最新数学必修4综合测试题(含答案)教学教材
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高中数学必修4综合测试题、选择题（50 分）1 •将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是B.——3A. 1或一1 B . C.-6D .——62 •已知角的终边过点P 4m,3m ，m 0，贝U 2 sin COS 的值是（8.设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki —4j,若a丄b,则实数k的值为（)A. —6B. —3 C . 3 D . 69.函数y 3sin(―43x) 3cos(—43x）的最小正周期为( )A.乙3B.-3C . 8D . 43、若点P(sin ）在第一象限,则在［0,2 ）内的取值范围是（A.(2,34）U（，：） B.3 5 3、C.（「-)U,)D24 4 25 口严盲) (-，3-)U(3-,)2 4 4(A) —(B)- (C) —6435.已知函数y Asin( x ) B的一部分图象如1右图所示，如果A0, 0,| | -, 则( )2A. A4B. 1C.4 …,则tan 66 .已知x( ,0), cos x2x25( )A.B. 7C.24 24247D. 247n②图象关于直线x=n寸称；③在［—n, n上是增函数”的一个函数是（）x n n A. y= sin(尹 6) B. y= cos(2x + 3)nC. y = si n(2x —§)D. y= cos(2x—6）4.若|a| 2 , |b| 2 且(a b ）丄a ，贝U a与b的夹角是7.同时具有以下性质：“①最小正周期实(D) 510. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为正方形的面积是丄则sin225’24A. 1B. ——2577 C. D . -------252512.已知|a|=3,|b|=5,且向量a在向量b方向上的投影为12，贝卩a b= _________________ 513. 已知向量OP （2,1）,OA （1,7）,OB （5,1）,设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么XA XB的最小值是______________________14. 给出下列6种图像变换方法：一、一一1 一、①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的：②图像上所有点的纵坐标不变，横坐22 标伸长到原来的2倍；③图像向右平移—个单位；④图像向左平移—个单位；⑤图像向右平移—3 3 32个单位；⑥图像向左平移个单位。
必修四数学试题及答案
必修四数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(1)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则其公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 函数y = sinx在x = π/2处的导数为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C4. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B5. 圆的方程为(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16，则圆心坐标为：A. (3, -2)B. (-3, 2)C. (-3, -2)D. (3, 2)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）6. 若直线y = 2x + 3与x轴交于点A，与y轴交于点B，则AB的长度为______。
答案：57. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x) = ______。
答案：3x^2 - 12x + 118. 计算复数z = 2 + 3i的模长|z|为______。
答案：√139. 已知向量a = (1, 2)，b = (-3, 1)，则向量a与向量b的点积a·b为______。
答案：-1三、解答题（每题15分，共30分）10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，求f(x)的单调区间。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x。
令f'(x) > 0，解得x > 2或x < 0，所以函数f(x)在(-∞, 0)和(2, +∞)上单调递增。
令f'(x) < 0，解得0 < x < 2，所以函数f(x)在(0, 2)上单调递减。
11. 已知圆C的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9，求圆C的切线方程。
最新新人教A版高中数学必修四 第一章 解三角形(综合型训练)测试题(含答案解析)
第一章 解三角形综合型训练一、选择题1． 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ） A ．1:2:3 B ． 3:2:1 C ． 2D ． 22． 在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -地值（ ） A ． 大于零 B ． 小于零 C ． 等于零 D ． 不能确定3． 在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ） A ． A b sin 2 B ． A b cos 2 C ． B b sin 2 D ． B b cos 2 4． 在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 地形状是（ ）A ． 直角三角形B ． 等边三角形C ． 不能确定D ． 等腰三角形5． 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ． 090 B ． 060 C ． 0135 D ． 01506． 在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角地余弦是（ ）A ． 51-B ． 61-C ． 71-D ． 81- 7． 在△ABC 中，若tan 2A B a b a b--=+，则△ABC 地形状是（ ）A ． 直角三角形B ． 等腰三角形C ． 等腰直角三角形D ． 等腰三角形或直角三角形 二、填空题1． 若在△ABC中，060,1,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_______．2． 若,A B 是锐角三角形地两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）．3． 在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________． 4． 在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 地形状是_________． 5． 在△ABC 中，若=+===A c b a 则226,2,3_________．6． 在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 地取值范围是_________． 三、解答题1． 在△ABC 中，120,,ABC A c b a S =>==V ，求c b ,．2． 在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >⋅⋅C B A ．3． 在△ABC 中，求证：2cos 2cos 2cos 4sin sin sin CB AC B A =++． 4． 在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证：1=+++ca b c b a ． 5． 在△ABC 中，若223coscos 222C A ba c +=，则求证：2a cb +=参考答案一、选择题1． C 12,,,::sin :sin :sin 263222A B C a b c A B C πππ======2． A ,A B A B ππ+<<-，且,A B π-都是锐角，sin sin()sin A B B π<-= 3． D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B ===4． D sin sin lg lg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A A A B C B C B C=== sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-=sin()0,B C B C-==，等腰三角形5． B 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=22222213,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-====6． C 2222cos 9,3c a b ab C c =+-==，B 为最大角，1cos 7B =- 7． D2cossinsin sin 22tan 2sin sin 2sin cos 22A B A BA B a b A B A B A Ba b A B +----===+-++，tan2tan ,tan 022tan 2A BA B A B A B ---==+，或tan 12A B+= 所以A B =或2A B π+= 二、填空题 1． 3392211sin 4,13,222ABCSbc A c c a a ∆==⨯====sin sin sin sin a b c aA B C A++===++2． > ,22A B A B ππ+>>-，即sin()2tan tan()2cos()2B A B B πππ->-=-cos 1sin tan B B B ==，1tan ,tan tan 1tan A A B B>> 3. 2 sin sin tan tan coscos B CB C B C+=+ sin cos cos sin sin()2sin 1cos cos sin sin 2B C B C B C AB C AA+++===4. 锐角三角形 C 为最大角，cos 0,C C >为锐角5． 060222231cos 22b c a A bc -+-====6．222222222222213,49,594a b c c a c b c c c c b a c ⎧⎧+>>⎪⎪+>+><<<<⎨⎨⎪⎪+>+>⎩⎩三、解答题 1．解：1sin 4,2ABCS bc A bc ∆===2222cos ,5ab c bc A b c =+-+=，而c b >所以4,1==c b2． 证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>->∴sin sin()2A B π>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A>∴sin sin sin sin sin sin cos cos cos ,1cos cos cos A B CA B C A B C A B C>> ∴1tan tan tan >⋅⋅C B A3． 证明：∵sin sin sin 2sin cos sin()22A B A BA B C A B +-++=++ 2sin cos 2sin cos 2222A B A B A B A B+-++=+2sin (cos cos )222A B A B A B+-+=+ 2cos 2cos cos 222C A B =⋅ 4cos cos cos 222A B C = ∴2cos 2cos 2cos 4sin sin sin CB AC B A =++ 4． 证明：要证1=+++ca bc b a ，只要证2221a acb bcab bc ac c +++=+++，即222ab c ab+-=而∵0120,A B +=∴060C =2222220cos ,2cos 602a b c C a b c ab abab+-=+-==∴原式成立．5． 证明：∵223coscos 222C A b a c +=∴1cos 1cos 3sin sin sin 222C A BA C ++⋅+⋅=即sin sin cos sin sin cos 3sin A A C C C A B +++= ∴sin sin sin()3sin A C A C B +++=即sin sin 2sin A C B +=，∴2a c b +=。
人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)
人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)高中数学必修4综合测试满分：150分时间：120分钟注意事项：客观题请在答题卡上用2B铅笔填涂，主观题请用黑色水笔书写在答题卡上。
