2(1 2x x2 1 2 x x2)1 xx21 xx2令
当2 x3时，f '(x)0; 当x3或x2时，f '(x)0; 当x 3或x 2时，f '(x) 0.
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A
y f (x)
B
精选ppt
o 2 3x
思考：证明函数f(x)=
1 x
在(0，+∞)
上是减函数
• 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数
x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.
• 解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)
• =x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)
• 令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜ 2 .
25
• •
∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，5 )
令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变. 当x=x0时, f′(x0)=0,且当x＜x0与x＞x0时
f′(x0)异号，则函数在精选该ppt 点单调性发生改变.
例3、 求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π] 的单调区间.
高中数学选修2-2优质课件：1.3.1 函数的单调性与导数
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1＜x2的前提下，比 较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1) 与f(x2)的大小并不很容易.如何利用导数来判断函数的单调性？ 答 根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与 单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函 数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零， 则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减.
1234
象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
1234
解析 由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即 函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)为减 函数；当x＞2时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数.观察 选项易知D正确. 答案 D
3.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，
跟踪演练 1 证明：函数 f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f(x)＝lnxx，
∴f′(x)＝x·1x－x2ln
x 1－ln ＝ x2
x .
又0<x<e，
∴ln x<ln e＝1.
1－ln x ∴f′(x)＝ x2 >0，
故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数.
要点二 利用导数求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36 x＋1； 解 f′(x)＝ 6x2＋6x－36， 由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0， 解得x< －3或x>2； 由f′(x)＜0解得－3<x<2. 故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 减区间是(－3,2).
高中数学选修2-2课件1.3.1《函数的单调性与导数》课件
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是 增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 单调性课件 苏教选修22苏教高二选修22数学课件
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[类题通法] (1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不 等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间． (2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、 “和”等连接，而不能写成并集的形式． (3)要特别注意函数的定义域．
答案：(－∞，2)
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2．已知函数
f(x)＝ln
x＋k ex (k
为常数，e＝2.718
28…是自然
对数的底数)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行．
(1)求 k 的值；
(2)求 f(x)的单调区间． 解：(1)由 f(x)＝ln xe＋x k，
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[针对训练] 1．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递减区间是________．
解析：函数 f(x)＝(x－3)ex 的导数为 f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ 1·ex＋(x－3)·ex＝(x－2)·ex，由函数导数与函数单调性关系得： 当 f′(x)＜0 时，函数 f(x)单调递减，此时由不等式 f′(x)＝(x －2)·ex＜0 解得 x＜2.
12/12/2021
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考点三 已知函数的单调性求参数 [典例] 若函数 f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1 在区间(1,4) 内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数 a 的取值范围． [解] [法一 直接法] f′(x)＝x2－ax＋a－1，令 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1. 当 a－1≤1，即 a≤2 时，函数 f(x)在(1，＋∞)内单调递增， 不合题意．
高中数第一章导数及其应用1.3.1单调性课件苏教版选修22
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 函数的单调性与其导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
函数的单调性 单调递增 单调递减 常函数
自主学习
思考 以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下， 比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2) 的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？ 答案 根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调 性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上 升的状态，即函数单调递增； 如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态， 即函数单调递减.
解析答案
题型二 利用导数确定函数的大致图象 例2 画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象. 解 f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2). 由f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3， ∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞). 由f′(x)＜0得－2＜x＜3， ∴函数f(x)的递减区间是(－2,3). 由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16. ∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致 图象如图所示(答案不唯一).