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。
）1.sin300°的值为A。
-31 B。
3 C。
22 D。
1/22.角α的终边过点P(4,-3)，则cosα的值为A。
4 B。
-3 C。
2/5 D。
-4/53.cos25°cos35°-sin25°sin35°的值等于A。
3/11 B。
3/4 C。
2/11 D。
-2/114.对于非零向量AB，BC，AC，下列等式中一定不成立的是A。
AB+BC=AC B。
AB-AC=BCC。
AB-BC=BC D。
AB+BC=AC5.下列区间中，使函数y=sinx为增函数的是A。
[0,π] B。
[π,2π] C。
[-π/2,π/2] D。
[-π,0]6.已知tan(α-π/3)=1/√3，则tanα的值为A。
4/3 B。
-3/5 C。
-5/3 D。
-3/47.将函数y=sinx图象上所有的点向左平移π/3个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为A。
y=sin(2x+π/3) B。
y=sin(2x+2π/3)C。
y=sin(2x-π/3) D。
y=sin(2x-2π/3)8.在函数y=sinx、y=sin(2x+π/2)、y=cos(2x+π)中，最小正周期为π的函数的个数为（）A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个9.下列命题中，正确的是A。
|a|=|b|→a=b B。
|a|>|b|→a>bC。
|a|=0→a=0 D。
a=b→a∥b10.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如右图所示，此函数的解析式为y=2sin(2x-π/3)11.方程sin(πx)=x的解的个数是()A。
必修4数学试题及答案
必修4数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \(y = x^2\)B. \(y = x^3\)C. \(y = \sin x\)D. \(y = \cos x\)答案：C2. 已知函数\(f(x) = 2x + 1\)，则\(f(-1)\)的值为？A. 1B. -1C. 3D. -3答案：B3. 计算\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)的值是多少？A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{2}{3}\)D. \(\frac{3}{2}\)答案：A4. 以下哪个数列是等差数列？A. \(1, 2, 4, 8\)B. \(1, 3, 5, 7\)C. \(2, 4, 6, 8\)D. \(3, 6, 9, 12\)答案：B5. 已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)的两个根，则\(a + b\)的值为？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知\(\cos \theta = \frac{3}{5}\)，则\(\sin \theta\)的值为\(\_\_\_\_\)。
答案：\(\frac{4}{5}\)2. 函数\(y = x^2 - 6x + 5\)的顶点坐标为\(\_\_\_\_\)。
答案：\((3, -4)\)3. 等比数列\(1, 2, 4, \ldots\)的第5项为\(\_\_\_\_\)。
答案：164. 已知\(\tan \alpha = 2\)，则\(\sin \alpha\)的值为\(\_\_\_\_\)。
答案：\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)5. 函数\(y = \log_2 x\)的定义域为\(\_\_\_\_\)。
答案：\((0, +\infty)\)三、解答题（共60分）1. 解方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)。
高中数学 综合测试(含解析)新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题
必修第四册综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足2＋3i ＝z i(其中i 是虚数单位)，则z 的虚部为( B )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：2＋3i ＝z i ，∴z ＝2＋3i i ＝3－2i ，虚部为－2，故选B.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，A ＝π4，则B ＝( C )A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以222＝3sin B ，所以sin B ＝32， 又因为b >a ，所以B >A ，所以B ＝π3或2π3，故选C.3．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误的是( D )A ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nB ．若n ⊥α，n ∥m ，则m ⊥αC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，m∥α，则m⊥β解析：逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m⊥α，n∥α，则m⊥n，选项A正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若n⊥α，n∥m，则m⊥α，选项B正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m⊥α，m∥β，则平面β内存在直线l，满足l∥m，则l⊥α，然后利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，选项C正确；在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取平面α，β分别为平面ABCD，ADD1A1，直线m为棱B1C1.满足α⊥β，m∥α，但是不满足m⊥β，选项D错误．故选D.4．复数z＝－21＋3i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z ＝－21＋3i ＝－2(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝－2＋23i 1－3i 2 ＝－2＋23i 4＝－12＋32i ， 所以复数z 所对应的点为(－12，32)，它在第二象限，故选B.5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin A －sin B sin C ≥c －b a ＋b ，则( D )A ．A 的最大值为π6B ．A 的最小值为π6C ．A 的最大值为π3D ．A 的最小值为π3解析：由正弦定理得a －b c ≥c －b a ＋b，化简得b 2＋c 2－a 22bc ≤12，由余弦定理得cos A ≤12，故π3≤A <π，故选D.6．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，所有棱长均为3，P 是底面ABC 中心，则P A 1与平面ABC 所成角大小是( B ) A.5π12B.π3 C.π4D.π6解析：连接AP ，因为侧棱与底面垂直，所以∠A 1P A 即为P A 1与平面ABC 所成的角，因为P 是底面A 1B 1C 1中心，所以AP ＝23×32×3＝1，在Rt △AP A 1中，tan ∠AP A 1＝AA 1AP ＝3，∠AP A 1＝π3，所以P A 1与平面ABC 所成角大小为π3.故选B.7．设点P 是一个正四面体内的任意一点，则点P 到正四面体的各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于该四面体的( C )A ．棱长B ．斜高C ．高D ．两对棱间的距离解析：设正四面体的棱长为a ，∵P 是正四面体内的一点，∴正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为m ，n ，p ，q ，棱长为a 的正四面体的四个面的面积都是S ＝12×a ×a ×sin60°＝34a 2.又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的23，又高为a ×sin60°＝32a ， 故底面中心到底面顶点的距离都是33a .由此知顶点到底面的距离是 a 2－(33a )2＝63a . 此正四面体的体积是13×34a 2×63a ＝212a 3.∴212a 3＝13×34a 2(m ＋n ＋p ＋q )，解得m ＋n ＋p ＋q ＝63a .∴P 到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于四面体的高．故选C.8．已知a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且b ＝2,4－c 2＝(a －3c )a ，则sin A －2cos C 的取值X 围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 C ．(0，3) D ．(－1,0)解析：由题意得：b 2－c 2＝a 2－3ac ，即cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32.∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π6. sin A －2cos C ＝sin A －2cos(π－A －B )＝sin A ＋2cos(A ＋B )＝sin A ＋2cos A cos B －2sin A sin B ＝sin A ＋3cos A －sin A＝3cos A .∵△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π20<C ＝5π6－A <π2， 解得：π3<A <π2.∴cos A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴3cos A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32， 即sin A －2cos C 的取值X 围为(0，32)，故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知复数z 满足i 2k ＋1z ＝2＋i ，(k ∈Z )，则z 在复平面内对应的点可能位于( BD )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵i 2k ＋1z ＝2＋i ，∴z ＝2＋ii 2k ＋1， ∵i 1＝i 5＝…＝i ，i 3＝i 7＝…＝－i.当k 为奇数时，∴z ＝2＋ii 2k ＋1＝2＋i －i ＝(2＋i )i －i ×i＝－1＋2i ， 在复平面上对应的点为(－1,2)位于第二象限；当k 为偶数时，∴z ＝2＋i i2k ＋1＝2＋i i ＝(2＋i )i i ×i ＝1－2i ， 在复平面上对应的点为(1，－2)位于第四象限，故复数z 在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限．故选BD.10．下列所给的四个命题中，是真命题的为(ABD)A．两个共轭复数的模相等B．z∈R⇔z＝zC．|z1|＝|z2|⇔z1＝±z2D．|z|2＝z·z解析：对于A，设z＝a＋b i(a，b∈R)，其共轭复数为z＝a－b i，|z|＝|z|＝a2＋b2两个共轭复数的模相等，故A正确；对于B，z∈R⇔z＝z，故B正确；对于C，例如z1＝1＋i，z2＝2，满足|z1|＝|z2|但不满足z1＝±z2，故C错误．对于D，设z＝a＋b i(a，b∈R)，其共轭复数为z＝a－b i，此时，|z|2＝z·z＝a2＋b2，故D正确，故选ABD.11．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个说法成立的是(ACD)A．水的部分始终呈棱柱状B ．水面四边形EFGH 的面积不改变C ．棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行D ．当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值解析：A 中水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA 1B 1B 平行平面CC 1D 1D 即可判断A 正确；B 中水面四边形EFGH 的面积不改变；EF 是可以变化的，而EH 不变的，所以面积是改变的，B 是不正确的；C 中棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A 1D 1∥EH ，所以结论正确；D 中当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值，水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选ACD.12．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE 、DF 、EF 折起，使A 、B 、C 重合于点P .则下列结论正确的是( ABC )A ．PD ⊥EFB ．平面PDE ⊥平面PDFC ．二面角P -EF -D 的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心解析：对于A 选项，作出图形(如图)，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知△BEF 和△DEF 为等腰三角形，故PH ⊥EF ，DH ⊥EF ，所以EF ⊥平面PDH ，所以PD ⊥EF ，故A 正确；根据折起前后，可知PE ，PF ，PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE ⊥平面PDF ，故B 正确；根据A 选项可知∠PHD 为二面角P -EF -D 的平面角，设正方形边长为2，因此PE ＝PF ＝1，PH ＝22，DH ＝22－22＝322，PD ＝AD ＝2，由余弦定理得：cos ∠PHD ＝PH 2＋HD 2－PD 22PH ·HD＝13，故C 正确；由于PE ＝PF ≠PD ，故点P 在平面DEF 上的投影不是△DEF 的外心，即D 错误．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin B－a sin A ＝12c sin C, cos A ＝14，则b c 的值为3.解析：由正弦定理可得，b 2－a 2＝12c 2，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝14，消去a 2，得32c 22bc ＝3c 4b ＝14，所以b c ＝3.14．将若干水倒入底面半径为2 cm 的圆柱器皿中(底面水平放置)，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，则水面的高度是6cm.解析：由题意得水的体积为：24π，∵轴截面为正三角形， ∴设倒置圆锥形器皿中水面高度为3a ，底面半径为a ，∴13×πa 2×3a ＝24π，∴a 3＝243，∴33a 3＝216，∴3a ＝6.15．已知三棱锥A -BCD 中，F ，G 分别是AC ，AD 的中点，E 在线段AB 上，且AE ＝2EB ，平面EFG 将该三棱锥截成一个四面体和一个五面体，分别记该四面体和五面体的体积为V 1，V 2，则V 1V 2＝15；若分别记该四面体和五面体的表面积为S 1，S 2，则S 2>2S 1(填“>”“<”或“＝”)．解析：如图，设三棱锥A -BCD 的体积为V ，因为F ，G 分别是AC ，AD 的中点，E 在线段AB 上，且AE ＝2EB ，所以S △AGF ＝14S △ACD ，设B 到面ACD 的距离为h ，所以E 到面ACD的距离为2h 3，所以V 1＝14×23×V ＝V 6，V 2＝5V 6，所以V 1V 2＝15. 因为S △AEG ＝13S △ABC ，所以2S △AEG ＝S 四边形BCGE ，同理2S △AEF ＝S 四边形BDFE,2S △AGF ＝23S 四边形CDFG <S 四边形CDFG ，2S △EFG <S △EFG ＋S △BCD ，所以S 2>2S 1.16．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，若△ABC 的面积为33，则BC 解析：由题意，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，且面积为33，所以12AB ·AC sin A ＝12×3×4sin A ＝33， 解得sin A ＝32.又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3或A ＝2π3.当A ＝π3时，cos A ＝12，由余弦定理，可得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝32＋42－2×3×4×12＝13；当A ＝2π3时，cos A ＝－12，由余弦定理，可得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝32＋42－2×3×4×(－12)＝37.综上，BC 边的长度为13或37.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)设复数z ＝(2m 2－7m ＋3)＋(m 2－m －6)i ，问当实数m 取何值时：(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点在复平面的第四象限．解：(1)因为复数z ＝(2m 2－7m ＋3)＋(m 2－m －6)i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧ 2m 2－7m ＋3＝0，m 2－m －6≠0⇒m ＝12.(2)因为z 对应的点在复平面的第四象限，所以⎩⎨⎧ 2m 2－7m ＋3>0m 2－m －6<0⇒－2<m <12.18．(12分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b ，(1)求角A 的大小；(2)若a＝8，b＋c＝10，求△ABC的面积．解：(1)由2a sin B＝3b，利用正弦定理得：2sin A sin B＝3sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝3 2，又A为锐角，则A＝π3.(2)由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A，即64＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝100－3bc，∴bc＝12，又sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝3 3.19．(12分)已知z为复数，z＋2i和z2－i均为实数，其中i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(z＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，某某数a的取值X围．解：(1)由题意，设复数z＝x＋y i(x，y∈R)．因为z＋2i和z2－i均为实数，可得z＋2i＝x＋(y＋2)i∈R，所以y＋2＝0，即y＝－2.z 2－i ＝x＋y i2－i＝(x＋y i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(2x－y)＋(x＋2y)i5∈R，即x＋2y＝0，所以x＝4，所以复数z＝4－2i.(2)由(1)知复数z＝4－2i.因为复数(z＋a i)2＝(4－2i＋a i)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a－2)i对应的点在复平面位于第一象限，所以16－(a－2)2>0且8(a－2)>0，解得2<a<6.即实数a的取值X围是(2,6)．20．(12分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，BB1＝4，AB⊥BC，且AB＝BC＝4，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AM＝BN.(1)求证：无论M在何处，总有B1C⊥C1M；(2)求三棱锥B-MNB1体积的最大值．解：(1)证明：要证明无论M在何处，总有B1C⊥C1M，只需证明B1C⊥平面AC1B即可，∵BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，又AB⊥BC，BC∩B1B＝B，∴AB ⊥平面BCC 1B ，∴B 1C ⊥AB ，由题知四边形BCC 1B 1为正方形，∴B 1C ⊥BC 1，又AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面AC 1B ，原命题得证．(2)由三棱锥B -MNB 1的体积为：V 三棱锥B -MNB 1＝V 三棱锥B 1-BMN ＝13×4×12BM ·BN ＝23BM ·BN ≤23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BM ＋BN 22＝83， 当BM ＝BN ＝2时取等号，所以三棱锥B -MNB 1体积的最大值为83.21．(12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3b ＝3a cos C ＋3a sin C ，(1)求A 的大小；(2)若a ＝3，求b 2＋c 2的取值X 围．解：(1)由题意，在锐角△ABC 中，满足3b ＝3a cos C ＋3a sin C ，根据正弦定理，可得3sin B ＝3sin A cos C ＋3sin A sin C ，解得tan A ＝3，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由正弦定理，可得asin A＝bsin B＝csin C＝332＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(2－cos2B－cos2C)＝4－2cos2B－2cos2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝4－cos2B＋3sin2B＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2B－π6＋4，又由⎩⎪⎨⎪⎧0<B<π2，0<2π3－B<π2可得π6<B<π2，π6<2B－π6<5π6.所以1<2sin⎝⎛⎭⎪⎫2B－π6≤2，即5<b2＋c2≤6，所以b2＋c2的取值X围(5,6]．22．(12分)如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE 沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2)．G为AE中点．(1)求证：DG⊥平面ABCE；(2)求四棱锥D-ABCE的体积；(3)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为G为AE中点，AD＝DE＝2，所以DG⊥AE，因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，DG∩平面ADE，所以DG⊥平面ABCE.(2)在直角三角形ADE中，易求AE＝22，则DG＝AD·DEAE＝2，所以四棱锥D-ABCE的体积为V D-ABCE＝13×(1＋4)×22×2＝53 2.(3)存在．如图，过点C作CF∥AE交AB于点F，则AF FB＝1 3.过点F作FP∥AD交DB于点P，连接PC，则DP PB＝1 3. 又因为CF∥AE，AE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，所以CF∥平面ADE，同理FP∥平面ADE.又因为CF∩PF＝F，所以平面CFP∥平面ADE，因为CP⊂平面CFP，所以CP∥平面ADE，所以在BD上存在点P，使得CP∥平面ADE，且BPBD＝34.。
人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)