解析答案
12345
3.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围 是 [1，＋∞) . 解析 ∵f′(x)＝3x2－2ax－1， 且f(x)在(0,1)内单调递减， ∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立， ∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
《1.3.1 单调性》课件1-优质公开课-苏教选修2-2精品
析
学
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难点：理解为何将导数与函数单调性联系起来，学生在 堂
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高一已经掌握了函数单调性的定义，并能用定义判定在给定
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标
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区间上函数的单调性．通过本节课的学习，应使学生体验到，
自
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主 利用导数判断单调性开拓了另一种解题的途径，它要比用定 时
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义判断简捷得多(尤其对于三次多项式函数，或图象难以画出
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教
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析
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教 学
1．导函数图象在 x 轴上方的区间为原函数的单调增__区 当
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间，导函数图象在 x 轴下方的区间为原函数的单调_减__区间．
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2．一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较 标
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大，那么函数在这个范围内_变__化__得__快___，这时，函数的图象
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1．3 导数在研究函数中的应用
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分
误
析
1．3.1 单调性
辨 析
教
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当 堂
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课
●三维目标
前
自 主
1．知识与技能
课 时
导
作
学
(1)理解利用导数判断函数单调性的原理，掌握判断函数单 业
苏教版高中数学选修2-2课件 1.3.1 单调性课件3 1
研一研·问题探究、课堂更高效
例 3
1.3.1
如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入
下面四种底面积相同的容器中， 请分别找出与各容器对应的 水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
解
(1)→B
(2)→A
(3)→D
(4)→C
小结
通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x(ex－1)－x2； (2)f(x)＝3x2－2ln x.
1.3.1
解 (1)f′(x)＝2(ex－1＋xex－x) ＝2(ex－1)(x＋1).
当 x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当 x∈(－1,0)时，f′(x)<0； 当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故 f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增， 在(－1,0)上单调递减.
1.3.1
2 . 2
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). exx－2－ex exx－3 f′(x)＝ ＝ . x－22 x－22
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以 ex>0，(x－2)2>0. 由 f′(x)>0 得 x>3， 所以函数 f(x)的单调增区间为(3，＋∞)；
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 求下列函数的单调区间： x e (1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝ ； x－2 (3)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π).
解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞). 1 2x－1 2x＋1 f′(x)＝2x－ ＝ . x x
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易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1．一般地，在某区间上函数 y＝f(x)的单调性与导数有 如下关系：
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函数的单调性与导数符号的关系
【问题导思】 1 试在 其导数大于 0 吗？
1 1 【提示】 大于 0.由于 y′＝1－ 2＞0(x＞1)，y＝x＋ 在 x x (1，＋∞)上是增函数．
导数 f′(x)＞0
函数的单调性
增函数 f(x)为该区间上的_______
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f′(x)＜0 f(x)为该区间上的________ 减函数 2.如果在区间(a，b)内恒有 f′(x)＝0，则 y＝f(x)在这个区
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常数函数 ． 间内是__________
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●重点难点 重点：函数单调性的判定和单调区间的求法． 难点：理解为何将导数与函数单调性联系起来，学生在 高一已经掌握了函数单调性的定义，并能用定义判定在给定 区间上函数的单调性． 通过本节课的学习， 应使学生体验到， 利用导数判断单调性开拓了另一种解题的途径，它要比用定 义判断简捷得多(尤其对于三次多项式函数， 或图象难以画出 的函数而言)，充分展示了导数解决问题的优越性．
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●教学流程设计
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●教学建议 让学生“动起来”，为突出学生学习的主体地位，运用 “问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方 式．通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活 动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培 养积极探索的科学精神．采用多媒体课件等辅助手段以加大 课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观 化、形象化，以促进学生的理解．
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1．3
导数在研究函数中的应用 1．3.1 单调性
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• 教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解利用导数判断函数单调性的原理，掌握判断函数单 调性的方法及步骤． (2)能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间．
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演示结束
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(3)能解决含参数函数的单调性问题以及掌握函数单调性 与导数关系逆推． 2．过程与方法 (1)通过问题的探究，体会知识的类比迁移．以已知探究求 未知、从特殊到一般的数学思想方法． (2)在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力，渗 透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想． 3．情感、态度与价值观 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总 结， 培养学生的探索精神， 引导学生养成自主学习的学习习惯．
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课 1.利用导数研究函数的单调性(重点)． 标 2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求 解 解(难点)． 读 3．由单调性求参数的取值范围(易错点).
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导数与函数图象间的关系
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【问题导思】
如图是 y＝f′(x)的图象，你能判断 y＝f(x)的增区间 吗？
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