高一数学试题（必修4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修4 第一章 三角函数(1)一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B ∪C=CC ．A CD ．A=B=C22120s i n 等于 （ ） A 23±B 23C 23-D 21 3.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．2316 D ．－23164．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）A.y=sin2xB.y=cos 2xC .sin2x+cos2x D. y=x x 22tan 1tan 1+-5 若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是 （ ）A 34B 34-C 34± D36． 要得到函数y=cos(42π-x )的图象，只需将y=sin 2x的图象 （ ） A ．向左平移2π个单位 B.同右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将 整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y=21sinx 的图象则y=f(x)是 （ ）A ．y=1)22sin(21++πx B.y=1)22sin(21+-πx C.y=1)42sin(21++πx D. 1)42sin(21+-πx8. 函数y=sin(2x+25π)的图像的一条对轴方程是 （ ） A.x=-2π B. x=-4π C .x=8πD.x=45π9．若21cos sin =⋅θθ，则下列结论中一定成立的是 （ ）A.22sin =θ B ．22sin -=θC ．1cos sin =+θθD ．0cos sin =-θθ10.函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 11.函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数 12.函数2cos 1y x =+的定义域是 （ ） A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：13. 函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 的最小值是 . 14 与02002-终边相同的最小正角是_______________15. 已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos . 16 若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤， 则B A =_______________________________________三、解答题：17．已知51cos sin =+x x ，且π<<x 0． a) 求sinx 、cosx 、tanx 的值． b) 求sin 3x – cos 3x 的值．18 已知2tan =x ，（1）求x x 22cos 41sin 32+的值 （2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值19. 已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+20．已知曲线上最高点为（2，2），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x 的值及单调区间必修4 第一章 三角函数(2)一、选择题：1．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为 （ ） A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则 ( )A ．sin α tan α＞0B ．cos α tan α＞0C ．sin α cos α＞0D ．sin α cot α＞0 3 已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是 （ ） A 231+-B 231+- C 231- D 231+4．函数)22cos(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ）A ．2π-=x B. 4π-=x C. 8π=x D. π=x5．已知)0,2(π-∈x ，53sin -=x ,则tan2x= ( ) A ．247 B. 247- C. 724 D. 724-6．已知31)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则)4tan(πβ+的值为 （ ）A ．2 B. 1 C. 22D. 2 7．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ ）A ．1 B. 2πC. π2D. π8．函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是 （ ）A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B. )(324,344Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D. )(384,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 9．函数x x y cos sin 3+=，]2,2[ππ-∈x 的最大值为 （ ）A ．1 B. 2 C. 3 D.23 10．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位11．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为 （ ）A.21 B. —21C. 23D. —2312．若).(),sin(32cos 3sin 3ππφφ-∈-=-x x x ，则=φ （ ）A. 6π-B.6π C. 65π D. 65π-二、填空题13．函数tan 2y x =的定义域是14．)32sin(3π+-=x y 的振幅为 初相为15．求值：00cos20sin202cos10-=_______________ 16．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为_____________2)322sin(--=πx y ___________________三、解答题17 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值18．已知函数x x y 21cos 321sin+=，求： （1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y 的单调递增区间19． 已知βαtan tan 、是方程04332=++x x 的两根，且)2,2(ππβα-∈、， 求βα+的值20．如下图为函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线2=x 对称的函数解析式必修4 第三章 三角恒等变换(1)一、选择题:1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ( ）A 0 B12 C 32 D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ）A 3365-B 6365C 5665D 1665- 3.设1tan 2,1tan x x +=-则sin 2x 的值是 ( )A 35B 34-C 34D 1- 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 （ ）A 47-B 47C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是 （ ）A 3365B 1665C 5665D 63656. )4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是 （ ）A 725-B 2425-C 2425D 7257.在3sin cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )A 2521≤≤aB 21≤aC 25>aD 2125-≤≤-a 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为 （ ）A 1010B 1010-C 10103D 10103-9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像 （ ）A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位10. 函数sin 3cos 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113πB 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 11.若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是 ( )A [2,2]-B 31(1,]2-- C 31[1,]2-- D 31(1,)2--12.在ABC ∆中，tan tan 33tan tan A B A B ++=，则C 等于 ( )A3π B 23π C 6π D 4π二、填空题:13.若βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈则βα+等于14. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 15. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为16. 关于函数()cos223sin cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简000020cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[+++18. 求)212cos 4(12sin 312tan 30200--的值．19. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.20.已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。
高中数学必修四(综合测试题+详细答案)
必修四综合复习一、选择题（12道）1．已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为 （ ） A ．0 B. 2 C. 21 D. －2 2．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A.2B.3C.23D.323．已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 4．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点， 则向量=CD （ ）A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21-- C ．BA BC 21- D ．BA BC 21+ 5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a --共线，则λ=（ ）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.5 6．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）7．在OAB ∆中，OA a =，OB b =，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等 于（ ）A ．2()a b a a b ⋅--B ．2()a a b a b ⋅--C ．()a b a a b ⋅--D ．()a a b a b⋅--8．在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量(),,m b c c a =-- (),n b c a =+，若向量⊥m n ，则角A 的大小为 （ ）A ． 6πB ．3πC ． 2πD ． 32π 9．设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，且有,BC CE λ=若2AB AC =则λ等于（ ）A 2B 21 C －3 D －31高考资源网 10．函数2sin cos 3cos 3y x x x =+-的图象的一个对称中心是（ ）A.23(,)32π- B.53(,)62π- C.23(,)32π- D.(,3)3π-11.0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( )A. 16B. 8C. 4D. 212．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ） A ．4 B ．12 C ．2 D ．14二、填空题（8道）13．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是 __________．14．设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则=θcos ______________． 15．在AOB ∆中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=⋅OB OA ，则AOB ∆的面积为__________.16. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 ________.17. ABC 中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC = ___________. 18．已知sin cos αβ+13=，sin cos βα-12=，则sin()αβ-=________________. 19．函数x x y cos 3sin +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 _______． 20．函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值1-，则实数a =_________，b =___________.三、解答题（3道）21．已知|a|=2，|b|=3，向量a 与向量b 夹角为 45，求使向量a+λb 与λa+b 的夹角是锐角时，λ的取值范围22.已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈． （1）求θsin 和θcos 的值；（2）若sin()2πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．23.）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
高中数学必修4综合测试题及答案(2)(K12教育文档)
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必修4综合检测一、选择题(每小题5分，共60分） 1．下列命题中正确的是（ ）A ．第一象限角必是锐角B ．终边相同的角相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同 2．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A ．3πB ．－3πC ．6πD ．－6π3．已知角α的终边过点()m m P 34，-,()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是( ) A ．1或－1 B ．52或52- C ．1或52- D ．－1或52 4、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）A.35(,)(,)244ππππ B 。
5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 。
33(,)(,)244ππππ5. 若|2|=a ，2||=b 且(b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ）(A)6π (B ）4π （C ）3π （D ）π125 6.已知函数B x A y ++=)sin(ϕϖ的一部分图象如右图所示，如果2||,0,0πϕϖ<>>A ，则（ ）A 。
4=AB 。
1=ϖ C.6πϕ=D 。
4=B7。
设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ） A ．B A ⋂中有3个元素 B ．B A ⋂中有1个元素 C ．B A ⋂中有2个元素 D ．B A ⋃R = ８．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ） A ．247B ．247-C ．724D ．724-9。
最新人教版高中数学必修4各单元检测试题(全册 共3单元 附解析)
最新人教版高中数学必修4各单元检测试题（全册共3单元附解析）第一单元评估验收(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝tan x2是()A．最小正周期为4π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为4π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数解析：该函数为奇函数，其最小正周期T＝π12＝2π.答案：B2．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝() A．1 B．－1C.22D．－22解析：角α终边经过点(1，－1)，所以cos α＝112＋（－1）2＝22.答案：C3．函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是()解析：取x ＝0，则y ＝1，排除C 、D ；取x ＝π2，则y ＝0，排除A ，选B.答案：B4．把函数f (x )＝sin 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，则g (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4解析：由题意知g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12x ＋1＝sin x ＋1.故T ＝2π. 答案：A5．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b解析：a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos 234π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，所以b >a >c . 答案：A6．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A ．1B ．－12C ．0D ．－1解析：由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝cos π＝－1.故选D. 答案：D7．如图，2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对应的扇形面积是( )A.1sin 1B.1sin21C.1cos21D ．tan 1解析：作OC ⊥AB ，垂足为C ，在△AOC 中，sin 1＝1r ，所以r＝1sin 1，所以S ＝12r 2α＝12×1sin21×2＝1sin21，故选B.答案：B8．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析：由函数是偶函数，排除选项B 、C ，又选项D 中函数没有零点，排除D.答案：A9．设f (n )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于( )A. 2 B ．－22C ．0D.22解析：f (n )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4的周期T ＝4；且f (1)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝cos 3π4＝－22，f (2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－22，f (3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋π4＝22，f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝22.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－22. 答案：B10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，即3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0， 所以8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z)，|φ|的最小值为π6.答案：A11．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )的周期是π4B ．函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π3C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上为减函数 D ．函数f (x )是偶函数解析：当x ＝π3时，f (x )＝1，所以x ＝π3是函数图象的一条对称轴．答案：B12．函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，则满足此条件的一个φ值为( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析：令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π4－φ2(k ∈Z)，因为函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3内，所以令π6＜k π2＋π4－φ2＜π3(k ∈Z)，解得k π－π6＜φ＜k π＋π6(k ∈Z)，四个选项中只有A 符合，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析：因为点P (tan α，cos α)在第三象限， 所以tan α<0，cos α<0，则α是第二象限角． 答案：二14．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________．解析：由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－4315．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案：－116．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )有两个零点，即m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，结合正弦曲线知m ∈[1，2)．答案：[1，2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求tan α的值；(2)求sin （α＋π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．解：(1)因为0<α<π2，sin α＝45，所以cos α＝35，故tan α＝43.(2)sin （α＋π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝ sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a . 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.19．(本小题满分12分)(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，||φ<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎪2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0.20．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解：(1)因为函数f (x )的最大值为3， 所以A ＋1＝3，即A ＝2，因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12，因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，故α＝π3.21．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|ω|<π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间． 解：(1)由图可知，其振幅为A ＝23， 由于T2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ.因为点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ的图象上，所以π8×2＋φ＝2k π－π2，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z)．又|φ|<π，所以φ＝－3π4. 故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4. (2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z)，所以函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z)．当k ＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k ＝0时，有递增区间[2，10]，与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π]．22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1，即π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.因此－π<φ<0，所以当k ＝－1时得φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4.由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π8≤x ≤k π＋58π，(k ∈Z)所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4知：令z ＝2x －34π，x ∈[0，π]①列表如下：第二单元评估验收(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·四川卷)向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为a ∥b ，所以2×6－4x ＝0，解得x ＝3. 答案：B2．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( )A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：由题意得，2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )， 因为(2b －a )⊥a ， 所以－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3，所以|a |＝（－1）2＋3＝2. 答案：C3．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.BC → B.AB → C.AC →D.AM →解析：原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →. 答案：C4．已知O (0，0)，A (2，0)，B (3，1)，则(OB →－OA →)·OB →＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4解析：由已知得OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，OB →－OA →＝(1，1)，则(OB →－OA →)·OB →＝(1，1)·(3，1)＝3＋1＝4.答案：A5．已知OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，OP →＝(x ，0)，则当AP →·BP →最小时，x 的值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1解析：AP →＝OP →－OA →＝(x －2，－2)，BP →＝OP →－OB →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1当x ＝3时，AP →·BP →取到最小值． 答案：B6．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1)∪(－1，1)解析：由条件知，a ·b ＝λ－1＜0，所以λ＜1， 当a 与b 反向时，则存在负数k ，使b ＝ka ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝－k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1.所以λ＜1且λ≠－1.答案：D7．(2015·课标全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →. 答案：A8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形解析：由AB →＋CD →＝0即AB →＝DC →可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0即DB →·AC →＝0可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形．答案：C9．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝50，则|b |＝( ) A ．0 B ．2 C ．5 D ．25解析：因为a ＝(2，1)，则有|a |＝5，又a·b ＝10， 又由|a ＋b |＝50， 所以|a |2＋2a·b ＋|b |2＝50， 5＋2×10＋|b |2＝50. 所以|b |＝5.答案：C10．(2015·安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →.答案：D11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解析：根据题意可知若a ，b 共线，可得mq ＝np ，所以a ⊙b ＝mq －np ＝0，所以A 正确；因为a ⊙b ＝mq －np ，而b ⊙a ＝np －mq ，故二者不相等，所以B 错误；对于任意的λ∈R ，(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )＝λmq －λnp ，所以C 正确；(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2＋n 2p 2－2mnpq ＋m 2p 2＋n 2q 2＋2mnpq ＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，所以D 正确，故选B.答案：B12．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定解析：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >π2，所以A >π2－B ，且A ，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin A >sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，所以p ·q ＝sin A －cos B >0，故p ，q 的夹角为锐角．答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(ta ＋b )，则实数t 的值为________．解析：因为a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，所以ta ＋b ＝(t ＋6，－t －4)．又a ⊥(ta ＋b )，则a ·(ta ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5. 答案：－514．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．解析：因为AM →＝2MC →，所以AM →＝23AC →.因为BN →＝NC →，所以AN →＝12(AB →＋AC →)，因为MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.答案：12 －1615．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，a ＋c ＝0，则c 在b 方向上的投影为________．解析：a ＋c ＝(2，3)＋c ＝0，所以c ＝(－2，－3)， 设c 与b 夹角为θ，则c 在b 方向上的投影为|c |·cos θ＝ |c |·c·b |c ||b |＝c·b |b |＝（－2，－3）·（－4，7）（－4）2＋72＝－655. 答案：－65516．若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a ×b ”为“向量积”，其长度|a ×b |＝|a ||b |·sin θ，若已知|a |＝1，|b |＝5，a·b ＝－4，则|a ×b |＝________．解析：由|a |＝1，|b |＝5，a·b ＝－4得cos θ＝－45，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝35.由此可得|a ×b |＝1×5×35＝3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC .试用a ，b 为基底表示向量AM →与HF →.解：因为平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，所以AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ；HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－12AD →＝a ＋13b －12b ＝a －16b .18．(本小题满分12分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．解：|c |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°. 所以－12<cos θ<1，所以13<|c |<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．19．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．解：以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)．又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →， 所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ， 解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5. 20．(本小题满分12分)在四边形ABCD 中，AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →.(1)求x 与y 的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求x 、y 的值以及四边形ABCD 的面积． 解：如图所示．(1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，所以DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y )．又因为BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝ (x －2，y －3)．因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，于是BC →＝(－6，3)，AC →＝(0，4)，BD →＝(－8，0)．所以|AC →|＝4，|BD →|＝8， 所以S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16.当y ＝－1时，x ＝2，于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8，0)，BD →＝(0，－4)．所以|AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.21．(本小题满分12分)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)．(1)当x ，y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x ，y 使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 与b 共线，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ∈R ，所以当x ＝13，y 为任意实数时，a 与b 共线．(2)由a ⊥b ⇒a ·b ＝0⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.①由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53y ＝73，所以xy ＝－1或xy ＝359.所以存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |， 此时xy ＝－1或xy ＝359.22．(本小题满分12分)已知三角形ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于点F ，连接DF .求证：∠ADB ＝∠FDC (用向量方法证明)．证明：如图所示，建立直角坐标系，设A (2，0)，C (0，2)，则D (0，1)．于是AD →＝(－2，1)，AC →＝(－2，2)． 设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0， 即(x ，y )·(－2，1)＝0， 所以－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x ，2－y )， 因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0，即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，DC →＝(0，1)，DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos ∠PDC ＝53cos ∠FDC .所以cos ∠FDC ＝55， 又cos ∠ADB ＝DB →·DA →|DB →||DA →|＝15＝55，所以cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ＝55，故∠ADB ＝∠FDC .第三单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2sin 215°－1的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：2sin 215°－1＝－(1－2sin 215°)＝－cos 30°＝－32.答案：D2．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D ．2解析：f (x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝12－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.答案：A3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( )A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－2425解析：由已知得sin α＝－35，又－π2＜α＜0，故cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425.答案：D4.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A. 3B.62 C ．1 D.12解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案：A5．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53解析：△ABC 中，C ＝120°，得A ＋B ＝60°， 所以(tan A ＋tan B )＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝ 3(1－tan A tan B )＝233. 所以tan A tan B ＝13.答案：B6．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7解析：由α为锐角，cos α＝55，得sin α＝255，所以tan α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝41－4＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－431＋43＝－17，选B.答案：B7．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32C ．±32D ．±12解析：因为sin θ－cos θ＝22， 所以(sin θ－cos θ)2＝12，即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ >cos θ， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32.答案：B8．已知sin α－cos α＝－52，则tan α－1tan α的值为( )A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8解析：将方程sin α－cos α＝－52两边平方，可得1－sin 2α＝54，即sin 2α＝－14，则tan α＋1tan α＝tan 2＋1tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos α2＋1sin αcos α＝2sin 2α＝2－14＝－8. 答案：D9．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( ) A.－43－310B.43－310C.12D.32解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0<x <π，得0<x ＋π6<π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45， 所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：B10．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：因为cos A ＝55，所以sin A ＝255.同理sin B ＝1010.因为cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－55×31010＋255×1010＝－5050<0， 所以C 为钝角． 答案：B11．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的最大值为( ) A.12 B.14 C ．1D.22解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时函数有最大值，最大值为12，故选A.答案：A12．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2π解析：由题意得函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)，又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知2cos2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．解析：因为2cos2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，所以A ＝2，b ＝1.答案：2 114．已知向量a ＝(4，3)，b ＝(sin α，cos α)，且a ⊥b ，那么tan 2α＝________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以4sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 答案：－24715．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5， 所以原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5. 又因为tan α＝2tan π5，所以原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.答案：316.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．解析：题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝25，12ab ＝6，所以两条直角边的长分别为3，4.则cos θ＝45，cos 2θ＝2cos2θ－1＝725.答案：725三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0＜α＜π2，sin α＝45.(1)求sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4的值．解：(1)由0＜α＜π2，sin α＝45，得cos α＝35.所以sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α＝sin2α＋2sin αcos α3cos2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)因为tan α＝sin αcos α＝43，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.(1)求f (x )的定义域；(2)若角α在第一象限，且cos α＝35，求f (α)．解：(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2≠0，得x ＋π2≠k π(k ∈Z)，故f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π2，k ∈Z .(2)由已知条件得sin α＝1－cos2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45.从而f (α)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝2cos2α＋2sin αcos αcos α＝2(cos α＋sin α)＝145.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)且m·n ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．解：(1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1，1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32，当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3，所以所求函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.21．(本小题满分12分)设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋b )．(1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)．所以使f (x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎭⎪8822．(2014·福建卷)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，88所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.。
人教a版数学必修4测试题答案及解析
人教a版数学必修4测试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-6x+c的图象与x轴有交点，则c的取值范围是（）。
A. c>9B. c<9C. c≥9D. c≤9答案：D解析：函数f(x)=x^2-6x+c的判别式Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4*1*c=36-4c。
要使函数与x轴有交点，判别式Δ≥0，即36-4c≥0，解得c≤9。
2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，d=2，则S_5的值为（）。
A. 15B. 25C. 30D. 40答案：A解析：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，代入n=5，a_1=1，d=2，得S_5=5/2*(2*1+(5-1)*2)=5/2*(2+8)=5*5=25。
但题目要求的是S_5的值，所以正确答案应为A。
二、填空题1. 已知函数y=2x-3与直线y=-x+4平行，则它们的斜率相等，斜率k的值为（）。
答案：-1解析：两条直线平行，它们的斜率相等。
直线y=-x+4的斜率为-1，所以函数y=2x-3的斜率k也应为-1。
2. 已知圆x^2+y^2-6x-8y+24=0的圆心坐标为（）。
答案：(3,4)解析：将圆的方程化为标准形式(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，即(x-3)^2+(y-4)^2=1，可得圆心坐标为(3,4)。
三、解答题1. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)。
答案：f'(x)=3x^2-3解析：根据导数的定义，f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]。
对f(x)=x^3-3x+1求导，得f'(x)=3x^2-3。
2. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，公比q=3，求S_5。
答案：S_5=341解析：等比数列的前n项和公式为S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=3，n=5，得S_5=2*(1-3^5)/(1-3)=2*(1-243)/(-2)=2*(-242)=-484。
(人教版B版)高中数学必修第四册 第十章综合测试试卷01及答案
第十章综合测试基础练习一、选择题1.复数()2z m m mi =++（m ÎR ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A.0或1- B.0C.1D.1-2.在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平行四边形OABC ，O 、A 、C 三点对应的复数分别为0、12i +、32i -，则向量AB uuu r的模||AB uuu r等于（ ）B. C.44.设122iz i -=+，2(1)(1)z i i =+-，12z z z =+，则z =（ ）A.435i - B.3455i + C.13445i- D.13455i +5.已知复数1cos sin 1212z i p p ö=+÷ø，2cos sin 66z i p p ö=+÷ø，则12z z 的代数形式是（）cos sin 44i p p ö+÷øcos sin 1212i p p ö+÷ø二、填空题6.已知复数()212(4)z a a i =-+-，()212(4)z a a i =-+-，且12z z -为纯虚数，则a =________。
7.在复平面上A ，B 表示复数为α，0b a ¹（），且()1i b a =+，则AOB Ð=_________。
8.设1z i =+（i 上虚数单位），则22z z+等于_________。
三、解答题9.已知平行四边形ABCD 中，AB uuu r 与AC uuu r对应的复数分别是32i +与14i +，两对角线AC 与BD 相交于P 点。
（1）求AD uuu r对应的复数；（2）求DB uuu r对应的复数；（3）求APB △的面积。
10.写出下列复数z 的倒数1z的模与辐角。
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数学必修4综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．下列命题中正确的是（ ）A ．第一象限角必是锐角B ．终边相同的角相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同 2．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ）A ．3π B ．－3π C ．6π D ．－6π 3．已知角α的终边过点()m m P 34，-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是（ ） A ．1或－1 B ．52或52- C ．1或52- D ．－1或52 4、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ） A.35(,)(,)244ππππ B.5(,)(,)424ππππ C.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)244ππππ5. 若|2|=a ，2||=b 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ）（A ）6π （B ）4π （C ）3π（D ）π1256.已知函数B x A y ++=)sin(ϕϖ的一部分图象如右图所示，如果2||,0,0πϕϖ<>>A ，则（ ）A.4=AB.1=ϖC.6πϕ=D.4=B7. 设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ） A ．B A 中有3个元素 B ．B A 中有1个元素C ．B A 中有2个元素D ．B A R = ８．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247B ．247-C ．724D ．724-9. 同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝3π对称；③在[－6π，3π]上是增函数”的一个函数是 （ ） A . y ＝sin (2x +6π) B . y ＝cos (2x ＋3π) C . y ＝sin (2x －6π) D . y ＝cos (2x －6π)10. 设i =(1,0),j =(0,1),a =2i +3j ,b =k i －4j ,若a ⊥b ，则实数k 的值为（ ）A ．－6B ．－3C ．3D ．6 11. 函数)34cos(3)34sin(3x x y -+-=ππ的最小正周期为 （ ）A ．32πB ．3πC ．8D ．412. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于（ ）A ．1B ．2524-C ．257D ．－257题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 已知3322cos2sin=+θθ，那么θsin 的值为 ，θ2cos 的值为 14. 已知|a |=3,|b |=5, 且向量a 在向量b 方向上的投影为125，则a ·b = . 15. 已知向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为坐标原点），那么⋅的最小值是___________________ 16．给出下列6种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21；②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移3π个单位；④图像向左平移3π个单位；⑤图像向右平移32π个单位；⑥图像向左平移32π个单位。
请写出用上述变换将函数y = sinx 的图像变换到函数y = sin(2x +3π)的图像的一个变换______________．(按变换顺序写上序号即可) 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明或演算步骤）17、已知cos(α－2β)=19-,sin(2αβ-)=23,且α∈(2π,π),β∈(0,2π),求cos 2αβ+的值.18. (本小题满分12分) 已知434π<α<π，40π<β<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=β+π，求()βα+sin 的值.１９. （本题满分12分）已知向量)23sin 23(cosx x ，=a ，)2sin 2(cos xx -=，b ，)13(-=，c ，其中R ∈x ． （Ⅰ）当b a ⊥时，求x 值的集合； （Ⅱ）求||c a -的最大值．２０、已知函数.,12sin sin 2)(2R x x x x f ∈-+=（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合； （2）在平面直角坐标系中画出函数)(x f 在],0[π上的图象.21、（本题满分12分）设、是两个不共线的非零向量（R t ∈）（1）记),(31,,b a OC b t OB a OA +===那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ （2）若 1201||||夹角为与且==，那么实数x 为何值时||x -的值最小？ 22、（本题满分1４分）某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向200km的海面P 处，并正以20km/h 的速度向北偏西θ方向移动（其中19cos 20θ=）,台风当前影响半径为10km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？数学必修4综合测试题参考答案1． C2. D3．B 4、B 5、B 6、C 7、A8、D 9、C . 10、D11、A12、D １３、31，9714、12 15．－8 16． ④②或②⑥ 17、已知cos(α－2β)=19-,sin(2αβ-)=23,且α∈(2π,π),β∈(0,2π),求cos 2αβ+的值. 18. 解：∵434π<α<π ∴π<α+π<π42 又53)4cos(-=α+π ∴54)4sin(=α+π∵40π<β< ∴π<β+π<π4343 又135)43sin(=β+π∴1312)43cos(-=β+π∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] = )]43()4sin[(β+π+α+π-)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-= １９解：（Ⅰ）由b a ⊥，得0=⋅b a ，即02sin 23sin 2cos 23cos =-xx x x ．…………4分则02cos =x ，得)(4π2πZ ∈+=k k x ．…………………………………5分∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ，4π2π|为所求．…………………………………6分 （Ⅱ）+-=-22)323(cos||x c a =+2)123(sin x )3π23sin(45-+x ，……………10分 所以||c a -有最大值为3．……………………………………………………12分 ２０解：（I ）x x x x x x x f 2cos 2sin )sin 21(2sin 12sin sin 2)(22-=--=-+= =)42sin(2π-x ………………………………………………5分所以)(x f 的最小正周期是π……………………………………………………6分∈x R ，所以当∈+=+=-k k x k x (83,2242πππππ即Z ）时，)(x f 的最大值为2.即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+=k k x x ,83|{ππZ }……………………8分（II ）图象如下图所示：（阅卷时注意以下3点）1．最小值2)83(=πf ， 最小值2)87(-=πf .………………10分2．增区间];,87[],83,0[πππ减区间]87,83[ππ……………………12分3．图象上的特殊点：（0，－1），（1,4π），（1,2π），)1,(),1,43(--ππ………14分[注：图象上的特殊点错两个扣1分，最多扣2分]21、解：（1）A 、B 、C 三点共线知存在实数OB OA OC )1(,λλλ-+=使 即b t a b a )1()(31λλ-+=+，…………………………………………………4分则21,31==t 实数λ………………………………………………………………6分 （2）,21120cos ||||-=⋅=⋅b a b a,12||22222++=⋅⋅-⋅+=-∴x x b a x b x a b x a ……………………………9分当23||,21取最小值时b x a x --=…………………………………………12分 22、解：如右图，设该市为A ，经过t 小时后台风开始影响该城市，则t 小时后台风经过的路程PC ＝（20t ）km ，台风半径为CD ＝（10+10t ）km ，需满足条件：CD ≥AC2222222()2||||||2||||cos AC PC PA PC PA PA PC AC PC PA PA PC θ=-=+-=+-22219200(20)22002040000400760020t tt =+-=+- ∴222400004007600(1010)t t CD t +-≤=+ 整理得23007800399000t t -+≤ 即2261330t t -+≤ 解得719t ≤≤∴7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时。
活动11、 统计学是处理（A ）的一门科学。
A 、数据θ20020t10+10t10北AP C D EB、数学C、数字D、数量2、（A）是统计工作的基础。
A、数据搜集B、数据整理C、数据分析D、数据核算3、数据分析是指运用（B）对有关数据进行处理，并从数据中提取出有效信息的过程。
A、计算器B、统计方法C、计算机D、统计机构4、在社会科学领域，为了规范数据的开发与分析，国民经济核算体系、社会核算方法、工商会计等（C）有着较多的应用。
A、数学方法B、系统科学C、核算技术D、经济手段5、作为一种通用的（D），统计学已经成为一种工具。
A、数学符号B、衡量方法C、支付手段D、数据处理方法6、统计学的主要任务包括：（ABCD）。
A、数据搜集B、数据整理C、数据分析D、数据核算7、数据搜集上来以后，还要进行必要的整理。
以使得数据更加（ABC）。
A、直观B、清晰C、易读D、增多8、以下属于统计学的重要组成部分有（AC）。
A、描述统计学B、数学C、推断统计学D、会计学9、统计学可在以下哪些学科中有所应用（ABCD）。